معنای فیزیکی مشتق چیست. معنای هندسی مشتق. نمونه ای از محاسبه مشتق

اهداف درس:

آموزشی:

• شرایطی را برای دانش آموزان ایجاد کنید تا معنای فیزیکی مشتق را به طور معناداری جذب کنند.
• ترویج توسعه مهارت ها در استفاده عملی از مشتقات برای حل انواع مشکلات فیزیکی.

آموزشی:

• ترویج توسعه دیدگاه ریاضی و علاقه شناختی در بین دانش آموزان از طریق افشای ضرورت عملی و اهمیت نظری موضوع.
• شرایط را برای بهبود مهارت های تفکر دانش آموزان فراهم کنید: مقایسه، تجزیه و تحلیل، تعمیم.

آموزشی:

• علاقه به ریاضیات را افزایش دهید.

نوع درس:درس تسلط بر دانش جدید.

اشکال کار:جلویی، فردی، گروهی.

تجهیزات:کامپیوتر، تخته سفید تعاملی، ارائه، کتاب درسی.

ساختار درس:

1. لحظه سازمانی، تعیین هدف درس
2. یادگیری مطالب جدید
3. ادغام اولیه مواد جدید
4. کار مستقل
5. خلاصه درس. انعکاس.

در طول کلاس ها

من.لحظه سازمانی، تعیین هدف درس (2 دقیقه)

II. یادگیری مطالب جدید (10 دقیقه)

معلم:در درس های قبلی با قوانین محاسبه مشتقات آشنا شدیم، مشتقات توابع خطی، توانی و مثلثاتی را پیدا کردیم. ما فهمیدیم که معنای هندسی مشتق چیست. امروز در کلاس یاد خواهیم گرفت که این مفهوم در فیزیک کجا استفاده می شود.

برای انجام این کار، تعریف مشتق را به یاد بیاورید (اسلاید 2)

حال به درس فیزیک می پردازیم (اسلاید 3)

دانش آموزان استدلال می کنند، مفاهیم و فرمول های فیزیکی را به خاطر می آورند.

بگذارید جسم طبق قانون حرکت کند S(t)= f(t) مسیر طی شده توسط جسم را در طول زمان t 0 تا t 0 + Δ t در نظر بگیرید، که Δt افزایش آرگومان است. در لحظه t 0 بدن مسیر S(t 0) را طی کرده است، در لحظه t 0 +Δt - مسیر S(t 0 +Δt). بنابراین، در طول مدت Δt جسم از مسیر S(t 0 +Δt) – S(t 0) عبور کرده است. افزایش تابع را دریافت کردیم. میانگین سرعت بدن برای این بازه زمانی υ==

هرچه بازه زمانی t کمتر باشد، با دقت بیشتری می توانیم بفهمیم که بدن در لحظه t با چه سرعتی حرکت می کند. با هدایت t → 0، سرعت لحظه ای را به دست می آوریم - مقدار عددی سرعت در لحظه t این حرکت.

υ=، در Δt→0 سرعت مشتق مسیر با توجه به زمان است.

اسلاید 4

بیایید تعریف شتاب را به یاد بیاوریم.

با استفاده از مطالب ارائه شده در بالا، می توانیم نتیجه بگیریم که در t a(t)= υ’(t) شتاب مشتق از سرعت است.

در مرحله بعد، فرمول های قدرت جریان، سرعت زاویه ای، emf و غیره بر روی برد تعاملی ظاهر می شوند. دانش آموزان مقادیر آنی مقادیر فیزیکی داده شده را از طریق مفهوم مشتق اضافه می کنند. (اگر تخته سفید تعاملی ندارید، از ارائه استفاده کنید)

اسلایدهای 5-8

دانش آموزان نتیجه گیری را تدوین می کنند.

نتیجه:(اسلاید 9) مشتق نرخ تغییر یک تابع است. (توابع مسیر، مختصات، سرعت، شار مغناطیسی و غیره)

υ (x)=f’(x)

معلم:می بینیم که ارتباط بین ویژگی های کمی متنوع ترین فرآیندهای مورد مطالعه توسط فیزیک، علوم فنی و شیمی مشابه ارتباط بین مسیر و سرعت است. شما می توانید مسائل زیادی را ارائه دهید که برای حل آنها نیز لازم است سرعت تغییر یک تابع خاص را پیدا کنید، به عنوان مثال: یافتن غلظت یک محلول در یک لحظه خاص، یافتن سرعت جریان یک مایع، زاویه ای سرعت چرخش جسم، چگالی خطی در یک نقطه و غیره اکنون برخی از این مشکلات را حل خواهیم کرد.

III.تثبیت دانش کسب شده (کار گروهی) (15 دقیقه)

پس از بحث در هیئت مدیره

قبل از حل مسائل، واحدهای اندازه گیری کمیت های فیزیکی را روشن کنید.

سرعت - [m/s]
شتاب - [m/s 2]
قدرت - [N]
انرژی - [J]

گروه وظیفه 1

نقطه بر اساس قانون s(t)=2t³-3t حرکت می کند (s مسیر بر حسب متر است، t زمان بر حسب ثانیه است). سرعت نقطه و شتاب آن را در زمان 2 ثانیه محاسبه کنید

گروه وظیفه 2

چرخ طیار طبق قانون φ(t)= t 4 -5t حول یک محور می چرخد. سرعت زاویه ای آن ω را در زمان 2s بیابید (φ زاویه چرخش بر حسب رادیان است، ω سرعت زاویه ای راد بر ثانیه است)

گروه وظیفه 3

جسمی با وزن 2 کیلوگرم طبق قانون x(t)=2-3t+2t² به صورت مستقیم حرکت می کند.

سرعت بدن و انرژی جنبشی آن را 3 ثانیه پس از شروع حرکت بیابید. در این لحظه چه نیرویی بر بدن وارد می شود؟ (t بر حسب ثانیه، x بر حسب متر اندازه گیری می شود)

وظیفه 4

نقطه حرکات نوسانی را طبق قانون x(t)=2sin3t انجام می دهد. ثابت کنید که شتاب متناسب با مختصات x است.

IV.حل مستقل مسائل شماره 272، 274، 275، 277

[A.N. Kolmogorov، A.M. Abramov و دیگران "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، نمرات 10-11"]

داده شده:	راه حل:
x(t)=- ______________ t=؟ υ(t)=؟	υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18m/s پاسخ: t=6c; υ(6)= 18m/s

نمودار یک تابع y = f(x) را در نظر بگیرید.

یک نقطه A را با مختصات (x, f(x)) و در فاصله کمی از آن نقطه B با مختصات (x+h, f(x+h) علامت گذاری می کنیم. یک خط مستقیم رسم می کنیم (AB) از طریق این نکات بیان را در نظر بگیرید . تفاوت f(x+h)-f(x) برابر با فاصله BL و فاصله AL برابر با h است. نسبت BL/AL مماس ε زاویه - زاویه تمایل خط مستقیم (AB) است. حالا بیایید تصور کنیم که مقدار h بسیار بسیار کوچک است. سپس خط مستقیم (AB) تقریباً با مماس نقطه x بر نمودار تابع y = f(x) منطبق خواهد شد.

بنابراین، اجازه دهید برخی از تعاریف را ارائه دهیم.

مشتق تابع y = f(x) در نقطه x حد نسبت نامیده می شود همانطور که h به صفر تمایل دارد. آنها می نویسند:

معنای هندسی مشتق، مماس زاویه مماس است.

مشتق نیز معنای فیزیکی دارد. در مدرسه ابتدایی سرعت به صورت مسافت تقسیم بر زمان تعریف می شد. با این حال، در زندگی واقعی، برای مثال، سرعت یک ماشین در تمام طول سفر ثابت نیست. اجازه دهید مسیر تابعی از زمان باشد - اجازه دهید لحظه زمان t را ثابت کنیم. در مدت زمان کوتاهی از t تا t+h، خودرو مسیر S(t+h)-S(t) را طی می کند. در مدت زمان کوتاهی سرعت تغییر چندانی نخواهد داشت و بنابراین می توانید از تعریف سرعت شناخته شده از دبستان استفاده کنید. . و از آنجایی که h به صفر تمایل دارد، این مشتق خواهد بود.

مشتق تابع f (x) در نقطه x0 حد (اگر وجود داشته باشد) نسبت افزایش تابع در نقطه x0 به افزایش آرگومان Δx است، اگر افزایش آرگومان تمایل به صفر است و با f '(x0) نشان داده می شود. عمل یافتن مشتق تابع را تمایز می گویند.
مشتق یک تابع به معنای فیزیکی زیر است: مشتق یک تابع در یک نقطه معین، نرخ تغییر تابع در یک نقطه معین است.

معنای هندسی مشتق. مشتق در نقطه x0 برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع y=f(x) در این نقطه.

معنای فیزیکی مشتق.اگر نقطه ای در امتداد محور x حرکت کند و مختصات آن بر اساس قانون x(t) تغییر کند، سرعت آنی نقطه برابر است با:

مفهوم دیفرانسیل، خواص آن. قوانین تمایز. مثال ها.

تعریف.دیفرانسیل یک تابع در نقطه ای x قسمت اصلی و خطی افزایش تابع است. دیفرانسیل تابع y = f(x) برابر است با حاصل ضرب مشتق آن و افزایش متغیر مستقل x بحث و جدل).

اینگونه نوشته شده است:

یا

یا


خواص دیفرانسیل
دیفرانسیل دارای خواصی شبیه به مشتقات است:





به قوانین اساسی تمایزعبارتند از:
1) قرار دادن یک عامل ثابت خارج از علامت مشتق
2) مشتق از یک جمع، مشتق از یک تفاوت
3) مشتق حاصلضرب توابع
4) مشتق ضریب دو تابع (مشتق کسری)

مثال ها.
اجازه دهید فرمول را ثابت کنیم: با تعریف مشتق داریم:

یک عامل دلخواه را می توان فراتر از علامت عبور به حد برداشت (این از ویژگی های حد معلوم است)، بنابراین

مثلا:مشتق تابع را بیابید
راه حل:بیایید از قانون قرار دادن ضریب خارج از علامت مشتق استفاده کنیم :

اغلب اوقات لازم است ابتدا شکل تابع متمایز را ساده کنیم تا از جدول مشتقات و قوانین یافتن مشتقات استفاده کنیم. مثال های زیر به وضوح این موضوع را تایید می کنند.

فرمول های تمایز کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی مثال ها.

استفاده از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی به شما امکان می دهد از یک دیفرانسیل برای تقریب مقادیر یک تابع استفاده کنید.
مثال ها.
با استفاده از دیفرانسیل، تقریباً محاسبه کنید
برای محاسبه این مقدار، از فرمول تئوری استفاده می کنیم
اجازه دهید یک تابع را در نظر بگیریم و مقدار داده شده را در فرم نمایش دهیم
سپس بیایید محاسبه کنیم

با جایگزین کردن همه چیز در فرمول، در نهایت به دست می آوریم
پاسخ:

16. قانون L'Hopital برای افشای عدم قطعیت های فرم 0/0 یا ∞/∞. مثال ها.
حد نسبت دو بی نهایت کوچک یا دو کمیت بی نهایت بزرگ برابر است با حد نسبت مشتقات آنها.

1)

17. عملکرد افزایش و کاهش. افراطی از عملکرد. الگوریتم مطالعه یک تابع برای یکنواختی و اکسترمم. مثال ها.

تابع افزایشدر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از این بازه که با رابطه به هم متصل شوند، نابرابری درست است. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتری تابع مطابقت دارد و نمودار آن از پایین به بالا می رود. تابع نمایش در بازه زمانی افزایش می یابد

به همین ترتیب، تابع کاهش می دهددر یک بازه اگر برای هر دو نقطه از یک بازه معین به طوری که، نابرابری درست باشد. یعنی مقدار بزرگتر آرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است و نمودار آن از بالا به پایین می رود. مال ما در فواصل زمانی کاهش می یابد .

افراطنقطه ای را حداکثر نقطه تابع y=f(x) می نامند که نابرابری برای تمام x در مجاورت آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداکثر نامیده می شود حداکثر تابعو دلالت کنند .
نقطه ای را حداقل نقطه تابع y=f(x) می نامند اگر نابرابری برای تمام x های مجاور آن صادق باشد. مقدار تابع در نقطه حداقل نامیده می شود حداقل عملکردو دلالت کنند .
همسایگی یک نقطه به عنوان فاصله درک می شود ، جایی که یک عدد مثبت به اندازه کافی کوچک است.
حداقل و حداکثر نقاط را نقاط اکسترموم و مقادیر تابع مربوط به نقاط منتهی به نام نامیده می شوند. حداکثر عملکرد.

برای بررسی عملکرد به یکنواختی، از طرح زیر استفاده کنید:
- دامنه تعریف تابع را پیدا کنید.
- مشتق تابع و حوزه تعریف مشتق را بیابید.
- صفرهای مشتق را بیابید، i.e. مقدار آرگومانی که در آن مشتق برابر با صفر است.
- در خط عددی قسمت مشترک دامنه تعریف تابع و دامنه تعریف مشتق آن و روی آن - صفرهای مشتق را علامت بزنید.
- علائم مشتق را در هر یک از فواصل حاصل مشخص کنید.
- با استفاده از علائم مشتق، تعیین کنید که در چه بازه هایی تابع افزایش و در کدام یک کاهش می یابد.
- فواصل مناسب را که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند بنویسید.

الگوریتم مطالعه تابع پیوسته y = f(x) برای یکنواختی و اکسترم:
1) مشتق f ′(x) را بیابید.
2) نقاط ثابت (f ′(x) = 0) و بحرانی (f ′(x) وجود ندارد) تابع y = f(x) را بیابید.
3) نقاط ثابت و بحرانی را روی خط اعداد علامت بزنید و نشانه های مشتق را در فواصل حاصل مشخص کنید.
4) در مورد یکنواختی تابع و نقاط انتهایی آن نتیجه گیری کنید.

18. تحدب تابع. نقاط عطف. الگوریتم مطالعه تابع برای تحدب (تعریف) مثالها.

محدب به پاییندر بازه X اگر نمودار آن در هر نقطه از بازه X کمتر از مماس بر آن نباشد.

تابعی که باید متمایز شود نامیده می شود محدبدر بازه X اگر نمودار آن در هیچ نقطه ای از بازه X بالاتر از مماس بر آن نباشد.

فرمول نقطه نامیده می شود نقطه عطف نمودارتابع y=f(x)، اگر در یک نقطه مماس بر نمودار تابع وجود داشته باشد (می تواند موازی با محور Oy باشد) و چنین همسایگی از نقطه فرمول وجود داشته باشد که در داخل آن به چپ و راست از نقطه M نمودار تابع جهات تحدب متفاوتی دارد.

یافتن فواصل برای تحدب:

اگر تابع y=f(x) یک مشتق دوم محدود در بازه X داشته باشد و اگر نابرابری برقرار باشد ()، سپس نمودار تابع دارای تحدب به سمت پایین (بالا) در X است.
این قضیه به شما این امکان را می دهد که فواصل تقعر و تحدب یک تابع را پیدا کنید، فقط باید نابرابری ها و به ترتیب در حوزه تعریف تابع اصلی را حل کنید.

مثال: فواصلی را که نمودار تابع بر روی آنها قرار می گیرد پیدا کنید. دارای یک تحدب به سمت بالا و یک تحدب به سمت پایین است. دارای یک تحدب به سمت بالا و یک تحدب به سمت پایین است.
راه حل:دامنه تعریف این تابع کل مجموعه اعداد حقیقی است.
بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم.

دامنه تعریف مشتق دوم با دامنه تعریف تابع اصلی منطبق است، بنابراین برای پی بردن به فواصل تقعر و تحدب کافی است و بر این اساس حل شود. بنابراین، تابع در فرمول بازه به سمت پایین محدب و در فرمول فاصله به سمت بالا محدب است.

19) مجانب تابع. مثال ها.

خط مستقیم نامیده می شود مجانب عمودیاگر حداقل یکی از مقادیر حدی برابر یا برابر باشد نمودار تابع.

اظهار نظر.یک خط مستقیم نمی تواند مجانبی عمودی باشد اگر تابع در نقطه پیوسته باشد. بنابراین مجانب عمودی را باید در نقاط ناپیوستگی تابع جستجو کرد.

خط مستقیم نامیده می شود مجانب افقینمودار تابع در صورتی که حداقل یکی از مقادیر حدی یا برابر باشد.

اظهار نظر.نمودار یک تابع می تواند فقط یک مجانب افقی راست یا فقط یک مجانب چپ داشته باشد.

خط مستقیم نامیده می شود مجانب مایلنمودار تابع if

مثال:

ورزش.مجانبی از نمودار یک تابع را پیدا کنید

راه حل.محدوده عملکرد:

الف) مجانب عمودی: خط مستقیم - مجانب عمودی، از آنجا که

ب) مجانب افقی: حد تابع را در بی نهایت پیدا می کنیم:

یعنی هیچ مجانبی افقی وجود ندارد.

ج) مجانب مایل:

بنابراین مجانب مایل عبارت است از: .

پاسخ.مجانب عمودی مستقیم است.

مجانب مایل مستقیم است.

20) طرح کلی برای مطالعه تابع و رسم نمودار. مثال.

آ.
ODZ و نقاط ناپیوستگی تابع را پیدا کنید.

ب نقاط تلاقی نمودار تابع با محورهای مختصات را پیدا کنید.

2. مطالعه تابع را با استفاده از مشتق اول انجام دهید، یعنی نقاط انتهایی تابع و فواصل افزایش و کاهش را بیابید.

3. تابع را با استفاده از مشتق مرتبه دوم بررسی کنید، یعنی نقاط عطف نمودار تابع و فواصل تحدب و تقعر آن را بیابید.

4. مجانب نمودار تابع را بیابید: الف) عمودی، ب) مایل.

5. بر اساس تحقیق، نموداری از تابع بسازید.

توجه داشته باشید که قبل از ترسیم نمودار، تعیین زوج یا فرد بودن یک تابع مفید است.

به یاد بیاورید که یک تابع فراخوانی می شود حتی اگر تغییر علامت آرگومان، مقدار تابع را تغییر ندهد: f(-x) = f(x)و یک تابع اگر فرد نامیده می شود f(-x) = -f(x).

در این مورد، کافی است تابع را مطالعه کرده و نمودار آن را برای مقادیر مثبت آرگومان متعلق به ODZ بسازیم. برای مقادیر منفی آرگومان، نمودار بر این اساس تکمیل می شود که برای یک تابع زوج متقارن با محور است. اوه، و برای فرد نسبت به مبدا.

مثال ها.توابع را کاوش کنید و نمودارهای آنها را بسازید.

دامنه تابع D(y)= (–∞؛ +∞).هیچ نقطه شکستی وجود ندارد.

تقاطع با محور گاو نر: ایکس = 0,y= 0.

تابع فرد است، بنابراین، می توان آن را فقط بر روی بازه مطالعه کرد و آرگومان آن در واحد [x] است، سپس مشتق (سرعت) در واحد اندازه گیری می شود.

مشکل 6

ایکس(تی) = 6تی 2 − 48تی+ 17، کجا ایکس تی تی= 9 ثانیه

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = (6تی 2 − 48تی + 17)" = 12تی − 48.
بنابراین ما وابستگی سرعت به زمان را به دست آوردیم. برای یافتن سرعت در یک زمان معین، باید مقدار آن را با فرمول حاصل جایگزین کنید:
ایکس"(تی) = 12تی − 48.
ایکس"(9) = 12 9 − 48 = 60.

پاسخ: 60

اظهار نظر: مطمئن شویم که در ابعاد کمیت ها اشتباه نکرده ایم. در اینجا واحد فاصله (تابع) [x] = متر، واحد زمان (آدرس تابع) [t] = ثانیه، بنابراین واحد مشتق = [m/s]، یعنی. مشتق سرعت را دقیقاً در واحدهایی که در سؤال مسئله ذکر شده است می دهد.

مسئله 7

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند ایکس(تی) = −تی 4 + 6تی 3 + 5تی+ 23، کجا ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن را (بر حسب متر بر ثانیه) در لحظه زمان پیدا کنید تی= 3 ثانیه

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = (−تی 4 + 6تی 3 + 5تی + 23)" = −4تی 3 + 18تی 2 + 5.
نقطه زمانی داده شده را با فرمول به دست آمده جایگزین کنید
ایکس"(3) = -4 3 3 + 18 3 2 + 5 = -108 + 162 + 5 = 59.

پاسخ: 59

مشکل 8

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند ایکس(تی) = تی 2 − 13تی+ 23، کجا ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه مقطع زمانی (بر حسب ثانیه) برابر با 3 متر بر ثانیه بوده است؟

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = (تی 2 − 13تی + 23)" = 2تی − 13.
سرعت داده شده توسط فرمول حاصل را با مقدار 3 m/s برابر می کنیم.
2تی − 13 = 3.
پس از حل این معادله، تعیین می کنیم که در چه زمانی برابری درست است.
2تی − 13 = 3.
2تی = 3 + 13.
تی = 16/2 = 8.

پاسخ: 8

مسئله 9

یک نقطه مادی طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند ایکس(تی) = (1/3)تی 3 − 3تی 2 − 5تی+ 3، کجا ایکس- فاصله از نقطه مرجع بر حسب متر، تی- زمان بر حسب ثانیه از شروع حرکت اندازه گیری می شود. سرعت آن در چه نقطه ای از زمان (بر حسب ثانیه) برابر با 2 متر بر ثانیه بوده است؟

یافتن مشتق
ایکس"(تی) = ((1/3)تی 3 − 3تی 2 − 5تی + 3)" = تی 2 − 6تی − 5.
ما همچنین یک معادله ایجاد می کنیم:
تی 2 − 6تی − 5 = 2;
تی 2 − 6تی − 7 = 0.
این یک معادله درجه دوم است که می توان آن را با استفاده از ممیز یا قضیه ویتا حل کرد. در اینجا، به نظر من، روش دوم ساده تر است:
تی 1 + تی 2 = 6; تی 1 · تی 2 = −7.
حدس زدن آن آسان است تی 1 = −1; تی 2 = 7.
ما فقط ریشه مثبت را در پاسخ قرار می دهیم، زیرا زمان نمی تواند منفی باشد