خانه » طراحی داخلی » مشتق 4x برابر است. مشتق تابع توان (قدرت ها و ریشه ها)

مشتق 4x برابر است. مشتق تابع توان (قدرت ها و ریشه ها)

اگر از تعریف پیروی کنید، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع Δ است. yبه آرگومان افزایش Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید از این فرمول برای محاسبه مشتق تابع استفاده کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه چیز را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی به خواب خواهید رفت. بنابراین، راه های ساده تر و موثرتری وجود دارد.

برای شروع، ما توجه می کنیم که از کل توابع مختلف می توانیم به اصطلاح توابع ابتدایی را تشخیص دهیم. اینها عبارات نسبتاً ساده ای هستند که مشتقات آنها مدتهاست محاسبه و جدول بندی شده است. یادآوری چنین توابعی بسیار آسان است - همراه با مشتقات آنها.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه آنهایی هستند که در زیر لیست شده اند. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این ، به خاطر سپردن آنها اصلاً دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	تابع	مشتق
ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، صفر!)
قدرت با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	-گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/گناه 2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ثبت ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ثبت آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 · ( ایکس 3)' = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد - و خیلی بیشتر. اینگونه است که توابع جدید ظاهر می شوند، دیگر نه به ویژه ابتدایی، بلکه طبق قوانین خاصی متمایز می شوند. این قوانین در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

مشتق جمع و تفاضل

اجازه دهید توابع داده شوند f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما معلوم است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر است با مجموع (تفاوت) مشتقات. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از "تفریق" در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + گناه x; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

تابع f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2 + گناه ایکس)’ = (ایکس 2)’ + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cos x;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cos x;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق یک مجموع برابر با مجموع مشتقات باشد، پس مشتق حاصلضرب ضربه">برابر حاصلضرب مشتقات است. اما شما را خراب کنید! مشتق یک محصول با استفاده از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cos x; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

تابع f(ایکس) حاصل دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)’ cos ایکس + ایکس 3 (Cos ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (-گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

تابع g(ایکس) ضریب اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلی تغییر نمی کند. بدیهی است که اولین عامل تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)» · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس· (2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله آخر مشتق فاکتور می شود. به طور رسمی، این کار نیازی به انجام ندارد، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای بررسی تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی بهتر است یک عبارت فاکتوریزه شود.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه ای که به آن علاقه داریم، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، درسته؟ منهای از کجا آمد؟ چرا g 2؟ و مثل این! این یکی از پیچیده ترین فرمول ها است - بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین بهتر است با مثال های مشخص آن را مطالعه کنید.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

صورت و مخرج هر کسر حاوی توابع ابتدایی است، بنابراین تنها چیزی که نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوما یک فرمول به طول نیم کیلومتر نیست. برای مثال کافی است تابع را بگیرید f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. نتیجه خواهد داد f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) - این یک تابع پیچیده است. یک مشتق نیز دارد، اما یافتن آن با استفاده از قوانینی که در بالا توضیح داده شد ممکن نخواهد بود.

باید چکار کنم؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول برای مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی'، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را با استفاده از مثال‌های خاص و با شرح دقیق هر مرحله توضیح دهید.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما مشتق یک تابع مختلط را با استفاده از فرمول جستجو می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که باید تعویض شود ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی= cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)’ = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از عبارت آخر مشاهده می شود، کل مسئله به محاسبه مجموع مشتق تقلیل یافته است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 · ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

اغلب در درس‌هایم، به‌جای اصطلاح «مشتق»، از کلمه «اول» استفاده می‌کنم. به عنوان مثال، ضربه از مجموع برابر است با مجموع ضربه. این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر همین سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

تعداد کمی از مردم آن را در نقش می دانند nممکن است یک عدد کسری باشد. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5. اگر چیزی فانتزی زیر ریشه باشد چه؟ باز هم، نتیجه یک عملکرد پیچیده خواهد بود - آنها دوست دارند چنین ساختارهایی را در آزمون ها و امتحانات ارائه دهند.

وظیفه. مشتق تابع را پیدا کنید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

حالا ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5) · تی= 0.5 · تی−0.5 · تی ’.

بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) = 0.5 (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت به ریشه ها بازگردیم:

سطح اول

مشتق از یک تابع. راهنمای نهایی (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور یک سطح معین از ارتفاع صفر است که ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می کند (حرکت در امتداد محور ارتین). حالا بیایید به این فکر کنیم که چگونه "شیب" جاده خود را تعیین کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ بسیار ساده است: هنگام حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، نسبت به سطح دریا (در امتداد محور y) تعداد مترهای متفاوتی افزایش یا سقوط خواهیم کرد.

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً به عنوان پیشوند در ریاضیات به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حین حرکت متر به جلو، کیلومتر کاهش پیدا کند؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می‌بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

در زندگی واقعی، اندازه گیری فواصل تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق کمتر از هر عددی است که بتوانیم نام ببریم. مثلاً می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت حتی بزرگتر از آنچه اتفاق می افتد است. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: at.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بینهایت کوچک به معنای برابر با صفر نیست. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید یک عدد کاملا معمولی به دست آورید، به عنوان مثال، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضی هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانو مشخص می شود که چه مقدار تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در طول محور با فاصله تغییر کرده است افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت و زمانی که کاهش می یابد منفی است.

آیا ممکن است مشتق برابر با صفر باشد؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان باشد، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، وقتی یک تابع افزایش می‌یابد، مشتق مثبت و زمانی که کاهش می‌یابد منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده هیچ جا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین باید بین ارزش های منفی و مثبت وجود داشته باشد. این جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرود نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

در نقاط مختلف با افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این بدان معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در مورد آن بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) حالا تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با یک توان دلخواه تعمیم داد، نه حتی یک عدد صحیح:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

(به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

. باور کنید یا نه، این یک تابع قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
این بدان معنی است که جذر ما فقط یک توان با یک توان است:
.
با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:
اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)
. حال توان:
و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
;
.
اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
.
. ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

شما مدرک را در سال اول موسسه یاد خواهید گرفت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی پشت سر بگذارید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هر چه به مقدار نزدیک‌تر باشد، تابع به این «هدف» نزدیک‌تر است.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون دولتی واحد نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم:

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

ابتدا بیایید مشتق در را پیدا کنیم نمای کلیو سپس مقدار آن را جایگزین کنید:
;
.
در اینجا ما چیزی شبیه به یک تابع قدرت داریم. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
نمای عادی:
.
عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
.
.
. اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

توان و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

پایه این تابع - یک ثابت - یک کسر اعشاری نامتناهی است، یعنی یک عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، اجازه دهید خیلی دور نرویم، بیایید بلافاصله تابع معکوس را در نظر بگیریم. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

مشتق تابع را بیابید.
مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: لگاریتم نمایی و طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از بررسی قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید آن را ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

در یک نقطه؛
در یک نقطه؛
در یک نقطه؛
در نقطه

راه حل ها:

(مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

مشتقات توابع را بیابید و
مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا یاد بگیرید که چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، یک عدد کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

این فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر یادداشت کرد. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (اگرچه اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

عملی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل اول انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .
درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی بیایید آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید ترتیب عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوسی. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ما تابع "داخلی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

اثبات و مشتق فرمول های مشتق نمایی (e به توان x) و تابع نمایی (a به توان x). نمونه هایی از محاسبه مشتقات e^2x، e^3x و e^nx. فرمول های مشتقات مرتبه های بالاتر.

مشتق یک توان برابر با خود توان است (مشتق e به توان x برابر است با e به توان x):
(1) (e x )′ = e x.

مشتق تابع نمایی با پایه a برابر است با خود تابع ضرب در لگاریتم طبیعی a:
(2) .

اشتقاق فرمول مشتق نمایی، e به توان x

نمایی تابع نمایی است که پایه آن برابر با عدد e است که حد زیر است:
.
در اینجا می تواند یک عدد طبیعی یا یک عدد واقعی باشد. سپس فرمول (1) را برای مشتق نمایی استخراج می کنیم.

استخراج فرمول مشتق نمایی

نمایی، e را به توان x در نظر بگیرید:
y = e x.
این تابع برای همه تعریف شده است. بیایید مشتق آن را با توجه به متغیر x پیدا کنیم. طبق تعریف، مشتق حد زیر است:
(3) .

بیایید این عبارت را تبدیل کنیم تا آن را به خواص و قوانین ریاضی شناخته شده تقلیل دهیم. برای انجام این کار به حقایق زیر نیاز داریم:
آ)ویژگی توان:
(4) ;
ب)ویژگی لگاریتم:
(5) ;
که در)پیوستگی لگاریتم و ویژگی حدود برای یک تابع پیوسته:
(6) .
در اینجا تابعی وجود دارد که دارای محدودیت است و این حد مثبت است.
ز)معنی دومین حد قابل توجه:
(7) .

بیایید این حقایق را تا حد خود اعمال کنیم (3). ما از اموال (4) استفاده می کنیم:
;
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم. سپس ؛ .
با توجه به تداوم نمایی،
.
بنابراین، زمانی که، . در نتیجه دریافت می کنیم:
.

بیایید یک تعویض انجام دهیم. سپس . در , . و داریم:
.

بیایید خاصیت لگاریتم (5) را اعمال کنیم:
. سپس
.

اجازه دهید ویژگی (6) را اعمال کنیم. از آنجایی که یک حد مثبت وجود دارد و لگاریتم پیوسته است، پس:
.
در اینجا از دومین حد قابل توجه (7) نیز استفاده کردیم. سپس
.

بنابراین، ما فرمول (1) را برای مشتق نمایی به دست آوردیم.

استخراج فرمول مشتق تابع نمایی

اکنون فرمول (2) را برای مشتق تابع نمایی با پایه درجه a استخراج می کنیم. ما معتقدیم که و . سپس تابع نمایی
(8)
برای همه تعریف شده است.

فرمول (8) را تبدیل می کنیم. برای این ما استفاده خواهیم کرد ویژگی های تابع نماییو لگاریتم
;
.
بنابراین، فرمول (8) را به شکل زیر تبدیل کردیم:
.

مشتقات مرتبه بالاتر e به توان x

حالا بیایید مشتقات مرتبه های بالاتر را پیدا کنیم. بیایید ابتدا به توان نگاه کنیم:
(14) .
(1) .

می بینیم که مشتق تابع (14) با خود تابع (14) برابر است. با تمایز (1)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

این نشان می دهد که مشتق مرتبه n با تابع اصلی نیز برابر است:
.

مشتقات مرتبه های بالاتر تابع نمایی

حالا یک تابع نمایی با پایه درجه a را در نظر بگیرید:
.
مشتق مرتبه اول آن را پیدا کردیم:
(15) .

با تمایز (15)، مشتقات مرتبه دوم و سوم را به دست می آوریم:
;
.

می بینیم که هر تمایز منجر به ضرب تابع اصلی در می شود. بنابراین، مشتق مرتبه n به شکل زیر است:
.

محاسبه مشتق اغلب در وظایف آزمون یکپارچه دولت یافت می شود. این صفحه شامل فهرستی از فرمول‌ها برای یافتن مشتقات است.

قوانین تمایز

(k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
(f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
مشتق تابع مختلط اگر y=F(u) و u=u(x)، تابع y=f(x)=F(u(x)) تابع مختلط x نامیده می شود. برابر y′(x)=Fu′⋅ ux′.
مشتق تابع ضمنی تابع y=f(x) یک تابع ضمنی نامیده می شود که با رابطه F(x,y)=0 تعریف می شود اگر F(x,f(x))≡0.
مشتق تابع معکوس. اگر g(f(x))=x، تابع g(x) تابع معکوس تابع y=f(x) نامیده می شود.
مشتق یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری. اجازه دهید x و y به عنوان توابع متغیر t مشخص شوند: x=x(t)، y=y(t). آنها می گویند که y=y(x) یک تابع تعریف شده پارامتری در بازه x∈ (a;b) است، اگر در این بازه معادله x=x(t) را بتوان به صورت t=t(x) و تابع را بیان کرد. y=y(t(x))=y(x).
مشتق تابع توان-نمایی. با گرفتن لگاریتم به پایه لگاریتم طبیعی پیدا می شود.

ما به شما توصیه می کنیم پیوند را ذخیره کنید، زیرا ممکن است بارها به این جدول نیاز باشد.
تاریخ: 1393/11/20

مشتق چیست؟

جدول مشتقات.

مشتق یکی از مفاهیم اصلی ریاضیات عالی است. در این درس به معرفی این مفهوم می پردازیم. بیایید بدون فرمول ها و برهان های دقیق ریاضی با یکدیگر آشنا شویم.

این آشنایی به شما این امکان را می دهد که:

درک ماهیت کارهای ساده با مشتقات؛

این ساده ترین کارها را با موفقیت حل کنید.

برای درس های جدی تر در مورد مشتقات آماده شوید.

اول - یک سورپرایز دلپذیر.)

تعریف دقیق مشتق مبتنی بر نظریه حدود است و چیز کاملاً پیچیده است. این ناراحت کننده است. اما کاربرد عملی مشتقات، قاعدتاً به چنین دانش گسترده و عمیقی نیاز ندارد!

برای انجام موفقیت آمیز اکثر وظایف در مدرسه و دانشگاه، کافی است بدانید فقط چند اصطلاح- برای درک کار، و فقط چند قانون- برای حل آن همین. این باعث خوشحالی من می شود.

بیایید شروع به آشنایی کنیم؟)

شرایط و تعاریف.

در ریاضیات ابتدایی عملیات ریاضی مختلفی وجود دارد. جمع، تفریق، ضرب، توان، لگاریتم و غیره. اگر یک عملیات دیگر به این عملیات اضافه کنیم، ریاضیات ابتدایی بالاتر می شود. این عملیات جدید نام دارد تفکیک.تعریف و معنای این عملیات در درس های جداگانه مورد بحث قرار خواهد گرفت.

درک این نکته مهم است که تمایز صرفاً یک عملیات ریاضی روی یک تابع است. ما هر تابعی را می گیریم و طبق قوانین خاصی آن را تبدیل می کنیم. نتیجه یک تابع جدید خواهد بود. این تابع جدید نام دارد: مشتق.

تفکیک- عمل بر روی یک تابع.

مشتق- نتیجه این عمل

درست مثل مثلاً مجموع- نتیجه اضافه یا خصوصی- نتیجه تقسیم

با دانستن اصطلاحات، حداقل می توانید وظایف را درک کنید.) فرمول بندی ها به شرح زیر است: مشتق یک تابع را پیدا کنید. مشتق را بگیرید متمایز کردن تابع؛ مشتق را محاسبه کنیدو غیره این همه است یکسان.البته کارهای پیچیده تری نیز وجود دارد که یافتن مشتق (تمایز) تنها یکی از مراحل حل مسئله خواهد بود.

مشتق با یک خط تیره در سمت راست بالای تابع نشان داده می شود. مثل این: y"یا f"(x)یا S"(t)و غیره

خواندن igrek stroke، ef stroke از x، es stroke از te،خوب فهمیدی...)

عدد اول همچنین می تواند مشتق یک تابع خاص را نشان دهد، به عنوان مثال: (2x+3)", (ایکس 3 )" , (سینکس)"و غیره. اغلب مشتقات با استفاده از دیفرانسیل نشان داده می شوند، اما ما در این درس چنین نشانه گذاری را در نظر نخواهیم گرفت.

بیایید فرض کنیم که یاد گرفته ایم وظایف را درک کنیم. تنها چیزی که باقی مانده این است که یاد بگیرید چگونه آنها را حل کنید.) اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم: پیدا کردن مشتق تبدیل یک تابع طبق قوانین خاصبا کمال تعجب، تعداد بسیار کمی از این قوانین وجود دارد.

برای یافتن مشتق یک تابع، فقط باید سه چیز را بدانید. سه ستونی که همه تمایزها بر آن استوار است. در اینجا آنها این سه ستون هستند:

1. جدول مشتقات (فرمول های تمایز).

3. مشتق تابع مختلط.

بیایید به ترتیب شروع کنیم. در این درس به جدول مشتقات نگاه می کنیم.

جدول مشتقات.

تعداد بی نهایت توابع در جهان وجود دارد. در میان این مجموعه توابعی وجود دارد که برای استفاده عملی از اهمیت بیشتری برخوردار است. این کارکردها در همه قوانین طبیعت یافت می شود. از این توابع، مانند آجرها، می توانید بقیه را بسازید. این دسته از توابع نامیده می شود توابع ابتداییاین توابع هستند که در مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرند - خطی، درجه دوم، هذلولی و غیره.

تمایز توابع "از ابتدا"، به عنوان مثال. بر اساس تعریف مشتق و تئوری حدود، این یک چیز نسبتاً پر زحمت است. و ریاضیدانان نیز مردم هستند، بله، بله!) بنابراین آنها زندگی خود (و ما) را ساده کردند. آنها مشتقات توابع ابتدایی را قبل از ما محاسبه کردند. نتیجه جدولی از مشتقات است که همه چیز آماده است.)

در اینجا، این صفحه برای محبوب ترین توابع است. در سمت چپ یک تابع ابتدایی، در سمت راست مشتق آن است.

	تابع y	مشتق تابع y y"
1	C (مقدار ثابت)	C" = 0
2	ایکس	x" = 1
3	x n (n - هر عددی)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x


4	گناه x	(سین x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - گناه x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	آایکس
4	هایکس
5	ورود به سیستم آایکس
5	ln x ( a = e)

توصیه می کنم به گروه سوم توابع در این جدول مشتقات توجه کنید. مشتق تابع توان یکی از رایج ترین فرمول هاست، اگر نه رایج ترین! آیا راهنمایی را دریافت می کنید؟) بله، توصیه می شود جدول مشتقات را از روی قلب بدانید. به هر حال، این کار آنقدرها هم که به نظر می رسد دشوار نیست. سعی کنید مثال های بیشتری را حل کنید، خود جدول به خاطر سپرده می شود!)

پیدا کردن مقدار جدول مشتق، همانطور که متوجه شدید، دشوارترین کار نیست. بنابراین، اغلب در چنین وظایفی تراشه های اضافی وجود دارد. یا در عبارت تکلیف، یا در تابع اصلی، که به نظر نمی رسد در جدول باشد...

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

1. مشتق تابع y = x را بیابید 3

چنین عملکردی در جدول وجود ندارد. اما یک مشتق از تابع توان به صورت کلی وجود دارد (گروه سوم). در مورد ما n=3. بنابراین به جای n سه را جایگزین می کنیم و نتیجه را با دقت می نویسیم:

(ایکس 3) " = 3 x 3-1 = 3 برابر 2

خودشه.

پاسخ: y" = 3x 2

2. مقدار مشتق تابع y = sinx را در نقطه x = 0 بیابید.

این وظیفه به این معنی است که ابتدا باید مشتق سینوس را پیدا کنید و سپس مقدار را جایگزین کنید x = 0به همین مشتق. دقیقا به همین ترتیب!در غیر این صورت، این اتفاق می افتد که آنها بلافاصله صفر را جایگزین تابع اصلی می کنند... از ما خواسته می شود که نه مقدار تابع اصلی، بلکه مقدار را پیدا کنیم. مشتق آناجازه دهید به شما یادآوری کنم که مشتق یک تابع جدید است.

با استفاده از قرص، سینوس و مشتق مربوطه را پیدا می کنیم:

y" = (سین x)" = cosx

صفر را به مشتق جایگزین می کنیم:

y"(0) = cos 0 = 1

این پاسخ خواهد بود.

3. تابع را متمایز کنید:

چه، الهام می‌دهد؟) در جدول مشتقات چنین تابعی وجود ندارد.

اجازه دهید به شما یادآوری کنم که تمایز یک تابع به سادگی یافتن مشتق این تابع است. اگر مثلثات ابتدایی را فراموش کردید، جستجوی مشتق تابع ما بسیار مشکل است. جدول کمکی نمی کند ...

اما اگر ببینیم که عملکرد ما این است کسینوس دو زاویه، سپس همه چیز فوراً بهتر می شود!

بله بله! به یاد داشته باشید که تبدیل تابع اصلی قبل از تمایزکاملا قابل قبول! و اتفاقاً زندگی را بسیار آسان تر می کند. با استفاده از فرمول کسینوس دو زاویه:

آن ها عملکرد فریبنده ما چیزی بیش از این نیست y = cosx. و این یک تابع جدول است. ما بلافاصله دریافت می کنیم:

پاسخ: y" = - گناه x.

مثال برای فارغ التحصیلان و دانشجویان پیشرفته:

4. مشتق تابع را بیابید:

البته در جدول مشتقات چنین تابعی وجود ندارد. اما اگر ریاضیات ابتدایی، عملیات با توان ها را به خاطر داشته باشید ... پس ساده کردن این تابع کاملاً ممکن است. مثل این: