ویژگی های آماری پایه داده ها. ویژگی های آماری پایه داده های تجربی. VI. تقویت مطالب آموخته شده

آمار یکی از قدیمی ترین شاخه های ریاضیات کاربردی است که به طور گسترده از مبانی نظری بسیاری از تعاریف حسابی برای انجام فعالیت های عملی انسان استفاده می کند. حتی در ایالت های باستانی، نیاز به ثبت دقیق درآمد شهروندان توسط گروه ها به منظور انجام یک فرآیند مالیاتی مؤثر وجود داشت. تحقیقات آماری برای توسعه اقتصادی جامعه و نه تنها اهمیت زیادی دارد. بنابراین، در این فیلم آموزشی به تعاریف اولیه ویژگی های آماری خواهیم پرداخت.

فرض کنید باید آمار عملکرد آزمون را برای دانش آموزان پایه هفتم مطالعه کنیم. ابتدا باید مجموعه ای از اطلاعات ایجاد کنیم که بتوانیم با آن کار کنیم. اطلاعات، در این مورد، اعدادی خواهد بود که تعداد تست های تکمیل شده توسط هر دانش آموز را تعیین می کند. دو کلاس را در نظر بگیرید که هر کدام شامل 15 دانش آموز است. کل کار شامل 10 تمرین بود. نتایج به شرح زیر بود:

7A: 4، 10، 6، 4، 7، 8، 2، 10، 8، 5، 7، 9، 10، 6، 3.

7B: 7، 5، 9، 7، 8، 10، 7، 1، 7، 6، 5، 9، 8، 10، 7.

ما در یک تفسیر ریاضی دو مجموعه اعداد را دریافت کردیم که هر کدام از 15 عنصر تشکیل شده است. این آرایه اطلاعات به خودی خود می تواند کمک چندانی به ارزیابی اثربخشی تکمیل کار کند. بنابراین نیاز به تغییر آماری دارد. برای این کار مفاهیم اولیه آمار را معرفی می کنیم. سری اعداد به دست آمده از یک مطالعه را نمونه می گویند. هر عدد (تعداد تمرینات تکمیل شده) یک گزینه نمونه است. و تعداد همه اعداد (در این مورد 30 است - مجموع همه دانش آموزان هر دو کلاس) حجم نمونه است.

یکی از اصلی ترین ویژگی های آماری، میانگین حسابی است. این مقدار به عنوان ضریبی تعریف می شود که از تقسیم مجموع مقادیر نمونه بر حجم آن به دست می آید. در مورد ما، لازم است همه اعداد به دست آمده را جمع کرده و آنها را بر 15 (اگر میانگین حسابی برای هر کلاس محاسبه می کنیم) یا بر 30 (اگر میانگین حسابی کلی را محاسبه می کنیم) تقسیم کنیم. در مثال ارائه شده، مجموع تمام تعداد کارهای انجام شده برای کلاس 7A 99 خواهد بود. با تقسیم بر 15، 6.6 به دست می آید - این میانگین حسابی وظایف انجام شده برای این گروه از دانش آموزان است.

کار با مجموعه ای آشفته از اعداد خیلی راحت نیست، بنابراین اغلب یک آرایه اطلاعات به مجموعه ای مرتب از داده ها کاهش می یابد. بیایید یک سری تغییرات برای درجه 7B با استفاده از روش افزایش تدریجی ایجاد کنیم و اعداد را از کوچکترین به بزرگترین مرتب کنیم:

1, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10.

تعداد وقوع هر مقدار در یک نمونه داده را فرکانس نمونه می گویند. به عنوان مثال، فراوانی گزینه "7" در سری تغییرات فوق به راحتی مشخص می شود و برابر با 5 است. برای سهولت نمایش، سری های مرتب شده به جدولی تبدیل می شود که رابطه بین سری استاندارد مقادیر گزینه ها و دفعات وقوع (تعداد دانش آموزانی که همان تعداد کار را انجام داده اند) را نشان می دهد.

در کلاس 7A، کوچکترین گزینه نمونه گیری "2" و بزرگترین گزینه "10" است. فاصله بین 2 تا 10 را محدوده سری تغییرات می نامند. برای کلاس 7B، محدوده سری از 1 تا 10 است. بالاترین، از نظر فراوانی وقوع، حالت نمونه گیری نامیده می شود - برای 7A این عدد 7 است که 5 بار رخ می دهد.

معرفی. 2

مفهوم آمار. 2

تاریخچه آمار ریاضی. 3

ساده ترین ویژگی های آماری 5

تحقیق آماری. 8

1. میانگین حسابی 9

2. محدوده 10

4. میانه 11

5. کاربرد مشترک ویژگی های آماری 11

چشم انداز و نتیجه گیری یازده

کتابشناسی - فهرست کتب. 12
معرفی.

در ماه اکتبر، در طول استراحت قبل از کلاس، معلم ریاضیات ما ماریانا رودلفوفونا کار مستقل کلاس هفتم را بررسی کرد. وقتی دیدم درباره چه چیزی می‌نویسند، کلمه‌ای متوجه نشدم، اما از ماریانا رودلفوفونا پرسیدم معنی کلماتی که نمی‌دانستم چیست - محدوده، حالت، میانه، متوسط. وقتی جواب گرفتم چیزی نفهمیدم. در پایان سه ماهه دوم، ماریانا رودلفوفونا به کسی از کلاس ما پیشنهاد داد که در مورد این موضوع مقاله ای بنویسد. این کار را بسیار جالب دیدم و قبول کردم.

در حین کار موارد زیر در نظر گرفته شد

آمار ریاضی چیست؟

اهمیت آمار برای افراد عادی چیست؟

دانش کسب شده در کجا کاربرد دارد؟

چرا یک نفر نمی تواند بدون آمار ریاضی کار کند؟

مفهوم آمار.

آمار علمی است که به جمع آوری، پردازش و تجزیه و تحلیل داده های کمی درباره پدیده های مختلف در طبیعت و جامعه می پردازد.

عباراتی مانند آمار تصادفات، آمار جمعیت، آمار بیماری ها، آمار طلاق و ... اغلب در رسانه ها یافت می شود.

یکی از وظایف اصلی آمار، پردازش صحیح اطلاعات است. البته آمار وظایف بسیار دیگری نیز دارد: به دست آوردن و ذخیره اطلاعات، توسعه پیش بینی های مختلف، ارزیابی قابلیت اطمینان آنها و غیره که هیچ یک از این اهداف بدون پردازش داده ها قابل دستیابی نیستند. بنابراین اولین کاری که باید انجام داد روش های آماری پردازش اطلاعات است. اصطلاحات زیادی در آمار برای این مورد استفاده می شود.

آمار ریاضی - شاخه ای از ریاضیات که به روش ها و قوانین پردازش و تجزیه و تحلیل داده های آماری اختصاص دارد.

تاریخچه آمار ریاضی.

آمار ریاضی به عنوان یک علم با کارهای ریاضیدان معروف آلمانی کارل فردریش گاوس (1777-1855) آغاز می شود که بر اساس نظریه احتمال، روش حداقل مربعات را که در سال 1795 توسط او ایجاد شده بود و برای پردازش داده های نجومی استفاده کرد، بررسی و توجیه کرد. به منظور روشن شدن مدار یک سیاره کوچک سرس). یکی از محبوب ترین توزیع های احتمال، توزیع نرمال، اغلب به نام او نامگذاری می شود و در تئوری فرآیندهای تصادفی، موضوع اصلی مطالعه فرآیندهای گاوسی است.

در پایان قرن نوزدهم. - اوایل قرن بیستم مشارکت عمده در آمار ریاضی توسط محققان انگلیسی، در درجه اول K. Pearson (1857-1936) و R. A. Fisher (1890-1962) انجام شد. به طور خاص، پیرسون آزمون کای اسکوئر را برای آزمایش فرضیه های آماری و فیشر آنالیز واریانس، نظریه طراحی تجربی و روش حداکثر درستنمایی را برای تخمین پارامترها توسعه داد.

در دهه 30 قرن بیستم، قطبی جرزی نویمان (1894-1977) و انگلیسی E. Pearson یک نظریه کلی برای آزمایش فرضیه های آماری ارائه کردند.

و ریاضیدانان شوروی آکادمیک A.N. کولموگروف (1903-1987) و عضو متناظر آکادمی علوم اتحاد جماهیر شوروی، N.V. Smirnov (1900-1966) پایه های آمار ناپارامتریک را پایه گذاری کردند.

در دهه چهل قرن بیستم. ریاضیدان رومانیایی A. Wald (1902-1950) نظریه تحلیل آماری متوالی را ساخت.

آمار ریاضی در حال حاضر به سرعت در حال توسعه است.

^ ساده ترین ویژگی های آماری.

در زندگی روزمره، بدون اینکه متوجه باشیم، از مفاهیمی مانند میانه، مد، محدوده و میانگین حسابی استفاده می کنیم. حتی وقتی به فروشگاه می رویم یا نظافت می کنیم.

^ میانگین حسابی یک سری اعداد، ضریب تقسیم مجموع این اعداد بر تعداد آنهاست. میانگین حسابی مشخصه مهم یک سری اعداد است، اما گاهی اوقات در نظر گرفتن میانگین های دیگر مفید است.

حالت، عددی در یک سری است که بیشتر در آن سری رخ می دهد. می توان گفت که این عدد «شیک ترین» این مجموعه است. شاخصی مانند حالت نه تنها برای داده های عددی استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر از گروه بزرگی از دانش آموزان بپرسید که کدام درس مدرسه را بیشتر دوست دارند، در این صورت حالت این سری از پاسخ ها موضوعی خواهد بود که بیشتر از بقیه به آن اشاره می شود.

مد شاخصی است که به طور گسترده در آمار استفاده می شود. یکی از رایج ترین کاربردهای مد، مطالعه تقاضا است. به عنوان مثال، هنگام تصمیم‌گیری در مورد بسته‌بندی‌های وزنی برای بسته‌بندی کره، چه پروازهایی برای باز کردن و غیره، ابتدا تقاضا مطالعه می‌شود و مد مشخص می‌شود - رایج‌ترین سفارش.

توجه داشته باشید که در سری های در نظر گرفته شده در مطالعات آماری واقعی، گاهی اوقات بیش از یک حالت شناسایی می شود. هنگامی که داده های زیادی در یک سری وجود دارد، تمام آن مقادیری که بسیار بیشتر از سایرین رخ می دهند جالب هستند. به آمار آنها مد نیز می گویند.

با این حال، یافتن میانگین حسابی یا حالت همیشه به فرد اجازه نمی دهد که بر اساس داده های آماری به نتایج قابل اعتمادی دست یابد. اگر یک سری داده وجود داشته باشد، علاوه بر مقادیر متوسط، باید مشخص شود که داده های مورد استفاده چقدر با یکدیگر تفاوت دارند.

یکی از معیارهای آماری تفاوت یا پراکندگی داده ها محدوده است.

محدوده تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک سری داده است.

یکی دیگر از ویژگی های مهم آماری یک سری داده، میانه آن است. به طور معمول، میانه زمانی جستجو می شود که اعداد در یک سری به نوعی نشانگر هستند و شما باید مثلاً فردی را پیدا کنید که نتیجه متوسط ​​نشان داده است، شرکتی با میانگین سود سالانه، شرکت هواپیمایی که قیمت بلیط متوسط ​​را ارائه می دهد و غیره. .

میانه یک سری متشکل از تعداد فرد اعداد، عددی در این سری است که در صورت مرتب شدن این سری در وسط قرار می گیرد. میانه یک سری متشکل از تعداد زوج اعداد، میانگین حسابی دو عدد وسط این سری است.

مثلا:

1. در مدارس پرم، EPT برای کلاس 4 هر سال تکمیل می شود و در سال 2010 میانگین نمرات زیر بدست آمد:

ریاضیات

زبان روسی

ورزشگاه شماره 4

مادرم در کارخانه باروت پرم به عنوان حسابدار کار می کند. حقوق کارکنان این شرکت از 12000 تا 18000 است. تفاوت 6000 است. به این دهانه می گویند

چند سال پیش، من و پدر و مادرم تعطیلات خود را در جنوب در آناپا گذراندیم. متوجه شدم که شماره 23 اغلب در پلاک خودروها یافت می شود - شماره منطقه. به آن می گویند مد.

در طول هفته زمان زیر را صرف تکالیف کردم: دوشنبه 60 دقیقه، سه شنبه 103 دقیقه، چهارشنبه 58 دقیقه، پنجشنبه 76 دقیقه و جمعه 89 دقیقه. با نوشتن این اعداد از کوچکترین به بزرگترین، عدد 76 در وسط قرار دارد - به این میانه می گویند.

تحقیق آماری.

ایلف و پتروف در رمان معروف خود "دوازده صندلی" اظهار داشتند: "آمار همه چیز را می داند." .. ماشین ها، دوچرخه ها، بناهای تاریخی، فانوس های دریایی و چرخ خیاطی... چقدر زندگی پر از شور و اشتیاق و افکار از جداول آماری به ما می نگرد!..» چرا به این جداول نیاز است، چگونه آنها را جمع آوری و پردازش کنیم؟ بر اساس آنها چه نتایجی می توان گرفت - آمار به این سؤالات پاسخ می دهد (از ایتالیایی stato - state، لاتین status - state).

^ 1. میانگین حسابی
من میانگین هزینه های انرژی خانواده ما را در سال 2010 محاسبه کردم:

مصرف، کیلووات بر ساعت

(189 + 155*2 + 106*2 + 102 + 112*2 + 138 + 160 + 156 + 149): 12 = 136 - میانگین حسابی

^ چه زمانی میانگین حسابی مورد نیاز است و مورد نیاز نیست؟

منطقی است که میانگین هزینه یک خانواده برای غذا، متوسط ​​بازده سیب زمینی در باغ، میانگین هزینه غذا را محاسبه کنیم تا بفهمیم دفعه بعد چه باید کرد تا هزینه زیادی نداشته باشد، میانگین امتیاز برای سه ماهه - آنها برای سه ماهه بر اساس آن رتبه بندی می کنند.

محاسبه میانگین حقوق مادرم و آبراموویچ، میانگین دمای یک فرد سالم و بیمار، متوسط ​​سایز کفش من و برادرم فایده ای ندارد.
2. مقیاس
قد دختران کلاس ما بسیار متفاوت است:

151 سانتی متر، 160 سانتی متر، 163 سانتی متر، 162 سانتی متر، 145 سانتی متر، 130 سانتی متر، 131 سانتی متر، 161 سانتی متر

دهانه 163 - 130 = 33 سانتی متر است. دهانه تفاوت ارتفاع را تعیین می کند.

^ چه زمانی دامنه مورد نیاز است و مورد نیاز نیست؟

محدوده یک سری زمانی پیدا می شود که فرد بخواهد تعیین کند که میزان انتشار داده در یک سری چقدر است. به عنوان مثال، در طول روز دمای هوا در شهر در هر ساعت ذکر شده است. برای سری داده‌های به‌دست‌آمده، نه تنها محاسبه میانگین حسابی، که نشان می‌دهد میانگین دمای روزانه چقدر است، مفید است، بلکه برای یافتن محدوده سری که نوسان دمای هوا در این روزها را مشخص می‌کند، مفید است. مثلاً برای درجه حرارت روی عطارد، محدوده 350 + 150 = 500 درجه سانتیگراد است. البته یک فرد نمی تواند چنین اختلاف دمایی را تحمل کند.

3. مد
نمرات ماه دسامبر را در ریاضیات نوشتم:

4,5,5,4,4,4,4,5,5,4,5,5,4,5,5,5,5,5,5. معلوم شد که من دریافت کردم:

"5" - 7، "4" - 5، "3" - 0، "2" - 0

حالت 5 است.

اما بیش از یک مد وجود دارد، به عنوان مثال، در تاریخ طبیعی در ماه اکتبر من نمرات زیر را داشتم: 4،4،5،4،4،3،5،5،5. در اینجا دو حالت وجود دارد - 4 و 5

چه زمانی مد نیاز است؟

مد هنگام تعیین محبوب ترین اندازه لباس، کفش، اندازه یک بطری آب میوه، یک بسته چیپس، یک سبک محبوب لباس برای تولید کنندگان مهم است.

4. میانه
هنگام تجزیه و تحلیل نتایج نشان داده شده توسط شرکت کنندگان در مسابقه 100 متر دانش آموزان کلاس، آگاهی از میانه به معلم تربیت بدنی اجازه می دهد تا گروهی از کودکان را که نتایج بالاتر از میانگین نشان داده اند را برای شرکت در مسابقات انتخاب کند.

^ چه زمانی یک میانه مورد نیاز است و چه زمانی لازم نیست؟

میانه اغلب با سایر ویژگی های آماری استفاده می شود، اما به تنهایی می تواند برای انتخاب نتایج بالاتر یا پایین تر از میانه استفاده شود.

^ 5. کاربرد مشترک ویژگی های آماری
در کلاس ما، برای آخرین آزمون در ریاضیات با موضوع "اندازه گیری زوایا و انواع آنها" نمرات زیر دریافت شد: "5" - 10، "4" - 5، "3" - 7، "2" - 1 .

میانگین حسابی - 4.3، محدوده - 3، حالت - 5، میانه - 4.

^ دیدگاه ها و نتیجه گیری

ویژگی های آماری به شما امکان می دهد سری های اعداد را مطالعه کنید. آنها فقط با هم می توانند ارزیابی عینی از وضعیت ارائه دهند

سازماندهی درست زندگی بدون دانستن قوانین ریاضی غیرممکن است. به شما امکان می دهد مطالعه کنید، تشخیص دهید، تصحیح کنید.

آمار، شالوده حقایق دقیق و غیرقابل انکار را ایجاد می کند که برای اهداف نظری و عملی ضروری است.

ریاضیدانان آمار را اختراع کردند زیرا جامعه به آن نیاز داشت

فکر می کنم دانشی که در حین کار بر روی این موضوع به دست می آید، در تحصیلات آینده و زندگی برای من مفید باشد.

با مطالعه ادبیات، متوجه شدم که ویژگی هایی مانند انحراف معیار، پراکندگی و موارد دیگر نیز وجود دارد.

با این حال، دانش من برای درک آنها کافی نیست. در آینده بیشتر در مورد آنها.

^ مراجع.
کتاب درسی برای دانش آموزان پایه های 7-9 موسسات آموزش عمومی "جبر. عناصر آمار و نظریه احتمال. Yu.N. Makarychev، N.G Mindyuk، ویرایش شده توسط S.A. Telyakovsky. مسکو. تحصیلات. 2005

مطالبی از ضمیمه روزنامه «اول شهریور. ریاضیات".

دایره المعارف دیکشنری ریاضیات جوان

http://statist.my1.ru/

http://art.ioso.ru/seminar/2009/projects11/rezim/stat1.html

کلاس: 7

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

• معرفی ویژگی های آماری پایه (میانگین حسابی، محدوده، حالت سری).
• یاد بگیرید که میانگین حسابی، محدوده، حالت یک سری را پیدا کنید.
• توسعه توجه، تفکر منطقی و مشاهده دانش آموزان را ترویج می کند.
• به شکل گیری نگرش آگاهانه اقتصادی نسبت به محیط زیست کمک می کند.

پشتیبانی مادی:
پروژکتور چند رسانه ای، کارت برای کار مستقل.
در طول کلاس ها
1. تکالیف:مورد 9، شماره 168، 172، 178 (کتاب درسی "جبر. کلاس هفتم" ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky، مسکو "روشنگری"، 2009)

2. موضوع درس را گزارش کنید.

2.1. حل جدول کلمات متقاطع:

1. نتیجه عمل جمع (جمع).
2. برابری که برای هر مقدار از متغیر صادق است (هویت).
3. مختصات نقطه در امتداد محور Ox (اوکیسا).
4. بیانیه ای که نیاز به اثبات دارد (قضیه).
5. عنصر ناشناخته یافت می شود (جستجو شده).
6. جزء اقدام اضافه (مدت، اصطلاح).
7. ساده ترین شکل هندسی (نقطه).
8. کامپیوتر ابزاری برای ذخیره، پردازش و انتقال... (اطلاعات).
9. یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل که تمام ابعاد آن برابر است (مکعب).
10. رویه تعیین شده (الگوریتم).

2.2. – کلمه تشکیل شده از حروف اول کلمات حل شده را بخوانید. (آمار)

- به نظر شما آمار چه کار می کند؟
آمار علمی است که به جمع آوری، پردازش و تجزیه و تحلیل داده های کمی در مورد پدیده های مختلف در طبیعت و جامعه می پردازد. (اسلاید 2)
آمار اقتصادیتغییرات قیمت ها، عرضه و تقاضای کالاها را بررسی می کند، تقاضا و کاهش تولید و مصرف را پیش بینی می کند.
آمار پزشکیاثربخشی داروها و روش‌های درمانی مختلف، احتمال بروز یک بیماری خاص را بسته به سن، جنسیت، وراثت، شرایط زندگی، عادات بد مطالعه می‌کند و شیوع بیماری‌های همه‌گیر را پیش‌بینی می‌کند.
جمعیت شناختیآمار میزان تولد، اندازه جمعیت، ترکیب آن (سن، ملی، حرفه ای) را مطالعه می کند.
همچنین آمارهای مالی، مالیاتی، زیستی، هواشناسی و غیره وجود دارد.
روش های خاصی برای پردازش اطلاعات وجود دارد. (اسلاید 3)
شاخه ای از ریاضیات که به روش ها و قوانین پردازش و تجزیه و تحلیل داده های آماری اختصاص دارد، آمار ریاضی نامیده می شود. (اسلاید 4)

2.3. پیام موضوع درس

– امروز با برخی از ویژگی های آماری آشنا می شویم و نحوه تعیین آنها را یاد می گیریم. (اسلاید 5).

3. مطالعه مطالب جدید.

3.1. - بیایید به داده های مربوط به تولید گندم در روسیه از سال 1995 تا 2001 نگاه کنیم. (اسلاید 6)

1995 - 30.1 میلیون تن.
1996 - 34.9 میلیون تن.
1997 - 44.3 میلیون تن.
1998 - 27 میلیون تن.
1999 - 31 میلیون تن.
2000 – 34.5 میلیون تن.
2001 – 47 میلیون تن.

– همانطور که می بینید، تولید گندم سال به سال متفاوت است. چرا فکر میکنی؟
- بله، این بستگی به شرایط آب و هوایی، سطح کاشت، کیفیت بذر و سایر شرایط دارد. بنابراین تولید 1 سال گندم تصویر کاملی از سطح تولید گندم در کشور به دست نمی دهد. برای این منظور بهتر است از مقدار میانگین در طول چند سال استفاده شود. از داده های جدول می توان میانگین تولید گندم را برای 7 سال محاسبه کرد. چطور می توانم آن را انجام بدهم؟
(30,1 + 34,9 + 44,3 + 27 + 31 + 34,5 + 47) : 7 = 35,5 (اسلاید 7)
- چی پیدا کردیم؟ (میانگین)
– میانگین حسابی یکی از مشخصه های آماری یک سری اعداد است. تعریف این مفهوم را در دفترچه یادداشت خود بنویسید. (اسلاید 8)
میانگین حسابی یک سری اعداد، ضریب تقسیم مجموع این اعداد بر تعداد آنهاست.
- تولید گندم در کدام سال به میانگین نزدیکتر بوده است؟ (در سال 1996)

3.2. وظایف را کامل کنید (اسلاید 9):

1) میانگین حسابی اعداد 6، 10، 16 و 20 را محاسبه کنید. (6 + 10 + 16 + 20) : 4 = 52: 4 = 13
2) همه اعداد با هم برابرند. چرا میانگین حسابی آنها زود است؟ (به خود این شماره.)
3) آیا میانگین حسابی با هیچ یک از اعداد یک سری معین منطبق نیست؟ (آره)
4) با سه عدد بیایید که میانگین حسابی آنها با دومین عدد بزرگ منطبق است.

3.3. در یکی از کلاس های هفتم قد پسرها اندازه گیری شد. ما داده های زیر را دریافت کردیم:
155 سانتی متر، 167 سانتی متر، 159 سانتی متر، 168 سانتی متر، 161 سانتی متر، 170 سانتی متر، 162 سانتی متر، 153 سانتی متر، 165 سانتی متر. (اسلاید 10)میانگین حسابی این سری اعداد را پیدا کنید.
(155 + 167 + 159 + 168 + 161 + 170 + 162 + 153 + 165) : 9 = 1460: 9 = 162,(2) = 162
– قد بلندترین پسر این کلاس چقدر است؟ (170 سانتی متر)
- کوتاه ترین پسر؟ (153 سانتی متر)
- تفاوت قد بچه ها را پیدا کنید؟
170 - 153 = 17 (سانتی متر)
تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک سری داده، محدوده سری نامیده می شود و یکی از ویژگی های آماری نیز می باشد. (اسلاید 11)
- تعریف را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

3.4. پتیا و واسیا بحث کردند که چه کسی در پرش طول ایستاده بهتر است. برای جلوگیری از تصادفی، آنها تصمیم گرفتند که به نوبت 5 بار بپرند. (اسلاید 12)آنها نتایج پرش های خود را در جدولی ثبت کردند. (اسلاید 13):

- چه مشخصه آماری هر ردیف باید مشخص شود تا بفهمیم کدام یک از بچه ها بیشتر می پرد؟ (میانگین)
- پیدا کن

پتیا: (190 + 205 + 195 + 210 + 210) : 5 = (190 + 400 + 420) : 5 = 1010: 5 = 202 (سانتی متر)
واسیا: (185 + 200 + 215 + 190 + 190) : 5 = (600 + 380) : 5 = 980: 5 = 196 (سانتی متر)

نتیجه گیری: پتیا از واسیا بیشتر می پرد.
– با استفاده از این جدول تفاوت بین بهترین و بدترین نتایج هر پسر (محدوده سری) را پیدا کنید.
پتیا: 210 - 190 = 20 (سانتی متر)؛ واسیا: 215 - 185 = 30 (سانتی متر)
- آیا می توانیم بگوییم که پتیا پیوسته تر می پرد؟ (آره)

3.5. در یکی از کلاس های هفتم آنها تصمیم گرفتند تا بفهمند دختران این کلاس چه کفشی می پوشند. (اسلاید 14)ما به نتایج زیر رسیدیم:

35, 39, 37, 36, 38, 37, 38, 36, 37, 37, 38, 37, 37.

– چه سایز کفشی رایج تر است؟ (37)
تعداد سری هایی که بیشتر در یک سری مشخص اتفاق می افتد، حالت سری نامیده می شود. (اسلاید 15)
- این تعریف را در دفترچه یادداشت خود بنویسید.

3.6. (اسلاید 16)

1) آیا هر سری از اعداد حالت دارند؟ (نه)
2) آیا یک سری اعداد می توانند بیش از یک حالت داشته باشند؟ (آره)
3) آیا حالت یک سری اعداد می تواند با هیچ یک از این اعداد منطبق نباشد؟ (نه)

3.7. (اسلاید 17)

با توجه به یک سری اعداد: 7، 8، 9، 7، 7، 6، 7، 6، 9، 7. میانگین حسابی، حالت و محدوده این سری را بیابید.
میانگین حسابی: (7 + 8 + 9 + 7 + 7 + 6 + 7 + 6 + 9 + 7): 10 = 73: 10 = 7.3.
مد: 7.
محدوده: 9 – 6 = 3.

4. کار مستقل

انتخاب 1.

1. میانگین حسابی سری اعداد: 18، 11، 20، 19، 2، 10 را بیابید.
2. حالت سری اعداد را تعیین کنید: 12، 13، 13، 15، 19، 13، 12، 14، 12، 14، 13.
3. محدوده یک سری اعداد را محاسبه کنید: 31، 14، 25، 18، 29، 11، 16.
4. میانگین حسابی، دامنه و حالت سری اعداد: 21، 21، 21، 21، 21، 21، 21 را بیابید.
5. در طول سه ماهه، لنا نمرات زیر را در جبر دریافت کرد: سه دو، دو سه، چهار چهار و یک پنج. لنا هنگام تخصیص یک چهارم نمره کدام ویژگی آماری را ترجیح می دهد: میانگین حسابی، محدوده یا حالت سری؟

گزینه 2.

1. میانگین حسابی سری اعداد: 21، 5، 18، 19، 15، 12 را بیابید.
2. حالت سری اعداد را تعیین کنید: 18، 17، 17، 15، 11، 17، 18، 16، 18، 16، 17.
3. محدوده سری اعداد: 29، 16، 25، 12، 19، 11، 14 را محاسبه کنید.
4. میانگین حسابی، دامنه و حالت سری اعداد: 15، 15، 15، 15، 15، 15، 15 را بیابید.
5. در طول سه ماهه، لنا نمرات زیر را در جبر دریافت کرد: دو دو، سه سه، شش چهار و دو پنج. لنا هنگام تخصیص یک چهارم نمره کدام ویژگی آماری را ترجیح می دهد: میانگین حسابی، محدوده یا حالت سری؟

5. جمع بندی درس. (اسلاید 18)

1) در درس با چه ویژگی های آماری آشنا شدیم؟
2) چگونه می توان میانگین حسابی یک سری اعداد را پیدا کرد؟
3) محدوده یک سری اعداد چگونه پیدا می شود؟
4) حالت یک سری اعداد چه چیزی را نشان می دهد؟

منابع:

1. کتاب درسی «جبر. کلاس هفتم" ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky، مسکو "روشنگری"، 2009؛
2. یو. ان. تیورین، آ. ا. ماکاروف، آی. آر."تئوری احتمالات و آمار"، ICSME JSC "کتاب های درسی مسکو"، مسکو، 2004;
3. G. N. Ivanova، www.openklass.ru;
4. "آمار ریاضی"؛ kl10sch55.narod.ru؛
5. s21.my1.ru/metodi/tema uroka stat kharak 7 class.doc

اطلاعات اولیه در مورد روش‌های پردازش نتایج تجربی

آماده سازی داده های اولیه برای تجزیه و تحلیل

آزمایشگر با مشاهده و اندازه گیری ویژگی های یک شی، مواد اولیه آماری را جمع آوری می کند. وظیفه بعدی پردازش و ارائه داده های اولیه به گونه ای است که به ما امکان ارزیابی و مقایسه نتایج برای آزمایش فرضیه ها، شناسایی ویژگی ها و الگوهای اساسی فرآیند مورد مطالعه را می دهد. روش های پردازش بر اساس سفارش اولیه، سیستم سازی داده های اولیه و محاسبه ویژگی های آماری آنها است.

یک الگوریتم آماده سازی داده تعمیم یافته را می توان با عملیات زیر نشان داد:
الف) تمام داده ها در فرم مختصر مورد نیاز فرموله و ثبت شده است.
ب) داده ها گروه بندی می شوند، یعنی به گروه های همگن مطابق با ویژگی های مورد علاقه آزمایشگر توزیع می شوند. داده های هر گروه مرتب شده است - طبقه بندی، مرتب شده، مطابق با مدلی که در هنگام تهیه برنامه برنامه ایجاد شده است، مشخص می شود (علائم، پارامترهای هر گروه از داده ها و تعداد مطلق عوامل مشخص کننده گروه محاسبه می شود) داده های درون هر گروه تشکیل شده به صورت سری (سری تغییرات) به ترتیب نزولی یا صعودی یک مشخصه قرار می گیرند. بزرگترین و کوچکترین مقادیر مشخصه تعیین می شود.
ه) سری تغییرات داده های به دست آمده در مقیاس اسمی یا ترتیبی رتبه بندی می شوند. فواصل برای گروه بندی بر اساس رتبه به طور بهینه انتخاب می شوند (فاصله های خیلی زیاد تفاوت های ظریف پدیده ها را پنهان می کند، فواصل بسیار کسری کار را دشوار می کند). در نتیجه این عملیات، داده های کمی جدید ظاهر می شود.
و) پردازش آماری داده‌های کمی به‌دست‌آمده انجام می‌شود که شامل محاسبه برخی ویژگی‌ها و تخمین‌های آماری است که امکان درک عمیق‌تر ویژگی‌های پدیده‌های تجربی را فراهم می‌کند.
ز) مواد بصری گردآوری شده است که اطلاعات دریافتی را نمایش می دهد: جداول، نمودارها، نمودارها، نمودارها و غیره، که از آنها متعاقباً ارتباط بین پارامترهای اشیاء آزمایشی برقرار و تجزیه و تحلیل می شود.

ویژگی های آماری

آزمایشگر به دانش تعدادی از ساده ترین مفاهیم آمار ریاضی و توانایی کار با آنها نیاز دارد.
کل مجموعه پدیده ها، رویدادها یا شاخص های همگن مورد علاقه محقق نامیده می شود جمعیت عمومیداده های شی آن بخشی از دومی که مورد مطالعه تجربی قرار می گیرد، جامعه یا نمونه نمونه نامیده می شود.
اندازه(حجم) نمونه، تعداد مطلق (قابل شمارش) اشیاء پژوهشی همگن (پدیده ها، رویدادها یا ویژگی های آنها) است.
نمونه با تعدادی ویژگی آماری مشخص می شود که رایج ترین آنها عبارتند از: میانگین حسابی، پراکندگی، انحراف معیار میانگین حسابی.

مقدار متوسطشاخص داده شده از جامعه نمونه (میانگین حسابی، میانگین نمونه) نسبت مجموع تمام مقادیر اندازه گیری شده اندیکاتور به حجم نمونه است.

اگر مقادیر تکراری در نمونه وجود داشته باشد، جدولی از داده های گروه بندی شده به صورت زیر جمع آوری می شود:

سپس = ، جایی که n = .

مقدار متوسط ​​نمونه را به طور کامل مشخص نمی کند. در پشت آن "رفتار" شاخص خود پدیده - "پراکندگی"، توزیع متفاوت مقادیر آن در حدود میانگین (به اصطلاح "تابع توزیع") نهفته است.

واریانس نمونه(s 2) یک شاخص آماری مقدار میانگین مجذور انحرافات مقادیر فردی آن از میانگین نمونه است. پراکندگی با فرمول تعیین می شود:

S 2 = (2)

برای داده های گروه بندی شده S 2 = .

نمونه انحراف استانداردجذر واریانس نمونه نامیده می شود.

واریانس نمونه و انحراف معیار نقش زیادی در تعیین درجه پایایی نتایج بازی می‌کنند.
جامعه عمومی نیز دارای تمامی ویژگی های آماری فوق می باشد که به طور کلی با ویژگی های نمونه منطبق نیست. برای آزمایش، ارزیابی خطا از اهمیت ویژه ای برخوردار است که در صورت استفاده از ویژگی های نمونه برای قضاوت در مورد جمعیت عمومی مجاز است.
در عمل محاسبات، مقدار اختلاف بین مقادیر میانگین جمعیت عمومی و نمونه تعیین می شود. میانگین مربعات خطامیانگین نمونه که با فرمول محاسبه می شود

روش- این بیشترین مقدار در نمونه است. به عنوان مثال در تعیین سایز لباس ها و کفش هایی که بیشترین تقاضا را در بین خریداران دارند از مد استفاده می شود. حالت برای یک سری گسسته مقدار با بالاترین فرکانس است.

میانه -این مقدار مشخصه ای است که زیر مجموعه رتبه بندی شده قرار می گیرد و این سری را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.

برای تعیین میانه در یک سری مجزااگر فرکانس‌هایی وجود دارد، ابتدا نصف جمع فرکانس‌ها را محاسبه کنید و سپس تعیین کنید که کدام مقدار از ویژگی روی آن قرار می‌گیرد. (اگر سری مرتب شده دارای تعداد فرد ویژگی باشد، آنگاه مقدار میانگین در سری مرتب شده میانه خواهد بود؛ عدد ترتیبی میانه با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

(n + 1)/2،

در مورد تعداد زوج از ویژگی ها، میانه برابر با میانگین حسابی دو مشخصه واقع در وسط ردیف خواهد بود.

هدف کار: یادگیری پردازش داده های آماری در صفحات گسترده با استفاده از توابع داخلی. قابلیت های بسته تحلیلی را درام‌اس برتری داشتن2010 و برخی از ابزارهای آن: تولید اعداد تصادفی، هیستوگرام، آمار توصیفی.

بخش تئوری

اغلب برای پردازش داده های به دست آمده در نتیجه بررسی تعداد زیادی از اشیا یا پدیده ها ( داده های آماری) از روش های آمار ریاضی استفاده می شود.

آمار ریاضی مدرن به دو بخش عمده تقسیم می شود: توصیفیو آمار تحلیلی. آمار توصیفی روش های توصیف داده های آماری، ارائه آنها در قالب جداول، توزیع ها و غیره را پوشش می دهد.

به آمار تحلیلی، نظریه استنتاج آماری نیز گفته می شود. موضوع آن پردازش داده های به دست آمده در طول آزمایش و تدوین نتایجی است که برای طیف گسترده ای از زمینه های فعالیت انسانی اهمیت عملی دارد.

مجموعه اعداد به دست آمده در نتیجه نظرسنجی نامیده می شود جمع آماری

جمعیت نمونه(یا نمونه برداری) مجموعه ای از اشیا به صورت تصادفی انتخاب شده است. جمعیت عمومیمجموعه اشیایی است که نمونه از آنها ساخته شده است. جلداز یک جمعیت (کلی یا نمونه) تعداد اشیاء در این جمعیت است.

برای پردازش آماری، نتایج تحقیق شی به صورت اعداد ارائه می شود ایکس 1 ,ایکس 2 ,...، ایکس ک. اگر ارزش ایکس 1 مشاهده شد n 1 بار، ارزش ایکس 2 مشاهده شد n 2 بار و غیره، سپس مقادیر مشاهده شده ایکس مننامیده می شوند گزینه هاو تعداد تکرارهای آنها n مننامیده می شوند فرکانس ها. روش شمارش فرکانس ها گروه بندی داده نامیده می شود.

اندازهی نمونه nبرابر با مجموع همه فرکانس ها n من :

فراوانی نسبیارزش های ایکس مننسبت فرکانس این مقدار نامیده می شود n منبه اندازه نمونه n:

. (2)

توزیع فراوانی آماری(یا به سادگی توزیع فرکانس) لیستی از گزینه ها و فرکانس های مربوط به آنها است که به شکل جدول نوشته شده است:

توزیع فرکانس نسبیفهرستی از گزینه ها و فرکانس های نسبی مربوط به آنها نامیده می شود.

1. مشخصات آماری پایه.

صفحات گسترده مدرن طیف وسیعی از ابزارها برای تجزیه و تحلیل داده های آماری دارند. بیشترین استفاده از توابع آماری در هسته اصلی برنامه تعبیه شده است، یعنی این توابع از لحظه راه اندازی برنامه در دسترس هستند. سایر عملکردهای تخصصی تر در روال های اضافی گنجانده شده است. به طور خاص، در اکسل، چنین روتینی به نام ابزار تجزیه و تحلیل نامیده می شود. دستورات و توابع بسته تحلیلی را ابزار تحلیل می نامند. ما خود را به بررسی چند توابع آماری داخلی و مفیدترین ابزارهای تجزیه و تحلیل در مجموعه تجزیه و تحلیل صفحه گسترده اکسل محدود می کنیم.

مقدار متوسط.

تابع AVERAGE میانگین نمونه (یا عمومی) را محاسبه می کند، یعنی مقدار میانگین حسابی یک مشخصه از یک جامعه نمونه (یا عمومی). آرگومان تابع AVERAGE مجموعه ای از اعداد است که معمولاً به عنوان محدوده ای از سلول ها مشخص می شود، به عنوان مثال، =AVERAGE(A3:A201).

واریانس و انحراف معیار.

برای ارزیابی پراکندگی داده ها از ویژگی های آماری مانند پراکندگی استفاده می شود Dو انحراف معیار (یا استاندارد). . انحراف معیار جذر واریانس است:
. یک انحراف استاندارد بزرگ نشان می‌دهد که مقادیر اندازه‌گیری به طور گسترده در اطراف میانگین پراکنده هستند، در حالی که یک انحراف استاندارد کوچک نشان می‌دهد که مقادیر در اطراف میانگین متمرکز شده‌اند.

که در برتری داشتنتوابعی وجود دارند که به طور جداگانه واریانس نمونه را محاسبه می کنند D V و انحراف معیار Vو واریانس کلی D r و انحراف معیار بنابراین، قبل از محاسبه واریانس و انحراف معیار، باید به وضوح مشخص کنید که داده های شما یک جامعه است یا یک نمونه. بسته به این، شما باید برای محاسبه استفاده کنید D g و جی، D Vو V .

برای محاسبه واریانس نمونه D Vو انحراف استاندارد نمونه Vتوابع DISP و STANDARD DEVIATION وجود دارد. آرگومان این توابع مجموعه ای از اعداد است که معمولاً توسط محدوده ای از سلول ها مشخص می شود، برای مثال =DISP(B1:B48).

برای محاسبه واریانس کلی D r و انحراف استاندارد عمومی d به ترتیب توابع VARIANCE و STANDARDEV وجود دارد.

آرگومان های این توابع مانند واریانس نمونه است.

حجم جمعیت.

اندازه یک نمونه یا جامعه عمومی تعداد عناصر جامعه است. تابع COUNT تعداد سلول هایی را در یک محدوده مشخص که حاوی داده های عددی هستند را تعیین می کند. سلول های خالی یا سلول های حاوی متن توسط تابع COUNT رد می شوند. آرگومان تابع COUNT محدوده سلول ها است، به عنوان مثال: =COUNT (C2:C16).

برای تعیین تعداد سلول های غیر خالی، بدون توجه به محتوای آنها، از تابع COUNT3 استفاده می شود. آرگومان آن فاصله سلولی است.

حالت و میانه.

حالت مقدار یک ویژگی است که اغلب در مجموعه ای از داده ها رخ می دهد. توسط تابع MODE محاسبه می شود. آرگومان آن فاصله سلول های داده است.

میانه مقدار صفتی است که جمعیت را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. توسط تابع MEDIAN محاسبه می شود. آرگومان آن فاصله سلولی است.

محدوده تنوع. بالاترین و کمترین مقادیر.

محدوده تنوع آرتفاوت بین بزرگترین است ایکسحداکثر و کوچکترین مقادیر xmin مشخصه جمعیت (عمومی یا نمونه): آر=ایکسحداکثر - ایکسدقیقه برای یافتن بزرگترین ارزش ایکس max یک تابع MAX (یا MAX) و برای کوچکترین وجود دارد ایکس min – تابع MIN (یا MIN). استدلال آنها فاصله سلولی است. برای محاسبه دامنه تغییرات داده در یک محدوده سلول، به عنوان مثال، از A1 تا A100، باید فرمول را وارد کنید: =MAX (A1:A100)-MIN (A1:A100).

انحراف توزیع تصادفی از نرمال.

متغیرهای تصادفی توزیع شده به طور گسترده در عمل استفاده می شوند، برای مثال، نتایج اندازه گیری هر کمیت فیزیکی از قانون توزیع نرمال تبعیت می کنند. نرمال توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته است که با چگالی توصیف می شود

,

جایی که
پراکندگی، - مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی .

برای ارزیابی انحراف توزیع داده های تجربی از توزیع نرمال، از ویژگی هایی مانند عدم تقارن استفاده می شود آو کشیدگی E. برای توزیع نرمال آ=0 و E=0.

چولگی نشان می دهد که توزیع داده ها نسبت به توزیع نرمال چقدر اریب است: if آ> 0، سپس بیشتر داده ها دارای مقادیری فراتر از میانگین هستند ; اگر آ<0, то большая часть данных имеет значения, меньшие среднего . چولگی توسط تابع SKES محاسبه می شود. آرگومان آن فاصله سلول ها با داده است، به عنوان مثال، =SKOS (A1:A100).

کورتوسیس "خنک بودن" را ارزیابی می کند. مقدار افزایش بیشتر یا کمتر در حداکثر توزیع داده های تجربی در مقایسه با حداکثر توزیع نرمال. اگر E> 0، سپس حداکثر توزیع تجربی بالاتر از نرمال است. اگر E<0, то максимум экспериментального распределения ниже нормального. Эксцесс вычисляется функцией ЭКСЦЕСС, аргументом которой являются числовые данные, заданные, как правило, в виде интервала ячеек, например: =ЭКСЦЕСС (А1:А100).

تمرین 1.بکارگیری توابع آماری

همان ولت متر ولتاژ یک بخش از مدار را 25 بار اندازه گرفت. در نتیجه آزمایش ها مقادیر ولتاژ زیر بر حسب ولت به دست آمد: 32، 32، 35، 37، 35، 38، 32، 33، 34، 37، 32، 32، 35، 34، 32، 34، 35، 39، 34، 38، 36، 30، 37، 28، 30. میانگین نمونه، واریانس، انحراف معیار، محدوده تغییرات، حالت، میانه را بیابید. آزمون انحراف از توزیع نرمال با محاسبه چولگی و کشیدگی.

نتایج آزمایش را در ستون A تایپ کنید.

در سلول B1 نوع "متوسط"، در B2 - "واریانس نمونه"، در B3 - "انحراف استاندارد"، در B4 - "حداکثر"، در B5 - "حداقل"، در B6 - "محدوده تغییرات"، در B7 - " حالت، در B8 - "میانگین"، در B9 - "عدم تقارن"، در B10 - "Kurtosis". عرض این ستون را با انتخاب خودکارعرض

سلول C1 را انتخاب کنید و روی علامت "=" در نوار فرمول کلیک کنید. با استفاده از Function Wizardsدر دسته بندی آماریتابع AVERAGE را پیدا کنید، سپس محدوده سلول های داده را برجسته کرده و کلیک کنید وارد.

سلول C2 را انتخاب کنید و روی علامت "=" در نوار فرمول کلیک کنید. استفاده كردن Function Wizardsدر دسته بندی آماریتابع DISP را پیدا کنید، سپس محدوده سلول های داده را برجسته کرده و کلیک کنید وارد.

همین مراحل را خودتان انجام دهید تا انحراف معیار، حداکثر، حداقل، حالت، میانه، چولگی و کشیدگی را محاسبه کنید.

برای محاسبه دامنه تغییرات در سلول C6، فرمول را وارد کنید: =MAX (A1:A25)-MIN(A1:A25).