به احتمال زیاد که ... فرمول احتمال کل نحوه محاسبه احتمال یک رویداد با استفاده از شانس کسری
فرمول های محاسبه احتمال رخدادها
1.3.1. توالی تست های مستقل (مدار برنولی)
فرض کنید که برخی از آزمایش ها می توانند به طور مکرر در شرایط یکسان انجام شوند. بگذارید این تجربه ساخته شود nبارها، یعنی دنباله ای از nتست ها
تعریف. دنباله n تست ها نامیده می شوند مستقل متقابل ، اگر هر رویداد مربوط به یک آزمون داده شده مستقل از رویدادهای مربوط به آزمون های دیگر باشد.
بیایید آن رویداد را فرض کنیم آبه احتمال زیاد اتفاق می افتد پدر نتیجه یک آزمایش یا به احتمال زیاد اتفاق نمی افتد q= 1- پ.
تعریف . دنباله ای از nاگر شرایط زیر برآورده شود، آزمایشات یک طرح برنولی را تشکیل می دهند:
دنباله nتست ها متقابل مستقل هستند،
2) احتمال وقوع یک رویداد آاز آزمایشی به آزمایشی دیگر تغییر نمی کند و به نتیجه آزمایشات دیگر بستگی ندارد.
رویداد آ"موفقیت" آزمون نامیده می شود و رویداد مخالف آن "شکست" نامیده می شود. رویداد را در نظر بگیرید
=( در nآزمایشات دقیقا انجام شد متر"موفقیت").
برای محاسبه احتمال این رویداد، فرمول برنولی معتبر است
پ(
)
=
, متر
= 1, 2, …, n
, (1.6)
جایی که 
- تعداد ترکیبات nعناصر توسط متر
:
=
=
.
مثال 1.16. قالب سه بار پرتاب می شود. پیدا کردن:
الف) احتمال اینکه 6 امتیاز دو بار ظاهر شود.
ب) احتمال اینکه تعداد شش ها بیش از دو بار ظاهر نشود.
راه حل . ما "موفقیت" آزمایش را زمانی در نظر می گیریم که طرف با تصویر 6 نقطه روی قالب ظاهر شود.
الف) تعداد کل آزمون ها – n= 3، تعداد "موفقیت" - متر
= 2. احتمال "موفقیت" - پ=
,
و احتمال "شکست" است q= 1 - =. سپس با توجه به فرمول برنولی، احتمال اینکه در اثر سه بار پرتاب یک قالب، طرف دارای شش نقطه دو بار ظاهر شود، برابر خواهد بود.
.
ب) اجازه دهید با نشان دهیم آرویدادی که به این معنی است که یک طرف با امتیاز 6 بیش از دو بار ظاهر نمی شود. سپس رویداد را می توان به صورت نمایش داد مجموع سه ناسازگارمناسبت ها A=
,
جایی که که در 3 0 - رویدادی که هرگز لبه علاقه ظاهر نمی شود،
که در 3 1 - رویدادی که لبه علاقه یک بار ظاهر می شود،
که در 3 2 - رویداد زمانی که لبه علاقه دو بار ظاهر می شود.
با استفاده از فرمول برنولی (1.6) پیدا می کنیم
پ(آ)
= p (
)
=
پ(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. احتمال شرطی یک رویداد
احتمال شرطی منعکس کننده تأثیر یک رویداد بر احتمال رویداد دیگر است. تغییر شرایطی که در آن آزمایش انجام می شود نیز تأثیر می گذارد
در مورد احتمال وقوع رویداد مورد علاقه.
تعریف. اجازه دهید آ و ب- برخی رویدادها و احتمالات پ(ب)> 0.
احتمال مشروطمناسبت ها آمشروط بر اینکه «رویداد بقبلا، پیش از ایناتفاق افتاده است» نسبت احتمال وقوع این رویدادها به احتمال رویدادی است که زودتر از رویدادی رخ داده است که احتمال آن لازم است پیدا شود. احتمال شرطی به عنوان نشان داده می شود پ(آ ب). سپس طبق تعریف
پ
(آ
ب)
=
.
(1.7)
مثال 1.17. دو تاس پرتاب می شود. فضای رویدادهای ابتدایی شامل جفت های مرتب شده از اعداد است
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
در مثال 1.16 مشخص شد که این رویداد آ=(تعداد نقاط در اولین قالب > 4) و رویداد سی=(مجموع امتیازها 8 است) وابسته است. بیایید یک رابطه برقرار کنیم
.
این رابطه را می توان به صورت زیر تفسیر کرد. فرض کنید که نتیجه چرخش اول این است که تعداد امتیازهای دای اول > 4 باشد. نتیجه این است که پرتاب قالب دوم می تواند منجر به یکی از 12 نتیجه ای شود که رویداد را تشکیل می دهد. آ:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
در این رویداد سیفقط دو مورد از آنها می توانند با (5،3) (6،2) مطابقت داشته باشند. در این صورت احتمال وقوع سی
برابر خواهد بود 
. بنابراین، اطلاعات مربوط به وقوع یک رویداد آبر احتمال وقوع یک رویداد تأثیر گذاشت سی.
احتمال وقوع حوادث
قضیه ضرب
احتمال وقوع حوادثآ 1 آ 2 آ n با فرمول تعیین می شود
پ(آ 1 آ 2 آ n)= ص(آ 1)پ(آ 2 آ 1)) پ(آ n آ 1 آ 2 آ n- 1). (1.8)
برای محصول دو رویداد این نتیجه می شود که
پ(AB)= ص(آ ب) ص{ب)= ص(ب آ)پ{آ). (1.9)
مثال 1.18. در یک دسته 25 محصولی، 5 محصول معیوب هستند. 3 مورد به صورت تصادفی متوالی انتخاب می شوند. احتمال معیوب بودن همه محصولات انتخاب شده را تعیین کنید.
راه حل. بیایید وقایع را نشان دهیم:
آ 1 = (محصول اول معیوب است)
آ 2 = (محصول دوم معیوب است)
آ 3 = (محصول سوم معیوب است)
آ = (همه محصولات معیوب هستند).
رویداد آ محصول سه رویداد است آ = آ 1 آ 2 آ 3 .
از قضیه ضرب (1.6) ما گرفتیم
پ(آ)= p( آ 1 آ 2 آ 3 ) = پ(آ 1) پ(آ 2 آ 1))پ(آ 3 آ 1 آ 2).
تعریف کلاسیک احتمال به ما امکان می دهد که پیدا کنیم پ(آ 1) نسبت تعداد محصولات معیوب به تعداد کل محصولات است:
پ(آ 1)=
;
پ(آ 2) – این نسبت تعداد محصولات معیوب باقی مانده پس از حذف یک محصول به تعداد کل محصولات باقی مانده:
پ(آ 2
آ 1))=
;
پ(آ 3) - این است نسبت تعداد محصولات معیوب باقی مانده پس از حذف دو محصول معیوب به تعداد کل محصولات باقی مانده:
پ(آ 3
آ 1 آ 2)=
.
سپس احتمال وقوع آ برابر خواهد بود
پ(آ)
=
=
.
بنابراین، بیایید در مورد موضوعی صحبت کنیم که افراد زیادی را مورد علاقه خود قرار می دهد. در این مقاله به این سوال پاسخ خواهم داد که چگونه احتمال یک رویداد را محاسبه کنیم. من فرمول هایی را برای چنین محاسبه ای و چندین مثال ارائه می دهم تا نحوه انجام این کار واضح تر شود.
احتمال چیست
بیایید با این واقعیت شروع کنیم که احتمال وقوع این یا آن رویداد، مقدار معینی از اطمینان به وقوع نهایی یک نتیجه است. برای این محاسبه، یک فرمول احتمال کل ایجاد شده است که به شما امکان می دهد از طریق احتمالات به اصطلاح شرطی تعیین کنید که آیا رویداد مورد علاقه شما رخ خواهد داد یا خیر. این فرمول به این صورت است: P = n/m، حروف می توانند تغییر کنند، اما این بر خود ماهیت تأثیر نمی گذارد.
نمونه هایی از احتمال
با استفاده از یک مثال ساده، اجازه دهید این فرمول را تجزیه و تحلیل کرده و آن را اعمال کنیم. فرض کنید شما یک رویداد خاص (P) دارید، بگذارید پرتاب یک تاس باشد، یعنی یک قالب متساوی الاضلاع. و باید محاسبه کنیم که احتمال کسب 2 امتیاز روی آن چقدر است. برای انجام این کار، به تعداد رویدادهای مثبت (n) نیاز دارید، در مورد ما - از دست دادن 2 امتیاز، برای تعداد کل رویدادها (m). یک پرتاب 2 امتیازی فقط در یک مورد می تواند اتفاق بیفتد، اگر 2 نقطه روی تاس وجود داشته باشد، زیرا در غیر این صورت مجموع آنها بیشتر خواهد بود، نتیجه آن این است که n = 1. تاس، در هر 1 تاس - اینها 1، 2، 3، 4، 5 و 6 هستند، بنابراین، 6 حالت مطلوب وجود دارد، یعنی m = 6. اکنون با استفاده از فرمول، یک محاسبه ساده P = 1/ انجام می دهیم. 6 و متوجه می شویم که ریختن 2 نقطه روی تاس 1/6 است، یعنی احتمال وقوع آن بسیار کم است.
بیایید به مثالی با استفاده از توپ های رنگی که در یک جعبه هستند نگاه کنیم: 50 سفید، 40 سیاه و 30 سبز. شما باید تعیین کنید که احتمال ترسیم یک توپ سبز چقدر است. و بنابراین، از آنجایی که 30 توپ از این رنگ وجود دارد، یعنی فقط 30 رویداد مثبت می تواند وجود داشته باشد (n = 30)، تعداد همه رویدادها 120 است، m = 120 (بر اساس تعداد کل توپ ها)، با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم که احتمال رسم یک توپ سبز برابر است با P = 30/120 = 0.25، یعنی 25% از 100. به همین ترتیب، می توانید احتمال ترسیم یک توپ را محاسبه کنید. رنگ متفاوت (سیاه 33%، سفید 42%) خواهد بود.
دانستن چگونگی تخمین احتمال وقوع یک رویداد بر اساس شانس، برای انتخاب شرط مناسب ضروری است. اگر نمی‌دانید که چگونه شانس یک شرط‌بندی را به احتمال تبدیل کنید، هرگز نمی‌توانید تعیین کنید که شانس شرکت‌کننده در مقایسه با شانس واقعی رویداد چیست. باید درک کنید که اگر احتمال وقوع یک رویداد از نظر بوک‌مکرها کمتر از احتمال همان رویداد طبق نسخه خودتان باشد، شرط‌بندی روی این رویداد ارزشمند خواهد بود. می توانید شانس رویدادهای مختلف را در وب سایت Odds.ru مقایسه کنید.
1.1. انواع شانس
بنگاه‌ها معمولاً سه نوع شانس ارائه می‌دهند - اعشاری، کسری و آمریکایی. بیایید به هر یک از انواع نگاه کنیم.
1.2. شانس اعشاری
ضریب اعشاری وقتی در اندازه شرط ضرب می شود به شما امکان می دهد کل مبلغی را که در صورت برنده شدن در دستان خود دریافت خواهید کرد محاسبه کنید. به عنوان مثال، اگر 1 دلار را روی شانس 1.80 شرط بندی کنید، اگر برنده شوید، 1.80 دلار دریافت خواهید کرد (1 دلار مبلغ شرط برگشتی است، 0.80 برنده شرط است که سود خالص شما نیز می باشد).
به این معنا که احتمال نتیجه، به گفته بنگاه‌داران، 55 درصد است.
1.3. شانس کسری
شانس کسری سنتی ترین نوع شانس است. شمارشگر سود خالص بالقوه را نشان می دهد. مخرج مقدار شرطی است که برای به دست آوردن این برد باید انجام شود. به عنوان مثال، شانس 7/2 به این معنی است که برای به دست آوردن یک برد 7 دلاری، باید 2 دلار شرط بندی کنید.
برای محاسبه احتمال یک رویداد بر اساس ضریب اعشاری، باید محاسبات ساده را انجام دهید - مخرج را بر مجموع صورت و مخرج تقسیم کنید. برای ضریب 7/2 فوق، محاسبه به صورت زیر خواهد بود:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
به این معنی که احتمال نتیجه، به گفته بنگاه‌داران، 22 درصد است.
1.4. شانس آمریکایی
این نوع شانس در آمریکای شمالی رایج است. در نگاه اول، آنها کاملا پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسند، اما نترسید. به عنوان مثال، هنگام بازی در کازینوهای آمریکا، برای درک نقل قول هایی که در پخش برنامه های ورزشی آمریکای شمالی نشان داده می شود، درک شانس آمریکایی می تواند مفید باشد. بیایید به نحوه تخمین احتمال یک نتیجه بر اساس شانس آمریکایی نگاه کنیم.
اول از همه، شما باید درک کنید که شانس آمریکا می تواند مثبت و منفی باشد. یک ضریب منفی آمریکایی همیشه در قالب می آید، به عنوان مثال، "-150". این بدان معناست که برای به دست آوردن 100 دلار سود خالص (برنده)، باید 150 دلار شرط بندی کنید.
ضریب مثبت آمریکا به صورت معکوس محاسبه می شود. به عنوان مثال، ما یک ضریب "+120" داریم. این بدان معناست که برای به دست آوردن 120 دلار سود خالص (برنده)، باید 100 دلار شرط بندی کنید.
محاسبه احتمال بر اساس شانس منفی آمریکایی با استفاده از فرمول زیر انجام می شود:
(-(ضریب آمریکایی منفی)) / ((-(ضریب آمریکایی منفی)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
یعنی احتمال رویدادی که برای آن ضریب منفی آمریکایی "-150" داده می شود 60٪ است.
اکنون محاسبات مشابهی را برای ضریب مثبت آمریکایی در نظر بگیرید. احتمال در این مورد با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:
100 / (ضریب مثبت آمریکایی + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
یعنی احتمال رویدادی که برای آن ضریب مثبت آمریکایی "+120" داده شده است 45٪ است.
1.5. چگونه شانس را از یک فرمت به فرمت دیگر تبدیل کنیم؟
توانایی تبدیل شانس ها از یک فرمت به فرمت دیگر می تواند بعداً به شما کمک کند. به اندازه کافی عجیب، هنوز دفاتری هستند که در آنها شانس تبدیل نمی شود و فقط در یک قالب نشان داده می شود که برای ما غیرعادی است. بیایید به نمونه هایی از نحوه انجام این کار نگاه کنیم. اما ابتدا باید یاد بگیریم که چگونه احتمال یک نتیجه را بر اساس ضریب داده شده محاسبه کنیم.
1.6. چگونه شانس اعشاری را بر اساس احتمال محاسبه کنیم؟
اینجا همه چیز خیلی ساده است. باید عدد 100 را بر احتمال وقوع یک درصد تقسیم کرد. یعنی اگر احتمال وقوع یک رویداد 60 درصد باشد، باید:
با احتمال تخمینی یک رویداد 60٪، شانس اعشاری 1.66 خواهد بود.
1.7. چگونه شانس کسری را بر اساس احتمال محاسبه کنیم؟
در این حالت باید عدد 100 را بر احتمال رویداد تقسیم کرده و از نتیجه به دست آمده یک عدد کم کنید. به عنوان مثال، احتمال یک رویداد 40٪ است:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
یعنی ضریب کسری 1.5/1 یا برای سهولت محاسبه 3/2 می گیریم.
1.8. چگونه می توان شانس آمریکایی را بر اساس نتیجه احتمالی محاسبه کرد؟
در اینجا، مقدار زیادی به احتمال رویداد بستگی دارد - آیا بیش از 50٪ یا کمتر باشد. اگر احتمال یک رویداد بیش از 50٪ باشد، محاسبه با استفاده از فرمول زیر انجام می شود:
- ((احتمال) / (100 - احتمال)) * 100
به عنوان مثال، اگر احتمال یک رویداد 80٪ باشد، آنگاه:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
با احتمال تخمینی یک رویداد 80٪، ضریب آمریکایی منفی "400" را دریافت کردیم.
اگر احتمال وقوع یک رویداد کمتر از 50 درصد باشد، فرمول به صورت زیر خواهد بود:
((100 - احتمال) / احتمال) * 100
به عنوان مثال، اگر احتمال یک رویداد 40٪ باشد، آنگاه:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
با احتمال تخمینی یک رویداد 40٪، ما یک ضریب مثبت آمریکایی "+150" دریافت کردیم.
این محاسبات به شما کمک می کند تا مفهوم شرط ها و شانس ها را بهتر درک کنید و یاد بگیرید که چگونه ارزش واقعی یک شرط خاص را ارزیابی کنید.
در واقع، فرمول های (1) و (2) یک رکورد کوتاه از احتمال شرطی بر اساس جدول احتمالی ویژگی ها هستند. بیایید به مثال مورد بحث برگردیم (شکل 1). فرض کنید متوجه می شویم که خانواده ای قصد خرید یک تلویزیون با صفحه نمایش عریض را دارند. احتمال اینکه این خانواده واقعاً چنین تلویزیونی بخرند چقدر است؟
برنج. 1. رفتار خرید تلویزیون با صفحه عریض
در این مورد، باید احتمال شرطی P (خرید انجام شد | خرید برنامه ریزی شده) را محاسبه کنیم. از آنجایی که می دانیم خانواده قصد خرید دارند، فضای نمونه شامل همه 1000 خانواده نیست، بلکه فقط آنهایی که قصد خرید تلویزیون با صفحه نمایش عریض را دارند، می باشد. از 250 خانواده از این قبیل، 200 خانواده این تلویزیون را خریدند. بنابراین، احتمال اینکه یک خانواده واقعاً یک تلویزیون با صفحه نمایش عریض بخرد، در صورت برنامه ریزی برای انجام این کار، می تواند با استفاده از فرمول زیر محاسبه شود:
P (خرید انجام شده | خرید برنامه ریزی شده) = تعداد خانواده هایی که برنامه ریزی کرده اند و تلویزیون صفحه عریض خریداری کرده اند / تعداد خانواده هایی که قصد خرید تلویزیون با صفحه نمایش عریض دارند = 200 / 250 = 0.8
فرمول (2) همین نتیجه را می دهد:
رویداد کجاست آاین است که خانواده در حال برنامه ریزی برای خرید یک تلویزیون صفحه عریض، و این رویداد است که در- که او در واقع آن را خواهد خرید. با جایگزینی داده های واقعی به فرمول، دریافت می کنیم:
درخت تصمیم
در شکل 1 خانواده به چهار دسته تقسیم می شوند: آنهایی که قصد خرید تلویزیون با صفحه نمایش عریض را داشتند و آنهایی که این کار را نکردند، همچنین آنهایی که چنین تلویزیونی را خریداری کردند و آنهایی که نخریدند. طبقه بندی مشابهی را می توان با استفاده از درخت تصمیم انجام داد (شکل 2). درخت نشان داده شده در شکل 2 دارای دو شعبه مربوط به خانواده هایی است که قصد خرید تلویزیون با صفحه عریض دارند و خانواده هایی که این کار را نکرده اند. هر یک از این شعبه ها به دو شعبه دیگر تقسیم می شوند که مربوط به خانواده هایی است که تلویزیون صفحه عریض خریداری کرده اند یا نخریده اند. احتمالاتی که در انتهای دو شاخه اصلی نوشته می شوند، احتمالات بی قید و شرط رویدادها هستند آو آ'. احتمالات نوشته شده در انتهای چهار شاخه اضافی، احتمالات مشروط هر ترکیبی از رویدادها هستند. آو که در. احتمالات مشروط با تقسیم احتمال مشترک رویدادها بر احتمال نامشروط مربوط به هر یک از آنها محاسبه می شود.
برنج. 2. درخت تصمیم
به عنوان مثال، برای محاسبه احتمال خرید یک تلویزیون با صفحه نمایش عریض در صورت برنامه ریزی یک خانواده، باید احتمال وقوع این رویداد را تعیین کرد. خرید برنامه ریزی شده و تکمیل شده است، و سپس آن را بر احتمال وقوع تقسیم کنید خرید برنامه ریزی شده. حرکت در امتداد درخت تصمیم نشان داده شده در شکل. 2، پاسخ زیر (مشابه قبلی) را دریافت می کنیم:
استقلال آماری
در مثال خرید یک تلویزیون با صفحه عریض، احتمال اینکه یک خانواده به طور تصادفی انتخاب شده یک تلویزیون با صفحه نمایش عریض را خریداری کنند، با توجه به اینکه قصد انجام این کار را داشتند، 200/250 = 0.8 است. به یاد بیاورید که احتمال بی قید و شرط اینکه یک خانواده به طور تصادفی انتخاب شده یک تلویزیون با صفحه نمایش عریض خریداری کرده اند 300/1000 = 0.3 است. این منجر به یک نتیجه گیری بسیار مهم می شود. اطلاعات قبلی مبنی بر اینکه خانواده در حال برنامه ریزی برای خرید هستند، بر احتمال خود خرید تأثیر می گذارد.به عبارت دیگر، این دو رویداد به یکدیگر وابسته هستند. در مقابل این مثال، رویدادهای آماری مستقلی وجود دارد که احتمالات آنها به یکدیگر بستگی ندارد. استقلال آماری با هویت بیان می شود: P(A|B) = P(A)، جایی که P(A|B)- احتمال رخداد آمشروط بر اینکه واقعه رخ داده باشد که در, P(A)- احتمال بی قید و شرط رویداد A.
لطفا توجه داشته باشید که رویدادها آو که در P(A|B) = P(A). اگر در یک جدول اقتضایی از مشخصات با اندازه 2×2، این شرط برای حداقل یک ترکیب از رویدادها برآورده شود. آو که در، برای هر ترکیب دیگری معتبر خواهد بود. در رویدادهای مثال ما خرید برنامه ریزی شدهو خرید تکمیل شداز نظر آماری مستقل نیستند زیرا اطلاعات مربوط به یک رویداد بر احتمال رویداد دیگر تأثیر می گذارد.
بیایید به مثالی نگاه کنیم که نشان می دهد چگونه استقلال آماری دو رویداد را آزمایش کنیم. بیایید از 300 خانواده ای که تلویزیون عریض خریده اند بپرسیم که آیا از خرید خود راضی بوده اند (شکل 3). تعیین کنید که آیا میزان رضایت از خرید و نوع تلویزیون مرتبط است یا خیر.
برنج. 3. داده های مشخص کننده میزان رضایت خریداران تلویزیون های صفحه عریض
با قضاوت بر اساس این داده ها،
در همان زمان،
P (مشتری راضی) = 240 / 300 = 0.80
بنابراین، احتمال رضایت مشتری از خرید و خرید تلویزیون HD توسط خانواده برابر است و این رویدادها از نظر آماری مستقل هستند زیرا به هیچ وجه به هم مرتبط نیستند.
قانون ضرب احتمال
فرمول محاسبه احتمال شرطی به شما امکان می دهد تا احتمال یک رویداد مشترک را تعیین کنید الف و ب. حل کردن فرمول (1)
نسبت به احتمال مشترک P(A و B)، یک قانون کلی برای ضرب احتمالات بدست می آوریم. احتمال وقوع الف و ببرابر با احتمال رخداد است آمشروط بر اینکه واقعه رخ دهد که در که در:
(3) P(A و B) = P(A|B) * P(B)
بیایید به عنوان مثال 80 خانواده را در نظر بگیریم که یک تلویزیون HDTV با صفحه عریض خریدند (شکل 3). جدول نشان می دهد که 64 خانوار از خرید راضی و 16 خانوار رضایت ندارند. فرض کنید دو خانواده به طور تصادفی از بین آنها انتخاب شده اند. احتمال رضایت هر دو مشتری را تعیین کنید. با استفاده از فرمول (3) به دست می آوریم:
P(A و B) = P(A|B) * P(B)
رویداد کجاست آاین است که خانواده دوم از خرید خود راضی هستند و این رویداد که در- اینکه خانواده اول از خرید خود راضی باشند. احتمال اینکه خانواده اول از خرید خود راضی باشند 64/80 است. اما احتمال اینکه خانواده دوم نیز از خرید خود راضی باشند بستگی به پاسخ خانواده اول دارد. اگر خانواده اول پس از بررسی (انتخاب بدون بازگشت) به نمونه برنگردند، تعداد پاسخ دهندگان به 79 نفر کاهش می یابد و اگر خانواده اول از خرید خود راضی باشند، احتمال رضایت خانواده دوم نیز 63 نفر است. /79، زیرا تنها 63 خانواده از خانواده های نمونه از خرید خود راضی هستند. بنابراین، با جایگزینی داده های خاص به فرمول (3)، پاسخ زیر را به دست می آوریم:
P(A و B) = (63/79) (64/80) = 0.638.
بنابراین احتمال رضایت هر دو خانواده از خریدشان 63.8 درصد است.
فرض کنید که پس از بررسی، خانواده اول به نمونه برگردد. احتمال اینکه هر دو خانواده از خرید خود راضی باشند را تعیین کنید. در این صورت احتمال رضایت هر دو خانواده از خریدشان برابر با 64/80 است. بنابراین، P(A و B) = (64/80) (64/80) = 0.64. بنابراین، احتمال رضایت هر دو خانواده از خرید خود 64.0 درصد است. این مثال نشان می دهد که انتخاب خانواده دوم به انتخاب خانواده اول بستگی ندارد. بنابراین، جایگزینی احتمال شرطی در فرمول (3) P(A|B)احتمال P(A)، فرمولی برای ضرب احتمالات رویدادهای مستقل بدست می آوریم.
قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل.اگر حوادث آو که دراز نظر آماری مستقل هستند، احتمال یک رویداد الف و ببرابر با احتمال رخداد است آضرب در احتمال وقوع که در.
(4) P(A و B) = P(A)P(B)
در صورتی که این قانون برای رویدادها صادق باشد آو که دریعنی از نظر آماری مستقل هستند. بنابراین، دو راه برای تعیین استقلال آماری دو رویداد وجود دارد:
- مناسبت ها آو که دراگر و فقط اگر از نظر آماری مستقل از یکدیگر هستند P(A|B) = P(A).
- مناسبت ها آو باگر و فقط اگر از نظر آماری مستقل از یکدیگر هستند P(A و B) = P(A)P(B).
اگر در یک جدول اقتضایی از ویژگی ها با اندازه 2×2، یکی از این شرایط برای حداقل یک ترکیب از رویدادها برقرار باشد. آو ب، برای هر ترکیب دیگری معتبر خواهد بود.
احتمال بی قید و شرط یک رویداد ابتدایی
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
که در آن رویدادهای B 1، B 2، ... B k متقابلاً منحصر به فرد و جامع هستند.
اجازه دهید کاربرد این فرمول را با استفاده از مثال شکل 1 نشان دهیم. با استفاده از فرمول (5) به دست می آوریم:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
جایی که P(A)- احتمال اینکه خرید برنامه ریزی شده باشد، P(B 1)- احتمال انجام خرید، P(B 2)- احتمال کامل نشدن خرید.
قضیه بیز
احتمال شرطی یک رویداد اطلاعاتی را در نظر می گیرد که رویداد دیگری رخ داده است. این رویکرد می تواند هم برای اصلاح احتمال با در نظر گرفتن اطلاعات تازه دریافت شده و هم برای محاسبه احتمال اینکه اثر مشاهده شده نتیجه یک علت خاص است، استفاده شود. روش پالایش این احتمالات را قضیه بیز می نامند. اولین بار توسط توماس بیز در قرن 18 توسعه یافت.
بیایید فرض کنیم که شرکت ذکر شده در بالا در حال تحقیق در مورد بازار یک مدل تلویزیون جدید است. در گذشته، 40 درصد از تلویزیون های ساخته شده توسط این شرکت موفق بودند، در حالی که 60 درصد از مدل ها شناخته نشدند. قبل از اعلام عرضه یک مدل جدید، متخصصان بازاریابی به دقت در مورد بازار تحقیق کرده و تقاضا را ثبت می کنند. در گذشته، 80 درصد از مدل‌های موفق موفق پیش‌بینی می‌شدند، در حالی که 30 درصد از پیش‌بینی‌های موفق اشتباه بودند. بخش بازاریابی پیش بینی مطلوبی برای مدل جدید ارائه کرد. احتمال اینکه یک مدل تلویزیون جدید مورد تقاضا باشد چقدر است؟
قضیه بیز را می توان از تعاریف احتمال شرطی (1) و (2) استخراج کرد. برای محاسبه احتمال P(B|A)، فرمول (2) را در نظر بگیرید:
و به جای P(A و B) مقدار فرمول (3) را جایگزین کنید:
P(A و B) = P(A|B) * P(B)
با جایگزینی فرمول (5) به جای P(A)، قضیه بیز را بدست می آوریم:
که در آن رویدادهای B 1، B 2، ... B k متقابلاً منحصر به فرد و جامع هستند.
اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: رویداد S - تلویزیون مورد تقاضا است، مناسبت ها' - تلویزیون مورد تقاضا نیست، رویداد F - پیش آگهی مطلوب، رویداد F’ - پیش آگهی ضعیف. فرض کنید P(S) = 0.4، P(S’) = 0.6، P(F|S) = 0.8، P(F|S’) = 0.3. با اعمال قضیه بیز به دست می آوریم:
احتمال تقاضا برای یک مدل تلویزیون جدید، با توجه به پیش بینی مطلوب، 0.64 است. بنابراین، احتمال کمبود تقاضا با پیش بینی مطلوب 1-0.64 = 0.36 است. فرآیند محاسبه در شکل نشان داده شده است. 4.
برنج. 4. (الف) محاسبات با استفاده از فرمول بیز برای تخمین احتمال تقاضا برای تلویزیون. (ب) درخت تصمیم هنگام مطالعه تقاضا برای یک مدل تلویزیون جدید
بیایید به مثالی از استفاده از قضیه بیز برای تشخیص پزشکی نگاه کنیم. احتمال اینکه فردی به بیماری خاصی مبتلا شود 0.03 است. یک آزمایش پزشکی می تواند صحت این موضوع را بررسی کند. اگر فردی واقعاً بیمار باشد، احتمال تشخیص دقیق (که می گویند بیمار در زمانی که واقعاً بیمار است) 0.9 است. اگر فردی سالم باشد، احتمال تشخیص مثبت کاذب (که می گویند فرد در زمان سالم بودن بیمار است) 02/0 است. بیایید بگوییم که آزمایش پزشکی نتیجه مثبت می دهد. احتمال اینکه یک فرد واقعاً بیمار باشد چقدر است؟ احتمال تشخیص دقیق چقدر است؟
اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: رویداد D - فرد بیمار است، رویداد D' - فرد سالم است، رویداد T - تشخیص مثبت است، رویداد T’ - تشخیص منفی. از شرایط مسئله چنین می شود که P(D) = 0.03، P(D’) = 0.97، P(T|D) = 0.90، P(T|D’) = 0.02. با استفاده از فرمول (6) به دست می آوریم:
احتمال اینکه با تشخیص مثبت یک فرد واقعاً بیمار باشد 0.582 است (همچنین به شکل 5 مراجعه کنید). لطفا توجه داشته باشید که مخرج فرمول بیز برابر با احتمال تشخیص مثبت است، یعنی. 0.0464.
یک شرط‌بندی حرفه‌ای باید درک خوبی از شانس‌ها، سریع و درست داشته باشد احتمال یک رویداد را با ضریب تخمین بزنیدو در صورت لزوم بتوانید تبدیل شانس از یک فرمت به فرمت دیگر. در این راهنما در مورد انواع ضرایب صحبت خواهیم کرد و همچنین از مثال هایی برای نشان دادن اینکه چگونه می توانید صحبت کنید احتمال را با استفاده از یک ضریب شناخته شده محاسبه کنیدو بالعکس.
چه نوع شانسی وجود دارد؟
سه نوع شانس اصلی وجود دارد که شرط‌بندان به بازیکنان ارائه می‌دهند: شانس اعشاری, شانس کسری(انگلیسی) و شانس آمریکایی. رایج ترین شانس در اروپا اعشاری است. شانس های آمریکایی در آمریکای شمالی محبوب هستند. شانس های کسری سنتی ترین نوع هستند.
شانس اعشاری
اعشارییا به آنها نیز گفته می شود شانس اروپایک قالب اعداد آشنا است که به صورت کسری اعشاری با دقت صدم و گاهی حتی هزارم نشان داده می شود. مثالی از ضریب اعشاری 1.91 است. محاسبه سود در مورد شانس اعشاری بسیار ساده است، فقط باید مقدار شرط خود را در این شانس ضرب کنید. به عنوان مثال، در بازی "منچستریونایتد" - "آرسنال"، پیروزی "منچستریونایتد" با ضریب 2.05، تساوی با ضریب 3.9 و پیروزی "آرسنال" برابر است. 2.95. بیایید بگوییم که مطمئن هستیم یونایتد پیروز می شود و 1000 دلار روی آنها شرط می بندیم. سپس درآمد احتمالی ما به صورت زیر محاسبه می شود:
2.05 * $1000 = $2050;
واقعا آنقدرها هم پیچیده نیست، درست است؟! درآمد احتمالی هنگام شرط بندی بر روی تساوی یا پیروزی برای آرسنال به همین ترتیب محاسبه می شود.
قرعه کشی: 3.9 * $1000 = $3900;
برد آرسنال: 2.95 * $1000 = $2950;
چگونه می توان احتمال یک رویداد را با استفاده از شانس اعشاری محاسبه کرد؟
حال تصور کنید که باید احتمال یک رویداد را بر اساس ضرایب اعشاری تعیین شده توسط مؤسسه تعیین کنیم. این نیز بسیار ساده انجام می شود. برای این کار یک را بر این ضریب تقسیم می کنیم.
بیایید داده های موجود را در نظر بگیریم و احتمال هر رویداد را محاسبه کنیم:
برد منچستریونایتد: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
قرعه کشی: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
برد آرسنال: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
شانس کسری (انگلیسی)
همانطور که از نامش پیداست ضریب کسریبا یک کسر معمولی نشان داده شده است. نمونه ای از شانس انگلیسی 5/2 است. صورت کسری حاوی عددی است که مقدار بالقوه برنده خالص است و مخرج عددی را نشان می دهد که مقداری را که برای دریافت این برد باید شرط بندی کرد را نشان می دهد. به زبان ساده، برای بردن 5 دلار باید 2 دلار شرط بندی کنیم. شانس 3/2 به این معنی است که برای بدست آوردن 3 دلار برنده خالص، باید 2 دلار شرط بندی کنیم.
چگونه با استفاده از ضرایب کسری احتمال یک رویداد را محاسبه کنیم؟
همچنین محاسبه احتمال وقوع یک رویداد با استفاده از شانس کسری دشوار نیست.
برای کسر 5/2 احتمال را محاسبه می کنیم: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
برای کسر 3/2 احتمال را محاسبه می کنیم:
شانس آمریکایی
شانس آمریکاییدر اروپا محبوبیت ندارد، اما در آمریکای شمالی بسیار محبوب است. شاید این نوع ضرایب پیچیده ترین باشد، اما این فقط در نگاه اول است. در واقع هیچ چیز پیچیده ای در این نوع ضرایب وجود ندارد. حالا بیایید همه چیز را به ترتیب مشخص کنیم.
ویژگی اصلی شانس های آمریکایی این است که می توانند هر دو باشند مثبت، بنابراین منفی. نمونه ای از شانس آمریکایی - (+150)، (-120). شانس آمریکایی (+150) به این معنی است که برای کسب 150 دلار باید 100 دلار شرط بندی کنیم. به عبارت دیگر، یک ضریب مثبت آمریکایی منعکس کننده سود خالص بالقوه در شرط بندی 100 دلار است. ضریب منفی آمریکا نشان دهنده مقدار شرط بندی است که برای بدست آوردن یک برد خالص 100 دلاری باید انجام شود. به عنوان مثال، ضریب (-120) به ما می گوید که با شرط بندی 120 دلار، 100 دلار برنده خواهیم شد.
چگونه احتمال یک رویداد را با استفاده از شانس آمریکایی محاسبه کنیم؟
احتمال وقوع یک رویداد با استفاده از ضریب آمریکایی با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:
(-(M)) / ((-(M)) + 100), که در آن M یک ضریب منفی آمریکایی است.
100/(P+100), که در آن P یک ضریب مثبت آمریکایی است.
به عنوان مثال، ما یک ضریب (-120) داریم، سپس احتمال به صورت زیر محاسبه می شود:
(-(M)) / ((-(M)) + 100); مقدار (-120) را جایگزین "M" کنید.
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
بنابراین، احتمال یک رویداد با شانس آمریکایی (-120) 54.5٪ است.
به عنوان مثال، ما یک ضریب (+150) داریم، سپس احتمال به صورت زیر محاسبه می شود:
100/(P+100); مقدار (+150) را با "P" جایگزین کنید.
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
بنابراین، احتمال یک رویداد با شانس آمریکایی (+150) 40٪ است.
چگونه با دانستن درصد احتمال، آن را به ضریب اعشاری تبدیل کنیم؟
برای محاسبه ضریب اعشاری بر اساس درصد احتمال مشخص، باید عدد 100 را بر احتمال رویداد به عنوان درصد تقسیم کنید. به عنوان مثال، احتمال یک رویداد 55 درصد است، سپس ضریب اعشاری این احتمال برابر با 1.81 خواهد بود.
100 / 55% = 1,81
چگونه با دانستن درصد احتمال، آن را به ضریب کسری تبدیل کنیم؟
برای محاسبه ضریب کسری بر اساس درصد احتمال شناخته شده، باید یک را از تقسیم 100 بر احتمال یک رویداد به عنوان درصد کم کنید. به عنوان مثال، اگر درصد احتمال 40% داشته باشیم، ضریب کسری این احتمال برابر با 3/2 خواهد بود.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
ضریب کسری 1.5/1 یا 3/2 است.
چگونه با دانستن درصد احتمال، آن را به ضریب آمریکایی تبدیل کنیم؟
اگر احتمال یک رویداد بیش از 50٪ باشد، محاسبه با استفاده از فرمول انجام می شود:
- ((V) / (100 - V)) * 100، جایی که V احتمال است.
به عنوان مثال، اگر احتمال یک رویداد 80٪ باشد، ضریب آمریکایی این احتمال برابر با (400-) خواهد بود.
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
اگر احتمال یک رویداد کمتر از 50٪ باشد، محاسبه با استفاده از فرمول انجام می شود:
((100 - V) / V) * 100, جایی که V احتمال است.
به عنوان مثال، اگر درصد احتمال یک رویداد را 20 درصد داشته باشیم، ضریب آمریکایی این احتمال برابر با (400) خواهد بود.
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
چگونه ضریب را به فرمت دیگری تبدیل کنیم؟
مواقعی وجود دارد که لازم است شانس ها را از یک فرمت به فرمت دیگر تبدیل کنید. به عنوان مثال، ما یک شانس کسری 3/2 داریم و باید آن را به اعشار تبدیل کنیم. برای تبدیل یک شانس کسری به یک اعشاری، ابتدا احتمال یک رویداد را با ضریب کسری تعیین می کنیم و سپس این احتمال را به شانس اعشاری تبدیل می کنیم.
احتمال وقوع یک رویداد با شانس کسری 3/2 40٪ است.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
حالا بیایید برای انجام این کار، احتمال یک رویداد را به ضریب اعشاری تبدیل کنیم، 100 را بر احتمال رویداد به صورت درصد تقسیم کنیم.
100 / 40% = 2.5;
بنابراین، شانس کسری 3/2 برابر است با شانس اعشاری 2.5. به روشی مشابه، برای مثال، شانس آمریکایی به کسری، اعشاری به آمریکایی و غیره تبدیل می شود. سخت ترین چیز در همه اینها فقط محاسبات است.
