رویدادهای A و B تصادفی هستند زیرا ممکن است اتفاق بیفتند یا نباشند. رویداد D - یک عدد زوج یا فرد روی کارت وجود دارد

بازآرایی ها فرمول تعداد جایگشت ها

جایگشت از n عناصر

اجازه دهید مجموعه ایکسشامل n عناصر.

تعریف. قرار دادن بدون تکرار ازn عناصر مجموعهایکس توسط n تماس گرفت جایگشت از n عناصر.

توجه داشته باشید که هر جایگشتی شامل تمام عناصر مجموعه می شودایکس ، و دقیقا یک بار. یعنی جایگشت ها فقط در ترتیب عناصر با یکدیگر تفاوت دارند و با جابجایی عناصر از یکدیگر به دست می آیند (از این رو نام آن است).

تعداد همه جایگشت ها ازn عناصر با نماد نشان داده می شوند .

از آنجایی که جایگشت ها مورد خاصی از قرارگیری بدون تکرار هستند وقتی ، سپس فرمول پیدا کردن عدد ما از فرمول (2) به دست می آوریم و آن را جایگزین می کنیم :

بدین ترتیب،

(3)

مثال. به چند روش می توان 5 کتاب را در قفسه گذاشت؟

راه حل. راه های زیادی برای قرار دادن کتاب ها در یک قفسه وجود دارد که جابجایی های مختلف پنج عنصر وجود دارد:راه ها.

اظهار نظر. فرمول های (1)-(3) نیازی به حفظ کردن ندارند: مشکلات مربوط به کاربرد آنها همیشه با استفاده از قانون محصول قابل حل است. اگر دانش‌آموزان در ایجاد مدل‌های ترکیبی از مسائل مشکل دارند، بهتر است مجموعه فرمول‌ها و قواعد مورد استفاده را محدود کنند (تا فرصت کمتری برای اشتباه وجود داشته باشد). درست است، مسائلی که در آنها از جایگشت و فرمول (3) استفاده می شود، معمولاً بدون هیچ مشکلی حل می شوند.

وظایف

1. F. از چند طریق می توانند در باجه بلیط صف بسازند: 1) 3 نفر. 2) 5 نفر؟

راه حل.

گزینه‌های مختلف برای چیدمان n نفر در یک صف تنها به ترتیبی که افراد بر اساس آن مرتب شده‌اند با یکدیگر متفاوت هستند، یعنی جایگشت‌های متفاوتی از n عنصر هستند.

سه نفر می توانند صف P3 = 3! = 6 روش مختلف

جواب: 1) 6 راه; 2) 120 راه.

2. T. 4 نفر از چند طریق می توانند روی یک نیمکت چهار نفره جا شوند؟

راه حل.

تعداد افراد برابر با تعداد صندلی های روی نیمکت است، بنابراین تعداد گزینه های قرارگیری برابر است با تعداد جایگشت های 4 عنصر: P4 = 4! = 24.

شما می توانید طبق قانون محصول استدلال کنید: برای نفر اول می توانید یکی از 4 مکان را انتخاب کنید، برای نفر دوم - هر یک از 3 مکان باقی مانده، برای نفر سوم - هر یک از 2 مکان باقی مانده، نفر آخر 1 مکان باقی مانده را می گیرد. ; همه چیز وجود دارد = 24 روش مختلف برای نشستن 4 نفر روی یک نیمکت چهار نفره.

جواب: 24 راه.

3. M. در Vova برای ناهار - دوره اول، دوم، سوم و کیک. او قطعا با کیک شروع می کند و بقیه را به ترتیب تصادفی می خورد. تعداد گزینه های ممکن ناهار را پیدا کنید.

M-مشکلات از کتاب درسی. کتابچه راهنمای A.G. Mordkovich

T - ed. S.A.Telyakovsky

F- M.V. Tkacheva

راه حل.

بعد از کیک، Vova می تواند یکی از سه غذا را انتخاب کند، سپس دو غذا را انتخاب کند و با بقیه غذا تمام کند. تعداد کل گزینه های ناهار ممکن: =6.

پاسخ: 6.

4. F. چند عبارت صحیح (از نظر زبان روسی) را می توان با تغییر ترتیب کلمات در یک جمله ساخت: 1) "من برای پیاده روی رفتم"؛ 2) "گربه ای در حیاط راه می رود"؟

راه حل.

در جمله دوم، حرف اضافه «in» باید همیشه قبل از اسم «حیاط» که به آن اشاره دارد ظاهر شود. بنابراین، با شمارش جفت "در حیاط" به عنوان یک کلمه، می توانید تعداد جایگشت های مختلف سه کلمه شرطی را پیدا کنید: P3 = 3! = 6. بنابراین، در این مورد، می توانید 6 جمله صحیح بسازید.

پاسخ: 1) 6; 2) 6.

5. به چند روش می توان از حروف K، L، M، H برای تعیین رئوس یک چهار ضلعی استفاده کرد؟

راه حل.

ما فرض می کنیم که رئوس چهار ضلعی شماره گذاری شده اند و هر کدام دارای یک عدد ثابت هستند. سپس مشکل به شمارش تعداد روش های مختلف ترتیب دادن 4 حرف در 4 مکان (راس)، یعنی شمارش تعداد جایگشت های مختلف می رسد: P4 = 4! = 24 راه

جواب: 24 راه.

6. ف. چهار دوست بلیط سینما خریدند: برای صندلی های اول و دوم در ردیف اول و برای صندلی های اول و دوم در ردیف دوم. دوستان از چند طریق می توانند این 4 صندلی را در سینما بگیرند؟

راه حل.

چهار دوست می توانند 4 مکان مختلف را بگیرند P4 = 4! = 24 روش مختلف

جواب: 24 راه.

7. ت. پیک باید بسته ها را به 7 موسسه مختلف تحویل دهد. او چند مسیر را می تواند انتخاب کند؟

راه حل.

مسیر باید به عنوان ترتیب بازدید پیک از موسسات درک شود. اجازه دهید موسسات را از 1 تا 7 شماره گذاری کنیم، سپس مسیر به صورت دنباله ای از 7 عدد نمایش داده می شود که ممکن است ترتیب آنها تغییر کند. تعداد مسیرها برابر است با تعداد جایگشت های 7 عنصر: P7= 7! = 5040.

پاسخ: 5040 مسیر.

8. T. چند عبارت وجود دارد که به طور یکسان برابر حاصلضرب abcde هستند که با ترتیب مجدد عوامل از آن به دست می آیند؟

راه حل.

داده شده حاصل ضرب پنج عامل مختلف abcde است که ترتیب آنها می تواند تغییر کند (زمانی که عوامل بازآرایی شوند، حاصلضرب تغییر نمی کند).

در کل P5 = 5 وجود دارد! = 120 روش مختلف برای ترتیب دادن پنج ضریب. ما یکی از آنها (abcde) را اصل می دانیم، 119 عبارت باقی مانده به طور یکسان با این یکی برابر هستند.

پاسخ: 119 عبارت.

9. T. Olga به یاد می آورد که شماره تلفن دوستش به اعداد 5، 7، 8 ختم می شود، اما او فراموش کرده است که این اعداد به چه ترتیبی ظاهر می شوند. بیشترین تعداد گزینه هایی را که او باید طی کند تا به دوستش برسد را مشخص کنید.

راه حل.

سه رقم آخر یک شماره تلفن را می توان در یکی از P3 =3 قرار داد! =6 سفارش ممکن که فقط یکی از آنها صحیح است. اولگا می‌تواند بلافاصله گزینه صحیح را تایپ کند، می‌تواند آن را سوم تایپ کند، و غیره. اگر گزینه صحیح آخرین، یعنی ششمین باشد، باید بیشترین تعداد گزینه را تایپ کند.

پاسخ: 6 گزینه.

10. T. چند عدد شش رقمی (بدون تکرار اعداد) می توان از اعداد: الف) 1،2، 5، 6، 7، 8 ساخت. ب) 0، 2، 5، 6، 7، 8؟ راه حل.

الف) با توجه به 6 رقم: 1، 2، 5، 6، 7، 8، فقط با مرتب کردن مجدد این ارقام می توانید اعداد شش رقمی مختلف بسازید. تعداد اعداد شش رقمی مختلف برابر است با P6 = 6! = 720.

ب) با توجه به 6 رقم: 0، 2، 5، 6، 7، 8، از آنها باید اعداد شش رقمی مختلف بسازید. تفاوت با مشکل قبلی این است که صفر نمی تواند اول شود.

شما می توانید مستقیماً قانون محصول را اعمال کنید: می توانید هر یک از 5 رقم (به جز صفر) را برای رتبه اول انتخاب کنید. در وهله دوم - هر یک از 5 رقم باقی مانده (4 عدد "غیر صفر" هستند و اکنون ما صفر می شماریم). به مقام سوم - هر یک از 4 رقم باقی مانده پس از دو انتخاب اول و غیره. تعداد کل گزینه ها: = 600.

می توانید از روش حذف گزینه های غیر ضروری استفاده کنید. 6 رقم را می توان دوباره مرتب کرد P6 = 6! = 720 روش مختلف در بین این روش ها روش هایی وجود خواهند داشت که در آنها رتبه اول صفر است که غیرقابل قبول است. بیایید تعداد این گزینه های نامعتبر را بشماریم. اگر در وهله اول یک صفر وجود داشته باشد (ثابت است)، پنج مکان بعدی می توانند شامل اعداد "غیر صفر" 2، 5، 6، 7، 8 به هر ترتیبی باشند می توان در 5 مکان قرار داد برابر است با P5 = 5! = 120، یعنی تعداد جایگشت اعدادی که از صفر شروع می شوند 120 است. تعداد مورد نیاز اعداد شش رقمی مختلف در این مورد برابر است با: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.

جواب: الف) 720; ب) 600 عدد.

11. ت. چه تعداد از اعداد چهار رقمی (بدون تکرار اعداد) از اعداد 3، 5، 7، 9 ساخته شده اند که: الف) با عدد 3 شروع می شوند.

ب) مضرب 15 هستند؟

راه حل.

الف) از اعداد 3، 5، 7، 9 اعداد چهار رقمی می سازیم که با عدد 3 شروع می شوند.

ما در وهله اول عدد 3 را ثابت می کنیم. سپس در سه باقی ماندهاعداد 5، 7 9 را می توان به هر ترتیبی به هر ترتیبی قرار داد تعداد کل گزینه ها برای مکان آنها P است 3 = 3!=6. تعداد بسیار زیادی اعداد چهار رقمی مختلف وجود خواهد داشتاعداد داده شده و با عدد 3 شروع می شود.

ب) توجه داشته باشید که مجموع این ارقام 3 + 5 + 7 + 9 = 24 بر 3 بخش پذیر است، بنابراین، هر عدد چهار رقمی که از این ارقام تشکیل شده باشد، بر 3 بخش پذیر است. برای اینکه برخی از این اعداد قابل بخش باشند. در 15 لازم است تا با عدد 5 خاتمه یابد.

ما عدد 5 را در آخرین مکان ثابت می کنیم. 3 رقم باقی مانده را می توان در سه مکان در مقابل 5 Rz = 3 قرار داد! = 6 روش مختلف تعداد زیادی اعداد چهار رقمی مختلف از این اعداد ساخته شده است که بر 15 بخش پذیر هستند.

پاسخ: الف) 6 عدد; ب) 6 عدد.

12. ت. مجموع ارقام تمام اعداد چهار رقمی را که می توان از اعداد 1، 3، 5، 7 (بدون تکرار آنها) بدست آورد.

راه حل.

هر عدد چهار رقمی متشکل از ارقام 1، 3، 5، 7 (بدون تکرار) دارای مجموع ارقام 1 + 3 + 5 + 7 = 16 است.

از این اعداد می توانید P4 = 4 کنید! = 24 عدد مختلف که فقط در ترتیب ارقام متفاوت است. مجموع ارقام همه این اعداد برابر خواهد بود

16 = 384.

جواب: 384.

13. تی هفت پسر که شامل اولگ و ایگور می شود پشت سر هم ایستاده اند. تعداد ترکیب های ممکن را بیابید اگر:

الف) اولگ باید در انتهای ردیف باشد.

ب) اولگ باید در ابتدای ردیف باشد و ایگور باید در انتهای ردیف باشد.

ج) اولگ و ایگور باید در کنار یکدیگر بایستند.
راه حل.

الف) فقط 7 پسر در 7 مکان وجود دارد، اما یک عنصر ثابت است و قابل تنظیم مجدد نیست (اولگ در انتهای ردیف است). تعداد ترکیب های ممکن برابر است با تعداد جایگشت های 6 پسری که جلوی اولگ ایستاده اند: P6=6!=720.

جفت به عنوان یک عنصر واحد، با پنج عنصر دیگر مرتب شده است. سپس تعداد ترکیب های ممکن P6 = 6 خواهد بود! = 720.

حالا بگذارید اولگ و ایگور به ترتیب IO کنار هم بایستند. سپس یک P6 = 6 دیگر دریافت می کنیم! = 720 ترکیب دیگر.

تعداد کل ترکیب هایی که اولگ و ایگور در کنار یکدیگر هستند (به هر ترتیبی) 720 + 720 = 1440 است.

جواب: الف) 720; ب) 120; ج) 1440 ترکیب.

14. M. یازده بازیکن فوتبال قبل از شروع مسابقه صف می کشند. اولی کاپیتان، دومی دروازه بان و بقیه تصادفی هستند. چند روش ساخت و ساز وجود دارد؟

راه حل.

بعد از کاپیتان و دروازه بان، بازیکن سوم می تواند هر یک از 9 مکان باقیمانده، مکان بعدی را از 8 مکان و غیره انتخاب کند. تعداد کل روش های ساخت با استفاده از قانون محصول برابر است با:

1 = 362880 یا P 9 = 9! = 362,880.

جواب: 362880.

15. م. از چند طریق می توان رئوس مکعب را با حروف A، B، C، D، E، F، G، K مشخص کرد؟

راه حل.

برای راس اول می توانید هر یک از 8 حرف را انتخاب کنید، برای دوم - هر یک از 7 حرف باقی مانده و غیره را انتخاب کنید. تعداد کل راه ها طبق قانون محصول برابر است با=40 320 یا P8 = 8!

جواب: 40320.

16. ت. برنامه روز دوشنبه شش درس دارد: جبر، هندسه، زیست شناسی، تاریخ، تربیت بدنی، شیمی. از چند طریق می توانید برنامه درسی برای این روز ایجاد کنید تا دو درس ریاضی در کنار هم باشند؟

راه حل.

کلا 6 درس هست که دو درس ریاضی باید کنار هم باشه.

دو عنصر (جبر و هندسه) را ابتدا به ترتیب AG و سپس به ترتیب GA می چسبانیم. برای هر گزینه "چسباندن" P5 = 5 دریافت می کنیم! = 120 گزینه برنامه ریزی. تعداد کل راه های ایجاد یک برنامه زمان بندی 120 (AG) +120 (GA) = 240 است.

جواب: 240 راه.

17. ت- چند جایگشت از حروف کلمه مخروط وجود دارد که حروف K، O، N در کنار یکدیگر قرار دارند؟

راه حل.

با توجه به 5 حرف که سه تای آنها باید در کنار هم باشند. سه حرف K، O، N می توانند در کنار یکی از P3 = 3 قرار بگیرند! = 6 راه برای هر روش "چسباندن" حروف K، O، N، P3 = 3 دریافت می کنیم! = 6 روش جابجایی حروف، "چسباندن"، U، S. تعداد کل جایگشت های مختلف حروف کلمه "مخروط" که در آن حروف K، O، N در کنار یکدیگر قرار دارند، 6 6 = 36 است. جایگشت - آناگرام.

جواب: 36 آناگرام.

18. T. 5 پسر و 5 دختر به چند صورت می توانند از 1 تا 10 صندلی در یک ردیف در تئاتر را اشغال کنند؟ اگر پسرها در صندلی های فرد و دختران در صندلی های زوج بنشینند، از چند طریق می توانند این کار را انجام دهند؟

راه حل.

هر گزینه برای چیدمان پسرانه را می توان با هر یک از گزینه های چیدمان دخترانه ترکیب کرد، بنابراین، طبق قانون محصول، تعداد کل روش های نشستن کودکان در این مورد 120 است. 20= 14400.

پاسخ: 3,628,800 راه; 14400 راه.

19. ت. پنج پسر و چهار دختر می خواهند روی یک نیمکت نه نفره بنشینند تا هر دختر بین دو پسر بنشیند. از چند طریق می توانند این کار را انجام دهند؟

راه حل.

با توجه به شرایط تکلیف، دختر و پسر باید متناوب بنشینند، یعنی دختران فقط می توانند در مکان های زوج و پسران فقط در مکان های فرد بنشینند. بنابراین، دختران تنها با دختران می توانند جای خود را تغییر دهند و پسران تنها با پسرها می توانند جای خود را تغییر دهند. چهار دختر را می توان در چهار مکان زوج نشستن P4 = 4! = 24 راه، و پنج پسر در پنج مکان عجیب و غریب P5 = 5! = 120 راه.

هر روش قرار دادن دختر می تواند با هر روش قرار دادن پسر ترکیب شود، بنابراین، طبق قانون محصول، تعداد کل راه ها برابر است با: P420 = 2880 راه.

پاسخ: ۲۸۸۰ راه.

20. F. اعداد 30 و 210 را به عوامل اول تقسیم کنید: به چند روش می توان عدد را به عنوان حاصل ضرب عوامل ساده نوشت: 1) 30. 2) 210؟

راه حل.

بیایید این اعداد را به عوامل اول تبدیل کنیم:

30 = 2 ; 210 = 2 .

عدد 30 را می توان به عنوان حاصل ضرب ضرایب اول نوشت

آر 3 = 3 = 6 روش مختلف (با تنظیم مجدد عوامل).

عدد 210 را می توان به صورت حاصل ضرب اعداد اول نوشت
ضرب کننده هاآر 4 = 4! = 24 روش مختلف

جواب: 1) 6 راه; 2) 24 راه.

21. F. با استفاده از اعداد 1، 2، 3، 5 چند عدد مختلف چهار رقمی با ارقام غیر تکراری را می توان نوشت؟

راه حل.

برای زوج بودن یک عدد باید به یک رقم زوج یعنی 2 ختم شود. بیایید این دو را در جای آخر ثابت کنیم، سه رقم باقیمانده باید جلوی آن به هر ترتیبی ظاهر شوند. تعداد جایگشت های مختلف 3 رقمی P3 = 3 است! = 6; بنابراین، 6 عدد زوج چهار رقمی مختلف نیز وجود خواهد داشت (عدد 2 به هر جایگشت سه رقمی اضافه می شود).

جواب: 6 عدد.

22. F. با استفاده از ارقام 1،2، 4، 6، 8 چند عدد 5 رقمی فرد متفاوت را می توان نوشت که ارقام یکسانی ندارند؟

راه حل.

برای اینکه یک عدد مرکب فرد باشد، باید به یک رقم فرد ختم شود، یعنی یک. 4 رقم باقیمانده را می توان مجدداً مرتب کرد و هر بازآرایی را قبل از یکی قرار داد.

تعداد کل اعداد پنج رقمی فرد برابر است با تعداد جایگشت ها: P4 = 4! =24.

23. F. چند عدد شش رقمی مختلف با ارقام غیر تکراری را می توان با استفاده از ارقام 1 نوشت. 2 3، 4، 5، 6، اگر: 1) عدد باید با 56 شروع شود. 2) آیا اعداد 5 و 6 باید کنار هم باشند؟

راه حل.

دو رقم 5 و 6 را در ابتدای عدد ثابت می کنیم و از 4 رقم باقیمانده جایگشت های مختلفی را به آنها اضافه می کنیم. تعداد اعداد شش رقمی مختلف برابر است با: P4 = 4! = 24.

مجموع اعداد شش رقمی مختلف که در آنها ارقام 5 و 6 در کنار یکدیگر قرار دارند (به هر ترتیبی) 120 + 120 = 240 عدد است. (گزینه‌های 56 و 65 ناسازگار هستند و نمی‌توانند به طور همزمان تحقق یابند؛ ما قانون جمع ترکیبی را اعمال می‌کنیم.)

پاسخ: 1) 24; 2) 240 عدد.

24. و از اعداد 1،2،3،4 چند عدد زوج چهار رقمی مختلف که ارقام یکسانی ندارند ساخته می شود؟

راه حل.

یک عدد زوج باید به یک رقم زوج ختم شود. شماره 2 را در آخرین مکان ثابت می کنیم، سپس 3 عدد قبلی را می توان دوباره مرتب کرد P3 = 3! = 6 روش مختلف؛ 6 عدد با دو در آخر بدست می آوریم. شماره 4 را در آخرین مکان ثابت می کنیم، P3 = 3 می گیریم! = 6 جایگشت مختلف از سه رقم قبل و 6 عدد که به 4 ختم می شوند.

تعداد کل اعداد چهار رقمی زوج 6 + 6 = 12 عدد مختلف خواهد بود.

جواب: 12 عدد.

اظهار نظر. ما تعداد کل گزینه ها را با استفاده از قانون جمع ترکیبی می یابیم (6 گزینه برای اعدادی که به دو ختم می شوند، 6 گزینه برای اعدادی که به چهار ختم می شوند؛ روش های ساخت اعداد با دو و با چهار در پایان متقابل هستند، ناسازگار، بنابراین مجموع گزینه‌ها برابر است با مجموع تعداد گزینه‌هایی که در انتها یک دو و تعداد گزینه‌هایی که در پایان آن 4 است). ورودی 6 + 6 = 12 دلایل اعمال ما را بهتر از ورودی P منعکس می کند.

25. F. از چند طریق می توان عدد 1) 12 را به عنوان حاصلضرب عوامل اول نوشت؟ 2) 24; 3) 120؟

راه حل.

ویژگی این مشکل این است که در بسط هر یک از این اعداد عوامل تکرار شونده یکسانی وجود دارد. هنگام تشکیل جایگشت های مختلف از عوامل، اگر هر دو عامل یکسان را مبادله کنیم، جایگشت جدیدی دریافت نخواهیم کرد.

1) عدد 12 به سه عامل اول تقسیم می شود که دو تای آنها یکسان هستند: 12 = .

اگر همه عوامل متفاوت بودند، می توان آنها را در محصول P3 = 3 مرتب کرد! = 6 روش مختلف برای فهرست کردن این روش‌ها، به طور مشروط دو دو را «متمایز» می‌کنیم و بر یکی از آنها تأکید می‌کنیم: 12 = 2.

سپس 6 نوع زیر برای تجزیه به ساکنان ممکن است:

اما در حقیقت، خط کشیدن زیر اعداد در ریاضیات معنایی ندارد، بنابراین 6 جایگشت حاصل در نماد معمولی به نظر می رسد:

یعنی در واقع، ما نه 6، بلکه 3 جایگشت متفاوت گرفتیم، به این دلیل که مجبور نیستیم جایگشت های دو تایی را با یکدیگر در نظر بگیریم.

P x را نشان می دهیم تعداد مورد نیاز جایگشت سه عنصر، از جمله دو عنصر یکسان؛ سپس نتیجه ای که به دست می آوریم را می توان به صورت زیر نوشت: Рз = Рایکس اما 2 تعداد جایگشت های مختلف دو عنصر است، یعنی 2 == 2! = P 2، بنابراین P3، = P x P 2، از این رو P x = . (این فرمول تعداد جایگشت ها با تکرار است).

تنها بر اساس قاعده محصول ترکیبی، می توان متفاوت استدلال کرد.

برای ایجاد یک محصول از سه عامل، ابتدا مکانی را برای فاکتور 3 انتخاب کنید. این را می توان به یکی از سه روش انجام داد. پس از این، ما هر دو فضای باقی مانده را با دو پر می کنیم. این را می توان به 1 روش انجام داد. بر اساس قانون محصول، تعداد کل راه ها عبارتند از: 3-1 = 3.، Р x =20.

راه دوم هنگام ترکیب یک حاصل از پنج عامل، ابتدا یک مکان برای پنج (5 راه)، سپس برای سه (4 راه) انتخاب می کنیم و 3 مکان باقی مانده را با دو تا (1 راه) پر می کنیم. طبق قانون محصول 5 4 1 = 20.

پاسخ: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. و. از چند طریق می توان 6 خانه را به گونه ای رنگ کرد که 3 خانه قرمز و 3 خانه باقی مانده (هر کدام با رنگ خاص خود) سفید، سیاه یا سبز رنگ شوند؟

راه حل.

جایگشت های 6 عنصر که از میان آنها سه عنصر یکسان هستند:

در غیر این صورت: برای رنگ آمیزی با رنگ سفید، می توانید یکی از 6 سلول را انتخاب کنید، سیاه - از 5، سبز - از 4. سه سلول باقی مانده قرمز رنگ شده اند. تعداد کل راه ها: 6 5 4 1 = 120.

جواب: 120 راه.

27.T. یک عابر پیاده باید یک بلوک به سمت شمال و سه بلوک به سمت غرب راه برود. تمام مسیرهای عابر پیاده ممکن را یادداشت کنید.= 4.

پاسخ: 4 مسیر.

28. م. الف) روی درهای چهار دفتر یکسان نصب تابلوهایی با نام چهار معاون الزامی است. از چند طریق می توان این کار را انجام داد؟

ب) در 9 کلاس "الف" چهارشنبه 5 درس جبر، هندسه، تربیت بدنی، روسی، انگلیسی وجود دارد. چند گزینه برنامه زمانی می توانید برای این روز ایجاد کنید؟

ج) چهار دزد به چند طریق می توانند یکی یکی در هر چهار جهت پراکنده شوند؟

د) آجودان باید پنج نسخه از دستور ژنرال را به پنج هنگ تحویل دهد. از چند طریق می تواند مسیر تحویل نسخه های سفارش را انتخاب کند؟

راه حل.

الف) برای اولین بشقاب، می توانید یکی از 4 کابینت را انتخاب کنید،
برای دوم - هر یک از سه باقی مانده، برای سوم - هر یک از دو باقی مانده، برای چهارم - یکی باقی مانده. طبق قاعده
محصول، تعداد کل راه ها عبارتند از: 4 3 2 1 = 24، یا P4 = 4! = 24.= 120، یا P5 = 5! = 120.

جواب: الف) 24; ب) 120; ج) 24; د) 120.

ادبیات

آفاناسیف V.V. نظریه احتمال در مثال ها و مسائل، - یاروسلاول: دانشگاه آموزشی دولتی یاروسلاول، 1994.

باورین I. I. ریاضیات عالی: کتاب درسی برای دانشجویان رشته های شیمی و ریاضی دانشگاه های آموزشی - ویرایش دوم، اصلاح شده. - م.: آموزش و پرورش، 1372.

Bunimovich E. A.، Bulychev V. A. احتمال و آمار. کلاس 5-9: کتابچه راهنمای موسسات آموزش عمومی، - M.: Bustard، 2005.

Vilenkin N. Ya و دیگران. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 10: کتاب درسی برای دانش آموزان در مدارس و کلاس ها با مطالعه عمیق ریاضیات. - م.: آموزش و پرورش، 1371.

Vilenkin N. Ya و دیگران. جبر و تجزیه و تحلیل ریاضی برای کلاس 11: کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس ها با مطالعه عمیق ریاضیات - M.: Prosveshchenie، 1990.

گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه: پایه های 9-10. کتابچه راهنمای معلمان. - م.: آموزش و پرورش 1983.

Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. ریاضی 9: جبر. کارکرد. تجزیه و تحلیل داده ها - M.: Bustard, 2000.

کولیاژین و دیگران. جبر و شروع تحلیل پایه 11. ریاضیات در مدرسه - 1381 - شماره 4 - ص 43،44،46.

لیوپشکاس V.S. دروس اختیاری ریاضی: تئوری احتمال: کتاب درسی پایه های 9-11 - M., 1991.

Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G. عناصر آمار و تئوری احتمال: کتاب درسی برای دانش آموزان پایه های 7-9 - M.: Prosveshchenie، 2005.

موردکوویچ A.G.، Semenov P.V. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، پایه دهم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی (سطح مشخصات) - M.: Mnemosyna، 2005.

Tkacheva M.V.، Fedorova N.E. عناصر آمار و احتمال: کتاب درسی برای دانش آموزان پایه های 7-9 - M.: Prosveshchenie، 2005.

در ترکیب شناسی، آنها سؤالاتی را در مورد اینکه چند ترکیب از یک نوع خاص را می توان از اشیاء (عناصر) معین ساخت، مطالعه می کنند.

تولد ترکیبیات به عنوان یک شاخه با آثار بی پاسکال و پی فرما در نظریه قمار همراه است. سهم بزرگی در توسعه روش های ترکیبی توسط G.V. لایب نیتس، جی. برنولی و ال. اویلر.

فیلسوف، نویسنده، ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی بلز پاسکال (1623-1662) توانایی های ریاضی برجسته خود را در اوایل نشان داد. دامنه علایق ریاضی پاسکال بسیار متنوع بود. پاسکال یک چیز را ثابت کرد
از قضایای اساسی هندسه تصویری (قضیه پاسکال)، ماشین جمع کننده (ماشین جمع پاسکال) طراحی کرد، روشی برای محاسبه ضرایب دوجمله ای (مثلث پاسکال) ارائه کرد، اولین کسی بود که روش استقرای ریاضی را برای اثبات دقیق تعریف و به کار برد. گام مهمی در توسعه تحلیل بینهایت کوچک برداشت و نقش مهمی در ظهور نظریه احتمال ایفا کرد. در هیدرواستاتیک، پاسکال قانون اساسی خود (قانون پاسکال) را تعیین کرد. «نامه‌هایی به یک استانی» پاسکال شاهکاری از نثر کلاسیک فرانسوی بود.

گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۶۴۶–۱۷۱۶) فیلسوف، ریاضی‌دان، فیزیک‌دان و مخترع، حقوقدان، مورخ و زبان‌شناس آلمانی بود. در ریاضیات، همراه با نیوتن، حساب دیفرانسیل و انتگرال را توسعه داد. او کمک های مهمی به ترکیب شناسی کرد. نام او به ویژه با مسائل تئوری اعداد همراه است.

گوتفرید ویلهلم لایب نیتس ظاهر چندان چشمگیری نداشت و بنابراین تصور یک فرد نسبتاً ساده را به خود می‌داد. یک روز در پاریس، به امید خرید کتابی از فیلسوفی که می‌شناخت، به کتابفروشی رفت. وقتی یکی از بازدیدکنندگان درباره این کتاب پرسید، کتابفروش که سر تا پا او را بررسی کرده بود، با تمسخر گفت: «چرا به آن نیاز داری؟ آیا واقعاً توانایی خواندن چنین کتاب هایی را دارید؟» قبل از اینکه دانشمند وقت پاسخگویی داشته باشد، نویسنده کتاب خود با این جمله وارد مغازه شد: "با سلام و احترام به لایب نیتس بزرگ!" فروشنده نمی توانست بفهمد که این واقعاً لایب نیتس معروف است که کتاب هایش در بین دانشمندان تقاضای زیادی داشت.

در آینده موارد زیر نقش مهمی خواهند داشت

لمااجازه دهید در مجموعه ای از عناصر، و در یک مجموعه - عناصر. سپس تعداد تمام جفت های متمایز که در آن برابر خواهد بود.

اثباتدر واقع، با یک عنصر از یک مجموعه می‌توانیم چنین جفت‌های مختلف و در مجموع در مجموعه‌ای از عناصر ایجاد کنیم.

جایگذاری ها، جایگشت ها، ترکیب ها

اجازه دهید مجموعه ای از سه عنصر داشته باشیم. از چه راه هایی می توانیم دو مورد از این عناصر را انتخاب کنیم؟ .

تعریف.چیدمان مجموعه ای از عناصر مختلف بر اساس عناصر، ترکیباتی هستند که از عناصر داده شده توسط عناصر > تشکیل شده اند و یا در خود عناصر یا در ترتیب عناصر متفاوت هستند.

تعداد تمام چیدمان های مجموعه ای از عناصر توسط عناصر با (از حرف ابتدایی کلمه فرانسوی "arrangement" که به معنای چیدمان است) نشان داده می شود که در آن و .

قضیه.تعداد قرارگیری مجموعه ای از عناصر توسط عناصر برابر است با

اثباتفرض کنید عناصر داریم. قرار دادن ممکن است. ما این مکان ها را به صورت متوالی می سازیم. ابتدا اجازه دهید اولین عنصر قرارگیری را تعریف کنیم. از یک مجموعه معین از عناصر می توان آن را به روش های مختلفی انتخاب کرد. پس از انتخاب عنصر اول، هنوز راه هایی برای انتخاب عنصر دوم و غیره وجود دارد. از آنجایی که هر یک از این انتخاب ها یک مکان جدید می دهد، همه این انتخاب ها می توانند آزادانه با یکدیگر ترکیب شوند. بنابراین ما داریم:

مثال.اگر موادی در پنج رنگ وجود داشته باشد، از چند طریق می توان یک پرچم را از سه نوار افقی با رنگ های مختلف تشکیل داد؟

راه حل.تعداد مورد نیاز پرچم سه باند:

تعریف.جایگشت مجموعه ای از عناصر، چیدمان عناصر در یک ترتیب معین است.

بنابراین، همه جایگشت های مختلف مجموعه ای از سه عنصر هستند

تعداد همه جایگشت های عناصر نشان داده شده است (از حرف اولیه کلمه فرانسوی "permutation" که به معنی "جایگشت"، "حرکت" است). بنابراین، تعداد همه جایگشت های مختلف با فرمول محاسبه می شود

مثال.به چند روش می توان روک ها را روی صفحه شطرنج قرار داد تا به یکدیگر حمله نکنند؟

راه حل.تعداد لازم روک

اولی!

تعریف.ترکیب عناصر مختلف توسط عناصر، ترکیباتی هستند که از عناصر داده شده توسط عناصر تشکیل شده اند و حداقل در یک عنصر متفاوت هستند (به عبارت دیگر، زیرمجموعه های عنصر یک مجموعه معین از عناصر).

همانطور که می بینید، در ترکیب ها، بر خلاف قرارگیری، ترتیب عناصر در نظر گرفته نمی شود. تعداد تمام ترکیبات عناصر، عناصر در هر یک، نشان داده شده است (از حرف اولیه کلمه فرانسوی "combinasion" که به معنای "ترکیب" است).

شماره

همه ترکیبات از یک مجموعه دو هستند.

خواص اعداد (\sf C)_n^k

در واقع، هر زیرمجموعه عنصر از یک مجموعه عنصر معین مربوط به یک و تنها یک زیر مجموعه عنصر از همان مجموعه است.

در واقع، ما می‌توانیم زیر مجموعه‌های عناصر را به روش زیر انتخاب کنیم: fix one element; تعداد زیر مجموعه های عنصر حاوی این عنصر برابر است با ; تعداد زیرمجموعه های عنصری که این عنصر را ندارند برابر است.

مثلث پاسکال

در این مثلث اعداد انتهایی هر ردیف برابر با 1 و هر عدد غیر حدی برابر با مجموع دو عدد ردیف قبلی بالای آن است. بنابراین، این مثلث به شما امکان محاسبه اعداد را می دهد.

قضیه.

اثباتبیایید مجموعه ای از عناصر را در نظر بگیریم و مشکل زیر را به دو روش حل کنیم: چند دنباله را می توان از عناصر یک داده ایجاد کرد.
مجموعه هایی که در هر کدام از آنها هیچ عنصری دو بار اتفاق نمی افتد؟

1 راه. ما اولین عضو دنباله را انتخاب می کنیم، سپس عضو دوم، سوم و غیره را انتخاب می کنیم. عضو

روش 2. بیایید ابتدا عناصر را از یک مجموعه مشخص انتخاب کنیم، و سپس آنها را به ترتیبی مرتب کنیم

صورت و مخرج این کسر را ضرب در:

مثال.در بازی "Sportloto" به چند روش می توانید 5 عدد از 36 عدد را انتخاب کنید؟

تعداد راه های مورد نیاز

وظایف.

1. پلاک خودرو از 3 حرف الفبای روسی (33 حرف) و 4 عدد تشکیل شده است. چند شماره پلاک مختلف وجود دارد؟
2. 88 کلید روی پیانو وجود دارد. به چند روش می توانید 6 صدا را پشت سر هم تولید کنید؟
3. چند عدد شش رقمی وجود دارد که بر 5 بخش پذیر است؟
4. به چند روش می توان 7 سکه مختلف را در سه جیب قرار داد؟
5. چند عدد پنج رقمی می توانید بسازید که حداقل یک بار در نماد اعشاری خود رقم 5 را داشته باشند؟
6. در صورتی که بتوان با حرکت دایره ای، 20 نفر را با در نظر گرفتن راه های یکسان، پشت میز گرد به چند صورت نشست؟
7. چند عدد پنج رقمی وجود دارد که بر 5 بخش پذیرند و دارای ارقام یکسان نیستند؟
8. روی کاغذ شطرنجی با ضلع سلولی 1 سانتی متر، دایره ای به شعاع 100 سانتی متر کشیده شده است که از بالای سلول ها عبور نمی کند و به طرفین سلول ها برخورد نمی کند. این دایره چند سلول را می تواند قطع کند؟
9. به چند صورت می توان اعداد را در یک ردیف مرتب کرد تا اعداد مجاور و به ترتیب صعودی باشند؟
10. اگر هر رقم فقط یک بار قابل استفاده باشد، چند عدد پنج رقمی را می توان از ارقام ساخت؟
11. از کلمه ROT با مرتب کردن مجدد حروف می توانید کلمات زیر را بدست آورید: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. به آنها آناگرام می گویند. از کلمه LOGARITHM چند آناگرام می توانید بسازید؟
12. بیا تماس بگیریم تقسیم کردنعدد طبیعی، نمایش آن به صورت مجموع اعداد طبیعی. برای مثال، تمام پارتیشن‌های یک عدد در اینجا آمده است:

پارتیشن ها اگر از نظر تعداد و یا از نظر ترتیب شرایط متفاوت باشند متفاوت در نظر گرفته می شوند.

چند پارتیشن مختلف از یک عدد بر حسب عبارت وجود دارد؟
13. چند عدد سه رقمی با ترتیب رقمی غیر افزایشی وجود دارد؟
14. چند عدد چهار رقمی با ترتیب ارقام غیر افزایشی وجود دارد؟
15. از چند طریق می توان 17 نفر را پشت سر هم نشست تا در نهایت در کنار هم قرار گیرند؟
16. دختران و پسران به طور تصادفی در ردیف صندلی ها می نشینند. از چند طریق می توان آنها را طوری نشست که دو دختر کنار هم ننشینند؟
17. دختران و پسران به طور تصادفی در ردیف صندلی ها می نشینند. از چند طریق می توان آنها را نشست تا همه دخترها کنار هم بنشینند؟

انتخاب 1

شماره 1. به چند روش می توان پنج کتاب مختلف را در یک قفسه قرار داد؟

شماره 2. از ارقام 0، 1، 3، 6، 7، 9 چند عدد سه رقمی با ارقام مختلف می توان ساخت؟

شماره 3. در یک گردهمایی، 9 همکلاسی سابق کارت ویزیت رد و بدل کردند. چه تعداد کارت ویزیت استفاده شده است؟

شماره 4. چند جایگشت از حروف کلمه "شکل" وجود دارد که در آنها حروف "ی"، "پ"، "الف" به ترتیب داده شده در کنار یکدیگر قرار دارند؟

گزینه 2

شماره 1. به چند روش می توان شش کتاب مختلف را در یک قفسه قرار داد؟

شماره 2. از ارقام 0، 3، 4، 5، 8 چند عدد سه رقمی با ارقام مختلف می توان ساخت؟

شماره 3. در این کنفرانس 7 شرکت کننده شماره تلفن های خود را مبادله کردند. چند شماره تلفن رد و بدل شد؟

شماره 4. چند جایگشت از حروف کلمه «رأس» وجود دارد که حروف «و»، «ه»، «ر» به ترتیب در کنار یکدیگر قرار گیرند؟

کار مستقل. ترکیبیات.

گزینه 3

شماره 1. 9 شرکت کننده مسابقه به ترتیب اولویت در مرحله یک چهارم نهایی مسابقات به چند صورت می توانند حضور داشته باشند؟

شماره 2. با استفاده از اعداد 0، 3، 7، 8، تمام اعداد دو رقمی ممکن را که اعداد در آنها تکرار نمی شوند، بسازید.

شماره 3. در منطقه N، هر دو روستا با یک جاده به هم متصل می شوند. اگر 10 روستا در منطقه وجود دارد تعداد این جاده ها را مشخص کنید.

شماره 4. چند شماره تلفن پنج رقمی وجود دارد که با شماره 3 شروع می شود و همه ارقام آن متفاوت است؟

گزینه 4

شماره 1. پیک باید پیتزا را به شش آدرس تحویل دهد. او چند مسیر را می تواند انتخاب کند؟

شماره 2. با استفاده از اعداد 0، 2، 4، 6، 8، تمام اعداد سه رقمی ممکن را که اعداد در آنها تکرار نمی شوند، بسازید؟

شماره 3. 9 نقطه در هواپیما مشخص شده است که هیچ سه تای آنها روی یک خط مستقیم قرار ندارند. از میان این نقاط چند خط می توان کشید؟

شماره 4. چند شماره تلفن شش رقمی وجود دارد که با 36 شروع می شود و همه ارقام آن متفاوت است؟

مثال. k، o، n آیا آنها در نزدیکی ایستاده اند؟

• مثال.چند جابجایی از حروف کلمه مخروط وجود دارد که در آن حروف وجود دارد k، o، n آیا آنها در نزدیکی ایستاده اند؟

• راه حل.

• با توجه به 5 حرف که سه تای آنها باید در کنار هم باشند.

• سه حرف k، o، n می تواند در کنار یکی از = 3 بایستد! = 6 راه

• برای هر روش "چسباندن" حروف k، o، n ما = 3 می گیریم! = 6 راه

• تنظیم مجدد حروف، "چسباندن" u, s.

• تعداد کل جایگشت های مختلف حروف کلمه "مخروط" که در آن حروف

• k، o، n کنار هم بایستید برابر 6 · 6 = 36 جایگشت - آناگرام.

• پاسخ: 36 آناگرام.

مثال.

• مثال.شمارش کنید که چند تا از تصاویر حروف A، B، C، D، D، E، F، Z، I، K حروفی وجود دارد که: 1) یک محور عمودی تقارن. 2) محور افقی تقارن.

• راه حل.

• 1) حروف با محور عمودی تقارن: A، D، F - 3 حرف (ما ضخیم شدن برخی از عناصر حروف A، D در سمت راست را در نظر نمی گیریم).

• 2) حروف با محور افقی تقارن: V، E، ZH، Z، K – 5 حرف.

• پاسخ: 1) 3 حرف، 2) 5 حرف.

مثال.

• مثال.ساکنان سیاره XO سه حرف در الفبای خود دارند: A، O، X. کلمات در زبان بیش از سه حرف تشکیل نمی شوند (یک حرف در یک کلمه قابل تکرار است). بیشترین تعداد کلمه ای که می تواند در واژگان ساکنان این سیاره باشد چقدر است؟

• راه حل.کلمات می توانند یک حرفی، دو حرفی یا سه حرفی باشند.

• کلمات تک حرفی: A، O، X – 3 کلمه.

• کلمات دو حرفی: AO، AH، AA، OO، OA، OX، XX، HA، XO – 9 کلمه (3·3=9، انتخاب دو حرف با تکرار).

• کلمات سه حرفی: 3·9=27 کلمه (انتخاب سه از سه با تکرار، انتخاب حرف اول - سه راه؛ هر یک از 9 کلمه دو حرفی ممکن را به هر حرف اول اضافه کنید).

• بنابراین، در فرهنگ لغت ساکنان سیاره XO می تواند حداکثر 3 + 9 + 27 = 39 کلمه باشد.

• پاسخ: 39 کلمه

مثال شماره 1.

• مثال شماره 1.تمامی بلیت های آزمون ادبیات روی کارت هایی با اعداد دو رقمی نوشته شده است. پتیا به طور تصادفی یک کارت را انتخاب کرد. رویدادهای زیر را به صورت قطعی، غیرممکن یا تصادفی توصیف کنید:

• رویداد A - یک عدد اول روی کارت انتخاب شده وجود دارد.

• رویداد B - یک عدد ترکیبی روی کارت وجود دارد.

• رویداد C – یک عدد روی کارت وجود دارد که نه اول است و نه مرکب.

• رویداد D - یک عدد زوج یا فرد روی کارت وجود دارد.

• راه حل.

• رویدادهای A و B تصادفی هستند زیرا ممکن است اتفاق بیفتند یا نباشند.

• رویداد C غیرممکن است: تعریف اعداد اول و مرکب را به خاطر بسپارید.

• رویداد D قطعی است، زیرا هر عدد دو رقمی یا زوج است یا فرد.

• کتاب را در هر صفحه ای باز کردید و اولین اسمی را که به آن برخورد کردید، خواندید. معلوم شد که: الف) املای کلمه انتخاب شده حاوی یک مصوت است. ب) املای کلمه انتخاب شده حاوی حرف "o" باشد. ج) هیچ حروف صدادار در املای کلمه انتخاب شده وجود ندارد. د) در املای کلمه انتخاب شده یک علامت نرم وجود دارد.

• راه حل.

• الف) این رویداد قابل اعتماد است، زیرا در زبان روسی هیچ اسمی وجود ندارد که فقط از صامت تشکیل شده باشد.

• ب) رویداد تصادفی است.

• ج) یک رویداد غیرممکن (نگاه کنید به نقطه الف)).

• د) رویداد تصادفی است.

مثال.

• مثال.مجموع رویدادهای ناسازگار زیر را شرح دهید.

• "ملکه در شب به دنیا آورد، یا یک پسر (رویداد A) یا یک دختر (رویداد B) ..."

• راه حل.

• ملکه پسر یا دختری (A B) به دنیا آورد.

• پاسخ: 4 رویداد پیچیده که مجموع دو رویداد ناسازگار است.

مثال. o، t، k، r.

• مثال.حروف روی چهار کارت نوشته شده است o، t، k، r.کارت ها برگردانده و به هم ریخته شدند. سپس این کارت ها را به صورت تصادفی یکی پس از دیگری باز کردند و پشت سر هم گذاشتند. احتمال بیرون آمدن کلمه خال چقدر است؟

• راه حل.نتایج همه جایگشت های ممکن چهار عنصر هستند ( o، t، k، r) تعداد کل نتایج n = = 4 است! = 24.

• رویداد A - "پس از باز کردن کارت ها، کلمه "مول" به دست می آید"؛ = 1 (فقط یک گزینه برای ترتیب حروف - "مول"؛ = .

• پاسخ:

مثال O، در دوم تی،در سوم با،در چهارم پ.

• مثال. چهار کارت برداشتیم. در مورد اول نامه نوشتند O، در دوم تی،در سوم با،در چهارم پ.کارت ها برگردانده و به هم ریخته شدند. سپس به صورت تصادفی یکی پس از دیگری کارت را باز کرده و در کنار آن قرار دادند. احتمال اینکه نتیجه کلمه "ایست" یا کلمه "پست" باشد چقدر است؟

• راه حل.نتایج - همه جایگشت های ممکن از 4 حرف. تعداد کل نتایج

• n = = 4! = 24.

• رویداد A - "کلمه "توقف" یا "پست" بیرون آمد. تعداد نتایج مطلوب = 1 ("توقف") + 1 ("پست") = 2 (طبق قاعده مجموع نتایج متقابل انحصاری).

• احتمال = .

• پاسخ: 1/12.

• مثال شماره 1.ما طول کلمات (تعداد حروف) را در گزیده زیر از شعر پوشکین "اسبکار برنزی" اندازه گیری کردیم. لازم است هیستوگرام هایی از توزیع کثرت ها و فرکانس ها ساخته شود و فواصل 1-3، 4-6، 7-9 را برای گزینه نمونه برداری انتخاب کنید.

• «...او در تاریکی اطراف وحشتناک است! 6، 2، 1، 9، 4

• چه فکری روی پیشانی! 5، 4، 2، 4

• چه قدرتی در او نهفته است و چه آتشی در این اسب! 5، 4، 1، 3، 7

• کجا تاختی اسب مغرور 1، 1، 3، 4، 5، 5

• و سم هایت را کجا می گذاری؟..." 1، 3، 8، 2، 6

• در سمت راست متن به جای کلمات، طول آنها خط به خط نوشته شده است. بعد از محاسبات یک جدول درست می کنیم.

مثال.

• مثال.هنگام بررسی 70 اثر در زبان روسی، تعداد اشتباهات املایی دانش آموزان ذکر شد. سری داده های حاصل در قالب یک جدول فراوانی ارائه شد:

• بیشترین تفاوت در تعداد خطاهای ایجاد شده چیست؟ چه تعداد خطا برای این گروه از دانش آموزان معمول است؟ مشخص کنید که از چه ویژگی های آماری برای پاسخ به سوالات مطرح شده استفاده شده است.

• راه حل.

• بیشترین تفاوت در تعداد خطاها: 6 – 0 = 6.

• تعداد خطاهای معمولی: 3 (26 بار از 70 مورد رخ می دهد).

• مقیاس و مد استفاده می شود.

• پاسخ: 6; 3.

تحقیق آماری جداول فرکانس زبان

• تحقیق آماریدر تعداد زیادی از متون ادبی، آنها نشان دادند که با افزایش حجم متن، فرکانس های ظاهر یک حرف خاص (یا فاصله بین کلمات) به ثابت های خاصی گرایش دارد. جداول حاوی حروف یک زبان خاص و ثابت های مربوطه نامیده می شوند جداول فرکانس زبان

• هر نویسنده جدول فراوانی استفاده از حروف، کلمات، عبارات خاص ادبی و غیره را دارد. با استفاده از این جدول فرکانس، می‌توانید نویسنده را به همان دقتی که با استفاده از اثر انگشت تعیین کنید.

مثلا، تا به امروز بحث در مورد نویسندگی "دان آرام" ادامه دارد. تعداد کمی از مردم معتقدند که M.A. Sholokhov در سن 23 سالگی به سادگی نمی توانست چنین کتاب عمیق و واقعاً عالی بنویسد. استدلال های مختلف و نویسندگان نامزدهای مختلف ارائه شده است. این بحث به ویژه در زمانی که M.A. Sholokhov جایزه نوبل ادبیات را دریافت کرد (1965) داغ شد. با این حال، تحلیل آماری رمان و مقایسه آن با متونی که نویسندگی آن توسط M.A. شولوخوف بدون تردید بود، فرضیه M.A. Sholokhov را به عنوان نویسنده واقعی "دان آرام" تأیید کرد.

مثال شماره 1.

• مثال شماره 1.نمونه شامل تمام حروف موجود در دوبیتی است

• این درخت کاج است،

• و سرنوشت کاج روشن است..."

• یک سری از داده های نمونه را بنویسید.

• اندازه نمونه را پیدا کنید

• تعدد و فراوانی گزینه های "o" را تعیین کنید.

• بیشترین درصد فراوانی گزینه نمونه چقدر است؟

• راه حل

• 1). سری داده های نمونه (گزینه مقادیر):

• a, b, c, d, f, i, n, o, p, s, t, y, b, s, e, i.

• 2). اندازه نمونه تعداد کل حروف دوبیتی است: n = 30.

• 3). تعدد گزینه های "o" 4 است، فراوانی گزینه ها برابر است.

• 4). گزینه «ج» بیشترین درصد فراوانی را دارد: تعدد آن 6 است، فراوانی

• ، درصد فراوانی 20%.

• پاسخ: 1). 16 حرف; 2). سی 3). 4 و 0.133; 4). 20 درصد

مثال شماره 1 (ادامه دارد).نمونه شامل تمام حروف موجود در دوبیتی است

• مثال شماره 1 (ادامه دارد).نمونه شامل تمام حروف موجود در دوبیتی است

• این درخت کاج است،

• و سرنوشت کاج روشن است..."

• الفبا به ترتیب به سه بخش یکسان تقسیم می شود: شماره 1 از "الف" به "ام"، شماره 2 از "ک" به "u"، شماره 3 از "ف" تا "ز".

• 1) تعدد و (درصد) فراوانی بخش شماره 3 را بیابید.

• 2) جدولی از توزیع فراوانی مقاطع تهیه کنید.

• 3) ناحیه بیشترین فرکانس را مشخص کنید.

• 4) یک هیستوگرام فرکانس با توزیع انتخاب شده به بخش ها بسازید.

• راه حل.اول از همه، توجه می کنیم که اگر الفبای روسی 33 حرف داشته باشد، سه بخش یکسان بخش هایی از 11 حرف هستند. تعداد حروف یک دوبیتی: n = 30.

• جدول توزیع فراوانی و تعدد:

مثال.

مثال. 60 دانش آموز کلاس نهم از نظر سرعت خواندن (تعداد کلمه در دقیقه مطالعه) مورد آزمون قرار گرفتند. داده های به دست آمده در پنج حوزه گروه بندی شدند: شماره 1- (91;100). شماره 2 (101;110); شماره 3 (111;120); شماره 4 (121;130); شماره 5 (131;140). نتیجه هیستوگرام چندگانه است (شکل را ببینید). تخمین تقریبی: محدوده، حالت، میانگین حسابی نمونه، توضیح دهید که چرا پاسخ ها فقط تقریبی هستند.

محدوده A = 140-91 = 49

• محدوده A = 140-91 = 49

• روش.

• مقدار متوسط.

• مقادیر به دست آمده فقط تقریبی هستند زیرا به جای مقادیر واقعی، در محاسبات از مقادیر شرطی استفاده می شود - مرزها و نقاط میانی فواصل جزئی، یعنی مقادیری که به طور تجربی مشاهده نشدند، اما برای راحتی توسط ما پذیرفته شدند. از ارائه داده ها

• پاسخ: 49; 125,5; 117,17.

• A.G. Mordkovich، P.V. Semenov. مناسبت ها. احتمالات پردازش داده های آماری: اضافی. پاراگراف های درس جبر 7 تا 9. آموزش عمومی موسسات / A.G. Mordkovich، P.V. ویرایش چهارم - M.: Mnemosyne, 2006.-112 p.

• ماکاریچف یو.ن. جبر: عناصر آمار و ترکیبات و نظریه احتمال: کتاب درسی. کتابچه راهنمای دانش آموزان کلاس های 7-9. آموزش عمومی موسسات / Yu.N. Makarychev، N.G. ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky - ویرایش 2. – م.: آموزش و پرورش، 1383-78 ص.

• M.V Tkacheva، N.E. عناصر آمار و احتمال: کتاب درسی آموزش عمومی پایه های 7-9. نهادها – م.: آموزش و پرورش، 1383.-112 ص.