توابع زوج و فرد نحوه تعیین توابع زوج و فرد معادلاتی که نمودار توابع زوج را تعریف می کنند

- یک تابع حتی زمانی فراخوانی می شود که برای هر دو مقدار متفاوت آرگومان آن f (x) =f(x) ، به عنوان مثال، y= |x|; فرد - تابعی که f(x) = - f(x)، به عنوان مثال، y= x2n+1، که در آن n... ... فرهنگ لغت اقتصادی و ریاضی

تابع زوج و فرد- یک تابع حتی زمانی فراخوانی می شود که برای هر دو مقدار مختلف آرگومان آن f (x) =f(x)، به عنوان مثال، y= |x|؛ یک تابع زمانی که f(x) = f(x) فرد است، برای مثال، y= x2n+1، که در آن n هر عدد طبیعی است. توابعی که هیچ کدام ... راهنمای مترجم فنی

برابری- یک عدد کوانتومی که تقارن تابع موج یک سیستم فیزیکی یا یک ذره بنیادی را تحت برخی تبدیل‌های گسسته مشخص می‌کند: چه می‌شود اگر تحت چنین تبدیلی باشد؟ علامت تغییر نمی کند، اگر تغییر کند، برابری مثبت است. فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

برابری سطح- برابری وضعیت فیزیکی سیستم (برابری موج) مربوط به یک سطح انرژی معین. چنین توصیفی از سطوح برای سیستم hc امکان پذیر است که بین آن نیروهای الکتریکی وجود دارد. ماگ یا سم نیروهای حفظ برابری با در نظر گرفتن تعامل ضعیف... ... دایره المعارف فیزیکی

برابری

برابری (ریاضیات)- برابری در تئوری اعداد توانایی یک عدد صحیح برای تقسیم بدون باقیمانده بر 2 است. برابری یک تابع در تجزیه و تحلیل ریاضی تعیین می کند که آیا تابع با تغییر علامت آرگومان تغییر علامت می دهد: برای یک تابع زوج/فرد. برابری در مکانیک کوانتومی... ... ویکی پدیا

توابع مثلثاتی- کلاس توابع ابتدایی: سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت، سکانت، کوسکانت. آنها بر این اساس تعیین می شوند: sin x، cos x، tg x، ctg x، sec x، cosec x. توابع مثلثاتی آرگومان واقعی. بگذارید A نقطه ای از دایره ای باشد که مرکز آن در... ... دایره المعارف ریاضی

برابری داخلی- (P)، یکی از ویژگی های (اعداد کوانتومی) عناصر. بخشی که رفتار تابع موج آن y را در حین وارونگی فضایی (انعکاس آینه ای) تعیین می کند، به عنوان مثال، هنگام جایگزینی مختصات x® x، y® y، z® z. اگر با چنین بازتابی، y علامت را تغییر ندهد، V. h cy ... دایره المعارف فیزیکی

برابری شارژ- مزدوج بار عملیات جایگزینی یک ذره با یک پادذره (مثلاً الکترون با پوزیترون) است. برابری بار برابری بار یک عدد کوانتومی است که رفتار تابع موج یک ذره را در حین عملیات جایگزینی یک ذره با یک پادذره تعیین می کند... ... ویکی پدیا

بررسی برابری چرخه ای- الگوریتم محاسبه جمع کنترل (به انگلیسی: Cyclic Redundancy Code, CRC cyclic Redundancy Code) روشی برای شناسایی دیجیتالی یک توالی داده خاص است که شامل محاسبه ارزش چک چرخه آن ... ... ویکی پدیا

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

• مفهوم توابع زوج و فرد را فرموله کنید، توانایی تعیین و استفاده از این ویژگی ها را در هنگام مطالعه توابع و ساخت نمودارها آموزش دهید.
• توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، تفکر منطقی، توانایی مقایسه و تعمیم.
• کار سخت و فرهنگ ریاضی را پرورش دهید. توسعه مهارت های ارتباطی .

تجهیزات:نصب چند رسانه ای، تخته سفید تعاملی، جزوات.

اشکال کار:جبهه ای و گروهی با عناصر جستجو و فعالیت های تحقیقاتی.

منابع اطلاعاتی:

1. جبر نهم کلاس A.G. Mordkovich. کتاب درسی.
2. جبر کلاس نهم A.G. Mordkovich. کتاب مسائل.
3. جبر پایه نهم. وظایف برای یادگیری و توسعه دانش آموزان. بلنکوا ای.یو. لبدینتسوا E.A.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

تعیین اهداف و مقاصد برای درس.

2. بررسی تکالیف

شماره 10.17 (کتاب مسائل پایه نهم. A.G. Mordkovich).

آ) در = f(ایکس), f(ایکس) =

ب) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

ج) 1. د( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(ایکس) = 0 در ایکس ~ 0,4
4. f(ایکس) > 0 در ایکس > 0,4 ; f(ایکس) < 0 при – 2 < ایکس < 0,4.
5. تابع با افزایش می یابد ایکس € [– 2; + ∞)
6. عملکرد از زیر محدود شده است.
7. در naim = – 3، درنایب وجود ندارد
8. تابع پیوسته است.

(آیا از الگوریتم کاوش تابع استفاده کرده اید؟) اسلاید.

2. بیایید جدولی را که از اسلاید از شما خواسته شده است بررسی کنیم.

جدول را پر کنید
	دامنه	تابع صفرها	فواصل پایداری علامت		مختصات نقاط تقاطع نمودار با Oy
		x = -5، x = 2	x € (-5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ∞ -5، x ≠ 2		x € (-5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ≠ -5، x ≠ 2		x € (–∞؛ –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. به روز رسانی دانش

- توابع داده شده است.
– محدوده تعریف را برای هر تابع مشخص کنید.
– مقدار هر تابع را برای هر جفت از مقادیر آرگومان مقایسه کنید: 1 و – 1. 2 و - 2.
- برای کدام یک از این توابع در حوزه تعریف، برابری ها برقرار است f(– ایکس) = f(ایکس), f(– ایکس) = – f(ایکس)? (داده های به دست آمده را در جدول وارد کنید) اسلاید

		f(1) و f(– 1)	f(2) و f(– 2)	نمودارها	f(– ایکس) = –f(ایکس)	f(– ایکس) = f(ایکس)
1. f(ایکس) =
2. f(ایکس) = ایکس 3
3. f(ایکس) = | ایکس |
4.f(ایکس) = 2ایکس – 3
5. f(ایکس) =	ایکس ≠ 0
6. f(ایکس)=	ایکس > –1		و تعریف نشده است

4. مواد جدید

- در حین انجام این کار، بچه ها، ما ویژگی دیگری از تابع را شناسایی کردیم که برای شما ناآشنا بود، اما از بقیه مهمتر نبود - این یکنواختی و عجیب بودن تابع است. موضوع درس را بنویسید: "توابع زوج و فرد"، وظیفه ما این است که یاد بگیریم یکنواختی و عجیب بودن یک تابع را تعیین کنیم، تا اهمیت این ویژگی را در مطالعه توابع و رسم نمودارها بفهمیم.
پس بیایید تعاریف کتاب درسی را پیدا کنیم و بخوانیم (ص 110) . اسلاید

Def. 1تابع در = f (ایکس، تعریف شده در مجموعه X نامیده می شود زوج، اگر برای هر مقدار ایکسЄ X اجرا می شود برابری f(–x)= f(x). مثال بزن.

Def. 2تابع y = f(x)تعریف شده بر روی مجموعه X نامیده می شود فرد، اگر برای هر مقدار ایکسЄ X برابری f(–х)= –f(х) برقرار است. مثال بزن.

اصطلاحات زوج و فرد را کجا دیدیم؟
به نظر شما کدام یک از این توابع زوج خواهد بود؟ چرا؟ کدام یک عجیب هستند؟ چرا؟
برای هر عملکردی از فرم در= x n، جایی که n- یک عدد صحیح، می توان استدلال کرد که تابع زمانی که فرد است n- فرد و تابع زمانی است که زوج باشد n- زوج.
- مشاهده توابع در= و در = 2ایکس- 3 نه زوج هستند و نه فرد، زیرا برابری ها ارضا نمی شود f(– ایکس) = – f(ایکس), f(– ایکس) = f(ایکس)

مطالعه زوج یا فرد بودن یک تابع را مطالعه تابع برای برابری می نامند.اسلاید

در تعاریف 1 و 2 ما در مورد مقادیر تابع در x و - x صحبت کردیم، بنابراین فرض می شود که تابع نیز در مقدار تعریف شده است. ایکس، و در - ایکس.

Def 3.اگر یک مجموعه عددی، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، آن مجموعه ایکسمجموعه متقارن نامیده می شود.

مثال ها:

(–2;2)، [–5;5]; (∞;∞) مجموعه‌های متقارن هستند و [–5;4] نامتقارن هستند.

- آیا توابع حتی دامنه تعریفی دارند که یک مجموعه متقارن است؟ عجیب و غریب؟
- اگر D( f) یک مجموعه نامتقارن است، پس تابع چیست؟
- بنابراین، اگر تابع در = f(ایکس) – زوج یا فرد، پس دامنه تعریف آن D( f) یک مجموعه متقارن است. آیا گزاره معکوس درست است: اگر دامنه تعریف یک تابع یک مجموعه متقارن باشد، زوج است یا فرد؟
- این بدان معناست که وجود یک مجموعه متقارن از حوزه تعریف شرط لازم است، اما کافی نیست.
- پس چگونه یک تابع را برای برابری مطالعه کنیم؟ بیایید سعی کنیم یک الگوریتم ایجاد کنیم.

اسلاید

الگوریتم مطالعه تابع برای برابری

1. تعیین کنید که دامنه تعریف تابع متقارن است یا خیر. اگر نه، تابع نه زوج است و نه فرد. اگر بله، سپس به مرحله 2 الگوریتم بروید.

2. یک عبارت برای f(–ایکس).

3. مقایسه کنید f(–ایکسو f(ایکس):

• اگر f(–ایکس).= f(ایکس، سپس تابع زوج است.
• اگر f(–ایکس).= – f(ایکس، سپس تابع فرد است.
• اگر f(–ایکس) ≠ f(ایکس) و f(–ایکس) ≠ –f(ایکس، سپس تابع نه زوج است و نه فرد.

مثال ها:

تابع a) را برای برابری بررسی کنید در= x 5 +; ب) در= V) در= .

راه حل.

الف) h(x) = x 5 +،

1) D(h) = (–∞؛ 0) U (0؛ +∞)، مجموعه متقارن.

2) h (– x) = (– x) 5 + – x5 –= – (x 5 +)،

3) h(– x) = – h (x) => تابع h (x)= x 5 + فرد.

ب) y =،

در = f(ایکس)، D(f) = (–∞؛ –9)؟ (-9؛ +∞)، یک مجموعه نامتقارن، به این معنی که تابع نه زوج است و نه فرد.

V) f(ایکس) =، y = f (x)،

1) د( f) = (–∞؛ 3] ≠ ؛ ب) (∞؛ –2)، (–4؛ 4]؟

گزینه 2

1. آیا مجموعه داده شده متقارن است: a) [–2;2]; ب) (∞؛ 0]، (0؛ 7) ?

آ)؛ ب) y = x (5 – x 2). 2. تابع برابری را بررسی کنید:

الف) y = x 2 (2x - x 3)، ب) y =

3. در شکل. یک نمودار ساخته شده است در = f(ایکس)، برای همه ایکس، ارضای شرط ایکس? 0.
نمودار تابع در = f(ایکس)، اگر در = f(ایکس) یک تابع زوج است.

3. در شکل. یک نمودار ساخته شده است در = f(ایکس، برای همه x که شرط x را برآورده می کنند؟ 0.
نمودار تابع در = f(ایکس)، اگر در = f(ایکس) یک تابع فرد است.

بررسی متقابل اسلاید

6. تکالیف: №11.11, 11.21,11.22;

اثبات معنای هندسی خاصیت برابری.

***(تخصیص گزینه آزمون یکپارچه دولتی).

1. تابع فرد y = f(x) در کل خط اعداد تعریف شده است. برای هر مقدار غیر منفی متغیر x، مقدار این تابع با مقدار تابع g( ایکس) = ایکس(ایکس + 1)(ایکس + 3)(ایکس- 7). مقدار تابع h( ایکس) = در ایکس = 3.

7. جمع بندی

وابستگی یک متغیر y به متغیر x که در آن هر مقدار x با یک مقدار y مطابقت دارد، تابع نامیده می شود. برای تعیین از علامت y=f(x) استفاده کنید. هر تابع دارای تعدادی ویژگی اساسی مانند یکنواختی، برابری، تناوب و غیره است.

نگاهی دقیق تر به ویژگی برابری بیندازید.

یک تابع y=f(x) فراخوانی می شود حتی اگر دو شرط زیر را برآورده کند:

2. مقدار تابع در نقطه x، متعلق به حوزه تعریف تابع، باید برابر با مقدار تابع در نقطه -x باشد. یعنی برای هر نقطه x، تساوی زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = f(-x).

نمودار یک تابع زوج

اگر نموداری از یک تابع زوج را رسم کنید، نسبت به محور Oy متقارن خواهد بود.

برای مثال تابع y=x^2 زوج است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=3 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. بنابراین f(x) = f(-x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع یکنواخت است. در زیر نمودار تابع y=x^2 آمده است.

شکل نشان می دهد که نمودار نسبت به محور Oy متقارن است.

نمودار یک تابع فرد

تابع y=f(x) اگر دو شرط زیر را داشته باشد فرد نامیده می شود:

1. دامنه تعریف یک تابع معین باید نسبت به نقطه O متقارن باشد. یعنی اگر نقطه a متعلق به دامنه تعریف تابع باشد، نقطه مربوطه -a نیز باید به دامنه تعریف تعلق داشته باشد. از تابع داده شده

2. برای هر نقطه x، برابری زیر باید از دامنه تعریف تابع برآورده شود: f(x) = -f(x).

نمودار یک تابع فرد با توجه به نقطه O - مبدأ مختصات متقارن است. برای مثال، تابع y=x^3 فرد است. بگذار چک کنیم. دامنه تعریف کل محور عددی است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

بیایید x=2 دلخواه را در نظر بگیریم. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. بنابراین f(x) = -f(x). بنابراین، هر دو شرط برآورده می شوند، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نمودار تابع y=x^3 آمده است.

شکل به وضوح نشان می دهد که تابع فرد y=x^3 نسبت به مبدا متقارن است.

پنهان کردن نمایش

روش های تعیین یک تابع

اجازه دهید تابع با فرمول داده شود: y=2x^(2)-3. با اختصاص دادن هر مقدار به متغیر مستقل x، می توانید با استفاده از این فرمول، مقادیر مربوط به متغیر وابسته y را محاسبه کنید. به عنوان مثال، اگر x=-0.5، پس با استفاده از فرمول، متوجه می‌شویم که مقدار مربوط به y y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 است.

با گرفتن هر مقداری که توسط آرگومان x در فرمول y=2x^(2)-3 گرفته می شود، می توانید تنها یک مقدار از تابع مربوط به آن را محاسبه کنید. تابع را می توان به صورت جدول نشان داد:

ایکس	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

با استفاده از این جدول، می توانید ببینید که برای مقدار آرگومان -1 مقدار تابع -3 مطابقت دارد. و مقدار x=2 با y=0 و غیره مطابقت دارد. همچنین مهم است که بدانید هر مقدار آرگومان در جدول تنها با یک مقدار تابع مطابقت دارد.

توابع بیشتری را می توان با استفاده از نمودارها مشخص کرد. با استفاده از یک نمودار، مشخص می شود که کدام مقدار تابع با مقدار خاصی x ارتباط دارد. اغلب، این مقدار تقریبی تابع خواهد بود.

تابع زوج و فرد

تابع است حتی عملکرد، زمانی که f(-x)=f(x) برای هر x از دامنه تعریف. چنین تابعی در مورد محور Oy متقارن خواهد بود.

تابع است تابع فرد، هنگامی که f(-x)=-f(x) برای هر x از دامنه تعریف. چنین تابعی نسبت به مبدا O متقارن خواهد بود (0;0).

تابع است نه حتی, نه عجیب و غریبو نامیده می شود عملکرد کلی، زمانی که در مورد محور یا مبدا تقارن نداشته باشد.

اجازه دهید تابع زیر را برای برابری بررسی کنیم:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) با دامنه تعریف متقارن نسبت به مبدا. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

این بدان معناست که تابع f(x)=3x^(3)-7x^(7) فرد است.

تابع دوره ای

تابع y=f(x) که در حوزه آن برابری f(x+T)=f(x-T)=f(x) برای هر x برقرار است، نامیده می شود. تابع دوره ایبا دوره T \neq 0 .

تکرار نمودار یک تابع در هر بخش از محور x که طول T دارد.

فواصل زمانی که تابع مثبت است، یعنی f(x) > 0، بخش هایی از محور آبسیسا هستند که با نقاط نمودار تابعی که بالای محور آبسیسا قرار دارند مطابقت دارند.

f(x) > 0 روشن است (x_(1)؛ x_(2) \ cup (x_(3); +\infty)

فواصل زمانی که تابع منفی است، یعنی f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ cup (x_(2); x_(3))

عملکرد محدود

از پایین محدود شده استزمانی که یک عدد A وجود دارد که نابرابری f(x) \geq A برای هر x \در X وجود دارد، مرسوم است که یک تابع y=f(x)، x\in X را فراخوانی کنیم.

مثالی از یک تابع محدود شده از زیر: y=\sqrt(1+x^(2)) زیرا y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 برای هر x.

از بالا محدود شده استیک تابع y=f(x)، x \in X زمانی فراخوانی می‌شود که یک عدد B وجود داشته باشد که نابرابری f(x) \neq B برای هر x \در X وجود دارد.

مثالی از تابعی که در زیر محدود شده است: y=\sqrt(1-x^(2))، x \in [-1;1]از آنجایی که y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 برای هر x \in [-1;1] .

محدودمرسوم است که یک تابع y=f(x)، x\in X را زمانی که یک عدد K > 0 وجود دارد که نابرابری \left | f(x)\right | \neq K برای هر x \در X.

مثالی از یک تابع محدود: y=\sin x در کل محور اعداد محدود است، زیرا \ چپ | \sin x \راست | \neq 1.

عملکرد افزایش و کاهش

مرسوم است که از تابعی صحبت کنیم که در بازه مورد نظر به عنوان افزایش می یابد افزایش عملکردسپس، زمانی که مقدار بزرگتر x با مقدار بزرگتری از تابع y=f(x) مطابقت دارد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه از آرگومان x_(1) و x_(2) از بازه مورد نظر، با x_(1) > x_(2)، نتیجه y(x_(1)) خواهد شد. y (x_(2)).

تابعی که در بازه مورد نظر کاهش می یابد نامیده می شود عملکرد کاهشیوقتی مقدار بزرگتر x با مقدار کوچکتر تابع y (x) مطابقت دارد. نتیجه این است که با گرفتن دو مقدار دلخواه آرگومان x_(1) و x_(2) و x_(1) > x_(2) از بازه مورد بررسی، نتیجه y(x_(1)) خواهد بود.< y(x_{2}) .

ریشه های تابعمرسوم است که نقاطی را که تابع F=y(x) با محور آبسیسا قطع می کند نامیده می شود (آنها در نتیجه حل معادله y(x)=0 به دست می آیند).

الف) اگر برای x > 0 یک تابع زوج افزایش یابد، آنگاه برای x کاهش می یابد< 0

ب) وقتی یک تابع زوج برای x > 0 کاهش می یابد، آنگاه برای x افزایش می یابد< 0

ج) وقتی یک تابع فرد در x > 0 افزایش می یابد، آنگاه در x نیز افزایش می یابد< 0

د) وقتی یک تابع فرد برای x > 0 کاهش می یابد، آنگاه برای x نیز کاهش می یابد< 0

افراطی عملکرد

حداقل نقطه تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f(x) > f خواهد بود. راضی (x_(0)) . y_(min) - تعیین تابع در نقطه min.

حداکثر نقطه تابع y=f(x) معمولاً نقطه ای x=x_(0) نامیده می شود که همسایگی آن نقاط دیگری دارد (به جز نقطه x=x_(0)) و برای آنها نابرابری f(x) برآورده می شود.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

پيش نياز

طبق قضیه فرما: f"(x)=0 زمانی که تابع f(x) که در نقطه x_(0) قابل تفکیک است در این نقطه یک انتها داشته باشد.

شرایط کافی

1. هنگامی که مشتق علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، آنگاه x_(0) حداقل نقطه خواهد بود.
2. x_(0) - تنها زمانی یک نقطه حداکثر خواهد بود که مشتق هنگام عبور از نقطه ثابت x_(0) علامت آن را از منفی به مثبت تغییر دهد.

بزرگترین و کوچکترین مقدار یک تابع در یک بازه

مراحل محاسبه:

1. مشتق f"(x) جستجو می شود.
2. نقاط ثابت و بحرانی تابع پیدا شده و آنهایی که متعلق به بخش هستند انتخاب می شوند.
3. مقادیر تابع f(x) در نقاط ثابت و بحرانی و انتهای قطعه یافت می شود. کوچکتر از نتایج به دست آمده خواهد بود کوچکترین مقدار تابع، و بیشتر - بزرگترین.

. برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب گراف استفاده کنید. هر تعداد از مقادیر متغیر مستقل را انتخاب کنید x (\displaystyle x)و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته را محاسبه کنید y (\displaystyle y). مختصات یافت شده نقاط را در صفحه مختصات رسم کنید و سپس این نقاط را به هم متصل کنید تا نموداری از تابع بسازید.

• مقادیر عددی مثبت را در تابع جایگزین کنید x (\displaystyle x)و مقادیر عددی منفی مربوطه. به عنوان مثال، با توجه به تابع f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). مقادیر زیر را جایگزین آن کنید x (\displaystyle x):

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به محور Y متقارن است یا خیر.تقارن به معنای تصویر آینه ای از نمودار نسبت به محور ارتین است. اگر بخشی از نمودار در سمت راست محور Y (مقادیر مثبت متغیر مستقل) با قسمت نمودار سمت چپ محور Y (مقادیر منفی متغیر مستقل) یکسان باشد. ) نمودار نسبت به محور Y متقارن است اگر تابع نسبت به محور y متقارن باشد، تابع زوج است.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع نسبت به مبدا متقارن است یا خیر.مبدا نقطه با مختصات (0,0) است. تقارن در مورد مبدا به این معنی است که یک مقدار مثبت y (\displaystyle y)(با ارزش مثبت x (\displaystyle x)) مربوط به یک مقدار منفی است y (\displaystyle y)(با مقدار منفی x (\displaystyle x))، و بالعکس. توابع فرد دارای تقارن با مبدا هستند.

بررسی کنید که آیا نمودار تابع دارای تقارن است یا خیر.آخرین نوع تابع تابعی است که نمودار آن تقارن ندارد، یعنی تصویر آینه ای هم نسبت به محور ترتیبی و هم نسبت به مبدا وجود ندارد. به عنوان مثال، با توجه به تابع .

• چندین مقدار مثبت و متناظر منفی را در تابع جایگزین کنید x (\displaystyle x):
• با توجه به نتایج به دست آمده، هیچ تقارنی وجود ندارد. ارزش های y (\displaystyle y)برای مقادیر مخالف x (\displaystyle x)منطبق نیستند و مخالف نیستند. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد.
• لطفا توجه داشته باشید که تابع f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)می توان اینگونه نوشت: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). وقتی به این شکل نوشته می شود، تابع حتی به دلیل وجود یک توان زوج ظاهر می شود. اما این مثال ثابت می کند که اگر متغیر مستقل در داخل پرانتز قرار گیرد، نمی توان نوع تابع را به سرعت تعیین کرد. در این صورت باید براکت ها را باز کنید و توان های به دست آمده را تجزیه و تحلیل کنید.