خانه » یک خانه شخصی » چگونه ریشه های تمایز منفی را پیدا کنیم. حل معادلات درجه دوم با ممیز منفی. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز

چگونه ریشه های تمایز منفی را پیدا کنیم. حل معادلات درجه دوم با ممیز منفی. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز

مهم! در ریشه های کثرت زوج، تابع علامت تغییر نمی کند.

توجه داشته باشید! هر گونه نابرابری غیرخطی در درس جبر مدرسه باید با استفاده از روش فاصله حل شود.

من به شما جزئیاتی را پیشنهاد می کنم الگوریتم حل نابرابری ها با استفاده از روش فاصله، به دنبال آن می توانید از اشتباهات جلوگیری کنید حل نابرابری های غیر خطی.

حل معادلات درجه دوم با ممیز منفی

همانطور که می دانیم،

من 2 = - 1.

همزمان

(- من ) 2 = (- 1 من ) 2 = (- 1) 2 من 2 = -1.

بنابراین، حداقل دو مقدار از ریشه دوم - 1 وجود دارد، یعنی من و - من . اما ممکن است اعداد مختلط دیگری وجود داشته باشند که مربع آنها برابر با - 1 است؟

برای روشن شدن این سوال، فرض کنید که مربع یک عدد مختلط a + bi برابر است با - 1. سپس

(a + bi ) 2 = - 1,

آ 2 + 2аbi - ب 2 = - 1

دو عدد مختلط مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که اجزای واقعی و ضرایب اجزای خیالی آنها برابر باشد. از همین رو

{	و 2 - ب 2 = - 1 ab = 0 (1)

طبق معادله دوم سیستم (1) حداقل یکی از اعداد آ و ب باید صفر باشد اگر ب = 0، سپس از معادله اول به دست می آوریم آ 2 = - 1. شماره آ واقعی و بنابراین آ 2 > 0. عدد غیر منفی آ 2 نمی تواند برابر یک عدد منفی - 1 باشد. بنابراین، برابری ب = 0 در این مورد غیرممکن است. باید اعتراف کرد آ = 0، اما سپس از معادله اول سیستم به دست می آوریم: - ب 2 = - 1, ب = 1±.

بنابراین، تنها اعداد مختلط که مربع آنها -1 است، هستند من و - من ، به طور معمول، این به شکل زیر نوشته می شود:

√-1 = ± من .

با استفاده از استدلال مشابه، دانش آموزان می توانند متقاعد شوند که دقیقاً دو عدد وجود دارد که مربع آنها با یک عدد منفی برابر است - آ . چنین اعدادی √ هستند او و -√ او . به طور متعارف به این صورت نوشته شده است:

√- آ = ± √ او .

زیر √ آ در اینجا منظور ما یک حساب، یعنی مثبت، ریشه است. به عنوان مثال، √4 = 2، √9 =.3; از همین رو

√-4 = + 2من ، √-9= ± 3 من

اگر قبلاً هنگام در نظر گرفتن معادلات درجه دوم با ممیز منفی می گفتیم که چنین معادلاتی ریشه ندارند، اکنون دیگر نمی توان چنین گفت. معادلات درجه دوم با ممیز منفی ریشه های پیچیده ای دارند. این ریشه ها طبق فرمول های شناخته شده ما به دست می آیند. به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید ایکس 2 + 2ایکس + 5 = 0; سپس

ایکس 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 من .

بنابراین، این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = - 1 +2من , ایکس 2 = - 1 - 2من . این ریشه ها به هم پیوسته اند. جالب است بدانید که مجموع آنها - 2 و حاصلضرب آنها 5 است، بنابراین قضیه Vieta صادق است.

مفهوم عدد مختلط

یک عدد مختلط عبارتی از شکل a + ib است، که در آن a و b هر اعداد حقیقی هستند، i یک عدد خاص است که واحد خیالی نامیده می شود. برای این گونه عبارات، مفاهیم برابری و عملیات جمع و ضرب به صورت زیر معرفی می شوند:

دو عدد مختلط a + ib و c + id را اگر و فقط اگر مساوی می گویند
a = b و c = d.
مجموع دو عدد مختلط a + ib و c + id یک عدد مختلط است
a + c + i (b + d).
حاصل ضرب دو عدد مختلط a + ib و c + id یک عدد مختلط است
ac – bd + i (ad + bc).

اعداد مختلط اغلب با یک حرف مشخص می شوند، برای مثال z = a + ib. عدد حقیقی a را جزء حقیقی عدد مختلط z می نامند، قسمت حقیقی را a = Re z نشان می دهند. عدد واقعی b را قسمت خیالی عدد مختلط z می نامند، قسمت خیالی را b = Im z نشان می دهند. این نام ها به دلیل ویژگی های ویژه اعداد مختلط انتخاب شده اند.

توجه داشته باشید که عملیات حسابی روی اعداد مختلط به شکل z = a + i · 0 دقیقاً به همان روشی که روی اعداد حقیقی انجام می شود انجام می شود. واقعا،

در نتیجه، اعداد مختلط به شکل a + i · 0 به طور طبیعی با اعداد حقیقی شناسایی می شوند. به همین دلیل، اعداد مختلط از این نوع را به سادگی واقعی می نامند. بنابراین، مجموعه اعداد حقیقی در مجموعه اعداد مختلط موجود است. مجموعه اعداد مختلط با نشان داده می شود. ما آن را مشخص کرده ایم، یعنی

بر خلاف اعداد واقعی، اعدادی به شکل 0 + ib کاملاً خیالی نامیده می شوند. اغلب آنها به سادگی bi را می نویسند، به عنوان مثال، 0 + i 3 = 3 i. عدد کاملاً خیالی i1 = 1 i = i یک ویژگی شگفت انگیز دارد:
بدین ترتیب،

№ 4 .1. در ریاضیات، تابع اعداد تابعی است که دامنه‌ها و مقادیر آن زیرمجموعه‌ای از مجموعه‌های اعداد هستند - معمولاً مجموعه اعداد حقیقی یا مجموعه اعداد مختلط.

نمودار یک تابع

قطعه ای از نمودار تابع

روش های تعیین یک تابع

[ویرایش] روش تحلیلی

به طور معمول، یک تابع با استفاده از فرمولی که شامل متغیرها، عملیات و توابع ابتدایی است مشخص می شود. شاید یک کار تکه تکه، یعنی برای مقادیر مختلف استدلال متفاوت باشد.

[ویرایش] روش جدولی

یک تابع را می توان با فهرست کردن همه آرگومان های ممکن و مقادیر آنها مشخص کرد. پس از این، در صورت لزوم، می توان تابع را برای آرگومان هایی که در جدول نیستند، با درون یابی یا برون یابی تعریف کرد. به عنوان مثال می توان به راهنمای برنامه، برنامه قطار، یا جدول مقادیر تابع بولی اشاره کرد:

[ویرایش] روش گرافیکی

یک اسیلوگرام مقدار یک تابع خاص را به صورت گرافیکی تنظیم می کند.

یک تابع را می توان به صورت گرافیکی با نمایش مجموعه ای از نقاط روی نمودار آن در یک صفحه مشخص کرد. این می تواند یک طرح تقریبی از ظاهر عملکرد یا خوانش هایی باشد که از دستگاهی مانند اسیلوسکوپ گرفته شده است. این روش مشخصات ممکن است از عدم دقت رنج ببرد، اما در برخی موارد به هیچ وجه نمی توان از روش های دیگر مشخصات استفاده کرد. علاوه بر این، این روش تعیین یکی از معرف ترین، قابل درک ترین و با کیفیت ترین تجزیه و تحلیل اکتشافی تابع است.

[ویرایش] روش بازگشتی

یک تابع را می توان به صورت بازگشتی، یعنی از طریق خودش، مشخص کرد. در این حالت، برخی از مقادیر تابع از طریق مقادیر دیگر آن تعیین می شود.

فاکتوریل
اعداد فیبوناچی؛
تابع آکرمن

[ویرایش] روش کلامی

یک تابع را می توان در کلمات زبان طبیعی به روشی بدون ابهام توصیف کرد، برای مثال با توصیف مقادیر ورودی و خروجی آن، یا الگوریتمی که تابع مطابقت بین این مقادیر را تعریف می کند. همراه با روش گرافیکی، گاهی اوقات این تنها راه برای توصیف یک تابع است، اگرچه زبان های طبیعی به اندازه زبان های رسمی قطعی نیستند.

تابعی که یک رقم پی را با عدد خود برمی گرداند.
تابعی که تعداد اتم های جهان را در یک نقطه زمانی مشخص برمی گرداند.
تابعی که یک شخص را به عنوان آرگومان می گیرد و تعداد افرادی را که بعد از تولد آن شخص متولد می شوند را برمی گرداند

اعداد مختلط XI

§ 253. استخراج جذر از اعداد منفی.
حل معادلات درجه دوم با ممیز منفی

همانطور که می دانیم،

من 2 = - 1.

همزمان

(- من ) 2 = (- 1 من ) 2 = (- 1) 2 من 2 = -1.

برای روشن شدن این سوال، فرض کنید که مربع یک عدد مختلط a + bi برابر است با - 1. سپس

(a + bi ) 2 = - 1,

آ 2 + 2аbi - ب 2 = - 1

دو عدد مختلط مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که اجزای واقعی و ضرایب اجزای خیالی آنها برابر باشد. از همین رو

{	آ 2 - ب 2 = - 1 ab = 0 (1)

طبق معادله دوم سیستم (1) حداقل یکی از اعداد آ و ب باید صفر باشد اگر ب = 0، سپس از معادله اول به دست می آوریم آ 2 = - 1. شماره آ واقعی، و بنابراین آ 2 > 0. عدد غیر منفی آ 2 نمی تواند برابر یک عدد منفی - 1 باشد. بنابراین، برابری ب = 0 در این مورد غیرممکن است. باقی می ماند که اعتراف کنیم آ = 0، اما سپس از معادله اول سیستم به دست می آوریم: - ب 2 = - 1, ب = 1±.

بنابراین، تنها اعداد مختلط که مربع آنها -1 است، هستند من و - من ، به طور معمول، این به شکل زیر نوشته می شود:

√-1 = ± من .

با استفاده از استدلال مشابه، دانش آموزان می توانند متقاعد شوند که دقیقاً دو عدد وجود دارد که مربع آنها با یک عدد منفی برابر است - آ . چنین اعدادی √ هستند آ من و -√ آ من . به طور متعارف به این صورت نوشته شده است:

√- آ = ± √ آ من .

زیر √ آ در اینجا منظور ما یک حساب، یعنی مثبت، ریشه است. به عنوان مثال، √4 = 2، √9 =.3; از همین رو

√-4 = + 2من ، √-9 = 3± من

ایکس 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 من .

تمرینات

2022. (مجموعه شماره) معادلات را حل کنید:

آ) ایکس 2 = - 16; ب) ایکس 2 = - 2; در 3 ایکس 2 = - 5.

2023. تمام اعداد مختلط را که مربع آنها مساوی است بیابید:

آ) من ; ب) 1/2 - √ 3/2 من ;

2024. حل معادلات درجه دوم:

آ) ایکس 2 - 2ایکس + 2 = 0; ب) 4 ایکس 2 + 4ایکس + 5 = 0; V) ایکس 2 - 14ایکس + 74 = 0.

حل سیستم معادلات (شماره 2025، 2026):

{	*x+y* = 6 xy = 45

{	2ایکس- 3y = 1 xy = 1

2027. ثابت کنید که ریشه های یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی و یک ممیز منفی به یکدیگر مزدوج هستند.

2028. ثابت کنید که قضیه ویتا برای هر معادله درجه دوم صادق است، و نه فقط برای معادلات دارای ممیز غیر منفی.

2029. یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی بسازید که ریشه های آن عبارتند از:

آ) ایکس 1 = 5 - من , ایکس 2 = 5 + من ; ب) ایکس 1 = 3من , ایکس 2 = - 3من .

2030. یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی بسازید که یکی از ریشه های آن برابر با (3 - من ) (2من - 4).

2031. یک معادله درجه دوم با ضرایب واقعی بسازید که یکی از ریشه های آن برابر است با 32 - من
1- 3من .

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم " حل معادلات" ما قبلا با معادلات خطی آشنا شده ایم و به سراغ آشنایی با آن می رویم معادلات درجه دوم.

ابتدا به این خواهیم پرداخت که معادله درجه دوم چیست، چگونه به صورت کلی نوشته می شود و تعاریف مرتبط را ارائه می دهیم. پس از این، از مثال هایی برای بررسی دقیق چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص استفاده می کنیم. در ادامه به حل معادلات کامل می‌پردازیم، فرمول ریشه را به دست می‌آوریم، با ممیز یک معادله درجه دوم آشنا می‌شویم و راه‌حل‌هایی را برای مثال‌های معمولی در نظر می‌گیریم. در نهایت، بیایید ارتباط بین ریشه ها و ضرایب را ردیابی کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین منطقی است که با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط، گفتگو در مورد معادلات درجه دوم را آغاز کنیم. پس از این می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم را در نظر بگیرید: کاهش یافته و کاهش نیافته و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و مثال هایی از معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله درجه دوممعادله ای از فرم است a x 2 +b x+c=0، جایی که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد و a غیر صفر است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به دلیل این واقعیت است که معادله درجه دوم است معادله جبریدرجه دوم

تعریف بیان شده به ما اجازه می دهد تا مثال هایی از معادلات درجه دوم بیاوریم. بنابراین 2 x 2 +6 x+1=0، 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف.

شماره a، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 و ضریب a را اولین یا بالاترین یا ضریب x 2 می گویند، b ضریب دوم یا ضریب x و c عبارت آزاد است. .

به عنوان مثال، بیایید یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x −3=0 در نظر بگیریم، در اینجا ضریب پیشرو 5، ضریب دوم برابر با −2، و جمله آزاد برابر با −3 است. لطفاً توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و/یا c منفی هستند، مانند مثالی که ارائه شد، شکل کوتاه معادله درجه دوم 5 x 2 −2 x−3=0 است، نه 5 x 2 +(-2 ) ·x+(-3)=0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و/یا b برابر با 1 یا -1 هستند، معمولاً به صراحت در معادله درجه دوم وجود ندارند، که به دلیل ویژگی‌های نوشتن چنین است. به عنوان مثال، در معادله درجه دوم y 2 −y+3=0 ضریب پیشرو یک است و ضریب y برابر با 1- است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بسته به مقدار ضریب پیشرو، معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دومی که در آن ضریب پیشرو 1 است نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. در غیر این صورت معادله درجه دوم است دست نخورده.

طبق این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 −3·x+1=0، x 2 −x−2/3=0 و غیره. – داده شده، در هر یک از آنها اولین ضریب برابر با یک است. A 5 x 2 −x−1=0 و غیره. - معادلات درجه دوم کاهش نیافته، ضرایب پیشرو آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم کاهش نیافته، با تقسیم هر دو طرف بر ضریب پیشرو، می توانید به ضریب کاهش یافته بروید. این عمل یک تبدیل معادل است، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته که از این طریق به دست می‌آید دارای ریشه‌های معادل معادله درجه دوم تقلیل‌نشده اصلی است یا مانند آن، ریشه ندارد.

اجازه دهید به مثالی نگاه کنیم که چگونه انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش‌یافته به یک معادله کاهش‌یافته انجام می‌شود.

مثال.

از معادله 3 x 2 +12 x−7=0، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

فقط باید دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 3 تقسیم کنیم، غیر صفر است، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. داریم (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 که یکسان است، (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0، و سپس (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0، از کجا . به این ترتیب معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست آوردیم که معادل معادل اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

تعریف یک معادله درجه دوم شامل شرط a≠0 است. این شرط لازم است تا معادله a x 2 + b x + c = 0 درجه دوم باشد، زیرا وقتی a = 0 باشد در واقع به یک معادله خطی به شکل b x + c = 0 تبدیل می شود.

در مورد ضرایب b و c هم به صورت جداگانه و هم با هم می توانند برابر با صفر باشند. در این موارد معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 نامیده می شود ناقص، اگر حداقل یکی از ضرایب b، c برابر با صفر باشد.

در نوبتش

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب با صفر متفاوت هستند.

چنین اسامی تصادفی نبود. این از بحث های بعدی روشن خواهد شد.

اگر ضریب b صفر باشد، معادله درجه دوم به شکل a·x 2 +0·x+c=0 است و معادل معادله a·x 2 +c=0 است. اگر c=0، یعنی معادله درجه دوم به شکل a·x 2 +b·x+0=0 باشد، می توان آن را به صورت a·x 2 +b·x=0 بازنویسی کرد. و با b=0 و c=0 معادله درجه دوم a·x 2 =0 را بدست می آوریم. معادلات به دست آمده با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 +x+1=0 و −2 x 2 −5 x+0.2=0 نمونه‌هایی از معادلات درجه دوم هستند و x 2 = 0، −2 x 2 = 0، 5 x 2 +3=0 ، −x 2 −5 x=0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبلی چنین بر می آید که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

a·x 2 = 0، ضرایب b=0 و c=0 با آن مطابقت دارد.
a x 2 +c=0 وقتی b=0 ;
و a·x 2 +b·x=0 وقتی c=0.

اجازه دهید به ترتیب چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع را بررسی کنیم.

a x 2 = 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص شروع کنیم که در آنها ضرایب b و c برابر با صفر هستند، یعنی با معادلات به شکل a x 2 = 0. معادله a·x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت بر یک عدد غیر صفر a از اصل به دست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 = 0 صفر است، زیرا 0 2 = 0 است. این معادله ریشه دیگری ندارد، که با این واقعیت توضیح داده می شود که برای هر عدد غیر صفر p، نابرابری p 2 > 0 برقرار است، به این معنی که برای p≠0 تساوی p 2 = 0 هرگز به دست نمی آید.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a·x 2 = 0 دارای یک ریشه واحد x=0 است.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم ناقص -4 x 2 = 0 را می‌دهیم. معادل معادله x 2 = 0 است، تنها ریشه آن x=0 است، بنابراین، معادله اصلی دارای یک ریشه واحد صفر است.

یک راه حل کوتاه در این مورد را می توان به صورت زیر نوشت:
-4 x 2 = 0،
x 2 = 0،
x=0.

a x 2 + c=0

حال بیایید ببینیم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند که ضریب b صفر و c≠0 است، یعنی معادلاتی به شکل a x 2 +c=0. می دانیم که با حرکت یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر با علامت مخالف و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر یک عدد غیر صفر، یک معادله معادل به دست می آید. بنابراین، می‌توانیم تبدیل‌های معادل زیر را از معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 انجام دهیم:

c را به سمت راست حرکت دهید، که معادله a x 2 =−c را به دست می‌دهد،
و هر دو طرف را بر a تقسیم کنیم، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c، مقدار عبارت می تواند منفی (به عنوان مثال، اگر a=1 و c=2، سپس ) یا مثبت (مثلاً اگر a=−2 و c=6 باشد، سپس ) صفر نیست، زیرا با شرط c≠0. موارد و موارد را جداگانه تحلیل خواهیم کرد.

اگر، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی , پس برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر، پس وضعیت با ریشه های معادله متفاوت است. در این صورت، اگر به یاد بیاوریم، ریشه معادله بلافاصله مشخص می شود، زیرا . به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است، در واقع، . این معادله ریشه دیگری ندارد که مثلاً با تناقض نشان داده شود. بیایید آن را انجام دهیم.

اجازه دهید ریشه های معادله را که به صورت x 1 و −x 1 اعلام شده است نشان دهیم. فرض کنید که معادله یک ریشه x 2 بیشتر دارد که با ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1 متفاوت است. مشخص است که جایگزین کردن ریشه های آن به یک معادله به جای x، معادله را به یک برابری عددی صحیح تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما این امکان را می‌دهند که تفریق ترم به ترم برابری‌های عددی صحیح را انجام دهیم، بنابراین با تفریق قسمت‌های مربوطه برابری‌ها x 1 2 −x 2 2 = 0 به دست می‌آید. ویژگی‌های عملیات با اعداد به ما اجازه می‌دهند تساوی حاصل را به صورت (x 1 −x 2)·(x1 +x2)=0 بازنویسی کنیم. می دانیم که حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. بنابراین، از تساوی حاصل چنین می شود که x 1 −x 2 = 0 و/یا x 1 +x 2 =0، که یکسان است، x 2 =x 1 و/یا x 2 =−x 1. بنابراین ما به یک تناقض رسیدیم، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که معادله هیچ ریشه ای جز و ندارد.

اجازه دهید اطلاعات این پاراگراف را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 معادل معادله ای است که

ریشه ندارد اگر،
دو ریشه دارد و اگر .

مثال هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل a·x 2 +c=0 را در نظر می گیریم.

بیایید با معادله درجه دوم 9 x 2 +7=0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله، به شکل 9 x 2 =−7 خواهد بود. با تقسیم دو طرف معادله حاصل بر 9، به . از آنجایی که سمت راست دارای یک عدد منفی است، این معادله ریشه ندارد، بنابراین، معادله درجه دوم ناقص اولیه 9 x 2 +7 = 0 ریشه ندارد.

بیایید یک معادله درجه دوم ناقص دیگر را حل کنیم -x 2 +9=0. نه را به سمت راست می بریم: −x 2 =−9. حالا هر دو طرف را بر 1- تقسیم می کنیم، x 2 = 9 به دست می آید. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم که یا . سپس پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 +9=0 دارای دو ریشه x=3 یا x=−3 است.

a x 2 +b x=0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c=0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص به شکل a x 2 + b x = 0 به شما امکان می دهد حل کنید روش فاکتورسازی. بدیهی است که می‌توانیم در سمت چپ معادله قرار داشته باشیم که برای آن کافی است ضریب مشترک x را از پرانتز خارج کنیم. این به ما امکان می دهد از معادله درجه دوم ناقص اصلی به یک معادله معادل به شکل x·(a·x+b)=0 حرکت کنیم. و این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله x=0 و a·x+b=0 است که دومی خطی است و ریشه x=−b/a دارد.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a·x 2 +b·x=0 دارای دو ریشه x=0 و x=−b/a است.

برای ادغام مطالب، راه حل را به یک مثال خاص تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

با خارج کردن x از پرانتز معادله بدست می آید. معادل دو معادله x=0 و . معادله خطی حاصل را حل می کنیم: و با تقسیم عدد مختلط بر کسری معمولی، پیدا می کنیم. بنابراین، ریشه های معادله اصلی x=0 و .

پس از کسب تمرین لازم، جواب این گونه معادلات را می توان به طور خلاصه نوشت:

پاسخ:

x=0، .

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای حل معادلات درجه دوم یک فرمول ریشه وجود دارد. بیایید آن را بنویسیم فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم: ، جایی که D=b 2-4 a c- باصطلاح تفکیک معادله درجه دوم. مدخل اساساً به این معنی است که .

دانستن اینکه فرمول ریشه چگونه به دست آمده و چگونه از آن در یافتن ریشه معادلات درجه دوم استفاده می شود مفید است. بیایید این را بفهمیم.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 را حل کنیم. بیایید چند تبدیل معادل را انجام دهیم:

می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر یک عدد غیر صفر a تقسیم کنیم که معادله درجه دوم زیر به دست می‌آید.
اکنون مربع کامل را انتخاب کنیددر سمت چپ آن: . پس از این، معادله شکل می گیرد.
در این مرحله امکان انتقال دو عبارت آخر به سمت راست با علامت مقابل وجود دارد.
و همچنین عبارت سمت راست را تبدیل کنیم: .

در نتیجه به معادله ای می رسیم که معادل معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 است.

ما قبلاً در پاراگراف های قبلی که بررسی کردیم معادلات مشابه را حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد تا در مورد ریشه های معادله نتایج زیر را بدست آوریم:

اگر، پس معادله هیچ راه حل واقعی ندارد.
اگر، پس معادله شکلی دارد، بنابراین، که تنها ریشه آن قابل مشاهده است.
اگر، آنگاه یا، که همان یا است، یعنی معادله دو ریشه دارد.

بنابراین، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله، و بنابراین معادله درجه دوم اصلی، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود، علامت این عبارت با علامت صورت تعیین می شود، زیرا مخرج 4·a 2 همیشه مثبت است، یعنی با علامت عبارت b2-4·a·c. این عبارت b2-4 a c نامیده شد تمایز یک معادله درجه دومو توسط نامه تعیین شده است D. از اینجا ماهیت ممیز مشخص می شود - بر اساس ارزش و علامت آن نتیجه می گیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد و اگر چنین است تعداد آنها چند است - یک یا دو.

بیایید به معادله برگردیم و آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: . و نتیجه گیری می کنیم:

اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
اگر D=0 باشد، این معادله یک ریشه دارد.
در نهایت اگر D>0 باشد، معادله دارای دو ریشه یا است که می توان آن ها را به شکل یا بازنویسی کرد و پس از بسط و آوردن کسرها به مخرج مشترک به دست می آوریم.

بنابراین ما فرمول‌های ریشه‌های معادله درجه دوم را به دست آوردیم، آنها شبیه به .

با کمک آنها، با یک ممیز مثبت، می توانید هر دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هنگامی که متمایز برابر با صفر است، هر دو فرمول مقدار یکسانی از ریشه را به دست می دهند که مربوط به یک راه حل منحصر به فرد برای معادله درجه دوم است. و با تفکیک منفی، هنگام تلاش برای استفاده از فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم، با استخراج جذر یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را از محدوده برنامه درسی مدرسه خارج می کند. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه‌ها را می‌توان با استفاده از همان فرمول‌های ریشه‌ای که ما به دست آوردیم پیدا کرد.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

در عمل، هنگام حل معادلات درجه دوم، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه برای محاسبه مقادیر آنها استفاده کنید. اما این بیشتر به یافتن ریشه های پیچیده مربوط می شود.

با این حال، در یک درس جبر مدرسه، ما معمولاً نه در مورد پیچیده، بلکه در مورد ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم صحبت می کنیم. در این مورد، توصیه می شود قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا تفکیک کننده را پیدا کنید، از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت می توان نتیجه گرفت که معادله ریشه واقعی ندارد). و فقط پس از آن مقادیر ریشه ها را محاسبه کنید.

استدلال بالا به ما اجازه نوشتن را می دهد الگوریتم حل معادله درجه دوم. برای حل معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 باید:

با استفاده از فرمول متمایز D=b 2 −4·a·c، مقدار آن را محاسبه کنید.
نتیجه بگیرید که یک معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد اگر ممیز منفی باشد.
تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید اگر D=0;
اگر ممیز مثبت باشد، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا ما فقط توجه می کنیم که اگر تفکیک کننده برابر با صفر باشد، می توانید از فرمول استفاده کنید که همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به مثال هایی از استفاده از الگوریتم برای حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

بیایید راه حل های سه معادله درجه دوم با ممیز مثبت، منفی و صفر را در نظر بگیریم. پس از پرداختن به حل آنها، بر اساس قیاس، حل هر معادله درجه دوم دیگری امکان پذیر خواهد بود. شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 +2·x−6=0 را بیابید.

راه حل.

در این حالت ضرایب زیر از معادله درجه دوم را داریم: a=1، b=2 و c=−6. طبق الگوریتم، برای انجام این کار ابتدا باید تفکیک کننده را محاسبه کنید، a، b و c نشان داده شده را جایگزین فرمول تفکیک می کنیم D=b 2-4·a·c=2 2-4·1·(-6)=4+24=28. از آنجایی که 28> 0، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است، معادله درجه دوم دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنیم، دریافت می کنیم، در اینجا می توانید عبارات حاصل را با انجام این کار ساده کنید حرکت ضریب فراتر از علامت ریشهبه دنبال کاهش کسر:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4 x 2 +28 x−49=0 را حل کنید.

راه حل.

ما با یافتن متمایز شروع می کنیم: D=28 2-4·(-4)·(-49)=784-784=0. بنابراین، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد که آن را به صورت، یعنی

پاسخ:

x=3.5.

باقی مانده است که حل معادلات درجه دوم را با ممیز منفی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5·y 2 +6·y+2=0 را حل کنید.

راه حل.

ضرایب معادله درجه دوم عبارتند از: a=5، b=6 و c=2. ما این مقادیر را با فرمول متمایز جایگزین می کنیم D=b 2-4·a·c=6 2-4·5·2=36-40=-4. ممیز منفی است، بنابراین، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر نیاز به نشان دادن ریشه های پیچیده دارید، فرمول شناخته شده را برای ریشه های یک معادله درجه دوم اعمال می کنیم و عملیات با اعداد مختلط:

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، ریشه های پیچیده عبارتند از: .

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم که اگر ممیز یک معادله درجه دوم منفی باشد، در مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخی را می نویسند که در آن نشان می دهد که ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده پیدا نمی شود.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، که در آن D=b2-4·a·c به شما امکان می دهد فرمولی با فرم فشرده تر به دست آورید، به شما امکان می دهد معادلات درجه دوم را با ضریب زوج برای x (یا به سادگی با یک) حل کنید. ضریب به شکل 2·n، برای مثال، یا 14· ln5=2·7·ln5). بیا بیرونش کنیم

فرض کنید باید یک معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 2 n x+c=0 حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که می شناسیم پیدا کنیم. برای این کار تفکیک کننده را محاسبه می کنیم D=(2 n) 2-4 a c=4 n 2-4 a c=4 (n 2-a c)، و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

اجازه دهید عبارت n 2 −a c را با D 1 نشان دهیم (گاهی اوقات با D نشان داده می شود) سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 n شکل خواهد گرفت. ، جایی که D 1 = n 2 -a·c.

به راحتی می توان دید که D=4·D 1 یا D 1 =D/4. به عبارت دیگر D 1 قسمت چهارم ممیز است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 نیز نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم است.

بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2·n، شما نیاز دارید

محاسبه D 1 = n 2 −a·c ;
اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
اگر D 1 = 0، سپس تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.
اگر D 1 > 0 باشد، با استفاده از فرمول دو ریشه واقعی پیدا کنید.

بیایید حل مثال را با استفاده از فرمول ریشه به دست آمده در این پاراگراف در نظر بگیریم.

مثال.

معادله درجه دوم 5 x 2 −6 x −32=0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2·(-3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به شکل 5 x 2 +2 (-3) x−32=0، در اینجا a=5، n=−3 و c=−32 بازنویسی کنید و قسمت چهارم را محاسبه کنید. ممیز: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2-5·(-32)=9+160=169. از آنجایی که مقدار آن مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مناسب پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود، اما در این مورد باید کارهای محاسباتی بیشتری انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی شکل معادلات درجه دوم

گاهی اوقات، قبل از شروع به محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول، این سوال را بپرسید: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافق باشید که از نظر محاسبات، حل معادله درجه دوم 11 x 2 −4 x−6=0 آسان تر از 1100 x 2 −400 x−600=0 خواهد بود.

به طور معمول، ساده کردن شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم هر دو طرف در یک عدد مشخص به دست می آید. به عنوان مثال، در پاراگراف قبل می‌توان معادله 1100 x 2 −400 x −600=0 را با تقسیم هر دو طرف بر 100 ساده کرد.

یک تبدیل مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود که ضرایب آن نیست. در این حالت معمولاً هر دو طرف معادله بر مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. برای مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم 12 x 2 −42 x+48=0 را در نظر بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. با تقسیم دو طرف معادله درجه دوم بر 6، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 −7 x+8=0 می رسیم.

و ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم معمولا برای خلاص شدن از شر ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت ضرب با مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال، اگر هر دو طرف معادله درجه دوم در LCM(6, 3, 1)=6 ضرب شوند، آنگاه به شکل ساده‌تر x 2 +4·x−18=0 خواهد بود.

در نتیجه گیری از این نکته، توجه می کنیم که آنها تقریباً همیشه با تغییر علائم همه عبارت ها از منهای بالاترین ضریب یک معادله درجه دوم خلاص می شوند که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در -1 است. به عنوان مثال، معمولاً یکی از معادله درجه دوم -2 x 2 -3 x+7=0 به حل 2 x 2 +3 x−7=0 حرکت می‌کند.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله را از طریق ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه، می توانید روابط دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمول های قضیه ویتا به شکل و . به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 −7 x + 22 = 0، بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن برابر با 7/3 است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با 22 است. /3.

با استفاده از فرمول های قبلاً نوشته شده، می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. برای مثال می توانید مجموع مجذورات یک معادله درجه دوم را از طریق ضرایب آن بیان کنید: .

کتابشناسی - فهرست کتب.

جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در 2 ساعت قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.

معادله درجه دوم - آسان برای حل! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که بسیاری از مردم با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

چه مفهومی داره؟ این بدان معنی است که حدود 70000 نفر در ماه به دنبال این اطلاعات هستند، و این تابستان است، و آنچه در طول سال تحصیلی اتفاق می افتد - دو برابر بیشتر درخواست می شود. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من مایلم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیا شروع کنیم!محتوای مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو c اعداد دلخواه با a≠0 هستند.

در دوره مدرسه، مطالب به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. دو ریشه دارند.

2. *فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*این فرمول ها را باید از روی قلب بدانید.

بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

در این زمینه وقتی ممیز برابر صفر است درس مدرسه می گوید یک ریشه به دست می آید، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...

این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، شما دو ریشه مساوی دریافت می کنید، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشیم، در پاسخ باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم، ریشه یک عدد منفی را نمی توان گرفت، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این بسیار مهم است (در آینده، در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a، b، c - اعداد داده شده، با ≠ 0

نمودار یک سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با "y" برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

*می توان بلافاصله سمت چپ و راست معادله را بر 2 تقسیم کرد، یعنی آن را ساده کرد. محاسبات آسان تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

ما دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11

نوشتن x=11 در جواب جایز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا در مورد اعداد مختلط چیزی می دانید؟ من در اینجا به جزئیات نمی پردازم که چرا و کجا بوجود آمدند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج می گیریم.

معادله درجه دوم ناقص.

بیایید موارد خاص را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ گونه مسائل تبعیض آمیز حل کرد.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ+ s =ب, که

این ویژگی ها به حل نوع خاصی از معادله کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0

مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی

مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0

برابری برقرار است آ+ s =ب, به معنای

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 +1) و ضریب “c” از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a, سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است که پس از حل یک معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق یک تفکیک کننده)، ریشه های حاصل را می توان بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش حمل و نقل

با این روش، ضریب الف در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن پرتاب می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

اگر آ± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2ایکس 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => ایکس 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شوند (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شدند)، دریافت می کنیم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های متفاوتی بدست می آورید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر سه را دوباره بچرخانیم، حاصل را بر 3 تقسیم می کنیم و غیره.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع ur-ie و آزمون یکپارچه ایالت.

من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزها را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در تکالیف آزمون یکپارچه دولتی به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) مربوط می شود.

چیزی که قابل توجه است!

1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

شما باید آن را به یک فرم استاندارد بیاورید (تا هنگام حل گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.

معادلات درجه دوم در کلاس هشتم مطالعه می شوند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملاً ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه داشته باشید که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

بدون ریشه؛
دقیقاً یک ریشه داشته باشد.
آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و معادلات خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود، سپس به سادگی عدد D = b 2 - 4ac است.

شما باید این فرمول را از روی قلب بدانید. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:

اگر D< 0, корней нет;
اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری از مردم معتقدند. به مثال ها نگاهی بیندازید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

x 2 - 8 x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

بیایید ضرایب معادله اول را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. ما معادله دوم را به روشی مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = 131-.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی مانده این است:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز صفر است - ریشه یک خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که ضرایب برای هر معادله نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است، اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای مرتکب نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر این کار را انجام دهید، پس از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ خود راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت خواهید کرد که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول، خطا رخ می دهد. در اینجا دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را یادداشت کنید - و خیلی زود از شر خطاها خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم کمی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

به راحتی می توان متوجه شد که این معادلات فاقد یکی از اصطلاحات هستند. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه تفکیک ندارند. بنابراین، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک حالت بسیار دشوار امکان پذیر است: b = c = 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 = 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای یک ریشه دارد: x = 0.

بیایید موارد باقیمانده را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c = 0 به دست می آوریم. اجازه دهید آن را کمی تبدیل کنیم:

از آنجایی که جذر حسابی فقط یک عدد غیر منفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط برای (-c/a) ≥ 0 معنی دارد. نتیجه گیری:

اگر در یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c/a) ≥ 0 برآورده شود، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، نیازی به تفکیک کننده نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c/a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، اصلا ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال اجازه دهید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 نگاه کنیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در پایان، اجازه دهید به چند مورد از این معادلات نگاه کنیم: