نحوه تفریق اعداد با علائم مختلف جمع اعداد با علائم مختلف. جمع یک عدد صحیح دلخواه و صفر

نمونه هایی از جمع و تفریق اعداد صحیح

قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح

خانه » یک خانه شخصی » نحوه تفریق اعداد با علائم مختلف جمع اعداد با علائم مختلف. جمع یک عدد صحیح دلخواه و صفر

در این درس خواهیم آموخت جمع و تفریق اعداد صحیحو همچنین قوانین جمع و تفریق آنها.

به یاد بیاورید که اعداد صحیح همه اعداد مثبت و منفی و همچنین عدد 0 هستند. به عنوان مثال، اعداد زیر اعداد صحیح هستند:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

اعداد مثبت آسان هستند، و. متأسفانه در مورد اعداد منفی که بسیاری از مبتدیان را با منفی هایشان در مقابل هر عدد گیج می کنند، نمی توان همین را گفت. همانطور که تمرین نشان می دهد، اشتباهات ناشی از اعداد منفی بیشتر دانش آموزان را ناامید می کند.

محتوای درس

اولین چیزی که باید یاد بگیرید جمع و تفریق اعداد صحیح با استفاده از یک خط مختصات است. کشیدن خط مختصات اصلا ضروری نیست. کافی است آن را در افکار خود تصور کنید و ببینید اعداد منفی در کجا قرار دارند و اعداد مثبت کجا.

بیایید ساده ترین عبارت را در نظر بگیریم: 1 + 3. مقدار این عبارت 4 است:

این مثال را می توان با استفاده از یک خط مختصات فهمید. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد 1 قرار دارد، باید سه مرحله به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه، ما خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد 4 در آن قرار دارد، می توانید ببینید که چگونه این اتفاق می افتد:

علامت مثبت در عبارت 1 + 3 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مثال 2.بیایید مقدار عبارت 1 - 3 را پیدا کنیم.

مقدار این عبارت −2 است

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل درک است. برای این کار، از نقطه ای که عدد 1 قرار دارد، باید به سه مرحله سمت چپ بروید. در نتیجه، خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد منفی -2 در آن قرار دارد. در تصویر می توانید ببینید که چگونه این اتفاق می افتد:

علامت منفی در عبارت 1 - 3 به ما می گوید که باید در جهت کاهش اعداد به سمت چپ حرکت کنیم.

به طور کلی، باید به یاد داشته باشید که اگر اضافه انجام شود، باید در جهت افزایش به سمت راست حرکت کنید. اگر تفریق انجام شود، باید در جهت کاهش به سمت چپ حرکت کنید.

مثال 3.مقدار عبارت -2 + 4 را پیدا کنید

مقدار این عبارت 2 است

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل درک است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی −2 قرار دارد، باید چهار قدم به سمت راست حرکت کنید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد مثبت 2 قرار دارد.

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی -2 در آن قرار دارد، چهار پله به سمت راست حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد مثبت 2 در آن قرار دارد.

علامت مثبت در عبارت -2 + 4 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مثال 4.مقدار عبارت −1 − 3 را بیابید

مقدار این عبارت 4- است

این مثال دوباره با استفاده از یک خط مختصات قابل حل است. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی -1 قرار دارد، باید به سه مرحله سمت چپ بروید. در نتیجه، خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد منفی -4 در آن قرار دارد

مشاهده می شود که ما از نقطه ای که عدد منفی -1 در آن قرار دارد، سه پله به سمت چپ حرکت کردیم و به نقطه ای رسیدیم که عدد منفی -4 در آن قرار دارد.

علامت منفی در عبارت -1 - 3 به ما می گوید که باید در جهت کاهش اعداد به سمت چپ حرکت کنیم.

مثال 5.مقدار عبارت −2 + 2 را پیدا کنید

مقدار این عبارت 0 است

این مثال را می توان با استفاده از یک خط مختصات حل کرد. برای انجام این کار، از نقطه ای که عدد منفی -2 قرار دارد، باید به دو مرحله سمت راست بروید. در نتیجه خود را در نقطه ای خواهیم دید که عدد 0 در آن قرار دارد

مشاهده می شود که از نقطه ای که عدد منفی −2 در آن قرار دارد دو پله به سمت راست حرکت کرده ایم و به نقطه ای رسیده ایم که عدد 0 قرار دارد.

علامت مثبت در عبارت -2 + 2 به ما می گوید که باید در جهت افزایش اعداد به سمت راست حرکت کنیم.

مقطع تحصیلی

برای جمع یا تفریق اعداد صحیح، اصلاً لازم نیست هر بار یک خط مختصات تصور کنید، چه رسد به رسم آن. استفاده از قوانین آماده راحت تر است.

هنگام اعمال قوانین، باید به علامت عملیات و علائم اعدادی که باید اضافه یا کم شوند توجه کنید. این مشخص می کند که کدام قانون اعمال شود.

مثال 1.مقدار عبارت −2 + 5 را پیدا کنید

در اینجا یک عدد مثبت به عدد منفی اضافه می شود. به عبارت دیگر اعداد با علائم مختلف اضافه می شوند. -2 یک عدد منفی و 5 عدد مثبت است. برای چنین مواردی، قانون زیر اعمال می شود:

برای اضافه کردن اعداد با علامت های مختلف، باید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و قبل از پاسخ، علامت عددی را که ماژول آن بزرگتر است قرار دهید.

بنابراین، بیایید ببینیم کدام ماژول بزرگتر است:

مدول عدد 5 بزرگتر از مدول عدد -2 است. این قانون مستلزم کم کردن یک کوچکتر از ماژول بزرگتر است. بنابراین باید 2 را از 5 کم کنیم و قبل از پاسخ به دست آمده علامت عددی را که مدول آن بزرگتر است قرار دهیم.

عدد 5 مدول بزرگ تری دارد پس علامت این عدد در جواب خواهد بود. یعنی پاسخ مثبت خواهد بود:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

معمولاً کوتاهتر نوشته می شود: -2 + 5 = 3

مثال 2.مقدار عبارت 3 + (-2) را بیابید

در اینجا نیز مانند مثال قبلی، اعدادی با علائم مختلف اضافه می شوند. 3 یک عدد مثبت و −2 یک عدد منفی است. توجه داشته باشید که −2 در داخل پرانتز قرار می گیرد تا عبارت واضح تر شود. درک این عبارت بسیار ساده تر از عبارت 3+-2 است.

بنابراین، اجازه دهید قانون جمع اعداد با علائم مختلف را اعمال کنیم. مانند مثال قبل، ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و قبل از پاسخ علامت عددی را که ماژول آن بزرگتر است قرار می دهیم:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

مدول عدد 3 از مدول عدد −2 بزرگتر است، بنابراین 2 را از 3 کم کردیم و قبل از پاسخ به دست آمده علامت عددی را که مدول آن بزرگتر است قرار می دهیم. عدد 3 مدول بزرگتری دارد به همین دلیل علامت این عدد در جواب درج شده است. یعنی جواب مثبت است.

معمولاً کوتاهتر 3 + (-2) = 1 نوشته می شود

مثال 3.مقدار عبارت 3-7 را پیدا کنید

در این عبارت عدد بزرگتر از عدد کوچکتر کم می شود. در چنین حالتی قانون زیر اعمال می شود:

برای کم کردن یک عدد بزرگتر از یک عدد کوچکتر، باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید و جلوی پاسخ به دست آمده یک عدد منفی قرار دهید.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

این تعبیر گیرایی جزئی دارد. به یاد داشته باشیم که علامت مساوی (=) زمانی بین مقادیر و عبارات قرار می گیرد که با یکدیگر برابر باشند.

مقدار عبارت 3 − 7 همانطور که یاد گرفتیم 4- است. این بدان معناست که هر تبدیلی که در این عبارت انجام خواهیم داد باید برابر با 4 باشد

اما می بینیم که در مرحله دوم عبارت 7 − 3 وجود دارد که برابر با 4- نیست.

برای اصلاح این وضعیت باید عبارت 7 − 3 را در پرانتز قرار دهید و جلوی این براکت یک منفی قرار دهید:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

در این صورت برابری در هر مرحله رعایت خواهد شد:

پس از محاسبه عبارت، پرانتزها را می توان حذف کرد، کاری که ما انجام دادیم.

بنابراین برای دقیق تر بودن راه حل باید به شکل زیر باشد:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

این قانون را می توان با استفاده از متغیرها نوشت. شبیه این خواهد شد:

a − b = − (b − a)

تعداد زیادی پرانتز و علائم عملیاتی می تواند حل یک مسئله به ظاهر ساده را پیچیده کند، بنابراین بهتر است یاد بگیرید که چگونه چنین مثال هایی را به طور خلاصه بنویسید، به عنوان مثال 3 - 7 = - 4.

در واقع، جمع و تفریق اعداد صحیح به چیزی جز جمع نمی رسد. این بدان معنی است که اگر شما نیاز به تفریق اعداد دارید، این عمل می تواند با جمع جایگزین شود.

پس بیایید با قانون جدید آشنا شویم:

تفریق یک عدد از عدد دیگر به معنای اضافه کردن عددی است که مخالف عددی است که در حال تفریق است.

برای مثال ساده ترین عبارت 5-3 را در نظر بگیرید. در مراحل اولیه مطالعه ریاضی، علامت مساوی گذاشتیم و پاسخ را یادداشت کردیم:

اما اکنون در مطالعه خود در حال پیشرفت هستیم، بنابراین باید خود را با قوانین جدید وفق دهیم. قاعده جدید می گوید که تفریق یک عدد از عدد دیگر به معنای افزودن همان عدد به عدد فرعی است.

بیایید سعی کنیم این قانون را با استفاده از مثال عبارت 5 - 3 درک کنیم. مینیوند در این عبارت 5 است و فرعی 3 است. این قانون می گوید که برای تفریق 3 از 5، باید عددی را به 5 اضافه کنید که مخالف 3 است. متضاد عدد 3 −3 است. . بیایید یک عبارت جدید بنویسیم:

و ما قبلاً می دانیم که چگونه معانی چنین عباراتی را پیدا کنیم. این جمع اعداد با علائم مختلف است که قبلاً به آن نگاه کردیم. برای جمع اعداد با علامت های مختلف، ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم می کنیم و قبل از پاسخ به دست آمده علامت عددی را که ماژول آن بزرگتر است قرار می دهیم:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

مدول عدد 5 بزرگتر از مدول عدد -3 است. بنابراین 3 را از 5 کم کردیم و 2 بدست آوردیم. عدد 5 مدول بزرگتری دارد پس علامت این عدد را در پاسخ قرار می دهیم. یعنی جواب مثبت است.

در ابتدا، همه نمی توانند به سرعت جمع را جایگزین تفریق کنند. زیرا اعداد مثبت بدون علامت مثبت نوشته می شوند.

به عنوان مثال، در عبارت 3-1، علامت منهای نشان دهنده تفریق یک علامت عملیات است و به یک اشاره نمی کند. واحد در در این موردیک عدد مثبت است و علامت مثبت مخصوص به خود را دارد، اما ما آن را نمی‌بینیم، زیرا یک مثبت قبل از اعداد مثبت نوشته نمی‌شود.

بنابراین، برای وضوح، این عبارت را می توان به صورت زیر نوشت:

(+3) − (+1)

برای راحتی، اعداد با علائم خاص خود در پرانتز قرار می گیرند. در این مورد، جایگزینی تفریق با جمع بسیار آسان تر است.

در عبارت (+3) − (+1)، عددی که تفریق می شود (+1) و عدد مقابل آن (-1) است.

جمع را جایگزین تفریق کنیم و به جای عدد فرعی (+1) عدد مقابل (-1) را بنویسیم.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

محاسبات بیشتر دشوار نخواهد بود.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این حرکات اضافی فایده ای ندارد اگر بتوانید از روش قدیمی خوب برای قرار دادن علامت مساوی استفاده کنید و بلافاصله پاسخ 2 را یادداشت کنید. در واقع، این قانون بیش از یک بار به ما کمک می کند.

بیایید مثال قبلی 3-7 را با استفاده از قانون تفریق حل کنیم. ابتدا، بیایید عبارت را به یک شکل واضح بیاوریم و به هر عدد علائم خاص خود را اختصاص دهیم.

سه علامت مثبت دارد زیرا عددی مثبت است. علامت منفی که نشان دهنده تفریق است برای هفت صدق نمی کند. هفت دارای علامت مثبت است زیرا یک عدد مثبت است:

بیایید جمع را جایگزین تفریق کنیم:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

محاسبه بیشتر دشوار نیست:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

مثال 7.مقدار عبارت −4 − 5 را بیابید

باز هم یک عمل تفریق داریم. این عملیات باید با افزودن جایگزین شود. به مینیوند (-4) عدد مقابل زیر خط (5+) را اضافه می کنیم. عدد مقابل زیرترهند (+5) عدد (-5) است.

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

ما به شرایطی رسیده ایم که باید اعداد منفی را اضافه کنیم. برای چنین مواردی، قانون زیر اعمال می شود:

برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده، یک منهای قرار دهید.

بنابراین، بیایید طبق قانون، ماژول های اعداد را با هم جمع کنیم و جلوی پاسخ به دست آمده، یک منهای قرار دهیم:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

یک ورودی با ماژول ها باید در براکت ها محصور شود و علامت منفی باید قبل از این براکت ها قرار داده شود. به این ترتیب ما یک منهای ارائه می دهیم که باید قبل از پاسخ ظاهر شود:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

راه حل این مثال را می توان به طور خلاصه نوشت:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

یا حتی کوتاه تر:

−4 − 5 = −9

مثال 8.مقدار عبارت −3 − 5 − 7 − 9 را بیابید

بیایید بیان را به شکل واضحی برسانیم. در اینجا، همه اعداد به جز -3 مثبت هستند، بنابراین آنها دارای علائم مثبت خواهند بود:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

بیایید تفریق را با جمع جایگزین کنیم. همه منفی ها، به جز منهای جلوی سه، به مثبت و همه اعداد مثبت به عکس تغییر می کنند:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

حالا بیایید قانون جمع اعداد منفی را اعمال کنیم. برای اضافه کردن اعداد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و جلوی پاسخ به دست آمده، یک منهای قرار دهید:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

راه حل این مثال را می توان به طور خلاصه نوشت:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

یا حتی کوتاه تر:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

مثال 9.مقدار عبارت −10 + 6 − 15 + 11 − 7 را بیابید

بیایید عبارت را به یک شکل واضح بیاوریم:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

در اینجا دو عمل وجود دارد: جمع و تفریق. جمع را بدون تغییر می گذاریم و جمع را جایگزین تفریق می کنیم:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

با مشاهده، هر عمل را به نوبه خود و بر اساس قوانینی که قبلا آموخته ایم انجام خواهیم داد. ورودی های دارای ماژول را می توان نادیده گرفت:

اقدام اول:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

اقدام دوم:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

اقدام سوم:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

اقدام چهارم:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

بنابراین، مقدار عبارت -10 + 6 - 15 + 11 - 7 برابر با 15- است.

توجه داشته باشید. اصلاً لازم نیست که عبارت را با قرار دادن اعداد در پرانتز به شکلی قابل فهم درآوریم. هنگامی که عادت به اعداد منفی رخ می دهد، این مرحله را می توان نادیده گرفت زیرا وقت گیر است و ممکن است گیج کننده باشد.

بنابراین، برای جمع و تفریق اعداد صحیح، باید قوانین زیر را به خاطر بسپارید:

به گروه جدید VKontakte ما بپیوندید و شروع به دریافت اعلان در مورد دروس جدید کنید

>> ریاضی: اضافه کردن اعداد با علائم مختلف

33. جمع اعداد با علائم مختلف

اگر دمای هوا برابر با 9 درجه سانتیگراد بود و سپس به - 6 درجه سانتیگراد تغییر کرد (یعنی 6 درجه سانتیگراد کاهش یافت)، سپس برابر با 9 + (- 6) درجه شد (شکل 83).

برای جمع کردن اعداد 9 و - 6 با استفاده از ، باید نقطه A (9) را با 6 قطعه واحد به سمت چپ حرکت دهید (شکل 84). نقطه B (3) را به دست می آوریم.

این به معنای 9+(- 6) = 3 است. عدد 3 علامتی مشابه عبارت 9 دارد و آن مدولبرابر با تفاوت بین مدول های ترم 9 و -6 است.

در واقع، |3| =3 و |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

اگر همان دمای هوای 9 درجه سانتیگراد 12- درجه سانتیگراد تغییر کند (یعنی 12 درجه سانتیگراد کاهش یابد)، آنگاه برابر با 9 + (12-) درجه می شود (شکل 85). با جمع کردن اعداد 9 و -12 با استفاده از خط مختصات (شکل 86)، 9 + (-12) = -3 به دست می آید. عدد -3 دارای علامت یکسانی با عبارت -12 است و ماژول آن برابر است با اختلاف ماژول های عبارت های 12- و 9.

در واقع، | - 3| = 3 و | -12| - | -9| = 12 - 9 = 3.

برای اضافه کردن دو عدد با علائم مختلف، باید:

1) کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید.

2) جلوی عدد حاصل علامت عبارتی که مدول آن بیشتر است قرار دهید.

معمولاً ابتدا علامت جمع مشخص و نوشته می شود و سپس تفاوت ماژول ها پیدا می شود.

مثلا:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
یا کوتاهتر 6.1+(- 4.2) = 6.1 - 4.2 = 1.9;

هنگام اضافه کردن اعداد مثبت و منفی می توانید استفاده کنید ماشین حساب میکرو. برای وارد کردن یک عدد منفی در یک ریز حساب، باید مدول این عدد را وارد کنید، سپس کلید تغییر علامت |/-/| را فشار دهید. به عنوان مثال برای وارد کردن عدد -56.81 باید کلیدهای زیر را به ترتیب فشار دهید: | 5 |، | 6 |، | ¦ |، | 8 |، | 1 |، |/-/|. عملیات روی اعداد هر علامتی مانند اعداد مثبت روی یک ریزمحاسبه انجام می شود.

به عنوان مثال، مجموع -6.1 + 3.8 توسط محاسبه می شود برنامه

? اعداد a و b دارای علائم مختلفی هستند. اگر ماژول بزرگتر منفی باشد مجموع این اعداد چه علامتی خواهد داشت؟

اگر مدول کوچکتر منفی است؟

اگر مدول بزرگتر یک عدد مثبت باشد؟

اگر مدول کوچکتر یک عدد مثبت باشد؟

قاعده ای برای جمع اعداد با علائم مختلف تدوین کنید. چگونه یک عدد منفی را در ریز حساب وارد کنیم؟

به 1045. عدد 6 به -10 تغییر یافت. عدد حاصل در کدام سمت مبدا قرار دارد؟ در چه فاصله ای از مبدا قرار دارد؟ با چه چیزی برابر است مجموع 6 و -10؟

1046. عدد 10 به -6 تغییر یافت. عدد حاصل در کدام سمت مبدا قرار دارد؟ در چه فاصله ای از مبدا قرار دارد؟ مجموع 10 و -6 چقدر است؟

1047. عدد -10 به 3 تغییر یافت. عدد حاصل در کدام سمت مبدا قرار دارد؟ در چه فاصله ای از مبدا قرار دارد؟ مجموع 10- و 3 چقدر است؟

1048. عدد -10 به 15 تغییر یافت. عدد حاصل در کدام سمت مبدا قرار دارد؟ در چه فاصله ای از مبدا قرار دارد؟ مجموع 10- و 15 چقدر است؟

1049. در نیمه اول روز دما 4- درجه سانتیگراد و در نیمه دوم - 12+ درجه سانتیگراد تغییر کرد. دما در طول روز چند درجه تغییر کرد؟

1050. اضافه کردن را انجام دهید:

1051. اضافه کنید:

الف) به مجموع -6 و -12 عدد 20.
ب) به عدد 2.6 مجموع 1.8- و 5.2 است.
ج) به جمع -10 و -1.3 مجموع 5 و 8.7.
د) به مجموع 11 و -6.5 مجموع -3.2 و -6.

1052. کدام عدد 8 است; 7.1; -7.1; -7; -0.5 ریشه است معادلات- 6 + x = -13.1؟

1053. ریشه معادله را حدس بزنید و بررسی کنید:

الف) x + (-3) = -11; ج) m + (-12) = 2;
ب) - 5 + y = 15; د) 3 + n = -10.

1054. معنی عبارت را بیابید:

1055. مراحل را با استفاده از یک ریزماشین حساب دنبال کنید:

الف) - 3.2579 + (-12.308); د) -3.8564+ (-0.8397) +7.84;
ب) 7.8547+ (- 9.239); ه) -0.083 + (-6.378) + 3.9834;
ج) -0.00154 + 0.0837; ه) -0.0085+ 0.00354+ (-0.00921).

پ 1056. مقدار حاصل را بیابید:

1057. معنی عبارت را بیابید:

1058. چند عدد صحیح بین اعداد قرار دارد:

الف) 0 و 24؛ ب) -12 و -3. ج) -20 و 7؟

1059. عدد -10 را مجموع دو جمله منفی تصور کنید تا:

الف) هر دو عبارت اعداد صحیح بودند.
ب) هر دو عبارت کسری اعشاری بودند.
ج) یکی از اصطلاحات عادی معمولی بود کسر.

1060. فاصله (در پاره واحد) بین نقاط خط مختصات با مختصات چقدر است:

الف) 0 و a; ب) -a و a; ج) -a و 0؛ د) a و -Za؟

م 1061. شعاع موازی های جغرافیایی سطح زمین که شهرهای آتن و مسکو در آن قرار دارند به ترتیب برابر با 5040 کیلومتر و 3580 کیلومتر است (شکل 87). موازی مسکو چقدر کوتاهتر از موازی آتن است؟

1062- معادله ای برای حل مسئله بنویسید: «مزرعه ای به مساحت 2.4 هکتار به دو قسمت تقسیم شد. پیدا کردن مربعهر سایت، اگر مشخص باشد که یکی از سایت های:

الف) 0.8 هکتار بیشتر از دیگری؛
ب) 0.2 هکتار کمتر از دیگری.
ج) 3 برابر بیشتر از دیگری؛
د) 1.5 برابر کمتر از دیگری؛
ه) دیگری را تشکیل می دهد.
ه) 0.2 از دیگری است.
ز) 60 درصد دیگر را تشکیل می دهد.
h) 140 درصد دیگر است.»

1063. مسئله را حل کنید:

1) مسافران روز اول 240 کیلومتر، روز دوم 140 کیلومتر، روز سوم 3 برابر روز دوم و روز چهارم استراحت کردند. اگر 5 روز به طور متوسط روزی 230 کیلومتر راندند روز پنجم چند کیلومتر پیمودند؟

2) درآمد ماهانه پدر 280 روبل است. بورسیه دخترم 4 برابر کمتره. اگر 4 نفر در خانواده وجود داشته باشد، کوچکترین پسر دانش آموز باشد و هر نفر به طور متوسط 135 روبل دریافت کند، یک مادر در ماه چقدر درآمد دارد؟

1064. مراحل زیر را دنبال کنید:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. هر یک از اعداد را به صورت مجموع دو جمله مساوی ارائه دهید:

1067. مقدار a + b را بیابید اگر:

الف) a= -1.6، b = 3.2; ب) a=- 2.6، b = 1.9; V)

1068. در یک طبقه یک ساختمان مسکونی 8 آپارتمان وجود داشت. 2 آپارتمان دارای مساحت 22.8 متر مربع، 3 آپارتمان - 16.2 متر مربع، 2 آپارتمان - 34 متر مربع بودند. اگر در این طبقه به طور متوسط هر آپارتمان 24.7 متر مربع مساحت داشته باشد، آپارتمان هشتم چه مساحتی داشت؟

1069. قطار باری شامل 42 واگن بود. تعداد خودروهای سرپوشیده 1.2 برابر بیشتر از سکوها بود و تعداد تانک ها برابر با تعداد سکوها بود. چند واگن از هر نوع در قطار بود؟

1070. معنی عبارت را بیابید

N.Ya.Vilenkin، A.S. چسنوکوف، S.I. شوارتزبورد، وی. آی

دانلود برنامه ریزی ریاضی، کتاب های درسی و آنلاین، دروس و تکالیف ریاضی پایه ششم

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین کارها و تمرین ها کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، کوئست ها سوالات بحث تکلیف سوالات بلاغی از دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و اضافی فرهنگ لغات اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کاملبرنامه تقویم برای سال دروس تلفیقی

طرح درس:

I. لحظه سازمانی

بررسی تکالیف فردی

II. به روز رسانی دانش پایه دانش آموزان

1. آموزش متقابل. سوالات کنترل (شکل سازمانی جفت کار - تست متقابل).
2. کار شفاهی با اظهار نظر (شکل سازمانی کار گروهی).
3. کار مستقل (شکل سازمانی فردی کار، خودآزمایی).

III. پیام موضوع درس

شکل سازمانی گروهی کار، ارائه یک فرضیه، تدوین یک قانون.

1. انجام وظایف آموزشی بر اساس کتاب درسی (فرم سازمانی کار گروهی).
2. کار دانش آموزان قوی با استفاده از کارت (شکل سازمانی فردی کار).

VI. مکث فیزیکی

IX مشق شب.

هدف:توسعه مهارت جمع کردن اعداد با علائم مختلف.

وظایف:

قاعده ای برای جمع اعداد با علائم مختلف تدوین کنید.
جمع کردن اعداد با علائم مختلف را تمرین کنید.
تفکر منطقی را توسعه دهید.
توانایی کار جفتی و احترام متقابل را توسعه دهید.

مواد برای درس:کارت هایی برای آموزش متقابل، جداول نتایج کار، کارت های فردی برای تکرار و تقویت مطالب، شعار کار فردی، کارت هایی با قانون.

در طول کلاس ها

من. زمان سازماندهی

- بیایید درس را با بررسی تکالیف فردی شروع کنیم. شعار درس ما سخنان یان آموس کامنسکی خواهد بود. در خانه باید به حرف های او فکر می کردید. چگونه آن را درک می کنید؟ («آن روز یا ساعتی را که در آن چیز جدیدی یاد نگرفتید و چیزی به تحصیلات خود اضافه نکردید، ناخشنود بدانید»)
– چگونه سخنان نویسنده را درک می کنید؟ (اگر چیز جدیدی یاد نگیریم، دانش جدیدی به دست نیاوریم، این روز را می توان گمشده یا ناخشنود دانست. باید برای کسب دانش جدید تلاش کنیم).
- و امروز ناراضی نخواهد بود زیرا ما دوباره چیز جدیدی یاد خواهیم گرفت.

II. به روز رسانی دانش پایه دانش آموزان

- برای یادگیری مطالب جدید، باید مطالبی را که پوشش داده اید تکرار کنید.
یک کار در خانه وجود داشت - قوانین را تکرار کنید و اکنون دانش خود را با کار با سؤالات تست نشان خواهید داد.

(سوالات تستی مبحث اعداد مثبت و منفی)

دوتایی کار کنید. بررسی دقیق. نتایج کار در جدول ذکر شده است)

اعدادی که در سمت راست مبدا قرار دارند چه نام دارند؟	مثبت
چه اعدادی متضاد نامیده می شوند؟	دو عددی که فقط در نشانه ها با یکدیگر تفاوت دارند، متضاد نامیده می شوند
مدول یک عدد چقدر است؟	فاصله از نقطه الف(الف)قبل از شروع شمارش معکوس، یعنی تا نقطه O (0)مدول یک عدد نامیده می شود
چگونه مدول یک عدد را نشان می دهیم؟	براکت های مستقیم
قانون جمع اعداد منفی را فرموله کنید؟	برای اضافه کردن دو عدد منفی باید: ماژول های آنها را اضافه کنید و علامت منفی قرار دهید
اعدادی که در سمت چپ مبدا قرار دارند چه نام دارند؟	منفی
چه عددی مقابل صفر است؟	0
آیا مدول هر عددی می تواند یک عدد منفی باشد؟	خیر فاصله هرگز منفی نیست
قانون مقایسه اعداد منفی را بیان کنید	از دو عدد منفی، عددی که مدول آن کوچکتر است، بزرگتر و آن که مدول آن بزرگتر است، کوچکتر است.
مجموع اعداد مقابل چقدر است؟	0

پاسخ به سوالات "+" صحیح است، "-" نادرست است معیارهای ارزیابی: 5 - "5"; 4 - "4"؛ 3 - "3"

- کدام سوال سخت ترین بود؟
– برای گذراندن موفقیت آمیز سوالات آزمون به چه چیزهایی نیاز دارید؟ (قوانین را بدانید)

2. کار شفاهی با اظهار نظر

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– برای حل 1-5 مثال به چه دانشی نیاز داشتید؟

3. کار مستقل

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(خودآزمایی. هنگام بررسی پاسخ ها را باز کنید)

- چرا مثال آخر برای شما مشکل ایجاد کرد؟
– مجموع چه اعدادی باید پیدا شود و مجموع چه اعدادی را می دانیم چگونه پیدا کنیم؟

III. پیام موضوع درس

– امروز در کلاس قانون جمع اعداد با علائم مختلف را یاد می گیریم. ما یاد خواهیم گرفت که اعداد را با علائم مختلف جمع کنیم. کار مستقل در پایان درس پیشرفت شما را نشان می دهد.

IV. یادگیری مطالب جدید

- بیایید دفترچه ها را باز کنیم، تاریخ، کار کلاسی، موضوع درس "افزودن اعداد با علائم مختلف" را یادداشت کنیم.
- چه چیزی روی تابلو نشان داده شده است؟ (خط مختصات)

- ثابت کنید که این یک خط مختصات است؟ (یک نقطه مرجع، یک جهت مرجع، یک بخش واحد وجود دارد)
– حالا با هم یاد می گیریم که با استفاده از یک خط مختصات، اعداد با علائم مختلف را جمع کنیم.

(توضیح دانش آموزان با راهنمایی استاد.)

– بیایید عدد 0 را روی خط مختصات پیدا کنیم عدد 6 مثبت است (ما یک آهنربای رنگی را روی عدد 6 قرار می دهیم). به 6 عدد (- 10) را اضافه می کنیم، 10 قدم به سمت چپ مبدا برداریم، زیرا (- 10) یک عدد منفی است (ما یک آهنربای رنگی روی عدد حاصل (- 4) قرار می دهیم.)
- چه جوابی گرفتی؟ (- 4)
- چگونه به عدد 4 رسیدی؟ (10 - 6)
نتیجه بگیرید: از عددی با مدول بزرگتر عددی را با مدول کوچکتر کم کنید.
- چگونه علامت منفی را در پاسخ به دست آوردید؟
نتیجه بگیرید: علامت عددی را با مدول بزرگ گرفتیم.
- بیایید یک مثال در یک دفترچه بنویسیم:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (به طور مشابه حل کنید)

ورود پذیرفته شد:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

- بچه ها، خود شما اکنون قانون جمع اعداد با علائم مختلف را فرموله کرده اید. حدس های شما را به شما می گوییم فرضیه. شما کار فکری بسیار مهمی انجام داده اید. آنها مانند دانشمندان یک فرضیه را مطرح کردند و قانون جدیدی را کشف کردند. بیایید فرضیه شما را با قانون مقایسه کنیم (یک تکه کاغذ با یک قانون چاپ شده روی میز است). بیایید در گروه کر بخوانیم قانوناضافه کردن اعداد با علائم مختلف

- قانون خیلی مهمه! این به شما امکان می دهد بدون استفاده از خط مختصات، تعداد علائم مختلف را اضافه کنید.
- چی معلوم نیست؟
- کجا می توانید اشتباه کنید؟
– برای محاسبه صحیح و بدون خطا وظایف با اعداد مثبت و منفی، باید قوانین را بدانید.

V. تلفیق مطالب مورد مطالعه

– آیا می توانید مجموع این اعداد را در خط مختصات پیدا کنید؟
– حل چنین مثالی با استفاده از خط مختصات دشوار است، بنابراین از قاعده ای که در هنگام حل آن کشف کردید استفاده می کنیم.
وظیفه روی تخته نوشته شده است:
کتاب درسی – ص. 45; شماره 179 (ج، د); شماره 180 (الف، ب); شماره 181 (ب، ج)
(یک دانش آموز قوی کار می کند تا این مبحث را با یک کارت اضافی تثبیت کند.)

VI. مکث فیزیکی(در حالت ایستاده اجرا کنید)

- انسان دارای ویژگی های مثبت و منفی است. این خصوصیات را در خط مختصات توزیع کنید.
(کیفیت های مثبت در سمت راست نقطه شروع و کیفیت های منفی در سمت چپ نقطه شروع قرار دارند.)
– اگر کیفیت منفی است یک بار کف بزنید، اگر مثبت است دو کف بزنید. مراقب باش!
– مهربانی، عصبانیت ، طمع ، همکاری دوسویه, درك كردنبی ادبی و البته قدرت ارادهو میل به پیروزی، که اکنون به آن نیاز خواهید داشت، زیرا کار مستقلی در پیش دارید)
VII. کار فردی و به دنبال آن تأیید متقابل

انتخاب 1	گزینه 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

کار انفرادی (برای قویدانش آموزان) و به دنبال آن تأیید متقابل

انتخاب 1	گزینه 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

هشتم. جمع بندی درس. انعکاس

- من معتقدم که شما فعالانه، مجدانه کار کردید، در کشف دانش جدید شرکت کردید، نظر خود را بیان کردید، اکنون می توانم کار شما را ارزیابی کنم.
- بچه ها به من بگویید چه چیزی مؤثرتر است: دریافت اطلاعات آماده یا فکر کردن برای خودتان؟
- در درس چه چیز جدیدی یاد گرفتیم؟ (ما یاد گرفتیم اعداد را با علائم مختلف جمع کنیم.)
– قانون جمع اعداد با علائم مختلف را نام ببرید.
- به من بگو، آیا درس امروز ما بیهوده نبود؟
- چرا؟ (ما دانش جدیدی به دست آوردیم.)
- برگردیم به شعار. این بدان معناست که یان آموس کامنسکی درست گفته است: آن روز یا ساعتی را که در آن چیز جدیدی یاد نگرفتی و چیزی به تحصیلاتت اضافه نکردی، ناخوش بدان.

IX مشق شب

قانون را بیاموز (کارت)، ص 45، شماره 184.
تکالیف فردی - همانطور که از سخنان راجر بیکن می فهمید: «کسی که ریاضی نمی‌داند، در هیچ علم دیگری توانایی ندارد. علاوه بر این، او حتی قادر به ارزیابی میزان نادانی خود نیست؟

در این درس می آموزیم که عدد منفی چیست و به چه اعدادی متضاد می گویند. همچنین یاد خواهیم گرفت که چگونه اعداد منفی و مثبت (اعداد با علائم مختلف) را جمع کنیم و به چند نمونه از جمع اعداد با علائم مختلف نگاه خواهیم کرد.

به این چرخ دنده نگاه کنید (شکل 1 را ببینید).

برنج. 1. دنده ساعت

این عقربه ای نیست که مستقیماً زمان را نشان دهد و یک شماره گیری نیست (شکل 2 را ببینید). اما بدون این قسمت ساعت کار نمی کند.

برنج. 2. دنده داخل ساعت

حرف Y مخفف چیست؟ چیزی جز صدای Y. اما بدون آن، بسیاری از کلمات "کار نمی کنند". به عنوان مثال، کلمه "موس". اعداد منفی نیز چنین هستند: آنها هیچ کمیتی را نشان نمی دهند، اما بدون آنها مکانیسم محاسبه بسیار دشوارتر خواهد بود.

می دانیم که جمع و تفریق عملیات مساوی هستند و می توانند به هر ترتیبی انجام شوند. به ترتیب مستقیم، می‌توانیم محاسبه کنیم: اما نمی‌توانیم با تفریق شروع کنیم، زیرا هنوز در مورد چه چیزی به توافق نرسیده‌ایم.

واضح است که افزایش تعداد و سپس کاهش به معنای نهایتاً سه کاهش است. چرا این شی را تعیین نکنیم و به این صورت بشماریم: جمع یعنی تفریق. سپس .

عدد می تواند به عنوان مثال یک سیب باشد. عدد جدید هیچ مقدار واقعی را نشان نمی دهد. به خودی خود چیزی شبیه حرف Y نیست. ساده است ابزار جدیدبرای ساده کردن محاسبات

بیایید اعداد جدید را نام ببریم منفی. حالا می توانیم عدد بزرگتر را از عدد کوچکتر کم کنیم. از نظر فنی، هنوز باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید، اما در پاسخ خود علامت منفی قرار دهید: .

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: . می توانید تمام اقدامات را پشت سر هم انجام دهید: .

با این حال، راحت تر است که عدد سوم را از عدد اول کم کنید و سپس عدد دوم را اضافه کنید:

اعداد منفی را می توان به روش دیگری تعریف کرد.

مثلاً برای هر عدد طبیعی یک عدد جدید معرفی می کنیم که به آن اشاره می کنیم و مشخص می کنیم که دارای خاصیت زیر باشد: مجموع عدد و برابر است با: .

ما عدد را منفی و اعداد و - را در مقابل می نامیم. بنابراین، ما بی نهایت اعداد جدید به دست آوردیم، به عنوان مثال:

متضاد عدد؛

عدد بزرگتر را از عدد کوچکتر کم کنید: . به این عبارت اضافه می کنیم: . صفر گرفتیم اما با توجه به خاصیت: عددی که صفر را به پنج اضافه می کند منهای پنج نشان داده می شود: . بنابراین، عبارت را می توان به صورت .

هر عدد مثبت دارای یک عدد دوقلو است، که تنها در این است که قبل از آن علامت منفی خوانده می شود مقابل(شکل 3 را ببینید).

برنج. 3. نمونه هایی از اعداد مقابل

خواص اعداد متضاد

1. مجموع اعداد مقابل صفر است: .

2. اگر یک عدد مثبت را از صفر کم کنید، نتیجه آن عدد منفی مقابل خواهد بود: .

1. هر دو عدد می توانند مثبت باشند، و ما قبلاً می دانیم که چگونه آنها را اضافه کنیم: .

2. هر دو عدد می توانند منفی باشند.

قبلاً در درس قبل به جمع کردن اعدادی مانند اینها پرداختیم، اما بیایید مطمئن شویم که می‌دانیم با آنها چه کنیم. مثلا: .

برای یافتن این مجموع اعداد مثبت مقابل را جمع کرده و علامت منفی قرار دهید.

3. یک عدد می تواند مثبت و دیگری منفی باشد.

اگر برای ما راحت است، می توانیم جمع یک عدد منفی را با تفریق یک عدد مثبت جایگزین کنیم: .

یک مثال دیگر: . دوباره مقدار را به عنوان تفاوت می نویسیم. می توانید با کم کردن عدد کوچکتر از عدد بزرگتر، اما با استفاده از علامت منفی، عدد بزرگتر را از عدد کوچکتر کم کنید.

می توانیم شرایط را با هم عوض کنیم: .

مثال مشابه دیگر: .

در همه موارد، نتیجه یک تفریق است.

برای تدوین اجمالی این قوانین، یک اصطلاح دیگر را به یاد می آوریم. البته اعداد متضاد با هم برابر نیستند. اما عجیب است که متوجه وجوه مشترک آنها نشویم. ما این را مشترک نامیدیم شماره مدول. مدول اعداد مخالف یکسان است: برای یک عدد مثبت برابر با خود عدد است و برای یک عدد منفی برابر با مخالف مثبت است. مثلا: ، .

برای اضافه کردن دو عدد منفی، باید ماژول های آنها را اضافه کنید و علامت منفی بگذارید:

برای اضافه کردن یک عدد منفی و یک عدد مثبت، باید ماژول کوچکتر را از ماژول بزرگتر کم کنید و علامت عدد را با ماژول بزرگتر قرار دهید:

هر دو عدد منفی هستند، بنابراین، ماژول های آنها را اضافه می کنیم و علامت منفی قرار می دهیم:

دو عدد با علامت های مختلف، بنابراین، از مدول عدد (مدول بزرگتر)، مدول عدد را کم می کنیم و علامت منفی می گذاریم (علامت عدد با مدول بزرگتر):

دو عدد با علامت های مختلف پس از مدول عدد (مدول بزرگتر) مدول عدد را کم می کنیم و علامت منفی می گذاریم (علامت عدد با مدول بزرگتر): .

دو عدد با علامت های مختلف پس از مدول عدد (مدول بزرگتر) مدول عدد را کم می کنیم و علامت مثبت می گذاریم (علامت عدد با مدول بزرگتر): .

اعداد مثبت و منفی در طول تاریخ نقش های متفاوتی داشته اند.

ابتدا اعداد طبیعی را برای شمارش اجسام معرفی کردیم:

سپس اعداد مثبت دیگری را معرفی کردیم - کسری، برای شمارش مقادیر غیر صحیح، قطعات: .

اعداد منفی به عنوان ابزاری برای ساده کردن محاسبات ظاهر شدند. اینطور نبود که مقداری در زندگی وجود داشته باشد که نتوانیم آنها را بشماریم و اعداد منفی را اختراع کنیم.

یعنی اعداد منفی از دنیای واقعی به وجود نیامده اند. آنها فقط آنقدر راحت بودند که در بعضی جاها در زندگی کاربرد پیدا کردند. به عنوان مثال، ما اغلب در مورد دمای منفی می شنویم. با این حال هرگز با عدد منفی سیب مواجه نمی شویم. تفاوت در چیست؟

تفاوت این است که در زندگی، کمیت های منفی فقط برای مقایسه استفاده می شوند، اما برای کمیت ها نه. اگر یک هتل دارای زیرزمین باشد و یک آسانسور در آنجا نصب شده باشد، برای حفظ شماره گذاری معمول طبقات معمولی، ممکن است یک طبقه منهای اول ظاهر شود. این منهای اول به معنای تنها یک طبقه زیر سطح زمین است (شکل 1 را ببینید).

برنج. 4. منهای طبقه اول و منهای طبقه دوم

دمای منفی فقط در مقایسه با صفر منفی است که توسط نویسنده مقیاس، آندرس سلسیوس انتخاب شده است. مقیاس های دیگری نیز وجود دارد و ممکن است همان دما دیگر در آنجا منفی نباشد.

در همان زمان، ما درک می کنیم که تغییر نقطه شروع غیرممکن است تا نه پنج سیب، بلکه شش سیب وجود داشته باشد. بنابراین، در زندگی، از اعداد مثبت برای تعیین مقادیر (سیب، کیک) استفاده می شود.

ما همچنین به جای نام از آنها استفاده می کنیم. هر گوشی را می توان نام مخصوص به خود داد، اما تعداد نام ها محدود است و شماره ای وجود ندارد. به همین دلیل از شماره تلفن استفاده می کنیم. همچنین برای سفارش (قرن پس از قرن).

اعداد منفی در زندگی به معنای دوم استفاده می شود (منهای طبقه اول زیر صفر و طبقه اول)

Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات 6. M.: Mnemosyne، 2012.
Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. ریاضی ششم دبستان. "Gymnasium"، 2006.
Depman I.Ya.، Vilenkin N.Ya. پشت صفحات کتاب ریاضی. م.: آموزش و پرورش، 1989.
روروکین A.N.، چایکوفسکی I.V. تکالیف درس ریاضی پایه پنجم تا ششم. M.: ZSh MEPhI، 2011.
روروکین A.N.، Sochilov S.V.، چایکوفسکی K.G. ریاضی 5-6. کتابچه راهنمای دانش آموزان کلاس ششم در مدرسه مکاتبات MEPhI. M.: ZSh MEPhI، 2011.
Shevrin L.N.، Gein A.G.، Koryakov I.O.، Volkov M.V. ریاضیات: کتاب درسی - همکار برای پایه های 5-6 دبیرستان. م.: آموزش، کتابخانه معلم ریاضی، 1368.