تناسب معکوس یک نقطه رابطه معکوس. سطح اول

1 درس در مورد موضوع

انجام:

Telegina L.B.

هدف از درس:

1. تمام مطالب مطالعه شده در مورد توابع را تکرار کنید.
2. تعریف تناسب معکوس را معرفی کنید و نحوه ساخت نمودار آن را آموزش دهید.
3. توسعه تفکر منطقی
4. توجه، دقت، دقت را پرورش دهید.

طرح درس:

1. تکرار.
2. توضیح مطالب جدید
3. دقیقه تربیت بدنی
4. تحکیم.

تجهیزات: پوستر.

در طول کلاس ها:

1. درس با تکرار شروع می شود. از دانش آموزان خواسته می شود تا جدول کلمات متقاطع را حل کنند (که از قبل روی یک صفحه کاغذ بزرگ آماده شده است).

سوالات متقاطع:

1. وابستگی بین متغیرها که در آن هر مقدار از متغیر مستقل با یک مقدار واحد از متغیر وابسته مطابقت دارد. [تابع].

2. متغیر مستقل. [بحث و جدل].

3. مجموعه نقاط صفحه مختصات آبسیسا که برابر با مقادیر آرگومان و مختصات برابر با مقادیر تابع هستند. [برنامه].

4. تابع داده شده با فرمول y=kx+b. [خطی].

5- عددی را چه ضریبی می گویند؟ک در فرمول y=kx+b؟ [گوشه].

6. نمودار تابع خطی چیست؟ [سر راست].

7. اگر k≠0، نمودار y=kx+b این محور را قطع می کند و اگر k=0 با آن موازی است. این محور با چه حرفی مشخص شده است؟ [ایکس].

8. کلمه در نام تابع y=kx؟ [تناسب].

9. تابعی که با فرمول y=x داده می شود 2. [مربعیت].

10. نام نمودار یک تابع درجه دوم. [پارابولا].

11. حرفی از الفبای لاتین که اغلب نشان دهنده یک تابع است. [ایگرک].

12. یکی از راه های تعیین تابع. [فرمول].

معلم : راه های اصلی تعیین تابعی که می شناسیم چیست؟

(یکی از دانش‌آموزان وظیفه‌ای را روی تخته دریافت می‌کند: جدولی از مقادیر تابع 12/x را با استفاده از مقادیر داده شده آرگومان آن پر کنید و سپس نقاط مربوطه را در صفحه مختصات رسم کنید).

بقیه به سوالات معلم پاسخ می دهند: (که از قبل روی تابلو نوشته شده است)

1. نام توابع زیر با فرمول ها چیست: y=kx، y=kx+b، y=x 2 , y=x 3 ?

2. دامنه تعریف توابع زیر را مشخص کنید: y=x 2 +8، y=1/x-7، y= 4x-1/5، y=2x، y=7-5x، y=2/x، y=x 3، y=-10/x.

سپس دانش آموزان با توجه به جدول کار می کنند و به سوالات مطرح شده توسط معلم پاسخ می دهند:

1. کدام شکل از جدول نمودارها را نشان می دهد:

الف) تابع خطی؛

ب) تناسب مستقیم؛

ج) تابع درجه دوم؛

د) توابعی به شکل y=kx 3 ?

2. ضریب k در فرمول هایی به شکل y=kx+b که با نمودارهای شکل های 1، 2، 4، 5 جدول مطابقت دارد، چه علامتی دارد؟

3. نمودارهای توابع خطی را که شیب آنها عبارتند از:

الف) برابر؛

ب) از نظر قدر مساوی و در علامت مخالف.

(سپس کل کلاس بررسی می کند که آیا دانش آموزی که به تخته فراخوانده شده است جدول را به درستی پر کرده و نقاط را در صفحه مختصات قرار داده است).

2. توضیح با انگیزه شروع می شود.

معلم: همانطور که می دانید، هر تابع، فرآیندهایی را توصیف می کند که در دنیای اطراف ما اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، یک مستطیل با اضلاع را در نظر بگیرید x و y و مساحت 12 سانتی متر 2 . مشخص است که x*y=12، اما اگر شروع به تغییر یکی از اضلاع مستطیل کنید، چه اتفاقی می‌افتد، فرض کنید یک ضلع با طول دارد.ایکس؟

طول ضلع y می توان از فرمول y=12/x پیدا کرد. اگرایکس 2 برابر افزایش یابد، y=12/2x خواهد داشت، یعنی. سمت y 2 برابر کاهش می یابد. اگر ارزشایکس افزایش 3، 4، 5... برابر، سپس مقدار y به همان میزان کاهش خواهد یافت. برعکس، اگرایکس سپس چندین بار کاهش یابد y به همان میزان افزایش خواهد یافت. (طبق جدول کار کنید).

بنابراین تابعی به شکل y=12/x را تناسب معکوس می گویند. به طور کلی به صورت y=k/x نوشته می شود که k یک ثابت است و k≠0.

این موضوع درس امروز است، آن را در دفترچه یادداشت کردیم. من یک تعریف دقیق ارائه می کنم. برای تابع y=12/x که نوع خاصی از تناسب معکوس است، قبلاً تعدادی از مقادیر آرگومان و تابع را در جدول یادداشت کرده ایم و نقاط مربوطه را در صفحه مختصات به تصویر می کشیم. نمودار این تابع چگونه است؟ قضاوت در مورد کل نمودار بر اساس نقاط ساخته شده دشوار است، زیرا نقاط می توانند به هر شکلی که دوست دارید به هم متصل شوند. بیایید با هم سعی کنیم در مورد نمودار یک تابع نتیجه گیری کنیم که از در نظر گرفتن جدول و فرمول ناشی می شود.

سوالات کلاس:

1. دامنه تعریف تابع y=12/x چیست؟
2. آیا مقادیر y مثبت یا منفی هستند اگر

تبر

ب) x>0؟

3. چگونه مقدار یک متغیر تغییر می کند y با تغییر ارزشایکس؟

بنابراین،

1. نقطه (0,0) به نمودار تعلق ندارد، یعنی. محور OX یا OY را قطع نمی کند.
2. نمودار در ربع مختصات Ι و ΙΙΙ است.
3. هم در ربع مختصات Ι و هم در ΙΙΙ به آرامی به محورهای مختصات نزدیک می شود و تا حد دلخواه به محورها نزدیک می شود.

با داشتن این اطلاعات می‌توانیم نقطه‌های شکل را به هم متصل کنیم (معلم خودش این کار را روی تخته انجام می‌دهد) و کل نمودار تابع y=12/x را ببینیم. منحنی به دست آمده هذلولی نامیده می شود که در یونانی به معنای «گذر از چیزی» است. این منحنی توسط ریاضیدانان مکتب یونان باستان در حدود قرن چهارم قبل از میلاد کشف شد. اصطلاح هذلولی توسط آپولونیوس از شهر پرگاموم (آسیای صغیر) که در قرون 6-8 می زیسته معرفی شد. قبل از میلاد مسیح.

حال در کنار نمودار تابع y=12/x، نموداری از تابع y=-12/x می سازیم. (دانش آموزان این کار را در دفترچه ها تکمیل می کنند و یک دانش آموز در تخته سیاه).

با مقایسه هر دو نمودار، دانش آموزان متوجه می شوند که دومی 2 و 4 ربع مختصات را اشغال می کند. علاوه بر این، اگر نمودار تابع y=12/x به صورت متقارن نسبت به محور op-amp نمایش داده شود، نمودار تابع y=-12/x به دست می آید.

سوال: مکان نمودار هذلولی y=k/x چگونه به علامت و مقدار ضریب k بستگی دارد؟

دانش‌آموزان متقاعد شده‌اند که اگر k>0 باشد، نمودار در I قرار داردو ربع مختصات III، و اگر k

1. درس تربیت بدنی توسط معلم برگزار می شود.

1. تلفیق مطالب مورد مطالعه هنگام تکمیل شماره 180، 185 از کتاب درسی صورت می گیرد.

1. درس خلاصه شده، نمرات، تکلیف: ص 8 شماره 179، 184.

درس 2 در مورد موضوع

تابع تناسب معکوس و نمودار آن.

انجام:

Telegina L.B.

هدف از درس:

1. مهارت ترسیم تابع نسبت معکوس را تثبیت کنید.
2. ایجاد علاقه به موضوع، تفکر منطقی؛
3. استقلال و توجه را پرورش دهید.

طرح درس:

1. بررسی تکمیل تکالیف
2. کار شفاهی.
3. حل مسئله.
4. دقیقه تربیت بدنی
5. کار مستقل چند سطحی.
6. جمع بندی، ارزیابی، تکالیف.

تجهیزات: کارت.

در طول کلاس ها:

1. معلم موضوع درس، اهداف و طرح درس را اعلام می کند.

سپس دو دانش آموز شماره خانه های تعیین شده 179، 184 را روی تخته تکمیل می کنند.

1. بقیه دانش آموزان به صورت جبهه ای کار می کنند و به سؤالات معلم پاسخ می دهند.

سوالات:

• تابع تناسب معکوس را تعریف کنید.
• نمودار تابع تناسب معکوس چیست؟
• مکان نمودار هذلولی y=k/x چگونه به مقدار ضریب k بستگی دارد؟

وظایف:

1. از جمله توابع مشخص شده توسط فرمول ها، توابع تناسب معکوس هستند:

الف) y=x 2 +5، ب) y=1/x، ج) y= 4x-1، د) y=2x، ه) y=7-5x، f) y=-11/x، g) y=x 3، h) y=15/x-2.

2. برای توابع با تناسب معکوس، ضریب را نام ببرید و مشخص کنید که نمودار در کدام ربع قرار دارد.

3. دامنه تعریف توابع با تناسب معکوس را بیابید.

(سپس دانش آموزان تکالیف یکدیگر را با مداد بر اساس راه حل های بررسی شده توسط معلم برای اعداد روی تخته بررسی می کنند و نمره می دهند).

کار پیشانی مطابق کتاب درسی شماره 190، 191، 192، 193 (شفاهی).

1. اجرا در دفتر و روی تخته از کتاب درسی شماره 186 (ب)، 187 (ب)، 182.

4. درس تربیت بدنی توسط معلم برگزار می شود.

5. کار مستقل در سه گزینه با پیچیدگی های مختلف (توزیع شده بر روی کارت) ارائه می شود.

من ج. (سبک وزن).

نموداری از تابع تناسب معکوس y=-6/x را با استفاده از جدول رسم کنید:

با استفاده از نمودار، پیدا کنید:

الف) مقدار y اگر x = - 1.5; 2

ب) مقدار x که در آن y = - 1; 4.

قرن II (سختی متوسط)

نموداری از تابع تناسب معکوس y=16/x را که ابتدا جدول را پر کرده اید رسم کنید.

با استفاده از نمودار، در چه مقادیری بیابید x y > 0.

قرن III (افزایش سختی)

نموداری از تابع تناسب معکوس y=10/x-2 را که ابتدا جدول را پر کرده اید رسم کنید.

دامنه تعریف این تابع را پیدا کنید.

(دانش آموزان برگه هایی را با نمودارهای رسم شده برای تست تحویل می دهند).

6. درس، نمرات، تکالیف را خلاصه می کند: شماره 186 (الف)، 187 (الف).

بیایید تئوری در مورد توابع را تکرار کنیم. تابع قاعده ای است که طبق آن هر عنصر از یک مجموعه (آرگمون) با یک (معین) مرتبط است. تنها یکی!) عنصر یک مجموعه دیگر (مجموعه مقادیر تابع). یعنی اگر تابعی وجود داشته باشد \(y = f(x)\)، به این معنی است که برای هر مقدار معتبر متغیر \(ایکس\)(که آرگومان نامیده می شود) با یک مقدار از متغیر مطابقت دارد \(y\)(به نام "عملکرد").

تابعی که رابطه معکوس را توصیف می کند

این تابعی از فرم است \(y = \frac(k)(x)\)، جایی که \(k\ne 0.\)

به روشی دیگر، تناسب معکوس نامیده می شود: افزایش آرگومان باعث کاهش متناسب در تابع می شود.
بیایید دامنه تعریف را تعریف کنیم. \(x\) با چه چیزی می تواند برابر باشد؟ یا به عبارت دیگر با چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟

تنها عددی که نمی توان بر آن تقسیم کرد 0 است، بنابراین \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \ فنجان (0; + \infty)\)

یا همان چیست:

\(D(y) = R\slash \( 0\).\)

این نماد به این معنی است که \(x\) می تواند هر عددی به جز 0 باشد: علامت "R" نشان دهنده مجموعه اعداد واقعی است، یعنی تمام اعداد ممکن. علامت "\" نشان دهنده حذف چیزی از این مجموعه است (مشابه با علامت "منهای") و عدد 0 در براکت های فرفری به سادگی به معنای عدد 0 است. معلوم می شود که از همه اعداد ممکن 0 را حذف می کنیم.

به نظر می رسد مجموعه مقادیر تابع دقیقاً یکسان است: از این گذشته، اگر \(k \ne 0.\) باشد، مهم نیست که آن را بر چه چیزی تقسیم کنیم، 0 کار نخواهد کرد:

\(E(y) = (- \infty ;0) \کاپ (0; + \infty)\)

یا \(E(y) = R\slash \( 0\).\)

برخی از تغییرات فرمول نیز امکان پذیر است \(y = \frac(k)(x)\). مثلا، \(y = \frac(k)((x + a))\)همچنین تابعی است که یک رابطه معکوس را توصیف می کند. دامنه و دامنه مقادیر این تابع به شرح زیر است:

\(D(y) = (- \infty ; - a) \ cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

در نظر بگیریم مثال، اجازه دهید بیان را به شکل یک رابطه معکوس کاهش دهیم:

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac((((x - 3) ) + 5))((x - 3)).\)

ما به طور مصنوعی مقدار 3 را به صورت‌گر وارد کردیم و اکنون صورت‌گر را بر مخرج ترم بر ترم تقسیم می‌کنیم، دریافت می‌کنیم:

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

رابطه معکوس به اضافه عدد 1 را بدست آوردیم.

نمودار رابطه معکوس

بیایید با یک مورد ساده شروع کنیم \(y = \frac(1)(x).\)

بیایید یک جدول از مقادیر ایجاد کنیم:

بیایید نقاطی را روی صفحه مختصات رسم کنیم:

نقاط را به هم وصل کنید، نمودار به شکل زیر خواهد بود:

این نمودار نامیده می شود "هذلولی". مانند سهمی، هذلولی دارای دو شاخه است، فقط آنها به یکدیگر متصل نیستند. هر یک از آنها تمایل دارند انتهای خود را به محورها نزدیکتر کنند گاو نرو اوه، اما هرگز به آنها نمی رسد.

بیایید به برخی از ویژگی های تابع توجه کنیم:

1. اگر تابعی قبل از کسر منهای داشته باشد، نمودار برگردانده می شود، یعنی به صورت متقارن نسبت به محور نمایش داده می شود. گاو نر
2. هر چه عدد در مخرج بزرگتر باشد، نمودار از مبدأ دورتر می شود.

وابستگی معکوس در زندگی

از کجا چنین عملکردی را در عمل پیدا کنیم؟ نمونه های زیادی وجود دارد. متداول ترین حرکت، حرکت است: هر چه سرعت حرکت ما بیشتر باشد، زمان کمتری برای طی کردن همان مسافت می برد. بیایید فرمول سرعت را به خاطر بسپاریم:

\(v = \frac(S)(t)،\)

که در آن v سرعت، t زمان سفر، S مسافت (مسیر) است.

از اینجا می توانیم زمان را بیان کنیم: \(t = \frac(S)(v).\)

سطح اول

رابطه معکوس. سطح اول.

اکنون در مورد وابستگی معکوس یا به عبارت دیگر - تناسب معکوس به عنوان یک تابع صحبت خواهیم کرد. آیا به یاد دارید که یک تابع نوع خاصی از وابستگی است؟ اگر هنوز مبحث را نخوانده‌اید، اکیداً توصیه می‌کنم همه چیز را رها کنید و آن را بخوانید، زیرا نمی‌توانید هیچ تابع خاصی را بدون درک آن - یک تابع - مطالعه کنید.

همچنین تسلط بر دو تابع ساده‌تر قبل از شروع این مبحث بسیار مفید است: و . در آنجا مفهوم تابع را تقویت خواهید کرد و کار با ضرایب و نمودارها را یاد خواهید گرفت.

بنابراین، آیا به یاد دارید که یک تابع چیست؟
اجازه دهید تکرار کنیم: یک تابع قاعده ای است که طبق آن هر عنصر از یک مجموعه (آرگمون) با یک (معین) مرتبط است. تنها یکی!) عنصر یک مجموعه دیگر (مجموعه مقادیر تابع). یعنی اگر یک تابع دارید، به این معنی است که برای هر مقدار معتبر یک متغیر (به نام آرگومان) مقدار متناظری از یک متغیر (به نام تابع) وجود دارد. "قابل قبول" به چه معناست؟ اگر نمی توانید به این سوال پاسخ دهید، دوباره به موضوع "" برگردید! این همه در مفهوم است "دامنه": برای برخی از توابع، همه آرگومان ها به یک اندازه مفید نیستند و می توانند با وابستگی ها جایگزین شوند. به عنوان مثال، برای یک تابع، مقادیر آرگومان منفی مجاز نیستند.

تابعی که رابطه معکوس را توصیف می کند

این تابعی از فرم Where است.

به روشی دیگر، تناسب معکوس نامیده می شود: افزایش آرگومان باعث کاهش متناسب در تابع می شود.
بیایید دامنه تعریف را تعریف کنیم. با چه چیزی می تواند برابر باشد؟ یا به عبارت دیگر با چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟

بنابراین تنها عددی که نمی توان بر آن تقسیم کرد این است:

یا همان چیست

(چنین علامت گذاری به این معنی است که می تواند هر عددی باشد، به جز: علامت "" مجموعه اعداد واقعی را نشان می دهد، یعنی همه اعداد ممکن را نشان می دهد؛ علامت "" نشان دهنده حذف چیزی از این مجموعه است (مشابه با "منهای" ” علامت)، و یک عدد در پرانتز به معنای یک عدد است، معلوم می شود که از همه اعداد ممکن حذف می کنیم.

به نظر می رسد مجموعه مقادیر تابع دقیقاً یکسان است: پس از همه، اگر، مهم نیست که آن را بر چه چیزی تقسیم کنیم، کار نخواهد کرد:

برخی از تغییرات فرمول نیز امکان پذیر است. به عنوان مثال، این نیز تابعی است که یک رابطه معکوس را توصیف می کند.
دامنه تعریف و محدوده مقادیر این تابع را خودتان تعیین کنید. می بایست شبیه به این باشه:

بیایید به این تابع نگاه کنیم: . آیا رابطه معکوس دارد؟

در نگاه اول به سختی می توان گفت: بالاخره با افزایش، مخرج کسر و صورت هر دو افزایش می یابد، بنابراین مشخص نیست که آیا تابع کاهش می یابد یا خیر، و اگر چنین است، آیا به نسبت کاهش می یابد؟ برای درک این موضوع، باید عبارت را طوری تبدیل کنیم که هیچ متغیری در صورت‌گر وجود نداشته باشد:

در واقع، ما یک رابطه معکوس دریافت کردیم، اما با یک هشدار: .

این هم یک مثال دیگر: .

اینجا پیچیده‌تر است: از این گذشته، صورت و مخرج اکنون قطعاً لغو نمی‌شوند. اما ما هنوز هم می توانیم تلاش کنیم:

میفهمی چیکار کردم؟ در صورت حساب همان عدد () را اضافه و کم کردم، به نظر نمی رسید چیزی را تغییر دهم، اما اکنون یک قسمت در صورت وجود دارد که برابر با مخرج است. حالا من جمله به جمله را تقسیم می کنم، یعنی این کسر را به مجموع دو کسر تقسیم می کنم:

(در واقع، اگر آنچه را که به دست آوردم به یک مخرج مشترک بیاوریم، کسر اولیه خود را به دست خواهیم آورد):

وای! دوباره کار می کند رابطه معکوس، فقط اکنون یک عدد به آن اضافه شده است.
این روش بعداً هنگام ساخت نمودارها برای ما بسیار مفید خواهد بود.

حال خود عبارات را به یک رابطه معکوس تبدیل کنید:

پاسخ ها:

2. در اینجا شما باید به یاد داشته باشید که چگونه یک مثلث مربع فاکتورسازی می شود (این به طور مفصل در مبحث "" توضیح داده شده است). بگذارید یادآوری کنم که برای این کار باید ریشه های معادله درجه دوم مربوطه را پیدا کنید: . من آنها را به صورت شفاهی با استفاده از قضیه Vieta پیدا خواهم کرد: , . چگونه انجام می شود؟ با مطالعه موضوع می توانید این را یاد بگیرید.
بنابراین، دریافت می کنیم: , بنابراین:

3. آیا قبلاً سعی کرده اید خودتان آن را حل کنید؟ گرفتاری چیست؟ مطمئناً واقعیت این است که ما در صورت و مخرج داریم - ساده است. مشکلی نیست. ما باید کاهش دهیم، بنابراین در صورت حساب باید آن را خارج از پرانتز قرار دهیم (به طوری که در پرانتز آن را بدون ضریب دریافت کنیم):

نمودار رابطه معکوس

مثل همیشه، بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم: .
بیایید یک جدول درست کنیم:

بیایید نقاطی را روی صفحه مختصات رسم کنیم:

اکنون آنها نیاز به اتصال هموار دارند، اما چگونه؟ مشاهده می شود که نقاط سمت راست و چپ خطوط منحنی به ظاهر غیر مرتبط را تشکیل می دهند. اینطور که هست. نمودار به شکل زیر خواهد بود:

این نمودار نامیده می شود "هذلولی"(در این نام چیزی شبیه "پارابولا" وجود دارد، درست است؟). مانند سهمی، هذلولی دارای دو شاخه است، فقط آنها به یکدیگر متصل نیستند. هر یک از آنها با انتهای خود تلاش می کند تا به محورها نزدیک شود و هرگز به آنها نمی رسد. اگر از دور به همان هذلولی نگاه کنید، تصویر زیر را دریافت خواهید کرد:

این قابل درک است: از آنجایی که نمودار نمی تواند از محور عبور کند. اما همچنین، بنابراین نمودار هرگز محور را لمس نمی کند.

خب حالا بیایید ببینیم ضرایب چه تاثیری دارند. این توابع را در نظر بگیرید:
:

وای چه زیبایی
همه نمودارها در رنگ های مختلف ترسیم شده اند تا تشخیص آنها از یکدیگر آسان تر باشد.

بنابراین، ابتدا باید به چه چیزی توجه کنیم؟ به عنوان مثال، اگر یک تابع قبل از کسر یک منهای داشته باشد، نمودار برگردانده می شود، یعنی به طور متقارن نسبت به محور نمایش داده می شود.

دوم: هر چه عدد در مخرج بزرگتر باشد، نمودار از مبدأ دورتر می شود.

اگر تابع پیچیده تر به نظر برسد، چه می شود؟

در این حالت ، هذلول دقیقاً مانند حالت معمول خواهد بود ، فقط کمی جابجا می شود. بیایید فکر کنیم، کجا؟

الان با چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟ درست، . این بدان معنی است که نمودار هرگز به یک خط مستقیم نخواهد رسید. با چه چیزی نمی تواند برابر باشد؟ اکنون. این بدان معنی است که اکنون نمودار به سمت خط مستقیم میل می کند، اما هرگز از آن عبور نمی کند. بنابراین، اکنون خطوط مستقیم همان نقش محورهای مختصات را برای تابع ایفا می کنند. چنین خطوطی نامیده می شود مجانبی(خطوطی که نمودار به آنها تمایل دارد اما به آنها نمی رسد):

در مورد چگونگی ساخت چنین نمودارهایی در مبحث بیشتر خواهیم آموخت.

اکنون سعی کنید چند مثال را برای ادغام حل کنید:

1. شکل نمودار یک تابع را نشان می دهد. تعريف كردن.

2. شکل نمودار تابع را نشان می دهد. تعريف كردن

3. شکل نمودار تابع را نشان می دهد. تعريف كردن.

4. شکل نمودار تابع را نشان می دهد. تعريف كردن.

5. شکل نمودارهای توابع و.

نسبت صحیح را انتخاب کنید:

پاسخ ها:

وابستگی معکوس در زندگی

از کجا چنین عملکردی را در عمل پیدا کنیم؟ نمونه های زیادی وجود دارد. متداول ترین حرکت، حرکت است: هر چه سرعت حرکت ما بیشتر باشد، زمان کمتری برای طی کردن همان مسافت می برد. در واقع، اجازه دهید فرمول سرعت را به خاطر بسپاریم: که در آن سرعت است، زمان سفر است، فاصله (مسیر) است.

از اینجا می توانیم زمان را بیان کنیم:

مثال:

یک نفر با سرعت متوسط ​​کیلومتر در ساعت سر کار می رود و در عرض یک ساعت به آنجا می رسد. اگر با سرعت کیلومتر بر ساعت رانندگی کند چند دقیقه در همان جاده می گذرد؟

راه حل:

به طور کلی، شما قبلاً چنین مشکلاتی را در کلاس پنجم و ششم حل کرده اید. شما نسبت را ایجاد کردید:

یعنی مفهوم تناسب معکوس از قبل برای شما آشناست. پس به یاد آوردیم. و اکنون همان چیز، فقط به صورت بزرگسال: از طریق یک تابع.

تابع (یعنی وابستگی) زمان در دقیقه به سرعت:

معلوم است که پس:

نیاز به پیدا کردن:

اکنون چند مثال از زندگی بیاورید که در آن تناسب معکوس وجود دارد.
اختراع شد؟ آفرین اگر این کار را بکنید. موفق باشید!

وابستگی معکوس. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

1. تعریف

تابعی که رابطه معکوس را توصیف می کندتابعی از فرم Where است.

به عبارت دیگر، این تابع را تناسب معکوس می نامند، زیرا افزایش آرگومان باعث کاهش متناسب تابع می شود.

یا همان چیست

نمودار معکوس یک هذلولی است.

2. ضرایب، و.

مسئول "صافی" و جهت نمودار: هرچه این ضریب بزرگتر باشد، هذلولی از مبدأ دورتر است، و بنابراین، با شیب کمتری می چرخد ​​(شکل را ببینید). علامت ضریب تأثیر می گذارد که نمودار در کدام چهارم قرار دارد:

• اگر، آنگاه شاخه های هذلولی در و چهارم قرار دارند.
• اگر، سپس در و.

x=a است مجانب عمودی, یعنی عمودی که نمودار به آن تمایل دارد.

این عدد وظیفه دارد نمودار تابع را با مقدار if به سمت بالا و اگر آن را به پایین تغییر دهد.

بنابراین، این است مجانب افقی.

امروز به این خواهیم پرداخت که چه کمیت هایی را با نسبت معکوس می نامند، نمودار تناسب معکوس چگونه به نظر می رسد، و چگونه همه اینها می تواند نه تنها در درس های ریاضی، بلکه در خارج از مدرسه نیز برای شما مفید باشد.

چنین نسبت های متفاوت

تناسبدو کمیت را نام ببرید که به یکدیگر وابسته هستند.

وابستگی می تواند مستقیم و معکوس باشد. در نتیجه، روابط بین کمیت ها با تناسب مستقیم و معکوس توصیف می شود.

تناسب مستقیم- این رابطه بین دو کمیت است که افزایش یا کاهش یکی از آنها منجر به افزایش یا کاهش دیگری می شود. آن ها نگرش آنها تغییر نمی کند.

به عنوان مثال، هرچه تلاش بیشتری برای مطالعه در امتحانات انجام دهید، نمرات شما بالاتر می رود. یا هر چه چیزهای بیشتری در پیاده روی با خود ببرید، حمل کوله پشتی شما سنگین تر خواهد بود. آن ها میزان تلاش صرف شده برای آمادگی برای امتحانات با نمرات کسب شده متناسب است. و تعداد وسایل بسته بندی شده در کوله پشتی با وزن آن نسبت مستقیم دارد.

نسبت معکوس- این یک وابستگی تابعی است که در آن کاهش یا افزایش چندین برابری در یک مقدار مستقل (به آن آرگومان می گویند) باعث افزایش یا کاهش متناسب (یعنی همان تعداد دفعات) در یک مقدار وابسته می شود (به آن مقدار وابسته می گویند. تابع).

بیایید با یک مثال ساده توضیح دهیم. شما می خواهید سیب را از بازار بخرید. سیب های روی پیشخوان و مقدار پول در کیف شما نسبت معکوس دارند. آن ها هر چه سیب های بیشتری بخرید، پول کمتری خواهید داشت.

تابع و نمودار آن

تابع تناسب معکوس را می توان به این صورت توصیف کرد y = k/x. که در آن ایکس≠ 0 و ک≠ 0.

این تابع دارای ویژگی های زیر است:

1. دامنه تعریف آن مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی به جز ایکس = 0. D(y): (-∞؛ 0) U (0؛ +∞).
2. محدوده همه اعداد واقعی است به جز y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. مقادیر حداکثر یا حداقل را ندارد.
4. عجیب است و نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.
5. غیر دوره ای
6. نمودار آن محورهای مختصات را قطع نمی کند.
7. صفر ندارد
8. اگر ک> 0 (یعنی آرگومان افزایش می یابد)، تابع در هر یک از بازه های آن به تناسب کاهش می یابد. اگر ک< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. با افزایش استدلال ( ک> 0) مقادیر منفی تابع در بازه (-∞؛ 0) و مقادیر مثبت در بازه (0؛ +∞) هستند. وقتی آرگومان کاهش می یابد ( ک< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

نمودار تابع تناسب معکوس هذلولی نامیده می شود. به صورت زیر نشان داده شده است:

مشکلات تناسب معکوس

برای روشن تر شدن آن، اجازه دهید به چند کار نگاه کنیم. آنها خیلی پیچیده نیستند، و حل آنها به شما کمک می کند تا تجسم کنید که تناسب معکوس چیست و چگونه این دانش می تواند در زندگی روزمره شما مفید باشد.

وظیفه شماره 1. یک ماشین با سرعت 60 کیلومتر در ساعت در حال حرکت است. 6 ساعت طول کشید تا به مقصد برسد. اگر با سرعت دوبرابر حرکت کند چقدر طول می کشد تا همان مسافت را طی کند؟

می‌توانیم با نوشتن فرمولی که رابطه بین زمان، مسافت و سرعت را توصیف می‌کند شروع کنیم: t = S/V. موافقم، این تابع تناسب معکوس را بسیار به ما یادآوری می کند. و نشان می دهد که مدت زمانی که خودرو در جاده می گذراند و سرعت حرکت آن با هم نسبت معکوس دارد.

برای تأیید این موضوع، اجازه دهید V 2 را پیدا کنیم، که طبق شرایط، 2 برابر بیشتر است: V 2 = 60 * 2 = 120 کیلومتر در ساعت. سپس فاصله را با استفاده از فرمول S = V * t = 60 * 6 = 360 کیلومتر محاسبه می کنیم. اکنون یافتن زمان t 2 که با توجه به شرایط مشکل از ما لازم است دشوار نیست: t 2 = 360/120 = 3 ساعت.

همانطور که می بینید، زمان سفر و سرعت در واقع با یکدیگر نسبت معکوس دارند: با سرعتی 2 برابر بیشتر از سرعت اصلی، خودرو 2 برابر زمان کمتری را در جاده صرف می کند.

راه حل این مشکل را می توان به صورت نسبت نیز نوشت. پس بیایید ابتدا این نمودار را بسازیم:

↓ 60 کیلومتر در ساعت - 6 ساعت

↓120 کیلومتر در ساعت – x h

فلش ها نشان دهنده یک رابطه معکوس نسبت هستند. آنها همچنین پیشنهاد می کنند که هنگام ترسیم نسبت، سمت راست رکورد باید برگردانده شود: 60/120 = x/6. از کجا x = 60 * 6/120 = 3 ساعت بدست می آوریم.

وظیفه شماره 2. در این کارگاه 6 کارگر مشغول به کار هستند که می توانند مقدار مشخصی از کار را در 4 ساعت انجام دهند. اگر تعداد کارگران نصف شود، کارگران باقی مانده چقدر طول می کشد تا همین مقدار کار را انجام دهند؟

اجازه دهید شرایط مسئله را در قالب یک نمودار تصویری بنویسیم:

↓ 6 کارگر – 4 ساعت

↓ 3 کارگر – x h

بیایید این را به صورت نسبت بنویسیم: 6/3 = x/4. و اگر تعداد کارگران 2 برابر کمتر باشد، x = 6 * 4/3 = 8 ساعت دریافت می کنیم، بقیه 2 برابر زمان بیشتری را صرف انجام همه کارها می کنند.

وظیفه شماره 3. دو لوله به داخل استخر منتهی می شود. از طریق یک لوله، آب با سرعت 2 لیتر در ثانیه جریان می یابد و ظرف 45 دقیقه استخر را پر می کند. از طریق لوله دیگری، استخر در 75 دقیقه پر می شود. آب با چه سرعتی از طریق این لوله وارد استخر می شود؟

برای شروع، اجازه دهید تمام کمیت هایی که با توجه به شرایط مسئله به ما داده می شود را به همان واحدهای اندازه گیری کاهش دهیم. برای این کار سرعت پر شدن استخر را بر حسب لیتر در دقیقه بیان می کنیم: 2 لیتر در ثانیه = 2 * 60 = 120 لیتر در دقیقه.

از آنجایی که شرط حاکی از آن است که استخر از طریق لوله دوم کندتر پر می شود، این بدان معنی است که سرعت جریان آب کمتر است. تناسب معکوس است. اجازه دهید سرعت مجهول را از طریق x بیان کنیم و نمودار زیر را ترسیم کنیم:

↓ 120 لیتر در دقیقه - 45 دقیقه

↓ x لیتر در دقیقه - 75 دقیقه

و سپس نسبت را تشکیل می دهیم: 120/x = 75/45، از آنجا x = 120 * 45/75 = 72 لیتر در دقیقه.

در مسئله، سرعت پر شدن استخر بر حسب لیتر در ثانیه بیان می شود، بیایید پاسخی را که دریافت کردیم به همان شکل کاهش دهیم: 72/60 = 1.2 لیتر در ثانیه.

وظیفه شماره 4. یک چاپخانه خصوصی کوچک کارت ویزیت چاپ می کند. یک کارمند چاپخانه با سرعت 42 کارت ویزیت در ساعت کار می کند و یک روز کامل - 8 ساعت کار می کند. اگر او سریعتر کار می کرد و 48 کارت ویزیت را در یک ساعت چاپ می کرد، چقدر زودتر می توانست به خانه برود؟

مسیر ثابت شده را دنبال می کنیم و نموداری را با توجه به شرایط مسئله ترسیم می کنیم و مقدار مورد نظر را x تعیین می کنیم:

↓ 42 کارت ویزیت در ساعت – 8 ساعت

↓ 48 کارت ویزیت در ساعت – x h

ما رابطه ای معکوس داریم: تعداد کارت های ویزیتی که یک کارمند چاپخانه در هر ساعت چاپ می کند، به همان تعداد زمان کمتری که برای تکمیل همان کار نیاز دارد. با دانستن این، بیایید یک نسبت ایجاد کنیم:

42/48 = x/8، x = 42 * 8/48 = 7 ساعت.

بدین ترتیب کارمند چاپخانه پس از اتمام کار در 7 ساعت می توانست یک ساعت زودتر به خانه برود.

نتیجه

به نظر ما این مسائل تناسب معکوس واقعا ساده هستند. امیدواریم اکنون شما نیز اینگونه به آنها فکر کنید. و نکته اصلی این است که دانش در مورد وابستگی معکوس نسبت مقادیر واقعاً می تواند بیش از یک بار برای شما مفید باشد.

نه فقط در درس ریاضی و امتحان. اما حتی در آن زمان، وقتی برای رفتن به سفر آماده می شوید، به خرید بروید، تصمیم بگیرید که در تعطیلات کمی پول اضافی به دست آورید و غیره.

در نظرات به ما بگویید که چه نمونه هایی از روابط معکوس و نسبت مستقیم را در اطراف خود مشاهده می کنید. بگذار چنین بازی ای باشد. خواهید دید که چقدر هیجان انگیز است. فراموش نکنید که این مقاله را در شبکه های اجتماعی به اشتراک بگذارید تا دوستان و همکلاسی های شما نیز بتوانند بازی کنند.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.