معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد. معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد. معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و شیب

بردار جهت دهنده خط مستقیم lهر بردار غیر صفر ( متر, n) به موازات این خط.

اجازه دهید نقطه داده شده م 1 (ایکس 1 , y 1) و بردار جهت ( متر, n) سپس معادله خطی که از نقطه عبور می کند م 1 در جهت بردار به نظر می رسد: . این معادله را معادله متعارف خط می نامند.

مثال.معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: تبر + با + سی= 0. معادله متعارف خط راست را یادداشت کرده و آن را تبدیل می کنیم. ما گرفتیم x + y - 3 = 0

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد

بگذارید دو امتیاز در هواپیما داده شود م 1 (ایکس 1 , y 1) و م 2 (ایکس 2, y 2) سپس معادله خطی که از این نقاط می گذرد به شکل زیر است: . اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد.

مثال.معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و شیب

اگر معادله کلی خط آه + وو + اس= 0 به شکل: کاهش می یابد و با نشان داده می شود، سپس معادله حاصل معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای k نامیده می شود.

معادله یک خط در پاره ها

اگر در معادله کلی خط مستقیم آه + وو + اس= ضریب 0 با¹ 0، سپس با تقسیم بر C، به دست می آوریم: یا کجا

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور است اوه، آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط مستقیم با محور OU.

مثال.معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است ایکس – در+ 1 = 0. معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید. A = -1، B = 1، C = 1، سپس آ = -1, ب= 1. معادله یک خط مستقیم در پاره ها به شکل .

مثال.رئوس مثلث A(0; 1)، B(6; 5)، C(12; -1) آورده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ;

4ایکس = 6y– 6; 2ایکس – 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز به شکل زیر است: تبر + با + سی= 0 یا y = kx + b.

ک= . سپس y= . زیرا ارتفاع از نقطه C می گذرد، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: جایی که ب= 17. مجموع: .

جواب: 3 ایکس + 2y – 34 = 0.

درس عملی شماره 7

نام درس: منحنی های مرتبه دوم

هدف درس:آموزش رسم منحنی های مرتبه دوم و ساختن آنها.

آمادگی برای درس:مرور مطالب نظری با موضوع "منحنی های مرتبه دوم"

ادبیات:

1. دادایان ع.ع. "ریاضیات"، 2004

تکلیف درس:

مراحل اجرای درس:

1. اجازه کار بگیرید
2. وظایف را کامل کنید
3. به سوالات امنیتی جواب بدهید.

1. نام، هدف درس، وظیفه؛
2. کار انجام شده؛
3. پاسخ به سوالات امنیتی

سوالات تستی برای تست زنی:

1. منحنی های مرتبه دوم (دایره، بیضی، هذلولی، سهمی) را تعریف کنید، معادلات متعارف آنها را بنویسید.
2. خروج از مرکز یک بیضی یا هذلولی چقدر است؟ چگونه آن را پیدا کنیم؟
3. معادله هذلولی متساوی الاضلاع را بنویسید

کاربرد

محیطمجموعه تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه به نام مرکز فاصله دارند.

بگذارید مرکز دایره یک نقطه باشد در باره(آ؛ ب) و فاصله تا هر نقطه م(x;y) دایره برابر است آر. سپس ( x–a) 2 + (y–b) 2 = آر 2- معادله متعارف دایره با مرکز در باره(آ؛ ب) و شعاع آر.

مثال.مختصات مرکز و شعاع دایره را در صورتی بیابید که معادله آن به شکل زیر باشد: 2 ایکس 2 + 2y 2 - 8x + 5 y – 4 = 0.

برای یافتن مختصات مرکز و شعاع دایره، این معادله باید به شکل متعارف کاهش یابد. برای این کار مربع های کامل را انتخاب کنید:

ایکس 2 + y 2 – 4ایکس + 2,5y – 2 = 0

ایکس 2 – 4ایکس + 4 – 4 + y 2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(ایکس– 2) 2 + (y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

(ایکس – 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

از اینجا مختصات مرکز را پیدا می کنیم در باره(2; -5/4); شعاع آر = 11/4.

بیضیمجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده (که کانون نامیده می شود) مقدار ثابتی بزرگتر از فاصله بین کانون ها است.

فوکوس ها با حروف مشخص می شوند اف 1 , اف با، مجموع فواصل هر نقطه از بیضی تا کانون 2 است آ (2آ > 2ج), آ- محور نیمه اصلی؛ ب– محور نیمه فرعی

معادله متعارف بیضی به شکل زیر است: ، جایی که آ, بو جبا برابری های زیر مرتبط می شوند: a 2 – b 2 = c 2 (یا b 2 – a 2 = c 2).

شکل بیضی با مشخصه ای مشخص می شود که نسبت فاصله کانونی به طول محور اصلی است و خارج از مرکز نامیده می شود. یا .

زیرا طبق تعریف 2 آ> 2ج، سپس خروج از مرکز همیشه به عنوان یک کسر مناسب بیان می شود، یعنی. .

مثال.معادله ای برای بیضی بنویسید که کانون های آن F 1 (0; 0)، F 2 (1; 1) و محور اصلی آن 2 باشد.

معادله بیضی به شکل زیر است: .

فاصله فوکوس: 2 ج= ، بدین ترتیب، آ 2 – ب 2 = ج 2 = . طبق شرط 2 آ= 2، بنابراین، آ = 1, ب= معادله مورد نیاز بیضی به شکل زیر در می آید: .

هایپربولیمجموعه ای از نقاط در یک صفحه است که تفاوت فاصله هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده که کانون نامیده می شود، مقدار ثابتی کمتر از فاصله بین کانون ها است.

معادله متعارف هذلولی به شکل زیر است: یا کجا آ, بو جبا برابری مرتبط است a 2 + b 2 = c 2 .هذلولی در مورد وسط قطعه ای که کانون ها را به هم وصل می کند و در مورد محورهای مختصات متقارن است. فوکوس ها با حروف مشخص می شوند اف 1 , اف 2، فاصله بین فوکوس ها - 2 با، اختلاف فاصله از هر نقطه هذلولی تا کانون 2 است آ (2آ < 2ج). محور 2 آبه نام محور واقعی هذلولی، محور 2 ب- محور خیالی هذلولی. هذلولی دارای دو مجانب است که معادلات آنها عبارتند از

خروج از مرکز هذلولی نسبت فاصله بین کانون ها به طول محور واقعی است: یا. زیرا طبق تعریف 2 آ < 2ج، سپس خروج از مرکز هذلولی همیشه به عنوان یک کسر نامناسب بیان می شود، یعنی. .

اگر طول محور واقعی برابر با طول محور فرضی باشد، یعنی. a = b, ε = ، سپس هذلولی فراخوانی می شود متساوی الاضلاع.

مثال.معادله متعارف هذلولی را بسازید که گریز از مرکز آن 2 باشد و کانون های آن با کانون های بیضی با معادله منطبق باشد.

پیدا کردن فاصله کانونی ج 2 = 25 – 9 = 16.

برای هذلولی: ج 2 = آ 2 + ب 2 = 16, ε = c/a = 2; ج = 2آ; ج 2 = 4آ 2 ; آ 2 = 4; ب 2 = 16 – 4 = 12.

سپس معادله مورد نیاز هذلولی است.

سهمیمجموعه ای از نقاط در صفحه است که از یک نقطه معین فاصله مساوی دارند که کانون نامیده می شود و یک خط معین به نام جهات.

تمرکز سهمی با حرف نشان داده می شود اف، کارگردان - دفاصله از فوکوس تا جهت – آر.

معادله متعارف سهمی که کانون آن روی محور x قرار دارد به شکل زیر است:

y 2 = 2pxیا y 2 = -2px

ایکس = -پ/2, ایکس = پ/2

معادله متعارف سهمی که کانون آن روی محور رده‌بندی قرار دارد، به شکل زیر است:

ایکس 2 = 2ruیا ایکس 2 = -2ru

معادلات Directrix به ترتیب در = -پ/2, در = پ/2

مثال.روی سهمی در 2 = 8ایکسنقاطی را پیدا کنید که فاصله آنها از جهت 4 باشد.

از معادله سهمی به این نتیجه میرسیم آر = 4. r = x + پ/2 = 4; از این رو:

ایکس = 2; y 2 = 16; y= 4±. نقاط جستجو شده: م 1 (2; 4), م 2 (2; -4).

درس عملی شماره 8

نام درس: عملیات اعداد مختلط به صورت جبری. تفسیر هندسی اعداد مختلط.

هدف درس:آموزش انجام عملیات روی اعداد مختلط

آمادگی برای درس:مطالب نظری را با موضوع "اعداد مختلط" مرور کنید.

ادبیات:

1. گریگوریف V.P., Dubinsky Yu.A. "عناصر ریاضیات عالی"، 1387.

تکلیف درس:

1. محاسبه:

1) من 145 + من 147 + من 264 + من 345 + من 117 ;

2) (من 64 + من 17 + من 13 + من 82)·( من 72 – من 34);

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد. در مقاله" " من به شما قول دادم که با توجه به نمودار یک تابع و مماس بر این نمودار، به راه دوم برای حل مسائل ارائه شده در یافتن مشتق نگاه کنید. در مورد این روش بحث خواهیم کرد ، از دست نده! چرادر بعدی؟

واقعیت این است که فرمول معادله یک خط مستقیم در آنجا استفاده خواهد شد. البته، ما به سادگی می توانیم این فرمول را نشان دهیم و به شما توصیه کنیم که آن را یاد بگیرید. اما بهتر است توضیح دهید که از کجا آمده است (چگونه مشتق شده است). لازم است! اگر آن را فراموش کردید، می توانید به سرعت آن را بازیابی کنیددشوار نخواهد بود. همه چیز با جزئیات در زیر توضیح داده شده است. بنابراین، ما دو نقطه A در صفحه مختصات داریم(x 1; y 1) و B(x 2;y 2)، یک خط مستقیم از طریق نقاط نشان داده شده ترسیم می شود:

در اینجا خود فرمول مستقیم است:

*یعنی هنگام تعویض مختصات مشخص نقاط، معادله ای به شکل y=kx+b به دست می آید.

**اگر شما به سادگی این فرمول را "به خاطر بسپارید"، احتمال اشتباه گرفتن با شاخص ها وجود دارد. ایکس. علاوه بر این، شاخص ها را می توان به روش های مختلفی تعیین کرد، به عنوان مثال:

به همین دلیل است که درک معنای آن مهم است.

حالا اشتقاق این فرمول. همه چیز خیلی ساده است!

مثلث های ABE و ACF از نظر زاویه تند شبیه هم هستند (نخستین نشانه تشابه مثلث های قائم الزاویه). از این نتیجه می شود که نسبت عناصر مربوطه برابر است، یعنی:

اکنون به سادگی این بخش ها را از طریق تفاوت در مختصات نقاط بیان می کنیم:

البته، اگر روابط عناصر را به ترتیب دیگری بنویسید، هیچ خطایی وجود نخواهد داشت (نکته اصلی حفظ ثبات است):

نتیجه همان معادله خط خواهد بود. این همه است!

یعنی مهم نیست که خود نقاط (و مختصات آنها) چگونه تعیین می شوند، با درک این فرمول همیشه معادله یک خط مستقیم را خواهید یافت.

فرمول را می توان با استفاده از خواص بردارها به دست آورد، اما اصل اشتقاق یکسان خواهد بود، زیرا ما در مورد تناسب مختصات آنها صحبت خواهیم کرد. در این مورد، همان شباهت مثلث های قائم الزاویه کار می کند. به نظر من، نتیجه ای که در بالا توضیح داده شد واضح تر است)).

مشاهده خروجی از طریق مختصات برداری >>>

بگذارید یک خط مستقیم بر روی صفحه مختصات ایجاد شود که از دو نقطه داده شده A(x 1;y 1) و B(x2;y 2) می گذرد. اجازه دهید یک نقطه دلخواه C روی خط را با مختصات ( ایکس; y). ما همچنین دو بردار را نشان می دهیم:

مشخص است که برای بردارهایی که روی خطوط موازی (یا روی همان خط) قرار دارند، مختصات مربوطه آنها متناسب است، یعنی:

- برابری نسبت های مختصات مربوطه را می نویسیم:

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه با مختصات (2;5) و (7:3) می گذرد را بیابید.

شما حتی مجبور نیستید خود خط مستقیم را بسازید. ما فرمول را اعمال می کنیم:

مهم است که هنگام تنظیم نسبت، مکاتبات را درک کنید. اگر بنویسید نمی توانید اشتباه کنید:

پاسخ: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

برای اینکه مطمئن شوید معادله حاصل به درستی پیدا شده است، حتما بررسی کنید - مختصات داده ها را در شرایط نقاط در آن جایگزین کنید. معادلات باید درست باشد.

همین. امیدوارم مطالب برای شما مفید بوده باشد.

با احترام، اسکندر.

P.S. اگر در مورد سایت در شبکه های اجتماعی به من بگویید ممنون می شوم.

ویژگی های خط مستقیم در هندسه اقلیدسی

تعداد نامحدودی از خطوط مستقیم را می توان در هر نقطه ترسیم کرد.

از طریق هر دو نقطه غیر متقارن می توان یک خط مستقیم را رسم کرد.

دو خط واگرا در یک صفحه یا در یک نقطه قطع می شوند یا هستند

موازی (از مورد قبلی پیروی می کند).

در فضای سه بعدی، سه گزینه برای موقعیت نسبی دو خط وجود دارد:

• خطوط متقاطع؛

• خطوط موازی هستند.

• خطوط مستقیم همدیگر را قطع می کنند

سر راست خط- منحنی جبری مرتبه اول: یک خط مستقیم در دستگاه مختصات دکارتی

در هواپیما با معادله درجه اول (معادله خطی) داده می شود.

معادله کلی یک خط مستقیم

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

و ثابت الف، بدر یک زمان برابر با صفر نیستند. این معادله مرتبه اول نامیده می شود عمومی

معادله یک خط مستقیمبسته به مقادیر ثابت ها الف، بو باموارد خاص زیر ممکن است:

. C = 0، A ≠0، B ≠ 0- یک خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

. A = 0، B ≠0، C ≠0 (با + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور اوه

. B = 0، A ≠0، C ≠ 0 (Ax + C = 0)- خط مستقیم موازی با محور OU

. B = C = 0، A ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است OU

. A = C = 0، B ≠0- خط مستقیم با محور منطبق است اوه

معادله یک خط مستقیم را می توان به اشکال مختلف بسته به هر داده ارائه کرد

شرایط اولیه.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار معمولی.

تعریف. در یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با مولفه های (A, B)

عمود بر خط داده شده توسط معادله

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بیابید A (1، 2)عمود بر بردار (3, -1).

راه حل. با A = 3 و B = -1، بیایید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x - y + C = 0. برای پیدا کردن ضریب C

اجازه دهید مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین کنیم: 3 - 2 + C = 0

C = -1. مجموع: معادله مورد نیاز: 3x - y - 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

بگذارید دو نقطه در فضا داده شود M 1 (x 1 , y 1 , z 1)و M2 (x 2، y 2، z 2)،سپس معادله یک خط,

عبور از این نقاط:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد. بر

در صفحه، معادله خط مستقیم که در بالا نوشته شده است ساده شده است:

اگر x 1 ≠ x 2و x = x 1، اگر x 1 = x 2 .

کسر = kتماس گرفت شیب سر راست.

مثال. معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

راه حل. با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط تبر + وو + سی = 0منجر شدن:

و تعیین کنید ، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود

معادله یک خط مستقیم با شیب k.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از بردار عادی، می توانید کار را وارد کنید.

یک خط مستقیم از طریق یک نقطه و یک بردار جهت دهنده یک خط مستقیم.

تعریف. هر بردار غیر صفر (α 1، α 2)، که اجزای آن شرایط را برآورده می کند

Aα 1 + Bα 2 = 0تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیم

تبر + وو + سی = 0.

مثال. معادله یک خط مستقیم با بردار جهت (1، -1) و عبور از نقطه A (1، 2) را بیابید.

راه حل. معادله خط مورد نظر را به شکل زیر جستجو می کنیم: Ax + By + C = 0.طبق تعریف،

ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1 * A + (-1) * B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به شکل زیر است: Ax + Ay + C = 0،یا x + y + C / A = 0.

در x = 1، y = 2ما گرفتیم C/A = -3، یعنی معادله مورد نیاز:

x + y - 3 = 0

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С≠0، با تقسیم بر -С، به دست می آید:

یا کجا

معنی هندسی ضرایب این است که ضریب a مختصات نقطه تقاطع است.

مستقیم با محور اوه،آ ب- مختصات نقطه تقاطع خط با محور OU.

مثال. معادله کلی یک خط مستقیم داده شده است x - y + 1 = 0.معادله این خط را به صورت پاره پاره پیدا کنید.

C = 1، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر هر دو طرف معادله تبر + وو + سی = 0تقسیم بر عدد که نامیده می شود

عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcosφ + ysinφ - p = 0 -معادله عادی یک خط.

علامت ± عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که μ*C< 0.

آر- طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم،

آ φ - زاویه تشکیل شده توسط این عمود بر جهت مثبت محور اوه

مثال. معادله کلی خط داده شده است 12x - 5y - 65 = 0. برای نوشتن انواع مختلف معادلات لازم است

این خط مستقیم

معادله این خط در بخش ها:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله یک خط:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم،

به موازات محورها یا عبور از مبدا.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط داده شود y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2، سپس زاویه حاد بین این خطوط

به عنوان تعریف خواهد شد

دو خط موازی هستند اگر k 1 = k 2. دو خط عمود هستند

اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه.

مستقیم تبر + وو + سی = 0و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0موازی زمانی که ضرایب متناسب باشند

A 1 = λA، B 1 = λB. اگر همچنین С 1 = λС، سپس خطوط منطبق می شوند. مختصات نقطه تقاطع دو خط

به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط یافت می شوند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک خط معین می گذرد.

تعریف. خطی که از یک نقطه می گذرد M 1 (x 1، y 1)و عمود بر خط y = kx + b

با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر امتیاز داده شود M(x 0، y 0)،سپس فاصله تا خط مستقیم تبر + وو + سی = 0که تعریف میشود:

اثبات. بگذارید نکته M 1 (x 1، y 1)- قاعده یک عمود از یک نقطه افتاده است مبرای یک معین

مستقیم. سپس فاصله بین نقاط مو M 1:

(1)

مختصات x 1و در 1می توان به عنوان یک راه حل برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از نقطه معین M 0 به طور عمود عبور می کند.

خط مستقیم داده شده است. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت شده است.

y - y 1 =k(x - x 1)

معادله یک خط مستقیم: y=khx+b

اگر معادله اصلی y - y 1 =k(x - x 1) را تبدیل کنیم، y=kx+(y 1 -kx 1) را به دست می‌آوریم که شرایط معادله خط مستقیم را برآورده می‌کند: y=kx+b، زیرا

1. درجه آن اول است، یعنی می تواند مستقیم باشد،

2. خط مستقیم از نقطه عبور می کند (x 1; y 1)، زیرا مختصات این نقطه معادله 0=0 را برآورده می کند

3. نقش ضریب در با عبارت y 1 -kh 1 ایفا می شود

خط مستقیم با معادله y - y 1 =k(x - x 1) از 1 نقطه می گذرد. اجازه دهید لازم باشد که نقطه دوم نیز در این خط قرار داشته باشد، یعنی. به طوری که برابری y 2 - y 1 =k(x2 - x 1) برقرار است. از اینجا k= y 2 - y 1 ¸ x 2 - x 1 را پیدا می کنیم و آن را در معادله جایگزین می کنیم:

y - y 1 = y 2 - y 1 ¸ x 2 - x 1 ×(x - x 1) یا

x - x 1 ¸x 2 - x 1 = y - y 1 ¸ y 2 - y 1

15. زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه

خطوط مستقیم: y=k 1 x +b 1، y=k 2 x +b 2

در واگن برقی ABC مقدار داخلی زوایای a 1 + b برابر با زاویه خارجی a 2 است بنابراین b=a 2 -a 1 بدیهی است که tga 1 = k 1 ; tga 2 = k 2. با تغییر فرمول اختلاف tg 2 زاویه، tgb=tg(a 2 -a 1) = tga 2 -tga 1 ¸1+ tga 2 ×tga 1 بدست می آوریم.

در نهایت tgb= k 2 - k 1 ¸1+k 2 × ×k 1 داریم با محاسبه مماس، می توانید خود زاویه b را پیدا کنید.

16. شرایط || و ^ خطوط مستقیم در هواپیما.

معادلات خطوط مستقیم با ضرایب زاویه ای آورده شده است. y=k 1 x و y=k 2 x +b 2

شرایط || مستقیم- این برابری ضرایب زاویه ای است. به 1 = به 2 (1)

شرط (1) برآورده شده است. و برای خطوط ادغام شده فرمول ضریب زاویه ای خطوط مستقیم (tga= k 2 - k 1 ¸ 1 + k 2 × × k 1 ) را می توان به این شکل نوشت: ctga= 1+k 2 × ×k 1 ¸k 2 - k 1 (این مورد اگر k 1 ¹k 2). شرایط ^ مستقیمبا برابری k 2 × × k 1 = -1 بیان می شود. اگر k 1 = 0 یا k 2 = 0، یکی از خطوط || محور Ox و محور دوم ^ معادله ای به شکل x=a دارد.

بگذارید خطوط با یک معادله کلی داده شوند. A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، A 2 x + B 2 y + C 2 = 0، اگر B1 = B2 = 0، هر دو خط مستقیم با محور Oy و با یکدیگر موازی هستند (معادلات آنها شکل x = a را داشته باشید) اگر B1=0، و B2¹0، پس خطوط مستقیم^. در حالتی که A2 = 0 (معادله به شکل x = a، y = b کاهش می یابد) در مورد B110 و B210، y را می توان در هر معادله بیان کرد. y= -A1x¸B1-C1¸B1;

Y= - A2x¸B2-C2¸B2، سپس k1= -A1¸B1، و k2= - A2¸B2 و شرط || A1¸B1 = A2¸B2 یا A1¸A2 = B1¸B2.

با استفاده از برابری 1+k1×k2=0، 1+ A1¸B1× A2¸B2=0. به شرط خطوط مستقیم A1×A2+B1×B2=0 می رسیم.

بیضی

بیضی مکان هندسی نقاط روی صفحه ای است که مجموع فواصل آن تا دو نقطه معین که کانون نامیده می شود، مقدار ثابتی است (بزرگتر از فاصله بین کانون ها).

اگر کانون ها روی محور Ox در سمت چپ مبدا مختصات در فاصله مساوی از آن قرار گیرند، معادله بیضی ساده ترین شکل را به خود می گیرد. F 1 F 2 - فوکوس های بیضی. اجازه دهید F 1 F 2 = 2c را نشان دهیم سپس کانون ها دارای مختصات (-c,0) و (c,0) هستند. اجازه دهید فواصل کانون ها را تا نقطه فعلی بیضی M به صورت r 1 و r 2 نشان دهیم. به این شعاع های کانونی می گویند. مقدار ثابت r 1 + r 2 را با 2a نشان می دهیم: r 1 + r 2 = 2a. با قرار دادن نقطه M در نقاط و A" به راحتی می توان متوجه شد که A"A = 2a. قطعات AA" و BB" را محورهای بیضی و قطعات OA و OB را نیمه محورهای بیضی می نامند. به نقاط الف، الف، ب، ب» رئوس بیضی می گویند. فرض کنید M(x,y) در نقطه B باشد، سپس r 1 = r 2 = a. از tr-ka BOF 2 VO=ÖBF 2 2 -OF 2 2 VO=in و سپس in=Öa 2 - c 2 را نشان می دهیم. از طریق نیم بیضی a و معادله به صورت زیر نوشته می شود:

این معادله را معادله متعارف بیضی می نامند. دایره حالت خاصی از بیضی است که وقتی a = b = R به دست می آید (R ریشه دایره است). هر چه نیم محورهای a و b با یکدیگر تفاوت بیشتری داشته باشند، بیضی صاف تر می شود. درجه مسطح شدن یک بیضی معمولاً با خروج از مرکز اندازه گیری می شود

بدیهی است که ۰ پوند ۱ پوند. در ɛ=0 دایره ای داریم که ɛ افزایش می یابد، بیضی بیشتر و بیشتر از دایره منحرف می شود و محدب تر می شود.

هذلولی

هذلولی را ژئوم می نامند. مکان نقاط صفحه ای که قدر مطلق اختلاف فاصله تا دو نقطه داده شده که کانون نامیده می شود، مقدار ثابتی است که برابر 0 نیست و کمتر از فاصله بین کانون ها است. دوباره کانون های F 1 و F 2 را روی محور Ox در نقاط (-c, 0), (c, 0) قرار می دهیم. بخش های F 1 M = r 1 و F 2 M = r 2 شعاع کانونی نامیده می شوند. طبق تعریف |r 1 - r 2 | یک مقدار ثابت وجود دارد بیایید آن را 2a نشان دهیم: |r 1 - r 2 | =2a. نقاط A و A" رئوس هذلولی نامیده می شوند. به راحتی می توان فهمید که AA" = 2a. در واقع، برای نقطه A r 1 = AF 1 و r 2 = AF 2. بدیهی است که AF 2 = A "F 1، بنابراین r 1 - r 2 = AF 1 - AF 2 = AF 1 = A" F 1 = A "A. از سوی دیگر، r 1 - r 2 = 2a. بخش AA" محور واقعی هذلولی نامیده می شود. فرض کنید b = Öc 2 -a 2 نقاط B و B" دارای مختصات (0، b) و (0، - c) باشند. قطعه BB" را محور فرضی هذلولی می نامند. معادله متعارف هذلولی به شکل زیر است:

هذلولی دارای 2 شاخه است که a = b، هذلولی متساوی الاضلاع نامیده می شود. معادلات y=in¸a و y=-in¸a. آنها مجانبی نامیده می شوند. اگر نقطه ای در امتداد هر یک از شاخه های هذلولی دور شود، فاصله آن تا مجانب مربوطه به 0 می رسد.

سهمی.

سهمی مکان نقاطی در صفحه ای است که از یک خط معین به یک خط معین فاصله دارد و از نقطه معینی که به جهات مستقیم تعلق ندارد و کانون نامیده می شود. اجازه دهید فاصله بین کانون و جهت را با p نشان دهیم. معادله متعارف سهمی به شکل زیر است:

y 2 = 2рх و معلوم می شود اگر کانون F در نقطه (р¸2، 0) قرار گیرد و خط مستقیم x = - р¸2 به عنوان جهت در نظر گرفته شود. عدد p پارامتر سهمی نامیده می شود، نقطه (0,0) رأس آن است.

20. صفحه در فضا: معادله کلی، معنای هندسی ضرایب، معادله صفحه ای که از نقطه معینی در فضا می گذرد.

معادله کلی صفحه این است: Ax+By+Cz +D=0 که حداقل یکی از ضرایب A,B,C با 0 متفاوت است.این ضرایب تعریف دارند. Geom. معنی

بیایید موقعیت صفحه را با استفاده از یک نقطه مشخص M 0 (x 0, y 0, z 0) و یک بردار غیر صفر N(A,B,C) عمود بر صفحه تنظیم کنیم. بر اساس این داده ها، هواپیما به طور منحصر به فرد تعیین می شود. فرض کنید M(x,y,z) نقطه فعلی صفحه باشد. بردارهای N(A,B,C) و M 0 M(x-x 0,y-y 0,z-z 0) متعامد هستند، بنابراین حاصل ضرب اسکالر آنها برابر است)

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 (1)

پس از تبدیل ها معادله را بدست می آوریم:

Ax+By+Cz+D=0، که در آن D = -Ax 0 -B 0-Cz 0

در نتیجه، A، B، C مختصات بردار عمود بر صفحه مشخص شده توسط معادله کلی هستند.

مجموعه صفحاتی که با رابطه (1) توصیف می شوند، دارای نقطه ثابت (x 0 , y 0 , z 0) و ضرایب متغیر A, B, C، دسته ای از صفحات نامیده می شوند. هنگامی که یکی از شرایط تعیین کننده صفحه مورد نظر، نقطه آن M 0 (x 0، y 0، z 0) باشد، می توانید حل مسئله را با اعمال رابطه (1) آغاز کنید. به هواپیما سطح مرتبه اول نیز گفته می شود.

کره،

کره. معادله کره ای که مرکز آن در مبدا است: x 2 + y 2 + z 2 = R 2. حال بگذارید مرکز در نقطه M 0 (x 0,y 0,z 0) قرار گیرد

نقطه فعلی M(x,y,z) کره در فاصله R از نقطه M قرار دارد.

از برابری MM 0 2 = R 2 به دست می آوریم: (x-x 0) 2 +(y-y 0) 2 +(z-z 0) 2 =R 2

بیضیابتدایی معادله:

A، b، c - نیمه محورهای بیضی. وقتی a = b، یک بیضی از چرخش به دست می آید. این شکل سطح سیاره ماست. وقتی a=b=c بیضی به کره ای با شعاع R=a تبدیل می شود

پارابولوئید چرخش

در صفحه yOz، سهمی y 2 = 2рz را در نظر بگیرید. سطحی که در اثر چرخش این سهمی حول محور اوز به وجود می آید را پارابولوئید انقلاب می نامند.

فرض کنید M(x,y,z) یک نقطه دلخواه بر روی سطح باشد و M 0 نقطه ای با همان z باشد که روی سهمی y 2 = 2рz قرار دارد. زیرا O"M=O" M 0، سپس y 2 برای نقطه M 0 را می توان در معادله با x 2 + y 2 برای نقطه M جایگزین کرد: x 2 + y 2 = 2рz - معادله یک پارابولوئید چرخش

بگذارید دو امتیاز داده شود م(ایکس 1 ,U 1) و ن(ایکس 2,y 2). بیایید معادله خطی که از این نقاط می گذرد را پیدا کنیم.

از آنجایی که این خط از نقطه عبور می کند م، سپس طبق فرمول (1.13) معادله آن شکل می گیرد

U – Y 1 = ک(X–x 1),

جایی که ک- ضریب زاویه ای مجهول.

مقدار این ضریب از شرایطی تعیین می شود که خط مستقیم مورد نظر از نقطه عبور کند ن، یعنی مختصات آن معادله (1.13) را برآورده می کند.

Y 2 – Y 1 = ک(ایکس 2 – ایکس 1),

از اینجا می توانید شیب این خط را پیدا کنید:

,

یا بعد از تبدیل

(1.14)

فرمول (1.14) تعیین می کند معادله خطی که از دو نقطه می گذرد م(ایکس 1, Y 1) و ن(ایکس 2, Y 2).

در مورد خاص که نقاط م(آ, 0), ن(0, ب), آ ¹ 0, ب¹ 0، روی محورهای مختصات دراز بکشید، معادله (1.14) شکل ساده تری خواهد داشت.

معادله (1.15)تماس گرفت معادله یک خط مستقیم در پاره ها، اینجا آو ببخش هایی را که توسط یک خط مستقیم بر روی محورها قطع شده اند نشان دهید (شکل 1.6).

شکل 1.6

مثال 1.10. برای خطی که از نقاط می گذرد معادله بنویسید م(1، 2) و ب(3, –1).

. مطابق (1.14) معادله خط مورد نظر شکل دارد

2(Y – 2) = -3(ایکس – 1).

با انتقال تمام عبارت ها به سمت چپ، در نهایت معادله مورد نظر را به دست می آوریم

3ایکس + 2Y – 7 = 0.

مثال 1.11. برای خطی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید م(2، 1) و نقطه تلاقی خطوط ایکس+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. مختصات نقطه تلاقی خطوط را با حل این معادلات با هم پیدا می کنیم

اگر این معادلات را ترم به ترم جمع کنیم عدد 2 بدست می آید ایکس+ 1 = 0، از آنجا . با جایگزینی مقدار یافت شده به هر معادله، مقدار ارتین را پیدا می کنیم U:

حالا معادله خط مستقیمی که از نقاط (2، 1) می گذرد را بنویسیم و:

یا .

بنابراین یا -5( Y – 1) = ایکس – 2.

در نهایت معادله خط مورد نظر را در فرم به دست می آوریم ایکس + 5Y – 7 = 0.

مثال 1.12. معادله خطی که از نقاط می گذرد را بیابید م(2.1) و ن(2,3).

با استفاده از فرمول (1.14) معادله را بدست می آوریم

منطقی نیست چون مخرج دوم صفر است. از شرایط مسئله مشخص می شود که ابسیساهای هر دو نقطه دارای ارزش یکسانی هستند. به این معنی که خط مستقیم مورد نظر موازی با محور است OYو معادله آن این است: ایکس = 2.

اظهار نظر . اگر هنگام نوشتن معادله یک خط با استفاده از فرمول (1.14)، یکی از مخرج ها برابر با صفر باشد، می توان معادله مورد نظر را با معادل سازی عدد مربوطه به صفر به دست آورد.

بیایید راه های دیگری برای تعریف یک خط در یک هواپیما در نظر بگیریم.

1. بگذارید یک بردار غیر صفر عمود بر خط داده شده باشد L، و اشاره کنید م 0(ایکس 0, Y 0) روی این خط قرار دارد (شکل 1.7).

شکل 1.7

بیایید نشان دهیم م(ایکس, Y) هر نقطه از یک خط L. بردارها و قائم. با استفاده از شرایط متعامد بودن این بردارها، یا را بدست می آوریم آ(ایکس – ایکس 0) + ب(Y – Y 0) = 0.

معادله خطی را که از یک نقطه می گذرد به دست آورده ایم م 0 عمود بر بردار است. این بردار نامیده می شود بردار معمولی به یک خط مستقیم L. معادله به دست آمده را می توان به صورت بازنویسی کرد

اوه + وو + با= 0، کجا با = –(آایکس 0 + توسط 0), (1.16),

جایی که آو که در- مختصات بردار نرمال.

معادله کلی خط را به صورت پارامتریک بدست می آوریم.

2. یک خط مستقیم در یک صفحه را می توان به صورت زیر تعریف کرد: بگذارید یک بردار غیر صفر موازی با خط مستقیم داده شده باشد. Lو دوره م 0(ایکس 0, Y 0) در این خط قرار دارد. بیایید دوباره یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم م(ایکس، y) روی یک خط مستقیم (شکل 1.8).

شکل 1.8

بردارها و خطی

اجازه دهید شرط همخطی بودن این بردارها را بنویسیم: , Where تی- یک عدد دلخواه به نام پارامتر. بیایید این برابری را به صورت مختصات بنویسیم:

این معادلات نامیده می شوند معادلات پارامتریک سر راست. اجازه دهید پارامتر را از این معادلات حذف کنیم تی:

این معادلات را می توان در غیر این صورت به شکل نوشت

. (1.18)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله متعارف خط. بردار نامیده می شود بردار جهت مستقیم است .

اظهار نظر . به راحتی می توان فهمید که if بردار عادی خط است L، سپس بردار جهت آن می تواند بردار باشد زیرا , i.e.

مثال 1.13. معادله خطی که از یک نقطه می گذرد را بنویسید م 0 (1، 1) به موازات خط 3 ایکس + 2U– 8 = 0.

راه حل . بردار بردار عادی به خطوط داده شده و مورد نظر است. از معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه می گذرد استفاده می کنیم م 0 با یک بردار معمولی 3( ایکس –1) + 2(U– 1) = 0 یا 3 ایکس + 2у– 5 = 0. معادله خط مورد نظر را به دست آوردیم.