کسرهای همسان کدامند؟ دگرگونی های هویت نمونه هایی از عبارات یکسان

پس از به دست آوردن ایده ای از هویت، منطقی است که به سراغ آشنایی با آنها برویم. در این مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که عبارات یکسان چیست و همچنین از مثال هایی برای درک اینکه کدام عبارات یکسان هستند و کدام نیستند استفاده می کنیم.

پیمایش صفحه.

عبارات یکسان کدامند؟

تعریف یکسان است عبارات مساویبه موازات تعریف هویت ارائه شده است. این در کلاس جبر کلاس هفتم اتفاق می افتد. در کتاب درسی جبر برای کلاس هفتم توسط نویسنده Yu N. Makarychev، فرمول زیر آورده شده است:

تعریف.

- این عباراتی هستند که مقادیر آنها برای هر مقدار از متغیرهای موجود در آنها برابر است. عبارات عددی که دارای مقادیر یکسان هستند نیز یکسان برابر نامیده می شوند.

این تعریف تا درجه 8 استفاده می شود و برای عبارات عدد صحیح معتبر است، زیرا آنها برای هر مقدار از متغیرهای موجود در آنها معنی دارند. و در کلاس 8، تعریف عبارات یکسان برابر روشن می شود. اجازه دهید توضیح دهیم که این به چه چیزی مرتبط است.

در کلاس هشتم، مطالعه انواع دیگر عبارات آغاز می شود که بر خلاف عبارات کل، ممکن است برای برخی از مقادیر متغیرها معنی نداشته باشد. این ما را وادار می کند تا تعاریفی از مقادیر مجاز و غیرقابل قبول متغیرها و همچنین محدوده مقادیر مجاز مقدار متغیر متغیر را معرفی کنیم و در نتیجه تعریف عبارات یکسان را روشن کنیم.

تعریف.

دو عبارت که مقادیر آنها برای همه برابر است ارزش های قابل قبولمتغیرهای موجود در آنها نامیده می شوند عبارات یکسان برابر. دو عبارت عددی با مقادیر یکسان نیز به طور یکسان مساوی نامیده می شوند.

که در این تعریفعبارات یکسان برابر، ارزش این را دارد که معنای عبارت "برای همه مقادیر مجاز متغیرهای موجود در آنها" روشن شود. این متضمن تمام مقادیر متغیرهایی است که هر دو عبارت یکسان برای آنها به طور همزمان معنی دارند. این ایده را در پاراگراف بعدی با مشاهده مثال هایی توضیح خواهیم داد.

تعریف عبارات یکسان در کتاب درسی A. G. Mordkovich کمی متفاوت است:

تعریف.

عبارات مساوی یکسان- اینها عباراتی در سمت چپ و راست هویت هستند.

معنای این و تعاریف قبلی بر هم منطبق است.

نمونه هایی از عبارات یکسان

تعاریف ارائه شده در پاراگراف قبل به ما اجازه می دهد نمونه هایی از عبارات یکسان.

بیایید با عبارات عددی یکسان شروع کنیم. عبارات عددی 1+2 و 2+1 یکسان هستند، زیرا مطابقت دارند مقادیر مساوی 3 و 3. عبارات 5 و 30:6 نیز مانند عبارات (2 2) 3 و 2 6 (مقادیر) برابر هستند. آخرین عباراتاز نظر قدرت برابر است). و اینجا عبارات عددی 3+2 و 3-2 به طور یکسان برابر نیستند، زیرا مقادیر متناظر آنها به ترتیب 5 و 1 است و برابر نیستند.

حالا بیایید مثال هایی از عبارات یکسان با متغیرها را بیاوریم. این عبارات a+b و b+a هستند. در واقع، برای هر مقدار از متغیرهای a و b، عبارات نوشته شده همان مقادیر را می گیرند (به شرح زیر از اعداد). مثلاً با a=1 و b=2 a+b=1+2=3 و b+a=2+1=3 داریم. برای هر مقدار دیگر از متغیرهای a و b، مقادیر مساوی از این عبارات را نیز به دست خواهیم آورد. عبارات 0·x·y·z و 0 نیز برای هر مقدار از متغیرهای x، y و z برابر هستند. اما عبارات 2 x و 3 x به طور یکسان برابر نیستند، زیرا برای مثال، زمانی که x=1 مقادیر آنها برابر نیست. در واقع، برای x=1، عبارت 2 x برابر است با 2 x 1=2، و عبارت 3 x برابر است با 3 x 1=3.

هنگامی که محدوده مقادیر مجاز متغیرها در عبارات با هم منطبق است، به عنوان مثال، در عبارات a+1 و 1+a، یا a·b·0 و 0، یا و، و مقادیر این عبارات. برای همه مقادیر متغیرهای این مناطق برابر است، پس در اینجا همه چیز واضح است - این عبارات برای همه مقادیر مجاز متغیرهای موجود در آنها یکسان هستند. بنابراین a+1≡1+a برای هر a، عبارات a·b·0 و 0 به طور یکسان برای هر مقدار از متغیرهای a و b و عبارات and برابر هستند برای همه x از ; ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019315-3.

جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.

موردکوویچ A.G.جبر. درجه 7 ام. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ هفدهم، اضافه کنید. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: ill. شابک 978-5-346-02432-3.

§ 2. عبارات یکسان، هویت. تبدیل یکسان یک عبارت. مدارک هویتی

بیایید مقادیر عبارات 2(x - 1) 2x - 2 را برای مقادیر داده شده متغیر x پیدا کنیم. بیایید نتایج را در جدول بنویسیم:

می توانیم به این نتیجه برسیم که مقادیر عبارات 2 (x - 1) 2x - 2 برای هر ارزش داده شدهمتغیرهای x با یکدیگر برابر هستند. با توجه به خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق، 2(x - 1) = 2x - 2. بنابراین، برای هر مقدار دیگری از متغیر x، مقدار عبارت 2(x - 1) 2x - 2 نیز خواهد بود. برابر یکدیگر. چنین عباراتی به طور یکسان برابر نامیده می شوند.

به عنوان مثال، عبارات 2x + 3x و 5x مترادف هستند، زیرا برای هر مقدار متغیر x، این عبارات به دست می آیند. مقادیر یکسان(این نتیجه از خواص توزیعضرب نسبت به جمع، چون 2x + 3x = 5x).

حال اجازه دهید عبارات 3x + 2y و 5xy را در نظر بگیریم. اگر x = 1 و b = 1 باشد، مقادیر متناظر این عبارات با یکدیگر برابر است:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

با این حال، می توانید مقادیر x و y را مشخص کنید که مقادیر این عبارات با یکدیگر برابر نباشند. به عنوان مثال، اگر x = 2; y = 0، سپس

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6، 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

در نتیجه، مقادیری از متغیرها وجود دارد که مقادیر متناظر عبارات 3x + 2y و 5xy با یکدیگر برابر نیستند. بنابراین، عبارات 3x + 2y و 5xy به طور یکسان برابر نیستند.

بر اساس موارد فوق، هویت ها، به ویژه، برابری ها هستند: 2 (x - 1) = 2x - 2 و 2x + 3x = 5x.

هویت هر برابری است که نوشته شود خواص شناخته شدهاقدامات روی اعداد مثلا،

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

هویت ها شامل برابری های زیر است:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = اب.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

اگر عبارات مشابه را در عبارت -5x + 2x - 9 ترکیب کنیم، به این نتیجه می‌رسیم که 5x + 2x - 9 = 7x - 9. در این مورد، آنها می‌گویند که عبارت 5x + 2x - 9 با عبارت یکسان 7x - جایگزین شده است. 9.

تبدیل‌های یکسان عبارات با متغیرها با استفاده از ویژگی‌های عملیات روی اعداد انجام می‌شود. به ویژه، با تبدیل های یکسان با براکت های باز، ساخت اصطلاحات مشابهو غیره.

هنگام ساده‌سازی یک عبارت، تبدیل‌های یکسانی باید انجام شود، یعنی جایگزینی یک عبارت خاص با یک عبارت مشابه یکسان، که باید نماد را کوتاه‌تر کند.

مثال 1. عبارت را ساده کنید:

1) -0.3 متر ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0.3 m ∙ 5n = -0.3 ∙ 5mn = -1.5 mn.

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 ایکس - 8 - 1 2 برابر+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - آ + 2 ب + 3 ب - آ= 3a + 5b + 2.

برای اثبات اینکه برابری یک هویت است (به عبارت دیگر، برای اثبات هویت، از دگرگونی های یکسان عبارات استفاده می شود.

شما می توانید هویت خود را به یکی از روش های زیر ثابت کنید:

• تغییرات یکسانی را در سمت چپ آن انجام دهید، در نتیجه آن را به شکل سمت راست کاهش دهید.
• تغییرات یکسانی را در سمت راست آن انجام دهید، در نتیجه آن را به شکل سمت چپ کاهش دهید.
• تبدیل های یکسانی را در هر دو قسمت انجام می دهد، در نتیجه هر دو قسمت را به عبارات یکسان می رساند.

مثال 2. هویت را ثابت کنید:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

ر ا س ای ز آ ن ای .

1) سمت چپ این برابری را تبدیل کنید:

2x - (x + 5) - 11 = 2 برابر - ایکس- 5 - 11 = x - 16.

با دگرگونی های هویتی، بیان سمت چپ برابری به شکل سمت راست تقلیل یافت و بدین وسیله ثابت شد که این برابری یک هویت است.

2) تبدیل سمت راستبرابری داده شده:

5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b) = ساعت 10 - 15 ب - 14a + 35 ب= 20b - 4a.

با دگرگونی های هویتی، سمت راست برابری به سمت چپ تقلیل یافت و بدین وسیله ثابت شد که این برابری یک هویت است.

3) در این مورد، راحت است که هر دو سمت چپ و راست برابری را ساده کرده و نتایج را با هم مقایسه کنید:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6 برابر - 16 + 20 برابر- 28 = 26x - 44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

با تبدیل های یکسان، سمت چپ و راست برابری به یک شکل کاهش یافت: 26x - 44. بنابراین، این برابری یک هویت است.

چه عباراتی را یکسان می نامند؟ مثالی از عبارات یکسان بیاورید. چه نوع برابری هویت نامیده می شود؟ یک مثال از یک هویت بیاورید. چه می گویند تبدیل یکساناصطلاحات؟ چگونه هویت را ثابت کنیم؟

1. (به صورت شفاهی) یا عباراتی وجود دارد که به طور یکسان برابر هستند:

1) 2a + a و 3a;

2) 7x + 6 و 6 + 7x.

3) x + x + x و x 3 ;

4) 2 (x - 2) و 2x - 4;

5) m - n و n - m;

6) 2a ∙ p و 2p ∙ a؟

1. آیا عبارات یکسان هستند:

1) 7x - 2x و 5x.

2) 5a - 4 و 4 - 5a;

3) 4m + n و n + 4m.

4) a + a و a 2;

5) 3 (a - 4) و 3a - 12;

6) 5m ∙ n و 5m + n؟

1. (به صورت شفاهی) برابری هویت لی است:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р.

3) 3 (x - y) = 3x - 5y؟

1. پرانتز باز:

1. پرانتز باز:

1. اصطلاحات مشابه را با هم ترکیب کنید:

1. چندین عبارت یکسان با عبارت 2a + 3a نام ببرید.
2. عبارت را با استفاده از جایگشت و خواص پیوندی ضرب ساده کنید:

1) -2.5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1.5)؛

3) 0.2 x ∙ (0.3 گرم)؛

4)- x ∙<-7у).

1. عبارت را ساده کنید:

1) -2р ∙ 3.5;

2) 7a ∙ (-1.2)؛

3) 0.2 x ∙ (-3у);

4) - 1 متر ∙ (-3n).

1. (شفاهی) عبارت را ساده کنید:

1) 2x - 9 + 5x؛

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. اصطلاحات مشابه را با هم ترکیب کنید:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1.8 a + 1.9 b + 2.8 a - 2.9 b;

4) 5 - 7 ثانیه + 1.9 گرم + 6.9 ثانیه - 1.7 گرم.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2р - 7) - 2 (r - 3)؛

4) -(3m - 5) + 2 (3m - 7).

1. پرانتزها را باز کنید و اصطلاحات مشابه را ترکیب کنید:

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 متر - 7) - (15 متر - 2).

1) 0.6 x + 0.4 (x - 20)، اگر x = 2.4;

2) 1.3 (2a - 1) - 16.4، اگر a = 10;

3) 1.2 (m - 5) - 1.8 (10 - m)، اگر m = -3.7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y، اگر x = -1، y = 1.

1. عبارت را ساده کنید و معنی آن را پیدا کنید:

1) 0.7 x + 0.3 (x - 4)، اگر x = -0.7;

2) 1.7 (y - 11) - 16.3، اگر b = 20;

3) 0.6 (2a - 14) - 0.4 (5a - 1)، اگر a = -1؛

4) 5 (m - n) - 4m + 7n، اگر m = 1.8; n = -0.9.

1. اثبات هویت:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5 (c + 2) - 4 (c + 3).

1. اثبات هویت:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7m - 3.

1. طول یکی از اضلاع مثلث یک سانتی متر و طول هر یک از دو ضلع دیگر 2 سانتی متر از آن بزرگتر است. محیط مثلث را به عنوان عبارت بنویسید و عبارت را ساده کنید.
2. عرض مستطیل x سانتی متر و طول آن 3 سانتی متر بزرگتر از عرض است. محیط مستطیل را به عنوان عبارت بنویسید و عبارت را ساده کنید.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5 متر - ((n - m) + 3n)؛

3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)))؛

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a – 33b);

6) - (2.7 متر - 1.5 n) + (2n - 0.48 متر).

1. پرانتز را باز کنید و عبارت را ساده کنید:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12 متر - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. اثبات هویت:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. اثبات هویت:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. ثابت کنید که معنی عبارت

1.8 (m - 2) + 1.4 (2 - m) + 0.2 (1.7 - 2m) به مقدار متغیر بستگی ندارد.

1. ثابت کنید که برای هر مقدار از متغیر مقدار عبارت

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

همان عدد است

1. ثابت کنید که مجموع سه عدد زوج متوالی بر 6 بخش پذیر است.
2. ثابت کنید که اگر n یک عدد طبیعی است، پس مقدار عبارت -2(2.5 n - 7) + 2 (3n - 6) یک عدد زوج است.

تمرین هایی برای تکرار

1. آلیاژی با وزن 1.6 کیلوگرم حاوی 15 درصد مس است. چند کیلوگرم مس در این آلیاژ وجود دارد؟
2. عدد 20 آن چند درصد است:

1) مربع؛

1. این گردشگر 2 ساعت پیاده روی کرد و 3 ساعت دوچرخه سواری کرد. در مجموع گردشگر 56 کیلومتر را طی کرد. سرعت دوچرخه سواری گردشگر را در صورتی که 12 کیلومتر در ساعت بیشتر از سرعتی است که او با آن راه می رفت، پیدا کنید.

کارهای جالب برای دانش آموزان تنبل

1. 11 تیم در مسابقات قهرمانی فوتبال شهرستان شرکت می کنند. هر تیم یک بازی در مقابل دیگری انجام می دهد. ثابت کنید که در هر لحظه از مسابقات تیمی وجود دارد که در آن لحظه تعداد مسابقه زوجی انجام داده است یا هنوز هیچ مسابقه ای انجام نداده است.

بیایید دو برابری را در نظر بگیریم:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

این برابری برای هر مقدار از متغیر a برقرار خواهد بود. محدوده مقادیر قابل قبول برای آن برابری کل مجموعه اعداد واقعی خواهد بود.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

این نابرابری برای تمام مقادیر متغیر a به جز مقدار برابر با صفر صادق خواهد بود. محدوده مقادیر قابل قبول برای این نابرابری کل مجموعه اعداد واقعی به جز صفر خواهد بود.

برای هر یک از این برابری ها می توان استدلال کرد که برای هر مقدار قابل قبولی از متغیرهای a صادق خواهد بود. چنین برابری هایی در ریاضیات نامیده می شود هویت ها.

مفهوم هویت

هویت برابری است که برای هر مقدار قابل قبول متغیرها صادق است. اگر هر مقدار معتبری را به جای متغیرها در این برابری جایگزین کنید، باید یک برابری عددی صحیح دریافت کنید.

شایان ذکر است که برابری های عددی واقعی نیز هویت هستند. برای مثال، هویت‌ها ویژگی‌های اعمال روی اعداد خواهند بود.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

اگر دو عبارت برای هر یک از متغیرهای قابل قبول به ترتیب برابر باشند، چنین عباراتی فراخوانی می شوند یکسان برابر. در زیر چند نمونه از عبارات یکسان وجود دارد:

1. (a 2) 4 و a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) و -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 * x 8)/x) و x 10.

ما همیشه می‌توانیم یک عبارت را با هر عبارت دیگری که برابر با اولی است جایگزین کنیم. چنین جایگزینی یک تغییر هویت خواهد بود.

نمونه هایی از هویت ها

مثال 1: برابری های زیر هستند:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

همه عبارات ارائه شده در بالا هویت نیستند. از این برابری ها، تنها 1، 2 و 3 برابری هویت هستند. مهم نیست که چه اعدادی را در آنها جایگزین می کنیم، به جای متغیرهای a و b باز هم برابری های عددی صحیح به دست می آوریم.

اما 4 برابری دیگر یک هویت نیست. زیرا این برابری برای همه مقادیر معتبر برقرار نخواهد بود. به عنوان مثال، با مقادیر a = 5 و b = 2، نتیجه زیر به دست می آید:

این برابری درست نیست، زیرا عدد 3 با عدد -3 برابر نیست.

پس از پرداختن به مفهوم هویت‌ها، می‌توانیم به مطالعه عبارات یکسان برویم. هدف این مقاله توضیح این است که چیست و با مثال نشان می دهد که کدام عبارات به طور یکسان با سایر عبارات برابر هستند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

عبارات مساوی یکسان: تعریف

مفهوم عبارات یکسان معمولاً همراه با خود مفهوم هویت به عنوان بخشی از یک دوره جبر مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرد. در اینجا تعریف اصلی برگرفته از یک کتاب درسی آمده است:

تعریف 1

یکسان برابرچنین عباراتی برای یکدیگر وجود خواهد داشت که مقادیر آنها برای هر مقدار احتمالی متغیرهای موجود در ترکیب آنها یکسان خواهد بود.

همچنین، آن دسته از عبارات عددی که مقادیر مشابه با آنها مطابقت دارد، به طور یکسان برابر در نظر گرفته می شوند.

این یک تعریف نسبتاً گسترده است که برای تمام عبارات اعداد صحیح که معنی آنها با تغییر مقادیر متغیرها تغییر نمی کند صادق است. با این حال، بعداً توضیح این تعریف ضروری می شود، زیرا علاوه بر اعداد صحیح، انواع دیگری از عبارات وجود دارد که با متغیرهای خاصی معنا پیدا نمی کنند. این امر باعث ایجاد مفهوم قابل پذیرش و غیرقابل قبول بودن مقادیر متغیر خاص و همچنین نیاز به تعیین محدوده مقادیر مجاز می شود. بیایید یک تعریف دقیق ارائه کنیم.

تعریف 2

عبارات مساوی یکسان- اینها عباراتی هستند که مقادیر آنها برای هر مقدار مجاز متغیرهای موجود در ترکیب آنها با یکدیگر برابر است. عبارات عددی به طور یکسان با یکدیگر برابر خواهند بود، مشروط بر اینکه مقادیر یکسان باشند.

عبارت "برای هر مقدار معتبر متغیرها" تمام مقادیر متغیرهایی را نشان می دهد که هر دو عبارت برای آنها معنی خواهد داشت. این نکته را بعداً وقتی مثال هایی از عبارات یکسان ارائه می دهیم توضیح خواهیم داد.

همچنین می توانید تعریف زیر را ارائه دهید:

تعریف 3

عبارات مساوی یکسان عباراتی هستند که در یک هویت در سمت چپ و راست قرار دارند.

نمونه هایی از عبارات که به طور یکسان با یکدیگر برابر هستند

با استفاده از تعاریف ارائه شده در بالا، اجازه دهید به چند نمونه از این عبارات نگاه کنیم.

بیایید با عبارات عددی شروع کنیم.

مثال 1

بنابراین، 2 + 4 و 4 + 2 به طور یکسان با یکدیگر برابر خواهند بود، زیرا نتایج آنها برابر خواهد بود (6 و 6).

مثال 2

به همین ترتیب، عبارات 3 و 30 به طور یکسان برابر هستند: 10، (2 2) 3 و 2 6 (برای محاسبه مقدار آخرین عبارت باید ویژگی های درجه را بدانید).

مثال 3

اما عبارات 4 - 2 و 9 - 1 برابر نخواهند بود ، زیرا مقادیر آنها متفاوت است.

بیایید به نمونه هایی از عبارات تحت اللفظی برویم. a + b و b + a به طور یکسان برابر خواهند بود و این به مقادیر متغیرها بستگی ندارد (برابری عبارات در این مورد با خاصیت جابجایی جمع تعیین می شود).

مثال 4

به عنوان مثال، اگر a برابر با 4 و b برابر با 5 باشد، باز هم نتایج یکسان خواهد بود.

مثال دیگری از عبارات یکسان با حروف 0 · x · y · z و 0 است. مقادیر متغیرها در این مورد هر چه که باشد، وقتی در 0 ضرب شود، 0 می دهند. عبارات نابرابر 6 · x و 8 · x هستند، زیرا برای هیچ x مساوی نخواهند بود.

در صورتی که مناطق مقادیر مجاز متغیرها با هم منطبق باشند، به عنوان مثال، در عبارات a + 6 و 6 + a یا a · b · 0 و 0 یا x 4 و x و مقادیر خود عبارات برای هر متغیری برابر هستند، سپس چنین عباراتی به طور یکسان برابر در نظر گرفته می شوند. بنابراین، a + 8 = 8 + a برای هر مقدار a، و a · b · 0 = 0 نیز، زیرا ضرب هر عدد در 0 به 0 منجر می شود. عبارات x 4 و x برای هر x از بازه [0، + ∞) یکسان خواهند بود.

اما محدوده مقادیر معتبر در یک عبارت ممکن است با محدوده دیگری متفاوت باشد.

مثال 5

برای مثال، بیایید دو عبارت را در نظر بگیریم: x − 1 و x - 1 · x x. برای اولی آنها، محدوده مقادیر مجاز x کل مجموعه اعداد واقعی خواهد بود و برای دومی - مجموعه تمام اعداد واقعی، به استثنای صفر، زیرا در این صورت 0 را در مخرج، و چنین تقسیمی تعریف نشده است. این دو عبارت دارای یک محدوده مشترک از مقادیر هستند که از تقاطع دو محدوده جداگانه تشکیل شده است. می توانیم نتیجه بگیریم که هر دو عبارت x - 1 · x x و x - 1 برای هر مقدار واقعی متغیرها به استثنای 0 معنی خواهند داشت.

ویژگی اصلی کسر همچنین به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که x - 1 · x x و x - 1 برای هر x که 0 نیست برابر خواهد بود. این بدان معنی است که در محدوده کلی مقادیر مجاز، این عبارات به طور یکسان با یکدیگر برابر خواهند بود، اما برای هر x واقعی نمی توان از برابری یکسان صحبت کرد.

اگر یک عبارت را با عبارت دیگری جایگزین کنیم که به طور یکسان با آن برابر است، این فرآیند تبدیل هویت نامیده می شود. این مفهوم بسیار مهم است و ما در مقاله ای جداگانه در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در حین مطالعه جبر به مفاهیم چند جمله ای (برای مثال ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ و غیره) و کسر جبری (مثلا $\frac(x+5)(x)$ برخوردیم. , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ و غیره) شباهت این مفاهیم این است که هم چند جمله ای ها و هم کسرهای جبری دارای متغیرها و مقادیر عددی هستند. و اعمال حسابی انجام می شود: جمع، تفریق، ضرب، توان در این است که در چند جمله ای تقسیم بر متغیر انجام نمی شود.

هم چند جمله ای ها و هم کسرهای جبری را در ریاضیات عبارات جبری گویا می نامند. اما چند جمله ای ها عبارت های گویا کامل هستند و کسرهای جبری عبارت های گویا کسری هستند.

می توان یک عبارت جبری کامل را از یک عبارت کسری-عقلانی با استفاده از تبدیل هویت به دست آورد، که در این مورد ویژگی اصلی یک کسری خواهد بود - کاهش کسرها. بیایید این را در عمل بررسی کنیم:

مثال 1

تبدیل:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

راه حل:این معادله گویا کسری را می توان با استفاده از ویژگی اصلی کاهش کسری تبدیل کرد. تقسیم صورت و مخرج بر همان عدد یا عبارتی غیر از $0.

این کسر را نمی توان فوراً کاهش داد.

بیایید عبارت را در صورت‌دهنده کسر تبدیل کنیم، برای این کار از فرمول مربع اختلاف استفاده می‌کنیم: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

کسری به نظر می رسد

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\چپ(x-2\راست)(x-2))(x-2)\]

اکنون می بینیم که صورت و مخرج یک عامل مشترک دارند - این عبارت $x-2$ است که با آن کسر را کاهش می دهیم.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\چپ(x-2\راست)(x-2))(x-2)=x-2\]

پس از کاهش، متوجه شدیم که عبارت منطقی کسری اولیه $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ تبدیل به یک چند جمله ای $x-2$ شد، یعنی. کاملا منطقی

حال به این نکته توجه می کنیم که عبارات $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ و $x-2\ $ را می توان نه برای همه مقادیر متغیر یکسان در نظر گرفت. زیرا برای اینکه یک عبارت منطقی کسری وجود داشته باشد و بتوان آن را با چند جمله‌ای $x-2$ کاهش داد، مخرج کسر نباید برابر با $0 باشد (و همچنین عاملی که با آن کاهش می‌دهیم. به عنوان مثال، مخرج و عامل یکسان هستند، اما همیشه این اتفاق نمی افتد).

مقادیر متغیری که در آن کسری جبری وجود خواهد داشت، مقادیر مجاز متغیر نامیده می شود.

بیایید روی مخرج کسری شرط بگذاریم: $x-2≠0$، سپس $x≠2$.

این بدان معناست که عبارات $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ و $x-2$ برای همه مقادیر متغیر به جز $2$ یکسان هستند.

تعریف 1

یکسان برابرعبارات آنهایی هستند که برای تمام مقادیر معتبر متغیر برابر هستند.

تبدیل یکسان عبارت است از هر جایگزینی عبارت اصلی با عبارتی که یکسان است، چنین تبدیلی شامل انجام اعمالی است: جمع، تفریق، ضرب، قرار دادن یک عامل مشترک از پرانتز، آوردن کسرهای جبری به مخرج مشترک، کاهش کسرهای جبری، آوردن مشابه. شرایط و غیره باید در نظر داشت که تعدادی از تبدیل ها مانند کاهش، کاهش اصطلاحات مشابه، می تواند مقادیر مجاز متغیر را تغییر دهد.

تکنیک های مورد استفاده برای اثبات هویت

با استفاده از تبدیل هویت، سمت چپ هویت را به سمت راست یا برعکس بیاورید

با استفاده از تبدیل های یکسان، هر دو طرف را به یک عبارت کاهش دهید

عبارات یک عبارت را به قسمت دیگر منتقل کنید و ثابت کنید که تفاوت حاصل برابر $0 است

استفاده از کدام یک از تکنیک های بالا برای اثبات یک هویت معین به هویت اصلی بستگی دارد.

مثال 2

اثبات هویت $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

راه حل:برای اثبات این هویت از روش اول از روش های فوق استفاده می کنیم، یعنی سمت چپ هویت را آنقدر تبدیل می کنیم که با سمت راست برابر شود.

بیایید سمت چپ هویت را در نظر بگیریم: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - نشان دهنده تفاوت دو چند جمله ای است. در این حالت، چند جمله ای اول، مجذور مجموع سه جمله است، از فرمول استفاده می کنیم:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

برای انجام این کار، باید یک عدد را در یک چند جمله ای ضرب کنیم.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

حالا بیایید به چند جمله ای اصلی برگردیم، به شکل زیر در می آید:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

لطفاً توجه داشته باشید که قبل از براکت یک علامت "-" وجود دارد، به این معنی که وقتی براکت ها باز می شوند، همه علائمی که در براکت بودند به عکس تغییر می کنند.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

اجازه دهید اصطلاحات مشابهی را ارائه کنیم، سپس به این نتیجه می‌رسیم که تک‌جملات $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ و $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ یکدیگر را خنثی می‌کنند، یعنی. مجموع آنها 0 دلار است.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

این بدان معنی است که با استفاده از دگرگونی های یکسان، یک عبارت یکسان در سمت چپ هویت اصلی به دست آورده ایم.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده نشان می دهد که هویت اصلی درست است.

لطفاً توجه داشته باشید که در هویت اصلی همه مقادیر متغیر مجاز است، به این معنی که ما هویت را با استفاده از تبدیل هویت ثابت کردیم و برای همه مقادیر ممکن متغیر صادق است.