خانه » مواد تعمیر و تکمیل » زمان حرکت با زاویه نسبت به افقی. مطالعه حرکت جسم پرتاب شده با زاویه نسبت به افقی. محدوده پرتاب بدنی که با زاویه نسبت به افقی پرتاب شده است

زمان حرکت با زاویه نسبت به افقی. مطالعه حرکت جسم پرتاب شده با زاویه نسبت به افقی. محدوده پرتاب بدنی که با زاویه نسبت به افقی پرتاب شده است

اجازه دهید یک جسم در زاویه α نسبت به افقی با سرعت پرتاب شود. مانند موارد قبلی، از مقاومت هوا غافل خواهیم شد. برای توصیف حرکت، لازم است دو محور مختصات را انتخاب کنید - Ox و Oy (شکل 29).

شکل 29

نقطه مرجع با موقعیت اولیه بدن سازگار است. پیش بینی سرعت اولیه روی محورهای Oy و Ox: , . پیش بینی شتاب:

سپس حرکت جسم با معادلات شرح داده می شود:

(8)

(9)

از این فرمول ها نتیجه می شود که در جهت افقی بدن به طور یکنواخت حرکت می کند و در جهت عمودی - به طور یکنواخت شتاب می گیرد.

مسیر حرکت بدن یک سهمی خواهد بود. با توجه به این که در نقطه بالای سهمی، می‌توانیم زمانی را که طول می‌کشد تا بدن به نقطه بالایی سهمی بالا برود، پیدا کنیم:

با جایگزینی مقدار t 1 به معادله (8)، حداکثر ارتفاع جسم را می‌یابیم:

حداکثر ارتفاع بلند کردن بدن.

زمان پرواز جسم را از این شرط می یابیم که در t=t 2 مختصات y 2 =0 باشد. از این رو، . از این رو، - زمان پرواز بدن. با مقایسه این فرمول با فرمول (10)، می بینیم که t 2 = 2t 1.

زمان حرکت بدن از حداکثر ارتفاع t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 است. در نتیجه، مدت زمانی که بدن طول می کشد تا به حداکثر ارتفاع خود برسد، همان زمانی است که برای پایین آمدن از این ارتفاع طول می کشد. با جایگزینی مقدار زمان t 2 به معادله مختصات x (6)، متوجه می شویم:

- برد پرواز بدن

سرعت لحظه ای در هر نقطه از مسیر به صورت مماس بر مسیر هدایت می شود (شکل 29 را ببینید)، ماژول سرعت با فرمول تعیین می شود.

بنابراین، حرکت جسمی که در زاویه ای نسبت به افق یا در جهت افقی پرتاب می شود را می توان نتیجه دو حرکت مستقل - یکنواخت افقی و عمودی با شتاب یکنواخت (سقوط آزاد بدون سرعت اولیه یا حرکت جسم پرتاب شده به صورت عمودی) در نظر گرفت. بطرف بالا).

بیایید در نظر بگیریم که هدف مسائل سینماتیکی چه چیزی می تواند باشد.

1. ممکن است به تغییر در کمیت های سینماتیکی علاقه مند باشیم روند حرکت، یعنی به دست آوردن اطلاعات در مورد تغییرات مختصات، سرعت، شتاب و همچنین مقادیر زاویه ای مربوطه.

2. در تعدادی از مسائل، به عنوان مثال، در مسئله حرکت جسم در زاویه نسبت به افق، لازم است از مقادیر مقادیر فیزیکی در شرایط خاص: برد پرواز، حداکثر بالابر و غیره

3. در مواردی که جسمی به طور همزمان در چندین حرکت شرکت می کند (مثلاً غلتیدن یک توپ) یا حرکت نسبی چند جسم در نظر گرفته می شود، ایجاد رابطه بین جابجایی ها، سرعت ها و شتاب ها (خطی و زاویه ای) ضروری می شود. یعنی معادلات را پیدا کنید اتصال سینماتیکی.

علیرغم تنوع گسترده مسائل سینماتیک، الگوریتم زیر برای حل آنها قابل ارائه است:

1. یک نقشه شماتیک ایجاد کنید، موقعیت اولیه اجسام و حالت اولیه آنها را به تصویر بکشید، یعنی. و .

2. یک سیستم مرجع را بر اساس تجزیه و تحلیل شرایط مشکل انتخاب کنید. برای انجام این کار، باید یک بدن مرجع انتخاب کنید و یک سیستم مختصات را با آن مرتبط کنید، که مبدأ مختصات، جهت محورهای مختصات و لحظه شروع مرجع زمانی را نشان می دهد. هنگام انتخاب جهت های مثبت، آنها توسط جهت حرکت (سرعت) یا جهت شتاب هدایت می شوند.

3. بر اساس قوانین حرکت، سیستمی از معادلات را به صورت برداری برای همه اجسام بسازید و سپس به صورت اسکالر، این معادلات حرکتی را بر روی محورهای مختصات طرح کنید. هنگام نوشتن این معادلات، باید به علائم "+" و "-" پیش بینی کمیت های برداری موجود در آنها توجه کنید.

4. پاسخ باید به صورت فرمول تحلیلی (به صورت کلی) به دست آید و در پایان محاسبات عددی انجام شود.

مثال 4.مسافری که پشت پنجره قطاری که با سرعت 54 کیلومتر در ساعت حرکت می کند، چه مدت می تواند قطاری را که از روبرو می گذرد ببیند که سرعت آن 36 کیلومتر در ساعت و طول آن 250 متر است؟

راه حل.ما چارچوب ثابت مرجع را با زمین و چارچوب متحرک را با قطاری که مسافر در آن قرار دارد وصل خواهیم کرد. طبق قانون جمع سرعت ها، سرعت قطار مقابل نسبت به قطار اول کجاست. در پیش بینی ها بر روی محور Ox:

از آنجایی که مسیر طی شده توسط قطار مقابل نسبت به قطار اول برابر است با طول قطار، پس زمان

مثال 5.کشتی بخار از نیژنی نووگورود به آستاراخان 5.0 روز و 7.0 روز برگشت طول می کشد. قایق از نیژنی نووگورود تا آستاراخان چقدر خواهد بود؟ از تاخیر در پارک و ترافیک خودداری کنید.

داده شده: t 1 = 5 روز، t 2 = 7 روز.

راه حل.ما چهارچوب مرجع ثابت را با ساحل و چارچوب متحرک را با آب وصل خواهیم کرد. فرض می کنیم که سرعت آب در تمام طول سفر یکسان است و سرعت کشتی بخار نسبت به آب ثابت و برابر مدول سرعت لحظه ای کشتی بخار نسبت به آب است.

از آنجایی که قایق با سرعت جریان رودخانه نسبت به ساحل حرکت می کند، زمان حرکت آن برابر است با s فاصله بین شهرها. هنگامی که یک کشتی بخار با جریان حرکت می کند، سرعت آن مطابق قانون اضافه کردن سرعت ها یا بر روی محور Ox است:

جایی که سرعت کشتی نسبت به ساحل است، سرعت کشتی نسبت به رودخانه است.

با دانستن زمان حرکت، می توانید سرعت را پیدا کنید:

از فرمول های (1) و (2) داریم:

وقتی کشتی بر خلاف جریان حرکت می کند، یا بر روی محور Ox حرکت می کند، سرعت کشتی نسبت به ساحل کجاست.

از طرف دیگر، . سپس

با حل سیستم معادلات (3) و (4) برای :

بیایید زمان حرکت قایق را پیدا کنیم:

مثال 6.با حرکت شتاب یکنواخت، بدن در دو دوره زمانی متوالی اول، هر کدام 4.0 ثانیه، به ترتیب در امتداد مسیرهای s 1 = 24 m و s 2 = 64 m حرکت می کند. سرعت و شتاب اولیه بدن را تعیین کنید.

داده شده: t 1 = t 2 = 4.0 s، s 1 = 24 m، s 2 = 64 m.

راه حل.اجازه دهید معادلات مسیر را به ترتیب برای s 1 و (s 1 + s 2) بنویسیم. از آنجایی که سرعت اولیه در این مورد یکسان است، پس

از آنجایی که t1=t2، پس

با بیان از (1) و جایگزینی آن به (2)، به دست می آوریم:

سپس سرعت اولیه

مثال 7.خودرویی که در امتداد یک مسیر مستقیم حرکت می کند و به طور یکنواخت با سرعت اولیه 5.0 متر بر ثانیه شتاب می گیرد، مسافت 6.0 متر را در ثانیه اول طی کرد. شتاب خودرو، سرعت لحظه ای را در پایان ثانیه دوم و جابجایی در 2.0 ثانیه

راه حل.با دانستن مسیر طی شده توسط بدن در ثانیه اول، می توانید شتاب را پیدا کنید:

سرعت را در پایان ثانیه دوم با استفاده از فرمول پیدا می کنیم

مثال 8. ایکس) به شکل x = A + Bt + Ct 3 است که در آن A = 4 m، B = 2 m/s، C = -0.5 m/s 3.

برای لحظه زمان t 1 = 2 s، تعیین کنید: 1) مختصات نقطه x 1 نقطه. 2) سرعت لحظه ای v 1; 3) شتاب آنی یک 1.

داده شده: x = A + Bt + Ct 3، A = 4 m، B = 2 m/s، C = -0.5 m/s 3، t 1 = 2 s.

یافتن: x 1 ; v 1 ; یک 1.

راه حل. 1. مقدار زمانی مشخص شده t 1 را به جای t در معادله حرکت قرار دهید: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3. بیایید مقادیر A، B، C، t 1 را در این عبارت جایگزین کنیم و محاسبات را انجام دهیم: x 1 = 4 m.

2. سرعت لحظه ای: سپس در زمان t 1 سرعت آنی v 1 = B + 3Ct 1 2 است. بیایید در اینجا مقادیر B، C، t 1 را جایگزین کنیم: v 1 = – 4 m/s. علامت منفی نشان می دهد که در زمان t 1 = 2 s نقطه در جهت منفی محور مختصات حرکت می کند.

3. شتاب فوری: شتاب آنی در زمان t 1 برابر است با a 1 = 6Сt 1 . بیایید مقادیر C, t 1 را جایگزین کنیم: a 1 = -6 m/s 2. علامت منفی نشان می دهد که جهت بردار شتاب با جهت منفی محور مختصات منطبق است و در شرایط این مشکل در هر لحظه از زمان این اتفاق می افتد.

مثال 9.معادله سینماتیکی حرکت یک نقطه مادی در امتداد یک خط مستقیم (محور ایکس) دارای شکل x = A + Bt + Ct 2 است که در آن A = 5 m، B = 4 m/s، C = -1 m/s 2. میانگین سرعت v xsr را برای بازه زمانی t 1 = 1 s تا t 2 = 6 s تعیین کنید.

داده شده: x = A + Bt + Ct 2، A = 5 m، B = 4 m/s، C = - 1 m/s 2، t 1 = 1 s، t 2 = 6 s.

یافتن: v xsr -؟ و خسر -؟

راه حل.سرعت متوسط در بازه زمانی t 2 -t 1 با عبارت v cf = (x 2 - x 1) / (t 2 - t 1) تعیین می شود.

x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 m، x 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = -7 m.

بیایید مقادیر x 1، x 2، t 1، t 2 را جایگزین کنیم و محاسبات را انجام دهیم: v xsr = -3 m/s.

مثال 10.یک بار از یک هلیکوپتر واقع در ارتفاع 300 متری پرتاب شد. چقدر طول می کشد تا محموله به زمین برسد اگر: الف) هلیکوپتر ساکن باشد. ب) هلیکوپتر با سرعت v 0 = 5 متر بر ثانیه فرود می آید. 3) هلیکوپتر با سرعت 0 = 5 متر بر ثانیه بالا می رود. حرکات مربوط به بار را در محورهای s(t)، v(t) و a(t) به صورت گرافیکی توصیف کنید.

راه حل.الف) بار خروجی از هلیکوپتر ثابت آزادانه سقوط می کند، یعنی. با شتاب گرانش g به طور یکنواخت حرکت می کند. زمان حرکت را از رابطه From پیدا خواهیم کرد: نمودارهای حرکت جسم در شکل 1 مشخص شده است.

ب) حرکت بار خروجی از هلیکوپتر که با سرعت ثابت v 0 = 5 متر بر ثانیه در حال فرود است، حرکتی با شتاب یکنواخت با شتاب ثابت g است و با معادله توصیف می شود.

با جایگزینی مقادیر عددی معادله 9.8t 2 +10t-600=0 به دست می آید.

نتیجه منفی معنای فیزیکی ندارد، بنابراین زمان حرکت t=7.57 ثانیه است.

نمودارهای حرکت جسم در شکل 2 مشخص شده است.

3) حرکت محموله خروجی از هلیکوپتر که با سرعت ثابت v 0 = 5 m/s بالا می رود، شامل دو مرحله است. در مرحله اول، بار به همان اندازه آهسته با شتاب ثابت g، خلاف سرعت حرکت می کند و با معادلات توصیف می شود.

در نقطه بالای مسیر، سرعت صفر می شود، بنابراین

با جایگزینی معادله دوم سیستم به معادله اول، دریافت می کنیم

در مرحله دوم سقوط آزاد از ارتفاع h 0 =h+h 1 =300+1.28=301.28 متر.

از آنجا که

نمودارهای حرکت جسم در شکل 3 مشخص شده است.

مثال 11.یک بار از بالونی که با سرعت ثابت 2 متر بر ثانیه با سرعت 18 متر بر ثانیه نسبت به زمین پایین می آید، به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود. فاصله بین توپ و بار را در لحظه ای که بار به بالاترین نقطه صعود خود می رسد تعیین کنید. چقدر طول می کشد تا بار از کنار توپ عبور کند و به زمین بیفتد؟

داده شده: v 01 = 2 m/s، v 02 = 18 m/s

پیدا کنید: s-? τ -؟

راه حل.بیایید محور 0Y را به صورت عمودی به سمت بالا هدایت کنیم، مبدا با نقطه 0 سازگار است، جایی که توپ در لحظه پرتاب بار در آن قرار داشت.

سپس معادلات حرکت محموله و بالون عبارتند از:

سرعت حرکت بار طبق قانون تغییر می کند v 2 = v 02 – gt.

در بالاترین نقطه B بلند کردن بار v 2 = 0. سپس زمان خیز تا این نقطه مختصات بار در نقطه B

در این مدت، بالون به نقطه A فرود آمد. مختصات آن

فاصله بین نقاط A و B:

پس از مدتی τ، زمانی که سنگ از کنار توپ عبور می کند، مختصات اجسام یکسان خواهد بود: y 1C = y 2C.

مثال 12.اگر در حین پرواز باد شمال غربی با زاویه 30 درجه نسبت به نصف النهار با سرعت 27 کیلومتر بر ساعت می وزد، هواپیما با چه سرعتی و با چه مسیری باید پرواز کند تا در عرض دو ساعت 300 کیلومتر به سمت شمال پرواز کند؟

داده شده: t=7.2∙10 3 s; ل=3∙10 5 متر; α=30 درجه ≈ 0.52 راد. v 2 ≈7.2 m/s.

یافتن: v 2 -؟ φ -؟

راه حل.اجازه دهید حرکت یک هواپیما را در چارچوب مرجع مربوط به زمین در نظر بگیریم.

محور OX را در جهت شرق و محور OY را در جهت شمال رسم می کنیم. سپس سرعت هواپیما در چارچوب مرجع انتخاب شده

جایی که v= ل/t (2)

معادله (1) در طرح ریزی روی محور

OX: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα، یا v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ، v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

با تقسیم این معادلات به صورت ترم، tanφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v) را بدست می آوریم.

یا با در نظر گرفتن (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ ل/t)؛

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ ل/t) ≈0.078 راد.

با مجذور کردن سمت راست و چپ معادلات (3) و جمع کردن معادلات به دست آمده، متوجه می شویم

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

از کجا، یا با در نظر گرفتن (2)

مثال 13.جسمی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود، پس از t=3 ثانیه به زمین بازمی گردد. ارتفاع خیز بدن و سرعت اولیه آن را بیابید.

راه حل.حرکت بدن به سمت بالا به همان اندازه آهسته و تند است - gو در طول زمان اتفاق می افتد تی 1، و حرکت رو به پایین به طور یکنواخت با شتاب g شتاب می گیرد و در طول زمان رخ می دهد تی 2. معادلات توصیف کننده حرکت در بخش های AB و BA یک سیستم را تشکیل می دهند:

از آنجایی که v B = 0، پس v 0 = gt 1. با جایگزینی v 0 در اولین معادله سیستم، به دست می آوریم. اگر این عبارت را با معادله سوم سیستم مقایسه کنیم، می توان نتیجه گرفت که زمان صعود برابر است با زمان فرود t 1 =t 2 =t/2=1.5s. سرعت اولیه و سرعت فرود با هم برابرند و برابر با v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 m/s می باشند.

ارتفاع بلند کردن بدن

مثال 14.در آخرین ثانیه حرکت، جسمی که آزادانه در حال سقوط است، نیمی از مسافت را پشت سر گذاشته است. ارتفاعی که از آن پرتاب می شود و زمان حرکت را پیدا کنید.

راه حل.وابستگی مسافت طی شده به زمان برای جسمی که آزادانه در حال سقوط است. از آنجایی که بخش BC که نیمی از کل مسیر را تشکیل می دهد، در زمانی برابر با 1 ثانیه طی شد، پس نیمه اول مسیر AB در زمان (t-1) s طی شد. سپس حرکت در بخش هواپیما را می توان به صورت .

حل سیستم

t 2 -4t+2=0 را دریافت می کنیم. ریشه های این معادله t 1 = 3.41 s و t 2 = 0.59 s است. ریشه دوم مناسب نیست، زیرا زمان حرکت، بر اساس شرایط مشکل، باید بیش از یک ثانیه باشد. در نتیجه، بدن به مدت 3.41 ثانیه سقوط کرد و در این مدت مسافتی را طی کرد

مثال 15.یک سنگ به صورت افقی از برجی به ارتفاع 25 متر با سرعت 15 متر بر ثانیه پرتاب می شود.

پیدا کنید: 1) سنگ چه مدت در حرکت خواهد بود، 2) در چه فاصله ای به زمین می افتد، 3) با چه سرعتی به زمین می افتد، 4) مسیر سنگ با چه زاویه ای خواهد بود. افق در نقطه سقوط آن به زمین. مقاومت هوا را نادیده بگیرید.

داده شده: H=25 m، v o = 15 m/s

پیدا کردن: t-? s x - ? v - φ- ?

راه حل.حرکت سنگی که به صورت افقی پرتاب می شود را می توان به دو قسمت تقسیم کرد: افقی s xو عمودی s y:

جایی که t زمان حرکت است.

2) s x = v o t = 33.9 m;

3) v y =gt=22.1m/s;

4) sinφ= v y /v=0.827;

مثال 16.یک جسم به صورت افقی از برجی به ارتفاع 25 متر با سرعت v x = 10 متر بر ثانیه پرتاب می شود.

پیدا کنید: 1) زمان t سقوط بدن، 2) در چه فاصله ای لاز پایه برج سقوط خواهد کرد، 3) سرعت v در پایان سقوط، 4) زاویه ای که مسیر بدنه با زمین در نقطه فرود ایجاد می کند.

راه حل.حرکت بدن پیچیده است. در حرکت یکنواخت افقی و شتاب یکنواخت با شتاب g به صورت عمودی شرکت می کند. بنابراین بخش AB با معادلات زیر توصیف می شود:

برای نقطه A این معادلات به شکل زیر است:

سپس ل=10∙2.26=22.6 m و v y =9.8∙2.26=22.15 m/s.

از آن به بعد

زاویه ای که مسیر با زمین ایجاد می کند برابر با زاویه φ در مثلث سرعت های نقطه A است که مماس آن بنابراین φ=68.7 درجه.

مثال 17.برای جسم پرتاب شده با سرعت افقی v x = 10 m/s، پس از زمان t=2 s پس از شروع حرکت، شتاب عادی، مماسی و کل و همچنین شعاع انحنای مسیر را در این نقطه بیابید.

راه حل.مولفه سرعت عمودی v y =gt=9.8∙2=19.6m/s

سرعت در نقطه A:

بردارها مثلثی از سرعت ها و بردارها مثلثی از شتاب ها را تشکیل می دهند. همانطور که از شکل مشخص است، این مثلث ها شبیه هم هستند، به این معنی که اضلاع آنها متناسب هستند: .

شتاب طبیعی، بنابراین شعاع انحنای مسیر

مثال 18.یک توپ با سرعت 10 متر بر ثانیه با زاویه 40 درجه نسبت به افقی پرتاب می شود.

پیدا کنید: 1) توپ تا چه ارتفاعی بلند می شود. 2) توپ در چه فاصله ای از محل پرتاب به زمین می افتد، 3) مدت زمان حرکت آن چقدر است.

داده شده: v o = 10 m / s، α = 40 o.

پیدا کنید: s y - ? s x - ? تی -؟

راه حل. 1) اجازه دهید بزرگترین ارتفاع s y max را پیدا کنیم که جسمی که با سرعت v o در زاویه α نسبت به افق به آن بالا می رود به آن بالا می رود. ما داریم (شکل را ببینید):

v y =v o sinα – gt; (1)

s y =v o t∙sinα – gt 2/2. (2)

در نقطه بالا v y = 0 و از (1) v o ∙sin𝛼 = gt 1 بدست می آوریم، بنابراین زمان بلند کردن توپ t 1 =v o ∙sinα/g است. با جایگزینی t 1 به (2)، دریافت می کنیم

s y max = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2.1 m.

2) برد پرواز s x max جسم پرتاب شده در زاویه نسبت به افق را بیابید.

داریم: v x =v o∙cosα , (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (4)

بدن پس از زمان t 2 = 2t 1 = 2v o sinα/g روی صفحه افقی می افتد.

با جایگزینی t 2 به (4)، s xmax = v o 2 sin2α/ را به دست می آوریم. g= 10.0 متر

3) t 2 = 2t 1 = 2v o sinα/g=1.3 s.

مثال 19.جسمی با سرعت v 0 = 10 m/s 2 در زاویه α = 30 درجه نسبت به افقی پرتاب می شود. بدن تا چه ارتفاعی بالا می رود؟ در چه فاصله ای از محل پرتاب شده به زمین برخورد می کند؟ او تا کی در حرکت خواهد بود؟

راه حل.مولفه های افقی و عمودی سرعت اولیه

حرکت در بخش OA را می توان به دو حرکت ساده تقسیم کرد: یکنواخت افقی و یکنواخت آهسته به صورت عمودی:

در نقطه A

سپس و

اگر یک جسم به طور همزمان در چندین حرکت شرکت کند، در هر یک از آنها مستقل از دیگری شرکت می کند، بنابراین، زمان حرکت در بخش AB با زمان حرکت رو به پایین - t 2 تعیین می شود. زمان حرکت به سمت بالا برابر است با زمان حرکت به سمت پایین، یعنی

با حرکت افقی یکنواخت در بازه های زمانی مساوی، بدن بخش های مساوی از مسیر را طی می کند، بنابراین،

برد پرواز

ارتفاع بلند کردن بدن

مثال 20.نقطه بر اساس قانون x=4(t-2) 2 به صورت مستطیل روی صفحه حرکت می کند. سرعت اولیه v 0 و شتاب نقطه چقدر است آ? سرعت لحظه ای نقطه v t = 5 را در ابتدای پنجمین ثانیه حرکت پیدا کنید.

راه حل.

1) زیرا v=x’، سپس v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

در t=0 v 0 = -16 m/s.

2) چون a=، سپس a=(8t-16)’=8 m/s.

3) در t=4، زیرا 4 ثانیه قبل از شروع 5 ثانیه گذشت.

v t =5 =8t-16=8∙4-16=32 m/s.

پاسخ:سرعت اولیه نقطه v 0 = -16 m/s، شتاب a = 8 m/s، سرعت نقطه در ابتدای پنجمین ثانیه حرکت v t = 5 = 32 m/s است.

مثال 21.حرکت یک نقطه مادی با این معادلات توصیف می شود: a) s=αt 3 ; ب) s=αt 2 +βt. سرعت متوسط و میانگین حسابی سرعت اولیه و نهایی را مقایسه کنید v cf در بازه زمانی 0 - t. در اینجا α و β ثابت های مثبت هستند.

راه حل.اجازه دهید تعاریف سرعت متوسط و آنی را به یاد بیاوریم:

عبارات سرعت لحظه ای با افتراق معادله حرکت به دست می آیند.

عبارات سرعت متوسط به عنوان نسبت تغییر مختصات منحنی به زمان یافت می شود:

عباراتی را برای میانگین سرعت حسابی بدست می آوریم:

بیایید به سوال در مورد شرایط مشکل پاسخ دهیم. مشاهده می شود که در حالت «الف» سرعت میانگین و میانگین حسابی بر هم منطبق نیستند، اما در حالت «ب» بر هم منطبق هستند.

مثال 22.یک نقطه مادی به طور یکنواخت در طول یک مسیر منحنی حرکت می کند. حداکثر شتاب در کدام نقطه از مسیر است؟

راه حل.هنگام حرکت در امتداد یک مسیر منحنی، شتاب متشکل از مماسی و نرمال است. شتاب مماسی نرخ تغییر در بزرگی (مدول) سرعت را مشخص می کند. اگر بزرگی سرعت تغییر نکند، شتاب مماسی صفر است. شتاب نرمال به شعاع انحنای مسیر a n = بستگی دارد v 2/R. شتاب در نقطه ای با کمترین شعاع انحنا حداکثر است، یعنی. در نقطه C

مثال 23.یک نقطه مادی طبق قانون حرکت می کند:

1) مختصات اولیه، سرعت اولیه و شتاب را با مقایسه با قانون حرکت با شتاب ثابت تعیین کنید. معادله پیش بینی سرعت را بنویسید.

راه حل.قانون حرکت با شتاب ثابت شکل دارد

با مقایسه این معادله با معادله شرط مسئله به دست می آوریم

ایکس 0 = - 1 متر،

v 0 x = 1 متر بر ثانیه،

آ x = - 0.25 m/s 2 .

این سوال پیش می آید: منظور از علامت منهای چیست؟ چه زمانی طرح یک بردار منفی است؟ فقط در موردی که بردار بر خلاف محور مختصات هدایت شده باشد.

اجازه دهید در شکل بردار مختصات اولیه، سرعت و شتاب را به تصویر بکشیم.

اجازه دهید معادله سرعت را در فرم بنویسیم

و داده های دریافتی (شرایط اولیه) را جایگزین آن کنید

2) با استفاده از تعاریف این کمیت ها، وابستگی سرعت و شتاب به زمان را بیابید.

راه حل.اجازه دهید تعاریف را برای مقادیر لحظه ای سرعت و شتاب اعمال کنیم:

با انجام تمایز، به دست می آوریم v x = 1-0.25t، a x = - 0.25 m/s 2.

می توان دید که شتاب به زمان بستگی ندارد.

3) نمودارهای v x (t) و x (t) را رسم کنید. حرکت در هر بخش از نمودار را مشخص کنید.

راه حل.وابستگی سرعت به زمان خطی است، نمودار یک خط مستقیم است.

در t = 0 v x = 1 m / s. در t = 4 با v x = 0.

از نمودار مشخص است که در بخش "الف" طرح سرعت مثبت است و مقدار آن کاهش می یابد، یعنی. نقطه به آرامی در جهت محور x حرکت می کند. در بخش "ب" طرح سرعت منفی است و مدول آن افزایش می یابد. نقطه با شتاب در جهت مخالف محور x حرکت می کند. در نتیجه، در نقطه تقاطع نمودار با محور آبسیسا، یک چرخش رخ می دهد، تغییر جهت حرکت.

4) مختصات نقطه عطف و مسیر چرخش را تعیین کنید.

راه حل.دوباره توجه کنید که در نقطه عطف سرعت صفر است. برای این حالت، از معادلات حرکت به دست می آوریم:

از معادله دوم بدست می آوریم تی pv = 4 ثانیه (ظاهراً برای بدست آوردن این مقدار نیازی به ساخت و تجزیه و تحلیل نمودار نیست). بیایید این مقدار را در معادله اول جایگزین کنیم: سطح x = -1+4-4 2 /8 = 1 متر. بیایید نحوه حرکت نقطه را به تصویر بکشیم.

مسیر پیچ، همانطور که از شکل مشخص است، برابر با تغییر مختصات است: s پیچ =x پیچ -x 0 =1-(-1)=2 متر.

5) در چه نقطه ای از زمان یک نقطه از مبدأ عبور می کند؟

راه حل.در معادله حرکت باید x = 0 قرار دهیم. معادله درجه دوم 0=-1+t-t 2 /8 یا t 2 -8t+8=0 به دست می آید. این معادله دو ریشه دارد: . t 1 = 1.17 ثانیه، t 2 = 6.83 ثانیه. در واقع، یک نقطه دو بار از مبدأ مختصات می گذرد: هنگام حرکت "آنجا" و "پشت".

6) مسیر طی شده توسط نقطه را در 5 ثانیه پس از شروع حرکت و جابجایی در این مدت و همچنین میانگین سرعت زمین در این بخش از مسیر را بیابید.

راه حل.اول از همه، اجازه دهید مختصاتی را پیدا کنیم که نقطه پس از 5 ثانیه حرکت به آن ختم شد و آن را در شکل مشخص کنیم.

x(5)=-1+5-5 2 /8= 0.875 متر.

از آنجایی که در این حالت نقطه بعد از پیچ قرار دارد، مسافت طی شده دیگر برابر با تغییر مختصات (حرکت) نیست، بلکه شامل دو عبارت است: مسیر قبل از پیچ.

s 1 = x سطح - x 0 = 1 - (-1) = 2 متر

و بعد از نوبت

s 2 = سطح x - x(5) = 1 - 0.875 = 0.125 متر،

s = s 1 + s 2 = 2.125 متر.

جابجایی نقطه است

s x = x(5) - x 0 = 0.875 - (-1) = 1.875 متر

میانگین سرعت زمین با فرمول محاسبه می شود

مسئله در نظر گرفته شده یکی از ساده ترین انواع حرکت را توصیف می کند - حرکت با شتاب ثابت. با این حال، این رویکرد برای تجزیه و تحلیل ماهیت حرکت جهانی است.

مثال 24.در حرکت تک بعدی با شتاب ثابت، وابستگی مختصات و سرعت ذره به زمان با روابط زیر توصیف می شود:

بین مختصات یک ذره و سرعت آن ارتباط برقرار کنید.

راه حل.زمان t را از این معادلات حذف می کنیم. برای این کار از روش جایگزینی استفاده می کنیم. از معادله دوم زمان را بیان می کنیم و معادله اول را جایگزین کنید:

اگر حرکت از مبدأ شروع شود ( ایکس 0 = 0) از استراحت ( v 0 x = 0)، سپس وابستگی حاصل شکل می گیرد

از دوره فیزیک مدرسه من به خوبی شناخته شده است.

مثال 25.حرکت یک نقطه مادی با این معادله توصیف می‌شود: در جایی که i و j بردارهای واحد محورهای x و y هستند، α و β ثابت‌های مثبت هستند. در لحظه اولیه زمان، ذره در نقطه x 0 = y 0 = 0 بود. معادله مسیر ذرات y(x) را پیدا کنید.

راه حل.شرط مسئله با استفاده از روش برداری توصیف حرکت فرموله شده است. بریم سراغ روش مختصات. ضرایب برای بردارهای واحد، پیش بینی های بردار سرعت هستند، یعنی:

ابتدا وابستگی های x(t) و y(t) را با حل یک مسئله درجه یک بدست می آوریم.

مثال 28.از یک برج بلند ساعتبا سرعت سنگی پرتاب کرد v 0 در زاویه α نسبت به افقی. پیدا کردن:

1) چه مدت سنگ در حرکت خواهد بود.

2) در چه فاصله ای به زمین می افتد.

3) با چه سرعتی به زمین می افتد.

4) مسیر سنگ با افق در نقطه سقوط آن چه زاویه β ایجاد می کند.

5) شتاب طبیعی و مماسی سنگ در این نقطه و همچنین شعاع انحنای مسیر.

6) بیشترین ارتفاع بلند کردن سنگ.

مقاومت هوا را نادیده بگیرید.

راه حل.با استفاده از این مسئله به عنوان مثال، نشان خواهیم داد که چگونه الگوریتم ارائه شده برای حل هر مسئله ای از این کلاس را می توان به صورت تعمیم یافته ایجاد کرد.

1. مسئله حرکت یک نقطه مادی (سنگ) را در میدان گرانش زمین در نظر می گیرد. بنابراین، این حرکتی با شتاب ثابت گرانش g است که به صورت عمودی به سمت پایین هدایت می شود.

سقوط آزادیک مورد خاص از حرکت با شتاب یکنواخت بدون سرعت اولیه را نشان می دهد. شتاب این حرکت برابر با شتاب گرانش است که به آن شتاب گرانش نیز می گویند. برای این حرکت، فرمول ها معتبر هستند:

تو تی
g
ساعت- ارتفاعی که بدن از آن می افتد
تی- زمانی که در طی آن سقوط ادامه یافت

توجه داشته باشید:

مقاومت هوا در این فرمول ها در نظر گرفته نشده است.
شتاب گرانش مقدار داده شده (9.81 (m/s?)) در نزدیکی سطح زمین است. مقدار g در فواصل دیگر از سطح زمین تغییر می کند!

حرکت بدنی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود

جسمی که به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب می شود با سرعت اولیه به آرامی یکنواخت حرکت می کند u0و شتاب آ = -g. حرکت بدن در طول زمان تینشان دهنده ارتفاع بالابر است ساعتبرای این حرکت فرمول های زیر معتبر هستند:

U0- سرعت اولیه حرکت بدن
U- سرعت سقوط یک جسم بعد از زمان تی
g- شتاب سقوط آزاد، 9.81 (m/s؟)
ساعت- ارتفاعی که بدن به مرور زمان به آن می رسد تی
تی- زمان

سرعت بدن در ارتفاع معین:

حداکثر ارتفاع بلند کردن:

زمان رسیدن به حداکثر ارتفاع:

اضافه کردن حرکاتی که در یک زاویه نسبت به یکدیگر هدایت می شوند.

بدن می تواند به طور همزمان در چندین حرکت انتقالی شرکت کند. از آنجایی که شتاب، سرعت و جابجایی کمیت های برداری هستند، می توان آنها را با توجه به قوانین جمع بردار (هندسی) اضافه کرد. آن ها طبق قانون متوازی الاضلاع

مقدار حاصل از هر مشخصه حرکتی را می توان محاسبه کرد.

اگر:
بالا- سرعت آنی حاصل،
U1- سرعت لحظه ای حرکت اول،
U2- سرعت لحظه ای حرکت دوم،
? - زاویه تشکیل شده توسط بردارهای سرعت u1و u2,
سپس با استفاده از قضیه کسینوس به دست می آوریم:

اگر حرکات 1 و 2 در زوایای قائم با یکدیگر رخ دهند، فرمول ساده می شود زیرا

حرکت بدنی که به صورت افقی پرتاب می شود.

حرکت جسمی که به صورت افقی پرتاب می شود ترکیبی از دو حرکت متقابل عمود بر یکدیگر است:
- حرکت افقی (یکنواخت)،
- عمودی (سقوط آزاد)

معادله مسیر حرکت جسمی که به صورت افقی پرتاب می شود

اگر خط سیر جسمی را که به صورت افقی در دستگاه مختصات پرتاب می شود بسازیم xy, در نظر گرفتن نقطه پرتاب به عنوان مبدأ مختصات، و جهت محور ارتجاعی منطبق با جهت بردار شتاب سقوط آزاد، سپس مختصات هر نقطه از مسیر حرکت بدن را در جهت افقی (حرکت با سرعت ثابت) نشان می دهد. U0) و در جهت عمودی (حرکت با شتاب یکنواخت با شتاب g)

x، y- مختصات بدن،
u0
g
تی- زمان سفر

معادله مسیر حرکت جسمی که به صورت افقی پرتاب می شودبه شرح زیر است:

gو سرعت اولیه بدن u0کمیت های ثابت هستند، سپس مختصات yمتناسب با مربع ایکس، یعنی مسیر حرکت سهمی است که راس آن در نقطه شروع حرکت است.

موقعیت برداری جسم پرتاب شده به صورت افقی، فرمول

موقعیت هر نقطه از مسیر جسمی که به صورت افقی پرتاب می شود را می توان با بردار موقعیت مشخص کرد r، که نشان دهنده جابجایی حاصل است:

یا بردار موقعیت:

مختصات x:

مختصات Y:

توجه: مقاومت هوا در فرمول ها لحاظ نشده است.

معادله حرکت جسمی که با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می شود.

مختصات نقطه مسیر با معادلات شرح داده می شود:

x، y- مختصات بدن
U0- سرعت اولیه بدن (m/s)
? - زاویه ای که بدن به سمت افق پرتاب می شود (°)
g- شتاب سقوط آزاد 9.81 (m/s2)
تی- زمان سفر

از فرمول ها از طریق پارامتر t کلی را استخراج می کنیم معادله حرکت جسمی که با زاویه ای نسبت به افقی پرتاب می شود

از آنجایی که شتاب گرانش است g, ? - زاویه پرتاب بدن به سمت افق و سرعت اولیه بدن u0کمیت های ثابت هستند، سپس مختصات yمتناسب با مربع ایکس، یعنی مسیر حرکت یک سهمی است، نقطه شروع روی یکی از شاخه های آن است و بالای سهمی نقطه حداکثر ارتفاع بدن است.

زمان صعود به حداکثر ارتفاع جسمی که در زاویه ای نسبت به افق پرتاب می شود.

زمان رسیدن به حداکثر ارتفاع با شرط صفر بودن مولفه عمودی سرعت لحظه ای تعیین می شود.

از این معادله بدست می آوریم:

U0- سرعت اولیه بدن (m/s)
?
g- شتاب سقوط آزاد 9.81 (m/s2)،
thmax- زمان رسیدن به حداکثر ارتفاع (s)

فاصله پرتاب جسمی که با زاویه نسبت به افقی پرتاب می شود.

برد پرتابیا شعاع آسیبتوسط فرمول های زمان کل حرکت و فرمول مختصات بدن تعیین می شود

جایگزین کردن tsmaxدر بیان و ساده سازی می گیریم:

U0- سرعت اولیه بدن (m/s)
? - زاویه ای که بدن به سمت افق پرتاب می شود (°)
g- شتاب سقوط آزاد 9.81 (m/s2)،
tsmax- کل زمان رانندگی (ها)

اجازه دهید حرکت جسمی را که به صورت افقی پرتاب می شود و تنها تحت تأثیر گرانش حرکت می کند در نظر بگیریم (از مقاومت هوا غفلت می کنیم). به عنوان مثال، تصور کنید که به توپی که روی میز خوابیده است، فشار داده می شود، و به لبه میز می غلتد و آزادانه شروع به سقوط می کند و سرعت اولیه آن به صورت افقی است (شکل 174).

بیایید حرکت توپ را بر روی محور عمودی و روی محور افقی قرار دهیم. حرکت پرتاب توپ بر روی محور حرکت بدون شتاب با سرعت است. حرکت پرتاب توپ بر روی محور یک سقوط آزاد با شتاب بیشتر از سرعت اولیه تحت تأثیر گرانش است. ما قوانین هر دو حرکت را می دانیم. مولفه سرعت ثابت و برابر با . جزء متناسب با زمان رشد می کند: . همانطور که در شکل نشان داده شده است، سرعت حاصل را می توان با استفاده از قانون متوازی الاضلاع به راحتی پیدا کرد. 175- به سمت پایین متمایل می شود و به مرور زمان تمایل آن افزایش می یابد.

برنج. 174. حرکت توپ از روی میز

برنج. 175. توپی که به صورت افقی با سرعت پرتاب می شود سرعت آنی دارد

اجازه دهید مسیر جسمی را که به صورت افقی پرتاب می شود، پیدا کنیم. مختصات بدن در لحظه زمان معنی دارد

برای یافتن معادله مسیر، زمان را از (112.1) از طریق بیان می کنیم و این عبارت را با (112.2) جایگزین می کنیم. در نتیجه بدست می آوریم

نمودار این تابع در شکل نشان داده شده است. 176. مختصات نقاط مسیر با مربع های آبسیسا متناسب است. می دانیم که چنین منحنی هایی سهمی نامیده می شوند. نمودار مسیر حرکت با شتاب یکنواخت به صورت سهمی (§ 22) به تصویر کشیده شد. بنابراین، جسمی که آزادانه در حال سقوط است و سرعت اولیه آن افقی است در امتداد یک سهمی حرکت می کند.

مسیر طی شده در جهت عمودی به سرعت اولیه بستگی ندارد. اما مسیر طی شده در جهت افقی متناسب با سرعت اولیه است. بنابراین، در یک سرعت اولیه افقی بالا، سهمی که بدن در امتداد آن می افتد در جهت افقی کشیده تر است. اگر جریانی از آب از یک لوله افقی آزاد شود (شکل 177)، ذرات منفرد آب، مانند توپ، در امتداد یک سهمی حرکت خواهند کرد. هر چه شیری که آب از طریق آن وارد لوله می شود بازتر باشد، سرعت اولیه آب بیشتر می شود و جریان از شیر آب به پایین کووت می رسد. با قرار دادن صفحه ای با سهمی های از پیش کشیده شده در پشت جت، می توانید مطمئن شوید که جت آب واقعاً شکل یک سهمی را دارد.

اجازه دهید بدن در یک زاویه پرتاب شود α به سمت افق با سرعت \(~\vec \upsilon_0\). مانند موارد قبلی، از مقاومت هوا غافل خواهیم شد. برای توصیف حرکت، لازم است دو محور مختصات انتخاب شود - گاو نرو اوه(عکس. 1). نقطه مرجع با موقعیت اولیه بدن سازگار است. پیش بینی سرعت اولیه بر روی محور اوهو گاو نر\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. پیش بینی شتاب: g x = 0; g y = - g.

سپس حرکت جسم با معادلات شرح داده می شود:

\(~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)\) \(~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)\) \(~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)\)

از این فرمول ها نتیجه می شود که در جهت افقی بدن به طور یکنواخت با سرعت \(~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha\) و در جهت عمودی - با شتاب یکنواخت حرکت می کند.

مسیر حرکت بدن یک سهمی خواهد بود. با توجه به اینکه در نقطه بالای سهمی υ y = 0، می توانید زمان را پیدا کنید تی 1 بالابر بدن تا نقطه بالای سهمی:

\(~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \ فلش راست t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)\)

جایگزینی مقدار تی 1 در معادله (3)، حداکثر ارتفاع بالابر بدن را پیدا می کنیم:

\(~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ آلفا)(g^2)،\) \(~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)\) - حداکثر ارتفاع بلند کردن بدن.

زمان پرواز بدن را از شرایطی که در تی = تیمختصات 2 y 2 = 0. بنابراین، \(~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0\). بنابراین، \(~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)\) زمان پرواز بدن است. با مقایسه این فرمول با فرمول (5) می بینیم که تی 2 = 2 تی 1 . زمان حرکت بدن از حداکثر ارتفاع تی 3 = تی 2 - تی 1 = 2تی 1 - تی 1 = تی 1 . در نتیجه، مدت زمانی که بدن طول می کشد تا به حداکثر ارتفاع خود برسد، همان زمانی است که برای پایین آمدن از این ارتفاع طول می کشد. جایگزین کردن مختصات در معادله ایکس(1) ارزش زمانی تی 2، در می یابیم:

\(~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)\) - برد پرواز بدن .

سرعت لحظه ای در هر نقطه از مسیر به صورت مماس بر مسیر هدایت می شود (شکل 1 را ببینید). ماژول سرعت با فرمول تعیین می شود

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .\)

ادبیات

Aksenovich L. A. فیزیک در دبیرستان: نظریه. وظایف. تست ها: کتاب درسی. کمک هزینه برای مؤسسات ارائه دهنده آموزش عمومی. محیط زیست، آموزش / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; اد. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 16-17.

تئوری

اگر جسمی در زاویه ای نسبت به افق پرتاب شود، در حین پرواز نیروی گرانش و نیروی مقاومت هوا بر آن اثر می گذارد. اگر نیروی مقاومت نادیده گرفته شود، تنها نیروی باقیمانده گرانش است. بنابراین، طبق قانون دوم نیوتن، جسم با شتابی برابر با شتاب گرانش حرکت می کند. پیش بینی شتاب در محورهای مختصات برابر است تبر = 0, و y= -g.

هر حرکت پیچیده یک نقطه مادی را می توان به صورت برهم نهی از حرکات مستقل در امتداد محورهای مختصات نشان داد و در جهت محورهای مختلف، نوع حرکت ممکن است متفاوت باشد. در مورد ما، حرکت یک جسم پرنده را می توان به عنوان برهم نهی دو حرکت مستقل نشان داد: حرکت یکنواخت در امتداد محور افقی (محور X) و حرکت شتاب یکنواخت در امتداد محور عمودی (محور Y) (شکل 1). .

بنابراین پیش بینی های سرعت بدن با گذشت زمان به صورت زیر تغییر می کند:

جایی که سرعت اولیه است، α زاویه پرتاب است.

بنابراین مختصات بدن به صورت زیر تغییر می کند:

با انتخاب ما از مبدا مختصات، مختصات اولیه (شکل 1) سپس

دومین مقدار زمانی که ارتفاع در آن صفر است، صفر است که مربوط به لحظه پرتاب است، یعنی. این مقدار یک معنای فیزیکی نیز دارد.

برد پرواز را از فرمول اول (1) بدست می آوریم. محدوده پرواز مقدار مختصات است ایکسدر پایان پرواز، یعنی. در زمانی برابر با t 0. با جایگزینی مقدار (2) به فرمول اول (1)، دریافت می کنیم:

(3)

از این فرمول می توان دریافت که بیشترین برد پرواز در زاویه پرتاب 45 درجه به دست می آید.

حداکثر ارتفاع بدنه پرتاب شده را می توان از فرمول دوم (1) بدست آورد. برای انجام این کار، باید مقدار زمانی معادل نصف زمان پرواز (2) را در این فرمول جایگزین کنید، زیرا در نقطه میانی مسیر است که ارتفاع پرواز حداکثر است. با انجام محاسبات، دریافت می کنیم

تایپ کنید