مشتق فرمول تابع پیچیده قوانین محاسبه مشتقات
حل مسائل یا مثال های فیزیکی در ریاضیات بدون آگاهی از مشتق و روش های محاسبه آن کاملاً غیرممکن است. مشتق یکی از مفاهیم مهم در تحلیل ریاضی است. ما تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، معنای فیزیکی و هندسی آن چیست، مشتق تابع را چگونه محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟
معنای هندسی و فیزیکی مشتق
اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در یک بازه زمانی مشخص مشخص شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت در مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:
مشتق یک تابع در یک نقطه، حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.
در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:
یافتن چنین حدی چه فایده ای دارد؟ در اینجا چیست:
مشتق یک تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.
معنای فیزیکی مشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.
در واقع، از دوران مدرسه همه می دانند که سرعت یک مسیر خاص است x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسط در یک بازه زمانی معین:
برای پی بردن به سرعت حرکت در یک لحظه از زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:
قانون اول: یک ثابت تنظیم کنید
ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، این باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، آن را به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید یک عبارت را ساده کنید، حتما آن را ساده کنید .
مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:
قانون دوم: مشتق از مجموع توابع
مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.
ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.
مشتق تابع را پیدا کنید:
قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع
مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:
مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:
راه حل: 
در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده صحبت کنیم. مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل برابر است.
در مثال بالا با عبارت زیر مواجه می شویم:
در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.
قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع
فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:
ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس هشدار دهید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.
در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین آزمون را حل کنید و وظایف را درک کنید، حتی اگر قبلاً محاسبات مشتق را انجام نداده باشید.
توابع از نوع پیچیده همیشه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت ندارند. اگر تابعی به شکل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 وجود داشته باشد، بر خلاف y = sin 2 x نمی توان آن را پیچیده در نظر گرفت.
این مقاله مفهوم یک تابع پیچیده و شناسایی آن را نشان می دهد. بیایید با فرمول هایی برای یافتن مشتق با مثال هایی از راه حل ها در نتیجه گیری کار کنیم. استفاده از جدول مشتق و قوانین تمایز به طور قابل توجهی زمان برای یافتن مشتق را کاهش می دهد.
Yandex.RTB R-A-339285-1
تعاریف اساسی
تعریف 1تابع مختلط تابعی است که آرگومان آن تابع نیز باشد.
به این صورت نشان داده می شود: f (g (x)). داریم که تابع g (x) آرگومان f در نظر گرفته می شود (g (x)).
تعریف 2
اگر یک تابع f وجود داشته باشد و یک تابع کتانژانت باشد، آنگاه g(x) = ln x تابع لگاریتم طبیعی است. دریافتیم که تابع مختلط f (g (x)) به صورت arctg(lnx) نوشته خواهد شد. یا یک تابع f، که تابعی است که به توان 4 افزایش یافته است، که در آن g (x) = x 2 + 2 x - 3 یک تابع منطقی کامل در نظر گرفته می شود، به دست می آوریم که f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .
بدیهی است که g(x) می تواند پیچیده باشد. از مثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 واضح است که مقدار g دارای ریشه مکعب کسر است. این عبارت را می توان با y = f (f 1 (f 2 (x)) نشان داد. از آنجا که f یک تابع سینوسی است، و f 1 تابعی است که در زیر جذر قرار دارد، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 یک تابع گویا کسری است.
تعریف 3
درجه تودرتو با هر عدد طبیعی تعیین می شود و به صورت y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) نوشته می شود.
تعریف 4
مفهوم ترکیب تابع به تعداد توابع تو در تو با توجه به شرایط مسئله اشاره دارد. برای حل، از فرمول برای یافتن مشتق تابع مختلط از فرم استفاده کنید
(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)
مثال ها
مثال 1مشتق تابع مختلط به شکل y = (2 x + 1) 2 را بیابید.
راه حل
شرط نشان می دهد که f یک تابع مربع است و g(x) = 2 x + 1 یک تابع خطی در نظر گرفته می شود.
بیایید فرمول مشتق را برای یک تابع مختلط اعمال کنیم و بنویسیم:
f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4
لازم است مشتق را با شکل اصلی ساده شده تابع پیدا کنید. ما گرفتیم:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
از اینجا ما آن را داریم
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4
نتایج یکسان بود.
هنگام حل مسائل از این نوع، مهم است که بدانیم تابع شکل f و g (x) در کجا قرار خواهد گرفت.
مثال 2
شما باید مشتقات توابع مختلط به شکل y = sin 2 x و y = sin x 2 را پیدا کنید.
راه حل
نماد تابع اول می گوید که f تابع مربع و g(x) تابع سینوس است. سپس آن را دریافت می کنیم
y " = ( گناه 2 x) " = 2 گناه 2 - 1 x (سین x) " = 2 گناه x cos x
ورودی دوم نشان می دهد که f یک تابع سینوسی است و g(x) = x 2 یک تابع توان را نشان می دهد. نتیجه می شود که حاصل ضرب یک تابع مختلط را به صورت می نویسیم
y " = (سین x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)
فرمول مشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) به صورت y " = f " نوشته می شود (f 1 (f 2 (f 3 (. (f n (x))) · f 1" (f n (f 3 (. . . (f n (x))) · f 2" (f n (. . .) )))) · . . . fn "(x)
مثال 3
مشتق تابع y = sin را بیابید (ln 3 a r c t g (2 x)).
راه حل
این مثال دشواری نوشتن و تعیین محل توابع را نشان می دهد. سپس y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) نشان می دهد که در آن f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) تابع سینوس است، تابع افزایش تا 3 درجه، تابع با لگاریتم و پایه e، تابع قطبی و خطی.
از فرمول تعریف تابع مختلط داریم که
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)
ما آنچه را که باید پیدا کنیم به دست می آوریم
- f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) به عنوان مشتق سینوس مطابق جدول مشتقات، سپس f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
- f 1 " (f 3 (f 4 (x)))) به عنوان مشتق تابع توان، سپس f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 " (f 3 (f 4 (x))) به عنوان یک مشتق لگاریتمی، سپس f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
- f 3 " (f 4 (x)) به عنوان مشتق تانژانت، سپس f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- هنگام یافتن مشتق f 4 (x) = 2 x، 2 را از علامت مشتق با استفاده از فرمول مشتق تابع توان با توانی برابر با 1 حذف کنید، سپس f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .
ما نتایج میانی را ترکیب می کنیم و به آن می رسیم
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
تجزیه و تحلیل چنین عملکردهایی یادآور عروسک های تودرتو است. قوانین تمایز را نمی توان همیشه به طور صریح با استفاده از جدول مشتق اعمال کرد. اغلب شما نیاز به استفاده از فرمولی برای یافتن مشتقات توابع پیچیده دارید.
تفاوت هایی بین ظاهر پیچیده و عملکردهای پیچیده وجود دارد. با داشتن توانایی واضح در تشخیص این، یافتن مشتقات بسیار آسان خواهد بود.
مثال 4
ذکر چنین مثالی ضروری است. اگر تابعی به شکل y = t g 2 x + 3 t g x + 1 وجود داشته باشد، می توان آن را به عنوان یک تابع مختلط از شکل g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 در نظر گرفت. . بدیهی است که استفاده از فرمول برای مشتق پیچیده ضروری است:
f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) "+ 1" = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tg x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 tg x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
تابعی به شکل y = t g x 2 + 3 t g x + 1 پیچیده در نظر گرفته نمی شود، زیرا دارای مجموع tg x 2، 3 tg x و 1 است. با این حال، t g x 2 یک تابع مختلط در نظر گرفته می شود، سپس یک تابع توانی به شکل g (x) = x 2 و f به دست می آوریم که یک تابع مماس است. برای انجام این کار، بر اساس مقدار متمایز کنید. ما آن را دریافت می کنیم
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x
بیایید به یافتن مشتق یک تابع مختلط (t g x 2) ادامه دهیم:
f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (tg x 2) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 x cos 2 (x2)
دریافت می کنیم که y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
توابع از نوع پیچیده را می توان در توابع پیچیده گنجاند و توابع پیچیده خود می توانند اجزای توابع از نوع پیچیده باشند.
مثال 5
به عنوان مثال، یک تابع مختلط به شکل y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) را در نظر بگیرید.
این تابع را می توان به صورت y = f (g (x)) نشان داد، که در آن مقدار f تابعی از لگاریتم پایه 3 است و g (x) مجموع دو تابع شکل h (x) = در نظر گرفته می شود. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . بدیهی است که y = f (h (x) + k (x)).
تابع h(x) را در نظر بگیرید. این نسبت l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 به m (x) = e x 2 + 3 3 است
داریم که l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) مجموع دو تابع n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ، که در آن p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) یک تابع مختلط با ضریب عددی 3 است و p 1 یک تابع مکعب است. p 2 توسط یک تابع کسینوس، p 3 (x) = 2 x + 1 توسط یک تابع خطی.
دریافتیم که m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) مجموع دو تابع q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3 است، که در آن q (x) = q 1 (q 2 (x)) یک تابع مختلط است، q 1 یک تابع با نمایی است، q 2 (x) = x 2 یک تابع توان است.
این نشان می دهد که h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
هنگامی که به یک عبارت به شکل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) حرکت می کنیم، واضح است که تابع به شکل یک s مختلط ارائه می شود ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) با یک عدد صحیح گویا t (x) = x 2 + 1، که در آن s 1 یک تابع مربع است و s 2 (x) = ln x لگاریتمی با پایه e.
نتیجه این است که عبارت به شکل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) خواهد بود.
سپس ما آن را دریافت می کنیم
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)
بر اساس ساختار تابع، مشخص شد که چگونه و از چه فرمول هایی برای ساده کردن عبارت هنگام متمایز کردن آن باید استفاده شود. برای آشنایی با چنین مسائلی و مفهوم حل آنها باید به تمایز یک تابع یعنی یافتن مشتق آن رجوع کرد.
در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
تعریف.اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک بازه معین حاوی نقطه \(x_0\) تعریف شود. بیایید به آرگومان یک افزایش \(\Delta x\) بدهیم به طوری که از این بازه خارج نشود. بیایید افزایش مربوط به تابع \(\Delta y \) (هنگام حرکت از نقطه \(x_0 \) به نقطه \(x_0 + \Delta x\)) را پیدا کرده و رابطه \(\frac(\Delta) را بسازیم. y) (\ دلتا x) \). اگر محدودیتی برای این نسبت در \(\Delta x \rightarrow 0\ وجود داشته باشد، آنگاه حد مشخص شده فراخوانی می شود. مشتق از یک تابع\(y=f(x) \) در نقطه \(x_0 \) و نشان دهنده \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
نماد y اغلب برای نشان دادن مشتق استفاده می شود. توجه داشته باشید که y" = f(x) یک تابع جدید است، اما به طور طبیعی مربوط به تابع y = f(x) است که در تمام نقاط x که حد بالا وجود دارد، تعریف شده است. این تابع به این صورت نامیده می شود: مشتق تابع y = f(x).
معنای هندسی مشتقبه شرح زیر است. اگر بتوان یک مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه ای با ابسیسا x=a رسم کرد که با محور y موازی نیست، آنگاه f(a) شیب مماس را بیان می کند. :
\(k = f"(a)\)
از آنجایی که \(k = tg(a) \)، پس برابری \(f"(a) = tan(a) \) صادق است.
حال بیایید تعریف مشتق را از دیدگاه برابری های تقریبی تفسیر کنیم. اجازه دهید تابع \(y = f(x)\) در یک نقطه خاص \(x\) مشتق داشته باشد:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
این بدان معنی است که در نزدیکی نقطه x برابری تقریبی \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\)، یعنی \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). معنای معنی دار برابری تقریبی حاصل به شرح زیر است: افزایش تابع "تقریباً متناسب" با افزایش استدلال است و ضریب تناسب مقدار مشتق در یک نقطه معین x است. برای مثال، برای تابع \(y = x^2\) برابری تقریبی \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x\) معتبر است. اگر تعریف مشتق را به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه می شویم که حاوی الگوریتمی برای یافتن آن است.
بیایید آن را فرموله کنیم.
چگونه مشتق تابع y = f(x) را پیدا کنیم؟
1. مقدار \(x\) را ثابت کنید، \(f(x)\) را پیدا کنید
2. به آرگومان \(x\) یک افزایش \(\Delta x\ بدهید، به یک نقطه جدید بروید \(x+ \Delta x\)، پیدا کنید \(f(x+ \Delta x) \)
3. افزایش تابع را پیدا کنید: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. رابطه \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ایجاد کنید
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ را محاسبه کنید
این حد مشتق تابع در نقطه x است.
اگر تابع y = f(x) در نقطه x مشتق داشته باشد، در نقطه x به آن متمایز می گویند. روش یافتن مشتق تابع y = f(x) نامیده می شود تفکیکتوابع y = f(x).
اجازه دهید در مورد سوال زیر بحث کنیم: پیوستگی و تمایز یک تابع در یک نقطه چگونه با یکدیگر مرتبط هستند؟
اجازه دهید تابع y = f(x) در نقطه x قابل تفکیک باشد. سپس یک مماس را می توان به نمودار تابع در نقطه M(x; f(x) رسم کرد، و به یاد بیاورید که ضریب زاویه ای مماس برابر با f "(x) است. چنین نموداری نمی تواند "شکن" کند. در نقطه M، یعنی تابع باید در نقطه x پیوسته باشد.
اینها استدلالهای "دستی" بود. اجازه دهید استدلال دقیق تری ارائه دهیم. اگر تابع y = f(x) در نقطه x قابل تمایز باشد، برابری تقریبی \(\Delta y \تقریبا f"(x) \cdot \Delta x\) برقرار است. اگر در این برابری \(\Delta x \) به سمت صفر میل می کند، سپس \(\Delta y \) به سمت صفر میل می کند و این شرط تداوم تابع در یک نقطه است.
بنابراین، اگر تابعی در نقطه x قابل تمایز باشد، در آن نقطه پیوسته است.
عبارت معکوس درست نیست. به عنوان مثال: تابع y = |x| در همه جا پیوسته است، به ویژه در نقطه x = 0، اما مماس بر نمودار تابع در "نقطه اتصال" (0؛ 0) وجود ندارد. اگر در نقطه ای مماس را نتوان روی نمودار یک تابع رسم کرد، آنگاه مشتق در آن نقطه وجود ندارد.
یک مثال دیگر تابع \(y=\sqrt(x)\) در کل خط عددی، از جمله در نقطه x = 0، پیوسته است. و مماس بر نمودار تابع در هر نقطه وجود دارد، از جمله در نقطه x = 0 اما در این نقطه مماس با محور y منطبق است، یعنی بر محور آبسیسا عمود است، معادله آن به شکل x = 0 است. چنین خط مستقیمی ضریب زاویه ندارد، به این معنی که \(f. "(0)\) وجود ندارد.
بنابراین، ما با ویژگی جدیدی از یک تابع - تفاوت پذیری آشنا شدیم. چگونه می توان از نمودار یک تابع نتیجه گرفت که قابل تمایز است؟
پاسخ در واقع در بالا داده شده است. اگر در نقطه ای بتوان بر نمودار تابعی که عمود بر محور آبسیسا نیست مماس رسم کرد، در این نقطه تابع قابل تمایز است. اگر در نقطه ای مماس بر نمودار یک تابع وجود نداشته باشد یا بر محور آبسیسا عمود باشد، در این نقطه تابع قابل تمایز نیست.
قوانین تمایز
عملیات یافتن مشتق نامیده می شود تفکیک. هنگام انجام این عملیات، اغلب باید با ضرایب، مجموع، محصولات توابع و همچنین "توابع توابع" یعنی توابع پیچیده کار کنید. بر اساس تعریف مشتق، می توانیم قوانین تمایز را استخراج کنیم که این کار را آسان تر می کند. اگر C یک عدد ثابت است و f=f(x)، g=g(x) برخی از توابع قابل تمایز هستند، آنگاه موارد زیر درست هستند. قوانین تمایز:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
جدول مشتقات برخی از توابع
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \راست) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\n a) $$$$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $مشتق تابع مختلط نمونه هایی از راه حل ها
در این درس یاد خواهیم گرفت که چگونه پیدا کنیم مشتق یک تابع پیچیده. درس ادامه منطقی درس است چگونه مشتق را پیدا کنیم؟، که در آن ساده ترین مشتقات را مورد بررسی قرار دادیم و همچنین با قوانین تمایز و برخی تکنیک های فنی برای یافتن مشتقات آشنا شدیم. بنابراین، اگر با مشتقات توابع خیلی خوب نیستید یا اگر برخی از نکات این مقاله کاملاً واضح نیستند، ابتدا درس بالا را بخوانید. لطفاً حال و هوای جدی داشته باشید - مطالب ساده نیست، اما من همچنان سعی خواهم کرد آن را ساده و واضح ارائه دهم.
در عمل، شما باید اغلب با مشتق یک تابع پیچیده سر و کار داشته باشید، حتی می توانم بگویم، تقریباً همیشه، زمانی که به شما وظایفی برای یافتن مشتقات داده می شود.
ما به جدول در قانون (شماره 5) برای تمایز یک تابع پیچیده نگاه می کنیم:
بیایید آن را بفهمیم. اول از همه به مدخل توجه کنیم. در اینجا ما دو تابع داریم - و، و تابع، به طور مجازی، درون تابع تودرتو است. تابعی از این نوع (زمانی که یک تابع درون تابع دیگری تودرتو باشد) تابع پیچیده نامیده می شود.
من تابع را فراخوانی خواهم کرد عملکرد خارجی، و عملکرد - عملکرد داخلی (یا تو در تو)..
! این تعاریف نظری نیستند و نباید در طراحی نهایی تکالیف ظاهر شوند. من از عبارات غیررسمی "عملکرد خارجی"، "عملکرد داخلی" استفاده می کنم تا درک مطلب را برای شما آسانتر کنم.
برای روشن شدن وضعیت، در نظر بگیرید:
مثال 1
مشتق تابع را بیابید
در زیر سینوس ما نه فقط حرف "X"، بلکه یک عبارت کامل داریم، بنابراین یافتن مشتق بلافاصله از جدول کار نخواهد کرد. ما همچنین متوجه می شویم که اعمال چهار قانون اول در اینجا غیرممکن است، به نظر می رسد تفاوت وجود دارد، اما واقعیت این است که سینوس را نمی توان "تکه تکه کرد":
در این مثال، از توضیحات من به طور شهودی مشخص است که یک تابع یک تابع پیچیده است، و چند جمله ای یک تابع داخلی (جاسازی) و یک تابع خارجی است.
گام اولکاری که هنگام یافتن مشتق یک تابع مختلط باید انجام دهید این است که درک کنید که کدام عملکرد داخلی و کدام یک خارجی است.
در مورد مثال های ساده، به نظر واضح است که یک چند جمله ای زیر سینوس تعبیه شده است. اما اگر همه چیز واضح نباشد چه؟ چگونه می توان به طور دقیق تشخیص داد که کدام تابع خارجی و کدام داخلی است؟ برای این کار استفاده از تکنیک زیر را پیشنهاد می کنم که به صورت ذهنی یا پیش نویس انجام می شود.
بیایید تصور کنیم که باید مقدار عبارت at را در یک ماشین حساب محاسبه کنیم (به جای یک، هر عددی می تواند وجود داشته باشد).
ابتدا چه چیزی را محاسبه خواهیم کرد؟ اول از همهشما باید عمل زیر را انجام دهید: بنابراین چند جمله ای یک تابع داخلی خواهد بود: 
دوماباید پیدا شود، بنابراین سینوس - یک تابع خارجی خواهد بود: 
بعد از ما فروخته شدهبا توابع داخلی و خارجی، زمان اعمال قانون تمایز توابع پیچیده است.
بیایید تصمیم گیری را شروع کنیم. از کلاس چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ما به یاد می آوریم که طراحی راه حل برای هر مشتق همیشه به این صورت شروع می شود - عبارت را در پرانتز قرار می دهیم و در بالا سمت راست یک ضربه قرار می دهیم:
در ابتدامشتق تابع خارجی (سینوس) را پیدا می کنیم، به جدول مشتقات توابع ابتدایی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که . تمام فرمول های جدول نیز در صورتی قابل اجرا هستند که "x" با یک عبارت پیچیده جایگزین شود، در این مورد:
لطفا توجه داشته باشید که عملکرد داخلی تغییر نکرده است، ما آن را لمس نمی کنیم.
خب این کاملا واضحه
نتیجه نهایی اعمال فرمول به صورت زیر است:
عامل ثابت معمولاً در ابتدای عبارت قرار می گیرد:
در صورت وجود هرگونه سوء تفاهم، راه حل را روی کاغذ بنویسید و توضیحات را دوباره بخوانید.
مثال 2
مشتق تابع را بیابید
مثال 3
مشتق تابع را بیابید
مثل همیشه می نویسیم: 
بیایید بفهمیم که کجا یک عملکرد خارجی داریم و کجا یک عملکرد داخلی. برای این کار، سعی می کنیم (به صورت ذهنی یا پیش نویس) مقدار عبارت را در محاسبه کنیم. اول باید چی کار کنید؟ اول از همه، شما باید محاسبه کنید که پایه برابر است: بنابراین، چند جمله ای تابع داخلی است: 
و تنها در این صورت است که توان انجام می شود، بنابراین، تابع توان یک تابع خارجی است: 
طبق فرمول، ابتدا باید مشتق تابع خارجی، در این مورد، درجه را پیدا کنید. فرمول مورد نیاز را در جدول جستجو می کنیم: . باز هم تکرار می کنیم: هر فرمول جدولی نه تنها برای "X" بلکه برای یک عبارت پیچیده نیز معتبر است. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده به شرح زیر است:
باز هم تاکید می کنم که وقتی مشتق تابع خارجی را می گیریم، تابع درونی ما تغییر نمی کند: 
اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که یک مشتق بسیار ساده از تابع داخلی پیدا کنید و نتیجه را کمی تغییر دهید:
مثال 4
مشتق تابع را بیابید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
برای تثبیت درک شما از مشتق یک تابع پیچیده، مثالی را بدون نظر می‌آورم، سعی کنید خودتان آن را بفهمید، دلیل اینکه تابع خارجی و داخلی کجاست، چرا کارها به این ترتیب حل می‌شوند؟
مثال 5
الف) مشتق تابع را بیابید
ب) مشتق تابع را بیابید
مثال 6
مشتق تابع را بیابید 
در اینجا ما یک ریشه داریم و برای اینکه ریشه را متمایز کنیم باید به عنوان یک قدرت نشان داده شود. بنابراین، ابتدا تابع را به شکل مناسب برای تمایز می آوریم:
با تجزیه و تحلیل تابع به این نتیجه می رسیم که مجموع سه جمله تابع درونی است و افزایش به توان یک تابع بیرونی است. ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم:
ما دوباره درجه را به عنوان یک رادیکال (ریشه) نشان می دهیم، و برای مشتق تابع داخلی، یک قانون ساده برای متمایز کردن مجموع اعمال می کنیم:
آماده. همچنین می توانید عبارت را به یک مخرج مشترک در پرانتز کاهش دهید و همه چیز را به عنوان یک کسر بنویسید. البته زیباست، اما وقتی مشتقات طولانی دست و پا گیر به دست می آورید، بهتر است این کار را انجام ندهید (گیج شدن، اشتباه غیر ضروری آسان است و بررسی آن برای معلم ناخوشایند خواهد بود).
مثال 7
مشتق تابع را بیابید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
جالب است بدانید که گاهی به جای قانون افتراق یک تابع مختلط، می توانید از قانون افتراق یک ضریب استفاده کنید. 
، اما چنین راه حلی مانند یک انحراف خنده دار به نظر می رسد. در اینجا یک مثال معمولی است:
مثال 8
مشتق تابع را بیابید
در اینجا می توانید از قانون تمایز ضریب استفاده کنید ، اما یافتن مشتق از طریق قاعده تمایز یک تابع پیچیده بسیار سودآورتر است:
ما تابع را برای تمایز آماده می کنیم - منهای را از علامت مشتق خارج می کنیم و کسینوس را به صورت شمارنده می کنیم:
کسینوس یک تابع درونی است، توان یک تابع خارجی است.
بیایید از قانون خود استفاده کنیم:
مشتق تابع داخلی را پیدا می کنیم و کسینوس را به پایین تنظیم می کنیم:
آماده. در مثال در نظر گرفته شده، مهم است که در علائم گیج نشوید. به هر حال، سعی کنید آن را با استفاده از قانون حل کنید ، پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.
مثال 9
مشتق تابع را بیابید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید (پاسخ در انتهای درس).
تاکنون مواردی را بررسی کرده‌ایم که تنها یک تودرتو در یک تابع پیچیده داشتیم. در کارهای عملی، شما اغلب می توانید مشتقاتی را پیدا کنید، جایی که، مانند عروسک های تودرتو، یکی در داخل دیگری، 3 یا حتی 4-5 تابع به طور همزمان تودرتو هستند.
مثال 10
مشتق تابع را بیابید
بیایید پیوست های این تابع را درک کنیم. بیایید سعی کنیم عبارت را با استفاده از مقدار تجربی محاسبه کنیم. چگونه روی یک ماشین حساب حساب کنیم؟
ابتدا باید پیدا کنید، به این معنی که آرکسین عمیق ترین جاسازی است:
سپس این آرکسین یک باید مجذور شود:
و در نهایت، ما هفت را به توان بالا می بریم: 
یعنی در این مثال ما سه تابع مختلف و دو تعبیه داریم، در حالی که داخلی ترین تابع آرکسین و بیرونی ترین تابع تابع نمایی است.
بیایید شروع به تصمیم گیری کنیم
طبق قانون، ابتدا باید مشتق تابع خارجی را بگیرید. ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و مشتق تابع نمایی را می یابیم: تنها تفاوت این است که به جای "x" یک عبارت پیچیده داریم که اعتبار این فرمول را نفی نمی کند. بنابراین، نتیجه اعمال قانون برای افتراق یک تابع پیچیده به شرح زیر است:
تحت سکته مغزی دوباره یک تابع پیچیده داریم! اما در حال حاضر ساده تر است. به راحتی می توان تأیید کرد که تابع داخلی آرکسین است، تابع بیرونی درجه است. طبق قانون تمایز یک تابع پیچیده، ابتدا باید مشتق توان را بگیرید.
اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط داده شده است. مواردی که یک تابع پیچیده به یک یا دو متغیر بستگی دارد به تفصیل در نظر گرفته می شود. تعمیم در مورد تعداد دلخواه از متغیرها انجام می شود.
در اینجا ما مشتق فرمول های زیر را برای مشتق یک تابع پیچیده ارائه می کنیم.
اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.
اگر پس از آن
.
مشتق یک تابع مختلط از یک متغیر
اجازه دهید یک تابع از متغیر x به صورت یک تابع مختلط به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که برخی از توابع وجود دارد. تابع برای مقداری از متغیر x قابل تمایز است. تابع در مقدار متغیر قابل تفکیک است.
سپس تابع مختلط (کامپوزیت) در نقطه x قابل تمایز است و مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
(1)
.
فرمول (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:
;
.
اثبات
اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم.
;
.
در اینجا تابعی از متغیرها و , تابعی از متغیرها و وجود دارد. اما آرگومان های این توابع را حذف می کنیم تا محاسبات را به هم نریزیم.
از آنجایی که توابع و به ترتیب در نقاط x و n قابل تمایز هستند، در این نقاط مشتقاتی از این توابع وجود دارد که حدود زیر هستند:
;
.
تابع زیر را در نظر بگیرید:
.
برای یک مقدار ثابت از متغیر u، تابعی از . بدیهی است که
.
سپس
.
از آنجایی که تابع یک تابع قابل تمایز در آن نقطه است، در آن نقطه پیوسته است. از همین رو
.
سپس
.
حالا مشتق را پیدا می کنیم.
.
فرمول ثابت شده است.
نتیجه
اگر تابعی از متغیر x را بتوان به عنوان یک تابع مختلط از یک تابع مختلط نشان داد
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود
.
در اینجا، و برخی از توابع قابل تمایز وجود دارد.
برای اثبات این فرمول، مشتق را با استفاده از قانون تمایز یک تابع مختلط به ترتیب محاسبه می کنیم.
تابع پیچیده را در نظر بگیرید
.
مشتق آن
.
تابع اصلی را در نظر بگیرید
.
مشتق آن
.
مشتق یک تابع مختلط از دو متغیر
حالا اجازه دهید تابع مختلط به چندین متغیر وابسته باشد. ابتدا بیایید نگاه کنیم مورد تابع مختلط از دو متغیر.
اجازه دهید یک تابع بسته به متغیر x به صورت یک تابع مختلط از دو متغیر به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که
و توابع قابل تمایز برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابعی از دو متغیر، قابل تفکیک در نقطه، . سپس تابع مختلط در یک همسایگی مشخص از نقطه تعریف می شود و مشتقی دارد که با فرمول تعیین می شود:
(2)
.
اثبات
از آنجایی که توابع در نقطه قابل تمایز هستند، در همسایگی معینی از این نقطه تعریف می شوند، در نقطه پیوسته هستند و مشتقات آنها در نقطه وجود دارد که حدود زیر است:
;
.
اینجا
;
.
با توجه به تداوم این توابع در یک نقطه، داریم:
;
.
از آنجایی که تابع در نقطه قابل تمایز است، در همسایگی خاصی از این نقطه تعریف شده است، در این نقطه پیوسته است و افزایش آن را می توان به شکل زیر نوشت:
(3)
.
اینجا
- افزایش یک تابع زمانی که آرگومان های آن با مقادیر و .
;
- مشتقات جزئی تابع با توجه به متغیرها و .
برای مقادیر ثابت و، و توابعی از متغیرها و هستند. آنها تمایل به صفر در و:
;
.
از آن زمان و سپس
;
.
افزایش تابع:
.
:
.
بیایید (3) را جایگزین کنیم:
.
فرمول ثابت شده است.
مشتق یک تابع مختلط از چندین متغیر
نتیجه گیری فوق را می توان به راحتی به مواردی تعمیم داد که تعداد متغیرهای یک تابع مختلط بیش از دو باشد.
برای مثال، اگر f باشد تابع سه متغیر، آن
,
جایی که
و توابع متمایزپذیر برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابع متمایز از سه متغیر در نقطه , , .
سپس از تعریف تمایز پذیری تابع، داریم:
(4)
.
زیرا به دلیل تداوم،
;
;
,
که
;
;
.
با تقسیم (4) بر و عبور از حد، به دست می آوریم:
.
و در نهایت بیایید در نظر بگیریم کلی ترین مورد.
اجازه دهید یک تابع از متغیر x به عنوان یک تابع مختلط از n متغیر به شکل زیر نمایش داده شود:
,
جایی که
توابع قابل تمایز برای مقداری از متغیر x وجود دارد.
- تابع متمایزپذیر n متغیر در یک نقطه
,
,
... , .
سپس
.
