اعداد با درجات مختلف را اضافه کنید. معادلات و نابرابری های نمایی. درجه و خواص آن سطح متوسط
اگر می‌خواهید عدد خاصی را به یک پاور افزایش دهید، می‌توانید از . اکنون نگاهی دقیق تر خواهیم داشت خواص درجه.
اعداد نماییاحتمالات بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع کردن بسیار آسان تر از ضرب است.
برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. یعنی 16 در 64 = 4x4x4x4x4 که آن هم برابر با 1024 است.
عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.
حالا بیایید از قانون استفاده کنیم. 16=4 2 یا 2 4، 64=4 3 یا 2 6، همزمان 1024=6 4 =4 5 یا 2 10.
بنابراین، مشکل ما می تواند متفاوت نوشته شود: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.
ما می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان ها به کاهش می یابد افزودن نماها، یا نمایی البته به شرطی که مبانی عوامل برابر باشند.
بنابراین، بدون انجام ضرب، می توانیم بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
این قانون هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8 = 4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:
a m x a n =a m+n، a m: a n =a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.
در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که اینطور است ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 یعنی 2 3 و 2 4 به این شکل کار سختی نیست، اما چگونه با اعداد 7 و 17 این کار را انجام دهیم؟ یا در مواردی که یک عدد را می توان به صورت نمایی نمایش داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8x9 2 3 x 3 2 است، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 پاسخ هستند و نه پاسخ در فاصله بین این دو عدد نهفته است.
بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.
مقالات علوم و ریاضیات
خواص قوا با مبانی یکسان
سه ویژگی درجه با پایه و توان طبیعی یکسان وجود دارد. این
مراقب باش! قوانین مربوط به جمع و تفریقدرجه با همان پایه ها وجود ندارد.
اجازه دهید این قواعد خواص را در قالب فرمول بنویسیم:
حال بیایید با استفاده از مثال های خاص به آنها نگاه کنیم و سعی کنیم آنها را ثابت کنیم.
5 2 × 5 3 = 5 5 - در اینجا ما قانون را اعمال کردیم. حالا بیایید تصور کنیم اگر قوانین را نمی دانستیم چگونه این مثال را حل می کنیم:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - مربع پنج برابر پنج برابر پنج است و مکعب حاصل ضرب سه پنج است. نتیجه حاصلضرب پنج پنج است، اما این چیزی غیر از پنج به توان پنجم است: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9-5 = 3 4. بیایید تقسیم را به صورت کسری بنویسیم:
می توان آن را کوتاه کرد: 
در نتیجه دریافت می کنیم: 
بنابراین، ما ثابت کردیم که هنگام تقسیم دو توان با پایه های یکسان، توان آنها باید کم شود.
با این حال، هنگام تقسیم، مقسوم علیه نمی تواند برابر با صفر باشد (زیرا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). علاوه بر این، از آنجایی که ما درجه ها را فقط با توان های طبیعی در نظر می گیریم، در نتیجه تفریق توان ها نمی توانیم عددی کمتر از 1 به دست آوریم. بنابراین، محدودیت هایی بر فرمول a m ÷ a n = a m–n اعمال می شود: a ≠ 0 و m > n
بریم سراغ خاصیت سوم:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8
بیایید آن را به شکل گسترده بنویسیم:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
با استدلال منطقی می توانید به این نتیجه برسید. باید دو را در چهار برابر ضرب کنید. اما در هر مربع دو دو وجود دارد، یعنی در مجموع هشت دوتایی خواهد بود.
Scienceland.info
خواص مدرک
یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. قدرت های دارای توان های گویا و ویژگی های آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.
توانی با توان طبیعی دارای چندین ویژگی مهم است که به ما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با توان ها ساده کنیم.
ملک شماره 1
محصول قدرت ها
هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها اضافه می شوند.
a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.
این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
لطفا توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط در مورد ضرب توان با پایه های یکسان صحبت می کردیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.
شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
شمارش (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243
ملک شماره 2
درجات جزئی
هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4
پاسخ: t = 3 4 = 81
با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.
- مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5
مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.
شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.
ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت
هنگامی که یک درجه را به یک توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها ضرب می شوند.
(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.
توجه داشته باشید که خاصیت شماره 4 نیز مانند سایر خصوصیات درجات به صورت معکوس اعمال می شود.
(a n · b n) = (a · b) n
یعنی برای ضرب توان ها با توان های یکسان می توان پایه ها را ضرب کرد اما توان را بدون تغییر رها کرد.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
در مثال های پیچیده تر، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که ضرب و تقسیم باید روی توان هایی با پایه های مختلف و توان های مختلف انجام شود. در این مورد به شما توصیه می کنیم موارد زیر را انجام دهید.
به عنوان مثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
نمونه ای از افزایش اعشار به توان.
4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (0.25-)) 20 = 4 (1-) 20 = 4 1 = 4
خواص 5
توان یک ضریب (کسری)
برای بالا بردن یک ضریب به توان، می توانید تقسیم سود و مقسوم علیه را به طور جداگانه به این توان افزایش دهید و نتیجه اول را بر دومی تقسیم کنید.
(a: b) n = a n: b n، که در آن "a"، "b" هر اعداد گویا هستند، b ≠ 0، n - هر عدد طبیعی.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد با جزئیات بیشتر به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.
ضرب و تقسیم اعداد با توان
اگر نیاز دارید عدد خاصی را به توان برسانید، می توانید از جدول توان های اعداد طبیعی از 2 تا 25 در جبر استفاده کنید. اکنون نگاهی دقیق تر خواهیم داشت خواص درجه.
اعداد نماییاحتمالات بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع کردن بسیار آسان تر از ضرب است. 
برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. یعنی 16 در 64 = 4x4x4x4x4 که آن هم برابر با 1024 است.
عدد 16 را نیز می توان به صورت 2x2x2x2 و 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.
اکنون از قانون برای افزایش یک عدد به توان استفاده می کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در همان زمان 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.
بنابراین، مشکل ما می تواند متفاوت نوشته شود: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.
ما می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان ها به کاهش می یابد افزودن نماها، یا نمایی البته به شرطی که مبانی عوامل برابر باشند.
بنابراین، بدون انجام ضرب، می توانیم بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
این قانون هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8 = 4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:
a m x a n =a m+n، a m: a n =a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.
در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که اینطور است ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 یعنی 2 3 و 2 4 به این شکل کار سختی نیست، اما چگونه با اعداد 7 و 17 این کار را انجام دهیم؟ یا در مواردی که یک عدد را می توان به صورت نمایی نمایش داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8x9 2 3 x 3 2 است، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 پاسخ هستند و نه پاسخ در فاصله بین این دو عدد نهفته است.
بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.
تا به حال، ما معتقد بودیم که توان تعداد عوامل یکسان است. در این حالت حداقل مقدار توان 2 است. اما اگر عمل تقسیم اعداد یا تفریق نماها را انجام دهیم، می توانیم عددی کمتر از 2 را نیز بدست آوریم که به این معنی است که تعریف قبلی دیگر نمی تواند برای ما مناسب باشد. ادامه مطلب را در مقاله بعدی بخوانید.
جمع، تفریق، ضرب و تقسیم قوا
جمع و تفریق توان ها
بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.
بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.
شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.
بنابراین، مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.
همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.
اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.
بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.
بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.
مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.
منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.
یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
ضرب قدرت
اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم، با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب، ضرب کرد.
بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.
یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.
با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با میزاندرجات اصطلاحات
بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.
بنابراین، a n .a m = a m+n.
برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.
و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.
از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.
بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.
یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.
1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی
حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.
اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.
بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
تقسیم درجات
اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.
بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.
نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر
هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..
بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.
و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.
یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.
نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان
1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.
2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.
3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .
4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.
6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.
7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.
8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک
درجه و خواص آن سطح متوسط.
آیا می خواهید قدرت خود را محک بزنید و از میزان آمادگی خود برای آزمون یکپارچه دولتی یا آزمون دولتی یکپارچه مطلع شوید؟
درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که: 
درجه با توان عدد صحیح
درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).
قدرت با توان منطقی
درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.
درجه با توان غیرمنطقی
درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.
خواص درجات
ویژگی های درجه.
توان یک عدد چیست؟
توان یک عملیات ریاضی است درست مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم.
اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.
بیایید با اضافه شروع کنیم.
اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما قبلاً همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کسی دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.
حالا ضرب.
مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.
بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…
اینجا جدول ضرب است. تکرار.
و یکی دیگر زیباتر:
ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش ارائه کرده اند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.
افزایش یک عدد به توان
اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.
تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.
راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ سوال خیلی خوبیه حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.
نمونه ای از زندگی شماره 1.
بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.
یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.
به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر یک متر در یک متر کاشی دارید، به قطعات نیاز خواهید داشت. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت خود" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().
آیا توجه کرده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد است، بالا بردن آنها به توان بسیار آسان تر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.
مثال زندگی واقعی شماره 2.
در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: با استفاده از مربع یک عدد، تعداد مربع های یک صفحه شطرنج را بشمارید. در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که یک صفحه شطرنج یک مربع با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. شما سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟
مثال زندگی واقعی شماره 3.
حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است و سعی کنید تعداد مکعب هایی را که یک متر در متر اندازه گیری می کنند، بشمارید. در استخر شما قرار بگیرد
فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟
حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، کاری را که زمانی با انگشت خود می شمردید، در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .
تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.
خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد حیله گر و ترک اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.
مثال زندگی واقعی شماره 4.
شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک رقابت دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را به دست می‌آورد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟
مثال زندگی واقعی شماره 5.
شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که به دست می آورید، دو نفر دیگر درآمد کسب می کنید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.
اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.
اصطلاحات و مفاهیم.
بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و به راحتی قابل یادآوری است...
خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.
در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.
خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر... یک درجه با پایه ” ” و توان ” ” به درجه خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:
"قدرت یک عدد با توان طبیعی"
احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که در شمارش در فهرست اشیاء به کار می روند: یک، دو، سه... وقتی اجسام را می شماریم، نمی گوییم: «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت». همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟
اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و عدد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شدند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.
همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟
اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، این یک کسر اعشاری نامتناهی است. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.
درجه با شاخص طبیعی
اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).
- هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
- مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
- مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:
تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی به این معنی است که عدد را در خودش ضرب کنیم:
درس با موضوع: "قوانین ضرب و تقسیم توان ها با توان های یکسان و متفاوت. مثال ها"
مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.
وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس هفتم
راهنمای کتاب درسی Yu.N. کتابچه راهنمای Makarycheva برای کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ
هدف درس: یادگیری انجام عملیات با قدرت اعداد.
ابتدا بیایید مفهوم "قدرت عدد" را به یاد بیاوریم. عبارتی از شکل $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ را می توان به صورت $a^n$ نشان داد.
عکس آن نیز صادق است: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
این برابری "ثبت درجه به عنوان یک محصول" نامیده می شود. این به ما کمک می کند تا تعیین کنیم که چگونه توان ها را ضرب و تقسیم کنیم.
یاد آوردن:
آ- مبنای مدرک تحصیلی
n- توان
اگر n=1، که به معنی عدد است آیک بار گرفت و بر این اساس: $a^n= 1$.
اگر n=0، سپس $a^0= 1$.
وقتی با قواعد ضرب و تقسیم قوا آشنا شویم می توانیم علت این اتفاق را دریابیم.
قوانین ضرب
الف) اگر توان های با پایه یکسان ضرب شوند.برای بدست آوردن $a^n * a^m$، درجات را به صورت حاصل ضرب می نویسیم: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
شکل نشان می دهد که تعداد آگرفته اند n+mبار، سپس $a^n * a^m = a^(n + m)$.
مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
استفاده از این ویژگی برای ساده کردن کار هنگام بالا بردن یک عدد به توان بالاتر راحت است.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
ب) اگر توان هایی با پایه های مختلف اما توان یکسان ضرب شوند.
برای به دست آوردن $a^n * b^n$، درجه ها را به عنوان یک حاصل می نویسیم: $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace(b * b * \ldots * b) _(m )$.
اگر فاکتورها را عوض کنیم و جفت های حاصل را بشماریم، به دست می آید: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
بنابراین $a^n * b^n= (a * b)^n$.
مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
قوانین بخش
الف) مبنای مدرک یکسان است، شاخص ها متفاوت است.تقسیم توان با نما بزرگتر را با تقسیم توان با توان کوچکتر در نظر بگیرید.
بنابراین، ما نیاز داریم $\frac(a^n)(a^m)$، جایی که n>m.
بیایید درجات را به صورت کسری بنویسیم:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
برای راحتی، تقسیم را به صورت کسری ساده می نویسیم.حالا بیایید کسر را کاهش دهیم.
معلوم می شود: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
به معنای، $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
این ویژگی به توضیح وضعیت افزایش یک عدد به توان صفر کمک می کند. بیایید این را فرض کنیم n=m، سپس $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
مثال ها.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
ب) مبانی درجه متفاوت است، شاخص ها یکسان است.
فرض کنید $\frac(a^n)(b^n)$ ضروری است. بیایید توان اعداد را به صورت کسری بنویسیم:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b)_(n))$.
برای راحتی، بیایید تصور کنیم.
با استفاده از خاصیت کسرها، کسر بزرگ را به حاصل ضرب کسرهای کوچک تقسیم می کنیم، به دست می آوریم.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b))_(n)$.
بر این اساس: $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
مثال.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.
سطح اول
درجه و خواص آن راهنمای جامع (2019)
چرا مدرک لازم است؟ کجا به آنها نیاز خواهید داشت؟ چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟
برای یادگیری همه چیز در مورد مدارک تحصیلی، موارد مورد نیاز آنها و نحوه استفاده از دانش خود در زندگی روزمره، این مقاله را بخوانید.
و البته، دانش مدارک شما را به گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه یا آزمون دولتی واحد و ورود به دانشگاه رویاهایتان نزدیک می کند.
بیا بریم... (بریم!)
یادداشت مهم! اگر به جای فرمول ها gobbledygook را می بینید، حافظه پنهان خود را پاک کنید. برای انجام این کار، CTRL+F5 (در ویندوز) یا Cmd+R (در مک) را فشار دهید.
سطح اول
توان یک عملیات ریاضی است درست مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم.
اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.
بیایید با اضافه شروع کنیم.
اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما قبلاً همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کسی دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.
حالا ضرب.
مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.
بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…
اینجا جدول ضرب است. تکرار.
و یکی دیگر زیباتر:
ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش ارائه کرده اند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.
افزایش یک عدد به توان
اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.
تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.
راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ سوال خیلی خوبیه حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.
مثال زندگی واقعی شماره 1
بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.
یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.
به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر یک متر در یک متر کاشی دارید، به قطعات نیاز خواهید داشت. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت خود" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().
آیا توجه کرده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد است، بالا بردن آنها به توان بسیار آسان تر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.
مثال زندگی واقعی شماره 2
در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: تعداد مربع های روی صفحه شطرنج را با استفاده از مربع عدد بشمارید... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که یک صفحه شطرنج یک مربع با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. شما سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟
مثال زندگی واقعی شماره 3
حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است و سعی کنید تعداد مکعب هایی را که یک متر در متر اندازه گیری می کنند، بشمارید. در استخر شما قرار بگیرد
فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟
حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، کاری را که زمانی با انگشت خود می شمردید، در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .
تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.
خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد حیله گر و ترک اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.
مثال زندگی واقعی شماره 4
شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک رقابت دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را به دست می‌آورد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟
مثال زندگی واقعی شماره 5
شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که به دست می آورید، دو نفر دیگر درآمد کسب می کنید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.
اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.
اصطلاحات و مفاهیم ... تا دچار سردرگمی نشوید
بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و به راحتی قابل یادآوری است...
خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.
در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.
خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر... یک درجه با پایه ” ” و توان ” ” به درجه خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:
توان یک عدد با توان طبیعی
احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که در شمارش در فهرست اشیاء به کار می روند: یک، دو، سه... وقتی اجسام را می شماریم، نمی گوییم: «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت». همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟
اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و عدد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شدند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.
همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟
اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، این یک کسر اعشاری نامتناهی است. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.
خلاصه:
اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).
- هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
- مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
- مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:
تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی به معنای ضرب کردن عدد در خودش است:
.
خواص درجات
این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم
بیایید ببینیم: چیست؟ و ?
الف مقدماتی:
در کل چند ضریب وجود دارد؟
خیلی ساده است: ما ضریب هایی را به فاکتورها اضافه کردیم و نتیجه چند برابر است.
اما طبق تعریف، این توان یک عدد با توان است، یعنی: که باید ثابت شود.
مثال: بیان را ساده کنید.
راه حل:
مثال:بیان را ساده کنید.
راه حل:توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد!
بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:
فقط برای محصول قدرت ها!
تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.
2. همین توان یک عدد
درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:
معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:
در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:
بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟
اما بالاخره این درست نیست.
قدرت با پایه منفی
تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که توان چه چیزی باید باشد.
اما مبنای چه چیزی باید باشد؟
در اختیارات شاخص طبیعیاساس ممکن است هر عددی. در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج.
بیایید فکر کنیم که کدام علامت ("" یا "") دارای قدرت اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟
مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ? با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.
اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در آن ضرب کنیم کار می کند.
خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
توانستی مدیریت کنی؟
در اینجا پاسخ ها آمده است: در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.
خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).
مثال 6) دیگر چندان ساده نیست!
6 مثال برای تمرین
تجزیه و تحلیل راه حل 6 مثال
اگر قدرت هشتم را نادیده بگیریم، در اینجا چه می بینیم؟ برنامه کلاس هفتم را به یاد بیاوریم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی اختلاف مربع ها! ما گرفتیم:
بیایید با دقت به مخرج نگاه کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، این قانون می تواند اعمال شود.
اما چگونه این کار را انجام دهیم؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.
به طور جادویی این اصطلاحات جای خود را تغییر دادند. این "پدیده" برای هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما به راحتی می توانیم علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم.
اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم به طور همزمان تغییر می کنند!
بیایید به مثال برگردیم:
و دوباره فرمول:
کلما اعداد طبیعی، متضاد آنها (یعنی گرفته شده با علامت " ") و عدد را می نامیم.
عدد صحیح مثبت، و هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد، پس همه چیز دقیقاً مانند بخش قبل به نظر می رسد.
حال بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک اندیکاتور برابر شروع کنیم.
هر عدد به توان صفر برابر با یک است:
مثل همیشه از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟
بیایید مدرکی را با پایه در نظر بگیریم. برای مثال در نظر بگیرید و در آن ضرب کنید:
بنابراین، ما عدد را در ضرب کردیم، و همان چیزی را به دست آوردیم که بود - . در چه عددی باید ضرب کرد تا چیزی تغییر نکند؟ درست است، در به معنای.
ما می توانیم همین کار را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:
بیایید این قانون را تکرار کنیم:
هر عددی به توان صفر برابر با یک است.
اما برای بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز آنجاست - این یک عدد است (به عنوان پایه).
از یک طرف، باید با هر درجه ای برابر باشد - مهم نیست که چقدر صفر را در خودش ضرب کنید، باز هم صفر خواهید شد، این واضح است. اما از طرف دیگر مانند هر عددی به توان صفر باید برابر باشد. پس چقدر از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که درگیر نشوند و از رساندن صفر به توان صفر خودداری کردند. یعنی اکنون نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم، بلکه آن را به توان صفر نیز برسانیم.
بیایید ادامه دهیم. اعداد صحیح علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی شامل اعداد منفی نیز می شوند. برای اینکه بفهمیم یک توان منفی چیست، بیایید مانند دفعه قبل عمل کنیم: یک عدد معمولی را در همان عدد به توان منفی ضرب کنیم:
از اینجا به راحتی می توان آنچه را که به دنبال آن هستید بیان کرد:
حال اجازه دهید قانون حاصل را به یک درجه دلخواه گسترش دهیم:
بنابراین، بیایید یک قانون تنظیم کنیم:
عددی با توان منفی، متقابل همان عدد با توان مثبت است. اما در عین حال پایه نمی تواند null باشد:(چون شما نمی توانید تقسیم بر).
بیایید خلاصه کنیم:
I. عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.
II. هر عددی به توان صفر برابر است با یک: .
III. عددی که برابر صفر با توان منفی نیست، معکوس همان عدد با توان مثبت است: .
وظایف برای راه حل مستقل:
خوب، طبق معمول، نمونه هایی برای راه حل های مستقل:
تجزیه و تحلیل مسائل برای حل مستقل:
می دانم، می دانم، اعداد ترسناک هستند، اما در آزمون یکپارچه دولتی باید برای هر چیزی آماده باشید! اگر نتوانستید این مثال ها را حل کنید یا راه حل های آنها را تجزیه و تحلیل کنید و یاد می گیرید که در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!
اجازه دهید به گسترش دامنه اعداد "مناسب" به عنوان یک توان ادامه دهیم.
حالا بیایید در نظر بگیریم اعداد گویا.به چه اعدادی گویا می گویند؟
پاسخ: هر چیزی که می تواند به عنوان یک کسری نشان داده شود، جایی که و اعداد صحیح هستند، و.
تا بفهمی چیه "درجه کسری"، کسری را در نظر بگیرید:
بیایید هر دو طرف معادله را به توان برسانیم:
حالا بیایید قانون مربوط به آن را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":
برای بدست آوردن چه عددی باید به توان افزایش داد؟
این فرمول تعریف ریشه درجه هفتم است.
یادآوری می‌کنم: ریشه توان دهم یک عدد () عددی است که وقتی به توان بالا می‌رود، برابر است.
یعنی ریشه توان th عمل معکوس افزایش به توان است: .
معلوم می شود که. بدیهی است که این مورد خاص قابل گسترش است: .
اکنون صورت را اضافه می کنیم: چیست؟ با استفاده از قانون قدرت به قدرت می توان پاسخ را آسان کرد:
اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ از این گذشته ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.
هیچ یک!
بیایید این قانون را به خاطر بسپاریم: هر عددی که به توان زوج افزایش یابد یک عدد مثبت است. یعنی از اعداد منفی نمی توان حتی ریشه را استخراج کرد!
این بدان معنی است که چنین اعدادی را نمی توان به توان کسری با مخرج زوج رساند، یعنی عبارت معنی ندارد.
در مورد بیان چطور؟
اما اینجا یک مشکل پیش می آید.
یک عدد را می توان به عنوان کسرهای دیگر تقلیل پذیر، به عنوان مثال، یا.
و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از یک عدد هستند.
یا مثال دیگری: یک بار، سپس می توانید آن را یادداشت کنید. اما اگر اندیکاتور را طور دیگری بنویسیم، دوباره به مشکل می خوریم: (یعنی نتیجه کاملاً متفاوتی گرفتیم!).
برای جلوگیری از چنین پارادوکس هایی، در نظر می گیریم فقط نما پایه مثبت با توان کسری.
بنابراین اگر:
- - عدد طبیعی؛
- - عدد صحیح؛
مثال ها:
نماهای گویا برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید هستند، به عنوان مثال:
5 مثال برای تمرین
تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش
خب، حالا سخت ترین قسمت فرا می رسد. حالا ما آن را کشف خواهیم کرد درجه با توان غیر منطقی.
تمام قواعد و خصوصیات درجات در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای
از این گذشته، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی‌توان آنها را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).
هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم.
برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود.
...عدد به توان صفر- این همان طور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی آنها هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط یک "عدد خالی" معین است. ، یعنی یک عدد؛
...درجه عدد صحیح منفی- انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.
به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست.
اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم، شما فرصت درک این مفاهیم جدید را در موسسه خواهید داشت.
جایی که ما مطمئن هستیم که خواهی رفت! (اگر حل چنین مثال هایی را یاد بگیرید :))
مثلا:
خودتان تصمیم بگیرید:
تجزیه و تحلیل راه حل ها:
1. بیایید با قانون معمول برای بالا بردن یک قدرت به یک قدرت شروع کنیم:
حالا به نشانگر نگاه کنید. او چیزی را به شما یادآوری نمی کند؟ بیایید فرمول ضرب اختصاری اختلاف مربع ها را به یاد بیاوریم:
در این مورد،
معلوم می شود که:
پاسخ: .
2. ما کسری در توان را به یک شکل کاهش می دهیم: هر دو اعشار یا هر دو اعشار معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم:
جواب: 16
3. چیز خاصی نیست، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:
سطح پیشرفته
تعیین مدرک تحصیلی
درجه عبارتی از شکل: , که در آن:
- — پایه درجه؛
- - توان
درجه با شاخص طبیعی (n = 1، 2، 3،...)
افزایش یک عدد به توان طبیعی n یعنی ضرب عدد در خودش:
درجه با توان عدد صحیح (0, ±1, ±2,...)
اگر توان است عدد صحیح مثبتعدد:
ساخت و ساز به درجه صفر:
عبارت نامشخص است، زیرا از یک سو به هر درجه ای این است و از سوی دیگر هر عددی به درجه هفتم این است.
اگر توان است عدد صحیح منفیعدد:
(چون شما نمی توانید تقسیم بر).
بار دیگر در مورد صفر: عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.
مثال ها:
قدرت با توان منطقی
- - عدد طبیعی؛
- - عدد صحیح؛
مثال ها:
خواص درجات
برای آسانتر کردن حل مشکلات، بیایید سعی کنیم بفهمیم: این ویژگی‌ها از کجا آمده‌اند؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.
بیایید ببینیم: چیست و؟
الف مقدماتی:
بنابراین، در سمت راست این عبارت، محصول زیر را دریافت می کنیم:
اما طبق تعریف، توان یک عدد با توان است، یعنی:
Q.E.D.
مثال : بیان را ساده کنید.
راه حل : .
مثال : بیان را ساده کنید.
راه حل : توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:
نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول قدرت!
تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.
درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:
بیایید این کار را به صورت زیر دسته بندی کنیم:
معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:
در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید: !
بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.
قدرت با پایه منفی.
تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که چگونه باید باشد فهرست مطالبدرجه. اما مبنای چه چیزی باید باشد؟ در اختیارات طبیعی نشانگر اساس ممکن است هر عددی .
در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج. بیایید فکر کنیم که کدام علامت ("" یا "") دارای قدرت اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟
مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ?
با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.
اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در (() ضرب کنیم به - .
و به همین ترتیب ad infinitum: با هر ضرب بعدی علامت تغییر می کند. قوانین ساده زیر را می توان فرموله کرد:
- زوجدرجه، - شماره مثبت.
- عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
- عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
- صفر به هر توانی برابر با صفر است.
خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها آمده است:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.
در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).
مثال 6) دیگر چندان ساده نیست. در اینجا باید دریابید که کدام کمتر است: یا؟ اگر آن را به خاطر بسپاریم، مشخص می شود که یعنی پایه کمتر از صفر است. یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.
و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:
همه چیز طبق معمول است - ما تعریف درجه ها را می نویسیم و آنها را بر یکدیگر تقسیم می کنیم، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و به دست می آوریم:
قبل از اینکه به قانون آخر نگاه کنیم، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.
عبارات را محاسبه کنید:
راه حل ها :
اگر قدرت هشتم را نادیده بگیریم، در اینجا چه می بینیم؟ برنامه کلاس هفتم را به یاد بیاوریم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی اختلاف مربع ها!
ما گرفتیم:
بیایید با دقت به مخرج نگاه کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، قانون 3 می تواند اعمال شود، اما چگونه؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.
اگر آن را در ضرب کنید، چیزی تغییر نمی کند، درست است؟ اما الان اینطور معلوم میشه:
به طور جادویی این اصطلاحات جای خود را تغییر دادند. این "پدیده" برای هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما به راحتی می توانیم علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم. اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه نشانه ها در یک زمان تغییر می کنند!شما نمی توانید آن را با تغییر تنها یک نقطه ضعف که ما دوست نداریم جایگزین کنید!
بیایید به مثال برگردیم:
و دوباره فرمول:
خب حالا آخرین قانون:
چگونه آن را ثابت خواهیم کرد؟ البته، طبق معمول: بیایید مفهوم مدرک را گسترش دهیم و آن را ساده کنیم:
خب حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم. در کل چند حرف وجود دارد؟ بار توسط ضرب - این شما را به یاد چه چیزی می اندازد؟ این چیزی بیش از تعریف یک عملیات نیست ضرب: اونجا فقط ضریب وجود داشت. یعنی این طبق تعریف، توان یک عدد با توان است:
مثال:
درجه با توان غیرمنطقی
علاوه بر اطلاعات در مورد درجه برای سطح متوسط، درجه را با یک توان غیر منطقی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تمام قواعد و ویژگی های درجه ها در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای - در نهایت، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی ، اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).
هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم. برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود. یک عدد به توان صفر، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب می شود، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط مشخص است. «عدد خالی»، یعنی یک عدد؛ یک درجه با توان منفی عدد صحیح - انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.
تصور یک درجه با توان غیرمنطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). این یک شیء صرفاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کردند.
به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم، شما فرصت درک این مفاهیم جدید را در موسسه خواهید داشت.
پس اگر یک توان غیرمنطقی ببینیم چه کنیم؟ ما تمام تلاش خود را می کنیم تا از شر آن خلاص شویم!
مثلا:
خودتان تصمیم بگیرید:
| 1) | 2) | 3) |
پاسخ ها:
- بیایید تفاوت فرمول مربع ها را به خاطر بسپاریم. پاسخ: .
- کسرها را به یک شکل کاهش می دهیم: هر دو اعشاری یا هر دو معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم: .
- چیز خاصی نیست، ما از خواص معمول درجه ها استفاده می کنیم:
خلاصه بخش و فرمول های اساسی
درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که:
درجه با توان عدد صحیح
درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).
قدرت با توان منطقی
درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.
درجه با توان غیرمنطقی
درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.
خواص درجات
ویژگی های درجه.
- عدد منفی به زوجدرجه، - شماره مثبت.
- عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
- عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
- صفر برابر هر توانی است.
- هر عددی به توان صفر برابر است.
حالا شما کلمه را دارید ...
مقاله را چگونه دوست دارید؟ در زیر در نظرات بنویسید که آیا آن را دوست داشتید یا نه.
در مورد تجربه خود در استفاده از ویژگی های درجه به ما بگویید.
شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات.
در نظرات بنویسید.
و در امتحانات موفق باشید!
جمع و تفریق توان ها
بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.
بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.
شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.
بنابراین، مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.
همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.
اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.
بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.
بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.
مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.
منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.
یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
ضرب قدرت
اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم، با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب، ضرب کرد.
بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.
یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.
با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با میزاندرجات اصطلاحات
بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
در اینجا 5 توان حاصل ضرب است که برابر است با 2 + 3، مجموع توان های عبارت ها.
بنابراین، a n .a m = a m+n.
برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.
و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.
از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.
بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.
یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.
1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n.
اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی
حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.
اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.
بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
تقسیم درجات
اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.
بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.
نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر
هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..
بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac = y$.
و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.
یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.
نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان
1. نماها را با $\frac $ کاهش دهید پاسخ: $\frac $.
2. نماها را با $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac$ یا 2x.
3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .
4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.
6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.
7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.
8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک
خواص مدرک
یادآوری می کنیم که در این درس خواهیم فهمید خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. قدرت های دارای توان های گویا و ویژگی های آنها در درس های کلاس هشتم مورد بحث قرار خواهد گرفت.
توانی با توان طبیعی دارای چندین ویژگی مهم است که به ما امکان می دهد محاسبات را در مثال هایی با توان ها ساده کنیم.
ملک شماره 1
محصول قدرت ها
هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها اضافه می شوند.
a m · a n = a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.
این خاصیت توان ها در مورد حاصل ضرب سه توان یا بیشتر نیز صدق می کند.
- بیان را ساده کنید.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - آن را به عنوان مدرک ارائه کنید.
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - ضریب را به صورت توان بنویسید
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2 - محاسبه.
لطفا توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط در مورد ضرب توان با پایه های یکسان صحبت می کردیم. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.
شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
شمارش (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و 3 5 = 243
ملک شماره 2
درجات جزئی
هنگام تقسیم توان ها با پایه های یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت توان های ضریب استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4
پاسخ: t = 3 4 = 81
با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.
مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5
مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های نماها بیابید.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
لطفا توجه داشته باشید که در Property 2 ما فقط در مورد تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان صحبت می کردیم.
شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.
ملک شماره 3
بالا بردن درجه به یک قدرت
هنگامی که یک درجه را به یک توان می آوریم، پایه درجه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها ضرب می شوند.
(a n) m = a n · m، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.
یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد با جزئیات بیشتر به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.
چگونه توان ها را ضرب کنیم
چگونه توان ها را ضرب کنیم؟ کدام قدرت ها را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه یک عدد را در توان ضرب کنیم؟
در جبر، در دو حالت می توانید حاصل ضرب قوا را بیابید:
1) اگر درجات دارای پایه های یکسان باشند.
2) اگر درجات دارای شاخص های یکسان باشند.
هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، پایه باید یکسان باقی بماند و توان ها باید اضافه شوند:
هنگام ضرب درجات با شاخص های یکسان، شاخص کلی را می توان از پرانتز خارج کرد:
بیایید نحوه ضرب توان ها را با استفاده از مثال های خاص بررسی کنیم.
واحد در توان نوشته نمی شود، اما هنگام ضرب توان ها، آنها را در نظر می گیرند:
هنگام ضرب، هر تعداد توان می تواند وجود داشته باشد. لازم به یادآوری است که لازم نیست علامت ضرب را قبل از حرف بنویسید:
در عبارات، قدرت اول انجام می شود.
اگر نیاز دارید یک عدد را در توان ضرب کنید، ابتدا باید توان را انجام دهید و تنها پس از آن ضرب را انجام دهید:
ضرب توان با پایه های یکسان
این فیلم آموزشی با اشتراک در دسترس است
آیا از قبل اشتراک دارید؟ وارد شدن
در این درس ضرب توان ها را با پایه های مشابه مطالعه می کنیم. ابتدا، اجازه دهید تعریف درجه را یادآوری کنیم و یک قضیه در مورد اعتبار برابری فرموله کنیم . سپس مثال هایی از کاربرد آن بر روی اعداد خاص می آوریم و آن را ثابت می کنیم. ما همچنین این قضیه را برای حل مسائل مختلف اعمال خواهیم کرد.
موضوع: توان با توان طبیعی و خواص آن
درس: ضرب توان ها با پایه های یکسان (فرمول)
1. تعاریف اساسی
تعاریف اساسی:
n- توان،
— nتوان یک عدد
2. بیان قضیه 1
قضیه 1.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:
به عبارت دیگر: اگر آ- هر تعداد؛ nو کاعداد طبیعی، سپس:
بنابراین قانون 1:
3. وظایف توضیحی
نتیجه:موارد خاص صحت قضیه شماره 1 را تایید کرد. اجازه دهید آن را در حالت کلی، یعنی برای هر یک، ثابت کنیم آو هر طبیعی nو ک.
4. اثبات قضیه 1
یک عدد داده شده است آ- هر شماره nو k –طبیعی ثابت كردن:
اثبات بر اساس تعریف مدرک است.
5. حل مثال ها با استفاده از قضیه 1
مثال 1:آن را به عنوان یک مدرک در نظر بگیرید.
برای حل مثال های زیر از قضیه 1 استفاده می کنیم.
و) 
6. تعمیم قضیه 1
تعمیم مورد استفاده در اینجا:
7. حل مثال ها با استفاده از تعمیم قضیه 1
8. حل مسائل مختلف با استفاده از قضیه 1
مثال 2:محاسبه کنید (می توانید از جدول توان های اصلی استفاده کنید).
آ) 
(طبق جدول)
ب) 
مثال 3:آن را به صورت توان با پایه 2 بنویسید.
آ) 
مثال 4:علامت عدد را مشخص کنید:
، آ -منفی است، زیرا توان 13- فرد است.
مثال 5:(·) را با توان یک عدد با پایه جایگزین کنید r:
داریم، یعنی.
9. جمع بندی
1. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و دیگران جبر 7. چاپ ششم. م.: روشنگری. 2010
1. معاون مدرسه (منبع).
1. ارائه به عنوان یک قدرت:
a B C D E) 
3. با پایه 2 به صورت توان بنویسید:
4. علامت عدد را مشخص کنید:
آ) 
5. (·) را با توان یک عدد با پایه جایگزین کنید r:
a) r 4 · (·) = r 15; ب) (·) · r 5 = r 6
ضرب و تقسیم توان ها با توان های یکسان
در این درس ضرب توان ها را با توان های مساوی مطالعه می کنیم. ابتدا تعاریف و قضایای اساسی در مورد ضرب و تقسیم توان ها با مبانی یکسان و افزایش توان ها به توان ها را یادآوری می کنیم. سپس قضایای ضرب و تقسیم توان ها را با توان های یکسان تنظیم و اثبات می کنیم. و سپس با کمک آنها تعدادی از مشکلات معمولی را حل خواهیم کرد.
یادآوری تعاریف و قضایای اساسی
اینجا آ- مبنای مدرک،
— nتوان یک عدد
قضیه 1.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:
وقتی توان ها را با پایه های یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، پایه بدون تغییر باقی می ماند.
قضیه 2.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو ک،به طوری که n > کبرابری درست است:
هنگام تقسیم درجه با پایه های یکسان، توان ها کم می شوند، اما پایه بدون تغییر باقی می ماند.
قضیه 3.برای هر تعداد آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:
تمام قضایای ذکر شده در مورد توان های مشابه بودند دلایل، در این درس به درجه ها با همان نگاه می کنیم شاخص ها.
مثال هایی برای ضرب توان ها با توان های یکسان
به مثال های زیر توجه کنید:
عبارات تعیین مدرک را بنویسیم.
نتیجه:از مثال ها می توان دریافت که 
، اما این هنوز نیاز به اثبات دارد. اجازه دهید قضیه را فرمول بندی کنیم و آن را در حالت کلی، یعنی برای هر یک، ثابت کنیم آو بو هر طبیعی n
فرمول بندی و اثبات قضیه 4
برای هر عددی آو بو هر طبیعی nبرابری درست است:
اثباتقضیه 4 .
با تعریف مدرک:
پس ما این را ثابت کرده ایم .
برای ضرب توان ها با توان های یکسان، کافی است پایه ها را ضرب کنیم و توان را بدون تغییر رها کنیم.
فرمول بندی و اثبات قضیه 5
اجازه دهید یک قضیه برای تقسیم قدرت ها با توان های یکسان فرموله کنیم.
برای هر تعداد آو ب () و هر طبیعی nبرابری درست است:
اثباتقضیه 5 .
بیایید تعریف مدرک را بنویسیم:
بیان قضایا در کلمات
بنابراین، ما این را ثابت کرده ایم.
برای تقسیم توان ها با توان های یکسان به یکدیگر کافی است یک پایه را بر دیگری تقسیم کنید و توان را بدون تغییر رها کنید.
حل مسائل معمولی با استفاده از قضیه 4
مثال 1:به عنوان محصول قدرت ها ارائه شود.
برای حل مثال های زیر از قضیه 4 استفاده می کنیم.
برای حل مثال زیر، فرمول ها را به یاد بیاورید:
تعمیم قضیه 4
تعمیم قضیه 4:
حل مثال ها با استفاده از قضیه تعمیم یافته 4
ادامه حل مشکلات معمولی
مثال 2:آن را به عنوان قدرت محصول بنویسید.
مثال 3:آن را به صورت توان با توان 2 بنویسید.
مثال های محاسباتی
مثال 4:به منطقی ترین روش محاسبه کنید.
2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. جبر 7. م.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M.، Tkacheva M.V.، Fedorova N.E. و دیگران جبر 7.م.: روشنگری. 2006
2. معاون مدرسه (منبع).
1. ارائه به عنوان محصول قدرت:
آ) ؛ ب)؛ V)؛ ز)؛
2. به عنوان توان محصول بنویسید:
3. با توان 2 بنویسید:
4. به منطقی ترین روش محاسبه کنید.
درس ریاضی با موضوع ضرب و تقسیم توان ها
بخش ها:ریاضیات
هدف آموزشی:
وظایف:
واحدهای فعالیت آموزشی:تعیین درجه با یک شاخص طبیعی؛ اجزای درجه؛ تعریف خصوصی؛ قانون ترکیبی ضرب
I. برگزاری نمایشی از تسلط دانش آموزان بر دانش موجود. (مرحله 1)
الف) به روز رسانی دانش:
2) تعریف درجه را با توان طبیعی تنظیم کنید.
a n =a a a a … a (n بار)
b k =b b b b a… b (k بار) پاسخ را توجیه کنید.
II. سازماندهی خودارزیابی میزان مهارت دانش آموز در تجربه فعلی. (گام 2)
خودآزمایی: (کار انفرادی در دو نسخه.)
A1) محصول 7 7 7 7 x x x را به عنوان یک توان ارائه کنید:
A2) توان (-3) 3 x 2 را به عنوان یک محصول نشان دهید
A3) محاسبه کنید: -2 3 2 + 4 5 3
تعداد وظایف آزمون را مطابق با آمادگی سطح کلاس انتخاب می کنم.
من کلید آزمون را برای خودآزمایی به شما می دهم. ضوابط: پاس - بدون پاس.
III. کار آموزشی و عملی (مرحله 3) + مرحله 4. (خود دانش آموزان خصوصیات را فرموله می کنند)
در حین حل مسائل 1) و 2)، دانش آموزان راه حلی را پیشنهاد می کنند و من به عنوان معلم کلاس را سازماندهی می کنم تا راهی برای ساده سازی قدرت ها هنگام ضرب با پایه های یکسان پیدا کنم.
معلم: راهی برای ساده سازی قدرت ها هنگام ضرب با پایه های یکسان بیابید.
یک ورودی در خوشه ظاهر می شود:
موضوع درس تدوین شده است. ضرب قوا.
معلم: یک قانون برای تقسیم قدرت ها با پایه های یکسان ارائه کنید.
استدلال: چه عملی برای بررسی تقسیم استفاده می شود؟ a 5: a 3 = ? که a 2 a 3 = a 5
به نمودار - یک خوشه برمی گردم و به مدخل اضافه می کنم - .. هنگام تقسیم موضوع درس را کم کرده و اضافه می کنیم. ... و تقسیم درجات.
IV. اطلاع رسانی حدود دانش (حداقل و حداکثر) به دانش آموزان.
معلم: حداقل کار برای درس امروز این است که یاد بگیریم ویژگی های ضرب و تقسیم توان ها را با پایه های یکسان به کار ببریم و حداکثر کار این است که ضرب و تقسیم را با هم اعمال کنیم.
روی تابلو می نویسیم : a m a n = a m+n ; a m: a n = m-n
V. سازماندهی مطالعه مطالب جدید. (مرحله 5)
الف) طبق کتاب درسی: شماره 403 (الف، ج، هـ) تکالیف با عبارات مختلف
شماره 404 (الف، د، و) کار مستقل، سپس یک چک متقابل ترتیب می دهم، کلیدها را می دهم.
ب) برابری برای کدام مقدار m درست است؟ a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
تکلیف: مثال های مشابهی برای تقسیم بیاورید.
ج) شماره 417 (الف)، شماره 418 (الف) تله برای دانش آموزان: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2.
VI. خلاصه کردن آموخته ها، انجام کارهای تشخیصی (که دانش آموزان و نه معلم را تشویق می کند تا این موضوع را مطالعه کنند) (مرحله 6)
کار تشخیصی
تست(کلیدها را پشت خمیر قرار دهید).
گزینه های وظیفه: ضریب x 15 را به عنوان توان نشان می دهد: x 3; محصول (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 را به عنوان توان نشان می دهد. برای کدام m برابری a 16 a m = a 32 معتبر است؟ مقدار عبارت h 0 را پیدا کنید: h 2 در h = 0.2. مقدار عبارت (5 2 5 0) : 5 2 را محاسبه کنید.
خلاصه درس. انعکاس.کلاس را به دو گروه تقسیم می کنم.
آرگومان هایی را در گروه I بیابید: به نفع دانستن ویژگی های درجه، و گروه II - آرگومان هایی که می گویند بدون ویژگی ها می توانید انجام دهید. ما به همه پاسخ ها گوش می دهیم و نتیجه می گیریم. در درس‌های بعدی، می‌توانید داده‌های آماری ارائه دهید و روبریک "این دیوانه است!"
VII. مشق شب.
مرجع تاریخی به چه اعدادی اعداد فرما می گویند.
ص 19. شماره 403، شماره 408، شماره 417
کتاب های مورد استفاده:
خواص درجات، صورت‌بندی‌ها، برهان‌ها، مثال‌ها.
بعد از اینکه توان یک عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله ویژگی های اصلی توان یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، ارائه می دهیم. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه ها را ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه از این ویژگی ها هنگام حل مثال ها استفاده می شود.
پیمایش صفحه.
خواص درجات با نماهای طبیعی
با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر یک برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب اعداد حقیقی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:
- اگر a>0، آنگاه n>0 برای هر عدد طبیعی n.
- اگر a = 0، آنگاه a n = 0.
- اگر a 2·m >0 , اگر a 2·m−1 n ;
- اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m>n، آنگاه برای 0m n، و برای a>0 نابرابری a m >a n درست است.
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a n n و a −n >b −n ;
- اگر m و n اعداد صحیح باشند، و m>n، پس برای 0m n، و برای a>1 نابرابری a m >a n برقرار است.
بیایید فوراً توجه کنیم که همه برابری های نوشته شده هستند همسانبا توجه به شرایط مشخص شده، هر دو قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض هستند. به عنوان مثال، ویژگی اصلی کسری a m ·a n =a m+n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل a m+n =a m ·a n استفاده می شود.
حالا بیایید هر یک از آنها را با جزئیات بررسی کنیم.
از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.
اجازه دهید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف توانی با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان به شکل m ·a n را می توان به عنوان حاصل ضرب نوشت. 
. با توجه به ویژگی های ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت 
و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.
اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با استفاده از خاصیت پایه درجه ها می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را با محاسبه مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 بررسی کنیم. با انجام توان، 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 و 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 داریم، زیرا مقادیر مساوی به دست می آوریم، سپس برابری 2 2 · 2 3 = 2 5 صحیح است و ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند.
ویژگی اساسی یک درجه را می توان بر اساس ویژگی های ضرب به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1 , n 2 , …, n k برابری a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k درست است.
به عنوان مثال، (2،1) 3 ·(2،1) 3 ·(2،1) 4 ·(2،1) 7 = (2،1) 3+3+4+7 =(2،1) 17 .
ما می توانیم به ویژگی بعدی توان ها با یک توان طبیعی برویم - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.
قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در فرمول بندی بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، توافق کردیم که نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم. شرط m>n معرفی می شود تا از نماهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n توان m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که برای m-n ·a n =a (m-n) اتفاق می افتد. +n =a m از تساوی a m−n ·a n =a m و از ارتباط بین ضرب و تقسیم نتیجه می شود که m−n ضریبی از توان های a m و a n است همان پایه ها
بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های یکسان π و توان های طبیعی 5 و 2 در نظر بگیریم، تساوی π 5:π 2 =π 5-3 =π 3 با خاصیت در نظر گرفته شده درجه مطابقت دارد.
حالا بیایید در نظر بگیریم ویژگی قدرت محصول: توان طبیعی n حاصل ضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب توان های a n و b n یعنی (a·b) n =a n ·b n .
در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم 
. بر اساس خواص ضرب، آخرین حاصل ضرب را می توان به صورت بازنویسی کرد 
، که برابر با a n · b n است.
در اینجا یک مثال است: 
.
این ویژگی به توان حاصل ضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصلضرب k به صورت (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n نوشته می شود.
برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7 داریم .
اموال زیر است خاصیت یک ضریب در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n، یعنی (a:b) n =a n:b n.
اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n و از برابری (a:b) n ·b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریب تقسیم a n بر bn.
بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: 
.
حالا بیایید آن را صدا کنیم خاصیت بالا بردن قدرت به یک قدرت: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر است با توان عدد a با توان m·n، یعنی (a m) n =a m·n.
به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2·3 = 5 6.
اثبات ویژگی قدرت به درجه زنجیره برابری زیر است: 
.
اموال در نظر گرفته شده را می توان از درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است 
. برای وضوح بیشتر، بیایید مثالی با اعداد خاص بیاوریم: (((5،2) 3) 2) 5 =(5،2) 3+2+5 =(5،2) 10.
باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.
بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع کنیم.
ابتدا، اجازه دهید ثابت کنیم که a>0 برای هر a>0.
حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و خواص ضرب نشان می دهد که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند که ادعا کنیم برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. با توجه به خاصیت اثبات شده 3 5 > 0، (0.00201) 2 > 0 و 
.
کاملاً واضح است که برای هر عدد طبیعی n با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.
بیایید به پایه های منفی درجه برویم.
بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2·m نشان می دهیم، جایی که m یک عدد طبیعی است. سپس 
. طبق قاعده ضرب اعداد منفی، هر یک از حاصل ضرب اعداد a·a برابر با حاصلضرب قدر مطلق اعداد a و a است، یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود 
و درجه a 2·m. بیایید مثال هایی بزنیم: (-6) 4 >0 , (-2,2) 12 >0 و .
در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه 
. همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی می رسد. با توجه به این خاصیت (-5) 3 17 n n حاصلضرب سمت چپ و راست n نابرابری واقعی a است. خواص نابرابری ها، یک نابرابری قابل اثبات به شکل a n n نیز صادق است. به عنوان مثال، با توجه به این ویژگی، نابرابری های 3 7 7 و 
.
باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده توان ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. بیایید آن را فرموله کنیم. از دو توان با نماهای طبیعی و پایه های مثبت یکسان کمتر از یک، توانی که توان آن کوچکتر است بزرگتر است. و از دو توان با توان های طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، قدرتی که توان آن بزرگتر است، بزرگتر است. اجازه دهید به اثبات این خاصیت بپردازیم.
اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0m n. برای انجام این کار، تفاوت a m − a n را یادداشت کرده و آن را با صفر مقایسه می کنیم. تفاوت ثبت شده، پس از خارج کردن یک n از پرانتز، به شکل a n ·(a m−n−1) خواهد بود. حاصلضرب به عنوان حاصل ضرب عدد مثبت a n و یک عدد منفی a m−n -1 منفی است (a n به عنوان توان طبیعی یک عدد مثبت مثبت است و تفاوت a m−n-1 منفی است، زیرا m−n > 0 به دلیل شرط اولیه m>n، از این رو چنین است که وقتی 0m−n کمتر از واحد است). بنابراین، a m −a n m n، چیزی است که باید ثابت شود. به عنوان مثال، نابرابری صحیح را ارائه می دهیم.
باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1 a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1 درجه m-n بزرگتر از یک است. در نتیجه، a m −a n > 0 و a m >a n، چیزی است که باید ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.
ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح
از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای نماهای طبیعی که در پاراگراف قبل ذکر و اثبات شده است، منطبق است.
ما درجه ای را با توان منفی صحیح و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به گونه ای که تمام ویژگی های درجات با توان طبیعی، که با برابری بیان می شوند، معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که البته پایه های توان ها با صفر متفاوت است.
بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b، و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر درست است: ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:
وقتی a=0، توان های a m و a n تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.
اثبات هر یک از این ویژگی ها برای انجام این کار دشوار نیست، کافی است از تعاریف درجات با توان های طبیعی و صحیح و همچنین ویژگی های عملیات با اعداد واقعی استفاده کنید. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی power-to-power هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهید که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی است و q صفر یا یک عدد طبیعی است، پس تساوی (a p) q =a p·q، (a -p) q =a (-p) ·q، (a p) -q =a p·(-q) و (a -p) -q =a (-p)·(-q) . بیایید آن را انجام دهیم.
برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در پاراگراف قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q = 1 q = 1 و a 0·q = a 0 = 1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0·q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p·0 =a 0 =1، از آنجا (a p) 0 =a p·0. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0·0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0·0.
اکنون ثابت می کنیم که (a −p) q =a (−p)·q . پس با تعریف توانی با توان عدد صحیح منفی 
. با خاصیت ضریب به توان داریم 
. از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a −(p·q) است که به دلیل قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (−p)·q نوشت.
به همین ترتیب 
.
و 
.
با استفاده از همین اصل، می توانید تمام ویژگی های دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح که به شکل برابری نوشته شده است، اثبات کنید.
در ماقبل آخر از ویژگی‌های ثبت‌شده، ارزش آن را دارد که بر اثبات نابرابری a −n >b−n که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برقرار است، معتبر است. . اجازه دهید تفاوت بین سمت چپ و راست این نابرابری را بنویسیم و تبدیل کنیم: 
. از آنجایی که به شرط الف n n، بنابراین، b n -a n >0. حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n −a n و a n ·b n مثبت است. بنابراین، از آنجا a −n >b −n است که باید ثابت شود.
آخرین خاصیت توان های دارای توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه توان ها با توان های طبیعی ثابت می شود.
خواص قوا با شارح عقلی
ما یک درجه را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، توان هایی با توان های کسری دارای همان ویژگی های توان های با توان های اعداد صحیح هستند. برای مثال:
- خاصیت حاصل ضرب قوا با پایه های یکسان
برای a>0، و اگر و، سپس برای a≥0. - ویژگی توان های ضریب با پایه های یکسان
برای a> 0؛ - خاصیت یک محصول به توان کسری
برای a>0 و b>0، و اگر و، سپس برای a≥0 و (یا) b≥0. - خاصیت ضریب به توان کسری
برای a>0 و b>0، و اگر، آنگاه برای a≥0 و b>0. - خاصیت درجه به درجه
برای a>0، و اگر و، سپس برای a≥0. - ویژگی مقایسه توان ها با توان های گویا برابر: برای هر عدد مثبت a و b, a 0 نابرابری a p p درست است و برای p p > b p ;
- ویژگی مقایسه توان ها با توان های گویا و پایه های مساوی: برای اعداد گویا p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q.
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p p درست است و برای p p > b p ;
- برای اعداد غیر منطقی p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q.
اثبات خواص توان‌ها با توان کسری بر اساس تعریف توان با توان کسری، بر اساس ویژگی‌های ریشه حسابی درجه n و بر اساس ویژگی‌های توان با توان اعداد صحیح است. بیایید مدرک ارائه کنیم.
با تعریف توانی با توان کسری و سپس 
. ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم که از آن، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم 
، و نشانگر مدرک تحصیلی را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.
خاصیت دوم توان ها با توان های کسری به روشی کاملاً مشابه ثابت می شود: 
برابری های باقی مانده با استفاده از اصول مشابه ثابت می شوند: 
بیایید به اثبات ملک بعدی برویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a 0 نابرابری a p p درست است و برای p p > b p . بیایید عدد گویا p را m/n بنویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط p 0 در این حالت به ترتیب معادل شرایط m 0 خواهد بود. برای m>0 و am m. از این نابرابری، با خاصیت ریشه، داریم، و چون a و b اعداد مثبت هستند، پس بر اساس تعریف یک درجه با توان کسری، نابرابری حاصل را می‌توان به صورت a p p بازنویسی کرد.
به طور مشابه، برای m m >b m، از کجا، یعنی a p >b p.
باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 - نابرابری a p >a q. ما همیشه می‌توانیم اعداد گویا p و q را به یک مخرج مشترک تقلیل دهیم، حتی اگر کسرهای معمولی و را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت دارد که از قاعده مقایسه کسرهای معمولی با مخرج یکسان ناشی می شود. سپس با خاصیت مقایسه درجه ها با پایه ها و توان های طبیعی یکسان، برای 0m 1 m 2، و برای a>1، نابرابری a m 1 > a m 2. این نابرابری ها در خواص ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد 
و 
. و تعریف درجه با توان منطقی به ما امکان می دهد به سمت نابرابری ها برویم و بر این اساس. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0p q , و برای a>0 - نابرابری a p >a q .
ویژگی های قدرت ها با شارح های غیر منطقی
از نحوه تعریف درجه با توان غیرمنطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است ویژگی های قدرت ها با توان های غیر منطقی:
از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توان واقعی p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.
- جبر - پایه دهم. معادلات مثلثاتی درس و ارائه با موضوع: "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی" مطالب تکمیلی کاربران گرامی، نظرات، نقدها، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمامی مواد […]
- مسابقه ای برای موقعیت "فروشنده - مشاور" افتتاح شده است: مسئولیت ها: فروش تلفن همراه و لوازم جانبی ارتباطات سیار، خدمات مشتری برای مشترکین Beeline، Tele2، MTS، اتصال طرح ها و خدمات تعرفه Beeline و Tele2، مشاوره MTS [… ]
- فرمول متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع یک چندوجهی با 6 وجه است که هر یک متوازی الاضلاع است. مکعب یک متوازی الاضلاع است که هر وجه آن یک مستطیل است. هر موازی با 3 […]
- املای N و NN در بخش های مختلف گفتار S.G. ZELINSKAYA MATERIAL تعلیمی تمرین نظری 1. چه زمانی nn در صفت نوشته می شود؟ 2. استثناهای این قوانین را نام ببرید. 3. چگونه یک صفت لفظی با پسوند -n- را از یک مضارع با […]
- بازرسی GOSTEKHNADZOR از منطقه BRYANSK رسید پرداخت وظیفه دولتی (دانلود-12.2 kb) درخواست برای ثبت نام برای اشخاص حقیقی (دانلود-12 kb) درخواست برای ثبت نام برای اشخاص حقوقی (دانلود-11.4 kb) 1. هنگام ثبت نام خودروی جدید 1. درخواست 2. پاسپورت […]
- انجمن حمایت از حقوق مصرف کننده آستانه به منظور دریافت پین کد دسترسی به این سند در وب سایت ما، یک پیام کوتاه با متن zan به شماره مشترکین اپراتورهای GSM (Activ، Kcell، Beeline، NEO، Tele2) ارسال کنید. ارسال پیامک به شماره […]
- تصویب قانون در مورد املاک خانوادگی تصویب یک قانون فدرال در مورد تخصیص بلاعوض یک قطعه زمین به هر یک از شهروندان مایل فدراسیون روسیه یا خانواده شهروندان برای توسعه یک املاک خانوادگی در آن در شرایط زیر: 1. این قطعه اختصاص داده شده برای […]
- Pivoev V.M. فلسفه و روش شناسی علم: کتاب درسی برای کارشناسی ارشد و دانشجویان تحصیلات تکمیلی Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 pp. اجتماعی و […]
