چگونه x1 x2 را در یک معادله درجه دوم پیدا کنیم. ریشه یک معادله چیست؟ معادلات درجه دوم ناقص

با این برنامه ریاضی می توانید حل معادله درجه دوم.

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند حل را به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تمایز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).

علاوه بر این، پاسخ به صورت دقیق و نه تقریبی نمایش داده می شود.
به عنوان مثال، برای معادله \(81x^2-16x-1=0\) پاسخ به شکل زیر نمایش داده می شود:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ و نه مانند این: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در مدارس آموزش عمومی هنگام آماده شدن برای آزمون ها و امتحانات، هنگام تست دانش قبل از آزمون یکپارچه دولتی و برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش یابد.

اگر با قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم آشنایی ندارید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسری را می توان نه تنها به صورت اعشاری، بلکه در قالب یک کسری معمولی نیز وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
به عنوان مثال، می توانید کسرهای اعشاری را مانند این وارد کنید: 2.5x - 3.5x^2

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل قسمت با علامت آمپر از کسری جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

هنگام وارد کردن یک عبارت می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل یک معادله درجه دوم، ابتدا عبارت معرفی شده ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

تصميم گرفتن

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را رفرش کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

معادله درجه دوم و ریشه های آن. معادلات درجه دوم ناقص

هر یک از معادلات
\(-x^2+6x+1.4=0، \quad 8x^2-7x=0، \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
به نظر می رسد
\(ax^2+bx+c=0، \)
جایی که x یک متغیر است، a، b و c اعداد هستند.
در رابطه اول a = -1، b = 6 و c = 1.4، در رابطه دوم a = 8، b = -7 و c = 0، در رابطه سوم a = 1، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادلات درجه دوم.

تعریف.
معادله درجه دوممعادله ای به شکل ax 2 +bx+c=0 نامیده می شود که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد هستند و \(a \neq 0 \).

اعداد a، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a را ضریب اول، عدد b ضریب دوم و عدد c عبارت آزاد نامیده می شود.

در هر یک از معادلات شکل ax 2 +bx+c=0 که \(a\neq 0\) بزرگترین توان متغیر x یک مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.

توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای درجه دوم است.

معادله درجه دومی که در آن ضریب x 2 برابر با 1 باشد نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. به عنوان مثال، معادلات درجه دوم داده شده، معادلات هستند
\(x^2-11x+30=0، \quad x^2-6x=0، \quad x^2-8=0 \)

اگر در یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر با صفر باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. معادله درجه دوم ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولی b=0، در دومی c=0، در سومی b=0 و c=0.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:
1) ax 2 +c=0، که در آن \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0، که در آن \(b \neq 0 \);
3) تبر 2 = 0.

بیایید حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیریم.

برای حل یک معادله ناقص درجه دوم از شکل ax 2 +c=0 برای \(c \neq 0 \(c\neq 0\)، جمله آزاد آن را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \راست فلش x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

از آنجایی که \(c \neq 0 \)، سپس \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

اگر \(-\frac(c)(a)>0\)، معادله دو ریشه دارد.

اگر \(-\frac(c)(a) برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +bx=0 با \(b \neq 0 \) سمت چپ آن را عامل کنید و معادله را بدست آورید.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (آرایه)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(آرایه) \راست.

این بدان معنی است که یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.

یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است و بنابراین دارای یک ریشه 0 است.

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

حال بیایید نحوه حل معادلات درجه دوم را در نظر بگیریم که در آن هر دو ضرایب مجهولات و جمله آزاد غیر صفر هستند.

اجازه دهید معادله درجه دوم را به صورت کلی حل کنیم و در نتیجه فرمول ریشه ها را به دست آوریم. سپس می توان از این فرمول برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

بیایید معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 را حل کنیم

با تقسیم هر دو ضلع بر a، معادله درجه دوم کاهش یافته معادل را به دست می آوریم
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

بیایید این معادله را با انتخاب مربع دو جمله ای تبدیل کنیم:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ فلش راست \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 - \frac(c)(a) \پیکان راست \) \(\چپ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( ج)(الف) \پیکان راست \چپ(x+\frac(b)(2a)\راست)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \پیکان راست \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \پیکان راست \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

بیان رادیکال نامیده می شود تفکیک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 ("ممیز" در لاتین - تشخیص دهنده). با حرف D مشخص می شود، یعنی.
\(D = b^2-4ac\)

اکنون با استفاده از نماد تفکیک، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، جایی که \(D= b^2-4ac \)

بدیهی است که:
1) اگر D>0 باشد، معادله درجه دوم دو ریشه دارد.
2) اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) اگر D بنابراین، بسته به مقدار ممیز، یک معادله درجه دوم می تواند دو ریشه داشته باشد (برای D > 0)، یک ریشه (برای D = 0) یا بدون ریشه (برای D هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، توصیه می شود به روش زیر انجام شود:
1) متمایز را محاسبه کنید و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا برابر با صفر است، از فرمول ریشه استفاده کنید اگر ممیز منفی است، بنویسید که ریشه وجود ندارد.

قضیه ویتا

معادله درجه دوم داده شده ax 2 -7x+10=0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب برابر با 10 است. علامت، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. هر معادله درجه دوم کاهش یافته ای که ریشه داشته باشد این خاصیت را دارد.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0 دارای خاصیت هستند:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \راست. \)

فقط طبق فرمول ها و قوانین واضح و ساده. در مرحله اول

لازم است معادله داده شده را به یک فرم استاندارد برسانیم، یعنی. به فرم:

اگر معادله از قبل به این شکل به شما داده شده است، نیازی به انجام مرحله اول نیست. مهمترین چیز این است که آن را به درستی انجام دهید

تعیین تمام ضرایب آ, بو ج.

فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز . همانطور که می بینید، برای پیدا کردن X، ما

ما استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از معادله درجه دوم. فقط با دقت آن را تنظیم کنید

ارزش های الف، ب و جما با این فرمول محاسبه می کنیم. ما جایگزین می کنیم آنهانشانه ها!

مثلا، در معادله:

آ =1; ب = 3; ج = -4.

مقادیر را جایگزین می کنیم و می نویسیم:

مثال تقریباً حل شده است:

این پاسخ است.

رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، بو با. یا بهتر است بگوییم با تعویض

مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. ضبط دقیق فرمول در اینجا به کمک می آید

با اعداد مشخص اگر در محاسبات مشکل دارید، این کار را انجام دهید!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1

ما همه چیز را با جزئیات، با دقت، بدون از دست دادن چیزی با تمام علائم و براکت ها شرح می دهیم:

معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که تعداد خطاها را به طور چشمگیری کاهش می دهد.

اولین قرار. قبلش تنبل نباش حل یک معادله درجه دومآن را به فرم استاندارد برسانید.

این یعنی چی؟

فرض کنید بعد از همه تبدیل ها معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.

مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را یادداشت کنید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید.

خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

دومین پذیرایی.ریشه ها را بررسی کنید! توسط قضیه ویتا.

برای حل معادلات درجه دوم داده شده، i.e. اگر ضریب

x 2 +bx+c=0،

سپسx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 =−ب

برای یک معادله درجه دوم کامل که در آن a≠1:

x 2 +بx+ج=0,

کل معادله را تقسیم بر آ:

→ →

جایی که x 1و ایکس 2 - ریشه های معادله.

پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! تکثیر کردن

معادله با مخرج مشترک

نتیجه. نکات کاربردی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و آن را می سازیم درست.

2. اگر جلوی مجذور X یک ضریب منفی باشد، با ضرب همه چیز آن را حذف می کنیم.

معادلات -1.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در معادله مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

عامل.

4. اگر x مربع خالص است، ضریب آن برابر با یک است، راه حل را می توان به راحتی با

فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم. موارد ریشه های واقعی، متعدد و پیچیده در نظر گرفته شده است. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم. تفسیر هندسی نمونه هایی از تعیین ریشه و فاکتورگیری.

فرمول های پایه

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های یک معادله درجه دوم(1) با فرمول های زیر تعیین می شود:
; .
این فرمول ها را می توان به صورت زیر ترکیب کرد:
.
هنگامی که ریشه های یک معادله درجه دوم مشخص است، آنگاه یک چند جمله ای درجه دوم را می توان به عنوان حاصلضرب عوامل (فاکتور) نشان داد:
.

بعد فرض می کنیم که اعداد واقعی هستند.
در نظر بگیریم تفکیک معادله درجه دوم:
.
اگر ممیز مثبت باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی متفاوت است:
; .
سپس فاکتورسازی مثلثی درجه دوم به شکل زیر است:
.
اگر ممیز برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی چندگانه (برابر) است:
.
فاکتورسازی:
.
اگر ممیز منفی باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است:
;
.
در اینجا واحد خیالی، ;
و قسمت های واقعی و خیالی ریشه ها هستند:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیکی

اگر تابع را رسم کنید
,
که سهمی است، سپس نقاط تلاقی نمودار با محور، ریشه معادله خواهد بود.
.
در نمودار، محور x (محور) را در دو نقطه قطع می کند.
هنگامی که نمودار، محور x را در یک نقطه لمس می کند.
هنگامی که نمودار از محور x عبور نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این گونه نمودارها آورده شده است.

فرمول های مفید مربوط به معادلات درجه دوم

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

ما تبدیل ها را انجام می دهیم و فرمول های (f.1) و (f.3) را اعمال می کنیم:




,
جایی که
; .

بنابراین، ما فرمول چند جمله ای درجه دوم را به شکل زیر دریافت کردیم:
.
این نشان می دهد که معادله

انجام شده در
و .
یعنی و ریشه های معادله درجه دوم هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم

مثال 1

(1.1) .

راه حل

.
با مقایسه با معادله ما (1.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد:
;
;
.

از این، فاکتورسازی سه جمله درجه دوم را به دست می آوریم:

.

نمودار تابع y = 2 x 2 + 7 x + 3محور x را در دو نقطه قطع می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. از محور آبسیسا (محور) در دو نقطه عبور می کند:
و .
این نقاط ریشه معادله اصلی (1.1) هستند.

پاسخ

;
;
.

مثال 2

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(2.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
.
در مقایسه با معادله اصلی (2.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (مساوی) است:
;
.

سپس فاکتورگیری مثلثی به شکل زیر است:
.

نمودار تابع y = x 2 - 4 x + 4محور x را در یک نقطه لمس می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x (محور) را در یک نقطه لمس می کند:
.
این نقطه ریشه معادله اصلی (2.1) است. از آنجایی که این ریشه دو بار فاکتور می شود:
,
سپس چنین ریشه ای معمولاً مضرب نامیده می شود. یعنی معتقدند دو ریشه مساوی وجود دارد:
.

پاسخ

;
.

مثال 3

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(3.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
(1) .
بیایید معادله اصلی (3.1) را بازنویسی کنیم:
.
در مقایسه با (1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
ممیز منفی است، . بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده را پیدا کنید:
;
;
.

سپس


.

نمودار تابع از محور x عبور نمی کند. هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x را قطع نمی کند. بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

پاسخ

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های پیچیده:
;
;
.

معادلات درجه دوم در کلاس هشتم مطالعه می شود، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها کاملا ضروری است.

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a، b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.

قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه داشته باشید که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:

1. آنها ریشه ندارند.
2. دقیقا یک ریشه داشته باشد.
3. آنها دو ریشه متفاوت دارند.

این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و معادلات خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.

ممیز

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود، سپس به سادگی عدد D = b 2 - 4ac است.

این فرمول را باید از روی قلب بدانید. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:

1. اگر D< 0, корней нет;
2. اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
3. اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.

لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری معتقدند. به مثال ها نگاه کنید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:

وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

بیایید ضرایب معادله اول را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

بنابراین ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. ما معادله دوم را به روشی مشابه تجزیه و تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = 131-.

ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی مانده این است:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

ممیز صفر است - ریشه یک خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید که ضرایب برای هر معادله نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است، اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و اشتباهات احمقانه ای مرتکب نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.

به هر حال، اگر به آن دست پیدا کنید، پس از مدتی نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، نه چندان زیاد.

ریشه های یک معادله درجه دوم

حالا بیایید به سراغ خود راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:

فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم

وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت خواهید کرد که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

معادله اول:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:

معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2-4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:

همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. اغلب، هنگام جایگزینی ضرایب منفی در فرمول، خطا رخ می دهد. در اینجا دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا به شما کمک می کند: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را یادداشت کنید - و خیلی زود از شر اشتباهات خلاص خواهید شد.

معادلات درجه دوم ناقص

این اتفاق می افتد که یک معادله درجه دوم کمی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

به راحتی می توان متوجه شد که این معادلات دارای یکی از اصطلاحات هستند. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه متمایز ندارند. بنابراین، بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:

معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.

البته زمانی که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند، یک حالت بسیار دشوار امکان پذیر است: b = c = 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 = 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای یک ریشه دارد: x = 0.

بیایید موارد باقی مانده را در نظر بگیریم. اجازه دهید b = 0، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c = 0 به دست می آوریم. اجازه دهید آن را کمی تبدیل کنیم:

از آنجایی که جذر حسابی فقط یک عدد غیر منفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط برای (-c/a) ≥ 0 معنی دارد. نتیجه گیری:

1. اگر در یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (-c/a) ≥ 0 برآورده شود، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
2. اگر (-c/a)< 0, корней нет.

همانطور که می بینید، یک متمایز مورد نیاز نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c/a) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، اصلا ریشه ای وجود نخواهد داشت.

حال اجازه دهید به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 نگاه کنیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتور بگیریم:

خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در پایان، اجازه دهید به چند مورد از این معادلات نگاه کنیم:

وظیفه. حل معادلات درجه دوم:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(-7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا یک مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

\(2x+1=x+4\) پاسخ را پیدا می کنیم: \(x=3\). اگر یک سه گانه را به جای X جایگزین کنید، همان مقادیر را در سمت چپ و راست دریافت می کنید:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

و هیچ عدد دیگری جز سه به ما چنین برابری نمی دهد. این بدان معناست که عدد \(3\) تنها ریشه معادله است.

یک بار دیگر: ریشه X نیست!X یک متغیر است ، آ ریشه یک عدد است ، که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل می کند (در مثال بالا، یک سه). و هنگام حل معادلات به دنبال این عدد مجهول (یا اعداد) می گردیم.

مثال : آیا \(5\) ریشه معادله \(x^(2)-2x-15=0\) است؟
راه حل : بیایید \(5\) را جایگزین X کنیم:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

در دو طرف مساوی مقادیر یکسانی (صفر) وجود دارد که به این معنی است که 5 در واقع یک ریشه است.

متاک: در تست ها می توانید از این طریق بررسی کنید که آیا ریشه ها را به درستی پیدا کرده اید یا خیر.

مثال : کدام یک از اعداد \(0, \pm1, \pm2\) ریشه \(2x^(2)+15x+22=0\) است؟
راه حل : بیایید هر یک از اعداد را با جایگزینی بررسی کنیم:

بررسی \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) - مطابقت نداشت، به این معنی که \(0\) مناسب نیست
بررسی \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - باز هم همگرا نشد، یعنی \(1\) یک ریشه نیست
بررسی \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - دوباره برابری نادرست است، \(-1\)همچنین توسط
بررسی \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - و دوباره یکسان نیست، \(2\) نیز مناسب نیست
بررسی \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - همگرا، به این معنی که \(-2\) ریشه معادله است

بدیهی است که حل معادلات با آزمایش تمام مقادیر ممکن دیوانگی است، زیرا اعداد بی نهایت زیاد هستند. بنابراین روش های خاصی برای ریشه یابی ایجاد شد. بنابراین، برای مثال، برای به تنهایی کافی است، برای - فرمول ها قبلاً استفاده شده اند و غیره. هر نوع معادله روش خاص خود را دارد.

پاسخ به سوالات متداول

سوال: آیا ریشه یک معادله می تواند صفر باشد؟
پاسخ: بله حتما. به عنوان مثال، معادله \(3x=0\) یک ریشه دارد - صفر. می توانید با تعویض بررسی کنید.

سوال: چه زمانی یک معادله ریشه ندارد؟
پاسخ: اگر مقادیری برای x وجود نداشته باشد که معادله را به یک برابری واقعی تبدیل کند، ممکن است یک معادله ریشه نداشته باشد. یک مثال قابل توجه در اینجا معادله \(0\cdot x=5\) خواهد بود. این معادله ریشه ندارد، زیرا مقدار X در اینجا نقشی ندارد (به دلیل ضرب در صفر) - به هر حال، سمت چپ همیشه برابر با صفر خواهد بود. و صفر برابر با پنج نیست. این بدان معنی است که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

سوال: چگونه می توان معادله ای ایجاد کرد که ریشه این معادله با یک عدد معین (مثلاً سه) برابر باشد؟
پاسخ: بعد ظاهر خواهد شد.

سوال: "ریشه کوچکتر معادله را پیدا کنید" به چه معناست؟
پاسخ: این به این معنی است که باید معادله را حل کنید و ریشه کوچکتر آن را به عنوان پاسخ نشان دهید. برای مثال، معادله \(x^2-5x-6=0\) دارای دو ریشه است: \(x_1=-1\) و \(x_2=6\). کوچکترین ریشه: \(-1\). این همان چیزی است که باید به عنوان پاسخ یادداشت کنید. اگر آنها در مورد ریشه بزرگتر سوال می کردند، باید \(6\) را بنویسند.