ماشین حساب جایگزین و اضافه. چگونه یک سیستم معادلات حل می شود؟ روش های حل سیستم معادلات. حل سیستم های پیچیده معادلات

با استفاده از روش جمع، معادلات یک سیستم ترم به ترم اضافه می شوند و 1 یا هر دو (چندین) معادله را می توان در هر عددی ضرب کرد. در نتیجه به یک SLE معادل می رسند که در یکی از معادلات فقط یک متغیر وجود دارد.

برای حل سیستم روش جمع ترم به ترم (تفریق)این مراحل را دنبال کنید:

1. متغیری را انتخاب کنید که برای آن ضرایب یکسان ساخته شود.

2. حالا باید معادلات را جمع یا کم کنید و معادله ای با یک متغیر بدست آورید.

راه حل سیستم- اینها نقاط تقاطع نمودارهای تابع هستند.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 1.

سیستم داده شده:

پس از تجزیه و تحلیل این سیستم، می توانید متوجه شوید که ضرایب متغیر از نظر بزرگی برابر و در علامت (1- و 1) متفاوت است. در این مورد، معادلات را می توان به راحتی ترم به ترم اضافه کرد:

ما اعمالی را که به رنگ قرمز در ذهنمان دایره شده اند انجام می دهیم.

نتیجه جمع ترم به ترم ناپدید شدن متغیر بود y. این دقیقاً معنای روش است - خلاص شدن از شر یکی از متغیرها.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

در فرم سیستم، راه حل چیزی شبیه به این است:

پاسخ: ایکس = -4 , y = 1.

مثال 2.

سیستم داده شده:

در این مثال، می توانید از روش "مدرسه" استفاده کنید، اما یک نقطه ضعف نسبتاً بزرگ دارد - وقتی هر متغیری را از هر معادله ای بیان می کنید، یک راه حل در کسرهای معمولی دریافت خواهید کرد. اما حل کسری زمان زیادی می برد و احتمال اشتباه افزایش می یابد.

بنابراین، بهتر است از جمع (تفریق) ترم به ترم معادلات استفاده شود. بیایید ضرایب متغیرهای مربوطه را تجزیه و تحلیل کنیم:

شما باید عددی را پیدا کنید که بتوان بر آن تقسیم کرد 3 و در 4 ، و لازم است این تعداد حداقل ممکن باشد. این حداقل مضرب مشترک. اگر یافتن عدد مناسب برای شما سخت است، می توانید ضرایب را ضرب کنید: .

گام بعدی:

معادله 1 را ضرب می کنیم،

معادله 3 را ضرب می کنیم،

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در بخش اقتصادی برای مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادلات نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چندین متغیر است که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل یک معادله با رسم آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن راه حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده‌ترین مثال‌ها، سیستم‌های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنای یافتن مقادیر (x، y) است که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود یا اینکه مقادیر مناسب x و y وجود ندارند.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات یک نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا هیچ راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت مساوی دارای مقدار باشد یا با تابعی بیان شود، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد. درس ریاضی مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین روش های گرافیکی و ماتریسی، حل با روش گاوسی را شرح می دهد.

وظیفه اصلی هنگام آموزش روش های حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم راه حل بهینه برای هر مثال است. نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول استفاده از یک روش خاص است.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی برای برنامه درسی آموزش عمومی پایه هفتم بسیار ساده است و با جزئیات کامل توضیح داده شده است. در هر کتاب ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس و کرامر در سال‌های اول تحصیلات عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها با استفاده از روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر بر حسب متغیر دوم است. عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به شکلی با یک متغیر کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

اجازه دهید برای مثالی از یک سیستم معادلات خطی کلاس 7 با استفاده از روش جایگزینی راه حلی ارائه دهیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . حل این مثال آسان است و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر به دست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر بسیار دشوار خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، حل با جایگزینی نیز نامناسب است.

حل مثالی از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با استفاده از روش جمع، معادلات عبارت به ترم اضافه می شوند و در اعداد مختلف ضرب می شوند. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای در یک متغیر است.

استفاده از این روش مستلزم تمرین و مشاهده است. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع زمانی که 3 یا بیشتر متغیر وجود دارد آسان نیست. هنگامی که معادلات حاوی کسری و اعشاری هستند، استفاده از جمع جبری راحت است.

الگوریتم حل:

1. دو طرف معادله را در عدد معینی ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی، یکی از ضرایب متغیر باید برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای حداکثر دو معادله داشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید برای مجهول معرفی شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی یک متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث درجه دوم استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c که D ممیز مورد نظر است، b، a، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای 3 سیستم معادله. این روش شامل ساخت نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. بیایید به چند نمونه از حل سیستم معادلات خطی به صورت تصویری نگاه کنیم.

همانطور که از مثال مشخص است، برای هر خط دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر مستلزم یافتن یک جواب گرافیکی برای یک سیستم معادلات خطی است: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا یک سیستم راه حل دارد یا نه، همیشه لازم است یک نمودار ساخته شود.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس نوع خاصی از جدول پر از اعداد است. n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر باشد. ماتریس-بردار ماتریسی از یک ستون با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی که در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر باشد هویت نامیده می شود.

یک ماتریس معکوس، زمانی که در آن ضرب شود، ماتریس اصلی به یک ماتریس واحد تبدیل می شود، تنها برای ماتریس مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل سیستم معادلات به ماتریس

در رابطه با سیستم های معادلات، ضرایب و عبارات آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریسی نوشته می شوند.

اگر حداقل یکی از عناصر سطر صفر نباشد، به یک ردیف ماتریسی غیرصفر گفته می شود. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس است و |K| تعیین کننده ماتریس است. |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو به دو محاسبه می شود، فقط باید عناصر مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا تعداد ستون ها و ردیف های عناصر در کار تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل به شما امکان می دهد هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات، ورودی های دست و پا گیر را کاهش دهید.

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیر هستند و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها با استفاده از روش گاوسی

در ریاضیات عالی، روش گاوسی همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به جواب های جایگزین و جمع جبری است، اما سیستماتیک تر است. در درس مدرسه، حل به روش گاوسی برای سیستم های 3 و 4 معادله استفاده می شود. هدف از این روش کاهش سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با استفاده از تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی با 2 مجهول است، در حالی که 3 و 4 به ترتیب دارای 3 و 4 متغیر هستند.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتاب های درسی مدرسه برای کلاس هفتم، نمونه ای از راه حل با روش گاوس به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوسی برای دانش‌آموزان دبیرستانی دشوار است، اما یکی از جالب‌ترین راه‌ها برای پرورش نبوغ کودکانی است که در برنامه‌های یادگیری پیشرفته در کلاس‌های ریاضی و فیزیک ثبت‌نام می‌کنند.

برای سهولت ثبت، محاسبات معمولاً به صورت زیر انجام می شود:

ضرایب معادلات و عبارت های آزاد به صورت ماتریسی نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را که باید با آن کار کنید، یادداشت کنید، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها را بنویسید. ماتریس حاصل بعد از علامت فلش نوشته می شود و عملیات جبری لازم تا حصول نتیجه ادامه می یابد.

نتیجه باید ماتریسی باشد که در آن یکی از مورب ها برابر با 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک فرم واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که محاسبات را با اعداد در دو طرف معادله انجام دهیم.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به دقت و تجربه دارد. همه روش ها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از روش‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارند.

با این ویدیو من یک سری درس اختصاص داده شده به سیستم های معادلات را شروع می کنم. امروز در مورد حل سیستم معادلات خطی صحبت خواهیم کرد روش اضافه کردن- این یکی از ساده ترین روش ها، اما در عین حال یکی از موثرترین روش ها است.

روش جمع شامل سه مرحله ساده است:

1. به سیستم نگاه کنید و متغیری را انتخاب کنید که دارای ضرایب یکسان (یا مخالف) در هر معادله باشد.
2. تفریق جبری (برای اعداد مخالف - جمع) معادلات را از یکدیگر انجام دهید و سپس عبارت های مشابه را بیاورید.
3. معادله جدیدی که بعد از مرحله دوم به دست می آید را حل کنید.

اگر همه چیز به درستی انجام شود، در خروجی یک معادله واحد خواهیم داشت با یک متغیر- حل آن دشوار نخواهد بود. سپس تنها چیزی که باقی می ماند این است که ریشه یافت شده را جایگزین سیستم اصلی کنید و پاسخ نهایی را دریافت کنید.

با این حال، در عمل همه چیز به این سادگی نیست. چندین دلیل برای این وجود دارد:

• حل معادلات با استفاده از روش جمع به این معنی است که همه خطوط باید دارای متغیرهایی با ضرایب برابر/مخالف باشند. اگر این شرط برآورده نشد چه باید کرد؟
• نه همیشه، پس از جمع یا تفریق معادلات به روش نشان داده شده، ساختار زیبایی به دست می آوریم که به راحتی قابل حل است. آیا می توان محاسبات را به نحوی ساده کرد و محاسبات را تسریع کرد؟

برای دریافت پاسخ به این سؤالات و در عین حال درک چند نکته ظریف اضافی که بسیاری از دانش آموزان در آنها شکست می خورند، درس ویدیویی من را تماشا کنید:

با این درس ما مجموعه ای از سخنرانی ها را شروع می کنیم که به سیستم های معادلات اختصاص دارد. و از ساده ترین آنها شروع می کنیم، یعنی آنهایی که شامل دو معادله و دو متغیر هستند. هر یک از آنها خطی خواهد بود.

سیستم‌ها مطالب پایه هفتم است، اما این درس برای دانش‌آموزان دبیرستانی که می‌خواهند دانش خود را در مورد این موضوع تقویت کنند نیز مفید خواهد بود.

به طور کلی، دو روش برای حل چنین سیستم هایی وجود دارد:

1. روش جمع؛
2. روشی برای بیان یک متغیر بر حسب متغیر دیگر.

امروز به روش اول خواهیم پرداخت - از روش تفریق و جمع استفاده خواهیم کرد. اما برای انجام این کار، باید واقعیت زیر را درک کنید: هنگامی که دو یا چند معادله دارید، می توانید هر دو از آنها را بگیرید و به یکدیگر اضافه کنید. آنها عضو به عضو اضافه می شوند، یعنی. "X" به "X" اضافه می شود و مشابه داده می شود، "Y" با "Y" دوباره شبیه است، و آنچه در سمت راست علامت تساوی است نیز به یکدیگر اضافه می شود، و مشابه ها نیز در آنجا آورده می شوند. .

نتایج این گونه ماشینکاری ها معادله جدیدی خواهد بود که اگر ریشه داشته باشد قطعا جزو ریشه های معادله اصلی خواهد بود. بنابراین وظیفه ما این است که تفریق یا جمع را به گونه ای انجام دهیم که $x$ یا $y$ ناپدید شود.

نحوه دستیابی به این و از چه ابزاری برای این کار استفاده کنیم - اکنون در مورد این صحبت خواهیم کرد.

حل مسائل آسان با استفاده از جمع

بنابراین، ما یاد می گیریم که از روش جمع با استفاده از مثال دو عبارت ساده استفاده کنیم.

وظیفه شماره 1

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\پایان(تراز) \راست.\]

توجه داشته باشید که $y$ دارای ضریب $-4$ در معادله اول و $+4$ در معادله دوم است. آنها متقابلاً متضاد هستند، بنابراین منطقی است که فرض کنیم اگر آنها را جمع کنیم، در مجموع "بازی ها" متقابلا از بین می روند. آن را اضافه کنید و دریافت کنید:

بیایید ساده ترین ساختار را حل کنیم:

عالی، ما "x" را پیدا کردیم. حالا باهاش ​​چیکار کنیم؟ ما حق داریم آن را در هر یک از معادلات جایگزین کنیم. بیایید در اول جایگزین کنیم:

\[-4y=12\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

پاسخ: $\left(2;-3 \right)$.

مشکل شماره 2

\[\چپ\( \شروع(تراز)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\پایان (تراز) \راست.\]

وضعیت در اینجا کاملاً مشابه است، فقط با "X". بیایید آنها را جمع کنیم:

ما ساده ترین معادله خطی را داریم، بیایید آن را حل کنیم:

حالا بیایید $x$ را پیدا کنیم:

پاسخ: $\left(-3;3 \right)$.

نکات مهم

بنابراین، ما فقط دو سیستم ساده معادلات خطی را با استفاده از روش جمع حل کردیم. باز هم نکات کلیدی:

1. اگر برای یکی از متغیرها ضرایب مخالف وجود داشته باشد، باید تمام متغیرهای معادله را جمع کرد. در این صورت یکی از آنها از بین می رود.
2. متغیر پیدا شده را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین می کنیم تا معادله دوم را پیدا کنیم.
3. رکورد پاسخ نهایی را می توان به روش های مختلفی ارائه کرد. به عنوان مثال، مانند این - $x=...,y=...$، یا به صورت مختصات نقاط - $\left(...;... \right)$. گزینه دوم ارجح است. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که مختصات اول $x$ و دومی $y$ است.
4. قانون نوشتن پاسخ به صورت مختصات نقطه همیشه قابل اجرا نیست. به عنوان مثال، زمانی که متغیرها $x$ و $y$ نیستند، اما برای مثال، $a$ و $b$ نیستند، نمی توان از آن استفاده کرد.

در مسائل زیر تکنیک تفریق را زمانی در نظر خواهیم گرفت که ضرایب مخالف هم نباشند.

حل مسائل آسان با استفاده از روش تفریق

وظیفه شماره 1

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

توجه داشته باشید که در اینجا ضرایب مخالف وجود ندارد، اما ضرایب یکسانی وجود دارد. بنابراین، دومی را از معادله اول کم می کنیم:

اکنون مقدار $x$ را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین می کنیم. اول بریم:

پاسخ: $\چپ(2;5\راست)$.

مشکل شماره 2

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

ما دوباره همان ضریب 5$ برای $x$ را در معادله اول و دوم مشاهده می کنیم. بنابراین، منطقی است که فرض کنیم باید دومی را از معادله اول کم کنید:

ما یک متغیر را محاسبه کرده ایم. حالا بیایید مورد دوم را پیدا کنیم، برای مثال، با جایگزین کردن مقدار $y$ در ساخت دوم:

پاسخ: $\left(-3;-2 \right)$.

تفاوت های ظریف راه حل

پس ما چه می بینیم؟ اساساً این طرح با راه حل سیستم های قبلی تفاوتی ندارد. تنها تفاوت این است که ما معادلات را جمع نمی کنیم، بلکه آنها را کم می کنیم. ما در حال تفریق جبری هستیم.

به عبارت دیگر، به محض مشاهده یک سیستم متشکل از دو معادله در دو مجهول، اولین چیزی که باید به آن نگاه کنید ضرایب است. اگر در هر جایی یکسان باشند، معادلات کم می شوند و اگر مخالف باشند، از روش جمع استفاده می شود. این کار همیشه طوری انجام می شود که یکی از آنها ناپدید شود و در معادله نهایی که پس از تفریق باقی می ماند فقط یک متغیر باقی می ماند.

البته این همه ماجرا نیست. اکنون سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت که در آنها معادلات به طور کلی ناسازگار هستند. آن ها هیچ متغیری در آنها وجود ندارد که یا یکسان باشد یا مخالف. در این مورد، برای حل چنین سیستم هایی، از یک تکنیک اضافی استفاده می شود، یعنی ضرب هر یک از معادلات در یک ضریب خاص. چگونه آن را پیدا کنیم و چگونه چنین سیستم هایی را به طور کلی حل کنیم، اکنون در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

حل مسائل با ضرب در یک ضریب

مثال شماره 1

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

می بینیم که نه برای $x$ و نه برای $y$ ضرایب نه تنها متقابل متقابل نیستند، بلکه به هیچ وجه با معادله دیگر همبستگی ندارند. این ضرایب به هیچ وجه از بین نمی روند، حتی اگر معادلات را از یکدیگر کم یا زیاد کنیم. بنابراین، اعمال ضرب ضروری است. بیایید سعی کنیم از متغیر $y$ خلاص شویم. برای این کار، بدون لمس علامت، معادله اول را در ضریب y$ از معادله دوم و معادله دوم را در ضریب y$ از معادله اول ضرب می کنیم. ضرب می کنیم و یک سیستم جدید می گیریم:

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بیایید به آن نگاه کنیم: در $y$ ضرایب مخالف هستند. در چنین شرایطی استفاده از روش جمع ضروری است. اضافه کنیم:

اکنون باید $y$ را پیدا کنیم. برای انجام این کار، $x$ را در عبارت اول جایگزین کنید:

\[-9y=18\ چپ| :\left(-9 \right) \right.\]

پاسخ: $\left(4;-2 \right)$.

مثال شماره 2

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

باز هم، ضرایب برای هیچ یک از متغیرها سازگار نیستند. بیایید در ضرایب $y$ ضرب کنیم:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 11x+4y=-18\چپ| 6 \راست. \\& 13x-6y=-32\چپ| 4 \راست. \\\پایان (تراز) \راست .\]

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

سیستم جدید ما معادل سیستم قبلی است، اما ضرایب $y$ متقابلا مخالف هستند، و بنابراین به راحتی می توان روش جمع را در اینجا اعمال کرد:

حالا بیایید $y$ را با جایگزین کردن $x$ در معادله اول پیدا کنیم:

پاسخ: $\left(-2;1 \right)$.

تفاوت های ظریف راه حل

قانون کلیدی در اینجا به شرح زیر است: ما همیشه فقط با اعداد مثبت ضرب می کنیم - این شما را از اشتباهات احمقانه و توهین آمیز مرتبط با تغییر علائم نجات می دهد. به طور کلی، طرح راه حل بسیار ساده است:

1. ما به سیستم نگاه می کنیم و هر معادله را تجزیه و تحلیل می کنیم.
2. اگر ببینیم که نه $y$ و نه $x$، ضرایب سازگار هستند، یعنی. آنها نه مساوی هستند و نه مخالف، سپس به صورت زیر عمل می کنیم: متغیری را که باید از شر آن خلاص شویم انتخاب می کنیم و سپس به ضرایب این معادلات نگاه می کنیم. اگر معادله اول را در ضریب دومی ضرب کنیم و دومی را به ترتیب در ضریب اولی ضرب کنیم، در نهایت سیستمی کاملاً معادل قبلی و ضرایب $ بدست می آید. y$ سازگار خواهد بود. تمام اعمال یا تبدیل های ما فقط در جهت بدست آوردن یک متغیر در یک معادله است.
3. یک متغیر پیدا می کنیم.
4. متغیر پیدا شده را جایگزین یکی از دو معادله سیستم می کنیم و دومی را پیدا می کنیم.
5. اگر متغیرهای $x$ و $y$ داشته باشیم پاسخ را به صورت مختصات نقاط می نویسیم.

اما حتی چنین الگوریتم ساده ای ظرافت های خاص خود را دارد، به عنوان مثال، ضرایب $x$ یا $y$ می تواند کسری و سایر اعداد "زشت" باشد. اکنون این موارد را جداگانه در نظر خواهیم گرفت، زیرا در آنها می توانید تا حدودی متفاوت از الگوریتم استاندارد عمل کنید.

حل مسائل با کسر

مثال شماره 1

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\پایان (تراز) \راست.\]

ابتدا توجه کنید که معادله دوم شامل کسری است. اما توجه داشته باشید که می توانید $4$ را بر $0.8$ تقسیم کنید. ما 5 دلار دریافت خواهیم کرد. بیایید معادله دوم را در 5 دلار ضرب کنیم:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\پایان (تراز) \راست.\]

معادلات را از یکدیگر کم می کنیم:

$n$ را پیدا کردیم، حالا بیایید $m$ را بشماریم:

پاسخ: $n=-4;m=5$

مثال شماره 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \راست. \\& 2p-5k=2\left| 5 \راست. \\\end (تراز کردن)\ درست.\]

در اینجا، مانند سیستم قبلی، ضرایب کسری وجود دارد، اما برای هیچ یک از متغیرها، ضرایب به تعداد صحیح بار در یکدیگر قرار نمی گیرند. بنابراین از الگوریتم استاندارد استفاده می کنیم. خلاص شدن از شر $p$:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

ما از روش تفریق استفاده می کنیم:

بیایید $p$ را با جایگزین کردن $k$ در ساخت دوم پیدا کنیم:

پاسخ: $p=-4;k=-2$.

تفاوت های ظریف راه حل

این همه بهینه سازی است. در معادله اول اصلاً در هیچ چیزی ضرب نکردیم، بلکه معادله دوم را در 5 دلار ضرب کردیم. در نتیجه، معادله ای ثابت و حتی یکسان برای متغیر اول دریافت کردیم. در سیستم دوم از یک الگوریتم استاندارد پیروی کردیم.

اما چگونه می توان اعدادی را که در آنها معادلات را ضرب می کنند، پیدا کرد؟ به هر حال، اگر در کسری ضرب کنیم، کسرهای جدیدی به دست می آید. بنابراین، کسرها باید در عددی ضرب شوند که یک عدد صحیح جدید به دست می‌دهد و پس از آن، متغیرها را با رعایت الگوریتم استاندارد در ضرایب ضرب می‌کنیم.

در پایان توجه شما را به فرمت ثبت پاسخ جلب می کنم. همانطور که قبلاً گفتم، از آنجایی که در اینجا ما $x$ و $y$ نداریم، بلکه مقادیر دیگری نداریم، از نماد غیر استاندارد فرم استفاده می کنیم:

حل سیستم های پیچیده معادلات

به عنوان آخرین یادداشت برای آموزش ویدیویی امروز، اجازه دهید به چند سیستم واقعا پیچیده نگاه کنیم. پیچیدگی آنها در این واقعیت است که متغیرهایی در سمت چپ و راست خواهند داشت. بنابراین، برای حل آنها باید از پیش پردازش استفاده کنیم.

سیستم شماره 1

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 3\چپ(2x-y \راست)+5=-2\چپ(x+3y\راست)+4 \\& 6\چپ(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end (تراز کردن) \راست.\]

هر معادله دارای پیچیدگی خاصی است. بنابراین، بیایید هر عبارت را مانند یک ساختار خطی منظم در نظر بگیریم.

در مجموع، ما سیستم نهایی را دریافت می کنیم که معادل سیستم اصلی است:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\پایان (تراز) \راست.\]

بیایید به ضرایب $y$ نگاه کنیم: $3$ دو بار در $6$ قرار می گیرد، بنابراین اجازه دهید معادله اول را در $2$ ضرب کنیم:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\پایان (تراز) \راست.\]

ضرایب $y$ اکنون برابر است، بنابراین ما دومی را از معادله اول کم می کنیم: $$

حالا بیایید $y$ را پیدا کنیم:

پاسخ: $\left(0;-\frac(1)(3) \راست)$

سیستم شماره 2

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 4\چپ(a-3b \راست)-2a=3\چپ(b+4 \راست)-11 \\& -3\چپ(b-2a \راست )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end (تراز کردن) \راست.\]

بیایید عبارت اول را تبدیل کنیم:

بیایید به مورد دوم بپردازیم:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \راست)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

در مجموع، سیستم اولیه ما به شکل زیر خواهد بود:

\[\چپ\( \شروع (تراز)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

با نگاهی به ضرایب $a$، می بینیم که معادله اول باید در $2$ ضرب شود:

\[\چپ\( \شروع(تراز)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\پایان(تراز) \راست.\]

دومی را از ساخت اول کم کنید:

حالا بیایید $a$ را پیدا کنیم:

پاسخ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

همین. امیدوارم این فیلم آموزشی به شما در درک این مبحث دشوار یعنی حل سیستم معادلات خطی ساده کمک کند. در آینده درس های بیشتری در مورد این موضوع وجود خواهد داشت: ما به مثال های پیچیده تر نگاه خواهیم کرد، جایی که متغیرهای بیشتری وجود خواهد داشت و خود معادلات غیرخطی خواهند بود. دوباره می بینمت!

در این درس به بررسی روش حل سیستم معادلات یعنی روش جمع جبری خواهیم پرداخت. ابتدا به کاربرد این روش با استفاده از مثال معادلات خطی و ماهیت آن نگاه می کنیم. بیایید به یاد داشته باشیم که چگونه ضرایب را در معادلات برابر کنیم. و با استفاده از این روش تعدادی از مشکلات را حل خواهیم کرد.

موضوع: سیستم های معادلات

درس: روش جمع جبری

1. روش جمع جبری با استفاده از سیستم های خطی به عنوان مثال

در نظر بگیریم روش جمع جبریبا استفاده از مثال سیستم های خطی

مثال 1. حل سیستم

اگر این دو معادله را جمع کنیم، y لغو می شود و معادله ای برای x باقی می ماند.

اگر دومی را از معادله اول کم کنیم، x ها یکدیگر را خنثی می کنند و معادله ای برای y به دست می آید. این معنای روش جمع جبری است.

ما سیستم را حل کردیم و روش جمع جبری را به خاطر آوردیم. بیایید ماهیت آن را تکرار کنیم: ما می توانیم معادلات را جمع و تفریق کنیم، اما باید اطمینان حاصل کنیم که یک معادله با تنها یک مجهول به دست می آوریم.

2. روش جمع جبری با تساوی اولیه ضرایب

مثال 2. حل سیستم

این اصطلاح در هر دو معادله وجود دارد، بنابراین روش جمع جبری راحت است. بیایید دومی را از معادله اول کم کنیم.

پاسخ: (2؛ -1).

بنابراین، پس از تجزیه و تحلیل سیستم معادلات، می توانید متوجه شوید که برای روش جمع جبری مناسب است و آن را اعمال کنید.

بیایید یک سیستم خطی دیگر را در نظر بگیریم.

3. حل سیستم های غیر خطی

مثال 3. حل سیستم

ما می خواهیم از شر y خلاص شویم، اما ضرایب y در دو معادله متفاوت است. برای انجام این کار، آنها را برابر کنیم، معادله اول را در 3، دومی را در 4 ضرب کنیم.

مثال 4. حل سیستم

بیایید ضرایب x را برابر کنیم

شما می توانید آن را متفاوت انجام دهید - ضرایب را برای y برابر کنید.

سیستم را با استفاده از روش جمع جبری دو بار حل کردیم.

روش جمع جبری برای حل سیستم های غیرخطی نیز کاربرد دارد.

مثال 5. حل سیستم

بیایید این معادلات را با هم جمع کنیم و از شر y خلاص شویم.

همین سیستم را می توان با دو بار استفاده از روش جمع جبری حل کرد. بیایید از یک معادله دیگر جمع و کم کنیم.

مثال 6. حل سیستم

پاسخ:

مثال 7. حل سیستم

با استفاده از روش جمع جبری از جمله xy خلاص می شویم. بیایید معادله اول را در ضرب کنیم.

معادله اول بدون تغییر باقی می ماند، به جای معادله دوم، جمع جبری را می نویسیم.

پاسخ:

مثال 8. حل سیستم

معادله دوم را در 2 ضرب کنید تا یک مربع کامل جدا شود.

وظیفه ما به حل چهار سیستم ساده خلاصه شد.

4. نتیجه گیری

روش جمع جبری را با استفاده از مثال حل سیستم های خطی و غیرخطی بررسی کردیم. در درس بعدی به روش معرفی متغیرهای جدید خواهیم پرداخت.

1. Mordkovich A.G. و همکاران کلاس نهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی مؤسسات.- ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. و همکاران جبر 9: کتاب مسئله برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A.G. Mordkovich, T.N. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. پایه نهم: آموزشی. برای دانش آموزان آموزش عمومی مؤسسات / Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - ویرایش هفتم، برگردان و اضافی - M.: Mnemosyne، 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu., Sidorov V. کلاس نهم. ویرایش شانزدهم - م.، 2011. - 287 ص.

5. موردکوویچ A. G. جبر. کلاس نهم. در 2 ساعت، بخش 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوازدهم، پاک شد. - م.: 2010. - 224 ص: بیمار.

6. جبر. کلاس نهم. در 2 قسمت. کتاب مسئله برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich، L. A. Aleksandrova، T. N. Mishustina و دیگران. اد. A. G. Mordkovich. - چاپ دوازدهم، برگردان - م.: 2010.-223 ص: بیمار.

1. بخش کالج. ru در ریاضیات

2. پروژه اینترنتی "وظایف".

3. پورتال آموزشی "من امتحان دولتی واحد را حل خواهم کرد".

1. Mordkovich A.G. و همکاران جبر 9: کتاب مسئله برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A.G. Mordkovich, T.N. et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. شماره 125 - 127.

شما باید یک طرح درس در مورد موضوع را دانلود کنید » روش جمع جبری?

سیستم معادلات خطی با دو مجهول، دو یا چند معادله خطی است که برای یافتن تمام راه حل های مشترک آنها لازم است. ما سیستم های دو معادله خطی را در دو مجهول در نظر خواهیم گرفت. نمای کلی یک سیستم دو معادله خطی با دو مجهول در شکل زیر ارائه شده است:

(a1*x + b1*y = c1،
(a2*x + b2*y = c2

در اینجا x و y متغیرهای ناشناخته هستند، a1، a2، b1، b2، c1، c2 برخی از اعداد واقعی هستند. راه حل یک سیستم از دو معادله خطی در دو مجهول، یک جفت اعداد (x,y) است که اگر این اعداد را جایگزین معادلات سیستم کنیم، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود. روش های مختلفی برای حل یک سیستم معادلات خطی وجود دارد. بیایید یکی از راه های حل یک سیستم معادلات خطی، یعنی روش جمع را در نظر بگیریم.

الگوریتم حل با روش جمع

الگوریتمی برای حل یک سیستم معادلات خطی با دو مجهول با استفاده از روش جمع.

1. در صورت نیاز، با استفاده از تبدیل های معادل، ضرایب یکی از متغیرهای مجهول را در هر دو معادله برابر کنید.

2. با جمع یا تفریق معادلات به دست آمده، یک معادله خطی با یک مجهول به دست آورید

3. معادله به دست آمده را با یک مجهول حل کنید و یکی از متغیرها را پیدا کنید.

4. عبارت به دست آمده را جایگزین هر یک از دو معادله سیستم کنید و این معادله را حل کنید و در نتیجه متغیر دوم را به دست آورید.

5. محلول را بررسی کنید.

نمونه ای از راه حل با استفاده از روش جمع

برای وضوح بیشتر، اجازه دهید سیستم معادلات خطی زیر را با دو مجهول با استفاده از روش جمع حل کنیم:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

از آنجایی که هیچ یک از متغیرها ضرایب یکسانی ندارند، ضرایب متغیر y را برابر می کنیم. برای این کار، معادله اول را در سه و معادله دوم را در دو ضرب کنید.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

ما گرفتیم سیستم معادلات زیر:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

حالا معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ما عبارات مشابه را ارائه می کنیم و معادله خطی حاصل را حل می کنیم.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

مقدار به دست آمده را با اولین معادله از سیستم اصلی خود جایگزین می کنیم و معادله حاصل را حل می کنیم.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

حاصل یک جفت اعداد x=6 و y=14 است. در حال بررسی هستیم. بیایید یک تعویض انجام دهیم.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

همانطور که می بینید، دو برابری صحیح به دست آوردیم، بنابراین، راه حل صحیح را پیدا کردیم.