مقایسه اعداد با توان و پایه های مختلف. توانمندی. عبارات قدرت چیست؟

عبارات، تبدیل بیان

عبارات قدرت (عبارات با قدرت) و تبدیل آنها

در این مقاله در مورد تبدیل عبارات با قدرت صحبت خواهیم کرد. ابتدا، ما روی تبدیل‌هایی تمرکز می‌کنیم که با عباراتی از هر نوع، از جمله عبارات قدرت، مانند باز کردن پرانتز و آوردن اصطلاحات مشابه، انجام می‌شوند. و سپس تبدیل های ذاتی را به طور خاص در عبارات دارای درجه تجزیه و تحلیل خواهیم کرد: کار با پایه و توان، استفاده از خواص درجه و غیره.

پیمایش صفحه.

عبارات قدرت چیست؟

اصطلاح "عبارات قدرت" عملاً در کتاب های درسی ریاضیات مدرسه ظاهر نمی شود، اما اغلب در مجموعه ای از مسائل ظاهر می شود، به ویژه مواردی که برای آماده سازی برای آزمون یکپارچه دولتی و آزمون دولتی واحد، به عنوان مثال، در نظر گرفته شده است. پس از تجزیه و تحلیل وظایفی که در آنها انجام هر عملی با عبارات قدرت ضروری است، مشخص می شود که عبارات قدرت به عنوان عباراتی حاوی قدرت در ورودی های خود درک می شوند. بنابراین، می توانید تعریف زیر را برای خود بپذیرید:

تعریف.

عبارات قدرتعباراتی هستند که دارای درجه هستند.

بدهیم نمونه هایی از عبارات قدرت. علاوه بر این، ما آنها را با توجه به چگونگی توسعه دیدگاه ها از یک درجه با توان طبیعی به یک درجه با توان واقعی ارائه خواهیم کرد.

همانطور که مشخص است، ابتدا با توان یک عدد با توان طبیعی در این مرحله، اولین عبارات توانی از نوع 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (-0.1) آشنا می شود. 4، 3 a 2 −a+a 2، x 3−1، (a 2) 3 و غیره ظاهر می شود.

کمی بعد، توان یک عدد با توان عدد صحیح مورد مطالعه قرار می گیرد که منجر به ظهور عبارات توانی با توان های صحیح منفی می شود، مانند موارد زیر: 3-2، , a -2 +2 b -3 +c 2 .

در دبیرستان به مدارج برمی گردند. در آنجا درجه ای با توان گویا معرفی می شود که مستلزم ظهور عبارات قدرت مربوطه است: , , و غیره در نهایت، درجاتی با توان غیرمنطقی و عبارات حاوی آنها در نظر گرفته می شود: , .

موضوع به عبارات قدرت فهرست شده محدود نمی شود: متغیر بیشتر به توان نفوذ می کند و به عنوان مثال، عبارات زیر بوجود می آیند: 2 x 2 +1 یا . و پس از آشنا شدن با، عباراتی با توان ها و لگاریتم ها ظاهر می شوند، برای مثال x 2·lgx −5·x lgx.

بنابراین، ما به این سؤال پرداخته‌ایم که عبارات قدرت چه چیزی را نشان می‌دهند. در ادامه نحوه تبدیل آنها را یاد خواهیم گرفت.

انواع اصلی تبدیل عبارات قدرت

با عبارات قدرت، می توانید هر یک از تبدیل هویت اصلی عبارات را انجام دهید. به عنوان مثال، می توانید پرانتز را باز کنید، عبارات عددی را با مقادیر آنها جایگزین کنید، اصطلاحات مشابه را اضافه کنید و غیره. طبیعتاً در این مورد لازم است رویه پذیرفته شده برای انجام اقدامات رعایت شود. بیایید مثال بزنیم.

مثال.

مقدار عبارت توان 2 3 ·(4 2 −12) را محاسبه کنید.

راه حل.

با توجه به ترتیب اجرای اکشن ها ابتدا اقدامات داخل براکت را انجام دهید. در آنجا اولاً توان 4 2 را با مقدار 16 جایگزین می کنیم (در صورت لزوم ببینید) و ثانیاً تفاوت 16−12=4 را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

در عبارت به دست آمده توان 2 3 را با مقدار 8 جایگزین می کنیم و پس از آن حاصل ضرب 8·4=32 را محاسبه می کنیم. این مقدار مورد نظر است.

بنابراین، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

پاسخ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

مثال.

عبارات را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b -7 -1 +2 a 4 b -7.

راه حل.

بدیهی است که این عبارت شامل عبارات مشابه 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 است و می توانیم آنها را ارائه دهیم: .

پاسخ:

3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7 =5 a 4 b -7 -1.

مثال.

یک عبارت را با قدرت ها به عنوان یک محصول بیان کنید.

راه حل.

می توانید با نمایش عدد 9 به عنوان توان 3 2 و سپس استفاده از فرمول ضرب اختصاری - تفاوت مربع ها با این کار کنار بیایید:

پاسخ:

همچنین تعدادی از تبدیل های یکسان به طور خاص در عبارات قدرت وجود دارد. ما آنها را بیشتر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

کار با پایه و توان

قدرت هایی وجود دارند که پایه و/یا توان آنها فقط اعداد یا متغیرها نیستند، بلکه برخی عبارات هستند. به عنوان مثال، ورودی های (2+0.3·7) 5-3.7 و (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1) را می دهیم.

هنگام کار با چنین عباراتی، می توانید هم عبارت در پایه درجه و هم عبارت در توان را با یک عبارت یکسان در ODZ متغیرهای آن جایگزین کنید. به عبارت دیگر، طبق قوانینی که برای ما شناخته شده است، می توانیم به طور جداگانه پایه درجه و جداگانه را تبدیل کنیم. واضح است که در نتیجه این دگرگونی عبارتی به دست می آید که برابر با عبارت اصلی است.

چنین دگرگونی هایی به ما این امکان را می دهد که عبارات را با قدرت ها ساده کنیم یا به اهداف دیگری که نیاز داریم دست یابیم. به عنوان مثال، در عبارت توان ذکر شده در بالا (2+0.3 7) 5-3.7، می توانید عملیاتی را با اعداد موجود در مبنا و توان انجام دهید که به شما امکان می دهد به توان 4.1 1.3 بروید. و پس از باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه به پایه درجه (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1)، یک عبارت ساده تر از 2·(x+) به دست می آوریم. 1) .

استفاده از ویژگی های درجه

یکی از ابزارهای اصلی برای تبدیل عبارات با قدرت، برابری هایی است که منعکس می شوند. اجازه دهید موارد اصلی را یادآوری کنیم. برای هر اعداد مثبت a و b و اعداد حقیقی دلخواه r و s، ویژگی های توان های زیر درست است:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

توجه داشته باشید که برای نماهای طبیعی، صحیح و مثبت، محدودیت های اعداد a و b ممکن است چندان سختگیرانه نباشد. به عنوان مثال، برای اعداد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n نه تنها برای a مثبت، بلکه برای منفی a و برای a=0 نیز صادق است.

در مدرسه، تمرکز اصلی هنگام تبدیل عبارات قدرت بر توانایی انتخاب ویژگی مناسب و اعمال صحیح آن است. در این حالت، پایه های درجه ها معمولاً مثبت هستند، که اجازه می دهد از خواص درجه ها بدون محدودیت استفاده شود. همین امر در مورد تبدیل عبارات حاوی متغیرها در مبانی قدرت ها نیز صدق می کند - محدوده مقادیر مجاز متغیرها معمولاً به گونه ای است که پایه ها فقط مقادیر مثبت را روی آن می گیرند که به شما امکان می دهد آزادانه از ویژگی های قدرت ها استفاده کنید. . به طور کلی، باید دائماً از خود بپرسید که آیا می توان در این مورد از هر خاصیت درجه استفاده کرد، زیرا استفاده نادرست از خواص می تواند منجر به کاهش ارزش آموزشی و سایر مشکلات شود. این نکات به تفصیل و همراه با مثال در مقاله تبدیل عبارات با استفاده از ویژگی های قدرت ها مورد بحث قرار گرفته است. در اینجا به بررسی چند مثال ساده بسنده می کنیم.

مثال.

عبارت a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 را به صورت توان با پایه a بیان کنید.

راه حل.

ابتدا فاکتور دوم (a 2) -3 را با استفاده از خاصیت افزایش توان به توان تبدیل می کنیم: (a 2) -3 =a 2·(-3) =a -6. عبارت قدرت اصلی به شکل 2.5 ·a -6:a -5.5 خواهد بود. بدیهی است که باقی مانده است که از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده کنیم.
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a -3.5-(-5.5) =a 2.

پاسخ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

ویژگی های قدرت ها هنگام تبدیل عبارات قدرت هم از چپ به راست و هم از راست به چپ استفاده می شود.

مثال.

مقدار عبارت قدرت را پیدا کنید.

راه حل.

برابری (a·b) r =a r ·b r که از راست به چپ اعمال می‌شود، به ما امکان می‌دهد از عبارت اصلی به یک حاصل از شکل و بیشتر حرکت کنیم. و هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها با هم جمع می شوند: .

امکان تبدیل عبارت اصلی به روش دیگری وجود داشت:

پاسخ:

.

مثال.

با توجه به عبارت قدرت a 1.5 −a 0.5 −6، یک متغیر جدید t=a 0.5 معرفی کنید.

راه حل.

درجه a 1.5 را می توان به صورت 0.5 3 نشان داد و سپس بر اساس خاصیت درجه به درجه (a r) s =a r s، از راست به چپ اعمال می شود، آن را به شکل (a 0.5) 3 تبدیل می کنیم. بدین ترتیب، a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. اکنون معرفی یک متغیر جدید t=a 0.5 آسان است، t 3 −t−6 را دریافت می کنیم.

پاسخ:

t 3 −t−6 .

تبدیل کسرهای حاوی توان

عبارات قدرت می توانند شامل یا نمایش کسری با توان باشند. هر یک از تبدیل‌های اساسی کسرها که در کسری از هر نوعی وجود دارد، به طور کامل برای چنین کسرهایی قابل استفاده است. یعنی کسرهایی که دارای توان هستند را می توان کاهش داد، به مخرج جدید تقلیل داد، با صورت آنها جداگانه و با مخرج جداگانه کار کرد و غیره. برای تشریح این کلمات، راه حل هایی برای چندین مثال در نظر بگیرید.

مثال.

بیان قدرت را ساده کنید .

راه حل.

این عبارت قدرت یک کسری است. بیایید با صورت و مخرج آن کار کنیم. در صورت‌حساب، پرانتزها را باز می‌کنیم و عبارت به‌دست‌آمده را با استفاده از ویژگی‌های توان‌ها ساده می‌کنیم و در مخرج عبارت‌های مشابه را ارائه می‌کنیم:

و همچنین علامت مخرج را با قرار دادن منهای جلوی کسر تغییر می دهیم: .

پاسخ:

.

تقلیل کسرهای حاوی توان به مخرج جدید مشابه تقلیل کسرهای گویا به مخرج جدید انجام می شود. در این صورت یک عامل اضافی نیز پیدا می شود و صورت و مخرج کسر در آن ضرب می شود. هنگام انجام این عمل، شایان ذکر است که کاهش به مخرج جدید می تواند منجر به باریک شدن ODZ شود. برای جلوگیری از این اتفاق، لازم است که فاکتور اضافی برای هیچ یک از مقادیر متغیرها از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی به صفر نرسد.

مثال.

کسرها را به مخرج جدید کاهش دهید: الف) به مخرج a، ب) به مخرج.

راه حل.

الف) در این مورد، تشخیص اینکه کدام ضریب اضافی به دستیابی به نتیجه مطلوب کمک می کند، بسیار آسان است. این ضریب 0.3 است، زیرا 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. توجه داشته باشید که در محدوده مقادیر مجاز متغیر a (این مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت است)، توان 0.3 از بین نمی رود، بنابراین، ما حق داریم که صورت و مخرج یک داده را ضرب کنیم. کسر با این عامل اضافی:

ب) با نگاهی دقیق تر به مخرج، می توانید آن را پیدا کنید

و با ضرب این عبارت در مجموع مکعب ها و یعنی . و این مخرج جدیدی است که باید کسر اصلی را به آن کاهش دهیم.

به این ترتیب ما یک عامل اضافی پیدا کردیم. در محدوده مقادیر مجاز متغیرهای x و y، عبارت ناپدید نمی شود، بنابراین، می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم:

پاسخ:

آ) ، ب) .

همچنین هیچ چیز جدیدی در کاهش کسرهای حاوی توان وجود ندارد: صورت و مخرج به عنوان تعدادی عامل نشان داده می شوند و همان عوامل صورت و مخرج کاهش می یابد.

مثال.

کسر را کم کن: الف) ، ب) .

راه حل.

الف) اولاً صورت و مخرج را می توان با اعداد 30 و 45 کاهش داد که برابر با 15 است. همچنین بدیهی است که امکان کاهش x 0.5 +1 و by نیز وجود دارد . این چیزی است که ما داریم:

ب) در این حالت عوامل یکسان در صورت و مخرج بلافاصله قابل مشاهده نیستند. برای به دست آوردن آنها، باید تغییرات اولیه را انجام دهید. در این مورد، آنها عبارتند از فاکتورگیری مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع:

پاسخ:

آ)

ب) .

تبدیل کسرها به مخرج جدید و کسر کسر عمدتاً برای انجام کارها با کسرها استفاده می شود. اقدامات بر اساس قوانین شناخته شده انجام می شود. هنگام جمع (تفریق) کسرها، آنها به یک مخرج مشترک کاهش می یابند، پس از آن اعداد جمع می شوند (کاهش می شوند)، اما مخرج ثابت می ماند. حاصل کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج ها است. تقسیم بر کسری ضرب در معکوس آن است.

مثال.

مراحل را دنبال کنید .

راه حل.

ابتدا کسرهای داخل پرانتز را کم می کنیم. برای این کار آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم که این است ، پس از آن اعداد را کم می کنیم:

حالا کسرها را ضرب می کنیم:

بدیهی است که می توان با توان x 1/2 کاهش داد که پس از آن داریم .

همچنین می توانید با استفاده از فرمول تفاضل مربعات، عبارت توان را در مخرج ساده کنید: .

پاسخ:

مثال.

بیان قدرت را ساده کنید .

راه حل.

بدیهی است که این کسر را می توان با (x 2.7 +1) 2 کاهش داد، این کسر را می دهد . واضح است که باید کار دیگری با قدرت های X انجام شود. برای انجام این کار، کسر حاصل را به یک محصول تبدیل می کنیم. این به ما این فرصت را می دهد که از ویژگی تقسیم قدرت با پایه های یکسان استفاده کنیم: . و در پایان فرآیند از آخرین محصول به کسر حرکت می کنیم.

پاسخ:

.

و این را هم اضافه کنیم که می توان و در بسیاری از موارد مطلوب است که با تغییر علامت مبدل، فاکتورهایی با توان منفی را از صورت به مخرج یا از مخرج به صورت منتقل کنیم. چنین تحولاتی اغلب اقدامات بعدی را ساده می کند. به عنوان مثال، عبارت قدرت را می توان با .

تبدیل عبارات با ریشه و قدرت

غالباً در عباراتی که در آنها تغییراتی لازم است، ریشه هایی با توان کسری نیز همراه با توان ها وجود دارند. برای تبدیل چنین عبارتی به شکل مورد نظر، در بیشتر موارد کافی است فقط به ریشه ها یا فقط به قدرت ها بروید. اما از آنجایی که کار با قدرت ها راحت تر است، معمولاً از ریشه ها به قدرت ها می روند. با این حال، توصیه می شود چنین انتقالی را زمانی انجام دهید که ODZ متغیرها برای عبارت اصلی به شما امکان می دهد بدون نیاز به مراجعه به ماژول یا تقسیم ODZ به چندین بازه، ریشه ها را با قدرت جایگزین کنید (ما در این مورد به تفصیل در مورد بحث صحبت کردیم. انتقال مقاله از ریشه به توان و برگشت پس از آشنایی با درجه با توان منطقی، درجه ای با توان غیرمنطقی معرفی می شود که به ما امکان می دهد در مورد یک درجه با توان واقعی دلخواه صحبت کنیم در مدرسه تحصیل کرد تابع نماییکه به صورت تحلیلی با توانی به دست می آید که پایه آن یک عدد و توان آن یک متغیر است. بنابراین ما با عبارات توانی حاوی اعداد در پایه توان و در توان - عبارات با متغیر مواجه هستیم و طبیعتاً نیاز به انجام تبدیل این گونه عبارات احساس می شود.

باید گفت که تبدیل عبارات از نوع مشخص شده معمولاً باید هنگام حل انجام شود معادلات نماییو نابرابری های نمایی، و این تبدیل ها بسیار ساده هستند. در اکثریت قریب به اتفاق موارد، آنها بر اساس ویژگی های مدرک هستند و در بیشتر موارد، با هدف معرفی یک متغیر جدید در آینده هستند. معادله به ما امکان می دهد آنها را نشان دهیم 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

اولاً، توان هایی که در نماهای آنها مجموع یک متغیر خاص (یا عبارت با متغیرها) و یک عدد است، با محصولات جایگزین می شوند. این برای اولین و آخرین عبارت عبارت در سمت چپ اعمال می شود:
5 2 x 5 1-3 5 x 7 x −14 7 2 x 7-1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

در مرحله بعد، هر دو طرف برابری با عبارت 7 2 x تقسیم می شوند، که در ODZ متغیر x برای معادله اصلی فقط مقادیر مثبت را می گیرد (این یک تکنیک استاندارد برای حل معادلات از این نوع است، ما نیستیم. اکنون در مورد آن صحبت می کنیم، بنابراین روی تغییر شکل های بعدی عبارات با قدرت تمرکز کنید:

اکنون می‌توانیم کسرهای دارای توان را لغو کنیم، که می‌دهد .

در نهایت، نسبت قدرت ها با توان های یکسان با توان های روابط جایگزین می شود و در نتیجه معادله ایجاد می شود. ، که معادل است . تبدیل های انجام شده به ما امکان می دهد یک متغیر جدید معرفی کنیم که حل معادله نمایی اصلی را به حل یک معادله درجه دوم کاهش می دهد.

I. V. Boykov، L. D. Romanovaمجموعه ای از وظایف برای آماده سازی برای آزمون دولتی واحد. قسمت 1. پنزا 2003.

سطح اول

مقایسه اعداد. راهنمای جامع (2019)

هنگام حل معادلات و نابرابری ها و همچنین مسائل مربوط به ماژول ها، باید ریشه های یافت شده را روی خط اعداد قرار دهید. همانطور که می دانید، ریشه های یافت شده ممکن است متفاوت باشند. آنها می توانند اینگونه باشند: ، یا می توانند اینگونه باشند: ، .

بر این اساس، اگر اعداد منطقی نیستند بلکه غیرمنطقی هستند (اگر فراموش کرده اید که چیست، به موضوع نگاه کنید)، یا عبارت های پیچیده ریاضی هستند، قرار دادن آنها در خط اعداد بسیار مشکل ساز است. علاوه بر این، شما نمی توانید در طول امتحان از ماشین حساب استفاده کنید، و محاسبات تقریبی 100٪ تضمین نمی کند که یک عدد از عدد دیگر کمتر است (اگر بین اعداد مقایسه شده تفاوت وجود داشته باشد چه می شود؟).

البته می دانید که اعداد مثبت همیشه بزرگتر از اعداد منفی هستند و اگر یک محور عددی را تصور کنیم، در هنگام مقایسه، بزرگترین اعداد به سمت راست از کوچکترین خواهند بود: ; ; و غیره.

اما آیا همه چیز همیشه به همین راحتی است؟ جایی که روی خط عدد علامت گذاری می کنیم، .

چگونه می توان آنها را مثلاً با یک عدد مقایسه کرد؟ این مالش است...)

ابتدا اجازه دهید به طور کلی در مورد چگونگی و آنچه مقایسه کنیم صحبت کنیم.

مهم: توصیه می شود که تغییراتی را انجام دهید تا علامت نابرابری تغییر نکند!یعنی در حین تبدیل ها ضرب در یک عدد منفی نامطلوب است و ممنوع استمربع اگر یکی از قسمت ها منفی باشد.

مقایسه کسرها

بنابراین، ما باید دو کسر را با هم مقایسه کنیم: و.

چندین گزینه در مورد نحوه انجام این کار وجود دارد.

گزینه 1. کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.

بیایید آن را به شکل یک کسر معمولی بنویسیم:

- (همانطور که می بینید، صورت و مخرج را هم کم کردم).

اکنون باید کسرها را با هم مقایسه کنیم:

اکنون می توانیم به دو صورت به مقایسه ادامه دهیم. ما میتوانیم:

1. فقط همه چیز را به یک مخرج مشترک بیاورید و هر دو کسر را نامناسب نشان دهید (عدد بزرگتر از مخرج است):

   کدام عدد بزرگتر است؟ درسته اونی که عدد بزرگتر داره یعنی اولی.

2. «بگذارید کنار بگذاریم» (در نظر بگیرید که از هر کسری یکی کم کرده‌ایم و نسبت کسرها به یکدیگر تغییر نکرده است) و کسرها را با هم مقایسه کنید:

   ما همچنین آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم:

   ما دقیقاً همان نتیجه را در مورد قبلی گرفتیم - عدد اول بزرگتر از دوم است:

   بیایید همچنین بررسی کنیم که آیا یک را به درستی کم کرده ایم؟ بیایید تفاوت عددی را در محاسبه اول و دوم محاسبه کنیم:
   1)
   2)

بنابراین، ما به نحوه مقایسه کسرها و آوردن آنها به مخرج مشترک نگاه کردیم. بیایید به روش دیگری برویم - مقایسه کسرها، آوردن آنها به یک عدد... مشترک.

گزینه 2. مقایسه کسرها با کاهش به یک عدد مشترک.

بله بله. این اشتباه تایپی نیست. این روش به ندرت به کسی در مدرسه آموزش داده می شود، اما اغلب بسیار راحت است. برای اینکه به سرعت ماهیت آن را درک کنید، من فقط یک سوال از شما می پرسم - "در چه مواردی ارزش کسری بیشتر است؟" البته، می گویید "زمانی که صورت تا حد امکان بزرگ و مخرج تا حد امکان کوچک باشد."

به عنوان مثال، شما قطعا می توانید بگویید که این درست است؟ اگر بخواهیم کسرهای زیر را با هم مقایسه کنیم چطور؟ من فکر می کنم شما نیز بلافاصله علامت را به درستی قرار دهید، زیرا در مورد اول آنها به قطعات و در مورد دوم به کامل تقسیم می شوند، به این معنی که در مورد دوم قطعات بسیار کوچک می شوند و بر این اساس: . همانطور که می بینید، مخرج ها در اینجا متفاوت هستند، اما اعداد یکسان هستند. با این حال، برای مقایسه این دو کسر، لازم نیست به دنبال مخرج مشترک باشید. اگرچه ... آن را پیدا کنید و ببینید آیا علامت مقایسه هنوز اشتباه است؟

اما نشانه همان است.

بیایید به وظیفه اصلی خود بازگردیم - مقایسه و ... مقایسه خواهیم کرد و ... اجازه دهید این کسرها را نه به یک مخرج مشترک، بلکه به یک عدد مشترک تقلیل دهیم. برای انجام این کار به سادگی صورت و مخرجکسر اول را در ضرب کنید ما گرفتیم:

و. کدام کسر بزرگتر است؟ درست است، اولی.

گزینه 3: مقایسه کسرها با استفاده از تفریق.

چگونه کسرها را با استفاده از تفریق مقایسه کنیم؟ بله خیلی ساده کسر دیگری را از یک کسر کم می کنیم. اگر نتیجه مثبت باشد، کسر اول (minuend) بزرگتر از دوم است (subtrahend) و اگر منفی باشد، برعکس.

در مورد ما، بیایید سعی کنیم کسر اول را از کسر دوم کم کنیم: .

همانطور که قبلاً فهمیدید ، ما نیز به یک کسر معمولی تبدیل می کنیم و همان نتیجه را می گیریم - . بیان ما به شکل زیر است:

در مرحله بعد، ما همچنان باید به کاهش به مخرج مشترک متوسل شویم. سوال این است: در روش اول، تبدیل کسرها به کسرهای نامناسب، یا در روش دوم، گویی "حذف" واحد؟ ضمناً این اقدام توجیهی کاملاً ریاضی دارد. نگاه کن:

من گزینه دوم را بهتر دوست دارم، زیرا ضرب در صورت وقتی به مخرج مشترک کاهش می یابد بسیار ساده تر می شود.

بیایید آن را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

نکته اصلی در اینجا این است که در مورد عددی که از چه عددی کم کرده ایم و کجا گیج نشویم. با دقت به پیشرفت راه حل نگاه کنید و به طور تصادفی علائم را اشتباه نگیرید. عدد اول را از عدد دوم کم کردیم و جواب منفی گرفتیم، پس؟.. درست است، عدد اول از عدد دوم بزرگتر است.

فهمیدم؟ سعی کنید کسرها را با هم مقایسه کنید:

ایست ایست. برای رسیدن به مخرج مشترک یا تفریق عجله نکنید. نگاه کنید: به راحتی می توانید آن را به کسر اعشاری تبدیل کنید. چقدر طول می کشه؟ درست. در نهایت چه چیزی بیشتر است؟

این گزینه دیگری است - مقایسه کسرها با تبدیل به اعشار.

گزینه 4: مقایسه کسرها با استفاده از تقسیم.

بله بله. و این نیز امکان پذیر است. منطق ساده است: وقتی یک عدد بزرگتر را بر یک عدد کوچکتر تقسیم می کنیم، پاسخی که به دست می آوریم عددی بزرگتر از یک است و اگر عدد کوچکتر را بر عدد بزرگتر تقسیم کنیم، پاسخ بر روی فاصله از تا قرار می گیرد.

برای به خاطر سپردن این قانون، هر دو عدد اول را برای مقایسه در نظر بگیرید، به عنوان مثال، و. میدونی دیگه چیه؟ حالا بیایید تقسیم بر. پاسخ ما این است. بر این اساس، نظریه صحیح است. اگر بر تقسیم کنیم، چیزی که به دست می آوریم کمتر از یک است، که به نوبه خود تأیید می کند که در واقع کمتر است.

بیایید سعی کنیم این قانون را برای کسرهای معمولی اعمال کنیم. بیایید مقایسه کنیم:

کسر اول را بر کسر دوم تقسیم کنید:

بیایید کوتاه بیاییم.

نتیجه به دست آمده کمتر است، یعنی سود سهام کمتر از مقسوم علیه است، یعنی:

ما تمام گزینه های ممکن را برای مقایسه کسرها بررسی کرده ایم. آنها را چگونه می بینید 5:

• تقلیل به مخرج مشترک؛
• کاهش به یک عدد مشترک
• کاهش به شکل کسری اعشاری؛
• منها کردن؛
• تقسیم.

برای تمرین آماده اید؟ مقایسه کسرها به روش بهینه:

بیایید پاسخ ها را با هم مقایسه کنیم:

1. (- تبدیل به اعشار)
2. (یک کسر را بر کسر دیگر تقسیم کنید و به صورت و مخرج کاهش دهید)
3. (کل قسمت را انتخاب کنید و کسرها را بر اساس همان صورتگر مقایسه کنید)
4. (یک کسر را بر کسر دیگر تقسیم کنید و به صورت و مخرج کاهش دهید).

2. مقایسه درجات

حال تصور کنید که ما نه فقط اعداد، بلکه عباراتی را که در آن درجه () وجود دارد، مقایسه کنیم.

البته می توانید به راحتی یک علامت نصب کنید:

به هر حال، اگر درجه را با ضرب جایگزین کنیم، به دست می آید:

از این مثال کوچک و ابتدایی قاعده زیر است:

حال سعی کنید موارد زیر را با هم مقایسه کنید: . شما همچنین می توانید به راحتی یک علامت قرار دهید:

چون اگر توان را با ضرب جایگزین کنیم...

به طور کلی، شما همه چیز را درک می کنید، و به هیچ وجه سخت نیست.

مشکلات تنها زمانی به وجود می آیند که در هنگام مقایسه، درجات دارای مبانی و شاخص های متفاوتی باشند. در این صورت باید تلاش کرد که به یک نقطه مشترک منتهی شود. مثلا:

البته، می دانید که بر این اساس، این عبارت به شکل زیر است:

بیایید پرانتزها را باز کنیم و آنچه را که به دست می آوریم مقایسه کنیم:

یک مورد خاص زمانی است که پایه درجه () کمتر از یک باشد.

اگر، پس از دو درجه و بزرگتر آن است که شاخص آن کمتر است.

بیایید سعی کنیم این قانون را اثبات کنیم. بگذار باشد.

بیایید تعدادی عدد طبیعی را به عنوان تفاوت بین و معرفی کنیم.

منطقی است، اینطور نیست؟

و اکنون اجازه دهید یک بار دیگر به شرایط توجه کنیم - .

به ترتیب: . از این رو، .

مثلا:

همانطور که متوجه شدید، موردی را در نظر گرفتیم که مبانی درجات برابر باشند. حالا بیایید ببینیم که چه زمانی پایه در بازه از تا است، اما توان ها برابر هستند. اینجا همه چیز خیلی ساده است.

بیایید به یاد بیاوریم که چگونه این را با استفاده از یک مثال مقایسه کنیم:

البته شما به سرعت حساب را انجام دادید:

بنابراین، هنگامی که با مشکلات مشابه برای مقایسه مواجه شدید، مثال ساده ای را در نظر داشته باشید که می توانید به سرعت آن را محاسبه کنید و بر اساس این مثال، علائم را در یک نمونه پیچیده تر قرار دهید.

هنگام انجام تبدیل ها، به یاد داشته باشید که اگر ضرب، جمع، تفریق یا تقسیم می کنید، تمام اعمال باید با هر دو سمت چپ و راست انجام شوند (اگر ضرب در آن انجام دهید، باید هر دو را ضرب کنید).

علاوه بر این، مواردی وجود دارد که انجام هر گونه دستکاری به سادگی بی سود است. به عنوان مثال، شما باید مقایسه کنید. در این مورد، بالا بردن قدرت و ترتیب علامت بر اساس این کار چندان دشوار نیست:

بیایید تمرین کنیم. مقایسه درجه ها:

آماده مقایسه پاسخ ها هستید؟ این چیزی است که من دریافت کردم:

1. - همان
2. - همان
3. - همان
4. - همان

3. مقایسه اعداد با ریشه

ابتدا بیایید به یاد بیاوریم که ریشه ها چیست؟ این ضبط را به خاطر دارید؟

ریشه یک توان یک عدد حقیقی عددی است که برابری برای آن برقرار است.

ریشه هادرجه فرد برای اعداد منفی و مثبت وجود دارد و حتی ریشه- فقط برای موارد مثبت.

مقدار ریشه اغلب یک اعشار بی نهایت است، که محاسبه دقیق را دشوار می کند، بنابراین مهم است که بتوانیم ریشه ها را با هم مقایسه کنیم.

اگر فراموش کرده اید چه چیزی است و با چه چیزی خورده اید - . اگر همه چیز را به خاطر دارید، بیایید قدم به قدم مقایسه ریشه ها را یاد بگیریم.

فرض کنید باید مقایسه کنیم:

برای مقایسه این دو ریشه، نیازی به انجام هیچ محاسباتی ندارید، فقط مفهوم خود "ریشه" را تجزیه و تحلیل کنید. میفهمی چی میگم؟ بله، در این مورد: در غیر این صورت می توان آن را به عنوان توان سوم یک عدد، برابر با عبارت رادیکال نوشت.

دیگه چی؟ یا؟ البته می توانید بدون هیچ مشکلی این را مقایسه کنید. هر چه عددی را که به یک توان افزایش می دهیم بزرگتر باشد، مقدار آن بیشتر خواهد بود.

بنابراین. بیایید یک قانون استخراج کنیم.

اگر توان ریشه ها یکسان باشد (در مورد ما این است)، پس لازم است عبارات رادیکال (و) را با هم مقایسه کنیم - هر چه عدد رادیکال بزرگتر باشد، ارزش ریشه با توان های مساوی بیشتر است.

به خاطر سپردن سخت است؟ سپس فقط یک مثال را در ذهن خود نگه دارید و ... این بیشتر؟

نماهای ریشه ها یکسان است، زیرا ریشه مربع است. بیان رادیکال یک عدد () از () دیگر بزرگتر است، به این معنی که این قانون واقعاً درست است.

اگر عبارات رادیکال یکسان باشند، اما درجات ریشه ها متفاوت باشد چه؟ مثلا: .

همچنین کاملاً مشخص است که هنگام استخراج ریشه درجه بالاتر، عدد کمتری به دست می آید. به عنوان مثال در نظر بگیریم:

اجازه دهید مقدار ریشه اول را به عنوان و دومی را به عنوان نشان دهیم، سپس:

به راحتی می توانید ببینید که در این معادلات باید تعداد بیشتری وجود داشته باشد، بنابراین:

اگر عبارات رادیکال یکسان باشد(در مورد ما)، و نماهای ریشه ها متفاوت است(در مورد ما این است و)، سپس لازم است که توان ها را با هم مقایسه کنیم(و) - هر چه شاخص بالاتر باشد، این عبارت کوچکتر است.

سعی کنید ریشه های زیر را با هم مقایسه کنید:

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم؟

ما این را با موفقیت مرتب کردیم :). سوال دیگری مطرح می شود: اگر همه ما متفاوت باشیم چه؟ هم درجه و هم بیان رادیکال؟ همه چیز آنقدر پیچیده نیست، ما فقط باید از ریشه "خلاص شویم". بله بله. فقط از شر آن خلاص شوید)

اگر درجات و عبارات رادیکال متفاوتی داشته باشیم، باید کمترین مضرب مشترک را برای نماهای ریشه ها پیدا کنیم (بخش مربوط به آن را بخوانید) و هر دو عبارت را به توانی برابر با کمترین مضرب مشترک برسانیم.

که همه در کلام و کلام هستیم. در اینجا یک مثال است:

1. ما به شاخص های ریشه ها نگاه می کنیم - و. کمترین مضرب مشترک آنها است.
2. بیایید هر دو عبارت را به یک قدرت برسانیم:
3. بیایید عبارت را تبدیل کنیم و پرانتزها را باز کنیم (جزئیات بیشتر در فصل):
4. بیایید کارهایی را که انجام داده ایم بشماریم و علامتی بگذاریم:

4. مقایسه لگاریتم ها

بنابراین، به آرامی اما مطمئناً به این سؤال می رسیم که چگونه لگاریتم ها را مقایسه کنیم. اگر به خاطر ندارید این چه نوع حیوانی است، به شما توصیه می کنم ابتدا تئوری را از بخش بخوانید. آیا آن را خوانده اید؟ سپس به چند سوال مهم پاسخ دهید:

1. استدلال لگاریتم چیست و پایه آن چیست؟
2. چه چیزی افزایش یا کاهش یک تابع را تعیین می کند؟

اگر همه چیز را به خاطر می آورید و کاملاً به آن تسلط دارید، بیایید شروع کنیم!

برای مقایسه لگاریتم ها با یکدیگر، فقط باید 3 تکنیک را بدانید:

• کاهش به همان مبنا؛
• تقلیل به همان استدلال;
• مقایسه با عدد سوم

در ابتدا به پایه لگاریتم توجه کنید. آیا به یاد دارید که اگر کمتر باشد، تابع کاهش می یابد و اگر بیشتر باشد، افزایش می یابد. این همان چیزی است که قضاوت های ما بر اساس آن خواهد بود.

بیایید مقایسه ای از لگاریتم هایی را که قبلاً به همان پایه یا آرگومان تقلیل یافته اند در نظر بگیریم.

برای شروع، اجازه دهید مسئله را ساده کنیم: لگاریتم های مقایسه شده را وارد کنید زمینه های برابر. سپس:

1. تابع، برای، در فاصله زمانی افزایش می‌یابد، که در تعریف، به معنای «مقایسه مستقیم» است.
2. مثال:- دلایل یکسان است، ما استدلال ها را بر این اساس مقایسه می کنیم: , بنابراین:
3. تابع، در، در فاصله زمانی از کاهش می‌یابد، که در تعریف، به معنای «مقایسه معکوس» است. - مبانی یکسان است، ما آرگومان ها را بر این اساس مقایسه می کنیم: با این حال، علامت لگاریتم ها "معکوس" خواهد بود، زیرا تابع در حال کاهش است: .

حال مواردی را در نظر بگیرید که دلایل متفاوت است، اما استدلال ها یکی است.

1. پایه بزرگتر است.
   • . در این مورد ما از "مقایسه معکوس" استفاده می کنیم. به عنوان مثال: - آرگومان ها یکسان هستند و. بیایید پایه ها را با هم مقایسه کنیم: با این حال، علامت لگاریتم ها "معکوس" خواهد بود:
2. پایه a در شکاف است.
   • . در این مورد از "مقایسه مستقیم" استفاده می کنیم. مثلا:
   • . در این مورد ما از "مقایسه معکوس" استفاده می کنیم. مثلا:

بیایید همه چیز را به صورت جدولی کلی بنویسیم:

، که در آن	، که در آن

بر این اساس، همانطور که قبلاً فهمیدید، هنگام مقایسه لگاریتم ها، باید به همان پایه یا آرگومان برسیم، با استفاده از فرمول حرکت از یک پایه به پایه دیگر.

همچنین می توانید لگاریتم ها را با عدد سوم مقایسه کنید و بر این اساس نتیجه بگیرید که چه چیزی کمتر و چه چیزی بیشتر است. مثلاً به این فکر کنید که چگونه می توان این دو لگاریتم را با هم مقایسه کرد؟

یک اشاره کوچک - برای مقایسه، لگاریتم به شما کمک زیادی می کند، که استدلال آن برابر خواهد بود.

فکر؟ بیا با هم تصمیم بگیریم

ما به راحتی می توانیم این دو لگاریتم را با شما مقایسه کنیم:

نمی دانی چگونه؟ بالا را ببین. ما فقط این را مرتب کردیم. چه نشانه ای وجود خواهد داشت؟ درست:

موافق؟

بیایید با هم مقایسه کنیم:

شما باید موارد زیر را دریافت کنید:

حالا همه نتیجه گیری های ما را در یک جمع کنید. اتفاق افتاد؟

5. مقایسه عبارات مثلثاتی.

سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت چیست؟ چرا به یک دایره واحد نیاز داریم و چگونه مقدار توابع مثلثاتی روی آن را پیدا کنیم؟ اگر پاسخ این سوالات را نمی دانید، به شدت توصیه می کنم که تئوری این موضوع را مطالعه کنید. و اگر می دانید، پس مقایسه عبارات مثلثاتی با یکدیگر برای شما سخت نیست!

بیایید کمی حافظه خود را تازه کنیم. بیایید یک دایره مثلثاتی واحد و یک مثلث حک شده در آن رسم کنیم. توانستی مدیریت کنی؟ حالا با استفاده از اضلاع مثلث، کسینوس را در کدام طرف و سینوس را در کدام طرف رسم می کنیم. (البته یادتان هست که سینوس نسبت طرف مقابل به هیپوتنوز است و کسینوس ضلع مجاور؟). کشیدی؟ عالی! آخرین لمس این است که آن را در کجا، کجا و غیره قرار دهیم. آن را گذاشتی؟ فیو) بیایید آنچه را که برای من و شما اتفاق افتاد مقایسه کنیم.

اوه! حالا بیایید شروع کنیم به مقایسه!

فرض کنید باید مقایسه کنیم و. این زوایا را با استفاده از دستورات موجود در کادرها (جایی که کجا را مشخص کرده ایم)، رسم نقاط روی دایره واحد رسم کنید. توانستی مدیریت کنی؟ این چیزی است که من دریافت کردم.

حالا از نقاطی که روی دایره مشخص کردیم یک عمود بر روی محور بیندازیم... کدام یک؟ کدام محور مقدار سینوس ها را نشان می دهد؟ درست، . این چیزی است که باید دریافت کنید:

با نگاه کردن به این تصویر، که بزرگتر است: یا؟ البته چون نقطه بالاتر از نقطه است.

به روشی مشابه، مقدار کسینوس ها را با هم مقایسه می کنیم. فقط عمود بر محور را پایین می آوریم... درست است، . بر این اساس، ما نگاه می کنیم که کدام نقطه در سمت راست (یا بالاتر، مانند مورد سینوس ها) است، سپس مقدار آن بیشتر است.

احتمالاً قبلاً می دانید که چگونه مماس ها را مقایسه کنید، درست است؟ تنها چیزی که باید بدانید این است که مماس چیست. پس مماس چیست؟) درست است، نسبت سینوس به کسینوس.

برای مقایسه مماس ها، یک زاویه را مانند حالت قبل ترسیم می کنیم. فرض کنید باید مقایسه کنیم:

کشیدی؟ اکنون مقادیر سینوس را نیز در محور مختصات علامت گذاری می کنیم. متوجه شدید؟ اکنون مقادیر کسینوس را در خط مختصات نشان دهید. اتفاق افتاد؟ بیایید مقایسه کنیم:

حالا آنچه نوشتید را تحلیل کنید. - یک بخش بزرگ را به یک قسمت کوچک تقسیم می کنیم. پاسخ حاوی مقداری خواهد بود که قطعاً بزرگتر از یک است. درست؟

و وقتی کوچک را بر بزرگ تقسیم می کنیم. پاسخ عددی خواهد بود که دقیقاً کمتر از یک باشد.

بنابراین کدام عبارت مثلثاتی ارزش بیشتری دارد؟

درست:

همانطور که اکنون متوجه شدید، مقایسه کوتانژانت ها یکسان است، فقط به صورت معکوس: ما به چگونگی ارتباط بخش هایی که کسینوس و سینوس را تعریف می کنند با یکدیگر نگاه می کنیم.

سعی کنید عبارات مثلثاتی زیر را خودتان مقایسه کنید:

مثال ها.

پاسخ ها.

مقایسه اعداد. سطح متوسط.

کدام عدد بزرگتر است: یا؟ پاسخ واضح است. و حالا: یا؟ دیگر چندان واضح نیست، درست است؟ بنابراین: یا؟

اغلب باید بدانید کدام عبارت عددی بزرگتر است. به عنوان مثال، هنگام حل یک نامساوی، نقاط روی محور را به ترتیب صحیح قرار دهید.

اکنون به شما یاد می دهم که چگونه چنین اعدادی را مقایسه کنید.

در صورت نیاز به مقایسه اعداد، علامتی بین آنها قرار می دهیم (برگرفته از کلمه لاتین Versus یا به اختصار در مقابل - مقابل): . این علامت جایگزین علامت نابرابری مجهول (). سپس، تبدیل‌های یکسانی را انجام می‌دهیم تا زمانی که مشخص شود کدام علامت باید بین اعداد قرار گیرد.

ماهیت مقایسه اعداد این است: ما با علامت به گونه ای رفتار می کنیم که گویی نوعی علامت نابرابری است. و با عبارت ما می توانیم هر کاری را که معمولاً با نابرابری ها انجام می دهیم انجام دهیم:

• هر عددی را به هر دو طرف اضافه کنید (و البته ما هم می توانیم کم کنیم)
• "همه چیز را به یک سمت حرکت دهید"، یعنی یکی از عبارات مقایسه شده را از هر دو قسمت کم کنید. به جای عبارت تفریق شده باقی می ماند: .
• ضرب یا تقسیم بر همان عدد اگر این عدد منفی باشد، علامت نابرابری معکوس می شود: .
• هر دو طرف را به یک قدرت برسانید. اگر این قدرت یکنواخت است، باید مطمئن شوید که هر دو قسمت علامت یکسانی دارند. اگر هر دو قسمت مثبت باشند، علامت با بالا بردن توان تغییر نمی کند، اما اگر منفی باشند، به عکس تغییر می کند.
• ریشه یک درجه را از هر دو قسمت استخراج کنید. اگر ریشه یک درجه زوج را استخراج می کنیم، ابتدا باید مطمئن شویم که هر دو عبارت غیر منفی هستند.
• هر تبدیل معادل دیگر

مهم: توصیه می شود که تغییراتی را انجام دهید تا علامت نابرابری تغییر نکند! یعنی در حین تبدیل ها ضرب در یک عدد منفی نامطلوب است و اگر یکی از قسمت ها منفی باشد نمی توانید آن را مربع کنید.

بیایید به چند موقعیت معمولی نگاه کنیم.

1. قدرت.

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

از آنجایی که هر دو طرف نابرابری مثبت هستند، می توانیم آن را مربع کنیم تا از ریشه خلاص شویم:

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

در اینجا ما همچنین می توانیم آن را مربع کنیم، اما این فقط به ما کمک می کند که از ریشه دوم خلاص شویم. در اینجا باید آن را به حدی بالا برد که هر دو ریشه از بین بروند. به این معنی که نماگر این درجه باید بر هر دو (درجه ریشه اول) و بر قابل تقسیم باشد. بنابراین، این عدد به توان یکم افزایش می یابد:

2. ضرب در مزدوج آن.

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

بیایید هر اختلاف را بر مجموع مزدوج ضرب و تقسیم کنیم:

بدیهی است که مخرج سمت راست بزرگتر از مخرج سمت چپ است. بنابراین، کسر سمت راست کوچکتر از کسر سمت چپ است:

3. تفریق

این را به خاطر بسپاریم.

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

البته، ما می‌توانیم همه چیز را جمع‌بندی کنیم، دوباره جمع‌بندی کنیم و دوباره آن را مربع کنیم. اما می توانید کاری هوشمندانه تر انجام دهید:

مشاهده می شود که در سمت چپ هر جمله کمتر از هر عبارت سمت راست است.

بر این اساس، مجموع تمام عبارت های سمت چپ کمتر از مجموع تمام عبارت های سمت راست است.

اما مراقب باشید! از ما پرسیده شد که دیگر چه ...

سمت راست بزرگتر است.

مثال.

مقایسه اعداد و ...

راه حل.

بیایید فرمول های مثلثاتی را به خاطر بسپاریم:

بیایید بررسی کنیم که نقاط در کدام ربع های دایره مثلثاتی قرار دارند و دروغ می گویند.

4. تقسیم.

در اینجا از یک قانون ساده نیز استفاده می کنیم: .

در یا، یعنی.

وقتی علامت تغییر می کند: .

مثال.

مقایسه کنید: .

راه حل.

5. اعداد را با عدد سوم مقایسه کنید

اگر و، پس (قانون گذر).

مثال.

مقایسه کنید.

راه حل.

بیایید اعداد را نه با یکدیگر، بلکه با عدد مقایسه کنیم.

بدیهی است که

از طرف دیگر، .

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

هر دو عدد بزرگتر، اما کوچکتر هستند. بیایید عددی را طوری انتخاب کنیم که بزرگتر از یک، اما کوچکتر از دیگری باشد. مثلا، . بیایید بررسی کنیم:

6. با لگاریتم ها چه کنیم؟

چیز خاصی نیست. نحوه خلاص شدن از شر لگاریتم به طور مفصل در تاپیک توضیح داده شده است. قوانین اساسی عبارتند از:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \فلش راست چپ (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

همچنین می‌توانیم قاعده‌ای درباره لگاریتم‌هایی با پایه‌های مختلف و همان آرگومان اضافه کنیم:

این را می توان اینگونه توضیح داد: هرچه پایه بزرگتر باشد، درجه کمتری باید برای به دست آوردن همان چیز افزایش یابد. اگر پایه کوچکتر باشد، عکس آن صادق است، زیرا تابع مربوطه به طور یکنواخت کاهش می یابد.

مثال.

مقایسه اعداد: و.

راه حل.

طبق قوانین فوق:

و اکنون فرمول پیشرفته.

قانون مقایسه لگاریتم ها را می توان به طور خلاصه تر نوشت:

مثال.

کدام بیشتر است: یا؟

راه حل.

مثال.

مقایسه کنید کدام عدد بزرگتر است: .

راه حل.

مقایسه اعداد. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

1. قدرت

اگر هر دو طرف نابرابری مثبت باشند، می توان آنها را مربع کرد تا از ریشه خلاص شود

2. ضرب در مزدوج آن

مزدوج عاملی است که بیان را با فرمول تفاوت مربع ها تکمیل می کند: - مزدوج برای و بالعکس، زیرا .

3. تفریق

4. تقسیم

چه زمانی یا آن زمان است

وقتی علامت تغییر می کند:

5. مقایسه با عدد سوم

اگر و سپس

6. مقایسه لگاریتم ها

قوانین اساسی