موضوع تبدیل کسرها به اعشار است. کسرهای معمولی و اعشاری و عملیات روی آنها. انواع کسری های مشخص شده چه زیرگونه هایی دارند؟

کسری

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

کسری ها در دبیرستان خیلی آزاردهنده نیستند. در اين لحظه - فعلا. تا زمانی که با قدرت هایی با توان های منطقی و لگاریتمی مواجه شوید. و آنجا... شما ماشین حساب را فشار داده و فشار می دهید، و نمایش کامل برخی از اعداد را نشان می دهد. باید مثل کلاس سوم با سر فکر کنید.

بیایید در نهایت کسری را بفهمیم! خب چقدر میشه توشون گیج شد!؟ علاوه بر این، همه چیز ساده و منطقی است. بنابراین، انواع کسرها چیست؟

انواع کسر. تحولات.

سه نوع کسری وجود دارد.

1. کسرهای رایج ، مثلا:

گاهی اوقات به جای یک خط افقی، یک اسلش قرار می دهند: 1/2، 3/4، 19/5، خوب، و غیره. در اینجا ما اغلب از این املا استفاده خواهیم کرد. شماره بالا نامیده می شود صورت کسر، پایین تر - مخرج.اگر دائماً این نام ها را اشتباه می گیرید (این اتفاق می افتد ...) این عبارت را با خود بگویید: ززززیاد آوردن! ززززمخرج - نگاه کنید zzzzzاوه!" نگاه کن، همه چیز به خاطر سپرده خواهد شد.)

خط تیره یا افقی یا مایل به معنای تقسیمعدد بالا (حساب) به پایین (مخرج). همین! به جای خط تیره، می توان یک علامت تقسیم - دو نقطه قرار داد.

وقتی تقسیم کامل امکان پذیر باشد، باید این کار انجام شود. بنابراین، به جای کسری "32/8" نوشتن عدد "4" بسیار دلپذیرتر است. آن ها 32 به سادگی بر 8 تقسیم می شود.

32/8 = 32: 8 = 4

من حتی در مورد کسری "4/1" صحبت نمی کنم. که آن هم فقط "4" است. و اگر کاملاً قابل تقسیم نباشد آن را به صورت کسری رها می کنیم. گاهی اوقات باید عمل مخالف را انجام دهید. یک عدد کامل را به کسری تبدیل کنید. اما در ادامه بیشتر در مورد آن.

2. اعداد اعشاری ، مثلا:

در این فرم است که باید پاسخ های وظایف "B" را یادداشت کنید.

3. اعداد مختلط ، مثلا:

اعداد مختلط عملاً در دبیرستان استفاده نمی شوند. برای کار با آنها باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند. اما قطعا باید بتوانید این کار را انجام دهید! در غیر این صورت در یک مشکل با چنین عددی مواجه می شوید و یخ می زنید... از ناکجاآباد. اما ما این روش را به یاد خواهیم آورد! کمی پایین تر.

همه کاره ترین کسرهای رایج. بیایید با آنها شروع کنیم. به هر حال، اگر کسری شامل انواع لگاریتم ها، سینوس ها و حروف دیگر باشد، این چیزی را تغییر نمی دهد. به این معنا که همه چیز اعمال با عبارات کسری هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند!

خاصیت اصلی کسری.

پس بزن بریم! برای شروع، من شما را شگفت زده خواهم کرد. کل تنوع تبدیل کسری توسط یک ویژگی واحد ارائه می شود! اسمش همینه ویژگی اصلی کسری. یاد آوردن: اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد ضرب (تقسیم) شود، کسر تغییر نمی کند.آنهایی که:

واضح است که می‌توانید تا زمانی که صورتتان کبود شود، به نوشتن ادامه دهید. اجازه ندهید سینوس ها و لگاریتم ها شما را گیج کنند، ما بیشتر با آنها برخورد خواهیم کرد. نکته اصلی این است که درک کنیم که همه این عبارات مختلف هستند همان کسری . 2/3.

آیا ما به آن نیاز داریم، این همه دگرگونی؟ و چطور! حالا خودتان خواهید دید. برای شروع، اجازه دهید از ویژگی اصلی یک کسری برای استفاده کنیم کسر کسر. به نظر یک چیز ابتدایی می رسد. صورت و مخرج را بر یک عدد تقسیم کنید و تمام! اشتباه کردن غیر ممکن است! اما... انسان موجودی خلاق است. شما می توانید در هر جایی اشتباه کنید! به خصوص اگر مجبور باشید نه کسری مانند 5/10، بلکه یک عبارت کسری را با انواع حروف کاهش دهید.

نحوه کاهش صحیح و سریع کسرها بدون انجام کار اضافی را می توانید در بخش ویژه 555 مطالعه کنید.

یک دانش آموز عادی به خود زحمت نمی دهد که صورت و مخرج را بر یک عدد (یا عبارت) تقسیم کند! او به سادگی هر چیزی را که بالا و پایین یکسان است خط می کشد! این جایی است که یک اشتباه معمولی، یک اشتباه اشتباه، اگر بخواهید، در کمین است.

به عنوان مثال، شما باید عبارت را ساده کنید:

در اینجا چیزی برای فکر کردن وجود ندارد، حرف "a" را در بالا و "2" را در پایین خط بزنید! ما گرفتیم:

همه چیز درست است. ولی واقعا تقسیم کردی همه شمارنده و همه مخرج "a" است. اگر فقط به خط زدن عادت دارید، با عجله می توانید "a" را در عبارت خط بزنید

و دوباره آن را دریافت کنید

که کاملاً نادرست خواهد بود. چون اینجا همهشمارنده روی "a" قبلاً وجود دارد به اشتراک گذاشته نشده است! این کسر قابل کاهش نیست. به هر حال، چنین کاهشی یک چالش جدی برای معلم است. این بخشیده نمی شود! یادت میاد؟ هنگام کاهش، باید تقسیم کنید همه شمارنده و همه مخرج!

کاهش کسری زندگی را بسیار آسان تر می کند. یک کسری در جایی به دست خواهید آورد، مثلاً 375/1000. چگونه می توانم اکنون با او کار کنم؟ بدون ماشین حساب؟ ضرب، بگو، جمع، مربع!؟ و اگر خیلی تنبل نیستید، و به طور خلاصه آن را پنج، و پنج، و حتی... در حالی که در حال کوتاه شدن است، کاهش دهید. بیایید 3/8 بگیریم! خیلی زیباتر، درسته؟

ویژگی اصلی یک کسر به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را به اعشار و بالعکس تبدیل کنید بدون ماشین حساب! این برای آزمون یکپارچه دولتی مهم است، درست است؟

نحوه تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر

با کسری اعشاری همه چیز ساده است. همانطور که شنیده می شود، نوشته شده است! فرض کنید 0.25 است. این نقطه صفر بیست و پنج صدم است. بنابراین می نویسیم: 25/100. کاهش می دهیم (صورت و مخرج را بر 25 تقسیم می کنیم)، کسر معمولی را به دست می آوریم: 1/4. همه. این اتفاق می افتد و چیزی کاهش نمی یابد. مانند 0.3. این سه دهم است، یعنی. 3/10.

اگر اعداد صحیح صفر نباشند چه؟ خوبه. کل کسر را یادداشت می کنیم بدون هیچ کامادر صورت، و در مخرج - آنچه شنیده می شود. به عنوان مثال: 3.17. این سه امتیاز هفده صدم است. در صورت 317 و در مخرج 100 می نویسیم 317/100. هیچ چیز کاهش نمی یابد، این یعنی همه چیز. این پاسخ است. واتسون ابتدایی! از مجموع آنچه گفته شد، نتیجه گیری مفید: هر کسر اعشاری را می توان به کسری معمولی تبدیل کرد .

اما برخی افراد نمی توانند بدون ماشین حساب، تبدیل معکوس از معمولی به اعشاری را انجام دهند. و لازم است! چگونه پاسخ را در آزمون یکپارچه دولتی یادداشت خواهید کرد!؟ با دقت بخوانید و به این روند مسلط شوید.

ویژگی کسر اعشاری چیست؟ مخرج او است همیشههزینه 10 یا 100 یا 1000 یا 10000 و غیره. اگر کسر مشترک شما مخرجی مانند این داشته باشد، مشکلی وجود ندارد. به عنوان مثال، 4/10 = 0.4. یا 7/100 = 0.07. یا 12/10 = 1.2. اگر جواب تکلیف در بخش "B" 1/2 بود چه؟ در پاسخ چه خواهیم نوشت؟ اعشار الزامی است ...

به یاد بیاوریم ویژگی اصلی کسری ! ریاضیات به شما اجازه می دهد که صورت و مخرج را در همان عدد ضرب کنید. اتفاقاً هر چیزی! البته به جز صفر پس بیایید از این ویژگی به نفع خود استفاده کنیم! مخرج را در چه چیزی می توان ضرب کرد، i.e. 2 تا بشه 10 یا 100 یا 1000 (البته کوچیکتر بهتره...)؟ در 5، بدیهی است. با خیال راحت مخرج را ضرب کنید (این است ماضروری) در 5. اما پس از آن صورت نیز باید در 5 ضرب شود ریاضیاتخواسته ها! ما 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 می گیریم. همین.

با این حال، انواع مخرج ها با هم روبرو می شوند. ممکن است به عنوان مثال با کسر 3/16 برخورد کنید. سعی کنید و بفهمید که 16 را در چه چیزی ضرب کنید تا به 100 یا 1000 تبدیل شود ... آیا کار نمی کند؟ سپس می توانید به سادگی 3 را بر 16 تقسیم کنید. در صورت عدم وجود ماشین حساب، باید با یک گوشه، روی یک تکه کاغذ تقسیم کنید، همانطور که در مدرسه ابتدایی تدریس می کردند. ما 0.1875 دریافت می کنیم.

و همچنین مخرج های بسیار بدی نیز وجود دارد. برای مثال، هیچ راهی برای تبدیل کسر 1/3 به اعشار خوب وجود ندارد. هم در ماشین حساب و هم روی یک تکه کاغذ 0.3333333 می گیریم... یعنی 1/3 کسر اعشاری دقیق است. ترجمه نمی کند. مانند 1/7، 5/6 و غیره. بسیاری از آنها وجود دارد، غیر قابل ترجمه. این ما را به یک نتیجه مفید دیگر می رساند. هر کسری را نمی توان به اعشار تبدیل کرد !

به هر حال، این اطلاعات مفیدی برای خودآزمایی است. در بخش "ب" باید یک کسر اعشاری را در پاسخ خود بنویسید. و شما مثلاً 4/3 گرفتید. این کسر به اعشار تبدیل نمی شود. این به این معنی است که شما در طول مسیر اشتباه کرده اید! برگردید و راه حل را بررسی کنید.

بنابراین، ما کسرهای معمولی و اعشاری را کشف کردیم. تنها چیزی که باقی می ماند پرداختن به اعداد مختلط است. برای کار با آنها، آنها باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند. چگونه انجامش بدهیم؟ می توانید یک دانش آموز کلاس ششم را بگیرید و از او بپرسید. اما یک دانش آموز کلاس ششمی همیشه در دسترس نخواهد بود... شما باید خودتان این کار را انجام دهید. سخت نیست. باید مخرج قسمت کسری را در کل قسمت ضرب کنید و صورت جزء کسری را اضافه کنید. این شماره کسری مشترک خواهد بود. در مورد مخرج چطور؟ مخرج ثابت خواهد ماند. پیچیده به نظر می رسد، اما در واقعیت همه چیز ساده است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

فرض کنید از دیدن شماره موجود در مشکل وحشت کرده اید:

آرام و بدون وحشت فکر می کنیم. کل قسمت 1. واحد است. قسمت کسری 3/7 است. بنابراین، مخرج جزء کسری 7 است. این مخرج، مخرج کسری معمولی خواهد بود. شمارنده را می شماریم. 7 را در 1 (قسمت صحیح) ضرب می کنیم و 3 (شمار ​​بخش کسری) را اضافه می کنیم. ما 10 می گیریم. این عدد یک کسر مشترک خواهد بود. همین. در نمادهای ریاضی ساده تر به نظر می رسد:

آیا واضح است؟ سپس موفقیت خود را تضمین کنید! تبدیل به کسر معمولی. شما باید 10/7، 7/2، 23/10 و 21/4 را دریافت کنید.

عمل معکوس - تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط - به ندرت در دبیرستان مورد نیاز است. خوب، اگر چنین است... و اگر دبیرستانی نیستید، می توانید به بخش ویژه 555 نگاه کنید. ضمناً در آنجا با کسرهای نامناسب نیز آشنا خواهید شد.

خوب، این عملاً تمام است. انواع کسرها را به خاطر آوردی و فهمیدی چگونه آنها را از نوعی به نوع دیگر منتقل کنید. سوال باقی می ماند: برای چی انجام دهید؟ کجا و چه زمانی این دانش عمیق را به کار ببریم؟

من جواب میدم. هر مثالی خودش اقدامات لازم را پیشنهاد می کند. اگر در مثال کسرهای معمولی، اعشاری و حتی اعداد مختلط با هم مخلوط شوند، همه چیز را به کسرهای معمولی تبدیل می کنیم. همیشه می توان آن را انجام داد. خوب، اگر چیزی شبیه 0.8 + 0.3 می گوید، آنگاه آن را بدون هیچ ترجمه ای حساب می کنیم. چرا به کار اضافی نیاز داریم؟ ما راه حلی را انتخاب می کنیم که راحت باشد ما !

اگر تکلیف همه کسری اعشاری است، اما اوم... یک جور چیزهای بد، برو سراغ معمولی ها، امتحانش کن! ببین همه چی درست میشه به عنوان مثال، شما باید عدد 0.125 را مربع کنید. اگر به استفاده از ماشین حساب عادت نکرده باشید، چندان آسان نیست! نه تنها باید اعداد را در یک ستون ضرب کنید، بلکه باید به این فکر کنید که کجا کاما را وارد کنید! قطعا در ذهن شما کار نخواهد کرد! اگر به کسری معمولی برویم چه؟

0.125 = 125/1000. ما آن را 5 کاهش می دهیم (این برای شروع است). ما 25/200 می گیریم. یک بار دیگر با 5. ما 5/40 می گیریم. اوه، هنوز در حال کوچک شدن است! بازگشت به 5! ما 1/8 می گیریم. ما به راحتی می توانیم آن را مربع کنیم (در ذهنمان!) و 1/64 را بدست آوریم. همه!

بیایید این درس را خلاصه کنیم.

1. سه نوع کسر وجود دارد. اعداد مشترک، اعشاری و مختلط.

2. اعداد اعشاری و مختلط همیشهرا می توان به کسر معمولی تبدیل کرد. انتقال معکوس نه همیشهدر دسترس.

3. انتخاب نوع کسری برای کار با یک کار بستگی به خود کار دارد. اگر انواع مختلفی از کسرها در یک کار وجود داشته باشد، قابل اعتمادترین چیز تغییر به کسرهای معمولی است.

حالا می توانید تمرین کنید. ابتدا این کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

شما باید چنین پاسخ هایی دریافت کنید (در یک آشفتگی!):

بیایید اینجا را تمام کنیم. در این درس ما حافظه خود را در مورد نکات کلیدی در مورد کسرها تجدید کردیم. اما این اتفاق می افتد که چیز خاصی برای تازه کردن وجود ندارد...) اگر کسی کاملاً فراموش کرده است یا هنوز به آن مسلط نشده است ... سپس می توانید به بخش ویژه 555 بروید. تمام اصول اولیه در آنجا به تفصیل پوشش داده شده است. خیلی ها ناگهان همه چیز را بفهمدشروع می شوند. و کسری را در پرواز حل می کنند).

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

اگر ما نیاز به تقسیم 497 بر 4 داشته باشیم، آنگاه هنگام تقسیم خواهیم دید که 497 به طور مساوی بر 4 بخش پذیر نیست، یعنی. باقی مانده تقسیم باقی می ماند. در چنین مواردی گفته می شود که تکمیل شده است تقسیم با باقی ماندهو راه حل به صورت زیر نوشته می شود:
497: 4 = 124 (1 باقیمانده).

اجزای تقسیم در سمت چپ تساوی مانند تقسیم بدون باقی مانده نامیده می شوند: 497 - سود سهام, 4 - تقسیم کننده. حاصل تقسیم وقتی با باقیمانده تقسیم می شود نامیده می شود خصوصی ناقص. در مورد ما، این عدد 124 است. و در نهایت، آخرین جزء که در تقسیم معمولی نیست، باقی مانده. در مواردی که باقیمانده ای وجود ندارد، یک عدد بر عدد دیگر تقسیم می شود بدون هیچ اثری یا به طور کامل. اعتقاد بر این است که با چنین تقسیمی، باقیمانده صفر است. در مورد ما، باقیمانده 1 است.

باقیمانده همیشه کمتر از مقسوم علیه است.

تقسیم را می توان با ضرب بررسی کرد. برای مثال، اگر برابری 64: 32 = 2 وجود داشته باشد، بررسی را می توان به این صورت انجام داد: 64 = 32 * 2.

اغلب در مواردی که تقسیم با باقی مانده انجام می شود، استفاده از برابری راحت است
a = b * n + r،
که در آن a سود سهام، b مقسوم علیه، n ضریب ناقص، r باقیمانده است.

ضریب اعداد طبیعی را می توان به صورت کسری نوشت.

صورت کسری سود تقسیمی است و مخرج آن مقسوم علیه است.

از آنجایی که صورت کسری تقسیم کننده است و مخرج آن تقسیم کننده است، معتقدند که خط کسری به معنای عمل تقسیم است. گاهی اوقات نوشتن تقسیم به صورت کسری بدون استفاده از علامت ":" راحت است.

ضریب تقسیم اعداد طبیعی m و n را می توان به صورت کسری \(\frac(m)(n)\ نوشت، که در آن صورت m سود تقسیمی است و مخرج n تقسیم کننده است:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

قوانین زیر درست است:

برای بدست آوردن کسری \(\frac(m)(n)\)، باید واحد را به n قسمت مساوی (سهم) تقسیم کنید و m از این قسمت ها را بگیرید.

برای بدست آوردن کسری \(\frac(m)(n)\)، باید عدد m را بر عدد n تقسیم کنید.

برای یافتن بخشی از یک کل، باید عدد مربوط به کل را بر مخرج تقسیم کرده و حاصل را در عدد کسری که این جزء را بیان می کند ضرب کنید.

برای یافتن یک کل از قسمت آن، باید عدد مربوط به این قسمت را بر صورتگر تقسیم کنید و حاصل را در مخرج کسری که این جزء را بیان می کند ضرب کنید.

اگر هم صورت و هم مخرج کسری در یک عدد ضرب شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

اگر هم صورت و هم مخرج کسری بر یک عدد تقسیم شوند (به جز صفر)، مقدار کسری تغییر نمی کند:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
این خاصیت نامیده می شود ویژگی اصلی کسری.

دو تبدیل آخر نامیده می شوند کاهش کسری.

اگر لازم باشد کسرها به صورت کسری با مخرج یکسان نمایش داده شوند، این عمل نامیده می شود. آوردن کسرها به مخرج مشترک.

کسرهای مناسب و نامناسب. اعداد مختلط

قبلاً می دانید که با تقسیم یک کل به قطعات مساوی و گرفتن چندین قسمت از این قبیل، یک کسری به دست می آید. برای مثال، کسری \(\frac(3)(4)\) به معنای سه چهارم یک است. در بسیاری از مسائل پاراگراف قبل، از کسرها برای نشان دادن اجزای یک کل استفاده شد. عقل سلیم حکم می کند که جزء باید همیشه کوچکتر از کل باشد، اما در مورد کسرهایی مانند \(\frac(5)(5)\) یا \(\frac(8)(5)\) چطور؟ واضح است که این دیگر بخشی از واحد نیست. احتمالاً به همین دلیل است که کسری که صورت آن بزرگتر یا مساوی با مخرج است نامیده می شود کسرهای نامناسب. کسرهای باقیمانده یعنی کسری که صورت آن کوچکتر از مخرج است نامیده می شود. کسرهای صحیح.

همانطور که می دانید، هر کسر مشترک، اعم از مناسب و نامناسب، را می توان نتیجه تقسیم صورت بر مخرج در نظر گرفت. بنابراین، در ریاضیات، بر خلاف زبان معمولی، اصطلاح «کسری نامناسب» به این معنا نیست که ما کار اشتباهی انجام داده‌ایم، بلکه فقط به این معناست که صورت این کسر بزرگتر یا مساوی با مخرج است.

اگر عددی از یک جزء صحیح و یک کسری تشکیل شده باشد، پس کسری را مختلط می گویند.

مثلا:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 قسمت صحیح و \(\frac(2)(3) \) قسمت کسری است.

اگر عدد کسری \(\frac(a)(b)\) بر یک عدد طبیعی n بخش پذیر باشد، برای تقسیم این کسری بر n باید عدد آن بر این عدد تقسیم شود:
\(\large \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

اگر صورت کسری \(\frac(a)(b)\) بر یک عدد طبیعی n بخش پذیر نیست، برای تقسیم این کسر بر n باید مخرج آن را در این عدد ضرب کنید:
\(\large \frac(a)(b): n = \frac(a)(bn) \)

توجه داشته باشید که قاعده دوم زمانی نیز صادق است که صورت بر n بخش پذیر باشد. بنابراین، زمانی می توانیم از آن استفاده کنیم که در نگاه اول تشخیص اینکه آیا عدد کسری بر n بخش پذیر است یا خیر، دشوار است.

اعمال با کسر. جمع کردن کسرها

شما می توانید مانند اعداد طبیعی، عملیات حسابی را با اعداد کسری انجام دهید. بیایید ابتدا به جمع کسرها نگاه کنیم. جمع کردن کسری با مخرج مشابه آسان است. اجازه دهید برای مثال، مجموع \(\frac(2)(7)\) و \(\frac(3)(7)\) را پیدا کنیم. به راحتی می توان فهمید که \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

برای جمع کردن کسرهایی با مخرج یکسان، باید اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

با استفاده از حروف، قانون جمع کسری با مخرج مشابه را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

اگر نیاز به اضافه کردن کسرهایی با مخرج های مختلف دارید، ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید. مثلا:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

برای کسرها، مانند اعداد طبیعی، خواص جابجایی و انجمنی جمع معتبر است.

افزودن کسرهای مخلوط

نمادهایی مانند \(2\frac(2)(3)\) فراخوانی می شوند کسرهای مخلوط. در این حالت عدد 2 نامیده می شود کل بخشکسر مختلط، و عدد \(\frac(2)(3)\) آن است قسمت کسری. ورودی \(2\frac(2)(3)\) به صورت زیر خوانده می شود: "دو و دو سوم".

هنگام تقسیم عدد 8 بر عدد 3، می توانید دو پاسخ دریافت کنید: \(\frac(8)(3)\) و \(2\frac(2)(3)\). آنها همان عدد کسری را بیان می کنند، یعنی \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

بنابراین، کسر نامناسب \(\frac(8)(3)\) به صورت یک کسر مختلط \(2\frac(2)(3)\ نمایش داده می شود. در چنین مواردی می گویند که از کسری نامناسب تمام قسمت را برجسته کرد.

تفریق کسرها (اعداد کسری)

تفریق اعداد کسری، مانند اعداد طبیعی، بر اساس عمل جمع تعیین می شود: تفریق عددی دیگر از یک عدد به معنای یافتن عددی است که وقتی به عدد دوم اضافه شود، عدد اول به دست می آید. مثلا:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) از \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)

قانون تفریق کسری با مخرج مشابه مشابه قانون جمع کردن این کسرها است:
برای پیدا کردن تفاوت بین کسری با مخرج یکسان، باید عدد دوم را از صورت کسر اول کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.

با استفاده از حروف، این قانون به صورت زیر نوشته می شود:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

ضرب کسرها

برای ضرب کسری در کسری باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید و حاصل ضرب اول را به عنوان صورت و دومی را به عنوان مخرج بنویسید.

با استفاده از حروف، قانون ضرب کسر را می توان به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

با استفاده از قانون فرموله شده، می توانید یک کسری را در یک عدد طبیعی، در یک کسر مختلط و همچنین کسرهای مختلط را ضرب کنید. برای انجام این کار، باید یک عدد طبیعی را به صورت کسری با مخرج 1، یک کسر مختلط - به عنوان یک کسر نامناسب بنویسید.

نتیجه ضرب باید (در صورت امکان) با کاهش کسر و جداسازی کل قسمت کسر نامناسب ساده شود.

برای کسرها، مانند اعداد طبیعی، خواص جابجایی و ترکیبی ضرب و همچنین خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع معتبر است.

تقسیم کسرها

بیایید کسری \(\frac(2)(3)\) را برداریم و آن را "تغییر" کنیم و صورت و مخرج را عوض کنیم. کسری \(\frac(3)(2)\) را بدست می آوریم. این کسر نامیده می شود معکوسکسری \(\frac(2)(3)\).

اگر اکنون کسر \(\frac(3)(2)\ را "برعکس" کنیم، کسر اصلی \(\frac(2)(3)\ را دریافت خواهیم کرد). بنابراین، کسری مانند \(\frac(2)(3)\) و \(\frac(3)(2)\) نامیده می شوند. متقابل معکوس.

به عنوان مثال، کسرهای \(\frac(6)(5) \) و \(\frac(5)(6) \)، \(\frac(7)(18) \) و \(\frac (18) )(7)\).

با استفاده از حروف، کسرهای متقابل را می توان به صورت زیر نوشت: \(\frac(a)(b) \) و \(\frac(b)(a) \)

واضح است که حاصل ضرب کسرهای متقابل برابر با 1 است. به عنوان مثال: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

با استفاده از کسرهای متقابل، می توانید تقسیم کسرها را به ضرب کاهش دهید.

قانون تقسیم کسری بر کسری به این صورت است:
برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر، باید سود تقسیمی را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

با استفاده از حروف می توان قانون تقسیم کسر را به صورت زیر نوشت:
\(\large \frac(a)(b): \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

اگر تقسیم کننده یا مقسوم علیه یک عدد طبیعی یا یک کسر مختلط باشد، برای استفاده از قانون تقسیم کسرها، ابتدا باید به صورت کسر نامناسب نمایش داده شود.

به نظر می رسد تبدیل کسری اعشاری به کسری منظم یک مبحث ابتدایی است، اما بسیاری از دانش آموزان آن را درک نمی کنند! بنابراین، امروز نگاهی دقیق به چندین الگوریتم به طور همزمان خواهیم داشت که با کمک آنها فقط در یک ثانیه هر کسری را درک خواهید کرد.

اجازه دهید یادآوری کنم که حداقل دو شکل برای نوشتن یک کسر وجود دارد: مشترک و اعشاری. کسرهای اعشاری انواع ساختارهایی به شکل 0.75 هستند. 1.33; و حتی -7.41. در اینجا نمونه هایی از کسرهای معمولی که اعداد یکسانی را بیان می کنند آورده شده است:

حالا بیایید بفهمیم: چگونه از نماد اعشاری به نماد معمولی حرکت کنیم؟ و مهمتر از همه: چگونه می توان این کار را در سریع ترین زمان ممکن انجام داد؟

الگوریتم پایه

در واقع حداقل دو الگوریتم وجود دارد. و اکنون هر دو را بررسی خواهیم کرد. بیایید با اولین مورد شروع کنیم - ساده ترین و قابل درک ترین.

برای تبدیل اعشار به کسری، باید سه مرحله را دنبال کنید:

یک نکته مهم در مورد اعداد منفی اگر در مثال اصلی یک علامت منفی جلوی کسر اعشاری وجود دارد، در خروجی نیز باید یک علامت منفی جلوی کسر مشترک وجود داشته باشد. اینجا مثال های بیشتری است:

نمونه هایی از انتقال از نماد اعشاری کسری به معمولی

من می خواهم به مثال آخر توجه ویژه ای داشته باشم. همانطور که می بینید، کسری 0.0025 حاوی صفرهای زیادی بعد از نقطه اعشار است. به همین دلیل، شما باید صورت و مخرج را در 10 ضرب کنید تا چهار برابر شود، آیا می توان الگوریتم را در این مورد ساده کرد؟

البته که می توانی. و اکنون به یک الگوریتم جایگزین نگاه خواهیم کرد - درک آن کمی دشوارتر است ، اما پس از کمی تمرین بسیار سریعتر از استاندارد کار می کند.

راه سریعتر

این الگوریتم نیز دارای 3 مرحله است. برای بدست آوردن کسری از اعشار به صورت زیر عمل کنید:

1. شمارش کنید که چند رقم بعد از نقطه اعشار قرار دارند. برای مثال، کسر 1.75 دارای دو رقم و 0.0025 دارای چهار رقم است. بیایید این مقدار را با حرف $n$ نشان دهیم.
2. عدد اصلی را به صورت کسری از شکل $\frac(a)(((10)^(n)))$ بازنویسی کنید، که $a$ همه ارقام کسر اصلی هستند (بدون صفرهای "شروع" در چپ، در صورت وجود)، و $n$ همان تعداد ارقام بعد از اعشار است که در مرحله اول محاسبه کردیم. به عبارت دیگر، شما باید ارقام کسر اصلی را بر یک و به دنبال آن صفرهای $n$ تقسیم کنید.
3. در صورت امکان، کسر حاصل را کاهش دهید.

همین! در نگاه اول، این طرح پیچیده تر از طرح قبلی است. اما در واقع هم ساده تر و هم سریعتر است. خودتان قضاوت کنید:

همانطور که می بینید، در کسر 0.64 دو رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد - 6 و 4. بنابراین $n=2$. اگر کاما و صفرهای سمت چپ را حذف کنیم (در این مورد فقط یک صفر)، عدد 64 را به دست می آوریم. بیایید به مرحله دوم برویم: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$، بنابراین مخرج دقیقاً صد است. خوب، پس تنها چیزی که باقی می ماند این است که صورت و مخرج را کاهش دهیم.

یک مثال دیگر:

در اینجا همه چیز کمی پیچیده تر است. اولاً، در حال حاضر 3 عدد بعد از نقطه اعشار وجود دارد، یعنی. $n=3$، پس باید تقسیم بر $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. در مرحله دوم، اگر کاما را از نماد اعشاری حذف کنیم، این را به دست می آوریم: 0.004 → 0004. به یاد داشته باشید که صفرهای سمت چپ باید حذف شوند، بنابراین در واقع عدد 4 را داریم. سپس همه چیز ساده است: تقسیم، کاهش و بدست آوردن جواب.

در نهایت، آخرین مثال:

ویژگی این کسر وجود یک جزء کامل است. بنابراین، خروجی ما کسری نامناسب 47/25 است. البته می توانید سعی کنید با یک باقیمانده 47 را بر 25 تقسیم کنید و در نتیجه دوباره کل قسمت را جدا کنید. اما چرا زندگی خود را پیچیده کنید اگر می توان این کار را در مرحله تحول انجام داد؟ خوب، بیایید آن را بفهمیم.

با کل قسمت چه کنیم

در واقع، همه چیز بسیار ساده است: اگر می‌خواهیم کسر مناسبی به دست آوریم، باید کل قسمت را در حین تبدیل از آن حذف کنیم، و سپس، وقتی به نتیجه رسیدیم، آن را دوباره به سمت راست قبل از خط کسری اضافه کنیم. .

برای مثال همین عدد را در نظر بگیرید: 1.88. بیایید با یک امتیاز (کل قسمت) و به کسری 0.88 نگاه کنیم. به راحتی می توان آن را تبدیل کرد:

سپس واحد "از دست رفته" را به یاد می آوریم و آن را به قسمت جلو اضافه می کنیم:

\[\frac(22)(25)\to 1\frac(22)(25)\]

همین! جواب همان بود که دفعه قبل کل قسمت را انتخاب کردم. چند مثال دیگر:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13.8\to 0.8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\to 13\frac(4)(5). \\\پایان (تراز کردن)\]

این زیبایی ریاضیات است: مهم نیست از کدام سمت بروید، اگر همه محاسبات به درستی انجام شود، پاسخ همیشه یکسان خواهد بود.

در پایان، من می خواهم یک تکنیک دیگر را در نظر بگیرم که به بسیاری کمک می کند.

تبدیل "توسط گوش"

بیایید به این فکر کنیم که عدد اعشاری زوج چیست. به طور دقیق تر، چگونه آن را می خوانیم. مثلا عدد 0.64 - ما آن را "نقطه صفر 64 صدم" می خوانیم، درست است؟ خوب، یا فقط "64 صدم". کلمه کلیدی در اینجا "صدم" است، یعنی. شماره 100

0.004 چطور؟ این "نقطه صفر 4 هزارم" یا به سادگی "چهار هزارم" است. به هر طریقی، کلمه کلیدی "هزاران" است، یعنی. 1000.

خب پس مشکل اصلی چیه؟ و واقعیت این است که این اعداد هستند که در مرحله دوم الگوریتم در نهایت در مخرج ها ظاهر می شوند. آن ها 0.004 "چهار هزارم" یا "4 تقسیم بر 1000" است:

سعی کنید خودتان تمرین کنید - این بسیار ساده است. نکته اصلی این است که کسر اصلی را به درستی بخوانید. به عنوان مثال، 2.5 "2 کامل، 5 دهم" است، بنابراین

و حدود 1.125 "1 کل، 125 هزارم" است، بنابراین

در مثال آخر، البته، کسی اعتراض خواهد کرد که برای هر دانش آموزی واضح نیست که 1000 بر 125 بخش پذیر است. اما در اینجا باید به خاطر داشته باشید که 1000 = 10 3 و 10 = 2 ∙ 5، بنابراین

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

بنابراین ، هر توان ده را می توان فقط به عوامل 2 و 5 تجزیه کرد - این عوامل هستند که باید در صورتگر جستجو شوند تا در پایان همه چیز کاهش یابد.

این درس را به پایان می رساند. بیایید به یک عملیات معکوس پیچیده تر برویم - ببینید "

آنها به طور گسترده ای و در طیف گسترده ای از زمینه های فعالیت انسانی، اعم از محاسبات علمی و کاربردی، توسعه و بهره برداری از تجهیزات مختلف، محاسبات اقتصادی و غیره استفاده می شوند. به دلایل مختلف، اغلب لازم است که انجام شود تبدیل اعشاریو همچنین روند معکوس. لازم به ذکر است که مشابه دگرگونینسبتاً آسان و مطابق با قوانین و تکنیک های خاصی که برای صدها سال در ریاضیات وجود داشته است تولید می شوند.

تبدیل کسر اعشاری به کسر اول

تبدیل اعشاریدر بخش "معمولی" بسیار آسان و ساده است. برای انجام این کار، از تکنیک زیر استفاده می شود: عددی که در سمت راست نقطه اعشار عدد اصلی قرار دارد، به عنوان کسر جدید، عدد ده به عنوان مخرج استفاده می شود، به توانی برابر با عدد از ارقام شمارنده در مورد کل قسمت باقی مانده، بدون تغییر باقی می ماند. اگر قسمت صحیح برابر با صفر باشد، پس از تبدیل به سادگی حذف می شود.

مثال 1

پنجاه نقطه بیست و پنج برابر است با پنجاه نقطه یک و بیست و پنج تقسیم بر صد معادل پنجاه نقطه یک چهارم.

تبدیل کسر به اعشار

تبدیل کسر به اعشاردر واقع معکوس است تبدیل کسر اعشاری به کسر اول. اجرای آن نیز هیچ مشکلی ایجاد نمی کند و در واقع یک عملیات حسابی نسبتاً ساده است. به منظور. واسه اینکه. برای اینکه کسری را به اعشار تبدیل کنیدطبق قوانین خاصی باید صورت را بر مخرج آن تقسیم کنید.

مثال 1

نیاز به پیاده سازی تبدیل کسریپنج هشتم اینچ اعشاری.

تقسیم پنج بر هشت می دهد اعشارینقطه صفر ششصد و بیست و پنج هزارم.

=

0.625

گرد کردن نتیجه تبدیل کسر به اعشار

لازم به ذکر است که برخلاف فرآیندی مانند تبدیل اعشاری، این روش اغلب می تواند به طور نامحدود ادامه یابد. در چنین مواردی می گویند که نتیجه رویه تبدیل کسری به اعشارممکن است دقیق نباشد با این حال، تمرین نشان می دهد که در اکثریت قریب به اتفاق موارد، به دست آوردن یک نتیجه کاملا دقیق مورد نیاز نیست. به عنوان یک قاعده، فرآیند تقسیم زمانی به پایان می رسد که قبلاً مقادیر آن کسری اعشاری را که در هر مورد خاص مورد توجه عملی هستند، به دست آورده باشد.

مثال 1

باید یک تکه کره به وزن یک کیلوگرم را به 9 تکه هم وزن تقسیم کنید. هنگام انجام این روش، معلوم می شود که جرم هر یک از آنها 1/9 کیلوگرم است. اگر طبق تمام قوانین انجام شود دگرگونیاین کسر مشترک V کسر اعشاری، سپس معلوم می شود که جرم هر یک از اجزای حاصل برابر با صفر کل و یک در دوره یک کیلوگرم است.

گرد کردن طبق قوانین استاندارد ارائه شده در حساب انجام می شود: اگر اولین ارقام "دور انداخته شده" دارای ارزش 5 یا بیشتر باشد ، آخرین رقم قابل توجه یک افزایش می یابد. در غیر این صورت بدون تغییر باقی می ماند.

مثال 2

تبدیل کسریک هشتم به کسری اعشاری

وقتی یک بر هشت تقسیم می شود، نتیجه صفر یک صد و بیست و پنج هزارم یا گرد می شود - نقطه صفر سیزده صدم.

سپس دکمه ها را فشار دهید و کار تمام می شود. نتیجه یا یک عدد کامل یا یک کسری اعشاری خواهد بود. یک کسر اعشاری ممکن است پس از آن باقیمانده طولانی داشته باشد. در این حالت، کسری باید با استفاده از گرد کردن به رقم خاصی که نیاز دارید گرد شود (اعداد تا 5 به پایین گرد می شوند، از 5 شامل و بیشتر - به بالا).

اگر ماشین حساب در دست ندارید، مجبور خواهید بود. صورت کسر را با مخرج بنویسید و یک گوشه بین آنها نشان دهنده . برای مثال کسر 10/6 را به عدد تبدیل کنید. ابتدا 10 را بر 6 تقسیم کنید. به 1 می رسد. نتیجه را در گوشه ای بنویسید. 1 را در 6 ضرب کنید، 6 به دست می آید. 6 را از 10 کم کنید. باقیمانده 4 را به دست می آورید. باقیمانده باید دوباره عدد 0 را به 4 تقسیم کنید و 40 را بر 6 تقسیم کنید. به عدد 6 می رسید. نتیجه، بعد از نقطه اعشار. 6 را در 6 ضرب کنید. عدد 36 به دست می آید. 36 را از 40 کم کنید. باقیمانده دوباره 4 می شود. لازم نیست بیشتر ادامه دهید، زیرا مشخص می شود که نتیجه عدد 1.66 (6) خواهد بود. این کسری را به رقمی که نیاز دارید گرد کنید. به عنوان مثال، 1.67. این نتیجه نهایی است.

مقاله مرتبط

منابع:

• تبدیل کسرها با اعداد صحیح

کسری برای نمایش اعدادی که از یک یا چند قسمت از یک واحد تشکیل شده اند استفاده می شود. اصطلاح "کسر" از کلمه لاتین fractura گرفته شده است که به معنای "له کردن، شکستن" است. بین کسرهای معمولی و اعشاری تفاوت هایی وجود دارد. علاوه بر این، در کسرهای معمولی، یک واحد را می توان به هر تعداد قسمت تقسیم کرد، و در یک اعشار، این مقدار باید مضرب 10 باشد. هر کسری می تواند معمولی یا اعشاری باشد.

شما نیاز خواهید داشت

• برای محاسبه نتیجه به یک ماشین حساب یا یک تکه کاغذ و یک خودکار نیاز دارید.

دستورالعمل ها

بنابراین، ابتدا یک کسر مشترک را بردارید و آن را به قطعات تقسیم کنید. برای مثال 2 1\8 که در آن 2 یک جزء صحیح و 1\8 یک کسری است. از آن می توانید ببینید که عدد بر 8 تقسیم شده است، اما تنها یک گرفته شده است. قسمت گرفته شده صورتگر است و تعداد قطعات تقسیم بر مخرج است.

توجه داشته باشید

اغلب کسری وجود دارد که نمی توان آنها را به طور کامل به اعشار تبدیل کرد. در این مورد، گرد کردن به کمک می آید. اگر می خواهید به نزدیکترین هزار گرد کنید، به رقم چهارم اعشار نگاه کنید. اگر کمتر از 5 بود، سه رقم اول را بعد از اعشار بدون تغییر یادداشت کنید، در غیر این صورت باید یک رقم را به آخرین رقم سه اضافه کنید. به عنوان مثال، 0.89643123 را می توان به عنوان 0.896 نوشت، اما 0.89663123 0.897 است.

مشاوره مفید

اگر نتیجه را به صورت دستی محاسبه کنید، بهتر است قبل از تقسیم کسری، آن را تا حد ممکن کاهش دهید و همچنین قطعات کامل را از آن جدا کنید.

منابع:

• نحوه تبدیل کسرها

کسریکی از عناصر فرمول برای وارد کردن در واژه پرداز ورد است که ابزار معادله مایکروسافت وجود دارد. با استفاده از آن، می توانید هر فرمول پیچیده ریاضی یا فیزیکی، معادلات و عناصر دیگر که شامل کاراکترهای خاص است را وارد کنید.

دستورالعمل ها

برای راه اندازی ابزار معادله مایکروسافت، باید به مسیر زیر بروید: "Insert" -> "Object"، در کادر گفتگوی باز شده، در اولین تب از لیست باید Microsoft Equation را انتخاب کنید و روی "Ok" یا دوبار کلیک کنید. روی مورد انتخاب شده کلیک کنید. پس از راه اندازی ویرایشگر، یک نوار ابزار در مقابل شما باز می شود و یک فیلد ورودی نمایش داده می شود: یک مستطیل نقطه چین. نوار ابزار به بخش هایی تقسیم می شود که هر کدام شامل مجموعه ای از نمادها یا عبارات عمل است. وقتی روی یکی از بخش ها کلیک می کنید، لیستی از ابزارهای موجود در آن باز می شود. از لیست باز شده باید نماد مورد نظر را انتخاب کرده و روی آن کلیک کنید. پس از انتخاب، نماد مشخص شده در مستطیل انتخاب شده در سند ظاهر می شود.

بخش حاوی عناصر برای نوشتن کسرها در خط دوم نوار ابزار قرار دارد. هنگامی که ماوس خود را روی آن قرار می دهید، راهنمای ابزار "الگوهای کسرها و رادیکال ها" را مشاهده خواهید کرد. یک بار روی بخش کلیک کنید و لیست را گسترش دهید. منوی کشویی شامل الگوهایی برای کسرهای افقی و مایل است. از میان گزینه هایی که ظاهر می شود، می توانید گزینه ای را انتخاب کنید که برای کار شما مناسب است. بر روی گزینه مورد نظر کلیک کنید. پس از کلیک کردن، نماد کسری و مکان هایی برای وارد کردن صورت و مخرج که با یک خط نقطه چین قاب شده اند، در فیلد ورودی باز شده در سند ظاهر می شود. مکان نما پیش فرض به طور خودکار در فیلد ورودی شمارنده قرار می گیرد. شمارنده را وارد کنید. علاوه بر اعداد، می توانید نمادها، حروف یا علائم عمل را نیز وارد کنید. آنها را می توان از صفحه کلید یا از بخش های مربوطه نوار ابزار Microsoft Equation وارد کرد. بعد از عدد، کلید TAB را فشار دهید تا به مخرج بروید. همچنین می توانید با کلیک در فیلد، مخرج را وارد کنید. پس از نوشتن، روی نشانگر ماوس در هر نقطه از سند کلیک کنید، نوار ابزار بسته می شود و وارد کردن کسر تکمیل می شود. برای ویرایش، با دکمه سمت چپ ماوس روی آن دوبار کلیک کنید.

اگر هنگام باز کردن منوی "Insert" -> "Object"، ابزار Microsoft Equation را در لیست پیدا نکردید، باید آن را نصب کنید. دیسک نصب، تصویر دیسک یا فایل توزیع Word را اجرا کنید. در پنجره نصب کننده ظاهر شده، «Add or remove components» را انتخاب کنید. اجزای جداگانه را اضافه یا حذف کنید" و روی "بعدی" کلیک کنید. در پنجره بعدی گزینه “Advanced application settings” را علامت بزنید. روی Next کلیک کنید. در پنجره بعدی، آیتم فهرست «ابزارهای آفیس» را پیدا کنید و روی علامت مثبت در سمت چپ کلیک کنید. در لیست گسترش یافته، ما به مورد "ویرایشگر فرمول" علاقه مندیم. روی نماد کنار “Formula Editor” کلیک کنید و در منوی باز شده، روی “Run from Computer” کلیک کنید. پس از آن، روی «به‌روزرسانی» کلیک کنید و منتظر بمانید تا مؤلفه مورد نیاز نصب شود.