ارزش درجه منفی درجه منفی

عبارات، تبدیل بیان

عبارات قدرت (عبارات با قدرت) و تبدیل آنها

در این مقاله در مورد تبدیل عبارات با قدرت صحبت خواهیم کرد. ابتدا، ما روی تبدیل‌هایی تمرکز می‌کنیم که با عباراتی از هر نوع، از جمله عبارات قدرت، مانند باز کردن پرانتز و آوردن اصطلاحات مشابه، انجام می‌شوند. و سپس تبدیل های ذاتی را به طور خاص در عبارات دارای درجه تجزیه و تحلیل می کنیم: کار با مبنا و توان، استفاده از خواص درجه و غیره.

پیمایش صفحه.

عبارات قدرت چیست؟

اصطلاح "عبارات قدرت" عملاً در کتاب های درسی ریاضیات مدرسه ظاهر نمی شود، اما اغلب در مجموعه ای از مسائل ظاهر می شود، به ویژه مواردی که برای آماده سازی برای آزمون یکپارچه دولتی و آزمون دولتی واحد، به عنوان مثال، در نظر گرفته شده است. پس از تجزیه و تحلیل وظایفی که در آنها انجام هر عملی با عبارات قدرت ضروری است، مشخص می شود که عبارات قدرت به عنوان عباراتی حاوی قدرت در ورودی های خود درک می شوند. بنابراین، می توانید تعریف زیر را برای خود بپذیرید:

تعریف.

عبارات قدرتعباراتی هستند که دارای درجه هستند.

بدهیم نمونه هایی از عبارات قدرت. علاوه بر این، ما آنها را با توجه به چگونگی توسعه دیدگاه ها از یک درجه با توان طبیعی به یک درجه با توان واقعی ارائه خواهیم کرد.

همانطور که مشخص است، ابتدا با توان یک عدد با توان طبیعی در این مرحله، اولین عبارات توانی از نوع 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (-0.1) آشنا می شود. 4، 3 a 2 −a+a 2، x 3−1، (a 2) 3 و غیره ظاهر می شود.

کمی بعد، توان یک عدد با توان عدد صحیح مورد مطالعه قرار می گیرد که منجر به ظهور عبارات توانی با توان های صحیح منفی می شود، مانند موارد زیر: 3-2، , a −2 +2 b −3 +c 2 .

در دبیرستان به مدارج برمی گردند. در آنجا درجه ای با توان گویا معرفی می شود که مستلزم ظهور عبارات قدرت مربوطه است: , , و غیره در نهایت، درجاتی با توان غیرمنطقی و عبارات حاوی آنها در نظر گرفته می شوند: , .

موضوع به عبارات قدرت فهرست شده محدود نمی شود: متغیر بیشتر به توان نفوذ می کند، و به عنوان مثال، عبارات زیر بوجود می آیند: 2 x 2 +1 یا . و پس از آشنا شدن با، عباراتی با توان ها و لگاریتم ها ظاهر می شوند، برای مثال x 2·lgx −5·x lgx.

بنابراین، ما به این سؤال پرداخته‌ایم که عبارات قدرت چه چیزی را نشان می‌دهند. در ادامه نحوه تبدیل آنها را یاد خواهیم گرفت.

انواع اصلی تبدیل عبارات قدرت

با عبارات قدرت، می توانید هر یک از تبدیل هویت اصلی عبارات را انجام دهید. به عنوان مثال، می توانید پرانتزها را باز کنید، عبارات عددی را با مقادیر آنها جایگزین کنید، اصطلاحات مشابه را اضافه کنید و غیره. طبیعتاً در این مورد لازم است رویه پذیرفته شده برای انجام اقدامات رعایت شود. بیایید مثال بزنیم.

مثال.

مقدار عبارت توان 2 3 ·(4 2 −12) را محاسبه کنید.

راه حل.

با توجه به ترتیب اجرای اکشن ها ابتدا اقدامات داخل براکت را انجام دهید. در آنجا اولاً توان 4 2 را با مقدار آن 16 جایگزین می کنیم (در صورت لزوم ببینید) و ثانیاً تفاوت 16−12=4 را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

در عبارت به دست آمده، توان 2 3 را با مقدار 8 جایگزین می کنیم و پس از آن حاصل ضرب 8·4=32 را محاسبه می کنیم. این مقدار مورد نظر است.

بنابراین، 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

پاسخ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

مثال.

عبارات را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b -7 -1 +2 a 4 b -7.

راه حل.

بدیهی است که این عبارت شامل عبارات مشابه 3·a 4 ·b −7 و 2·a 4 ·b −7 است و می توانیم آنها را ارائه دهیم: .

پاسخ:

3 a 4 b -7 -1 + 2 a 4 b -7 =5 a 4 b -7 -1.

مثال.

یک عبارت را با قدرت ها به عنوان یک محصول بیان کنید.

راه حل.

می توانید با نمایش عدد 9 به عنوان توان 3 2 و سپس استفاده از فرمول ضرب اختصاری - تفاوت مربع ها با این کار کنار بیایید:

پاسخ:

همچنین تعدادی از تبدیل های یکسان به طور خاص در عبارات قدرت وجود دارد. ما آنها را بیشتر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

کار با پایه و توان

درجاتی وجود دارند که پایه و/یا توان آنها فقط اعداد یا متغیرها نیستند، بلکه برخی عبارات هستند. به عنوان مثال، ورودی های (2+0.3·7) 5-3.7 و (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1) را می دهیم.

هنگام کار با چنین عباراتی، می توانید هم عبارت در پایه درجه و هم عبارت در توان را با یک عبارت یکسان در ODZ متغیرهای آن جایگزین کنید. به عبارت دیگر، طبق قوانینی که برای ما شناخته شده است، می توانیم به طور جداگانه پایه درجه و جدا از توان را تبدیل کنیم. واضح است که در نتیجه این دگرگونی عبارتی به دست می آید که برابر با عبارت اصلی است.

چنین دگرگونی هایی به ما این امکان را می دهد که عبارات را با قدرت ها ساده کنیم یا به اهداف دیگری که نیاز داریم دست یابیم. به عنوان مثال، در عبارت قدرت ذکر شده در بالا (2+0.3 7) 5-3.7، می توانید عملیاتی را با اعداد موجود در مبنا و توان انجام دهید که به شما امکان می دهد به توان 4.1 1.3 بروید. و پس از باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه به پایه درجه (a·(a+1)-a 2) 2·(x+1)، یک عبارت ساده تر از 2·(x+) به دست می آوریم. 1) .

استفاده از ویژگی های درجه

یکی از ابزارهای اصلی برای تبدیل عبارات با قدرت، برابری هایی است که منعکس می شوند. اجازه دهید موارد اصلی را یادآوری کنیم. برای هر اعداد مثبت a و b و اعداد حقیقی دلخواه r و s، ویژگی های توان های زیر درست است:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

توجه داشته باشید که برای نماهای طبیعی، صحیح و مثبت، محدودیت های اعداد a و b ممکن است چندان سختگیرانه نباشد. به عنوان مثال، برای اعداد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n نه تنها برای a مثبت، بلکه برای منفی a و برای a=0 نیز صادق است.

در مدرسه، تمرکز اصلی هنگام تبدیل عبارات قدرت بر توانایی انتخاب ویژگی مناسب و اعمال صحیح آن است. در این حالت، پایه های درجه ها معمولاً مثبت هستند، که اجازه می دهد از خواص درجه ها بدون محدودیت استفاده شود. همین امر در مورد تبدیل عبارات حاوی متغیرها در مبانی قدرت ها نیز صدق می کند - محدوده مقادیر مجاز متغیرها معمولاً به گونه ای است که پایه ها فقط مقادیر مثبت را روی آن می گیرند که به شما امکان می دهد آزادانه از ویژگی های قدرت ها استفاده کنید. . به طور کلی، باید دائماً از خود بپرسید که آیا می توان در این مورد از هر خاصیت درجه استفاده کرد، زیرا استفاده نادرست از خواص می تواند منجر به کاهش ارزش آموزشی و سایر مشکلات شود. این نکات به تفصیل و همراه با مثال در مقاله تبدیل عبارات با استفاده از خصوصیات درجه مورد بحث قرار گرفته است. در اینجا به بررسی چند مثال ساده بسنده می کنیم.

مثال.

عبارت a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 را به صورت توان با پایه a بیان کنید.

راه حل.

ابتدا فاکتور دوم (a 2) -3 را با استفاده از خاصیت افزایش توان به توان تبدیل می کنیم: (a 2) -3 =a 2·(-3) =a -6. عبارت قدرت اصلی به شکل 2.5 ·a -6:a -5.5 خواهد بود. بدیهی است که باقی مانده است که از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده کنیم.
a 2.5 ·a -6:a -5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a -3.5-(-5.5) =a 2.

پاسخ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

ویژگی های قدرت ها هنگام تبدیل عبارات قدرت هم از چپ به راست و هم از راست به چپ استفاده می شود.

مثال.

مقدار عبارت قدرت را پیدا کنید.

راه حل.

برابری (a·b) r =a r ·b r که از راست به چپ اعمال می‌شود، به ما امکان می‌دهد از عبارت اصلی به یک حاصل از شکل و بیشتر حرکت کنیم. و هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها با هم جمع می شوند: .

امکان تبدیل عبارت اصلی به روش دیگری وجود داشت:

پاسخ:

.

مثال.

با توجه به عبارت قدرت a 1.5 −a 0.5 −6، یک متغیر جدید t=a 0.5 معرفی کنید.

راه حل.

درجه a 1.5 را می توان به صورت 0.5 3 نشان داد و سپس بر اساس ویژگی درجه به درجه (a r) s =a r s، از راست به چپ اعمال می شود، آن را به شکل (a 0.5) 3 تبدیل می کند. بدین ترتیب، a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. اکنون معرفی یک متغیر جدید t=a 0.5 آسان است، t 3 −t−6 را دریافت می کنیم.

پاسخ:

t 3 −t−6 .

تبدیل کسرهای حاوی توان

عبارات قدرت می توانند شامل یا نمایش کسری با توان باشند. هر یک از تبدیل‌های اساسی کسرها که در کسری از هر نوعی وجود دارد، به طور کامل برای چنین کسرهایی قابل استفاده است. یعنی کسرهایی که دارای توان هستند را می توان کاهش داد، به مخرج جدید تقلیل داد، با صورت آنها جداگانه و با مخرج جداگانه کار کرد و غیره. برای تشریح این کلمات، راه حل هایی برای چندین مثال در نظر بگیرید.

مثال.

بیان قدرت را ساده کنید .

راه حل.

این عبارت قدرت یک کسری است. بیایید با صورت و مخرج آن کار کنیم. در صورت‌حساب، پرانتزها را باز می‌کنیم و عبارت به‌دست‌آمده را با استفاده از ویژگی‌های توان‌ها ساده می‌کنیم و در مخرج عبارت‌های مشابه را ارائه می‌کنیم:

و همچنین علامت مخرج را با قرار دادن منهای جلوی کسر تغییر می دهیم: .

پاسخ:

.

تقلیل کسرهای حاوی توان به مخرج جدید مشابه تقلیل کسرهای گویا به مخرج جدید انجام می شود. در این صورت یک عامل اضافی نیز پیدا می شود و صورت و مخرج کسر در آن ضرب می شود. هنگام انجام این عمل، شایان ذکر است که کاهش به مخرج جدید می تواند منجر به باریک شدن VA شود. برای جلوگیری از این اتفاق، لازم است که فاکتور اضافی برای هیچ یک از مقادیر متغیرها از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی به صفر نرسد.

مثال.

کسرها را به مخرج جدید کاهش دهید: الف) به مخرج a، ب) به مخرج.

راه حل.

الف) در این مورد، تشخیص اینکه کدام ضریب اضافی به دستیابی به نتیجه مطلوب کمک می کند، بسیار آسان است. این ضریب 0.3 است، زیرا 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a. توجه داشته باشید که در محدوده مقادیر مجاز متغیر a (این مجموعه همه اعداد حقیقی مثبت است)، توان 0.3 از بین نمی رود، بنابراین، ما حق داریم که صورت و مخرج یک داده را ضرب کنیم. کسر با این عامل اضافی:

ب) با نگاهی دقیق تر به مخرج، متوجه خواهید شد

و با ضرب این عبارت در مجموع مکعب ها و یعنی . و این مخرج جدیدی است که باید کسر اصلی را به آن کاهش دهیم.

به این ترتیب ما یک عامل اضافی پیدا کردیم. در محدوده مقادیر مجاز متغیرهای x و y، عبارت ناپدید نمی شود، بنابراین، می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم:

پاسخ:

آ) ، ب) .

همچنین هیچ چیز جدیدی در کاهش کسرهای حاوی توان وجود ندارد: صورت و مخرج به عنوان تعدادی عامل نشان داده می شوند و همان عوامل صورت و مخرج کاهش می یابد.

مثال.

کسر را کم کن: الف) ، ب) .

راه حل.

الف) اولاً صورت و مخرج را می توان با اعداد 30 و 45 کاهش داد که برابر با 15 است. همچنین بدیهی است که امکان کاهش x 0.5 +1 و by نیز وجود دارد . این چیزی است که ما داریم:

ب) در این حالت عوامل یکسان در صورت و مخرج بلافاصله قابل مشاهده نیستند. برای به دست آوردن آنها، باید تغییرات اولیه را انجام دهید. در این مورد، آنها عبارتند از فاکتورگیری مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع:

پاسخ:

آ)

ب) .

تبدیل کسرها به مخرج جدید و کسر کسر عمدتاً برای انجام کارها با کسرها استفاده می شود. اقدامات بر اساس قوانین شناخته شده انجام می شود. هنگام جمع (تفریق) کسرها، آنها به یک مخرج مشترک کاهش می یابند، پس از آن اعداد جمع می شوند (کاهش می شوند)، اما مخرج ثابت می ماند. حاصل کسری است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج ها است. تقسیم بر کسری ضرب در معکوس آن است.

مثال.

مراحل را دنبال کنید .

راه حل.

ابتدا کسرهای داخل پرانتز را کم می کنیم. برای این کار آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم که این است ، پس از آن اعداد را کم می کنیم:

حالا کسرها را ضرب می کنیم:

بدیهی است که می توان با توان x 1/2 کاهش داد که پس از آن داریم .

همچنین می توانید با استفاده از فرمول تفاضل مربعات، عبارت توان را در مخرج ساده کنید: .

پاسخ:

مثال.

بیان قدرت را ساده کنید .

راه حل.

بدیهی است که این کسر را می توان با (x 2.7 +1) 2 کاهش داد، این کسر را می دهد . واضح است که باید کار دیگری با قدرت های X انجام شود. برای انجام این کار، کسر حاصل را به یک محصول تبدیل می کنیم. این به ما این فرصت را می دهد که از ویژگی تقسیم قدرت با پایه های یکسان استفاده کنیم: . و در پایان فرآیند از آخرین محصول به کسر حرکت می کنیم.

پاسخ:

.

و این را هم اضافه کنیم که می توان و در بسیاری از موارد مطلوب است که با تغییر علامت مبدل، فاکتورهایی با توان منفی را از صورت به مخرج یا از مخرج به صورت منتقل کنیم. چنین تحولاتی اغلب اقدامات بعدی را ساده می کند. به عنوان مثال، عبارت قدرت را می توان با .

تبدیل عبارات با ریشه و قدرت

غالباً در عباراتی که در آنها تغییراتی لازم است، ریشه هایی با توان کسری نیز همراه با توان ها وجود دارند. برای تبدیل چنین عبارتی به شکل مورد نظر، در بیشتر موارد کافی است فقط به ریشه ها یا فقط به قدرت ها بروید. اما از آنجایی که کار با قدرت ها راحت تر است، معمولاً از ریشه ها به قدرت ها می روند. با این حال، توصیه می شود چنین انتقالی را زمانی انجام دهید که ODZ متغیرها برای عبارت اصلی به شما امکان می دهد بدون نیاز به مراجعه به ماژول یا تقسیم ODZ به چندین بازه، ریشه ها را با قدرت جایگزین کنید (ما در این مورد به تفصیل در مورد بحث صحبت کردیم. انتقال مقاله از ریشه به توان و برگشت پس از آشنایی با درجه با توان منطقی، درجه ای با توان غیرمنطقی معرفی می شود که به ما امکان می دهد در مورد یک درجه با توان واقعی دلخواه صحبت کنیم در مدرسه تحصیل کرد تابع نماییکه به صورت تحلیلی با توانی به دست می آید که پایه آن یک عدد و توان آن یک متغیر است. بنابراین ما با عبارات توانی حاوی اعداد در پایه توان و در توان - عبارات با متغیر مواجه هستیم و طبیعتاً نیاز به انجام تبدیل این گونه عبارات احساس می شود.

باید گفت که تبدیل عبارات از نوع مشخص شده معمولاً باید هنگام حل انجام شود معادلات نماییو نابرابری های نمایی، و این تبدیل ها بسیار ساده هستند. در اکثریت قریب به اتفاق موارد، آنها بر اساس ویژگی های مدرک هستند و بیشتر با هدف معرفی یک متغیر جدید در آینده هستند. معادله به ما امکان می دهد آنها را نشان دهیم 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

اولاً، توان هایی که در نماهای آنها مجموع یک متغیر خاص (یا عبارت با متغیرها) و یک عدد است، با محصولات جایگزین می شوند. این برای اولین و آخرین عبارت عبارت در سمت چپ اعمال می شود:
5 2 x 5 1-3 5 x 7 x −14 7 2 x 7-1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

در مرحله بعد، هر دو طرف برابری با عبارت 7 2 x تقسیم می شوند، که در ODZ متغیر x برای معادله اصلی فقط مقادیر مثبت را می گیرد (این یک تکنیک استاندارد برای حل معادلات از این نوع است، ما نیستیم. اکنون در مورد آن صحبت می کنیم، بنابراین روی تغییر شکل های بعدی عبارات با قدرت تمرکز کنید:

اکنون می‌توانیم کسرهای دارای توان را لغو کنیم، که می‌دهد .

در نهایت، نسبت قدرت ها با توان های یکسان با توان های روابط جایگزین می شود و در نتیجه معادله ایجاد می شود. ، که معادل است . تبدیل های انجام شده به ما امکان می دهد یک متغیر جدید معرفی کنیم که حل معادله نمایی اصلی را به حل یک معادله درجه دوم کاهش می دهد.

I. V. Boykov، L. D. Romanovaمجموعه ای از وظایف برای آماده سازی برای آزمون دولتی واحد. قسمت 1. پنزا 2003.

عددی که به قدرت رسیده استبه عددی زنگ می زنند که در خودش چند برابر شود.

توان یک عدد با مقدار منفی (a - n) را می توان به روشی مشابه با نحوه تعیین توان همان عدد با توان مثبت تعیین کرد (a n) . با این حال، همچنین نیاز به تعریف اضافی دارد. فرمول به صورت زیر تعریف می شود:

a-n = (1/a n)

خواص توان های منفی اعداد مشابه توان هایی با توان مثبت است. معادله ارائه شده آ m/a n= m-n ممکن است منصفانه باشد

« در هیچ کجا، مانند ریاضیات، وضوح و دقت نتیجه‌گیری به فرد اجازه نمی‌دهد تا با صحبت کردن در مورد سؤال، از پاسخ خارج شود.».

A. D. Alexandrov

در n بیشتر متر ، و با متر بیشتر n . بیایید به یک مثال نگاه کنیم: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

ابتدا باید عددی را تعیین کنید که به عنوان تعریف مدرک عمل می کند. b=a(-n) . در این مثال -n یک توان است ب - مقدار عددی مورد نظر، آ - پایه درجه به شکل یک مقدار عددی طبیعی. سپس ماژول را تعیین کنید، یعنی قدر مطلق یک عدد منفی، که به عنوان یک توان عمل می کند. توان یک عدد معین را نسبت به یک عدد مطلق به عنوان یک نشانگر محاسبه کنید. مقدار درجه از تقسیم یک بر عدد حاصل بدست می آید.

برنج. 1

توان عددی با توان کسری منفی را در نظر بگیرید. بیایید تصور کنیم که عدد a هر عدد مثبت، اعداد باشد n و متر - اعداد صحیح طبق تعریف آ ، که به قدرت بالا می رود - برابر است با یک تقسیم بر همان عدد با توان مثبت (شکل 1). وقتی توان یک عدد کسری باشد، در چنین مواردی فقط از اعداد با توان مثبت استفاده می شود.

ارزش به خاطر سپردنکه صفر هرگز نمی تواند نماگر یک عدد باشد (قاعده تقسیم بر صفر).

گسترش چنین مفهومی به عنوان عدد تبدیل به دستکاری هایی مانند محاسبات اندازه گیری و همچنین توسعه ریاضیات به عنوان یک علم شد. معرفی مقادیر منفی به دلیل توسعه جبر بود که بدون توجه به معنای خاص آنها و داده های عددی اصلی، راه حل های کلی برای مسائل حسابی ارائه می داد. در هند، در قرن 6 تا 11، اعداد منفی به طور سیستماتیک هنگام حل مسائل استفاده می شد و به همان شیوه امروزی تفسیر می شد. در علم اروپا، اعداد منفی به لطف R. Descartes که تفسیر هندسی اعداد منفی را به عنوان جهت بخش ها ارائه کرد، به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفتند. این دکارت بود که تعیین یک عدد افزایش یافته به توان را به عنوان یک فرمول دو طبقه پیشنهاد کرد. a n .

ماشین حساب به شما کمک می کند تا به سرعت یک عدد را به صورت آنلاین افزایش دهید. پایه درجه می تواند هر عددی باشد (اعم از اعداد صحیح و واقعی). توان همچنین می تواند یک عدد صحیح یا واقعی باشد و همچنین می تواند مثبت یا منفی باشد. به خاطر داشته باشید که برای اعداد منفی، افزایش به یک توان غیر صحیح تعریف نشده است، بنابراین اگر آن را امتحان کنید، ماشین حساب خطا را گزارش می‌کند.

ماشین حساب مدرک

به قدرت برسانید

توان: 20880

توان طبیعی یک عدد چیست؟

عدد p را توان n ام یک عدد می نامند اگر p برابر باشد با عدد a ضرب در خودش n برابر: p = a n = a·...·a
ن - نامیده شد توانو عدد a است پایه مدرک.

چگونه یک عدد را به توان طبیعی برسانیم؟

برای درک چگونگی افزایش اعداد مختلف به توان طبیعی، چند مثال را در نظر بگیرید:

مثال 1. عدد سه را به توان چهارم ببرید. یعنی باید 3 4 محاسبه شود
راه حل: همانطور که در بالا ذکر شد، 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
پاسخ: 3 4 = 81 .

مثال 2. عدد پنج را به توان پنجم برسانید. یعنی باید 5 5 محاسبه شود
راه حل: به طور مشابه، 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
پاسخ: 5 5 = 3125 .

بنابراین، برای بالا بردن یک عدد به توان طبیعی، فقط باید آن را در خودش n برابر ضرب کنید.

توان منفی یک عدد چیست؟

توان منفی -n a یک تقسیم بر a به توان n است: a -n = .

در این حالت، یک توان منفی فقط برای اعداد غیر صفر وجود دارد، زیرا در غیر این صورت تقسیم بر صفر اتفاق می افتد.

چگونه یک عدد را به توان عدد صحیح منفی برسانیم؟

برای رساندن یک عدد غیر صفر به توان منفی، باید مقدار این عدد را به همان توان مثبت محاسبه کنید و یک را بر نتیجه تقسیم کنید.

مثال 1. عدد دو را به توان چهارم منفی برسانید. یعنی باید 2 -4 را محاسبه کنید

راه حل: همانطور که در بالا گفته شد، 2 -4 = = 0.0625.

پاسخ: 2 -4 = 0.0625 .

بالا بردن توان منفی یکی از عناصر اساسی ریاضیات است و اغلب در حل مسائل جبری با آن مواجه می‌شویم. در زیر دستورالعمل های دقیق ارائه شده است.

چگونه به یک قدرت منفی برسیم - نظریه

وقتی عددی را به توان معمولی برسانیم، مقدار آن را چندین برابر می کنیم. به عنوان مثال، 3 3 = 3×3×3 = 27. با کسر منفی برعکس آن صادق است. شکل کلی فرمول به صورت زیر خواهد بود: a -n = 1/a n. بنابراین، برای افزایش یک عدد به توان منفی، باید یک را بر عدد داده شده، اما به توان مثبت تقسیم کنید.

چگونه به توان منفی برسیم - مثال هایی در اعداد معمولی

با در نظر گرفتن قانون فوق، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
جواب: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
پاسخ -4 -2 = 1/16.

اما چرا پاسخ های مثال اول و دوم یکسان است؟ واقعیت این است که وقتی یک عدد منفی به توان زوج (2، 4، 6 و غیره) می‌رسد، علامت مثبت می‌شود. اگر درجه زوج بود، منفی باقی می ماند:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

چگونه اعداد را از 0 به 1 به توان منفی برسانیم

به یاد بیاورید که وقتی عددی بین 0 و 1 به توان مثبت افزایش می یابد، با افزایش توان، مقدار کاهش می یابد. به عنوان مثال، 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

مثال 3: 0.5 -2 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
پاسخ: 0.5 -2 = 4

تجزیه و تحلیل (توالی اقدامات):

• کسر اعشاری 0.5 را به کسر کسری 1/2 تبدیل کنید. اینجوری راحت تره
  1/2 را به توان منفی برسانید. 1/(2) -2. 1 را بر 1/(2) 2 تقسیم کنید، 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 بدست می آید

مثال 4: 0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

مثال 5: -0.5 -3 را محاسبه کنید
راه حل: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
پاسخ: -0.5 -3 = -8

بر اساس مثال های چهارم و پنجم، می توان چندین نتیجه گرفت:

• برای یک عدد مثبت در محدوده 0 تا 1 (مثال 4) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت مثبت خواهد بود. علاوه بر این، هر چه درجه بالاتر باشد، ارزش بیشتری دارد.
• برای یک عدد منفی در محدوده 0 تا 1 (مثال 5) که به توان منفی افزایش یافته است، زوج یا فرد بودن توان آن مهم نیست، مقدار عبارت منفی خواهد بود. در این حالت، هر چه درجه بالاتر باشد، مقدار آن کمتر است.

چگونه به توان منفی برسیم - توانی به شکل یک عدد کسری

عبارات این نوع شکل زیر را دارند: a -m/n که a یک عدد منظم است، m صورت‌گر درجه، n مخرج درجه است.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:
محاسبه: 8 -1/3

راه حل (توالی اقدامات):

• بیایید قانون افزایش یک عدد به توان منفی را به خاطر بسپاریم. دریافت می کنیم: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• توجه کنید که مخرج عدد 8 را در توان کسری دارد. شکل کلی محاسبه توان کسری به شرح زیر است: a m/n = n √8 m.
• بنابراین، 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). ریشه مکعب هشت را بدست می آوریم که برابر با 2 است. از اینجا 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2 است.
• پاسخ: 8 -1/3 = 2

سطح اول

درجه و خواص آن راهنمای جامع (2019)

چرا مدرک لازم است؟ کجا به آنها نیاز خواهید داشت؟ چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای یادگیری همه چیز در مورد مدارک تحصیلی، موارد مورد نیاز آنها و نحوه استفاده از دانش خود در زندگی روزمره، این مقاله را بخوانید.

و البته، دانش مدارک شما را به گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه یا آزمون دولتی واحد و ورود به دانشگاه رویاهایتان نزدیک می کند.

بیا بریم... (بریم!)

یادداشت مهم! اگر به جای فرمول ها gobbledygook را می بینید، حافظه پنهان خود را پاک کنید. برای انجام این کار، CTRL+F5 (در ویندوز) یا Cmd+R (در مک) را فشار دهید.

سطح اول

توان یک عملیات ریاضی است درست مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم.

اکنون با مثال های بسیار ساده همه چیز را به زبان انسان توضیح می دهم. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر نفر دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریعتر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و یکی دیگر زیباتر:

ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش دارند؟ درست - بالا بردن عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.

تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ سوال خیلی خوبیه حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1

بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.

یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر یک متر در یک متر کاشی دارید، به قطعات نیاز خواهید داشت. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().

آیا توجه کرده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد است، بالا بردن آنها به توان بسیار آسان تر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و بالعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: تعداد مربع های روی صفحه شطرنج را با استفاده از مربع عدد بشمارید... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که صفحه شطرنج یک مربع با ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. شما سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، به هر حال، با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است، و سعی کنید محاسبه کنید که چند مکعب اندازه گیری یک متر در متر خواهد بود. در استخر شما قرار بگیرد

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، کاری را که زمانی با انگشت خود می شمردید، در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .

تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد ترک و حیله گر اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون از شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک مسابقه دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را می‌گیرد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟

مثال زندگی واقعی شماره 5

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیون، دو عدد بیشتر درآمد دارید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم... تا دچار سردرگمی نشوید

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و به راحتی قابل یادآوری است...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.

خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر ... یک درجه با پایه ” ” و توان ” ” به درجه خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

توان یک عدد با توان طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که در شمارش در فهرست اشیاء به کار می روند: یک، دو، سه... وقتی اجسام را می شماریم، نمی گوییم: «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت». همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و اعداد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شدند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما دریافتند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، این یک کسر اعشاری نامتناهی است. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.

خلاصه:

اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

1. هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
2. مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
3. مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی یعنی ضرب عدد در خودش:
.

خواص درجات

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم: چیست؟ و ?

الف مقدماتی:

در کل چند ضریب وجود دارد؟

خیلی ساده است: ما ضرایب را به فاکتورها اضافه کردیم و نتیجه چند برابر است.

اما طبق تعریف، این توان یک عدد با توان است، یعنی: که باید ثابت شود.

مثال: بیان را ساده کنید.

راه حل:

مثال:بیان را ساده کنید.

راه حل:توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد!
بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصول قدرت ها!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

2. همین توان یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که توان چه چیزی باید باشد.

اما مبنای چه چیزی باید باشد؟

در اختیارات شاخص طبیعیاساس ممکن است هر عددی. در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج.

بیایید فکر کنیم که کدام نشانه ها ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ? با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در آن ضرب کنیم کار می کند.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

توانستی مدیریت کنی؟

در اینجا پاسخ ها آمده است: در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست!

6 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل راه حل 6 مثال

اگر قدرت هشتم را نادیده بگیریم، در اینجا چه می بینیم؟ برنامه کلاس هفتم را به یاد بیاوریم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی اختلاف مربع ها! ما گرفتیم:

بیایید با دقت به مخرج نگاه کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، این قانون می تواند اعمال شود.

اما چگونه این کار را انجام دهیم؟ معلوم می شود که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

به طور جادویی این اصطلاحات جای خود را تغییر دادند. این "پدیده" برای هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما به راحتی می توانیم علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم.

اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم به طور همزمان تغییر می کنند!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

کلما اعداد طبیعی، متضاد آنها (یعنی گرفته شده با علامت " ") و عدد را می نامیم.

عدد صحیح مثبت، و هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد، پس همه چیز دقیقاً مانند بخش قبل به نظر می رسد.

حالا بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک اندیکاتور برابر شروع کنیم.

هر عددی به توان صفر برابر با یک است:

مثل همیشه از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟

بیایید مدرکی را با پایه در نظر بگیریم. برای مثال در نظر بگیرید و در آن ضرب کنید:

بنابراین، ما عدد را در ضرب کردیم، و همان چیزی را به دست آوردیم که بود - . در چه عددی باید ضرب کرد تا چیزی تغییر نکند؟ درست است، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

بیایید این قانون را تکرار کنیم:

هر عدد به توان صفر برابر با یک است.

اما برای بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز آنجاست - این یک عدد (به عنوان پایه) است.

از یک طرف، باید با هر درجه ای برابر باشد - مهم نیست که چقدر صفر را در خودش ضرب کنید، باز هم صفر خواهید شد، این واضح است. اما از طرف دیگر مانند هر عددی به توان صفر باید برابر باشد. پس چقدر از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که درگیر نشوند و از رساندن صفر به توان صفر خودداری کردند. یعنی اکنون نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم، بلکه آن را به توان صفر نیز برسانیم.

بیایید ادامه دهیم. اعداد صحیح علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی شامل اعداد منفی نیز می شوند. برای اینکه بفهمیم یک توان منفی چیست، بیایید مانند دفعه قبل عمل کنیم: یک عدد معمولی را در همان عدد به توان منفی ضرب کنیم:

از اینجا به راحتی می توان آنچه را که به دنبال آن هستید بیان کرد:

حال اجازه دهید قانون حاصل را به یک درجه دلخواه گسترش دهیم:

بنابراین، بیایید یک قانون تنظیم کنیم:

عددی با توان منفی، متقابل همان عدد با توان مثبت است. اما در عین حال پایه نمی تواند null باشد:(چون شما نمی توانید تقسیم بر).

بیایید خلاصه کنیم:

I. عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

II. هر عددی به توان صفر برابر است با یک: .

III. عددی که برابر صفر با توان منفی نیست، معکوس همان عدد با توان مثبت است: .

وظایف برای راه حل مستقل:

خوب، طبق معمول، نمونه هایی برای راه حل های مستقل:

تجزیه و تحلیل مسائل برای حل مستقل:

می دانم، می دانم، اعداد ترسناک هستند، اما در آزمون یکپارچه دولتی باید برای هر چیزی آماده باشید! اگر نتوانستید این مثال ها را حل کنید یا راه حل های آنها را تجزیه و تحلیل کنید و یاد خواهید گرفت که در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!

اجازه دهید به گسترش دامنه اعداد "مناسب" به عنوان یک توان ادامه دهیم.

حالا بیایید در نظر بگیریم اعداد گویا.به چه اعدادی گویا می گویند؟

پاسخ: هر چیزی که می تواند به عنوان یک کسری نشان داده شود، که در آن و اعداد صحیح هستند، و.

تا بفهمی چیه "درجه کسری"، کسری را در نظر بگیرید:

بیایید هر دو طرف معادله را به توان برسانیم:

حالا بیایید قانون مربوط به آن را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان افزایش داد؟

این فرمول تعریف ریشه درجه هفتم است.

یادآوری می‌کنم: ریشه‌ی توان دهم یک عدد () عددی است که وقتی به توان بالا می‌رود، برابر است.

یعنی ریشه توان th عمل معکوس افزایش به توان است: .

معلوم می شود که. بدیهی است که این مورد خاص قابل گسترش است: .

اکنون صورت را اضافه می کنیم: چیست؟ با استفاده از قانون قدرت به قدرت می توان پاسخ را آسان کرد:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ از این گذشته ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

بیایید این قانون را به خاطر بسپاریم: هر عددی که به توان زوج افزایش یابد یک عدد مثبت است. یعنی از اعداد منفی نمی توان حتی ریشه را استخراج کرد!

این بدان معنی است که چنین اعدادی را نمی توان به توان کسری با مخرج زوج رساند، یعنی عبارت معنی ندارد.

در مورد بیان چطور؟

اما اینجا یک مشکل پیش می آید.

عدد را می توان به شکل کسرهای دیگر تقلیل پذیر، به عنوان مثال، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از یک عدد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار، سپس می توانید آن را یادداشت کنید. اما اگر اندیکاتور را طور دیگری بنویسیم، دوباره به مشکل می خوریم: (یعنی نتیجه کاملاً متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین پارادوکس هایی، در نظر می گیریم فقط نما پایه مثبت با توان کسری.

بنابراین اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

نماهای گویا برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید هستند، به عنوان مثال:

5 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

خب، حالا سخت ترین قسمت فرا می رسد. حالا ما آن را کشف خواهیم کرد درجه با توان غیر منطقی.

تمام قواعد و خصوصیات درجات در اینجا دقیقاً مانند درجه ای با توان گویا است، به استثنای

از این گذشته، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی‌توان آنها را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم.

برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود.

...عدد به توان صفر- این همان طور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی آنها هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط یک "عدد خالی" معین است. ، یعنی یک عدد؛

...درجه عدد صحیح منفی- انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم، شما فرصت درک این مفاهیم جدید را در موسسه خواهید داشت.

جایی که ما مطمئن هستیم که خواهی رفت! (اگر حل چنین مثال هایی را یاد بگیرید :))

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قاعده افزایش قدرت به یک قدرت شروع کنیم که قبلاً برای ما معمول است:

حالا به نشانگر نگاه کنید. او چیزی را به شما یادآوری نمی کند؟ بیایید فرمول ضرب اختصاری اختلاف مربع ها را به یاد بیاوریم:

در این مورد،

معلوم می شود که:

پاسخ: .

2. ما کسری در توان را به یک شکل کاهش می دهیم: هر دو اعشار یا هر دو اعشار معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم:

جواب: 16

3. چیز خاصی نیست، ما از خواص معمول درجه استفاده می کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین مدرک تحصیلی

درجه عبارتی از شکل: , که در آن:

• — پایه درجه؛
• - توان

درجه با شاخص طبیعی (n = 1، 2، 3،...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n یعنی ضرب عدد در خودش:

درجه با توان عدد صحیح (0، 1±، 2±،...)

اگر توان است عدد صحیح مثبتعدد:

ساخت و ساز به درجه صفر:

عبارت نامشخص است، زیرا از یک سو به هر درجه ای این است و از سوی دیگر هر عددی به درجه هفتم این است.

اگر توان است عدد صحیح منفیعدد:

(چون شما نمی توانید تقسیم بر).

بار دیگر در مورد صفر: عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

قدرت با توان منطقی

• - عدد طبیعی؛
• - عدد صحیح؛

مثال ها:

خواص درجات

برای آسان‌تر کردن حل مشکلات، بیایید سعی کنیم بفهمیم: این ویژگی‌ها از کجا آمده‌اند؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

الف مقدماتی:

بنابراین، در سمت راست این عبارت، محصول زیر را دریافت می کنیم:

اما طبق تعریف، توان یک عدد با توان است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : .

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول قدرت!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

بیایید این کار را به صورت زیر دسته بندی کنیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید: !

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی.

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که چگونه باید باشد فهرست مطالبدرجه. اما مبنای چه چیزی باید باشد؟ در اختیارات طبیعی نشانگر اساس ممکن است هر عددی .

در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج. بیایید فکر کنیم که کدام نشانه ها ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ?

با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در (() ضرب کنیم به - .

و به همین ترتیب ad infinitum: با هر ضرب بعدی علامت تغییر می کند. می توانیم موارد زیر را فرموله کنیم قوانین ساده:

1. زوجدرجه، - شماره مثبت.
2. عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
3. عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
4. صفر به هر توانی برابر با صفر است.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها آمده است:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست. در اینجا باید دریابید که کدام کمتر است: یا؟ اگر آن را به خاطر بسپاریم، مشخص می شود که یعنی پایه کمتر از صفر است. یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز طبق معمول است - ما تعریف درجه ها را می نویسیم و آنها را با یکدیگر تقسیم می کنیم، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و به دست می آوریم:

قبل از اینکه به قانون آخر نگاه کنیم، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

عبارات را محاسبه کنید:

راه حل ها :

اگر قدرت هشتم را نادیده بگیریم، در اینجا چه می بینیم؟ برنامه کلاس هفتم را به یاد بیاوریم. پس یادت هست؟ این فرمول ضرب اختصاری است، یعنی اختلاف مربع ها!

ما گرفتیم:

بیایید با دقت به مخرج نگاه کنیم. به نظر بسیار شبیه یکی از فاکتورهای شمارنده است، اما چه اشکالی دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها معکوس شوند، قانون 3 می تواند اعمال شود، اما چگونه؟ به نظر می رسد که بسیار آسان است: درجه زوج مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اگر آن را در ضرب کنید، چیزی تغییر نمی کند، درست است؟ اما الان اینطور معلوم میشه:

به طور جادویی این اصطلاحات جای خود را تغییر دادند. این "پدیده" برای هر عبارتی به میزان یکنواخت صدق می کند: ما به راحتی می توانیم علائم داخل پرانتز را تغییر دهیم. اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه نشانه ها در یک زمان تغییر می کنند!شما نمی توانید آن را با تغییر تنها یک نقطه ضعف که ما دوست نداریم جایگزین کنید!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

خب حالا آخرین قانون:

چگونه آن را ثابت خواهیم کرد؟ البته، طبق معمول: بیایید مفهوم مدرک را گسترش دهیم و آن را ساده کنیم:

خب حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم. در کل چند حرف وجود دارد؟ بار توسط ضرب - این شما را به یاد چه چیزی می اندازد؟ این چیزی بیش از تعریف یک عملیات نیست ضرب: اونجا فقط ضریب وجود داشت. یعنی این، طبق تعریف، توان یک عدد با توان است:

مثال:

درجه با توان غیرمنطقی

علاوه بر اطلاعات در مورد درجه برای سطح متوسط، درجه را با یک توان غیر منطقی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تمام قواعد و ویژگی های درجه ها در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای - در نهایت، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی ، اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم. برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود. یک عدد به توان صفر، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب می شود، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط مشخص است. «عدد خالی»، یعنی یک عدد؛ یک درجه با توان منفی عدد صحیح - انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

تصور درجه ای با توان غیرمنطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). این یک شیء صرفاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کردند.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم، شما فرصت درک این مفاهیم جدید را در موسسه خواهید داشت.

پس اگر یک توان غیرمنطقی ببینیم چه کنیم؟ ما تمام تلاش خود را می کنیم تا از شر آن خلاص شویم!

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

1)

2)

3)

پاسخ ها:

1. بیایید تفاوت فرمول مربع ها را به خاطر بسپاریم. پاسخ: .
2. کسرها را به یک شکل کاهش می دهیم: هر دو اعشاری یا هر دو معمولی. به عنوان مثال دریافت می کنیم: .
3. چیز خاصی نیست، ما از خواص معمول درجه ها استفاده می کنیم:

خلاصه بخش و فرمول های اساسی

درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

قدرت با توان منطقی

درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجات

ویژگی های درجه.

• عدد منفی به زوجدرجه، - شماره مثبت.
• عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
• عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
• صفر برابر هر توانی است.
• هر عددی به توان صفر برابر است.

حالا شما کلمه را دارید ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ در زیر در نظرات بنویسید که آیا آن را دوست داشتید یا نه.

در مورد تجربه خود در استفاده از ویژگی های درجه به ما بگویید.

شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات.

در نظرات بنویسید.

و در امتحانات موفق باشید!