ریشه زیر ریشه چیست؟ فرمول های ریشه خواص ریشه های مربع چرا مطالعه تئوری در ریاضیات نه تنها برای کسانی که در آزمون یکپارچه دولتی شرکت می کنند بسیار مهم است

جذر چیست؟

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد جذر گرفتن!همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:

خود نماد یک کلمه زیبا نامیده می شود " افراطی".

چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.

جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مربع به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:

اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عدد مربعی را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:

فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4 9; 5.

تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!

اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟

آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...

به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...

نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!

جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی ساعت هفت است؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...

این سختی است استخراج ریشه. مربعشما می توانید از هر شماره ای بدون هیچ مشکلی استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.

این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله مطرح می شود، اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...

برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.

و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعت خود را کاهش می دهید ...

بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.

نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!

از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر یک از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید

بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:

برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.

چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی وجود ندارد که با مجذور آن عدد منفی به ما بدهد! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.

با هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:

عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عمل ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:

شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!

اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است

در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!

خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:

خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:

جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:

اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:

سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.

شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید

البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً در فرم است

یک جواب کاملا کامل

و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:

این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.

نقطه سه حیله گر ترین.

سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اطمینان می دهد... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!

ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!

مربع چه عددی است؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...

درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب

درست و جواب

اشتباه فاحش مثل این.

پس قضیه چیه؟

در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.

ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج ریشه های مربع حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.

خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است با نتایج منفی خود را خسته نکنید ... این هنوز سردرگمی نیست.

سردرگمی با حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.

معادله ساده است، ما پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):

این پاسخ (به هر حال کاملاً صحیح) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:

ایست ایست! همین بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (صرفاً برای درک!) اینگونه بنویسیم:

پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.

مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:

زیرا آن - جذر حسابی.

اما اگر معادله درجه دوم را حل می کنید، مانند:

که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):

زیرا این راه حل معادله است.

امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)

همه اینها در درس های زیر است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

توان شامل ضرب یک عدد معین در خودش در تعداد معینی است. به عنوان مثال، افزایش عدد 2 به توان پنجم به صورت زیر است:

عددی که باید در خودش ضرب شود را پایه توان و تعداد ضرب ها را توان آن می گویند. افزایش به توان با دو عمل متضاد مطابقت دارد: یافتن توان و یافتن پایه.

استخراج ریشه

یافتن پایه یک توان را استخراج ریشه می گویند. این بدان معنی است که شما باید عددی را که باید به توان n افزایش دهید تا عدد داده شده را بدست آورید، پیدا کنید.

برای مثال، باید ریشه 4 عدد 16 را استخراج کرد، یعنی. برای تعیین باید در خودش 4 برابر ضرب کنید تا در نهایت عدد 16 بدست آید. این عدد 2 است.

چنین عملیات حسابی با استفاده از یک علامت خاص نوشته می شود - رادیکال: √، که در بالای آن توان در سمت چپ نشان داده شده است.

ریشه حسابی

اگر توان یک عدد زوج باشد، ریشه می تواند دو عدد با قدر مطلق یکسان باشد، اما c مثبت و منفی است. بنابراین، در مثال ارائه شده، اینها می توانند اعداد 2 و -2 باشند.

عبارت باید بدون ابهام باشد، یعنی. یک نتیجه داشته باشد برای این منظور مفهوم ریشه حسابی معرفی شد که فقط می تواند یک عدد مثبت را نشان دهد. یک ریشه حسابی نمی تواند کمتر از صفر باشد.

بنابراین، در مثالی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، فقط عدد 2 ریشه حسابی خواهد بود و گزینه دوم پاسخ -2- طبق تعریف حذف شده است.

ریشه دوم

برای برخی از درجات، که بیشتر از سایرین استفاده می شود، نام های خاصی وجود دارد که در اصل با هندسه مرتبط هستند. ما در مورد ارتقاء به قدرت های دوم و سوم صحبت می کنیم.

به توان دوم طول یک ضلع مربع زمانی که باید مساحت آن را محاسبه کنید. اگر بخواهید حجم یک مکعب را پیدا کنید، طول لبه آن به توان سوم افزایش می یابد. بنابراین به آن مربع عدد و سومی را مکعب می گویند.

بر این اساس ریشه درجه دوم را مربع و ریشه درجه سوم را مکعب می گویند. جذر تنها ریشه ای است که با نما بالای رادیکال نوشته نمی شود:

بنابراین، جذر حسابی یک عدد معین، عدد مثبتی است که برای بدست آوردن عدد داده شده باید به توان دوم افزایش یابد.

اغلب، هنگام حل مسائل، با اعداد زیادی مواجه می شویم که باید از آنها استخراج کنیم ریشه دوم. بسیاری از دانش آموزان تصمیم می گیرند که این یک اشتباه است و شروع به حل مجدد کل مثال می کنند. تحت هیچ شرایطی این کار را نکنید! دو دلیل برای این وجود دارد:

1. ریشه های اعداد زیاد در مشکلات ظاهر می شوند. به خصوص در متن ها؛
2. الگوریتمی وجود دارد که با آن این ریشه ها تقریباً شفاهی محاسبه می شوند.

ما امروز این الگوریتم را در نظر خواهیم گرفت. شاید برخی چیزها برای شما نامفهوم به نظر برسد. اما اگر به این درس توجه کنید، یک سلاح قدرتمند در مقابل دریافت خواهید کرد ریشه های مربع.

بنابراین، الگوریتم:

1. ریشه مورد نیاز بالا و پایین را به اعدادی که مضرب 10 هستند محدود کنید. بنابراین، محدوده جستجو را به 10 عدد کاهش می دهیم.
2. از این 10 عدد، آنهایی را که قطعا نمی توانند ریشه باشند حذف کنید. در نتیجه، 1-2 عدد باقی می ماند.
3. این 1-2 اعداد را مربع کنید. آن که مربع آن برابر با عدد اصلی باشد، ریشه خواهد بود.

قبل از اجرای این الگوریتم، اجازه دهید به هر مرحله جداگانه نگاه کنیم.

محدودیت ریشه

اول از همه، باید بفهمیم که ریشه ما بین کدام اعداد قرار دارد. بسیار مطلوب است که اعداد مضرب ده باشند:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

یک سری اعداد بدست می آوریم:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

این اعداد به ما چه می گویند؟ ساده است: ما مرزها را می گیریم. به عنوان مثال عدد 1296 را در نظر بگیرید. بین 900 و 1600 قرار دارد. بنابراین ریشه آن نمی تواند کمتر از 30 و بزرگتر از 40 باشد.

[کپشن عکس]

همین مورد در مورد هر عدد دیگری که از آن می توانید جذر را پیدا کنید صدق می کند. به عنوان مثال، 3364:

[کپشن عکس]

بنابراین، به جای یک عدد نامفهوم، یک محدوده بسیار خاص دریافت می کنیم که ریشه اصلی در آن قرار دارد. برای محدود کردن بیشتر منطقه جستجو، به مرحله دوم بروید.

حذف اعداد آشکارا غیر ضروری

بنابراین، ما 10 عدد داریم - نامزدهای ریشه. ما آنها را خیلی سریع و بدون تفکر پیچیده و ضرب در یک ستون به دست آوردیم. وقت آن است که ادامه دهیم.

باور کنید یا نه، ما اکنون تعداد کاندیداها را به دو نفر کاهش می دهیم - دوباره بدون هیچ گونه محاسبات پیچیده! کافی است قاعده خاص را بدانید. ایناهاش:

آخرین رقم مربع فقط به رقم آخر بستگی دارد شماره اصلی.

به عبارت دیگر، فقط به آخرین رقم مربع نگاه کنید و بلافاصله متوجه می شویم که عدد اصلی به کجا ختم می شود.

تنها 10 رقم وجود دارد که می توانند در جایگاه آخر قرار گیرند. بیایید سعی کنیم دریابیم وقتی مربع به چه چیزی تبدیل می شوند. به جدول نگاه کنید:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

این جدول گام دیگری برای محاسبه ریشه است. همانطور که می بینید، اعداد در خط دوم نسبت به پنج متقارن بودند. مثلا:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

همانطور که می بینید، رقم آخر در هر دو مورد یکسان است. یعنی مثلاً ریشه 3364 باید به 2 یا 8 ختم شود. از طرف دیگر محدودیت پاراگراف قبل را به خاطر می آوریم. ما گرفتیم:

[کپشن عکس]

مربع های قرمز نشان می دهد که ما هنوز این رقم را نمی دانیم. اما ریشه در محدوده 50 تا 60 قرار دارد که در آن فقط دو عدد به 2 و 8 ختم می شود:

[کپشن عکس]

همین! از بین همه ریشه های ممکن، ما فقط دو گزینه باقی گذاشتیم! و این در سخت ترین حالت است، زیرا رقم آخر می تواند 5 یا 0 باشد. و سپس فقط یک نامزد برای ریشه ها وجود خواهد داشت!

محاسبات نهایی

بنابراین، ما 2 شماره نامزد باقی مانده است. چگونه می دانید ریشه کدام یک است؟ پاسخ واضح است: هر دو عدد را مربع کنید. عددی که به مربع عدد اصلی را می دهد، ریشه خواهد بود.

به عنوان مثال، برای عدد 3364 دو عدد نامزد پیدا کردیم: 52 و 58. بیایید آنها را مربع کنیم:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

همین! معلوم شد که ریشه 58 است! در عین حال برای ساده کردن محاسبات از فرمول مجذورات مجموع و تفاضل استفاده کردم. با تشکر از این، من حتی مجبور نشدم اعداد را در یک ستون ضرب کنم! این یک سطح دیگر از بهینه سازی محاسبه است، اما، البته، کاملا اختیاری است :)

نمونه هایی از محاسبه ریشه ها

البته تئوری خوب است. اما بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.

[کپشن عکس]

ابتدا بیایید دریابیم که عدد 576 بین کدام اعداد قرار دارد:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

حالا بیایید به آخرین عدد نگاه کنیم. برابر 6 است. چه زمانی این اتفاق می افتد؟ فقط اگر ریشه به 4 یا 6 ختم شود. دو عدد بدست می آوریم:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر عدد را مربع کنید و آن را با عدد اصلی مقایسه کنید:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

عالی! مربع اول برابر با عدد اصلی بود. پس این ریشه است.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

1369 → 9;
33; 37.

مربع آن:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

پاسخ این است: 37.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

2704 → 4;
52; 58.

مربع آن:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

پاسخ را دریافت کردیم: 52. عدد دوم دیگر نیازی به مربع کردن نخواهد داشت.

وظیفه. جذر را محاسبه کنید:

[کپشن عکس]

ما تعداد را محدود می کنیم:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

بیایید به رقم آخر نگاه کنیم:

4225 → 5;
65.

همانطور که می بینید بعد از مرحله دوم فقط یک گزینه باقی می ماند: 65. این ریشه مورد نظر است. اما بیایید همچنان آن را مربع کنیم و بررسی کنیم:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

همه چیز درست است. پاسخ را یادداشت می کنیم.

نتیجه

افسوس، بهتر نیست. بیایید به دلایل آن نگاه کنیم. دو تا از آنها موجود است:

• در هر امتحان معمولی در ریاضیات، چه آزمون دولتی یا یک آزمون دولتی واحد، استفاده از ماشین حساب ممنوع است. و اگر یک ماشین حساب به کلاس بیاورید، به راحتی می توانید از امتحان اخراج شوید.
• مثل آمریکایی های احمق نباشید. که مانند ریشه نیستند - نمی توانند دو عدد اول را اضافه کنند. و وقتی کسرها را می بینند، عموما هیستریک می شوند.

در این مقاله به معرفی خواهیم پرداخت مفهوم ریشه یک عدد. ما به ترتیب ادامه خواهیم داد: با ریشه دوم شروع می کنیم، از آنجا به توصیف ریشه مکعب می رویم، پس از آن مفهوم ریشه را تعمیم می دهیم و ریشه n را تعریف می کنیم. ضمناً به معرفی تعاریف، نمادها، مثال هایی از ریشه ها و توضیحات و نظرات لازم می پردازیم.

جذر، جذر حسابی

برای درک تعریف ریشه یک عدد، و به طور خاص جذر، باید . در این مرحله اغلب با توان دوم یک عدد – مربع یک عدد – مواجه می شویم.

بیا شروع کنیم با تعاریف ریشه مربع.

تعریف

ریشه مربع aعددی است که مربع آن برابر با a است.

به منظور آوردن نمونه هایی از ریشه های مربعاعدادی مانند 5، −0.3، 0.3، 0 را بگیرید و آنها را مربع کنید، به ترتیب اعداد 25، 0.09، 0.09 و 0 را دریافت می کنیم (5 2 =5·5=25، (-0.3) 2 =(-0.3)·(-0.3)=0.09، (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 و 0 2 =0·0=0). سپس با تعریفی که در بالا داده شد، عدد 5 جذر عدد 25، اعداد 0.3- و 0.3 ریشه های مربع 0.09 و 0 جذر صفر است.

لازم به ذکر است که برای هیچ عدد a وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. یعنی برای هر عدد منفی a هیچ عدد حقیقی b وجود ندارد که مربع آن برابر با a باشد. در واقع، برابری a=b 2 برای هر منفی a غیرممکن است، زیرا b 2 یک عدد غیر منفی برای هر b است. بدین ترتیب، روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی وجود ندارد. به عبارت دیگر، روی مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی تعریف نشده و معنی ندارد.

این منجر به یک سؤال منطقی می شود: "آیا برای هر a غیر منفی یک جذر a وجود دارد؟" پاسخ بله است. این واقعیت را می توان با روش سازنده ای که برای آن استفاده می شود توجیه کرد پیدا کردن مقدار جذر.

سپس سؤال منطقی بعدی مطرح می شود: "تعداد تمام ریشه های مربع یک عدد غیر منفی a - یک، دو، سه یا حتی بیشتر" چقدر است؟ پاسخ این است: اگر a صفر باشد، تنها جذر صفر صفر است. اگر a عددی مثبت باشد، تعداد ریشه های مربع عدد a دو است و ریشه ها . بیایید این را توجیه کنیم.

بیایید با حالت a=0 شروع کنیم. ابتدا، اجازه دهید نشان دهیم که صفر در واقع جذر صفر است. این از برابری آشکار 0 2 = 0·0=0 و تعریف جذر به دست می آید.

حالا بیایید ثابت کنیم که 0 تنها جذر صفر است. از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید مقداری غیرصفر b وجود دارد که جذر صفر است. سپس شرط b 2 = 0 باید برآورده شود، که غیرممکن است، زیرا برای هر b غیر صفر مقدار عبارت b 2 مثبت است. ما به یک تناقض رسیده ایم. این ثابت می کند که 0 تنها جذر صفر است.

بیایید به مواردی برویم که a یک عدد مثبت است. در بالا گفتیم که همیشه یک جذر از هر عدد غیر منفی وجود دارد، اجازه دهید جذر a عدد b باشد. فرض کنید یک عدد c وجود دارد که آن هم جذر a است. سپس، با تعریف یک جذر، تساوی b 2 =a و c 2 =a درست است، که از آن نتیجه می شود که b 2 −c 2 =a−a=0، اما چون b 2 −c 2 =( b−c)·(b+c)، سپس (b−c)·(b+c)=0. برابری حاصل معتبر است ویژگی های عملیات با اعداد واقعیتنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b+c=0 باشد. بنابراین، اعداد b و c برابر یا مخالف هستند.

اگر فرض کنیم که یک عدد d وجود داشته باشد که جذر دیگری از عدد a است، با استدلالی مشابه آنچه قبلا داده شد، ثابت می شود که d برابر با عدد b یا عدد c است. بنابراین، تعداد ریشه های مربع یک عدد مثبت دو است و ریشه های مربع اعداد متضاد هستند.

برای راحتی کار با ریشه های مربع، ریشه منفی از مثبت "جدا می شود". برای این منظور معرفی شده است تعریف جذر حسابی.

تعریف

جذر حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مربع آن برابر با a است.

نماد جذر حسابی a است. علامت را علامت جذر حسابی می نامند. به آن علامت رادیکال نیز می گویند. بنابراین، گاهی اوقات می توانید هم "ریشه" و هم "رادیکال" را بشنوید که به معنای یک شی است.

عدد زیر علامت جذر حسابی نامیده می شود عدد رادیکال، و عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال، در حالی که اصطلاح "عدد رادیکال" اغلب با "بیان رادیکال" جایگزین می شود. به عنوان مثال، در نماد، عدد 151 یک عدد رادیکال است، و در نماد عبارت a یک عبارت رادیکال است.

هنگام خواندن، اغلب کلمه "حساب" حذف می شود، برای مثال، مدخل به عنوان "ریشه دوم هفت نقطه بیست و نه" خوانده می شود. کلمه "حساب" فقط زمانی استفاده می شود که آنها بخواهند تأکید کنند که ما به طور خاص در مورد جذر مثبت یک عدد صحبت می کنیم.

با توجه به نماد معرفی شده، از تعریف یک جذر حسابی چنین بر می آید که برای هر عدد غیر منفی a .

جذر یک عدد مثبت a با استفاده از علامت جذر حسابی به صورت و نوشته می شود. به عنوان مثال، جذر 13 عبارتند از و. جذر حسابی صفر صفر است یعنی . برای اعداد منفی a، تا زمانی که مطالعه نکنیم، معنی را به نماد متصل نمی کنیم اعداد مختلط. به عنوان مثال، عبارات و بی معنی هستند.

بر اساس تعریف جذر، ثابت می کنیم خواص ریشه های مربع، که اغلب در عمل استفاده می شوند.

در خاتمه این نکته، متذکر می شویم که ریشه های مربع عدد a نسبت به متغیر x جواب هایی به شکل x 2 =a هستند.

ریشه مکعب یک عدد

تعریف ریشه مکعبیعدد a به طور مشابه به تعریف جذر داده می شود. فقط بر اساس مفهوم مکعب یک عدد است نه مربع.

تعریف

ریشه مکعبی aعددی است که مکعب آن برابر با a است.

بدهیم نمونه هایی از ریشه های مکعبی. برای انجام این کار، چندین عدد را بگیرید، به عنوان مثال، 7، 0، −2/3، و آنها را مکعب کنید: 7 3 =7·7·7=343، 0 3 =0·0·0=0، . سپس بر اساس تعریف ریشه مکعب می توان گفت که عدد 7 ریشه مکعبی 343، 0 ریشه مکعبی صفر و 2/3 ریشه مکعبی 27/8- است.

می توان نشان داد که ریشه مکعب یک عدد، برخلاف جذر، نه تنها برای غیر منفی a، بلکه برای هر عدد حقیقی a نیز همیشه وجود دارد. برای این کار می توانید از همان روشی که در مطالعه ریشه های مربع به آن اشاره کردیم استفاده کنید.

علاوه بر این، تنها یک ریشه مکعبی از یک عدد معین a وجود دارد. اجازه دهید بیانیه آخر را ثابت کنیم. برای این کار سه حالت را جداگانه در نظر بگیرید: a یک عدد مثبت، a=0 و a یک عدد منفی است.

به راحتی می توان نشان داد که اگر a مثبت باشد، ریشه مکعب a می تواند نه عدد منفی باشد و نه صفر. در واقع، اجازه دهید b ریشه مکعب a باشد، سپس با تعریف می توانیم برابری b 3 =a را بنویسیم. واضح است که این برابری نمی تواند برای منفی b و b=0 صادق باشد، زیرا در این موارد b 3 =b·b·b به ترتیب یک عدد منفی یا صفر خواهد بود. بنابراین ریشه مکعب یک عدد مثبت a یک عدد مثبت است.

حال فرض کنید علاوه بر عدد b، ریشه مکعب دیگری از عدد a وجود داشته باشد، بیایید آن را به c نشان دهیم. سپس c 3 =a. بنابراین، b 3 −c 3 =a−a=0، اما b 3-c 3 =(b-c)·(b2 +b·c+c2)(این فرمول ضرب اختصاری است تفاوت مکعب هااز آنجا (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. برابری حاصل تنها زمانی ممکن است که b−c=0 یا b 2 +b·c+c 2 =0 باشد. از تساوی اول b=c داریم و تساوی دوم هیچ جوابی ندارد، زیرا سمت چپ آن یک عدد مثبت برای هر عدد مثبت b و c به عنوان مجموع سه جمله مثبت b 2، b·c و c 2 است. این منحصر به فرد بودن ریشه مکعب یک عدد مثبت a را ثابت می کند.

وقتی a=0 باشد، ریشه مکعب عدد a فقط عدد صفر است. در واقع، اگر فرض کنیم که یک عدد b وجود دارد، که یک ریشه مکعبی غیر صفر صفر است، باید برابری b 3 = 0 برقرار باشد، که تنها زمانی ممکن است که b=0 باشد.

برای a منفی، آرگومان هایی مشابه حالت a مثبت می توان ارائه داد. ابتدا نشان می دهیم که ریشه مکعب یک عدد منفی نمی تواند برابر با عدد مثبت یا صفر باشد. ثانیاً، فرض می کنیم که یک ریشه مکعب دوم از یک عدد منفی وجود دارد و نشان می دهیم که لزوماً با عدد اول منطبق خواهد شد.

بنابراین، همیشه یک ریشه مکعبی از هر عدد واقعی a وجود دارد، و یک عدد منحصر به فرد.

بدهیم تعریف ریشه مکعب حسابی.

تعریف

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که مکعب آن برابر با a است.

ریشه مکعب حسابی یک عدد غیر منفی a را به صورت نشان می دهند، علامت را علامت ریشه مکعب حسابی می نامند، عدد 3 در این نماد نامیده می شود. شاخص ریشه. عدد زیر علامت ریشه است عدد رادیکال، عبارت زیر علامت ریشه است بیان رادیکال.

اگرچه ریشه مکعب حسابی فقط برای اعداد غیر منفی a تعریف می شود، اما استفاده از نمادهایی که در آن اعداد منفی زیر علامت ریشه مکعب حسابی یافت می شوند نیز راحت است. ما آنها را به صورت زیر درک خواهیم کرد: ، که در آن a یک عدد مثبت است. مثلا، .

در مقاله ای کلی در مورد خواص ریشه های مکعبی صحبت خواهیم کرد. خواص ریشه.

محاسبه مقدار ریشه مکعب را استخراج ریشه مکعب می گویند، این عمل در مقاله مورد بحث قرار گرفته است. استخراج ریشه: روش ها، مثال ها، راه حل ها.

برای جمع‌بندی این نکته، فرض می‌کنیم که ریشه مکعب عدد a حلی به شکل x 3 =a است.

ریشه n ام، ریشه حسابی درجه n

اجازه دهید مفهوم ریشه یک عدد را تعمیم دهیم - معرفی می کنیم تعریف ریشه n امبرای n.

تعریف

ریشه n ام aعددی است که توان n آن برابر با a است.

از این تعریف مشخص می شود که ریشه درجه اول عدد a خود عدد a است، زیرا هنگام مطالعه درجه با توان طبیعی 1 =a را در نظر گرفتیم.

در بالا به موارد خاصی از ریشه n برای n=2 و n=3 نگاه کردیم - ریشه مربع و ریشه مکعب. یعنی ریشه مربع یک ریشه درجه دوم و یک ریشه مکعب ریشه درجه سوم است. برای مطالعه ریشه های درجه n برای n=4، 5، 6، ...، راحت است که آنها را به دو گروه تقسیم کنیم: گروه اول - ریشه های درجات زوج (یعنی برای n = 4، 6، 8 ، ...)، گروه دوم - ریشه درجات فرد (یعنی با n=5، 7، 9، ...). این به این دلیل است که ریشه های توان های زوج شبیه به ریشه های مربع و ریشه های توان های فرد شبیه به ریشه های مکعب هستند. بیایید یک به یک با آنها برخورد کنیم.

بیایید با ریشه هایی شروع کنیم که توان آنها اعداد زوج 4، 6، 8، ... هستند همانطور که قبلاً گفتیم شبیه جذر عدد a هستند. یعنی ریشه هر درجه زوج از عدد a فقط برای غیر منفی a وجود دارد. علاوه بر این، اگر a=0 باشد، ریشه a یکتا و برابر با صفر است و اگر a>0 باشد، آنگاه دو ریشه از درجه زوج عدد a وجود دارد که اعداد متضاد هستند.

اجازه دهید اظهارات آخر را ثابت کنیم. فرض کنید b یک ریشه زوج باشد (آن را 2·m نشان می دهیم، جایی که m مقداری طبیعی است) عدد a. فرض کنید یک عدد c وجود دارد - یک ریشه دیگر درجه 2·m از عدد a. سپس b 2·m −c 2·m =a−a=0 . اما شکل b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) را می دانیم. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)، سپس (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. از این برابری نتیجه می شود که b−c=0 یا b+c=0 یا b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. دو برابر اول به این معنی است که اعداد b و c مساوی هستند یا b و c مقابل یکدیگر. و آخرین برابری فقط برای b=c=0 معتبر است، زیرا در سمت چپ آن عبارتی وجود دارد که برای هر b و c به عنوان مجموع اعداد غیر منفی غیر منفی است.

در مورد ریشه های درجه n برای n فرد، آنها شبیه به ریشه مکعب هستند. یعنی ریشه هر درجه فرد از عدد a برای هر عدد واقعی a وجود دارد و برای عدد معین a منحصر به فرد است.

یکتایی یک ریشه با درجه فرد 2·m+1 عدد a با قیاس با اثبات یکتایی ریشه مکعب a ثابت می شود. فقط اینجا به جای برابری a 3-b 3 =(a-b)·(a 2 +a·b+c 2)برابری از شکل b 2 m+1 -c 2 m+1 = استفاده می شود (b-c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m). عبارت در براکت آخر را می توان به صورت بازنویسی کرد b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). مثلا با m=2 داریم b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 · c+b 2 · c 2 +b·c 3 + c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). وقتی a و b هر دو مثبت یا هر دو منفی هستند، حاصل ضرب آنها یک عدد مثبت است، پس عبارت b 2 +c 2 +b·c در بالاترین پرانتز تو در تو به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت است. اکنون، با حرکت متوالی به عبارات داخل پرانتز درجات قبلی تودرتو، متقاعد می شویم که آنها نیز به عنوان مجموع اعداد مثبت مثبت هستند. در نتیجه، برابری b 2 m+1 -c 2 m+1 = را بدست می آوریم (b-c)·(b 2·m +b 2·m-1 ·c+b 2·m-2 ·c 2 +… +c 2·m)=0تنها زمانی ممکن است که b−c=0 باشد، یعنی زمانی که عدد b برابر با عدد c باشد.

وقت آن رسیده است که نشانه گذاری ریشه های nام را درک کنید. برای این منظور داده شده است تعریف ریشه حسابی درجه n.

تعریف

ریشه حسابی درجه n یک عدد غیر منفی aعددی غیر منفی است که توان n آن برابر با a است.