چگونه دو عدد دو رقمی را ضرب کنیم. چگونه اعداد دو رقمی را در یک ستون و در سر خود ضرب کنیم. ضرب یک عدد دو رقمی در یک عدد یک رقمی

شمارش شفاهی- فعالیتی که این روزها کمتر و کمتری با آن اذیت می شود. بیرون آوردن یک ماشین حساب روی گوشی و محاسبه هر نمونه بسیار ساده تر است.

اما آیا واقعا اینطور است؟ در این مقاله، هک های ریاضی را ارائه می دهیم که به شما کمک می کند یاد بگیرید چگونه به سرعت اعداد را در ذهن خود جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید. علاوه بر این، نه با واحدها و ده ها، بلکه حداقل با اعداد دو رقمی و سه رقمی عمل می کند.

پس از تسلط بر روش‌های موجود در این مقاله، دیگر ایده دستیابی به ماشین حساب به گوشی خود چندان خوب به نظر نمی‌رسد. از این گذشته ، شما نمی توانید زمان را تلف کنید و همه چیز را در ذهن خود خیلی سریعتر محاسبه کنید ، و در عین حال مغز خود را بکشید و دیگران (از جنس مخالف) را تحت تأثیر قرار دهید.

ما به شما هشدار می دهیم!اگر شما یک فرد معمولی هستید و نه یک کودک اعجوبه، پس توسعه مهارت های حسابی ذهنی نیاز به آموزش و تمرین، تمرکز و صبر دارد. در ابتدا ممکن است همه چیز کند باشد، اما پس از آن همه چیز بهتر خواهد شد و شما می توانید به سرعت هر عددی را در ذهن خود بشمارید.

گاوس و محاسبات ذهنی

یکی از ریاضیدانانی که سرعت محاسبات ذهنی خارق العاده ای داشت، کارل فردریش گاوس معروف (1777-1855) بود. بله، بله، همان گاوس که توزیع نرمال را اختراع کرد.

به قول خودش شمارش را قبل از حرف زدن یاد گرفت. وقتی گاوس 3 ساله بود، پسر به لیست حقوق و دستمزد پدرش نگاه کرد و گفت: "محاسبات اشتباه است." بعد از اینکه بزرگترها همه چیز را دوباره بررسی کردند، معلوم شد که گاوس کوچک درست می‌گوید.

پس از آن، این ریاضیدان به ارتفاعات قابل توجهی رسید و آثار او هنوز به طور فعال در علوم نظری و کاربردی استفاده می شود. گاوس تا زمان مرگش بیشتر محاسبات خود را در ذهن خود انجام می داد.

در اینجا ما درگیر محاسبات پیچیده نمی شویم، بلکه با ساده ترین آنها شروع می کنیم.

اضافه کردن اعداد در ذهن شما

برای اینکه یاد بگیرید چگونه اعداد بزرگ را در ذهن خود اضافه کنید، باید بتوانید اعداد را به دقت جمع کنید 10 . در نهایت، هر کار پیچیده ای به انجام چند عمل بی اهمیت ختم می شود.

بیشتر اوقات، هنگام اضافه کردن اعداد با "گذر از طریق"، مشکلات و خطاها ایجاد می شود 10 " هنگام اضافه کردن (و حتی هنگام تفریق)، استفاده از تکنیک "پشتیبانی از ده" راحت است. این چیه؟ ابتدا، ما به طور ذهنی از خود می پرسیم که چقدر یکی از اصطلاحات از دست رفته است 10 و سپس به آن اضافه کنید 10 تفاوت باقی مانده تا ترم دوم

به عنوان مثال، بیایید اعداد را جمع کنیم 8 و 6 . به از 8 گرفتن 10 ، کمبود دارد 2 . سپس به 10 تنها چیزی که باقی می ماند اضافه کردن است 4=6-2 . در نتیجه دریافت می کنیم: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

ترفند اصلی برای جمع کردن اعداد بزرگ این است که آنها را به قطعات ارزش مکانی تقسیم کنید و سپس آن قسمت ها را با هم جمع کنید.

فرض کنید باید دو عدد اضافه کنیم: 356 و 728 . عدد 356 را می توان به عنوان نشان داد 300+50+6 . به همین ترتیب، 728 شبیه خواهد شد 700+20+8 . حالا اضافه می کنیم:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

کم کردن اعداد در ذهن شما

تفریق اعداد نیز آسان خواهد بود. اما بر خلاف جمع، که در آن هر عدد به قسمت‌های ارزش مکانی تقسیم می‌شود، هنگام تفریق فقط باید عددی را که کم می‌کنیم «تجزیه کنیم».

مثلا چقدر اراده 528-321 ? شکستن عدد 321 به قسمت های بیتی می رسیم و می گیریم: 321=300+20+1 .

حالا حساب می کنیم: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

سعی کنید فرآیندهای جمع و تفریق را تجسم کنید. در مدرسه به همه یاد می دادند که در یک ستون، یعنی از بالا به پایین بشمارند. یکی از راه‌های تغییر ساختار تفکر و تسریع در شمارش این است که نه از بالا به پایین، بلکه از چپ به راست بشمارید و اعداد را به قسمت‌های مکان بشمارید.

ضرب اعداد در ذهن شما

ضرب عبارت است از تکرار یک عدد بارها و بارها. اگر نیاز به ضرب دارید 8 بر 4 ، این بدان معنی است که تعداد 8 نیاز به تکرار 4 بار.

8*4=8+8+8+8=32

از آنجایی که همه مسائل پیچیده به مسائل ساده‌تر کاهش می‌یابد، باید بتوانید همه اعداد تک رقمی را ضرب کنید. یک ابزار عالی برای این وجود دارد - جدول ضرب . اگر این جدول را به طور خلاصه نمی دانید، پس اکیداً توصیه می کنیم که ابتدا آن را یاد بگیرید و تنها پس از آن شروع به تمرین شمارش ذهنی کنید. علاوه بر این، اساساً چیزی برای یادگیری وجود ندارد.

ضرب اعداد چند رقمی در اعداد تک رقمی

ابتدا ضرب اعداد چند رقمی را در اعداد تک رقمی تمرین کنید. بگذارید ضرب لازم باشد 528 بر 6 . شکستن عدد 528 به رتبه ها و رفتن از ارشد به جوان. ابتدا ضرب می کنیم و سپس نتایج را اضافه می کنیم.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

ضرب اعداد دو رقمی

در اینجا نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد، فقط بار روی حافظه کوتاه مدت کمی بیشتر است.

بیایید ضرب کنیم 28 و 32 . برای این کار کل عملیات را به ضرب در اعداد تک رقمی کاهش می دهیم. بیایید تصور کنیم 32 چگونه 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

یک مثال دیگر بیایید ضرب کنیم 79 بر 57 . این بدان معنی است که شما باید شماره را بگیرید " 79 » 57 یک بار. بیایید کل عملیات را به مراحل تقسیم کنیم. بیایید اول ضرب کنیم 79 بر 50 ، و سپس - 79 بر 7 .

• 79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
• 79*7=(70+9)*7=490+63=553
• 3950+553=4503

ضرب در 11

در اینجا یک ترفند حسابی ذهنی سریع وجود دارد که به شما کمک می کند هر عدد دو رقمی را در ضرب کنید 11 با سرعتی خارق العاده

برای ضرب یک عدد دو رقمی در 11 ، دو رقم عدد را به یکدیگر اضافه می کنیم و مقدار حاصل را بین ارقام عدد اصلی وارد می کنیم. عدد سه رقمی حاصل حاصل ضرب عدد اصلی در است 11 .

بیایید بررسی کنیم و ضرب کنیم 54 بر 11 .

• 5+4=9
• 54*11=594

هر عدد دو رقمی را بگیرید و در آن ضرب کنید 11 و خودتان ببینید - این ترفند کار می کند!

مربع کردن

با استفاده از یک تکنیک جالب دیگر شمارش ذهنی، می توانید به سرعت و به راحتی اعداد دو رقمی را مربع کنید. انجام این کار به خصوص با اعدادی که به پایان می رسند آسان است 5 .

نتیجه با حاصل ضرب اولین رقم یک عدد با عدد بعدی در سلسله مراتب شروع می شود. یعنی اگر این رقم با نشان داده شود n ، سپس عدد بعدی در سلسله مراتب خواهد بود n+1 . نتیجه با مربع آخرین رقم یعنی مربع به پایان می رسد 5 .

بیایید بررسی کنیم! بیایید عدد را مربع کنیم 75 .

• 7*8=56
• 5*5=25
• 75*75=5625

تقسیم اعداد در ذهن شما

باقی مانده است که با تفرقه مقابله کنیم. در اصل، این عمل معکوس ضرب است. با تقسیم اعداد تا 100 به هیچ وجه نباید مشکلی وجود داشته باشد - از این گذشته ، جدول ضربی وجود دارد که شما با قلب می دانید.

تقسیم بر یک عدد تک رقمی

هنگام تقسیم اعداد چند رقمی بر اعداد تک رقمی، باید بزرگترین قسمت ممکن را که می توان با استفاده از جدول ضرب تقسیم کرد، انتخاب کرد.

به عنوان مثال، یک عدد وجود دارد 6144 ، که باید تقسیم شود 8 . ما جدول ضرب را به یاد می آوریم و آن را درک می کنیم 8 عدد تقسیم خواهد شد 5600 . بیایید مثالی را به شکل زیر ارائه کنیم:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

باقی مانده است که تقسیم شود 64 بر 8 و با جمع کردن تمام نتایج تقسیم به نتیجه برسید

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

تقسیم بر دو رقم

هنگام تقسیم بر یک عدد دو رقمی، هنگام ضرب دو عدد باید از قانون آخرین رقم حاصل استفاده کنید.

هنگام ضرب دو عدد چند رقمی، آخرین رقم حاصل ضرب همیشه با آخرین رقم حاصل از ضرب آخرین رقم آن اعداد یکی است.

مثلاً ضرب کنیم 1325 بر 656 . طبق قانون، آخرین رقم در عدد حاصل خواهد بود 0 ، زیرا 5*6=30 . واقعا، 1325*656=869200 .

اکنون، با داشتن این اطلاعات ارزشمند، به تقسیم بر یک عدد دو رقمی نگاه می کنیم.

چقدر اراده 4424:56 ?

در ابتدا، ما از روش "برازش" استفاده می کنیم و محدودیت هایی را که در آن نتیجه نهفته است، پیدا می کنیم. ما باید عددی را پیدا کنیم که وقتی در آن ضرب شود 56 خواهد داد 4424 . بیایید به طور مستقیم عدد را امتحان کنیم 80.

56*80=4480

یعنی تعداد مورد نیاز کمتر است 80 و بدیهی است بیشتر 70 . بیایید رقم آخر آن را تعیین کنیم. کار او در 6 باید با یک عدد تمام شود 4 . با توجه به جدول ضرب، نتایج برای ما مناسب است 4 و 9 . منطقی است که فرض کنیم نتیجه تقسیم می تواند یک عدد باشد 74 ، یا 79 . بررسی می کنیم:

79*56=4424

انجام شد، راه حل پیدا شد! اگر عدد مناسب نبود 79 ، گزینه دوم قطعا صحیح خواهد بود.

در پایان، در اینجا چند نکته مفید وجود دارد که به شما کمک می کند تا به سرعت محاسبات ذهنی را یاد بگیرید:

• ورزش هر روز را فراموش نکنید؛
• اگر نتایج به همان سرعتی که می‌خواهید به دست نیامد، تمرین را ترک نکنید.
• دانلود یک برنامه موبایل برای محاسبه ذهنی: به این ترتیب لازم نیست برای خودتان مثال بیاورید.
• کتاب های تکنیک های سریع شمارش ذهنی را بخوانید. تکنیک‌های شمارش ذهنی مختلفی وجود دارد، و شما می‌توانید به بهترین روشی که برای شما مناسب است تسلط پیدا کنید.

مزایای شمارش ذهنی غیرقابل انکار است. تمرین کنید و هر روز سریعتر و سریعتر حساب خواهید کرد. و اگر برای حل مشکلات پیچیده تر و چند سطحی به کمک نیاز دارید، برای کمک سریع و واجد شرایط با متخصصان خدمات دانشجویی تماس بگیرید!

سه روش کلی وجود دارد: ضرب مستقیم، روش عدد مرجع و روش تراختنبرگ.

به همه آنها تسلط داشته باشید، زیرا ممکن است هر کدام در یک موقعیت خاص ارجحیت داشته باشند.

می توانید مهارت های کسب شده خود را با استفاده از یک جدول تمرین تمرین کنید.

ضرب مستقیم

این روش زمانی مفید است که یکی از ضریب ها در محدوده 12-18 باشد یا به 1 ختم شود و دیگری تفاوت قابل توجهی با آن داشته باشد.

یکی از عوامل از نظر ذهنی به ده و یک تقسیم می شود. سپس عامل دیگر را در ده و سپس در واحد ضرب می کنند و جمع می کنند.

به عنوان مثال، 62×13 = 62×10 + 62×3 = 620 + 186 = 806.

گاهی اوقات راحت است که عامل بزرگتر را به ده ها و یک تقسیم کنیم: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

روش شماره مرجع

این روش برای تسلط به کمی تمرین نیاز دارد، اما زمانی که دو فاکتور اعداد نزدیک باشند، بسیار راحت است. به ویژه، این روش اصلی برای مربع اعداد دو رقمی است.

شماره مرجع یک عدد گرد نزدیک به هر دو عامل است. ممکن است کمتر از هر دو عامل، بیشتر از هر دو عامل یا در بین آن ها باشد.

به عنوان یک عدد مرجع، باید اعدادی را انتخاب کنید که ضرب در آنها آسان باشد. مثلاً 50 یا 100 اگر نزدیک به دو فاکتور باشند.

بسته به نحوه ارتباط عدد مرجع و عوامل، تکنیک ضرب کمی متفاوت است.

آ. عدد مرجع کمتر از دو فاکتور است.به عنوان مثال، شما باید 32 را در 36 ضرب کنید.

• عدد مرجع 30 است. ضرب کننده ها 2 و 6 بزرگتر از عدد مرجع هستند.
• 6 را به فاکتور اول اضافه کنید و در عدد مرجع ضرب کنید: 38 × 30 = 1140.
• حاصل ضرب 2 و 6 را اضافه کنید: 1140 + 2×6 = 1152.

ب. عدد مرجع بیشتر از دو فاکتور است.مثلاً باید 43 را در 48 ضرب کنید.

• عدد مرجع 50 است. ضرب کننده ها 7 و 2 کمتر از عدد مرجع هستند.
• 2 را از عامل اول کم کنید و در عدد مرجع ضرب کنید: 41 × 50 = 2050.
• حاصل ضرب 7 و 2 را اضافه کنید: 2050 + 7×2 = 2064.

V. شماره مرجع بین عوامل است.به عنوان مثال، شما باید 37 را در 42 ضرب کنید.

• عدد مرجع 40 است. ضریب اول 3 کمتر و دومی 2 بیشتر است.
• 2 را به فاکتور کوچکتر اضافه کنید و در عدد مرجع ضرب کنید: 39 × 40 = 1560.
• حاصل ضرب 3 و 2 را کم کنید: 1440 − 3×2 = 1554.

روش تراختنبرگ

روش تراختنبرگ کلی ترین روش است. استفاده از آن در مواقعی که تکنیک های خاص کار نمی کنند راحت است. ضرب چند رقمی را نیز پوشش می دهد.

از آنجایی که روش تراختنبرگ کاملاً آشنا نیست، بهتر است هنگام تسلط بر آن، ضرب کننده ها را جلوی چشم خود داشته باشید. در آینده بدون نوشتن اعداد اصلی تمرین کنید.

بیایید با استفاده از مثال ضرب 87 در 32 به روش نگاه کنیم.

• اعداد را به ترتیب ارائه کنید: 8732. دو عدد داخلی (7 و 3)، دو عدد بیرونی (8 و 2) را ضرب کرده و جمع کنید. معلوم می شود 37 است.
• ده ها را ضرب کنید: 80x30 = 2400. 37x10 را اضافه کنید. معلوم میشه 2770.
• حاصل ضرب یک ها (7 و 2) را اضافه کنید. مجموع 2784.

چند راه سریع ضرب شفاهیما قبلاً آن را فهمیده‌ایم، اکنون بیایید نگاهی دقیق‌تر به نحوه ضرب سریع اعداد در سر خود با استفاده از روش‌های مختلف کمکی بیندازیم. ممکن است قبلاً بدانید، و برخی از آنها کاملاً عجیب و غریب هستند، مانند روش باستانی چینی برای ضرب اعداد.

چیدمان بر اساس رتبه ها

این ساده ترین تکنیک برای ضرب سریع اعداد دو رقمی است. هر دو عامل باید به ده ها و یک تقسیم شوند و سپس همه این اعداد جدید باید در یکدیگر ضرب شوند.

این روش مستلزم قابلیت نگهداری همزمان تا چهار عدد در حافظه و انجام محاسبات با این اعداد است.

به عنوان مثال، شما باید اعداد را ضرب کنید 38 و 56 . ما این کار را به این صورت انجام می دهیم:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 حتی انجام ضرب شفاهی اعداد دو رقمی در سه عمل ساده تر خواهد بود. ابتدا باید ده ها را ضرب کنید، سپس دو حاصل از یک ها را در ده ها اضافه کنید و سپس حاصل ضرب یک ها را به یک اضافه کنید. به نظر می رسد این است: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 برای استفاده موفق از این روش، باید جدول ضرب را به خوبی بشناسید، بتوانید به سرعت اعداد دو رقمی و سه رقمی را جمع کنید و بدون فراموش کردن نتایج میانی، بین عملیات ریاضی جابجا شوید. آخرین مهارت از طریق کمک و تجسم به دست می آید.

این روش سریع ترین و موثرترین نیست، بنابراین ارزش بررسی روش های دیگر ضرب شفاهی را دارد.

تناسب اعداد

می توانید سعی کنید محاسبات حسابی را به شکل راحت تری بیاورید. مثلا حاصل ضرب اعداد 35 و 49 می توان اینگونه تصور کرد: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 - 35 = 1715
این روش ممکن است موثرتر از روش قبلی باشد، اما جهانی نیست و برای همه موارد مناسب نیست. همیشه نمی توان یک الگوریتم مناسب برای ساده کردن مسئله پیدا کرد.

در مورد این موضوع، به یاد حکایتی افتادم که چگونه ریاضیدانی در امتداد رودخانه از کنار مزرعه ای عبور کرد و به همکلاسی های خود گفت که توانسته است به سرعت تعداد گوسفندان در آغل را بشمارد، یعنی 1358 گوسفند. وقتی از او پرسیدند که چگونه این کار را انجام داد، او گفت که ساده است - باید تعداد پاها را بشمارید و بر 4 تقسیم کنید.

تجسم ضرب ستونی

این یکی از جهانی ترین راه های ضرب شفاهی اعداد، توسعه تخیل و حافظه فضایی است. ابتدا باید یاد بگیرید که اعداد دو رقمی را در اعداد تک رقمی در ستونی در سر خود ضرب کنید. پس از این به راحتی می توانید اعداد دو رقمی را در سه مرحله ضرب کنید. ابتدا یک عدد دو رقمی را باید در ده ها عدد دیگر ضرب کرد و سپس در واحدهای عدد دیگری ضرب کرد و سپس اعداد حاصل را جمع کرد.

به نظر می رسد این است: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

تجسم با ترتیب اعداد

یک روش بسیار جالب برای ضرب اعداد دو رقمی به شرح زیر است. برای بدست آوردن صدها، یک ها و ده ها باید ارقام را به ترتیب در اعداد ضرب کنید.

فرض کنید باید ضرب کنید 35 بر 49 .

ابتدا ضرب می کنید 3 بر 4 ، دریافت می کنید 12 ، سپس 5 و 9 ، دریافت می کنید 45 . در حال ضبط 12 و 5 ، با فاصله بین آنها و 4 یاد آوردن.

شما دریافت می کنید: 12 __ 5 (یاد آوردن 4 ).

حالا شما ضرب کنید 3 بر 9 ، و 5 بر 4 ، و جمع بندی کنید: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

حالا ما نیاز داریم 47 اضافه کردن 4 که به یاد می آوریم ما گرفتیم 51 .

ما نوشتیم 1 در وسط و 5 اضافه کردن به 12 ، ما گرفتیم 17 .

در مجموع عددی که ما دنبالش بودیم همین است 1715 ، پاسخ این است:

35 * 49 = 1715
سعی کنید به همین ترتیب در سر خود ضرب کنید: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

ضرب چینی یا ژاپنی

در کشورهای آسیایی مرسوم است که اعداد را نه در یک ستون، بلکه با کشیدن خطوط ضرب می کنند. برای فرهنگ های شرقی، میل به تفکر و تجسم مهم است، احتمالاً به همین دلیل است که آنها چنین روش زیبایی را ارائه کردند که به شما امکان می دهد هر عددی را ضرب کنید. این روش فقط در نگاه اول پیچیده است. در واقع، وضوح بیشتر به شما امکان می دهد از این روش بسیار موثرتر از ضرب در ستون استفاده کنید.

علاوه بر این، آگاهی از این روش باستانی شرقی، دانش شما را افزایش می دهد. موافقم، همه نمی توانند به خود ببالند که سیستم ضرب باستانی را که چینی ها 3000 سال پیش استفاده می کردند، می شناسند.

ویدئویی در مورد چگونگی ضرب اعداد توسط چینی ها

اطلاعات دقیق‌تری را می‌توانید در بخش‌های «همه دوره‌ها» و «کاربردها» دریافت کنید که از طریق منوی بالای سایت قابل دسترسی است. در این بخش‌ها، مقالات بر اساس موضوع در بلوک‌هایی دسته‌بندی می‌شوند که حاوی جزئیات (تا جایی که ممکن است) اطلاعات در مورد موضوعات مختلف است.

همچنین می توانید در وبلاگ مشترک شوید و در مورد تمام مقالات جدید مطلع شوید.
زمان زیادی نمی برد. فقط بر روی لینک زیر کلیک کنید:

سه روش کلی وجود دارد: ضرب مستقیم، روش عدد مرجع و روش تراختنبرگ.

به همه آنها تسلط داشته باشید، زیرا ممکن است هر کدام در یک موقعیت خاص ارجحیت داشته باشند.

می توانید مهارت های کسب شده خود را با استفاده از یک جدول تمرین تمرین کنید.

ضرب مستقیم

این روش زمانی مفید است که یکی از ضریب ها در محدوده 12-18 باشد یا به 1 ختم شود و دیگری تفاوت قابل توجهی با آن داشته باشد.

یکی از عوامل از نظر ذهنی به ده و یک تقسیم می شود. سپس عامل دیگر را در ده و سپس در واحد ضرب می کنند و جمع می کنند.

به عنوان مثال، 62×13 = 62×10 + 62×3 = 620 + 186 = 806.

گاهی اوقات راحت است که عامل بزرگتر را به ده ها و یک تقسیم کنیم: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

روش شماره مرجع

این روش مستلزم کمی تمرین برای تسلط است، اما زمانی که دو فاکتور اعداد نزدیک باشند، بسیار راحت است. به ویژه، این روش اصلی برای مربع اعداد دو رقمی است.

شماره مرجع یک عدد گرد نزدیک به هر دو عامل است. ممکن است کمتر از هر دو عامل، بیشتر از هر دو عامل یا در بین آن ها باشد.

به عنوان یک عدد مرجع، باید اعدادی را انتخاب کنید که ضرب در آنها آسان باشد. مثلاً 50 یا 100 اگر نزدیک به دو فاکتور باشند.

بسته به نحوه ارتباط عدد مرجع و عوامل، تکنیک ضرب کمی متفاوت است.

آ. عدد مرجع کمتر از دو فاکتور است.به عنوان مثال، شما باید 32 را در 36 ضرب کنید.

• عدد مرجع 30 است. ضریب ها در 2 و 6 از عدد مرجع بزرگتر هستند.
• 6 را به فاکتور اول اضافه کنید و در عدد مرجع ضرب کنید: 38 × 30 = 1140.
• حاصل ضرب 2 و 6 را اضافه کنید: 1140 + 2×6 = 1152.

ب. عدد مرجع بیشتر از دو فاکتور است.مثلاً باید 43 را در 48 ضرب کنید.

• عدد مرجع 50 است. ضریب ها 7 و 2 کمتر از عدد مرجع هستند.
• 2 را از عامل اول کم کنید و در عدد مرجع ضرب کنید: 41 × 50 = 2050.
• حاصل ضرب 7 و 2 را اضافه کنید: 2050 + 7×2 = 2064.

V. شماره مرجع بین عوامل است.به عنوان مثال، شما باید 37 را در 42 ضرب کنید.

• عدد مرجع 40 است. ضریب اول 3 کمتر و دومی 2 بیشتر است.
• 2 را به فاکتور کوچکتر اضافه کنید و در عدد مرجع ضرب کنید: 39 × 40 = 1560.
• حاصل ضرب 3 و 2 را کم کنید: 1440 − 3×2 = 1554.

روش تراختنبرگ

از آنجایی که روش تراختنبرگ کاملاً آشنا نیست، بهتر است هنگام تسلط بر آن، ضرب کننده ها را جلوی چشم خود داشته باشید. در آینده بدون نوشتن اعداد اصلی تمرین کنید.

بیایید با استفاده از مثال ضرب 87 در 32 به روش نگاه کنیم.

• اعداد را به ترتیب ارائه کنید: 8732. دو عدد داخلی (7 و 3)، دو عدد بیرونی (8 و 2) را ضرب کرده و جمع کنید. معلوم می شود 37 است.
• ده ها را ضرب کنید: 80x30 = 2400. 37x10 را اضافه کنید. معلوم میشه 2770.
• حاصل ضرب یک ها (7 و 2) را اضافه کنید. مجموع 2784.

از میان همه علوم، ریاضیات از احترام خاصی برخوردار است، زیرا قضایای آن کاملاً صادق و غیرقابل انکار است، در حالی که قوانین سایر علوم تا حدی بحث برانگیز هستند و همیشه خطر ابطال آنها توسط اکتشافات جدید وجود دارد.

دانش آموزان دبستان باید بتوانند محاسبات ساده حسابی را در ذهن خود انجام دهند. به عنوان مثال، کودکان باید بتوانند اعداد دو و سه رقمی را به صورت ذهنی جمع و تفریق کنند.

برای بزرگسالان، جمع و تفریق اعداد دو رقمی و سه رقمی مشکلی ایجاد نمی کند، زیرا یک بزرگسال به طور مستقل روش های محاسبه ذهنی اساسی را برای خود ایجاد کرده است.

80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (هنگام تفریق آن ها را از هم جدا کنید)

ترکیبی از روش های مختلف

79 - 50 (با اضافه کردن یک به اعداد)

70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (تقسیم واحد)

80 + 67 (انتقال یک از عدد 68 به عدد 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

به روش های مشابه، اعداد سه رقمی را می توان به راحتی در ذهن جمع و کم کرد.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (انتقال سه نفر از 38 به 57)

287 (+1) - 29 (+1) (اضافه کردن یکی به مینیوند و به زیرآهنگ)

419-297(400-200)، 219 (+3) - 97 (+3) (افزودن سه به مینیوند و به زیرآهنگ).

یکی از تکنیک های ضرب شتابی، تکنیک ضرب ضربدری است که هنگام کار با اعداد دو رقمی بسیار راحت است. روش جدید نیست. به یونانیان و هندوها برمی گردد و در زمان های قدیم «روش صاعقه» یا «ضرب متقاطع» نامیده می شد.

«ضرب با صلیب».

فرض کنید باید 2432 را ضرب کنید. به صورت ذهنی اعداد را بر اساس طرح زیر، یکی زیر دیگری مرتب کنید:

اکنون مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم:

1) 42=8 آخرین رقم نتیجه است.

2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6 عدد متوسط ​​نتیجه است. ما واحد را به یاد می آوریم.

3) 23 = 6 و همچنین یک واحد در ذهن حفظ شده است، ما 7 داریم - این اولین رقم نتیجه است.

همه ارقام حاصل را بدست می آوریم: 7، 6، 8=768

روش دیگری که شامل استفاده از به اصطلاح "مکمل ها" است، به راحتی در این موارد استفاده می شود. هنگامی که اعداد در حال ضرب نزدیک به 100 هستند.

8896=88(100-4)=88100-884

496= 4(88+8)= 48+884

929 =8832+0

جدول ضرب برای "9".

تکنیک های بسیار متنوعی برای سرعت بخشیدن به اجرای عملیات حسابی وجود دارد، تکنیک هایی که برای محاسبات روزمره در نظر گرفته شده است.

مربع کردن اعدادی که به "5" ختم می شوند.

برای مربع یک عدد، به عنوان مثال 65، باید 1 را به مکان ده ها اضافه کنید (یعنی 6+1=7) و 6*7=42 و 5*5=25 را ضرب کنید. بنابراین = 4225

35*35

=1225 3*4=12

همه پاسخ ها با عدد 25 ختم می شوند. اما چگونه می توان دو رقم اول پاسخ را بدست آورد؟ از ضرب رقم ده ها در عدد طبیعی زیر به دست می آیند. برای مربع یک عدد، به عنوان مثال 65، باید 1 را به مکان ده ها اضافه کنید (یعنی 6+1=7) و 6*7=42 و 5*5=25 را ضرب کنید. بنابراین = 4225.

به خاطر سپردن جدول مقادیر Sin، Cos، tg برای زوایای حاد.

می بینید، انگشتان دست چپ زوایایی را تشکیل می دهند:

انگشت کوچک-0 (انگشت صفر)

حلقه 30 (انگشت اول)

وسط-45 (انگشت دوم)

اشاره - 60 (انگشت سوم)

انگشت شست-90 (انگشت چهارم)

با دانستن سینوس ها می توانید کسینوس ها (برعکس)، مماس ها و کتانژانت های زوایای حاد را پر کنید.

روش ضرب اعداد نزدیک به 100

مثال: 95 * 93

برای به دست آوردن 2 رقم آخر پاسخ (ده و یک) نیاز دارید

برای به دست آوردن 2 رقم اول پاسخ (هزار و صدها) نیاز دارید

4) 93 - 5 = 88 یا (95 - 7 = 88)

ما گرفتیم 8835

مثال 2: 98 * 92

ما 9016 را دریافت می کنیم

بیایید فرض کنیم که باید 92 * 96 را ضرب کنید. جمع 92 به 100 8 و برای 86 - 4 خواهد بود. این عمل طبق طرح زیر انجام می شود:

ضریب: 92 و 96.

اضافات: 8 و 4.

دو رقم اول نتیجه با کم کردن ضریب ضرب از ضریب "مکمل" یا برعکس به دست می آیند: i.e. 4 از 92 کم می شود یا از 96-8 در هر دو مورد 88 به این عدد اضافه می شود.

مثال دیگر - باید 78 را در 77 ضرب کنید:

ضریب: 78 و 77.

اضافات: 22 و 23.

اعداد 1، 5 و 6

احتمالاً همه می دانند که ضرب یک سری اعدادی که به 1، 5 یا 6 ختم می شوند، عددی را ایجاد می کند که به یک رقم ختم می شود.

46 = 2116; 46 = 97 336

استخراج از زیر ریشه

1). برای استخراج یک عدد از ریشه، به عنوان مثال، این عدد را به دو رقم از راست به چپ تقسیم کنید: = 568

1. عدد (5963364) را از راست به چپ به جفت تقسیم کنید (5`96`33`64)

2. جذر گروه اول را در سمت چپ (شماره 2) بگیرید. به این ترتیب اولین رقم عدد را بدست می آوریم.

3. مربع اولین رقم (2 2 = 4) را پیدا کنید.

4. تفاوت گروه اول و مربع رقم اول را بیابید (5-4=1).

5. دو رقم بعدی را پایین می آوریم (عدد 196 را می گیریم).

6. اولین رقمی را که پیدا کردیم دو برابر کنید و در سمت چپ پشت خط بنویسید (2*2=4).

7. حالا باید رقم دوم عدد را پیدا کنیم: دو برابر اولین رقمی که پیدا کردیم به رقم ده ها عدد تبدیل می شود، وقتی در تعداد واحدها ضرب شود، باید عددی کمتر از 196 بدست آوریم (این عدد است. 4، 44*4=176). 4 رقم دوم عدد است.

8. تفاوت را بیابید (20=196-176).

9. گروه بعدی را خراب می کنیم (عدد 2033 را می گیریم).

10. عدد 24 را دوبرابر کنید، عدد 48 به دست می آید.

11. در یک عدد 48 ده وجود دارد که با ضرب در عدد یک عددی کمتر از 2033 بدست می آید (484*4=1936). رقم واحدی که پیدا کردیم (4) سومین رقم عدد است.

اعداد 10، 11، 12، 13 و 14 ویژگی شگفت انگیزی دارند. چه کسی فکرش را می کرد

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2. بیایید آن را ثابت کنیم: 100 + 121 + 144 = 169 + 196

جمع اعداد نزدیک به هم از نظر قدر.

در عمل محاسبات فنی و معاملاتی، اغلب مواردی وجود دارد که لازم است ستون هایی از اعدادی که از نظر اندازه نزدیک به یکدیگر هستند اضافه شود. مثلا؛

برای جمع چنین اعدادی از تکنیک زیر استفاده می شود

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.

جمع را به همین ترتیب پیدا می کنیم:

750*6+1=4501

میانگین حسابی اعدادی که از نظر قدر نزدیک هستند

مالیدن.
465
473
475
467
478
474
468
472

وقتی میانگین حسابی اعدادی را که از نظر مقدار نزدیک هستند را پیدا می کنند، همین کار را می کنند. به عنوان مثال، میانگین قیمت های زیر را پیدا می کنیم:

ما یک قیمت گرد نزدیک به میانگین، یعنی. 470 روبل. ما انحراف همه قیمت ها را از میانگین می نویسیم: مازاد با علامت مثبت، کمبودها با علامت -.

دریافت می کنیم: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. تقسیم مجموع انحرافات بر تعداد آنها. ما داریم: 12:8 = 1.5.

بنابراین میانگین قیمت مورد نیاز 470 + 1.5 = 471.5 (471 روبل 50 کوپک) است.

ضرب در اعداد 5، 25، 125

بریم سراغ ضرب.

در اینجا ابتدا به این نکته اشاره می کنیم که ضرب در اعداد 5، 25، 125 به طور قابل توجهی شتاب می گیرد اگر موارد زیر را در نظر داشته باشیم:

بنابراین، برای مثال،

ضرب در 15

هنگام ضرب در 15، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که

بنابراین انجام محاسبات ذهنی مانند این آسان است:

36*15=360*1=360+180=540,

یا ساده تر: 36*1*10=540;

ضرب در 11

هنگام ضرب در 11 نیازی به نوشتن پنج خط نیست:

کافی است دوباره آن را زیر عدد ضرب شده امضا کنید و آن را یک رقمی جابجا کنید:

4213 یا 4213 و اضافه کنید.

یادآوری نتایج حاصل از ضرب 9 عدد اول در 12، 13، 14، 15 مفید است. سپس ضرب اعداد چند رقمی در چنین عواملی به طور قابل توجهی سریعتر است. بگذارید ضرب شود

بیایید این کار را انجام دهیم. هر رقم از ضریب را در ذهن خود بلافاصله در 13 ضرب می کنیم:

7*13=91; 1 ما می نویسیم، 9 ما به یاد می آوریم.

8*13=104;104+9=113; 3 ما می نویسیم، 11 ما به یاد می آوریم.

5*13=65;65+11=76; 6 می نویسیم؛ 7 به یاد داشته باشید؛

4*13=52; 52+7=59.

مجموع 59631.

پس از چندین تمرین، این تکنیک به راحتی قابل یادآوری است.

یک تکنیک بسیار راحت برای ضرب اعداد دو رقمی در 11 وجود دارد: شما باید ارقام ضریب را از هم جدا کنید و مجموع آنها را بین آنها وارد کنید:

اگر مجموع ارقام دو رقمی باشد، تعداد ده ها آن به رقم اول ضرب اضافه می شود:

48*11=4(12)8، یعنی 528.

تقسیم بر 5; 25; 125.

اجازه دهید چند روش تقسیم شتاب را نشان دهیم.

هنگام تقسیم بر 5، تقسیم کننده و مقسوم علیه را در 2 ضرب کنید:

3471:5=6942:10=694,2

هنگام تقسیم بر 25، هر دو عدد را در 4 ضرب کنید:

3471;25=13884:100=138.84. همین کار را هنگام تقسیم بر 1 (= 1.5) و بر 2 (= 2.5) انجام دهید. 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2.5=13884:10=1388.4

روش روسی تحقیر.

در اینجا یک مثال است:

32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416

تقسیم بر دو تا زمانی ادامه می یابد که ضریب به 1 برسد و عدد دیگر دو برابر شود. آخرین عدد دو برابر شده نتیجه دلخواه را می دهد.

اگر باید یک عدد فرد را به نصف تقسیم کنید چه باید کرد؟ اگر عدد فرد است، یک را بردارید و باقیمانده را به نصف تقسیم کنید. اما به آخرین عدد ستون سمت راست باید تمام اعداد این ستون را که در مقابل اعداد فرد ستون سمت چپ قرار دارند اضافه کنید: حاصل جمع مورد نیاز 19 * 17 خواهد بود. 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. با جمع کردن اعداد غیر متقاطع، به نتیجه صحیح می رسیم: 17+34+272=323.

ضرب اعدادی که به 5 ختم می شوند.

هنگام ضرب کردن یک جفت اعدادی که ارقام ده ها زوج یا فرد و رقم یکان آن 5 بود، باید ارقام ده ها را ضرب کنید و نصف مجموع این ارقام را به حاصل ضرب آنها اضافه کنید. عدد صدها را بدست می آوریم. به تعداد صدها مورد باید محصول 5 * 5 = 25 را اضافه کنید.

مثلا:

85*45=(8*4+(8+4)/2)صدها+5*5=38*100+25=3825

35*55=(3*5+(3+5)/2)صدها+5*5=19*100+25=1925

بیایید مثالی بزنیم که از کلاس پنجم برای ما آشناست.

مجموع صد عدد طبیعی اول را بیابید:

1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?

محاسبه مثال زیر چقدر آسان است:

34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400

شما می توانید به طور مستقل برای هر قانون مثال ایجاد کنید و محاسبات ذهنی را تمرین کنید. هنگام ایجاد مثال و تکمیل تکالیف، کودکان هیچ مشکلی را تجربه نمی کنند.

ادبیات:

1. دایره المعارف برای کودکان. ریاضیات. م.، آوانتا، 2002.
2. Ya.I.Perelman، حسابی سرگرم کننده. م.، 1954.
3. مجله «مجله عملی معلمان و مدیریت مدرسه» شماره 9، 1383.
4. جی "ریاضیات"، شماره 4، 1373.

این مقاله با الهام از موضوع "چگونه و با چه سرعتی در سطح ابتدایی در سر خود حساب می کنید؟" و برای گسترش تکنیک های S.A. راچینسکی برای شمارش شفاهی
راچینسکی معلم فوق‌العاده‌ای بود که در قرن نوزدهم در مدارس روستایی تدریس می‌کرد و از تجربه خود نشان داد که می‌توان مهارت محاسبه ذهنی سریع را توسعه داد. برای شاگردان او محاسبه چنین مثالی در ذهن آنها دشوار نبود:

استفاده از اعداد گرد

یکی از رایج‌ترین تکنیک‌های شمارش ذهنی این است که هر عددی را می‌توان به صورت مجموع یا تفاضل اعداد نشان داد که یک یا چند عدد از آن‌ها "گرد" هستند:

زیرا بر 10 , 100 , 1000 و غیره، ضرب اعداد گرد در ذهن شما سریعتر است، شما باید همه چیز را به عملیات ساده ای کاهش دهید 18*100یا 36*10. بر این اساس، جمع کردن با «تقسیم کردن» یک عدد گرد و سپس افزودن یک «دم» آسان‌تر است: 1800 + 200 + 190 .
مثالی دیگر:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

بیایید ضرب در تقسیم را ساده کنیم

هنگام شمارش ذهنی، می‌توان با یک تقسیم‌کننده و یک تقسیم‌کننده به جای یک عدد کامل (مثلاً، 5 در فرم نشان دهند 10:2 ، آ 50 مانند 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2): 100 = 6800: 100 = 68.
ضرب یا تقسیم بر نیز به همین ترتیب انجام می شود. 25 ، گذشته از همه اینها 25 = 100:4 . مثلا،
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400: 4 = 600.
حالا تکثیر در سرتان غیرممکن به نظر نمی رسد 625 بر 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100): 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 +) 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

مربع کردن یک عدد دو رقمی

به نظر می رسد که برای مربع کردن هر عدد دو رقمی، کافی است مربع تمام اعداد را به خاطر بسپارید. 1 قبل از 25 . خوشبختانه، مربع است 10 ما قبلاً از جدول ضرب می دانیم. مربع های باقی مانده را می توانید در جدول زیر مشاهده کنید:

تکنیک راچینسکی به شرح زیر است. برای پیدا کردن مربع هر عدد دو رقمی باید تفاوت بین این عدد و 25 ضربدر 100 و به حاصل ضرب مربع متمم عدد داده شده را اضافه کنید 50 یا مربع بیش از حد آن بیش از 50 -یو. مثلا،
37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;
به طور کلی ( م- عدد دو رقمی):

بیایید سعی کنیم این ترفند را هنگام مربع کردن یک عدد سه رقمی به کار ببریم، ابتدا آن را به عبارات کوچکتر تقسیم کنیم:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
هوم، نمی‌توانم بگویم که خیلی راحت‌تر از نصب آن در یک ستون است، اما شاید با گذشت زمان بتوانید به آن عادت کنید.
و البته، شما باید تمرین را با مجذور اعداد دو رقمی شروع کنید و از آنجا حتی می توانید به جداسازی در سر خود برسید.

ضرب اعداد دو رقمی

این تکنیک جالب توسط یک دانش آموز 12 ساله راچینسکی ابداع شد و یکی از گزینه های اضافه کردن به یک عدد گرد است.
دو عدد دو رقمی داده شود که مجموع واحدهای آنها 10 باشد:
M = 10m + n، K = 10a + 10 - n.
با گردآوری محصول آنها، دریافت می کنیم:

مثلاً حساب کنیم 77 × 13. مجموع واحدهای این اعداد برابر است با 10 ، زیرا 7 + 3 = 10 . ابتدا عدد کوچکتر را قبل از بزرگتر قرار می دهیم: 77 x 13 = 13 x 77.
برای بدست آوردن اعداد گرد، سه واحد از آن می گیریم 13 و آنها را به آن اضافه کنید 77 . حالا بیایید اعداد جدید را ضرب کنیم 80*10، و به نتیجه محصول انتخاب شده را اضافه می کنیم 3 واحدها با اختلاف عدد قدیمی 77 و یک شماره جدید 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
این تکنیک یک مورد خاص دارد: وقتی دو فاکتور تعداد ده ها برابر داشته باشند همه چیز بسیار ساده می شود. در این حالت تعداد ده ها در عدد زیر ضرب می شود و حاصل ضرب واحدهای این اعداد به نتیجه حاصل اضافه می شود. بیایید با یک مثال ببینیم این تکنیک چقدر ظریف است.
48*42. عدد ده ها 4 ، شماره بعدی: 5 ; 4*5 = 20 . محصول واحدها: 8 x 2 = 16 . بنابراین 48 x 42 = 2016.
99*91. عدد ده ها: 9 ، شماره بعدی: 10 ; 9*10 = 90 . محصول واحدها: 9 x 1 = 09 . بنابراین 99 x 91 = 9009.
بله، یعنی ضرب کردن 95*95، فقط بشمار 9 × 10 = 90و 5 × 5 = 25و پاسخ آماده است:
95 x 95 = 9025.
سپس مثال قبلی را می توان کمی ساده تر محاسبه کرد:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 0001 + 0000 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38025.

به جای نتیجه گیری

به نظر می رسد، چرا در قرن بیست و یکم می توانید در ذهن خود حساب کنید، در حالی که می توانید به سادگی یک فرمان صوتی به تلفن هوشمند خود بدهید؟ اما اگر در مورد آن فکر کنید، چه اتفاقی برای بشریت خواهد افتاد اگر نه تنها کار فیزیکی، بلکه هر کار ذهنی را نیز به ماشین‌ها وارد کند؟ تحقیرآمیز نیست؟ حتی اگر حساب ذهنی را به خودی خود هدف ندانید، برای تربیت ذهن کاملاً مناسب است.

منابع:
1001 مسئله برای محاسبات ذهنی در مدرسه S.A. راچینسکی".