یک معادله درجه دوم دو ریشه متفاوت دارد. چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

حل معادلات در ریاضیات جایگاه ویژه ای دارد. این فرآیند با ساعت‌های زیادی مطالعه تئوری انجام می‌شود که در طی آن دانش‌آموز نحوه حل معادلات، تعیین نوع آنها را می‌آموزد و مهارت را برای تکمیل اتوماسیون به ارمغان می‌آورد. با این حال، جستجو برای ریشه ها همیشه منطقی نیست، زیرا ممکن است به سادگی وجود نداشته باشند. تکنیک های خاصی برای ریشه یابی وجود دارد. در این مقاله به تحلیل توابع اصلی، دامنه تعریف آنها و همچنین مواردی که ریشه آنها وجود ندارد، می پردازیم.

کدام معادله ریشه ندارد؟

یک معادله ریشه ندارد اگر هیچ آرگومان واقعی x وجود نداشته باشد که معادله یکسان برای آن صادق باشد. برای افراد غیرمتخصص، این فرمول مانند اکثر قضایا و فرمول های ریاضی، بسیار مبهم و انتزاعی به نظر می رسد، اما این در تئوری است. در عمل، همه چیز بسیار ساده می شود. به عنوان مثال: معادله 0 * x = -53 هیچ راه حلی ندارد، زیرا هیچ عدد x وجود ندارد که حاصلضرب آن چیزی غیر از صفر باشد.

اکنون به ابتدایی ترین انواع معادلات نگاه می کنیم.

1. معادله خطی

معادله ای خطی نامیده می شود که سمت راست و چپ آن به صورت توابع خطی نمایش داده شود: ax + b = cx + d یا به صورت تعمیم یافته kx + b = 0. که در آن a، b، c، d اعداد شناخته شده هستند و x یک است. مقدار نامعلوم کدام معادله ریشه ندارد؟ نمونه هایی از معادلات خطی در تصویر زیر ارائه شده است.

اساساً معادلات خطی به سادگی با انتقال قسمت عددی به یک قسمت و محتویات x به قسمت دیگر حل می شوند. نتیجه معادله ای به شکل mx = n است که m و n عدد هستند و x یک مجهول است. برای پیدا کردن x کافی است هر دو طرف را بر m تقسیم کنید. سپس x = n/m. بیشتر معادلات خطی فقط یک ریشه دارند، اما مواردی وجود دارد که یا بی نهایت ریشه دارد یا اصلاً ریشه وجود ندارد. هنگامی که m = 0 و n = 0، معادله به شکل 0 * x = 0 است. جواب چنین معادله ای مطلقاً هر عددی خواهد بود.

با این حال، چه معادله ای ریشه ندارد؟

برای m = 0 و n = 0، معادله هیچ ریشه ای در مجموعه اعداد واقعی ندارد. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - این معادلات ریشه ندارند.

2. معادله درجه دوم

معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 برای a = 0 است. رایج ترین راه حل از طریق تفکیک است. فرمول برای یافتن ممیز یک معادله درجه دوم: D = b 2 - 4 * a * c. بعد دو ریشه x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a وجود دارد.

برای D > 0 معادله دو ریشه دارد، برای D = 0 یک ریشه دارد. اما کدام معادله درجه دوم ریشه ندارد؟ ساده ترین راه برای مشاهده تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم، نمودار کردن تابع است که یک سهمی است. برای a > 0 شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، برای a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

شما همچنین می توانید به صورت بصری تعداد ریشه ها را بدون محاسبه تمایز تعیین کنید. برای این کار باید راس سهمی را پیدا کنید و مشخص کنید که شاخه ها به کدام سمت هدایت می شوند. مختصات x راس را می توان با استفاده از فرمول تعیین کرد: x 0 = -b / 2a. در این مورد، مختصات y راس به سادگی با جایگزین کردن مقدار x 0 در معادله اصلی پیدا می‌شود.

معادله درجه دوم x 2 - 8x + 72 = 0 هیچ ریشه ای ندارد، زیرا دارای ممیز منفی D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 است. این بدان معنی است که سهمی محور x را لمس نمی کند و تابع هرگز مقدار 0 را نمی گیرد، بنابراین، معادله ریشه واقعی ندارد.

3. معادلات مثلثاتی

توابع مثلثاتی روی یک دایره مثلثاتی در نظر گرفته می شوند، اما می توانند در یک سیستم مختصات دکارتی نیز نمایش داده شوند. در این مقاله به دو تابع اصلی مثلثاتی و معادلات آنها خواهیم پرداخت: sinx و cosx. از آنجایی که این توابع یک دایره مثلثاتی با شعاع 1، |sinx| را تشکیل می دهند و |cosx| نمی تواند بزرگتر از 1 باشد. بنابراین، کدام معادله sinx ریشه ندارد؟ نمودار تابع sinx که در تصویر زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید.

می بینیم که تابع متقارن است و دارای دوره تکرار 2pi است. بر این اساس می توان گفت که حداکثر مقدار این تابع می تواند 1 و حداقل مقدار -1 باشد. به عنوان مثال، عبارت cosx = 5 ریشه نخواهد داشت، زیرا قدر مطلق آن بزرگتر از یک است.

این ساده ترین مثال از معادلات مثلثاتی است. در واقع، حل آنها ممکن است صفحات زیادی طول بکشد، در پایان آنها متوجه می شوید که از فرمول اشتباهی استفاده کرده اید و باید همه چیز را از نو شروع کنید. گاهی اوقات، حتی اگر ریشه ها را به درستی پیدا کنید، ممکن است فراموش کنید که محدودیت های OD را در نظر بگیرید، به همین دلیل است که یک ریشه یا فاصله اضافی در پاسخ ظاهر می شود و کل پاسخ به یک خطا تبدیل می شود. بنابراین، تمام محدودیت ها را به شدت دنبال کنید، زیرا همه ریشه ها در محدوده کار قرار نمی گیرند.

4. سیستم های معادلات

سیستم معادلات مجموعه ای از معادلات است که با براکت های مجعد یا مربع به هم وصل شده اند. براکت های فرفری نشان می دهد که همه معادلات با هم اجرا می شوند. یعنی اگر حداقل یکی از معادله ها ریشه نداشته باشد یا با دیگری مغایرت داشته باشد، کل سیستم هیچ راه حلی ندارد. براکت های مربع نشان دهنده کلمه "یا" هستند. این بدان معناست که اگر حداقل یکی از معادلات سیستم دارای جواب باشد، کل سیستم دارای جواب است.

پاسخ سیستم c مجموعه تمام ریشه های معادلات فردی است. و سیستم های دارای بریس های فرفری فقط ریشه های مشترک دارند. سیستم های معادلات می توانند شامل توابع کاملاً متفاوتی باشند، بنابراین چنین پیچیدگی به ما اجازه نمی دهد بلافاصله بگوییم کدام معادله ریشه ندارد.

در کتاب‌های مسئله‌ای و کتاب‌های درسی انواع مختلفی از معادلات وجود دارد: معادلاتی که ریشه دارند و آن‌هایی که ریشه ندارند. اول از همه، اگر نمی توانید ریشه ها را پیدا کنید، فکر نکنید که آنها اصلا وجود ندارند. شاید جایی اشتباه کرده اید، پس فقط باید تصمیم خود را به دقت بررسی کنید.

ما به اساسی ترین معادلات و انواع آنها نگاه کردیم. حالا می توانید بگویید کدام معادله ریشه ندارد. در بیشتر موارد انجام این کار دشوار نیست. رسیدن به موفقیت در حل معادلات فقط نیازمند توجه و تمرکز است. بیشتر تمرین کنید، این به شما کمک می کند مطالب را بسیار بهتر و سریع تر مرور کنید.

بنابراین، معادله ریشه ندارد اگر:

• در معادله خطی mx = n مقدار m = 0 و n = 0 است.
• در یک معادله درجه دوم، اگر ممیز کمتر از صفر باشد.
• در یک معادله مثلثاتی به شکل cosx = m / sinx = n، اگر |m| > 0، |n| > 0;
• در سیستم معادلات با براکت فرفری، اگر حداقل یک معادله ریشه نداشته باشد، و با براکت مربع، اگر همه معادلات فاقد ریشه باشند.

مسائل معادله درجه دوم هم در برنامه درسی مدارس و هم در دانشگاه ها مورد مطالعه قرار می گیرند. منظور آنها معادلات به شکل a*x^2 + b*x + c = 0 است که در آن ایکس-متغیر، a، b، c - ثابت. آ<>0 . وظیفه یافتن ریشه های معادله است.

معنی هندسی معادله درجه دوم

نمودار تابعی که با یک معادله درجه دوم نمایش داده می شود سهمی است. راه حل (ریشه) یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع سهمی با محور آبسیسا (x) است. نتیجه این است که سه حالت ممکن است:
1) سهمی نقطه تقاطع با محور آبسیسا ندارد. این بدان معنی است که در صفحه بالایی با شاخه های بالا یا پایین با شاخه های پایین قرار دارد. در چنین مواردی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد (دو ریشه پیچیده دارد).

2) سهمی یک نقطه تقاطع با محور Ox دارد. چنین نقطه ای راس سهمی نامیده می شود و معادله درجه دوم در آن مقدار حداقل یا حداکثر خود را به دست می آورد. در این حالت، معادله درجه دوم یک ریشه واقعی (یا دو ریشه یکسان) دارد.

3) مورد آخر در عمل جالب تر است - دو نقطه تقاطع سهمی با محور آبسیسا وجود دارد. این بدان معنی است که دو ریشه واقعی معادله وجود دارد.

بر اساس تجزیه و تحلیل ضرایب توان متغیرها، می توان نتایج جالبی در مورد قرارگیری سهمی گرفت.

1) اگر ضریب a بزرگتر از صفر باشد، شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند.

2) اگر ضریب b بزرگتر از صفر باشد، آنگاه راس سهمی در نیمه صفحه چپ و اگر مقدار منفی بگیرد در سمت راست قرار دارد.

استخراج فرمول حل معادله درجه دوم

بیایید ثابت را از معادله درجه دوم منتقل کنیم

برای علامت مساوی، عبارت را دریافت می کنیم

هر دو طرف را در 4a ضرب کنید

برای بدست آوردن یک مربع کامل در سمت چپ، b^2 را در دو طرف اضافه کنید و تبدیل را انجام دهید

از اینجا پیدا می کنیم

فرمول تفکیک و ریشه های یک معادله درجه دوم

ممیز مقدار عبارت رادیکال است اگر مثبت باشد، معادله دارای دو ریشه واقعی است که با فرمول محاسبه می شود هنگامی که ممیز صفر باشد، معادله درجه دوم یک راه حل دارد (دو ریشه متقابل)، که به راحتی می توان از فرمول بالا برای D=0 به دست آورد، معادله هیچ ریشه واقعی ندارد. با این حال، راه حل های معادله درجه دوم در صفحه مختلط یافت می شوند و مقدار آنها با استفاده از فرمول محاسبه می شود.

قضیه ویتا

بیایید دو ریشه یک معادله درجه دوم را در نظر بگیریم و یک معادله درجه دوم را بر اساس آنها بسازیم. سپس مجموع ریشه های آن برابر با ضریب p است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه های معادله برابر با عبارت آزاد q است. نمایش فرمولی بالا به این صورت خواهد بود که اگر در یک معادله کلاسیک ثابت a غیر صفر باشد، باید کل معادله را بر آن تقسیم کنید و سپس قضیه ویتا را اعمال کنید.

برنامه ریزی معادلات درجه دوم فاکتورگیری

بگذارید کار تنظیم شود: یک معادله درجه دوم را فاکتور کنید. برای این کار ابتدا معادله را حل می کنیم (ریشه ها را پیدا کنید). سپس، ریشه های یافت شده را در فرمول بسط معادله درجه دوم جایگزین می کنیم.

مسائل معادله درجه دوم

وظیفه 1. ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید

x^2-26x+120=0.

راه حل: ضرایب را یادداشت کرده و در فرمول تفکیک جایگزین کنید

ریشه این مقدار 14 است، به راحتی می توان آن را با ماشین حساب پیدا کرد، یا با استفاده مکرر آن را به خاطر بسپارید، با این حال، برای راحتی، در پایان مقاله لیستی از مربع های اعدادی را به شما ارائه می دهم که اغلب می توان با آنها مواجه شد. چنین مشکلاتی
مقدار پیدا شده را جایگزین فرمول ریشه می کنیم

و دریافت می کنیم

وظیفه 2. معادله را حل کنید

2x 2 +x-3=0.

راه حل: یک معادله درجه دوم کامل داریم، ضرایب را بنویسیم و ممیز را پیدا کنیم.


با استفاده از فرمول های شناخته شده، ریشه های معادله درجه دوم را پیدا می کنیم

وظیفه 3. معادله را حل کنید

9x 2 -12x+4=0.

راه حل: ما یک معادله درجه دوم کامل داریم. تعیین ممیز

موردی داشتیم که ریشه ها بر هم منطبق هستند. مقادیر ریشه ها را با استفاده از فرمول پیدا کنید

وظیفه 4. معادله را حل کنید

x^2+x-6=0.

راه‌حل: در مواردی که ضرایب کوچکی برای x وجود دارد، توصیه می‌شود قضیه ویتا را اعمال کنید. با شرط آن دو معادله بدست می آوریم

از شرط دوم در می یابیم که حاصلضرب باید برابر با -6 باشد. یعنی یکی از ریشه ها منفی است. ما جفت راه حل ممکن زیر را داریم (-3;2)، (3;-2) . با در نظر گرفتن شرط اول، جفت راه حل دوم را رد می کنیم.
ریشه های معادله برابر است

مسئله 5. اگر محیط مستطیل 18 سانتی متر و مساحت آن 77 سانتی متر مربع باشد، طول اضلاع آن را بیابید.

حل: نصف محیط یک مستطیل برابر است با مجموع اضلاع مجاور آن. بیایید x را به عنوان ضلع بزرگتر نشان دهیم، سپس 18-x ضلع کوچکتر آن است. مساحت مستطیل برابر است با حاصل ضرب این طول ها:
x(18-x)=77;
یا
x 2 -18x+77=0.
بیایید ممیز معادله را پیدا کنیم

محاسبه ریشه های معادله

اگر x=11،که 18 = 7،عکس آن نیز صادق است (اگر x=7، 21=9 است).

مسئله 6. معادله درجه دوم را 10x 2 -11x+3=0 عامل کنید.

راه حل: بیایید ریشه های معادله را محاسبه کنیم، برای انجام این کار، تفکیک کننده را پیدا می کنیم

مقدار پیدا شده را جایگزین فرمول ریشه می کنیم و محاسبه می کنیم

ما فرمول تجزیه یک معادله درجه دوم را با ریشه اعمال می کنیم

با باز کردن پرانتزها یک هویت بدست می آوریم.

معادله درجه دوم با پارامتر

مثال 1. در چه مقادیر پارامتر آ ،آیا معادله (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 یک ریشه دارد؟

راه حل: با جایگزینی مستقیم مقدار a=3 می بینیم که هیچ راه حلی ندارد. در مرحله بعد، از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که با یک ممیز صفر، معادله یک ریشه از تعدد 2 دارد. بیایید تفکیک کننده را بنویسیم

بیایید آن را ساده کنیم و آن را با صفر برابر کنیم

ما یک معادله درجه دوم با توجه به پارامتر a به دست آورده ایم که حل آن را می توان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا به دست آورد. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب آنها 12 است. با جستجوی ساده مشخص می کنیم که اعداد 3،4 ریشه های معادله خواهند بود. از آنجایی که ما قبلاً راه حل a=3 را در ابتدای محاسبات رد کردیم، تنها راه حل صحیح این خواهد بود - a=4.بنابراین برای a=4 معادله یک ریشه دارد.

مثال 2. در چه مقادیر پارامتر آ ،معادله a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0بیش از یک ریشه دارد؟

راه حل: ابتدا نقاط مفرد را در نظر می گیریم، آنها مقادیر a=0 و a=-3 خواهند بود. وقتی a=0، معادله به شکل 6x-9=0 ساده می شود. x=3/2 و یک ریشه وجود خواهد داشت. برای a= -3 هویت 0=0 را بدست می آوریم.
بیایید تفکیک کننده را محاسبه کنیم

و مقدار a را که در آن مثبت است بیابید

از شرط اول a>3 می گیریم. برای دوم، ما ممیز و ریشه های معادله را پیدا می کنیم


اجازه دهید فواصل زمانی که تابع مقادیر مثبت می گیرد را تعیین کنیم. با جایگزینی نقطه a=0 به دست می آید 3>0 . بنابراین، خارج از بازه (-3;1/3) تابع منفی است. نکته را فراموش نکنید a=0،که باید حذف شود زیرا معادله اصلی یک ریشه دارد.
در نتیجه دو بازه به دست می آوریم که شرایط مسئله را برآورده می کند

کارهای مشابه زیادی در عمل وجود خواهد داشت، سعی کنید خودتان وظایف را مشخص کنید و فراموش نکنید که شرایطی را که متقابل هستند در نظر بگیرید. فرمول های حل معادلات درجه دوم را به خوبی مطالعه کنید.

«یعنی معادلات درجه اول. در این درس به بررسی خواهیم پرداخت چیزی که معادله درجه دوم نامیده می شودو نحوه حل آن

معادله درجه دوم چیست؟

مهم!

درجه یک معادله با بالاترین درجه ای که مجهول در آن قرار دارد تعیین می شود.

اگر حداکثر توانی که مجهول در آن "2" باشد، یک معادله درجه دوم دارید.

نمونه هایی از معادلات درجه دوم

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

مهم! شکل کلی یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

A x 2 + b x + c = 0

"الف"، "ب" و "ج" اعداد داده می شوند.

• "الف" اولین یا بالاترین ضریب است.
• "ب" ضریب دوم است.
• "c" یک عضو رایگان است.

برای یافتن "a"، "b" و "c" باید معادله خود را با شکل کلی معادله درجه دوم "ax 2 + bx + c = 0" مقایسه کنید.

بیایید تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" را در معادلات درجه دوم تمرین کنیم.

5x 2 − 14x + 17 = 0 -7x2-13x + 8 = 0 −x 2 + x +

معادله	شانس
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم

بر خلاف معادلات خطی، از روش خاصی برای حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. فرمول یافتن ریشه.

یاد آوردن!

برای حل یک معادله درجه دوم شما نیاز دارید:

• معادله درجه دوم را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" بیاورید. یعنی فقط "0" باید در سمت راست باقی بماند.
• از فرمول برای ریشه استفاده کنید:

بیایید به مثالی از نحوه استفاده از فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم نگاه کنیم. بیایید یک معادله درجه دوم را حل کنیم.

X 2 − 3x − 4 = 0

معادله "x 2 - 3x - 4 = 0" قبلاً به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش یافته است و نیازی به ساده سازی اضافی ندارد. برای حل آن، فقط باید اعمال کنیم فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید ضرایب "a"، "b" و "c" را برای این معادله تعیین کنیم.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

می توان از آن برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

در فرمول "x 1;2 =" عبارت رادیکال اغلب جایگزین می شود
"b 2 − 4ac" برای حرف "D" و تفکیک نامیده می شود. مفهوم تمایز با جزئیات بیشتری در درس "ممیز چیست" مورد بحث قرار گرفته است.

بیایید مثال دیگری از یک معادله درجه دوم را بررسی کنیم.

x 2 + 9 + x = 7x

در این شکل، تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" بسیار دشوار است. اجازه دهید ابتدا معادله را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش دهیم.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

اکنون می توانید از فرمول برای ریشه ها استفاده کنید.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
پاسخ: x = 3

مواقعی وجود دارد که معادلات درجه دوم ریشه ندارند. این وضعیت زمانی رخ می دهد که فرمول دارای یک عدد منفی در زیر ریشه باشد.

در ادامه مبحث حل معادلات، مطالب این مقاله شما را با معادلات درجه دوم آشنا می کند.

بیایید همه چیز را با جزئیات بررسی کنیم: ماهیت و نماد یک معادله درجه دوم، تعریف اصطلاحات همراه، تجزیه و تحلیل طرح برای حل معادلات ناقص و کامل، آشنایی با فرمول ریشه ها و ممیز، برقراری ارتباط بین ریشه ها و ضرایب، و البته به مثال های کاربردی راه حل تصویری خواهیم داد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله درجه دوم، انواع آن

تعریف 1

معادله درجه دوممعادله ای است که به صورت نوشته می شود a x 2 + b x + c = 0، جایی که ایکس– متغیر، a، b و ج- برخی از اعداد، در حالی که آصفر نیست

غالباً معادلات درجه دوم را معادلات درجه دوم نیز می نامند، زیرا در اصل یک معادله درجه دوم یک معادله جبری درجه دوم است.

بیایید برای توضیح تعریف داده شده مثالی بیاوریم: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 x 2 + 3، 1 x + 0، 11 = 0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف 2

اعداد a، b و جضرایب معادله درجه دوم هستند a x 2 + b x + c = 0، در حالی که ضریب آبه نام اول، یا ارشد، یا ضریب در x 2، b - ضریب دوم، یا ضریب در ایکس، آ جبه نام یک عضو رایگان

مثلا در معادله درجه دوم 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ضریب پیشرو 6 است، ضریب دوم است − 2 ، و عبارت آزاد برابر است با − 11 . به این نکته توجه کنیم که وقتی ضرایب بو/یا c منفی هستند، سپس یک فرم کوتاه از فرم استفاده می شود 6 x 2 − 2 x − 11 = 0، اما نه 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

اجازه دهید این جنبه را نیز روشن کنیم: اگر ضرایب آو/یا ببرابر 1 یا − 1 ، در این صورت ممکن است در نوشتن معادله درجه دوم که با ویژگی های نوشتن ضرایب عددی نشان داده شده توضیح داده می شود ، مشارکت صریحی نداشته باشند. مثلا در معادله درجه دوم y 2 − y + 7 = 0ضریب پیشرو 1 و ضریب دوم است − 1 .

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بر اساس مقدار ضریب اول، معادلات درجه دوم به دو دسته کاهش یافته و کاهش نیافته تقسیم می شوند.

تعریف 3

معادله درجه دوم کاهش یافته استمعادله درجه دومی است که ضریب اصلی آن 1 است. برای سایر مقادیر ضریب پیشرو، معادله درجه دوم کاهش نمی یابد.

بیایید مثال هایی بزنیم: معادلات درجه دوم x 2 − 4 · x + 3 = 0، x 2 − x − 4 5 = 0 کاهش می یابند که در هر یک از آنها ضریب پیشرو 1 است.

9 x 2 − x − 2 = 0- معادله درجه دوم کاهش نیافته که ضریب اول با آن متفاوت است 1 .

هر معادله درجه دوم کاهش یافته را می توان با تقسیم هر دو طرف بر ضریب اول (تبدیل معادل) به یک معادله کاهش یافته تبدیل کرد. معادله تبدیل شده دارای همان ریشه معادل معادله تقلیل نشده خواهد بود یا اصلاً ریشه نخواهد داشت.

در نظر گرفتن یک مثال خاص به ما این امکان را می دهد که انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش یافته به یک معادله کاهش یافته را به وضوح نشان دهیم.

مثال 1

با توجه به معادله 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . لازم است معادله اصلی را به شکل کاهش یافته تبدیل کنید.

راه حل

طبق طرح فوق، هر دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 6 تقسیم می کنیم. سپس دریافت می کنیم: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3، و این همان است که: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0و بیشتر: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.از اینجا: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . بنابراین، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید.

پاسخ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

اجازه دهید به تعریف معادله درجه دوم بپردازیم. در آن مشخص کردیم که a ≠ 0. یک شرط مشابه برای معادله لازم است a x 2 + b x + c = 0دقیقا مربع بود، از زمانی که در a = 0اساساً به یک معادله خطی تبدیل می شود b x + c = 0.

در صورتی که ضرایب بو جبرابر با صفر (که هم به صورت جداگانه و هم به صورت مشترک امکان پذیر است)، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف 4

معادله درجه دوم ناقص- چنین معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0،که در آن حداقل یکی از ضرایب بو ج(یا هر دو) صفر است.

معادله درجه دوم کامل- یک معادله درجه دوم که در آن تمام ضرایب عددی برابر با صفر نیستند.

بیایید بحث کنیم که چرا به انواع معادلات درجه دوم دقیقاً این نام ها داده شده است.

وقتی b = 0، معادله درجه دوم شکل می گیرد a x 2 + 0 x + c = 0، که همان است a x 2 + c = 0. در c = 0معادله درجه دوم به صورت نوشته شده است a x 2 + b x + 0 = 0، که معادل است a x 2 + b x = 0. در b = 0و c = 0معادله شکل خواهد گرفت a x 2 = 0. معادلاتی که ما به دست آوردیم با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها یک جمله با متغیر x یا یک جمله آزاد یا هر دو وجود ندارد. در واقع، این واقعیت نام این نوع معادله را داده است - ناقص.

برای مثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و - 7 x 2 - 2 x + 1، 3 = 0 معادلات درجه دوم کامل هستند. x 2 = 0، − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0، - x 2 - 6 x = 0 - معادلات درجه دوم ناقص.

حل معادلات درجه دوم ناقص

تعریفی که در بالا داده شد، تشخیص انواع معادلات درجه دوم ناقص زیر را ممکن می سازد:

• a x 2 = 0، این معادله با ضرایب مطابقت دارد b = 0و c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 در b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 در c = 0.

اجازه دهید حل هر نوع معادله درجه دوم ناقص را به ترتیب در نظر بگیریم.

حل معادله a x 2 = 0

همانطور که در بالا ذکر شد، این معادله با ضرایب مطابقت دارد بو ج، برابر با صفر است. معادله a x 2 = 0را می توان به یک معادله معادل تبدیل کرد x 2 = 0که با تقسیم دو طرف معادله اصلی بر عدد بدست می آوریم آ، برابر با صفر نیست. واقعیت آشکار این است که ریشه معادله x 2 = 0این صفر است زیرا 0 2 = 0 . این معادله ریشه دیگری ندارد، که می توان آن را با ویژگی های درجه توضیح داد: برای هر عدد پ،برابر با صفر نیست، نابرابری درست است p 2 > 0، که از آن نتیجه می شود که وقتی p ≠ 0برابری p 2 = 0هرگز محقق نخواهد شد.

تعریف 5

بنابراین، برای معادله درجه دوم ناقص a x 2 = 0 یک ریشه وجود دارد x = 0.

مثال 2

به عنوان مثال، اجازه دهید یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم − 3 x 2 = 0. معادل معادله است x 2 = 0، تنها ریشه آن است x = 0، سپس معادله اصلی یک ریشه دارد - صفر.

به طور خلاصه راه حل به صورت زیر نوشته شده است:

− 3 x 2 = 0، x 2 = 0، x = 0.

حل معادله a x 2 + c = 0

در خط بعدی، حل معادلات درجه دوم ناقص است، که در آن b = 0، c ≠ 0، یعنی معادلات شکل a x 2 + c = 0. بیایید این معادله را با انتقال یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر، تغییر علامت به طرف مقابل و تقسیم هر دو طرف معادله بر عددی که برابر با صفر نیست، تبدیل کنیم:

• انتقال جدر سمت راست، که معادله را نشان می دهد a x 2 = - c;
• دو طرف معادله را بر تقسیم کنید آ، در نهایت به x = - c a می رسیم.

بر این اساس، تبدیل های ما معادل هستند، معادله به دست آمده نیز معادل معادله اصلی است، و این واقعیت باعث می شود که در مورد ریشه های معادله نتیجه گیری کنیم. از آنچه ارزش ها هستند آو جمقدار عبارت - c a بستگی دارد: می تواند علامت منفی داشته باشد (مثلاً اگر a = 1و c = 2، سپس - c a = - 2 1 = - 2) یا علامت مثبت (مثلاً اگر a = - 2و c = 6، سپس - c a = - 6 - 2 = 3); صفر نیست چون c ≠ 0. اجازه دهید با جزئیات بیشتری در مورد موقعیت هایی صحبت کنیم که - c a< 0 и - c a > 0 .

در صورتی که - ج الف< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа پبرابری p 2 = - c a نمی تواند درست باشد.

همه چیز متفاوت است وقتی - c a > 0: جذر را به خاطر بسپارید، و آشکار خواهد شد که ریشه معادله x 2 = - c a عدد - c a خواهد بود، زیرا - c a 2 = - c a. درک اینکه عدد - - c a نیز ریشه معادله x 2 = - c a است دشوار نیست: در واقع، - - c a 2 = - c a.

معادله هیچ ریشه دیگری نخواهد داشت. ما می توانیم این را با استفاده از روش تضاد نشان دهیم. برای شروع، اجازه دهید نمادهای ریشه های موجود در بالا را به صورت تعریف کنیم x 1و − x 1. فرض کنید معادله x 2 = - c a نیز یک ریشه دارد x 2، که با ریشه متفاوت است x 1و − x 1. ما می دانیم که با جایگزینی در معادله ایکسریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی منصفانه تبدیل می کنیم.

برای x 1و − x 1می نویسیم: x 1 2 = - c a و برای x 2- x 2 2 = - c a . بر اساس ویژگی های تساوی های عددی، یک عبارت برابری صحیح را به صورت ترم از دیگری کم می کنیم که به ما می دهد: x 1 2 − x 2 2 = 0. ما از خصوصیات عملیات با اعداد برای بازنویسی آخرین برابری به عنوان استفاده می کنیم (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. معلوم است که حاصل ضرب دو عدد صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از اعداد صفر باشد. از مطالب فوق چنین بر می آید که x 1 - x 2 = 0و/یا x 1 + x 2 = 0، که همان است x 2 = x 1و/یا x 2 = - x 1. یک تناقض آشکار به وجود آمد، زیرا در ابتدا توافق شد که ریشه معادله است x 2متفاوت است x 1و − x 1. بنابراین، ما ثابت کردیم که معادله هیچ ریشه ای جز x = - c a و x = - - c a ندارد.

اجازه دهید همه استدلال های بالا را خلاصه کنیم.

تعریف 6

معادله درجه دوم ناقص a x 2 + c = 0معادل معادله x 2 = - c a است که:

• هیچ ریشه ای در - c a نخواهد داشت< 0 ;
• دارای دو ریشه x = - c a و x = - - c a برای - c a > 0 خواهد بود.

اجازه دهید مثال هایی از حل معادلات ارائه دهیم a x 2 + c = 0.

مثال 3

با یک معادله درجه دوم 9 x 2 + 7 = 0.باید راه حلی پیدا کرد.

راه حل

بیایید عبارت آزاد را به سمت راست معادله منتقل کنیم، سپس معادله شکل خواهد گرفت 9 x 2 = − 7.
اجازه دهید هر دو طرف معادله حاصل را بر تقسیم کنیم 9 ، به x 2 = - 7 9 می رسیم. در سمت راست عددی با علامت منفی می بینیم که به این معنی است: معادله داده شده ریشه ندارد. سپس معادله درجه دوم ناقص اصلی 9 x 2 + 7 = 0هیچ ریشه ای نخواهد داشت

پاسخ:معادله 9 x 2 + 7 = 0ریشه ندارد

مثال 4

معادله باید حل شود − x 2 + 36 = 0.

راه حل

بیایید عدد 36 را به سمت راست حرکت دهیم: − x 2 = − 36.
بیایید هر دو قسمت را بر اساس تقسیم کنیم − 1 ، ما گرفتیم x 2 = 36. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم x = 36 یا x = - 36 .
بیایید ریشه را استخراج کنیم و نتیجه نهایی را بنویسیم: معادله درجه دوم ناقص − x 2 + 36 = 0دو ریشه دارد x = 6یا x = - 6.

پاسخ: x = 6یا x = - 6.

حل معادله a x 2 +b x=0

اجازه دهید نوع سوم معادلات درجه دوم ناقص را تجزیه و تحلیل کنیم c = 0. برای یافتن راه حل برای یک معادله درجه دوم ناقص a x 2 + b x = 0، از روش فاکتورسازی استفاده خواهیم کرد. بیایید چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد فاکتورسازی کنیم و عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم. ایکس. این مرحله تبدیل معادله درجه دوم ناقص اولیه را به معادل آن ممکن می سازد x (a x + b) = 0. و این معادله نیز به نوبه خود معادل مجموعه ای از معادلات است x = 0و a x + b = 0. معادله a x + b = 0خطی و ریشه آن: x = - b a.

تعریف 7

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص است a x 2 + b x = 0دو ریشه خواهد داشت x = 0و x = - b a.

بیایید مطالب را با یک مثال تقویت کنیم.

مثال 5

لازم است برای معادله 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 راه حلی پیدا کنید.

راه حل

ما آن را بیرون می آوریم ایکسخارج از پرانتز معادله x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 را دریافت می کنیم. این معادله معادل معادلات است x = 0و 2 3 x - 2 2 7 = 0. اکنون باید معادله خطی حاصل را حل کنید: 2 3 · x = 2 2 7، x = 2 2 7 2 3.

به طور خلاصه جواب معادله را به صورت زیر بنویسید:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 یا x = 3 3 7

پاسخ: x = 0، x = 3 3 7.

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای یافتن جواب معادلات درجه دوم، یک فرمول ریشه وجود دارد:

تعریف 8

x = - b ± D 2 · a، که در آن D = b 2 − 4 a c- به اصطلاح تفکیک کننده یک معادله درجه دوم.

نوشتن x = - b ± D 2 · a اساساً به این معنی است که x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

درک این که چگونه این فرمول مشتق شده و چگونه آن را اعمال کنیم مفید خواهد بود.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید با کار حل یک معادله درجه دوم روبرو شویم a x 2 + b x + c = 0. اجازه دهید تعدادی تبدیل معادل را انجام دهیم:

• دو طرف معادله را بر یک عدد تقسیم کنید آ، متفاوت از صفر، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• بیایید مربع کامل در سمت چپ معادله حاصل را انتخاب کنیم:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ج الف
  پس از این، معادله به شکل زیر در می آید: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• اکنون می توان دو عبارت آخر را به سمت راست منتقل کرد، علامت را به سمت مخالف تغییر داد، پس از آن به دست می آوریم: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• در نهایت، عبارت نوشته شده در سمت راست آخرین برابری را تبدیل می کنیم:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

بنابراین، به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 می رسیم که معادل معادله اصلی است. a x 2 + b x + c = 0.

حل این گونه معادلات را در پاراگراف های قبل (حل معادلات درجه دوم ناقص) بررسی کردیم. تجربه‌ای که قبلاً به‌دست آمده، نتیجه‌گیری در مورد ریشه‌های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 را ممکن می‌سازد:

• با b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• وقتی b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 معادله x + b 2 · a 2 = 0 است، سپس x + b 2 · a = 0 است.

از اینجا تنها ریشه x = - b 2 · a آشکار است.

• برای b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 موارد زیر درست خواهد بود: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 که همان x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - b 2 - 4 است. · a · c 4 · a 2 , i.e. معادله دو ریشه دارد

می توان نتیجه گرفت که وجود یا عدم وجود ریشه های معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (و بنابراین معادله اصلی) به علامت عبارت b بستگی دارد. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 در سمت راست نوشته شده است. و علامت این عبارت با علامت صورت، ( مخرج 4 a 2همیشه مثبت خواهد بود)، یعنی نشانه بیان b 2 − 4 a c. این بیان b 2 − 4 a cنام داده شده است - ممیز معادله درجه دوم و حرف D به عنوان نام آن تعریف می شود. در اینجا می توانید ماهیت ممیز را بنویسید - بر اساس مقدار و علامت آن ، آنها می توانند نتیجه بگیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی خواهد داشت یا خیر ، و اگر چنین است ، تعداد ریشه ها چقدر است - یک یا دو.

اجازه دهید به معادله x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 برگردیم. بیایید آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

اجازه دهید نتایج خود را دوباره فرموله کنیم:

تعریف 9

• در D< 0 معادله هیچ ریشه واقعی ندارد.
• در D=0معادله یک ریشه دارد x = - b 2 · a ;
• در D > 0معادله دو ریشه دارد: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 یا x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بر اساس خواص رادیکال ها، این ریشه ها را می توان به شکل زیر نوشت: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. و وقتی ماژول ها را باز می کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم، به دست می آوریم: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

بنابراین، نتیجه استدلال ما استخراج فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم بود:

x = - b + D 2 a، x = - b - D 2 a، ممیز Dبا فرمول محاسبه می شود D = b 2 − 4 a c.

این فرمول ها تعیین هر دو ریشه واقعی را در زمانی که تفکیک کننده بزرگتر از صفر است ممکن می سازد. هنگامی که ممیز صفر است، با اعمال هر دو فرمول، ریشه یکسانی به عنوان تنها راه حل معادله درجه دوم به دست می آید. در مواردی که ممیز منفی باشد، اگر بخواهیم از فرمول ریشه درجه دوم استفاده کنیم، با نیاز به جذر یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را از محدوده اعداد حقیقی خارج می کند. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی نخواهد داشت، اما یک جفت ریشه مزدوج پیچیده امکان پذیر است که با همان فرمول های ریشه ای که ما به دست آوردیم تعیین می شود.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

حل یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه امکان پذیر است، اما این معمولاً زمانی انجام می شود که نیاز به یافتن ریشه های پیچیده باشد.

در اکثر موارد، معمولاً به معنای جستجوی نه پیچیده، بلکه برای ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم است. سپس بهتر است قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا ممیز را مشخص کرده و از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنیم (در غیر این صورت به این نتیجه می رسیم که معادله ریشه واقعی ندارد) و سپس اقدام به محاسبه می کنیم. ارزش ریشه ها

استدلال بالا امکان فرموله کردن یک الگوریتم برای حل یک معادله درجه دوم را فراهم می کند.

تعریف 10

برای حل یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، لازم:

• طبق فرمول D = b 2 − 4 a cمقدار متمایز را بیابید.
• در D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• برای D = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - b 2 · a ;
• برای D > 0، دو ریشه واقعی معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول x = - b ± D 2 · a تعیین کنید.

توجه داشته باشید که وقتی تفکیک کننده صفر است، می توانید از فرمول x = - b ± D 2 · a استفاده کنید، نتیجه مشابه فرمول x = - b 2 · a خواهد بود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

اجازه دهید برای مقادیر مختلف تفکیک کننده مثال هایی ارائه دهیم.

مثال 6

ما باید ریشه های معادله را پیدا کنیم x 2 + 2 x − 6 = 0.

راه حل

بیایید ضرایب عددی معادله درجه دوم را بنویسیم: a = 1، b = 2 و c = - 6. بعد طبق الگوریتم پیش می رویم، i.e. بیایید شروع به محاسبه ممیز کنیم که ضرایب a، b را جایگزین می کنیم. و جبه فرمول تمایز: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.

پس D > 0 بدست می آوریم، یعنی معادله اصلی دو ریشه واقعی خواهد داشت.
برای یافتن آنها، از فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a استفاده می کنیم و با جایگزینی مقادیر مربوطه، به دست می آوریم: x = - 2 ± 28 2 · 1. اجازه دهید عبارت حاصل را با خارج کردن عامل از علامت ریشه و سپس کاهش کسر ساده کنیم:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 یا x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 یا x = - 1 - 7

پاسخ: x = - 1 + 7، x = - 1 - 7.

مثال 7

حل یک معادله درجه دوم ضروری است − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

راه حل

بیایید تفکیک کننده را تعریف کنیم: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. با این مقدار ممیز، معادله اصلی تنها یک ریشه خواهد داشت که با فرمول x = - b 2 · a تعیین می شود.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

پاسخ: x = 3.5.

مثال 8

معادله باید حل شود 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

راه حل

ضرایب عددی این معادله عبارتند از: a = 5، b = 6 و c = 2. ما از این مقادیر برای یافتن متمایز استفاده می کنیم: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . تفکیک محاسبه شده منفی است، بنابراین معادله درجه دوم اصلی ریشه واقعی ندارد.

در موردی که وظیفه نشان دادن ریشه های پیچیده است، فرمول ریشه را اعمال می کنیم و اقداماتی را با اعداد مختلط انجام می دهیم:

x = - 6 ± - 4 2 5،

x = - 6 + 2 i 10 یا x = - 6 - 2 i 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i یا x = - 3 5 - 1 5 · i.

پاسخ:هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های مختلط به شرح زیر است: - 3 5 + 1 5 · i، - 3 5 - 1 5 · i.

در برنامه درسی مدرسه، هیچ الزام استانداردی برای جستجوی ریشه های پیچیده وجود ندارد، بنابراین، اگر در حین حل، تمایز منفی تعیین شود، بلافاصله پاسخ نوشته می شود که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) به دست آوردن فرمول دیگری، فشرده تر را ممکن می کند، به فرد اجازه می دهد تا برای معادلات درجه دوم راه حل هایی با ضریب زوج برای x پیدا کند. یا با ضریب شکل 2 · n، به عنوان مثال، 2 3 یا 14 ln 5 = 2 7 ln 5). اجازه دهید نشان دهیم که چگونه این فرمول مشتق شده است.

اجازه دهید با کار پیدا کردن یک راه حل برای معادله درجه دوم a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 روبرو شویم. طبق الگوریتم پیش می رویم: متمایز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) را تعیین می کنیم و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

x = - 2 n ± D 2 a، x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a، x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a، x = - - n ± n 2 - a · c a .

بگذارید عبارت n 2 − a · c به صورت D 1 نشان داده شود (گاهی اوقات با D نشان داده می شود). سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 · n به شکل زیر در می آید:

x = - n ± D 1 a، که در آن D 1 = n 2 - a · c.

به راحتی می توان فهمید که D = 4 · D 1، یا D 1 = D 4. به عبارت دیگر، D 1 یک چهارم ممیز است. بدیهی است که علامت D 1 همان علامت D است ، به این معنی که علامت D 1 می تواند به عنوان نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم نیز باشد.

تعریف 11

بنابراین، برای یافتن جواب معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، لازم است:

• پیدا کردن D 1 = n 2 − a · c ;
• در D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• وقتی D 1 = 0، تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول x = - n a تعیین کنید.
• برای D 1 > 0، دو ریشه واقعی را با استفاده از فرمول x = - n ± D 1 a تعیین کنید.

مثال 9

حل معادله درجه دوم 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 ضروری است.

راه حل

می توانیم ضریب دوم معادله داده شده را به صورت 2 · (- 3) نشان دهیم. سپس معادله درجه دوم داده شده را به صورت 5 x 2 + 2 (- 3) x − 32 = 0 بازنویسی می کنیم که a = 5، n = − 3 و c = − 32.

بیایید قسمت چهارم ممیز را محاسبه کنیم: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. مقدار حاصل مثبت است، به این معنی که معادله دو ریشه واقعی دارد. اجازه دهید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه تعیین کنیم:

x = - n ± D 1 a، x = - - 3 ± 169 5، x = 3 ± 13 5،

x = 3 + 13 5 یا x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 یا x = - 2

می توان محاسبات را با استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم انجام داد، اما در این مورد راه حل دشوارتر خواهد بود.

پاسخ: x = 3 1 5 یا x = - 2 .

ساده سازی فرم معادلات درجه دوم

گاهی اوقات می توان شکل معادله اصلی را بهینه کرد که روند محاسبه ریشه ها را ساده می کند.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 به وضوح راحت‌تر از 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 است.

بیشتر اوقات، ساده سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم دو طرف آن در یک عدد مشخص انجام می شود. به عنوان مثال، در بالا یک نمایش ساده از معادله 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 را نشان دادیم که با تقسیم هر دو طرف بر 100 به دست می‌آید.

چنین تبدیلی زمانی امکان پذیر است که ضرایب معادله درجه دوم اعداد هم اول نباشند. سپس معمولاً هر دو طرف معادله را بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می کنیم.

به عنوان مثال، از معادله درجه دوم 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 استفاده می کنیم. اجازه دهید GCD مقادیر مطلق ضرایب آن را تعیین کنیم: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. اجازه دهید هر دو طرف معادله درجه دوم اصلی را بر 6 تقسیم کنیم و معادله درجه دوم معادل 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 را به دست آوریم.

با ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم، معمولاً از شر ضرایب کسری خلاص می شوید. در این حالت آنها در حداقل مضرب مشترک مخرج ضرایب آن ضرب می شوند. به عنوان مثال، اگر هر قسمت از معادله درجه دوم 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 با LCM (6، 3، 1) = 6 ضرب شود، به شکل ساده تر x 2 + 4 x نوشته می شود. − 18 = 0.

در نهایت، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم هر جمله معادله، که با ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در - 1 به دست می‌آید، از منهای اولین ضریب معادله درجه دوم خلاص می‌شویم. به عنوان مثال، از معادله درجه دوم − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، می توانید به نسخه ساده شده آن 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب

فرمول ریشه های معادلات درجه دوم که قبلاً برای ما شناخته شده است، x = - b ± D 2 · a، ریشه های معادله را از طریق ضرایب عددی آن بیان می کند. بر اساس این فرمول، ما این فرصت را داریم که وابستگی های دیگر بین ریشه ها و ضرایب را مشخص کنیم.

معروف ترین و کاربردی ترین فرمول ها قضیه Vieta است:

x 1 + x 2 = - b a و x 2 = c a.

به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، می توان بلافاصله تعیین کرد که مجموع ریشه های آن 7 3 و حاصل ضرب ریشه ها 22 3 است.

همچنین می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم پیدا کنید. به عنوان مثال، مجموع مجذورات ریشه های یک معادله درجه دوم را می توان بر حسب ضرایب بیان کرد:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

در جامعه مدرن، توانایی انجام عملیات با معادلات حاوی یک متغیر مربع می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و در عمل در پیشرفت های علمی و فنی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد. گواه این امر را می توان در طراحی شناورهای دریایی و رودخانه ای، هواپیماها و موشک ها یافت. با استفاده از چنین محاسباتی، مسیر حرکت طیف گسترده ای از اجسام، از جمله اجرام فضایی، تعیین می شود. نمونه هایی با حل معادلات درجه دوم نه تنها در پیش بینی اقتصادی، در طراحی و ساخت ساختمان ها، بلکه در معمول ترین شرایط روزمره نیز استفاده می شوند. آنها ممکن است در سفرهای پیاده روی، در رویدادهای ورزشی، در فروشگاه ها هنگام خرید و در موقعیت های بسیار رایج دیگر مورد نیاز باشند.

بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم

درجه یک معادله با حداکثر مقدار درجه متغیری که عبارت حاوی آن است تعیین می شود. اگر برابر با 2 باشد، چنین معادله ای درجه دوم نامیده می شود.

اگر به زبان فرمول ها صحبت کنیم، عبارات نشان داده شده، صرف نظر از اینکه چگونه به نظر می رسند، همیشه می توانند زمانی که سمت چپ عبارت از سه عبارت تشکیل شده است، به شکلی درآیند. از جمله: ax 2 (یعنی یک متغیر مجذور ضریب آن)، bx (یک مجهول بدون مربع با ضریب آن) و c (یک جزء آزاد، یعنی یک عدد معمولی). همه اینها در سمت راست برابر با 0 است. در صورتی که چنین چند جمله ای فاقد یکی از جمله های تشکیل دهنده خود باشد، به استثنای محور 2، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود. نمونه هایی با حل چنین مسائلی، ابتدا باید مقادیر متغیرهایی را که در آنها به راحتی یافت می شود در نظر گرفت.

اگر عبارت به نظر می رسد که دو عبارت در سمت راست دارد، به طور دقیق تر ax 2 و bx، ساده ترین راه برای پیدا کردن x قرار دادن متغیر خارج از پرانتز است. حالا معادله ما به این صورت خواهد بود: x(ax+b). در مرحله بعد، مشخص می شود که یا x=0، یا مشکل به یافتن یک متغیر از عبارت زیر می شود: ax+b=0. این توسط یکی از خواص ضرب دیکته می شود. این قانون بیان می کند که حاصل ضرب دو عامل تنها در صورتی به صفر می رسد که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x=0 یا 8x - 3 = 0

در نتیجه دو ریشه معادله بدست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات از این نوع می توانند حرکت اجسامی را که تحت تأثیر گرانش قرار دارند، توصیف کنند، که از نقطه خاصی که به عنوان مبدأ مختصات در نظر گرفته می شود، شروع به حرکت کردند. در اینجا نماد ریاضی به شکل زیر است: y = v 0 t + gt 2/2. با جایگزین کردن مقادیر لازم، برابر کردن سمت راست با 0 و یافتن مجهولات احتمالی، می توانید زمان سپری شدن از لحظه بالا آمدن بدن تا لحظه سقوط و همچنین بسیاری از کمیت های دیگر را دریابید. اما در این مورد بعدا صحبت خواهیم کرد.

فاکتورگیری یک بیان

قاعده ای که در بالا توضیح داده شد، حل این مشکلات را در موارد پیچیده تر ممکن می کند. بیایید به نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم از این نوع نگاه کنیم.

X 2 - 33x + 200 = 0

این مثلث درجه دوم کامل است. ابتدا بیایید عبارت را تبدیل کنیم و آن را فاکتور کنیم. دو تا از آنها وجود دارد: (x-8) و (x-25) = 0. در نتیجه ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

مثال‌هایی با حل معادلات درجه دوم در درجه 9 به این روش اجازه می‌دهد تا متغیری را در عبارات نه تنها مرتبه دوم، بلکه حتی از مرتبه سوم و چهارم پیدا کند.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. هنگام فاکتورگیری سمت راست به فاکتورهایی با یک متغیر، سه مورد از آنها وجود دارد، یعنی (x+1)، (x-3) و (x+ 3).

در نتیجه مشخص می شود که این معادله دارای سه ریشه است: -3; -1؛ 3.

ریشه دوم

مورد دیگر معادله ناقص مرتبه دوم عبارتی است که در زبان حروف به گونه ای نمایش داده می شود که سمت راست از اجزای ax 2 و c ساخته شده است. در اینجا برای به دست آوردن مقدار متغیر، عبارت آزاد به سمت راست منتقل می شود و پس از آن جذر از دو طرف تساوی استخراج می شود. لازم به ذکر است که در در این موردمعمولاً دو ریشه معادله وجود دارد. تنها استثناها می‌توانند برابری‌هایی باشند که اصلاً شامل یک عبارت نیستند، جایی که متغیر برابر با صفر است، و همچنین انواع عبارات وقتی سمت راست منفی است. در مورد دوم، هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات درجه دوم از این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این صورت ریشه های معادله اعداد -4 و 4 خواهند بود.

محاسبه مساحت زمین

نیاز به این نوع محاسبات در زمان های قدیم ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در آن زمان های دور تا حد زیادی با نیاز به تعیین با بیشترین دقت مساحت و محیط قطعات زمین تعیین شد.

همچنین باید نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم را بر اساس مسائلی از این دست در نظر بگیریم.

بنابراین، فرض کنید یک زمین مستطیل شکل وجود دارد که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. اگر می دانید مساحت آن 612 متر مربع است، باید طول، عرض و محیط سایت را پیدا کنید.

برای شروع، اجازه دهید ابتدا معادله لازم را ایجاد کنیم. عرض مساحت را با x نشان می دهیم، سپس طول آن (x+16) خواهد بود. از مطالبی که نوشته شد مساحت با عبارت x(x+16) تعیین می شود که با توجه به شرایط مسئله ما 612 می شود. یعنی x(x+16) = 612.

حل معادلات درجه دوم کامل، و این عبارت دقیقاً همان است، به همین شکل قابل انجام نیست. چرا؟ اگرچه سمت چپ هنوز دارای دو عامل است، اما حاصل ضرب آنها به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین در اینجا از روش های مختلفی استفاده می شود.

ممیز

اول از همه، ما تغییرات لازم را انجام می دهیم، سپس ظاهر این عبارت به این صورت خواهد بود: x 2 + 16x - 612 = 0. این بدان معنی است که ما عبارت را به شکلی مطابق با استاندارد مشخص شده قبلی دریافت کرده ایم، که در آن a=1، b=16، c= -612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز باشد. در اینجا محاسبات لازم مطابق این طرح انجام می شود: D = b 2 - 4ac. این کمیت کمکی نه تنها یافتن مقادیر مورد نیاز را در یک معادله مرتبه دوم ممکن می سازد، بلکه تعداد گزینه های ممکن را نیز تعیین می کند. اگر D>0 باشد، دو مورد از آنها وجود دارد. برای D=0 یک ریشه وجود دارد. در مورد D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تمایز برابر است با: 256 - 4(-612) = 2704. این نشان می دهد که مشکل ما یک پاسخ دارد. اگر k را می دانید حل معادلات درجه دوم را باید با استفاده از فرمول زیر ادامه دهید. این به شما امکان می دهد ریشه ها را محاسبه کنید.

این بدان معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 = 18، x 2 =-34. گزینه دوم در این معضل نمی تواند راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، یعنی x (یعنی عرض قطعه) 18 متر است از اینجا طول را محاسبه می کنیم: 18 +16=34 و محیط 2(34+18)=104(m2).

مثال ها و وظایف

ما مطالعه خود را در مورد معادلات درجه دوم ادامه می دهیم. نمونه ها و راه حل های دقیق چند مورد از آنها در زیر آورده شده است.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

بیایید همه چیز را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک تبدیل ایجاد کنیم، یعنی، نوع معادله ای را که معمولاً استاندارد نامیده می شود، دریافت می کنیم و آن را برابر با صفر می کنیم.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

با اضافه کردن موارد مشابه، تفکیک کننده را تعیین می کنیم: D = 49 - 48 = 1. این به این معنی است که معادله ما دو ریشه خواهد داشت. بیایید آنها را طبق فرمول بالا محاسبه کنیم، به این معنی که اولی برابر با 4/3 و دومی برابر با 1 خواهد بود.

2) حالا بیایید اسرار دیگری را حل کنیم.

بیایید دریابیم که آیا ریشه ای در اینجا وجود دارد x 2 - 4x + 5 = 1؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، چند جمله ای را به شکل معمول مربوطه کاهش می دهیم و تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در مثال بالا نیازی به حل معادله درجه دوم نیست، زیرا اصل مسئله اصلاً این نیست. در این مورد، D = 16 - 20 = -4، یعنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه ویتا

حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های بالا و تفکیک کننده راحت است، زمانی که ریشه دوم از مقدار دومی گرفته شود. اما همیشه این اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن مقادیر متغیرها در این مورد وجود دارد. مثال: حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. نام او برگرفته از کسی است که در قرن شانزدهم در فرانسه زندگی می‌کرد و به لطف استعداد ریاضی و ارتباطاتش در دربار، حرفه‌ای درخشان ایجاد کرد. پرتره او در مقاله قابل مشاهده است.

الگویی که مرد مشهور فرانسوی متوجه آن شد به شرح زیر بود. او ثابت کرد که ریشه های معادله به صورت عددی با -p=b/a جمع می شوند و حاصلضرب آنها با q=c/a مطابقت دارد.

حالا بیایید به وظایف خاص نگاه کنیم.

3x 2 + 21x - 54 = 0

برای سادگی، اجازه دهید عبارت را تبدیل کنیم:

x 2 + 7x - 18 = 0

بیایید از قضیه Vieta استفاده کنیم، این به ما می دهد: مجموع ریشه ها -7 است و حاصلضرب آنها 18- است. از اینجا می‌گیریم که ریشه‌های معادله اعداد -9 و 2 هستند. پس از بررسی، مطمئن می‌شویم که این مقادیر متغیر واقعاً با عبارت مطابقت دارند.

نمودار سهمی و معادله

مفاهیم تابع درجه دوم و معادلات درجه دوم ارتباط نزدیکی با هم دارند. نمونه هایی از این قبلا قبلاً آورده شده است. حالا بیایید با کمی جزئیات بیشتر به چند معمای ریاضی نگاه کنیم. هر معادله ای از نوع توصیف شده را می توان به صورت بصری نشان داد. چنین رابطه ای که به صورت نمودار ترسیم می شود، سهمی نامیده می شود. انواع مختلف آن در شکل زیر ارائه شده است.

هر سهمی دارای راس است، یعنی نقطه ای که شاخه های آن از آن بیرون می آیند. اگر a>0 باشد، تا بی نهایت بالا می روند و وقتی a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

نمایش بصری توابع به حل هر معادله ای از جمله معادلات درجه دوم کمک می کند. این روش را گرافیکی می نامند. و مقدار متغیر x مختصات آبسیسا در نقاطی است که خط نمودار با 0x قطع می شود. مختصات راس را می توان با استفاده از فرمولی که x 0 = -b/2a داده شده است، پیدا کرد. و با جایگزین کردن مقدار حاصل به معادله اصلی تابع، می توانید y 0 را پیدا کنید، یعنی مختصات دوم راس سهمی که متعلق به محور مختصات است.

تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا

مثال های زیادی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد، اما الگوهای کلی نیز وجود دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم. واضح است که تقاطع نمودار با محور 0x برای a>0 تنها در صورتی امکان پذیر است که 0 مقادیر منفی بگیرد. و برای یک<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

از نمودار سهمی نیز می توانید ریشه ها را تعیین کنید. مخالفش هم درست است. یعنی اگر به‌دست آوردن نمایش تصویری از یک تابع درجه دوم آسان نیست، می‌توانید سمت راست عبارت را با 0 برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید. و با دانستن نقاط تقاطع با محور 0x، ساختن نمودار آسانتر است.

از تاریخ

با استفاده از معادلات حاوی یک متغیر مربع، در قدیم نه تنها محاسبات ریاضی انجام می دادند و مساحت اشکال هندسی را تعیین می کردند. گذشتگان برای اکتشافات بزرگ در زمینه های فیزیک و ستاره شناسی و همچنین برای پیش بینی های نجومی به چنین محاسباتی نیاز داشتند.

همانطور که دانشمندان مدرن پیشنهاد می کنند، ساکنان بابل جزو اولین کسانی بودند که معادلات درجه دوم را حل کردند. این اتفاق چهار قرن قبل از دوران ما افتاد. البته محاسبات آنها با محاسباتی که در حال حاضر پذیرفته شده اند کاملاً متفاوت بود و معلوم شد که بسیار ابتدایی تر است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین هیچ ایده ای در مورد وجود اعداد منفی نداشتند. آنها همچنین با ظرافت های دیگری که هر دانش آموز مدرنی می داند ناآشنا بودند.

شاید حتی زودتر از دانشمندان بابلی، حکیم هندی بودهایاما شروع به حل معادلات درجه دوم کرد. این اتفاق حدود هشت قرن قبل از عصر مسیح رخ داد. درست است، معادلات مرتبه دوم، روش هایی که او برای حل آنها ارائه کرد، ساده ترین بودند. علاوه بر او، ریاضیدانان چینی نیز در قدیم به سوالات مشابه علاقه داشتند. در اروپا، معادلات درجه دوم فقط در آغاز قرن سیزدهم حل شد، اما بعداً توسط دانشمندان بزرگی مانند نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر در آثارشان استفاده شد.