خانه » حیاط و باغچه » چرا مفاهیم "بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)" و "کمترین مضرب مشترک (LCD)" اعداد را در یک درس ریاضی مدرسه معرفی کنید؟ Nod و nok اعداد - بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک چند عدد

چرا مفاهیم "بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)" و "کمترین مضرب مشترک (LCD)" اعداد را در یک درس ریاضی مدرسه معرفی کنید؟ Nod و nok اعداد - بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک چند عدد

یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه یا چند عدد را می توان به یافتن متوالی gcd دو عدد تقلیل داد. ما در هنگام مطالعه خواص GCD به این موضوع اشاره کردیم. در آنجا قضیه را فرمول بندی و اثبات کردیم: بزرگترین مقسوم علیه مشترک چند اعداد a 1، a 2، …، a kبرابر عدد dk، که با محاسبه متوالی پیدا می شود GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1، a k)=d k.

بیایید ببینیم که فرآیند یافتن gcd چند عدد با نگاه کردن به حل مثال چگونه است.

مثال.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک چهار عدد را پیدا کنید 78 , 294 , 570 و 36 .

راه حل.

در این مثال a 1 = 78, a 2 = 294, a 3 = 570, a 4 = 36.

ابتدا با استفاده از الگوریتم اقلیدسی بزرگترین مقسوم علیه مشترک را تعیین می کنیم د 2دو عدد اول 78 و 294 . هنگام تقسیم، برابری ها را بدست می آوریم 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6و 18=6·3. بدین ترتیب، d 2 =GCD(78, 294)=6.

حالا بیایید محاسبه کنیم d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). بیایید دوباره الگوریتم اقلیدسی را اعمال کنیم: 570=6·95از این رو، d 3 =GCD(6، 570)=6.

باقی مانده است که محاسبه شود d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). زیرا 36 تقسیم بر 6 ، آن d 4 =GCD(6، 36)=6.

بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک چهار عدد داده شده است d 4 = 6، به این معنا که، GCD(78, 294, 570, 36)=6.

پاسخ:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اول به شما امکان می دهد gcd سه یا چند عدد را محاسبه کنید. در این حالت، بزرگترین مقسوم علیه مشترک حاصلضرب همه ضرایب اول مشترک اعداد داده شده است.

مثال.

gcd اعداد مثال قبلی را با استفاده از فاکتورهای اول آنها محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید اعداد را تجزیه کنیم 78 , 294 , 570 و 36 با عوامل اصلی، ما دریافت می کنیم 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. عامل اول مشترک هر چهار عدد داده شده اعداد هستند 2 و 3 . از این رو، GCD(78، 294، 570، 36)=2·3=6.

پاسخ:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

بالای صفحه

یافتن GCD اعداد منفی

اگر یک، چند یا همه اعدادی که بزرگترین مقسوم علیه آنها پیدا می شود اعداد منفی باشند، gcd آنها برابر است با بزرگترین مقسوم علیه مشترک مدول های این اعداد. این به دلیل این واقعیت است که اعداد مخالف آو -aهمان مقسوم‌گیرنده‌ها را دارند، همانطور که در مورد ویژگی‌های بخش‌پذیری بحث کردیم.

مثال.

gcd اعداد صحیح منفی را پیدا کنید −231 و −140 .

راه حل.

قدر مطلق یک عدد −231 برابر است 231 و مدول عدد −140 برابر است 140 ، و GCD(-231، 140-)=GCD(231، 140). الگوریتم اقلیدسی برابری های زیر را به ما می دهد: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7و 42=7 6. از این رو، GCD(231، 140)=7. سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد منفی است −231 و −140 برابر است 7 .

پاسخ:

GCD(-231، 140-)=7.

مثال.

gcd سه عدد را تعیین کنید −585 , 81 و −189 .

راه حل.

هنگام پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک، اعداد منفی را می توان با مقادیر مطلق آنها جایگزین کرد، یعنی: GCD(-585، 81، 189-)=GCD(585، 81، 189). بسط اعداد 585 , 81 و 189 به عوامل اول شکل دارند 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3و 189=3·3·3·7. ضرایب اول مشترک این سه عدد هستند 3 و 3 . سپس GCD(585, 81, 189)=3·3=9از این رو، GCD(-585، 81، 189-)=9.

پاسخ:

GCD(-585، 81، 189-)=9.

35. ریشه های چند جمله ای. قضیه بزوت. (33 و بالاتر)

36. چند ریشه، ملاک تعدد ریشه.

اما بسیاری از اعداد طبیعی بر سایر اعداد طبیعی نیز بخش پذیر هستند.

مثلا:

عدد 12 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12 بخش پذیر است.

عدد 36 بر 1، بر 2، بر 3، بر 4، بر 6، بر 12، بر 18، بر 36 بخش پذیر است.

اعدادی که عدد بر یک کل بخش پذیر است (برای 12 اینها 1، 2، 3، 4، 6 و 12 هستند) نامیده می شوند. مقسوم علیه اعداد. مقسوم علیه یک عدد طبیعی آ- یک عدد طبیعی است که یک عدد معین را تقسیم می کند آبدون هیچ ردی. عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد نامیده می شود کامپوزیت. لطفا توجه داشته باشید که اعداد 12 و 36 دارای فاکتورهای مشترک هستند. این اعداد عبارتند از: 1، 2، 3، 4، 6، 12. بزرگترین مقسوم علیه این اعداد 12 است.

مقسوم علیه مشترک دو عدد داده شده آو ب- این عددی است که هر دو عدد داده شده بدون باقیمانده بر آن تقسیم می شوند آو ب. مقسوم علیه مشترک چند اعداد (GCD)عددی است که به عنوان مقسوم علیه هر یک از آنها عمل می کند.

به طور خلاصه بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد آو باینجوری بنویس:

مثال: GCD (12؛ 36) = 12.

مقسوم علیه اعداد در رکورد حل با حرف بزرگ "D" نشان داده می شود.

مثال:

GCD (7؛ 9) = 1

اعداد 7 و 9 فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. چنین اعدادی نامیده می شوند دوطرفه نخستچی اسلمی.

اعداد همزمان اول- اینها اعداد طبیعی هستند که فقط یک مقسوم علیه مشترک دارند - عدد 1. gcd آنها 1 است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)، خواص.

ویژگی پایه: بزرگترین مقسوم علیه مشترک مترو nبر هر مقسوم علیه مشترک این اعداد بخش پذیر است. مثال: برای اعداد 12 و 18، بزرگترین مقسوم علیه مشترک 6 است. بر تمام مقسوم علیه های مشترک این اعداد تقسیم می شود: 1، 2، 3، 6.
نتیجه 1: مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک مترو nمنطبق با مجموعه مقسوم‌کننده‌های GCD ( متر, n).
نتیجه 2: مجموعه ای از مضرب های مشترک مترو nمنطبق با مجموعه چندین LCM ( متر, n).

این به ویژه به این معنی است که برای کاهش یک کسری به شکل غیر قابل تقلیل، باید صورت و مخرج آن را بر gcd تقسیم کنید.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد مترو nرا می توان به عنوان کوچکترین عنصر مثبت مجموعه از تمام ترکیبات خطی آنها تعریف کرد:

و بنابراین آن را به صورت ترکیبی خطی از اعداد نشان می دهد مترو n:

این نسبت نامیده می شود رابطه بزوتو ضرایب توو v — ضرایب Bezout. ضرایب Bezout به طور موثر توسط الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته محاسبه می شود. این عبارت به مجموعه‌ای از اعداد طبیعی تعمیم می‌یابد - معنای آن این است که زیر گروه گروه تولید شده توسط مجموعه چرخه‌ای است و توسط یک عنصر تولید می‌شود: GCD ( آ 1 , آ 2 , … , a n).

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) را محاسبه کنید.

روش های کارآمد برای محاسبه gcd دو عدد هستند الگوریتم اقلیدسیو دودوییالگوریتم. علاوه بر این، مقدار gcd ( متر,n) را می توان به راحتی محاسبه کرد اگر بسط متعارف اعداد مشخص باشد مترو nبه عوامل اصلی:

که در آن اعداد اول متمایز هستند، و و اعداد صحیح غیر منفی هستند (اگر اعداد اول مربوطه در بسط نباشد، می توانند صفر باشند). سپس GCD ( متر,n) و NOC ( متر,n) با فرمول های زیر بیان می شوند:

اگر بیش از دو عدد وجود داشته باشد: ، gcd آنها با استفاده از الگوریتم زیر پیدا می شود:

- این GCD مورد نظر است.

همچنین برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک، می توانید هر یک از اعداد داده شده را به فاکتورهای اول تبدیل کنید. سپس فقط فاکتورهایی را که در همه اعداد داده شده گنجانده شده است را جداگانه یادداشت کنید. سپس اعداد نوشته شده را با هم ضرب می کنیم - حاصل ضرب بزرگترین مقسوم علیه مشترک است .

بیایید گام به گام به محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک نگاه کنیم:

1. مقسوم علیه اعداد را به ضرایب اول تقسیم کنید:

نوشتن محاسبات با استفاده از نوار عمودی راحت است. در سمت چپ خط ابتدا سود سهام را یادداشت می کنیم، در سمت راست - تقسیم کننده. سپس در ستون سمت چپ مقادیر ضرایب را یادداشت می کنیم. بیایید بلافاصله با یک مثال توضیح دهیم. بیایید اعداد 28 و 64 را در فاکتورهای اول فاکتور کنیم.

2. ما در هر دو عدد بر عوامل اول یکسان تأکید می کنیم:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. حاصل ضرب ضرایب اول یکسان را بیابید و جواب را بنویسید:

GCD (28؛ 64) = 2. 2 = 4

پاسخ: GCD (28؛ 64) = 4

شما می توانید مکان GCD را به دو روش رسمی کنید: در یک ستون (همانطور که در بالا انجام شد) یا "در یک ردیف".

اولین راه برای نوشتن GCD:

gcd 48 و 36 را پیدا کنید.

GCD (48؛ 36) = 2. 2. 3 = 12

روش دوم برای نوشتن GCD:

اکنون بیایید راه حل جستجوی GCD را در یک خط بنویسیم. gcd 10 و 15 را پیدا کنید.

D (10) = (1، 2، 5، 10)

D (15) = (1، 3، 5، 15)

D (10، 15) = (1، 5)

ماشین حساب آنلاین به شما امکان می دهد تا به سرعت بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک را برای دو یا هر تعداد دیگری از اعداد پیدا کنید.

ماشین حساب برای پیدا کردن GCD و LCM

GCD و LOC را پیدا کنید

GCD و LOC پیدا شد: 5806

نحوه استفاده از ماشین حساب

اعداد را در قسمت ورودی وارد کنید
اگر کاراکترهای نادرست وارد کنید، قسمت ورودی با رنگ قرمز برجسته می شود
روی دکمه "یافتن GCD and LOC" کلیک کنید

نحوه وارد کردن اعداد

اعداد با فاصله، نقطه یا کاما وارد می شوند
طول اعداد وارد شده محدود نیستبنابراین یافتن GCD و LCM اعداد طولانی دشوار نیست

GCD و NOC چیست؟

بزرگترین مقسوم علیه مشترکچند عدد بزرگترین عدد صحیح طبیعی است که تمام اعداد اصلی بدون باقی مانده بر آن بخش پذیرند. بزرگترین مقسوم علیه مشترک به اختصار به عنوان GCD.
کمترین مضرب مشترکچند عدد کوچکترین عددی است که بر هر یک از اعداد اصلی بدون باقیمانده بخش پذیر است. کمترین مضرب مشترک به اختصار به صورت اختصاری گفته می شود NOC.

چگونه می توان بررسی کرد که یک عدد بدون باقی مانده بر عدد دیگری بخش پذیر است؟

برای اینکه بفهمید آیا یک عدد بدون باقیمانده بر عدد دیگر بخش پذیر است یا خیر، می توانید از ویژگی های بخش پذیری اعداد استفاده کنید. سپس با ترکیب آنها می توانید تقسیم پذیری برخی از آنها و ترکیب آنها را بررسی کنید.

برخی از نشانه های تقسیم پذیری اعداد

1. تست بخش پذیری عدد بر 2
برای تعیین اینکه آیا یک عدد بر دو بخش پذیر است (خواه زوج باشد)، کافی است به آخرین رقم این عدد نگاه کنیم: اگر برابر با 0، 2، 4، 6 یا 8 باشد، آنگاه عدد زوج است. یعنی بر 2 بخش پذیر است.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 2 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:ما به رقم آخر نگاه می کنیم: 8 - یعنی عدد بر دو بخش پذیر است.

2. تست بخش پذیری عدد بر 3
عددی بر 3 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر سه بخش پذیر باشد. بنابراین، برای تعیین اینکه آیا یک عدد بر 3 بخش پذیر است یا خیر، باید مجموع ارقام را محاسبه کنید و بررسی کنید که آیا بر 3 بخش پذیر است یا خیر.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 3 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:مجموع اعداد را می شماریم: 3+4+9+3+8 = 27. 27 بر 3 بخش پذیر است، یعنی عدد بر سه بخش پذیر است.

3. تست بخش پذیری عدد بر 5
یک عدد زمانی بر 5 بخش پذیر است که آخرین رقم آن صفر یا پنج باشد.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 5 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:به رقم آخر نگاه کنید: 8 یعنی عدد بر پنج بخش پذیر نیست.

4. تست بخش پذیری عدد بر 9
این علامت بسیار شبیه به علامت بخش پذیری بر سه است: یک عدد زمانی بر 9 بخش پذیر است که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.
مثال:تعیین کنید که آیا عدد 34938 بر 9 بخش پذیر است یا خیر.
راه حل:مجموع اعداد را می شماریم: 3+4+9+3+8 = 27. 27 بر 9 بخش پذیر است، یعنی عدد بر 9 بخش پذیر است.

چگونه GCD و LCM دو عدد را پیدا کنیم

چگونه gcd دو عدد را پیدا کنیم

ساده ترین راه برای محاسبه بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک دو عدد این است که تمام مقسوم علیه های ممکن آن اعداد را پیدا کنید و بزرگ ترین آنها را انتخاب کنید.

بیایید این روش را با استفاده از مثال یافتن GCD (28, 36) در نظر بگیریم:

هر دو عدد را فاکتور می کنیم: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·2·3·3
ما عوامل مشترکی را پیدا می کنیم، یعنی آنهایی که هر دو عدد دارند: 1، 2 و 2.
ما حاصل ضرب این عوامل را محاسبه می کنیم: 1 2 2 = 4 - این بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 28 و 36 است.

چگونه LCM دو عدد را پیدا کنیم

دو روش متداول برای یافتن مضرب حداقل دو عدد وجود دارد. روش اول این است که می توانید مضرب های اول دو عدد را یادداشت کنید و سپس از بین آنها عددی را انتخاب کنید که برای هر دو عدد مشترک و در عین حال کوچکترین باشد. و دوم اینکه gcd این اعداد را پیدا کنید. بیایید فقط آن را در نظر بگیریم.

برای محاسبه LCM، باید حاصل ضرب اعداد اصلی را محاسبه کنید و سپس آن را بر GCD که قبلا پیدا شده بود تقسیم کنید. بیایید LCM را برای همان اعداد 28 و 36 پیدا کنیم:

حاصل ضرب اعداد 28 و 36 را بیابید: 28·36 = 1008
GCD(28, 36)، همانطور که قبلاً شناخته شده است، برابر با 4 است
LCM(28، 36) = 1008 / 4 = 252.

پیدا کردن GCD و LCM برای چندین اعداد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک را می توان برای چندین عدد یافت، نه فقط برای دو. برای انجام این کار، اعدادی که برای بزرگترین مقسوم علیه مشترک پیدا می شوند به ضرایب اول تجزیه می شوند، سپس حاصل ضرب ضرایب اول مشترک این اعداد پیدا می شود. همچنین می توانید از رابطه زیر برای یافتن gcd چندین عدد استفاده کنید: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b, c).

یک رابطه مشابه برای کمترین مضرب مشترک اعمال می شود: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b, c)

مثال: GCD و LCM را برای اعداد 12، 32 و 36 پیدا کنید.

ابتدا بیایید اعداد را فاکتورسازی کنیم: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·2·3·3.
بیایید عوامل مشترک را پیدا کنیم: 1، 2 و 2.
محصول آنها GCD می دهد: 1·2·2 = 4
حالا بیایید LCM را پیدا کنیم: برای انجام این کار، ابتدا LCM (12, 32) را پیدا می کنیم: 12·32 / 4 = 96.
برای یافتن LCM هر سه عدد، باید GCD(96, 36) را پیدا کنید: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
LCM(12، 32، 36) = 96·36 / 12 = 288.

این مقاله به موضوع یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اختصاص دارد. ابتدا توضیح می دهیم که چیست و چندین مثال می زنیم، تعاریفی از بزرگترین مقسوم علیه اعداد 2، 3 یا بیشتر را معرفی می کنیم، پس از آن به ویژگی های کلی این مفهوم می پردازیم و آنها را اثبات می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مقسوم علیه مشترک چیست؟

برای درک اینکه بزرگترین مقسوم علیه مشترک چیست، ابتدا فرمول بندی می کنیم که به طور کلی مقسوم علیه مشترک برای اعداد صحیح چیست.

در مقاله مضرب و مقسوم علیه گفتیم که یک عدد صحیح همیشه چندین مقسوم علیه دارد. در اینجا ما به مقسوم‌کننده‌های تعداد معینی از اعداد صحیح در آن واحد علاقه‌مندیم، به خصوص آنهایی که برای همه مشترک (یکسان) هستند. بیایید تعریف اولیه را بنویسیم.

تعریف 1

مقسوم علیه مشترک چند اعداد صحیح عددی است که می تواند مقسوم علیه هر عدد از مجموعه مشخص شده باشد.

مثال 1

در اینجا نمونه‌هایی از چنین مقسوم‌کننده‌ای وجود دارد: سه یک مقسوم‌گیرنده مشترک برای اعداد - 12 و 9 خواهد بود، زیرا برابری‌های 9 = 3 · 3 و - 12 = 3 · (-4) درست هستند. اعداد 3 و - 12 فاکتورهای مشترک دیگری مانند 1، - 1 و - 3 دارند. بیایید مثال دیگری بزنیم. چهار عدد صحیح 3، − 11، − 8 و 19 دو عامل مشترک خواهند داشت: 1 و - 1.

با دانستن خواص بخش پذیری، می توان گفت که هر عدد صحیحی را می توان بر یک و منهای یک تقسیم کرد، به این معنی که هر مجموعه ای از اعداد صحیح حداقل دو مقسوم علیه مشترک خواهد داشت.

همچنین توجه داشته باشید که اگر برای چندین عدد یک مقسوم علیه مشترک داشته باشیم، همان اعداد را می توان بر عدد مقابل، یعنی بر - b تقسیم کرد. در اصل، ما فقط می توانیم مقسوم علیه های مثبت بگیریم، سپس همه مقسوم علیه های معمولی نیز بزرگتر از 0 خواهند بود. این رویکرد نیز قابل استفاده است، اما اعداد منفی را نباید به طور کامل نادیده گرفت.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) چیست؟

با توجه به خصوصیات بخش پذیری، اگر b مقسوم علیه یک عدد صحیح a باشد که با 0 برابر نیست، مدول b نمی تواند بزرگتر از مدول a باشد، بنابراین، هر عددی که با 0 برابر نباشد دارای عدد متناهی است. مقسم این بدان معنی است که تعداد مقسوم علیه های مشترک چندین اعداد صحیح که حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت است نیز متناهی خواهد بود و از کل مجموعه آنها همیشه می توانیم بزرگترین عدد را انتخاب کنیم (ما قبلاً در مورد مفهوم بزرگترین صحبت کردیم. و کوچکترین عدد صحیح، به شما توصیه می کنیم این مطالب را تکرار کنید).

در بحث های بعدی فرض می کنیم که حداقل یکی از مجموعه اعدادی که برای آن باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک را پیدا کنیم با 0 متفاوت است. اگر همه آنها برابر با 0 باشند، مقسوم علیه آنها می تواند هر عدد صحیحی باشد، و از آنجایی که تعداد آنها بی نهایت است، نمی توانیم بزرگترین را انتخاب کنیم. به عبارت دیگر، یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک برای مجموعه ای از اعداد مساوی 0 غیرممکن است.

بیایید به تدوین تعریف اصلی برویم.

تعریف 2

بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندین عدد، بزرگترین عدد صحیحی است که همه آن اعداد را تقسیم می کند.

در نوشتن، بزرگترین مقسوم علیه مشترک اغلب با علامت اختصاری GCD نشان داده می شود. برای دو عدد می توان آن را به صورت gcd (a, b) نوشت.

مثال 2

نمونه ای از gcd برای دو عدد صحیح چیست؟ به عنوان مثال، برای 6 و - 15، 3 خواهد بود. بیایید این را توجیه کنیم. ابتدا تمام مقسوم علیه های شش را می نویسیم: 6 ±، 3 ±، 1 ± و سپس تمام مقسوم علیه های 15 را می نویسیم: 15 ±، 5 ±، 3 ± و 1 ±. پس از آن، موارد رایج را انتخاب می کنیم: اینها - 3، - 1، 1 و 3 هستند. از بین این موارد، باید بیشترین تعداد را انتخاب کنید. این 3 خواهد بود.

برای سه یا چند عدد، تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک تقریباً یکسان خواهد بود.

تعریف 3

بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه یا چند عدد، بزرگترین عدد صحیحی خواهد بود که همه این اعداد را همزمان تقسیم می کند.

برای اعداد a 1، a 2، ...، a n، به راحتی می توان مقسوم علیه را به عنوان GCD نشان داد (a 1، a 2، ...، a n). مقدار خود مقسوم‌کننده به صورت GCD (a 1, a 2, ..., a n) = b نوشته می‌شود.

مثال 3

در اینجا نمونه هایی از بزرگترین مقسوم علیه مشترک چند اعداد صحیح آورده شده است: 12، - 8، 52، 16. برابر با چهار خواهد بود، یعنی می توانیم بنویسیم که GCD (12, - 8, 52, 16) = 4.

می توانید صحت این عبارت را با نوشتن تمام مقسوم علیه این اعداد و سپس انتخاب بزرگترین آنها بررسی کنید.

در عمل اغلب مواردی وجود دارد که بزرگترین مقسوم علیه مشترک با یکی از اعداد برابر است. این زمانی اتفاق می‌افتد که تمام اعداد دیگر را بتوان بر یک عدد معین تقسیم کرد (در پاراگراف اول مقاله شاهدی بر این بیانیه ارائه کردیم).

مثال 4

بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 60، 15 و - 45، 15 است، زیرا پانزده نه تنها بر 60 و - 45، بلکه بر خودش نیز بخش پذیر است و برای همه این اعداد مقسوم علیه بزرگتر وجود ندارد.

یک مورد خاص از اعداد همزمان اول تشکیل شده است. آنها اعداد صحیح با بزرگترین مقسوم علیه مشترک 1 هستند.

ویژگی های اساسی GCD و الگوریتم اقلیدسی

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دارای برخی ویژگی های مشخصه است. بیایید آنها را در قالب قضایا تنظیم کنیم و هر یک را ثابت کنیم.

توجه داشته باشید که این ویژگی ها برای اعداد صحیح بزرگتر از صفر فرموله شده اند و ما فقط مقسوم علیه های مثبت را در نظر خواهیم گرفت.

تعریف 4

اعداد a و b دارای بزرگترین مقسوم علیه gcd برای b و a هستند، یعنی gcd (a, b) = gcd (b, a). معکوس کردن اعداد بر نتیجه نهایی تأثیر نمی گذارد.

این ویژگی از همان تعریف GCD ناشی می شود و نیازی به اثبات ندارد.

تعریف 5

اگر بتوان عدد a را بر عدد b تقسیم کرد، مجموعه مقسوم علیه های مشترک این دو عدد مشابه مجموعه مقسوم علیه های عدد b یعنی gcd (a, b) = b خواهد بود.

بیایید این گفته را ثابت کنیم.

شواهد 1

اگر اعداد a و b دارای مقسوم‌گیرنده‌های مشترک باشند، می‌توان هر یک از آنها را بر آنها تقسیم کرد. در عین حال، اگر a مضرب b باشد، هر مقسوم علیه b نیز مقسوم علیه a خواهد بود، زیرا بخش پذیری خاصیتی به عنوان گذر دارد. این بدان معنی است که هر مقسوم علیه b مشترک با اعداد a و b خواهد بود. این ثابت می کند که اگر بتوانیم a را بر b تقسیم کنیم، مجموعه همه مقسوم علیه های هر دو عدد با مجموعه مقسوم علیه های یک عدد b منطبق خواهد شد. و چون بزرگترین مقسوم علیه هر عددی خود این عدد است، پس بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد a و b نیز برابر با b خواهد بود. GCD (a، b) = b. اگر a = b، آنگاه gcd (a، b) = gcd (a، a) = gcd (b، b) = a = b، برای مثال، gcd (132، 132) = 132.

با استفاده از این ویژگی، اگر بتوان یکی از آنها را بر دیگری تقسیم کرد، می توانیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را پیدا کنیم. این مقسوم علیه یکی از این دو عدد است که می توان عدد دوم را بر آن تقسیم کرد. به عنوان مثال، GCD (8، 24) = 8، زیرا 24 مضرب هشت است.

تعریف 6 اثبات 2

بیایید برای اثبات این خاصیت تلاش کنیم. ما در ابتدا تساوی a = b q + c را داریم و هر مقسوم علیه مشترک a و b نیز c را تقسیم می کند که با خاصیت تقسیم پذیری مربوطه توضیح داده می شود. بنابراین، هر مقسوم علیه مشترک b و c، a را تقسیم می کند. این بدان معنی است که مجموعه مقسوم علیه های مشترک a و b با مجموعه مقسوم علیه های b و c منطبق خواهد شد که بزرگترین آنها را شامل می شود، به این معنی که برابری gcd (a, b) = gcd (b, c) صادق است.

تعریف 7

ویژگی زیر الگوریتم اقلیدسی نام دارد. با کمک آن می توانید بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را محاسبه کنید و همچنین ویژگی های دیگر GCD را اثبات کنید.

قبل از فرمول بندی ویژگی، به شما توصیه می کنیم قضیه ای را که در مقاله تقسیم با باقی مانده ثابت کردیم، تکرار کنید. بر اساس آن، عدد بخش پذیر a را می توان به صورت b · q + r نشان داد، که در اینجا b یک مقسوم علیه است، q مقداری صحیح است (همچنین ضریب ناقص نامیده می شود)، و r باقیمانده ای است که شرط 0 ≤ r ≤ را برآورده می کند. ب

فرض کنید دو عدد صحیح بزرگتر از 0 داریم که برابری های زیر برای آنها صادق است:

a = b q 1 + r 1، 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

این برابری ها زمانی پایان می یابد که rk + 1 برابر 0 شود. این قطعا اتفاق خواهد افتاد، زیرا دنباله b > r 1 > r 2 > r 3، ... یک سری اعداد صحیح کاهشی است که فقط می تواند تعداد محدودی از آنها را شامل شود. این بدان معنی است که r k بزرگترین مقسوم علیه a و b است، یعنی r k = gcd (a, b).

اول از همه، باید ثابت کنیم که r k مقسوم علیه مشترک اعداد a و b است و بعد از آن، r k فقط یک مقسوم علیه نیست، بلکه بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد است.

بیایید به لیست برابری های بالا، از پایین به بالا نگاه کنیم. طبق آخرین برابری،
r k − 1 را می توان بر r k تقسیم کرد. بر اساس این واقعیت، و همچنین ویژگی ثابت شده قبلی بزرگترین مقسوم علیه مشترک، می توان استدلال کرد که rk − 2 را می توان بر r k تقسیم کرد، زیرا
r k − 1 بر r k و r k بر r k تقسیم می شود.

تساوی سوم از زیر به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که rk − 3 را می توان بر r k و غیره تقسیم کرد. دومی از پایین این است که b بر r k بخش پذیر است و اولین مورد این است که a بر r k بخش پذیر است. از همه اینها نتیجه می گیریم که r k مقسوم علیه مشترک a و b است.

حالا بیایید ثابت کنیم r k = GCD (a , b). چه کاری باید انجام دهم؟ نشان دهید که هر مقسوم علیه مشترک a و b، r k را تقسیم می کند. بیایید آن را r 0 نشان دهیم.

بیایید به همان فهرست برابری ها نگاه کنیم، اما از بالا به پایین. بر اساس ویژگی قبلی، می توان نتیجه گرفت که r 1 بر r 0 بخش پذیر است، به این معنی که با توجه به تساوی دوم، r 2 بر r 0 تقسیم می شود. همه تساوی ها را پایین می آوریم و از آخرین آن نتیجه می گیریم که r k بر r 0 بخش پذیر است. بنابراین، r k = gcd (a، b).

با در نظر گرفتن این ویژگی، نتیجه می گیریم که مجموعه مقسوم علیه های مشترک a و b مشابه مجموعه مقسوم علیه های GCD این اعداد است. این عبارت که نتیجه الگوریتم اقلیدسی است، به ما امکان می دهد تمام مقسوم علیه های مشترک دو عدد داده شده را محاسبه کنیم.

بریم سراغ سایر خواص.

تعریف 8

اگر a و b اعداد صحیح با 0 نیستند، پس باید دو عدد صحیح دیگر u 0 و v 0 وجود داشته باشد که برابری GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0 برای آنها معتبر خواهد بود.

تساوی داده شده در بیانیه ویژگی یک نمایش خطی از بزرگترین مقسوم علیه مشترک a و b است. به آن رابطه Bezout می گویند و به اعداد u 0 و v 0 ضرایب Bezout می گویند.

شواهد 3

بیایید این خاصیت را ثابت کنیم. بیایید دنباله برابری ها را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی بنویسیم:

تساوی اول به ما می گوید که r 1 = a − b · q 1 . اجازه دهید 1 = s 1 و − q 1 = t 1 را نشان دهیم و این تساوی را به شکل r 1 = s 1 · a + t 1 · b بازنویسی کنیم. در اینجا اعداد s 1 و t 1 اعداد صحیح خواهند بود. تساوی دوم به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) ب . اجازه دهید − s 1 · q 2 = s 2 و 1 − t 1 · q 2 = t 2 را نشان دهیم و تساوی را به صورت r 2 = s 2 · a + t 2 · b بازنویسی کنیم ، جایی که s 2 و t 2 نیز خواهند بود. اعداد صحیح این به این دلیل است که مجموع اعداد صحیح، حاصلضرب و تفاوت آنها نیز اعداد صحیح هستند. دقیقاً به همین ترتیب از برابری سوم r 3 = s 3 · a + t 3 · b ، از برابری بعدی r 4 = s 4 · a + t 4 · b و غیره بدست می آوریم. در پایان نتیجه می گیریم که r k = s k · a + t k · b برای اعداد صحیح s k و t k . از آنجایی که r k = GCD (a, b) s k = u 0 و t k = v 0 را نشان می دهیم. در نتیجه، می توانیم یک نمایش خطی از GCD به شکل مورد نیاز بدست آوریم: GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0.

تعریف 9

GCD (m a, m b) = m GCD (a, b) برای هر مقدار طبیعی m.

اثبات 4

این ویژگی را می توان به شرح زیر توجیه کرد. بیایید هر دو طرف هر برابری در الگوریتم اقلیدسی را در عدد m ضرب کنیم و دریافت کنیم که GCD (m · a, m · b) = m · r k و r k GCD (a, b) است. این یعنی GCD (m a, m b) = m GCD (a, b). این ویژگی بزرگترین مقسوم علیه مشترک است که هنگام یافتن GCD با استفاده از روش فاکتورسازی استفاده می شود.

تعریف 10

اگر اعداد a و b دارای p مقسوم علیه مشترک باشند، آنگاه gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. در صورتی که p = GCD (a, b) GCD (a: GCD (a, b)، b: GCD (a, b) = 1 را بدست آوریم، بنابراین اعداد a: GCD (a, b) و b : GCD (a, b) نسبتاً اول هستند.

از آنجایی که a = p (a: p) و b = p (b: p)، پس بر اساس ویژگی قبلی، می توانیم برابری هایی به شکل gcd (a, b) = gcd (p (a: p) ایجاد کنیم. p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , که در میان آنها اثباتی برای این ویژگی وجود خواهد داشت. زمانی که کسرهای معمولی را به شکل غیرقابل تقلیل کاهش می دهیم از این عبارت استفاده می کنیم.

تعریف 11

بزرگترین مقسوم علیه مشترک 1، a 2، ...، a k عدد d k خواهد بود که می توان آن را با محاسبه متوالی GCD (a 1, a 2) = d 2، GCD (d 2, a 3) = d 3 یافت. , GCD (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .

این ویژگی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه یا چند عدد مفید است. با استفاده از آن می توانید این عمل را به عملیات با دو عدد کاهش دهید. اساس آن نتیجه ای از الگوریتم اقلیدسی است: اگر مجموعه مقسوم علیه های مشترک a 1، a 2 و a 3 با مجموعه d 2 و a 3 منطبق باشد، آنگاه با مقسوم علیه های d 3 نیز منطبق خواهد شد. مقسوم علیه های اعداد a 1، a 2، a 3 و a 4 با مقسوم علیه های d 3 منطبق خواهند شد، یعنی با مقسوم علیه های d 4 و غیره نیز منطبق خواهند بود. در پایان می‌گیریم که مقسوم‌گیرنده‌های مشترک اعداد a 1، a 2، ...، a k با مقسوم‌گیرنده‌های d k منطبق می‌شوند و از آنجایی که بزرگترین مقسوم علیه عدد d k خود این عدد خواهد بود، پس GCD (a 1، a 2، ...، a k) = d k.

این تمام چیزی است که می خواهیم در مورد ویژگی های بزرگترین مقسوم علیه مشترک به شما بگوییم.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

بسیاری از مقسم

بیایید مشکل زیر را در نظر بگیریم: مقسوم علیه عدد 140 را پیدا کنید. بدیهی است که عدد 140 یک مقسوم علیه ندارد، بلکه چندین مقسوم علیه دارد. در چنین مواردی گفته می شود که مشکل وجود دارد یک دسته ازتصمیمات بیایید همه آنها را پیدا کنیم. اول از همه، بیایید این عدد را به عوامل ساده تبدیل کنیم:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

حالا به راحتی می توانیم تمام مقسوم علیه ها را بنویسیم. بیایید با عوامل اول شروع کنیم، یعنی عواملی که در بسط داده شده در بالا وجود دارند:

سپس آنهایی را که از ضرب جفتی مقسوم علیه های اول به دست می آیند را یادداشت می کنیم:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

سپس - آنهایی که شامل سه مقسوم علیه اول هستند:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

در نهایت، بیایید واحد و خود عدد تجزیه شده را فراموش نکنیم:

همه مقسوم‌کننده‌هایی که پیدا کردیم شکل می‌گیرند یک دسته ازمقسوم‌کننده‌های عدد 140 که با استفاده از پرانتز نوشته می‌شود:

مجموعه مقسوم علیه های عدد 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

برای سهولت درک، مقسوم‌کننده‌ها را در اینجا یادداشت کرده‌ایم ( عناصر مجموعه) به ترتیب صعودی، اما، به طور کلی، این ضروری نیست. علاوه بر این، ما یک علامت اختصاری را معرفی می کنیم. به جای «مجموعه مقسوم‌کننده‌های عدد 140» می‌نویسیم «D(140)». بدین ترتیب،

به همین ترتیب، می توانید مجموعه مقسوم علیه هر عدد طبیعی دیگری را پیدا کنید. به عنوان مثال، از تجزیه

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

ما گرفتیم:

D(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105).

از مجموعه همه مقسوم علیه ها باید مجموعه مقسوم علیه های ساده را تشخیص داد که برای اعداد 140 و 105 به ترتیب برابر هستند:

PD(140) = (2، 5، 7).

PD(105) = (3، 5، 7).

به ویژه باید تأکید کرد که در تجزیه عدد 140 به عوامل اول، این دو دو بار ظاهر می شوند، در حالی که در مجموعه PD(140) تنها یک وجود دارد. مجموعه PD(140) در اصل، تمام پاسخ های مسئله است: "ضریب اول عدد 140 را بیابید." واضح است که همان پاسخ را نباید بیش از یک بار تکرار کرد.

کاهش کسری. بزرگترین مقسوم علیه مشترک

کسری را در نظر بگیرید

می دانیم که این کسر را می توان با عددی کاهش داد که هم مقسوم کننده صورت (105) و هم مقسوم علیه مخرج (140) باشد. بیایید نگاهی به مجموعه های D(105) و D(140) بیندازیم و عناصر مشترک آنها را یادداشت کنیم.

D(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105)؛

D(140) = (1، 2، 4، 5، 7، 10، 14، 20، 28، 35، 70، 140).

عناصر مشترک مجموعه های D(105) و D(140) =

آخرین برابری را می توان به طور خلاصه تر نوشت، یعنی:

D(105) ∩ D(140) = (1، 5، 7، 35).

در اینجا نماد ویژه "∩" ("کیف با سوراخ پایین") نشان می دهد که از بین دو مجموعه ای که در طرف مقابل آن نوشته شده است، فقط عناصر مشترک باید انتخاب شوند. مدخل "D(105) ∩ D(140)" می‌خواند: تقاطعمجموعه De از 105 و De از 140.

[در طول مسیر توجه داشته باشید که می توانید عملیات باینری مختلف را با مجموعه ها انجام دهید، تقریباً مانند اعداد. یکی دیگر از عملیات دودویی رایج این است اتحاد. اتصال، که با نماد "∪" ("کیف با سوراخ رو به بالا") نشان داده می شود. اتحاد دو مجموعه شامل تمام عناصر هر دو مجموعه است:

PD(105) = (3، 5، 7);

PD(140) = (2، 5، 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2، 3، 5، 7). ]

بنابراین، ما متوجه شدیم که کسری

را می توان با هر یک از اعداد متعلق به مجموعه کاهش داد

D(105) ∩ D(140) = (1، 5، 7، 35)

و با هیچ عدد طبیعی دیگری قابل کاهش نیست. در اینجا همه میانبرهای ممکن وجود دارد (به جز کوتاه کردن جالب یک مورد):

بدیهی است که کمتر کردن کسر به عددی که تا حد امکان بزرگتر باشد بسیار کاربردی است. در این مورد، این عدد 35 است که گفته می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 140. این به صورت نوشته می شود

GCD(105، 140) = 35.

با این حال، در عمل، اگر دو عدد به ما داده شود و باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا کنیم، اصلاً نباید هیچ مجموعه ای بسازیم. کافی است به سادگی هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه کنیم و عواملی از این عوامل را که در هر دو تجزیه مشترک هستند برجسته کنیم، برای مثال:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

با ضرب اعداد زیر خط کشیده شده (در هر یک از بسط ها)، به دست می آید:

gcd(105، 140) = 5 ∙ 7 = 35.

البته این امکان وجود دارد که بیش از دو عامل مورد تاکید وجود داشته باشد:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

از اینجا معلوم است که

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

زمانی که هیچ عامل مشترکی وجود نداشته باشد و چیزی برای تأکید وجود نداشته باشد، شایسته ذکر ویژه است، به عنوان مثال:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

در این مورد،

GCD(42، 55) = 1.

دو عدد طبیعی که GCD برابر یک است نامیده می شوند دوطرفه نخست. مثلاً اگر از این اعداد کسری بسازید،

پس چنین کسری است غیر قابل کاهش.

به طور کلی، قانون کاهش کسر را می توان به صورت زیر نوشت:

		آ/ gcd( آ, ب)
		ب/ gcd( آ, ب)

در اینجا فرض بر این است که آو باعداد طبیعی هستند و کل کسر مثبت است. اگر اکنون یک علامت منفی به دو طرف این تساوی اضافه کنیم، قانون مربوطه را برای کسرهای منفی به دست می آوریم.

جمع و تفریق کسرها. کمترین مضرب مشترک

فرض کنید باید مجموع دو کسر را محاسبه کنید:

ما قبلاً می دانیم که چگونه مخرج ها در عوامل اول فاکتور می شوند:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

از این تجزیه بلافاصله نتیجه می شود که برای آوردن کسرها به یک مخرج مشترک کافی است که صورت و مخرج کسر اول را در 2 ∙ 2 ضرب کنیم ( حاصل ضرب ضرایب اول بدون تاکید مخرج دوم) و صورت و مخرج کسر دوم بر 3 («محصول» ضرایب اول بدون تنش مخرج اول). در نتیجه، مخرج هر دو کسر برابر با عدد می شود که می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

به راحتی می توان فهمید که هر دو مخرج اصلی (هم 105 و هم 140) مقسوم علیه عدد 420 هستند و عدد 420 به نوبه خود مضربی از هر دو مخرج است - و نه فقط مضربی، بلکه حداقل مضرب مشترک (NOC) اعداد 105 و 140 به این صورت نوشته شده است:

LCM(105، 140) = 420.

با نگاهی دقیق تر به تجزیه اعداد 105 و 140 می بینیم که

105 ∙ 140 = GCD (105، 140) ∙ GCD (105، 140).

به طور مشابه، برای اعداد طبیعی دلخواه بو د:

ب ∙ د= LOC( ب, د) ∙ GCD( ب, د).

حالا بیایید جمع کسرهایمان را کامل کنیم:


3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7


2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

توجه داشته باشید.برای حل برخی از مسائل باید بدانید که مربع یک عدد چقدر است. مربع عدد آشماره تماس گرفت آضرب در خودش یعنی آ∙آ. (همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، برابر است با مساحت یک مربع با ضلع آ).

تایپ کنید