Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми

Согласно плану местности домики Винни-Пуха, Пятачка, Совы и Кролика находятся в вершинах квадрата со стороной L = 500 м (см. рисунок). К каждому домику ведут прямые тропинки. На тропинке между домиком Пятачка и домиком Совы находится прудик, где, как правило, грустит ослик Иа.

В 10 часов утра Вини-Пух отправился к Пятачку. Вини-Пух двигался равномерно со скоростью v 1 =4км/ч. В это же время шустрый Кролик направился к домику Совы и тоже двигался равномерно со скоростью v 2 =8км/ч. Когда Вини-Пух встретил Пятачка, они вместе продолжили равномерно двигаться со скоростью v 3 =3км/ч. по тропинке к прудику. Аналогично поступили и встретившиеся Кролик и Сова. Почтенная Сова могла передвигаться несколько медленнее, чем Кролик, поэтому скорость их равномерного движения была v 4 =2км/ч. Все четверо друзей прибыли к Иа одновременно. На каком расстоянии от домика Совы находится «прудик грусти» ослика Иа? Ответ выразите в метрах.

Решение . Обозначим искомую величину через x . Время, затраченное

1. Вини-Пухом на путь до домика Пятачка: t 1 =L/v 1
2. Вини-Пухом и Пятачком до «прудика грусти»: t 3 =(L-x)/v 3
3. Кроликом до домика Совы: t 2 =L/v 2
4. Кроликом и Совой до встречи с Иа: t4=x/v 4

Из условия следует, что t 1 +t 3 =t 2 +t 4 или L/v 1 +(L-x)/v 3 = L/v 2 + x/v 4

Учитывая, что L = 500 м = 0,5 км, получаем следующее уравнение:

0,5/4+(0,5-x)/3 = 0,5/8+x/2

Решая полученное уравнение, находим искомую величину: x = 0,275 км=275 м.

Ответ : 275 м.

Задание №2

На кухне в квартире дяди Федора целый год капала вода. Утром перед школой сонный дядя Федор сидел за завтраком. За этот год дяде Федору уже не надо было посматривать на часы – он знал, что каша появлялась на его столе за T =10 минут до того, как надо было покинуть квартиру, а это равнялось N = 40 ударам капель о раковину. В момент выхода из дома он поставил под капающий кран не грязную тарелку, а мерный стакан, и ушел в школу. Вернувшись домой через t = 5 часов, дядя Федор тут же вынул мерный стакан из-под крана, в котором было 6 мл воды, и оставил его до прихода папы в надежде, что это будет поводом для починки крана. Папа был впечатлён такой наблюдательностью сына и, в общем-то, даже был не прочь начать ремонтные работы, но для полной убедительности попросил дядю Федора подсчитать объем одной капли воды в кубических миллиметрах. Помогите дяде Федору справиться с заданием папы, иначе у них так и будет капать вода!

Решение

Частота ударов капель о раковину равна n=N/T=40/10=4 капли в минуту. Объем воды, набираемый за 1 минуту, равен V 1 =n·ν, где ν – объем одной капли воды. За 5 часов объем воды в мерном стакане будет равен V= V 1 ·5·60=n· ν ·5·60. Так как 1мл=1см 3 =1000мм 3 , то V=6мл=6000мм 3 . Отсюда получаем, что объем одной капли равен

ν=V/(n·5·60)=V·T/N·5·60=6000·10/40·5·60=5 мм 3

Ответ : 5 мм 3

Тема лекции Знайки называлась «Измерения». Незнайке было скучно: «Что я, линейку не видел?!». Он сидел, рассматривая проплывающие по небу облака, как вдруг услышал: «Задание, друзья!» – сказал Знайка, – «Теперь определите в системных единицах площадь поверхности выданных вам тел.» Незнайке досталось тело замысловатой формы. Он прикладывал то так, то сяк какие-то на его взгляд неправильные линейки, выданные Знайкой. Но главное – что такое «системные единицы», Незнайка не знал. Используя его измерения, помогите Незнайке справиться с заданием Знайки.

Решение

«Системные единицы» в системе СИ – это, очевидно метры. Согласно рисунку, имеем:

1. для боковых граней S 1 =0,04·0,03=0,0012 м 2 ;
2. для верхней (или нижней) грани S 2 =0,04·0,02+0,025·0,025+ 0,04·0,015=0,002025 м 2 ;
3. для задней (или торцевой) грани S 3 = 0,03·0,06=0,0018 м 2 ;
4. для боковых граней углубления S 4 = 0,015·0,03=0,00045 м 2 .

Суммарная площадь поверхности: S= 2·S 1 +2·S 2 +2·S 3 +2·S 4 = 0,01095 м 2

Ответ : S=0,01095 м 2

Задание №4

Озадаченный Змей Горыныч прилетел к Бабе Яге: «Доставай-ка, старая, свои приборы колдовские и скажи, что за железку я добыл, которую, как мне сказали, ценить скоро будут под стать золоту?» Достала Баба Яга приборы нужные, попыхтела, побегала – тяжелая железка, Бабе Яге самой не поднять. Попросила она Змея Горыныча положить железку на чашу весов, а на другую чашу стала устанавливать мешки с алмазами. Потом приказала Змею снять железку с чаши и медленно опустить ее в заветный сосуд, доверху наполненный студеной водой, и стала считать, сколько амфор мерных выльется из носика сосуда. В конце Баба Яга подумала и сказала: «Тяжела железка-то твоя – как 10 мешков по 80 камней алмазных по 1000 карат каждый; и водички-то вылилось аж 2 амфоры с четвертью…». Какова плотность металла, добытого Змеем Горынычем? Ответ представить в системных единицах, округлив до целого числа.

Для справки : 1 карат = 0,2 г, 1 амфора = 26,3 литра.

Решение

Согласно измерениям Бабы Яги, масса металла равна M =10*80*1000*0,2= 160 кг.

Объем металла равен V = 2,25*26,3 = 59,175 литра = 0,059175 м 3 . Следовательно, плотность металла равна ρ = M/V=160/0,059175= 2703,845 кг/м 3 . Округляя до целого числа, получаем ρ = 2704 кг/м 3 . Змея Горыныча не обманули – такую плотность имеет алюминий, приносящий кому-то в настоящее время весьма ощутимую прибыль.

Ответ : 2704 кг/м 3

Гидра - это маленькое беспозвоночное животное из рода сидячих кишечнополостных. Она стоит у самого низа эволюционного ряда многоклеточных животных. Ее размер составляет всего от 1 до 20 мм. Первыми обнаружили ее и изучили известные натуралисты Антони Ван Левенгук и А. Трамбле в 17 веке.

Еще в древней Греции упоминали о таинственном, многоголовом существе, вышедшем из болота и именуемым, как гидра.

Миф о Геракле - «Стоял Геракл непоколебимо как скала, и взмахами огромной палицы сбивал головы гидры одну за другой. Только свист стоял в воздухе от ударов палицы, и слетали головы её. Но гидра была все жива, а на месте каждой сбитой головы вырастали две новые……»

(Второй подвиг Геракла (Геркулеса) - Лернейская гидра)

Какая же на самом деле - Гидра в природе?

Своим обликом она напоминает перчатку, пальцами вверх, этих щупалец у нее от 6 до 12. Под щупальцами находится небольшое сужение, выделяющее "голову". В головной части гидры имеется ротовое отверстие. Стенки «мешковидного» тела гидры, как и у всех кишечнополостных, состоят из двух слоев. Наружный слой состоит из кожно-мускульных клеток, с помощью которых она двигается;

Гидра предпочитает жить в озерах или прудах. Она прикрепляется к водным растениям или грунту.

Гидра питается разными мелкими животными, в основном рачками, такими как дафнии.

Прикрепившись подошвой, она расправляет щупальца, которые постоянно двигаются, При контакте с жертвой, стрекательная нить распрямляется и вонзается острым концом в добычу. По каналу, идущему внутри нити, из стрекательной капсулы в тело добычи попадает яд, вызывающий ее гибель.

Наличие у Гидры нервной системы, позволяет ей реагировать на химические, механические, температурные раздражители, но все же это довольно примитивное животное.

А где же тут еще головы? , спросите Вы.

Действительно голов у нее больше нет, и вообще можно ли считать головой, то, что она имеет.

Но, есть у гидры одна удивительная особенность - это способность к регенерации. Её способности к регенерации настолько высоки, что если ее тельце разрезать поперек много раз, то все кусочки восстановятся в новые тела с головой и ногой.

Трамбле чтобы лучше ознакомиться с гидрой, проводя свои опыты, разрезал её поперек, на две части. Из первой части, "головной", выросло новое тело, на другой части - новая "голова". За две недели из двух отделенных частей развилось два нормально развитых, живых организма.

В дальнейшем ученый измельчал гидру на все большее количество частей, но она каждый раз восстанавливалась, казалось предела этому не было. Современные ученые утверждают, что гидра может восстановится из более 200 частичек одного тела.

А вот теперь сами подсчитайте, сколько же голов у гидры и сколько жизней?

Со времени открытия гидры прошло более 200 лет, о гидре написаны сотни трудов, но и сейчас уникальные способности такого простого организма, возбуждают интерес, как простых людей, так и исследователей.

Современной науке известно, что животные не реагируют на радиоактивные лучи, они просто погибают. Опыты с зеленой гидрой - Chlorohydra viridissima выявили, что она каким-то образом ощущает присутствие этих невидимых лучей и стремится уйти из зоны их поражения.

О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.

Взаимное расположение двух прямых

Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) или пересекаться в единственной точке: .

Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .

Как определить взаимное расположение двух прямых?

Начнём с первого случая:

Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.

Действительно, если все коэффициенты уравнения умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .

Второй случай, когда прямые параллельны:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но .

В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :

Однако совершенно очевидно, что .

И третий случай, когда прямые пересекаются:

Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны , то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Так, для прямых составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.

Вывод: прямые пересекаются

В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:

Пример 1

Выяснить взаимное расположение прямых:

Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:

а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .

, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.

На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:

Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)

б) Найдем направляющие векторы прямых :

Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.

Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .

Выясним, справедливо ли равенство :

Таким образом,

в) Найдем направляющие векторы прямых :

Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.

Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: .

Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:

Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).

Таким образом, прямые совпадают.

Ответ :

Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:

Как построить прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Пример 2

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Ответ :

Геометрия примера выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Пример 3

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

Как найти точку пересечения двух прямых?

Если прямые пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений

Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.

Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.

Пример 4

Найти точку пересечения прямых

Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.

Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:

Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными.

Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.

Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:

Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?

Ответ :

Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример 5

Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.

Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.

Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.

Полное решение и ответ в конце урока:

Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми

Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:

Как построить прямую, перпендикулярную данной?

Пример 6

Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .

Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:

Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .

Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ :

Развернём геометрический этюд:

М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.

Аналитическая проверка решения:

1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .

Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .

Проверку, опять же, легко выполнить устно.

Пример 7

Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение и точка .

Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.

Наше увлекательное путешествие продолжается:

Расстояние от точки до прямой

Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.

Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».

Расстояние от точки до прямой выражается формулой

Пример 8

Найти расстояние от точки до прямой

Решение : всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:

Ответ :

Выполним чертёж:

Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.

Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:


В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .