Умножение многочленов 7. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов. Примеры умножения многочлена на многочлен

Для умножения многочлена на многочлен существует очень легкое правило. Чтобы умножить два многочлена между собой, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена. После это полученные произведения сложить и привести подобные.

На рисунке представлена общая схема перемножения.

Решим пример представленный на рисунке.
(4*x + 8*x*y) * (2*x + 3*y - 4) =
4*x*2*x + 4*x*3*y + 4*x*(-4) + 8*x*y*2*x + 8*x*y*3*y + 8*x*y*(-4) =
8*x^2 + 12*x*y - 16*x + 16*x^2*y + 24*x*y^2 - 32*x*y

Теперь приводим подобные слагаемые и получаем многочлен в стандартном виде.
8*x^2-20* x*y - 16*x + 16*x^2*y + 24*x*y^2
Если необходимо перемножить многочлены, у которых только одна переменная то можно умножение производить с помощью таблицы.

Рассмотрим пример:
Требуется перемножить два полинома x^5 +x^3 - 2*x^2 +3 и 2*x^4 - 3*x^3 + 4*x^2 - 1.
Для начала выпишем их коэффициенты. При чем в порядке убывания степеней неизвестных переменных, то есть от большей степени к меньшей. Если переменной в какой-то степени нет, то коэффициент взять равным нулю.

Таким образом, для полинома x^5 +x^3 - 2*x^2 +3 коэффициенты следующие 1; 0; 1; -2; 0; 3
Для полинома 2*x^4 - 3*x^3 + 4*x^2 - 1 коэффициенты 2; -3; 4; 0; -1.

Теперь записываем одни коэффициенты горизонтально, а другие вертикально. Теперь каждый из элемент из вертикального столбца умножаем на каждый элемент из горизонтального. И при каждом новом элементе сдвигаем на одну позицию вправо. Далее полученные ряды суммируем по столбцам. Как при умножении чисел в столбик, но только результат полученный после сложения не переносятся в следующий разряд.
Посмотрите на рисунке какая таблица должна получится.

Теперь остается записать ответ.
2*x^9 - 3*x^8 + 6*x^7 - 7*x^6 + 9*x^5 - 2*x^4 - 10*x^3 + 14*x^2 -3.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Урок по теме "Умножение многочлена на многочлен"

7 класс

Предмет: Алгебра

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Используемые учебники и учебные пособия:

Учебник «Алгебра 7». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение».2011г.

Используемое оборудование:

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, школьная доска

Цель урока: Вывести алгоритм умножения многочлена на многочлен.

Задачи: Деятельностная: формировать способность к построению правила умножения многочлена на многочлен.

Образовательные: - научить умножать многочлен на многочлен;
- повторить умножение степеней, умножение одночленов, умножение одночлена на многочлен.

Воспитательная: - развивать коммуникативные способности учащихся при работе в группе.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель
– Добрый день ребята, у нас сегодня необычный урок, посмотрите, пожалуйста, друг на друга, улыбнитесь, посмотрите на меня, улыбнулись, пожелаем успеха друг другу, и начнём работать.
Сегодня на уроке вы будете работать в группах. Для совместной работы нужна взаимовыручка, взаимоподдержка, умение слушать друг друга, умение принять точку зрения другого. Надеюсь, ваша совместная работа, сегодня на уроке, будет именно такой.

II. Открытие новых знаний. (презентация)

На слайде записаны следующие выражения:

1)Х(2х+у) ,2) (х+у)(х-у), 3) 8( y +6); 4) (2х+5у)-(3х-2у)

5) (4а-5в)+(3в -8а), 6)(2х +1)(х – 3); 7)(2у+3)(4-х).

Учитель: Посмотрите на выражения, записанные на слайде.

Назовите номера примеров на умножение одночлена на многочлен, как умножить одночлен на многочлен? ( Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и результаты сложить.)

Назовите номера примеров на сложение и вычитание многочленов

Какие задания вы не сможете выполнить? (Умножить многочлен на многочлен.)

ИТАК, какую учебную задачу поставим на урок? (Научиться умножать многочлен на многочлен.)

А что значит научиться? (Вывести правило или алгоритм умножения многочлена на многочлен).

Т.е. мы должны разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен.

(Записываем тему урока «Умножение многочлена на многочлен).

Какую учебную задачу мы поставим на урок? (Разработать алгоритм умножения многочлена на многочлен. )

- Попробуем решить задачу: Найти площадь поверхности стены, занятой шкафом, размеры которого указаны на рисунке.

a b

Итак, как вы нашли площадь поверхности стены, занятый шкафом?

Площадь шкафа можно найти двумя способами:

1)найти площадь каждой полки и результаты сложить;

2)найти длину и ширину шкафа и результаты сложить

Итак, вы получили такую формулу: (а+ b ) (c + d ) = ac + ad + bc + bd

Именно так великий греческий математик Евклид доказывал справедливость этого равенства с помощью чертежа, изображенного на рисунке 68 вашего учебника.

Какие знания нам понадобятся для этого? (Распределительный закон умножения, правило умножения одночлена на многочлен. )

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Учитель разбирает один из примеров.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

А теперь вернемся к тем примерам, которые вызвали у вас затруднения

Пример1. (х+у)(х-у)=х =

Пример2. (2х +1)(х – 3)=

Пример 3. (2у+3)(4-х)=8у-2 xy +12-3 x

Кто пойдет к доске? Кто готов выбрать одно из предложенных выражений и попробовать умножить многочлен на многочлен?

Остальные могут выбрать другое выражение и разобрать его самостоятельно.

Какой первый шаг нашего алгоритма?(умножение каждого члена одного многочлена,на каждый член другого.)

Какой второй шаг нашего алгоритма?

И наконец?

Попробуем дать полный алгоритм умножения многочленов:

1 шаг: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена;

2 шаг: найти произведения полученных одночленов;

3 шаг: привести подобные слагаемые;

4 шаг: полученный многочлен записать в стандартном виде.

Мы справились с учебной задачей? (Справились) Откроем учебники на стр.136 и прочитаем правило умножения многочлена на многочлен. (расскажите это правило друг другу) (ТАЙМД ПЭА ШЭА)(30 сек)

Несколько учеников проговаривают правило.

Что же еще нам осталось сделать? (Потренироваться. )

III. Закрепление

1.Выполнение задания у доски и в тетрадях
№ 677 (с комментариями у доски по одному учащемуся)

№ 678 (3 человека у доски одновременно решают по два номера, без комментариев. С последующей классной проверкой)

Этап IV . Применение в жизни.

Ребята на ГИА встречаются задачи такого типа:

Сторона участка квадратной формы на 3 м меньше участка прямоугольной формы и на 2 м больше другой. Найти сторону участка квадратной формы, если ее площадь на 14 кв. метров меньше площади прямоугольного участка.

x +3 x

x -2

НариНарисуем эти участки в виде прямоугольника и квадрата, пусть сторона квадратного листа участка x м, тогда его площадь х 2 м 2 . Стороны прямоугольного участка (х - 2) м и (х + 3) м, площа площадь (х - 2) (х + 3) м 2 . Составим и решим уравнение: (х - 2) (х + 3) - х 2 =14

Стор x =20

Ответ: 20м

Найдите площадь участка квадратной формы и ответ запишите в арах.

S =20м x 20м=400

Этап V. Проверка усвоенных знаний.

Самостоятельна работа (в парах)

1. Закончите запись:

А) (а+4)(в-8)=ав-8а…

Б) (х-4) (у+8)=

2. Узнайте, какие три планеты были открыты за последние 200 лет. Для этого, выполните умножение многочлена на многочлен и, используя найденные ответы и данные таблицы:

4 задания –“4”,

3 задания – “3”,

в остальных случаях – “2”

Этап V. Подведение итога урока.

Проверяется правильность выполнения заданий по готовому решению по презентации, разбираются ошибки.

Этап VI . Рефлексия деятельности .
– Что нового вы узнали на уроке? (Как умножать многочлены).
– Достигнута цель нашего урока?
- Наш урок подходит к концу. Проведём минутку хвастовства.

Я узнал….
- у меня получилось…
- я смог…
- я научился…
- теперь я могу…

В своих тетрадях поставьте звездочку, если вы считаете, что материал усвоен; квадратик – если остались вопросы; треугольник- недовольны результатами своей работы.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд К успеху приведут!

Ребята, сегодня на уроке вы работали в паре. И, надеюсь, убедились, вместе работать легче, вместе – интереснее. И как бы ни был труден путь к знаниям, вместе его преодолеть легче!!!

Мне было приятно с вами работать. Спасибо за урок.

Коломина Наталья Николаевна

Учитель математики

МКОУ «Хотьковская СОШ»

Думиничского района

Калужской области.

Урока алгебры в 7 классе

"Умножение многочленов"

Цели урока:

Образовательные:

систематизировать понятия одночлена и многочлена, определять их вид; расширить представления и формировать навык применения формулы умножения многочлена на многочлен для преобразования выражений, решения уравнений и задач; создание условий для самоконтроля и взаимоконтроля усвоения знаний и умений.

Воспитательные:

воспитывать интерес к изучению математики, способствовать активизации познавательной деятельности учащихся; воспитание чувства взаимопомощи, ответственности, воспитывать культуру общения и культуру ведения диалога; воспитание качеств личности, необходимые для жизни в современном мире (честность, сила воли, ясность, точность мысли, интуиция); воспитание установки на самообразование; воспитывать культуру умственного труда.

Развивающие:

создавать условия для проявления познавательной деятельности учащихся; развивать математическую речь учащихся; развивать коммуникативные качества личности через работу в группах; формировать умение самостоятельно работать с учебным материалом; развивать умения анализировать, сравнивать и обобщать; обеспечение возможности каждому учащемуся достичь определенного уровня; приобретение навыков использования ИТ.

Оборудование:

компьютер, видеопроектор, компьютерная презентация.

Ход урока:

Учитель: мне хотелось бы, чтобы тему сегодняшнего урока вы назвали сами, после выполнения некоторых заданий.

Проведём блиц- опрос:

1.) Дайте определение одночлена.

2.) Сформулируйте определение степени одночлена.

3.) Дайте определение многочлена.

4.) Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

5.) Какое преобразование называют разложением многочлена на множители.

Устная работа:

Приведите одночлен к стандартному виду:

8х2 х; 9уу2у; 1,2авс* 5а; 2а10в2 (-1,5а3)

2) Приведите подобные слагаемые.

а) 15а + 3в – 4а – в; б) 7,5х + у – 8,5х – 31,5у;

в) 10 х – 8ху – 3ху; г) 2ав – 7ав +7а2.

Итак, провели подготовительную работу: (подвести итоги)

2. Перед нами уравнение: (х – 3)(х + 5) = x 2 - 5

Как бы вы начали его решать? (раскрываем скобки). Какое действие надо сделать, чтобы раскрыть скобки? (Умножить многочлены). Значит, какова тема нашего урока? (Умножение многочленов. Записываем тему на доске и в тетрадях).Чему мы должны научиться сегодня? (Мы должны научиться умножать многочлены).

3. Создание проблемной ситуации : Давайте рассмотрим левую часть названного выше уравнения: (х – 3)(х + 5).

Можно попробовать выполнить умножение, используя предыдущие умения умножать одночлены. Необходимо рассмотреть первый многочлен, как сумму двух одночленов, и выполнить умножение по алгоритму умножения одночлена на многочлен.

Выполним умножение на доске, используя цветные мелки:

(х – 3)(х + 5) = х(х + 5) – 3(х + 5) = х 2 + 5х – 3х – 15 = х 2 + 2х – 15

Таким образом, для нахождения произведения данных многочленов пришлось перемножить каждый член многочлена х – 3 на каждый член многочлена х + 5 и результаты сложить.

Запишем формулу: (а + в)(с + d) = ас + аd + вс + вd .

Попробуйте дать словесное определение произведению многочленов (Ученики пытаются самостоятельно дать определение и вместе выбираем самое грамотное).

Давайте вернемся к нашему произведению:

Что за выражение получилось в результате? (многочлен).

Назовите его имена (трехчлен, трином).

Попробуем дать полный алгоритм умножения многочленов:

1 шаг: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена;

2 шаг: найти произведения полученных одночленов;

3 шаг: привести подобные слагаемые;

4 шаг: полученный многочлен записать в стандартном виде.

4. Вернемся к нашему нерешенному уравнению: (х – 3)(х + 5) = x 2 - 5

Теперь мы сможем его решить? (ученик у доски решает уравнение с комментариями):

(х – 3)(х + 5) = x 2 - 5

х 2 + 5х – 3х – 15 = x 2 - 5

х 2 + 2х – 15 = x 2 - 5

х 2 + 2х – 15 - x 2 + 5 = 0

2х – 10 = 0

2х = 10

х = 5

Ответ: 5.

5. Теперь попробуйте выполнить самостоятельно умножение: (m – 3n)(9 + 2m)и т.д.

Сравним полученные результаты.

Какое получилось выражение? Его имя? Его степень?

Работаем по учебнику: №679.

Выполняем задания самостоятельно. На доске заранее записаны решения для проверки.

Испытаем свои силы на более сложном задании: № 680(а-в).

6. Задания по карточкам разного уровня сложности:

Карточка № 1:

Найдите значение выражения:

2,5 x(-2x + 3), если x = 2.

А) – 10,5;

Б) 11,5;

В) 5;

Г) – 5.

2. Известно, что (3 x + a)(x – 4) = 3x 2 – 2x – 4a. Найдите значение a и вычислите значение выражения 3x 2 – 2x – 4a при a = -2.

А) - 18;

Б) - 24;

В) - 20;

Г) 18.

Карточка № 2:

1. Упростите выражение -3 x(2x + y) – 4y(3x – 2y) и вычислите значение выражения при

x = -0,1 y = 0,2.

А) – 0,26;

Б) 0,46;

В) 0,56;

Г) 0,36.

2. Упростите выражение (2 x – 5y)(4x + 3y) – (x + 2y)(5x – 6y).

А) 3 x 2 +18xy – 27y 2 ;

Б) 3 x 2 – 18xy – 3y 2 ;

В) 3 x 2 – 16xy – 3y 2 ;

Г) 3 x 2 – 18xy – 27y 2 .

Карточка № 3:

1. Решите уравнение x(x + 1) – (x – 2)(x – 3) = 4.

А) – 1/2;

Б) 1 1/2;

В) 1 2/3;

Г) – 1 2/3.

2. Найдите многочлен М, если известно, что x 3 – 3x 2 -2x + 6 = (x 2 – 2)·М, и вычислите значение многочлена М при x = 1.

А) 4;

Б) - 4;

В) - 1;

Г) - 2.

Ответы:

Карточка № 1

7. Итог урока:

1. Какова тема урока?

2. Цель урока? Выполнена ли она?

3. Назовите алгоритм умножения многочленов.

4. Какое выражение получается при умножении многочленов?

8. Домашнее задание: п. 29 №678, 681, 705(на повторение)