Середина ребра куба со стороной 1 9. Задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ по математике. Приемы и секреты. Образующая конуса равна

B1 Только 71% из выпускников города правильно решили задачу. Сколько человек правильно решили задачу? Ответ: учеников - 100% х учеников - 71%

B2B2 Ответ: 2 На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября 2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей больше, чем наименьшее количество посетителей за день. Наибольшее количество посетителей сайта: Наименьшее количество посетителей сайта:

B4 Для остекления музейных витрин требуется заказать 30 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,4 м ². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ? Ответ: 4080 Фирма Цена стекла (руб. за 1 м ²) Резка стекла (руб. за одно стекло) Дополнительные условия A31017 B32013 C · ·30 = 4230 Общая площадь стекла, которого нужно изготовить равна 30 · 0,4 = 12м² Стоимость заказа в фирме А складывается из: стоимости стекла 310 · 12 = 3720руб. и стоимости его резки и шлифовки 17 · 30 = 510 руб. 320 · ·30 = 4230 При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно. 340 · 12 = 4080

B6B6 Ответ: 120 Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 120˚. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах А В СD α β ω Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Дано: α + β + ω = 120 ˚ Найти: АСВ α + β = ω По условию: α + β + ω = 120 ˚ Следовательно: α + β = ω = 60 ˚ Угол АС D развернутый: АСВ + ω = 180 ˚ Следовательно: АСВ = 180 ˚- ω АСВ = 180 ˚- 60 ˚ = 120 ˚

B8B8 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6,8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Ответ: 4 Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (3; 0) и (4,3; 7). В них содержатся целые точки 2, 1, 5 и 6, всего их 4.

B8B8 На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2,12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x) Ответ: 44 Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна = 44.

B10 В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Ответ: 0,992 1) 500 – 4 = 496 насосов не подтекает. Число благоприятных исходов – это 496 (насосов не подтекает). Число всех возможных исходов – это 500 (все насосы). Вероятность находим, как отношение благоприятных исходов эксперимента 496 к числу всех возможных исходов) 496/500 = 0,992

B11 Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите Ответ: 0,9025 Так как одна из середин ребер куба является центром сферы, с диаметром меньшим либо равным стороне куба, в кубе содержится 1/4 сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности, равная

B12 При нормальном падении света с длиной волны λ=400нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол φ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением dsinφ=kλ. Под каким минимальным углом φ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм? Ответ: 30. Задача сводится к решению неравенства d 1600 нм на интервале: 0 ˚ φ 90˚ Длина волны света: λ=400 нм и номер максимума k =2 30 ˚ φ 90 ˚

B13 Коля и Митя выполняют одинаковый тест. Коля отвечает за час на 12 вопросов текста, а Митя на 21. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Коля закончил свой тест позже Мити на 105 минут. Сколько вопросов содержит тест? Ответ: 49 Обозначим Х число вопросов теста. Тогда время, необходимое Коле, равно Х/12 мин., а время, необходимое Мише, равно Х/21 мин. Коля закончил отвечать на тест через 105/60 часа после Мити. Поэтому:

B14 Ответ: 12 Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: В точке х = π/6 заданная функция имеет максимум. Найдём это наибольшее значение: Найдем производную функции:

Задачи на вписанные (описанные) шары и сферы.

ЦТ2004.

3) Вершина конуса и окружность, ограничивающая его основание, находятся на сфере. Длина образующей конуса равна 4см, а его высота равна 2см. Найдите (в куб.см) объём шара, ограниченного сферой.

4) Вершина конуса и окружность, ограничивающая его основание, находятся на сфере. Длина образующей конуса равна 3см, а радиус его основания равен 1см. Найдите (в см) радиус сферы.

5) Вершина конуса и окружность, ограничивающая его основание, находятся на сфере. Высота конуса равна 3см, а радиус его основания равен 1см. Найдите (в см) радиус сферы.

7) Все вершины правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром 6см и высотой 4,5см находятся на сфере. Найдите (в куб.см) объём шара, ограниченного сферой.

9) Все вершины правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром 6см и высотой 4,5см находятся на сфере. Найдите (в кв. см) площадь сферы.

ЦТ2001.

1) Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 1см, 2см и 2см, то объём шара (в куб. см) , ограниченного этой сферой равен.

3) Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4см, 5см и 9см, то площадь сферы (в кв. см) равна.

5) Если сфера радиуса 1,5см проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда, в основании которого прямоугольник со сторонами 1см и 2см, то объём этого параллелепипеда (в куб. см) , равен.

7) Если диагональ куба равна 6см, то объём (в куб. см) шара, касающегося всех граней этого куба равен

9) Если диагональ куба равна 15см, то площадь (в кв. см) сферы, касающейся всех граней этого куба равна

11) Если сфера касается всех граней правильной шестиугольной призмы с длиной ребра основания 7см, то радиус сферы равен

Тестовые задачи

1) В шар вписан цилиндр. Объём цилиндра равен 24, а площадь осевого сечения равна 82. Найдите площадь поверхности шара (число π считайте равным 3).

2) В шар, объём которого 32π/3, вписан конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 23.

3) Площадь поверхности сферы, вписанной в конус, равна 100π. Длина окружности, по которой сфера касается поверхности конуса, равна 6π. Найдите радиус основания конуса.

4) Площадь основания конуса равна площади поверхности вписанного в него шара. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 10.

5) В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен 32/3.

1. 1) Вершина конуса и окружность, ограничивающая его основание, находятся на сфере. Высота конуса равна 5см, а радиус его основания равен 2см. Найдите (в см) радиус сферы.

3. Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4см, 5см и 9см, то площадь сферы (в кв. см) равна.

4. В шар вписан цилиндр. Объём цилиндра равен 24, а площадь осевого сечения равна 82. Найдите площадь поверхности шара (число π считайте равным 3).

Задачи на вписанные (описанные) шары и сферы вар.1

1.Вершина конуса и окружность, ограничивающая его основание, находятся на сфере. Длина образующей конуса равна 3см, радиус сферы равен 4,5см. Найдите (в см) радиус основания конуса.

2. Все вершины правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром 6см и высотой 4,5см находятся на сфере. Найдите (в куб.см) объём шара, ограниченного сферой.

4. В шар, объём которого 32π/3, вписан конус. Найдите высоту конуса, если радиус его основания равен 23.

Задачи на вписанные (описанные) шары и сферы вар.3

1.Вершина конуса и окружность, ограничивающая его основание, находятся на сфере. Длина образующей конуса равна 4см, а его высота равна 2см. Найдите (в куб.см) объём шара, ограниченного сферой.

3. Если диагональ куба равна 12см, то площадь (в кв. см) сферы, касающейся всех граней этого куба равна

1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

3. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

4. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны

5. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

6. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

7. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

8. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

9. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

10. Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

11. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

12. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

13. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

14. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

15. Вершина куба с ребром 1,6 является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Считайте, что радиус сферы меньше ребра куба.

16. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

17. Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

18. Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

19.

Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

20. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

21. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

22. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

23. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

24. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

25. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

26. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.

27. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

28. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

29. Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.

30. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Найдите площадь боковой поверхности конуса.

31. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

32. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

33. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

34. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.