Главная » Современный дизайн частного дома » Дан куб а в и с середины

Дан куб а в и с середины

А D С В А D B C Е F Задача 1. Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ, F – середина ребра ВС. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВF. Решение. Построим проекцию отрезка ВF на плоскость АDD - АF. F АFǁ ВF, следовательно, угол ЕАF равен углу между АЕ и ВF. Косинус угла ЕАF найдем из треугольника ЕАF. Пусть ребро куба равно а. а Ответ: 0,8.

Задача 2. Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ, F – середина ребра СD. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВF. D С D B C Е F А В А Решение. Построим проекцию отрезка АЕ на плоскость СDD - DF. DFǁ АЕ, следовательно, угол DFВ равен углу между АЕ и ВF. Косинус угла DFB найдем из треугольника DFB. Пусть ребро куба равно а. а

Задача 3. D С D B C Е А В А а Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВD. Решение. Выполним параллельный перенос отрезка АЕ в плоскости АВВ, получим отрезок ВЕ. Е ВЕ ǁ АЕ, следовательно, угол DВЕ равен углу между АЕ и ВD. Косинус угла DВЕ найдем из треугольника DВЕ. Пусть ребро куба равно а.

Задача 4. А В С АВ С Дано: АВСАВС - правильная призма, все ребра равны 1, D – середина ребра АВ, Е – середина ребра ВС. Найти: косинус угла между прямыми АD и ВЕ. D Е Решение. Выполним параллельный перенос отрезка АD в плоскости АВВ, получим отрезок ВD. D ВD ǁ АD, следовательно, угол DВЕ равен углу между АD и ВЕ. Косинус угла DВЕ найдем из треугольника DВЕ. 1 Угол СВD = 120°, т.к. смежный с углом равностороннего треугольника. Значит по теореме косинусов ЕD = Ответ: 0,7.

Задача 5. А В С D S Дано: SАВСD - правильная пирамида, все ребра равны 1, Е – середина ребра SВ, F – середина ребра SС. Найти: косинус угла между прямыми АЕ и ВF. Е F 1 А АF ǁ АЕ, следовательно, угол ВFА равен углу между АЕ и ВF. Косинус угла ВFА найдем из треугольника ВFА.

Задача 6. Дано: АВСDАВСD - куб, Е – середина ребра АВ. Найти: синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD. D С D B C Е А В А а Решение. Выполним параллельный перенос отрезка АЕ в плоскости АВВ, получим отрезок FВ. F Построим перпендикуляр FK. К ВК – проекция наклонной FB на плоскость ВDD. Значит угол FBK – искомый. Найдем его синус. Пусть ребро куба равно а.

Задание.

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер AB, B 1 C 1 , AD.

б) Найдите угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB, B 1 C 1 , AD.

Решение:

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его ребер AB , B 1 C 1 , AD .

Пусть точки P, M и K – середины ребер AB, B 1 C 1 , AD соответственно. Построим плоскость MPK. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Точки Р и К секущей плоскости принадлежат ребрам куба, поэтому Р и К – вершины многоугольника-сечения, а отрезок РК – его сторона. Построим остальные вершины и стороны сечения.

Прямая РК расположена в одной плоскости АВС с прямыми ВС и DС, пересекает эти прямые соответственно в точках Т 1 и Т 3 .

Поэтому Т 1 лежит в плоскости АВС (как точка прямой ВС) и Т 1 лежит в плоскости сечения (как точка прямой РК), значит, Т 1 – точка пересечения секущей плоскости и прямой ВС.

Аналогично, Т 3 лежит в плоскости АВС (как точка прямой DC) и Т 3 лежит в плоскости сечения (как точка прямой РК), значит, Т 3 – точка пересечения секущей плоскости и прямой DC.

В плоскости ВСС 1 лежат точки Т 1 и М, принадлежащие секущей плоскости, поэтому Т 1 М – прямая пересечения секущей плоскости и плоскости ВСС 1 .

Прямая Т 1 М расположена в одной плоскости ВСС1 с прямыми ВВ 1 и СС 1 , пересекает эти прямые соответственно в точках F и Т 2 . Поэтому F лежит в плоскости ВСС 1 (как точка прямой ВВ 1) и F лежит в плоскости сечения (как точка прямой Т 1 М), значит, F – точка пересечения секущей плоскости и прямой ВВ 1 ; точка F – еще одна вершина многоугольника-сечения, а отрезки FM и PF – его стороны.

Аналогично, точка Т 2 – точка пересечения прямой Т 1 М и СС 1 есть точка пересечения секущей плоскости с прямой СС 1 .

Прямая Т 2 Т 3 – прямая пересечения секущей плоскости и плоскости DCC 1 пересекает ребра D 1 C 1 и DD 1 соответственно в точках E и N, которые также являются вершинами многоугольника-сечения данного куба. Тогда отрезки ME, NE и NK – стороны этого сечения.

Таким образом, получаем многоугольник KPFMEN – искомое сечение данного куба плоскостью MPK. Отрезки PK, NE и NK проводим штриховыми линиями, как невидимые.

б) Найдите угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью, проходящей через середины ребер AB , B 1 C 1 , AD .

Построим плоскость A 1 BD, для этого соединим точки A 1 , B и D. Треугольник ∆ A 1 BD – секущая плоскость A 1 BD.

Плоскость A 1 BD и плоскость МРК имеют общие точки пересечения L и Q, значит, эти плоскости пересекаются по прямой LQ.

Найдем угол между плоскостями A 1 BD и МРК. КР – средняя линия треугольника ABD, значит, KP параллельна BD, а BD лежит в плоскости A 1 BD, значит, KP параллельна плоскости A 1 BD. Получим, LQ параллельна KP и LQ параллельна BD.

Треугольник ∆ A 1 BD – равнобедренный, тогда А 1 О – медиана и высота, А 1 О перпендикулярна BD и LQ. Аналогично, С 1 О перпендикулярна BD и LQ, значит, С 1 О параллельна RH. Следовательно, угол ∠А 1 RH – линейный угол между плоскостями A 1 BD и МРК. Угол ∠А 1 RH равен углу ∠А 1 ОС 1 .

Рассмотрим треугольник ∆ А 1 ОС 1 . Так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), по теореме косинусов найдем величину угла ∠А 1 ОС 1 , получим

(1)

Пусть ребро куба равно 1.

Рассмотрим треугольник ∆АВС:

АС 2 = АВ 2 + ВС 2

АС 2 = 1 2 + 1 2 = 2

А 1 С 1 = АС = √2

Рассмотрим треугольник ∆ОСС 1:

ОС 1 2 = ОС 2 + СС 1 2

Вариант № 11669464

Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

Если вариант задан учителем, вы можете вписать ответы на задания части С или загрузить их в систему в одном из графических форматов. Учитель увидит результаты выполнения заданий части В и сможет оценить загруженные ответы к части С. Выставленные учителем баллы отобразятся в вашей статистике.

Версия для печати и копирования в MS Word

С вершиной сторона основания равна Через прямую проведено сечение перпендикулярное ребру , площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.

Решения заданий части С не проверяются автоматически.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB , точка Q на ребре BC , точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S . Найти величину угла между прямыми SP и SQ .

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC . Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен сторона основания равна 1, SH - высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC .

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскость проходит через прямую A 1 B 1 и середину ребра DD 1 . Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.

В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD со стороной и углом А , равным На ребрах AB, B 1 C 1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE , B 1 F = FC 1 и DG = 3GC . Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC , если высота призмы равна 4,5.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M - середина ребра PA , точка K - середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK , если PC = 6, AB = 4.

В правильной треугольной призме все ребра которой равны, точка - середина Найдите угол между плоскостью и плоскостью где - середина

Дана правильная треугольная призма , стороны основания которой равны Найдите угол между прямыми и , если сумма длин всех сторон обеих оснований равна

Дан куб c ребром, равным 4. Пусть точка лежит на стороне так, что Найдите расстояние от точки до плоскости , где - середина

Дан единичный куб Пусть точка - середина Найдите расстояние от точки до прямой

Сфера с центром в точке вписана в прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямыми и где - середина

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , в основании которого лежит квадрат со стороной 1. На плоскости основания имеется квадрат CDKM . В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра с высотой, равной длине отрезка AA 1 . Найдите расстояние от середины основания цилиндра до точки пересечения диагоналей параллелепипеда, если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 2.

Дан куб c ребром 5 см. Точка движется по сторонам квадрата со скоростью 1см/с, стартуя из точки Двигаясь в направлении точка через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью и плоскостью где - середина

В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми и

В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом и гипотенузой Найти расстояние от точки до прямой если точка - середина ребра которое равно

В кубе с ребром 1 на ребре и выбраны точки и соответственно так, что а Найти расстояние между прямыми и

В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите угол между плоскостями и

К диагонали куба провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины и Найдите величину этого угла.

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7: 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC , если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной , со стороной основания, равной и боковым ребром 5 найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через середины и и вершину

Точки - середины ребер и соответственно куба Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой

В правильной призме со стороной основания, равной и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом А , равным 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет BC одного основания и середину гипотенузы противоположного основания призмы, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины А до искомого сечения и равно 6.

В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник Боковая грань, проходящая через основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре отмечена точка так, что прямая образует угол с плоскостью основания, а объем пирамиды в два раза меньше объема пирамиды Найти площадь сечения если треугольник равносторонний.

Точка - середина стороны основания правильной треугольной призмы Боковое ребро призмы равно а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой и плоскостью боковой грани

В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.

Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат а высота пирамиды совпадает с ребром Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата равна 15.

В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер и

Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S , вдвое больше площади её основания.

а) Постройте это сечение;

б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.

В прямую призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA" , BB" , CC" , DD" - боковые ребра, вписан шар радиуса 1.

а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C" .

б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что

В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA 1 отмечена точка M так, что AM : A 1 M = 1: 3.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD 1 .

На боковых ребрах правильной треугольной призмы расположены точки и М соответственно. Известно, что угол между прямыми и АВ равен а угол между прямым КМ и АС –

а) Постройте плоскость, проходящую через точки и М.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН . Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH . Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точка K - середина ребра C 1 D 1 , точка P - середина ребра AD , точка M - середина ребра CC 1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M .

б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь полученного сечения.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM , где M - точка пересечения медиан грани SBC.

В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна а боковое ребро равно 2. Точка M - середина ребра AA 1 . Найдите расстояние от точки M до плоскости DA 1 C 1 .

В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC ) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP - равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP , если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 все ребра равны 1. Точка E - середина ребра АС .

а) Постройте сечение призмы плоскостью A 1 B 1 E ;

б) Найдите площадь этого сечения.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол Плоскость проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью

б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно 4. Точка N - середина СВ , а точка M лежит на ребре AA 1 , причем AM : MA 1 = 3: 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC 1 .

В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра SC , точка K - середина ребра AB .

а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1: 3.

б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC , если известно, что AB = 6, SA = 5.

ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 . Через точки B , D 1 , F 1 проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA 1 в такой точке M , что AM : A 1 M = 1: 2.

б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA 1 = 3.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 . Через точки B , D 1 , F 1 проведена плоскость

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC 1 .

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA 1 = 3.

В основании прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.

а) Докажите, что прямые BD 1 и AC перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми BD 1 и AC , если известно, что боковое ребро призмы равно 12.

В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна Через точки В и С перпендикулярно ребру проведена плоскость α.

Вариант 14

Две параллельные плоскости, находящиеся на расстоянии 8 друг от друга, пересекают шар. Получившиеся сечения одинаковы, и площадь каждого из них равна 9π.

а) Постройте эти сечения.

б) Найдите площадь поверхности шара.

Решение. Всякое сечение шара плоскостью есть круг.

Каждая из плоскостей удалена от центра шара на 4, представляет собой круг, радиус которого равен 3.

9π=πr 2 ⇒ r 2 =9 ⇒ r=3.

Тогда радиус шара ОА=5 (египетский треугольник имеет стороны 3; 4; 5). Площадь поверхности шара S=4πR 2 ; S=4π· 5 2 =100π (кв. ед.).

Ответ: 100π.

Вариант 15

Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В 1 С 1 , АD.

б) Найдите угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, В 1 С 1 , АD.

Решение.

Середина АВ – точка М; середина В 1 С 1 – точка N, середина AD – точка P. Проведем прямую МР – пересечения плоскости MNP с основанием. Секущая плоскость MNP пересечет верхнее основание по прямой, проходящей через точку N параллельно МР, и эта прямая NE пересечет C 1 D 1 в точке Е — середине C 1 D 1 . Прямая МР пересечет CD в точке Х. Таким образом, секущая плоскость имеет с гранью CC 1 D 1 D две общие точки Е и Х, поэтому пересечет эту грань по прямой EF, причем точка F – середина DD 1 . Прямая МР пересечет ВС в точке У. Тогда плоскость MNP пересечет грань ВВ 1 С 1 С по прямой УN и пересечет ВВ 1 в точке Z, которая также является серединой ВВ 1 . Переднюю грань куба плоскость MNP пересечет по прямой ZМ. Итак, мы построили сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер АВ, В 1 С 1 , АD. Получился правильный шестиугольник MZNEFP.

Плоскость A 1 BD – правильный треугольник, стороны которого являются диагоналями равных квадратов – граней куба. Плоскости MNP и A 1 BD имеют две общие точки Q и Q 1 , следовательно, пересекутся по прямой QQ 1.

Найдем угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью MNP. Это будет угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными QQ 1 – линии пересечения наших плоскостей. Построим этот угол.

Проведем A 1 О, где О – пересечение диагоналей квадрата ABCD. Медиана A 1 О в равностороннем ∆BA 1 D является и высотой. A 1 О пересечет в точке К отрезок QQ 1 , который делит стороны A 1 B и A 1 D в отношении 1: 4, считая от точек В и D, следовательно, и ОК : A 1 О = 1: 4.

Почему в отношении 1: 4? Смотрите:

Медиана BQ в этом треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т.е.

Следовательно, BQ: A 1 B = 1: 4. Аналогично, DQ 1: A 1 D =1: 4. Треугольники A 1 QQ 1 и A 1 BD подобны по двум пропорциональным сторонам и углу ВА 1 D между этими сторонами. QQ 1 II BD, треугольники QA 1 K и BA 1 O также подобны по углам, образованным соответственно параллельными сторонами, поэтому и ОК : A 1 О = 1: 4.

Так как А 1 О ⊥ BD и QQ 1 II BD, то А 1 О ⊥ QQ 1 , а значит и OK⊥ QQ 1 .

Так как BD || MP и BD || QQ 1 , то MP || QQ 1.

Обозначим через S точку пересечения MP с АС — диагональю квадрата АBСD.

KS – расстояние от МР до QQ 1 , т.е. KS ⊥QQ 1 и угол OKS – линейный угол между плоскостью A 1 BD и плоскостью MNP. Обозначим угол OKS через α. Проведем KT⊥OS. Треугольник OKT подобен треугольнику OA 1 A и OT: OA=OK: ОА 1 =1: 4.

Так как в ∆OKS высота КТ является и медианой, то ∆OKS – равнобедренный. КТ– биссектриса искомого угла α. Обозначим угол А 1 ОА через φ. Из прямоугольного ∆OAA 1 найдем

Углы при основании OS равнобедренного треугольника OKS равны φ, следовательно, угол α = 180°-2φ. Тогда tgα = tg(180 0 -2φ) = -tg2φ.

А можно решить так: установим, что ∆OKS – равнобедренный и проведем SL⊥OK.

Из прямоугольного треугольника SLK, по определению тангенса острого угла, следует, что tgα = SL : KL. Обозначим KL = x.

Из ∆KLS по теореме Пифагора: SL 2 =KS 2 -KL 2

Из ∆ОLS по теореме Пифагора: SL 2 =ОS 2 -ОL 2 . Левые части равенств равны, значит, и правые части равенств будут равны:

KS 2 -KL 2 = ОS 2 -ОL 2 . Подставляем данные:

Однако, на мой взгляд, самым целесообразным (естественным) было бы рассуждать так:

установили, что угол OKS – искомый и обозначили его через α. Применим теорему косинусов к этому треугольнику и выразим косинус α.

Высота А 1 О в правильном треугольнике ВА 1 D равна произведению стороны А 1 В на синус 60° (катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла ). Если ребро куба обозначить через а, то

где r 6 – радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник MZNEFP.

Если обозначить сторону правильного шестиугольника через b, то радиус вписанной окружности

Подставляем значения OK, KS, OS и найдем косинус α.

Дорогие друзья, мы решили данную задачу тремя способами (но понятно, что способов больше!), и вы должны знать, что вольны выбирать любой способ решения. Проверяющие вас экзаменаторы зачтут любое обоснованное решение. Да, ну а все же, давайте убедимся в том,