Дополни формулировки правил связывающих умножение. Деление как действие, обратное умножению. Выбор домашнего задания
Ах, как хорошо бежать по траве! Нога, смеясь, ловит зелёный упругий ковёр пяткой и отталкивает пружиной-носком, хохоча и посылая гибкое поющее тело в прыжок. Крылья не нужны! Птица, посторонись! Чёрно-жёлтый шмель, шарахнись в испуге! – кто это среди вас летит? Ликующий глаз бегло намечает точку следующего шага, нового взлёта, а душа, напротив, полагает, что можно и не приземляться.
О, эти простые великолепные дары природы – ходить, смотреть и слышать! Не помнит о них человек, не ценит, а то и выбрасывает на помойку каким-нибудь варварским способом. Идёт человек вялой походкой, тусклыми глазами смотрит на птиц, кислыми ушами слушает их щебет. Угрюм он и не рад.
Никто, никто так не ценит лёгкость крепких ног и послушность молодых мышц, как человек, прикованный в коляске.
Пусть инвалид воспоёт чудо бега и тела.
Пусть слепой человек выступит в защиту красоты.
Он в чёрных очках – это для нас, ему солнце совсем не мешает. Аккуратно шагает, назойливо стуча металлической палкой по асфальту. Почему не надеть на острый металл мягкую резину? Нельзя, никак нельзя. Резина убьёт звук, а звук – это всё, что осталось у слепого человека, чтобы ощущать мир дальше протянутой руки. Стукнет палка о камень, полетит звук трогать всё вокруг, отражаться от твёрдых вертикалей. Слепой чутко выслушает эхо и узнает – вот стена, а в ней открытая дверь.
Это так полезно в мире тьмы – уметь находить открытые двери! Нельзя резину надевать на металл, нельзя носить кепку с длинным козырьком – запутает прилетающие звуки. Слепой человек видит звуком и эхом – как дельфин, как летучая мышь. Звуки говорят с ним, рисуют мир прозрачными скупыми штрихами.
Для слепого птичья песня – яркий цветок в темноте.
О, если б звуки нанизать на свет. Ах, как поёт невидимый певец.
Как он божественно красив. Не видишь, зрячий? Ты слеп как крот.
Ноги твоей молодости не бегут, смеясь, по траве? Бедняга.
Никки стрелой промчалась через парк, ворвалась в обеденный зал – без коляски, на своих двоих! – и произвела среди студентов сенсацию. Почему-то все воспринимали её как безнадёжно больного и не верили в то, что она будет как остальные – ходить, бегать и танцевать. Она добежала до своего стола, сопровождаемая поворачиваемыми головами и нарастающим гулом.
Джерри обрадовался, наверное, больше, чем она сама. И впервые в его голову пришла уверенная, хотя и болезненная для него самого, мысль: «Важнее всего, чтобы она была счастлива – вот как сейчас… даже если рядом буду не я, а кто-то другой…» Её друзья от души аплодировали и поздравляли Никки, а она сияла, не могла усидеть на стуле и ничего не ела от волнения. Как ей надоело быть инвалидом! И – наконец-то – она сможет полететь!
В этот долгожданный день даже Солнце светило сквозь купол стадиона ярче обычного.
Взволнованная Никки надела на плечи крылья и, балансируя ими, подошла к краю стартовой площадки. У ног девочки начинался длинный крутой травянистый спуск к лужайке в центре стадиона.
С этого стометрового обрыва, собственно, и предлагалось новичкам броситься вниз головой. Некоторые, встав на краю этой высоты, так и не смогли преодолеть психологический барьер и прыгнуть в пустоту, доверив свою жизнь хрупким на вид крыльям из пластиковой плёнки, трубочек и тросиков. Они снимали с себя крылья – и больше никогда не пробовали взлететь.
На самом краю площадки тёплый ветерок, дувший вверх по склону, наполнил крылья подъёмной силой, потянул за собой. Тяжесть на плечах Никки ослабла, зато трёхметровые в размахе крылья стали самостоятельно и норовисто рыскать из стороны в сторону, подчиняясь своевольным порывам воздуха.
По инструкции, Никки должна разбежаться вниз по склону, держа крылья под небольшим углом, а потом, набрав скорость, увеличить угол атаки крыла – и взлететь.
Вокруг стояли друзья-Леопарды из секции свободного полёта и подбадривали девочку криками и советами. Волосы Никки развевались, лучи солнца блестели на тугих, звенящих на ветру крыльях, а сердце её колотилось так сильно, как никогда в жизни.
И взволнованная Никки сделала то, что категорически запрещалось: когда очередной порыв подхватил её крылья, она прыгнула в воздух без всякого разбега. Ветерок поднял её метра на три, но без нужной скорости полёта подъёмной силы крыльев оказалось недостаточно, чтобы удержать девочку в воздухе.
Никки стала падать!
В таких случаях новички делают новую ошибку – опасаясь удара, они начинают тормозить ещё больше; полёт переходит в неуклюжее парашютирование, и неудачливые неофиты плюхаются ниже по склону под насмешливые крики наблюдающих школьников.
Никки ждала та же плачевная участь, но она, подчиняясь какому-то инстинкту, не только не стала препятствовать своему падению, но даже наклонила крылья вниз, ускоряя движение к земле. Короткое пикирование – и вот травяной склон совсем рядом.
Однако скорость уже выросла, и гибкие крылья успели наполниться ветром. Никки, плавно увеличив угол атаки, взлетела, лишь задев животом верхушки травинок.
Мелькнули запрокинутые лица друзей, и крылья понесли Никки в простор, пронизанный ветром и солнцем. Зелёный склон внизу сначала быстро скользил назад, а потом мягко провалился – и всё остановилось.
Девочке показалось, что она неподвижно повисла в воздухе и сейчас начнёт падать. Но это была лишь иллюзия большой высоты, знакомая всем пилотам крыльев: ветер в лицо убедительно доказывал, что она не остановилась, а быстро летит вперёд.
Никки сильно качнуло на воздушной волне, её сердце замерло и захлестнулось таким восторгом, который сможет понять только тот, кто парил птицей в синей высоте, в ветре, бьющем в лицо, треплющем волосы и крылья. Никки издала восторженный вопль, а снизу её шумно поддержали.
Центральная лужайка, выбранная для приземления, уже приближалась.
Возле поверхности полагалось максимально сбросить скорость, задав большой угол крылу, и встать на ноги, но Никки – в счастливом волнении от первого полёта – снова пренебрегла всеми наказами.
Наслаждаясь полётом, она планировала над полем до конца – пока воздух окончательно перестал её держать, и Никки мягко опустилась на зелёную лужайку всем телом, где так и замерла с раскинутыми крыльями, уронив голову в траву и блаженно улыбаясь.
После возвращения на стартовую площадку тренер Бенто сделала девочке строгое внушение по поводу неправильного старта.
– На самом деле, – призналась она потом, – это ошибка многих начинающих. Но я впервые вижу, чтобы кто-то из новичков в первом полёте сумел выбраться из зависания. Скольжение, разгон и уход от склона были сделаны отлично, – похвалила она, – но всё-таки в следующий раз используй стандартный вариант старта. Садиться тоже лучше не на живот…
А Никки сказала Джерри, продолжая счастливо улыбаться:
– Джерри, только сейчас я поняла до конца слова Оуэна: «Луну стоило освоить уже только ради того, что человек здесь может быть птицей».
С площадки в это время совершали прыжки другие новички. Главной проблемой для всех оказалось удержание правильного угла крыла – слишком большой угол тормозил разбег, взлёт не удавался, и полёт ограничивался неуклюжим подпрыгиванием.
Один из стартующих, наоборот, задал отрицательный угол атаки, так что крылья по мере разбега стали прижимать его к земле, и в конце концов на всём бегу он упал лицом в склон под сочувственные возгласы болельщиков. Но несколько новичков всё-таки сумели благополучно взлететь.
На этом уроке мы выясним, как связаны между собой умножение и деление. Так же мы научимся вычислять периметр квадрата.
Мы уже знаем, что действия сложения и вычитания связанны между собой. Если из суммы вычесть первое слагаемое, то мы получим второе слагаемое. И наоборот, если из суммы вычесть второе слагаемое, то мы получим первое слагаемое. (Рис. 1).
Рис. 1. Связь сложения и вычитания
Теперь давайте попробуем выяснить, связаны ли между собой действия умножения и деления. Давайте составим выражение на умножение и попробуем вычислить его результат. Поможет нам в этом иллюстрация.
Давайте представим это в виде рисунка. (Рис. 2).
Рис. 2. 4 умножить на 2
4 умножить на 2. Это значит, что 4 круга нужно повторить 2 раза. Сколько получится?
Теперь давайте составим выражение на деление, используя при этом иллюстрацию.
Посмотрите на равенство. С его помощью составьте выражение на деление. Равенство:
Нам нужно выяснить, связано ли между собой умножение и деление.
Давайте попробуем произведение разделить на первый множитель.
Это значит, что число 8 нужно разделить на 4 группы. Сколько кругов будет в каждой группе?
Ответ: 2 круга. (Рис. 3).
Рис. 3. Деление числа 8 на 4 группы
Это значит, что 8: 4 = 2.
Продолжим наше наблюдение. Составим из равенства 4 ∙ 2 = 8 еще одно выражение на деление.
Это значит, что теперь число 8 нужно разделить на две одинаковые части. (Рис. 4).
Рис. 4. Деление числа 8 на две одинаковые части
В каждой части у нас по 4 круга. Это значит, что:
Посмотрите на выражения:
Если произведение разделить на первый множитель, то мы получим второй множитель. И наоборот, если произведение разделить на второй множитель, то мы получим первый множитель. Это значит, что умножение и деление связаны между собой.
Теперь давайте используем знания о связи между умножением и делением для решения задачи.
Посмотрите внимательно на рисунок. (Рис. 5).
Рис. 5. Квадрат
На нем изображена геометрическая фигура - квадрат. Давайте найдем периметр квадрата.
Что такое квадрат?
Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны. А если квадрат - это тоже прямоугольник, подходит ли формула для нахождения периметра прямоугольника
(a + b ) ∙ 2 для нахождения периметра квадрата?
Давайте это выясним. Сначала найдем сумму длин сторон квадрата методом сложения.
Длина стороны квадрата ABCD - 5 см. (Рис. 6).
Рис. 6. Длина стороны квадрата ABCD
Для того чтобы узнать периметр, нужно узнать сумму всех сторон. С помощью сложения это выглядит так:
Вы заметили, что мы находили сумму одинаковых слагаемых. Это значит, что мы можем сложение заменить умножением. Давайте это сделаем.
Каждое слагаемое было равно 5, и этих слагаемых было 4.
Поэтому выражение на нахождение суммы мы можем заменить выражением на нахождение произведения.
5 + 5 + 5 + 5 = 5 ∙ 4
Это значит, что для нахождения суммы длин сторон квадрата нужно длину его стороны умножить на количество сторон.
Теперь давайте выведем формулу для нахождения периметра квадрата.
Для того чтобы найти периметр квадрата, нужно длину его стороны, какой бы она ни была, умножить на 4. (Рис. 7).
Рис. 7. Формула для нахождения периметра квадрата
А если известен периметр квадрата, как поступать в этом случае?
Теперь мы знаем формулу, с помощью которой мы можем найти периметр квадрата. Зная эту формулу, мы можем найти и периметр квадрата, и его сторону.
Действуя по формуле а ∙ 4, мы можем найти периметр квадрата. Значение длины стороны квадрата 5 см мы умножаем на 4 - количество сторон квадрата.
5 ∙ 4 = 20 (см)
А как поступать в случаях, если известен периметр квадрата, а нужно найти его сторону?
Периметр квадрата - это сумма длин сторон квадрата. Количество сторон квадрата - четыре. Поэтому для того, чтобы узнать значение стороны, нужно периметр разделить на известный множитель. Известный множитель - 4, количество сторон у фигуры. Периметр - 20.
20: 4 = 5 (см)
Мы уже знаем, как находить периметр другой геометрической фигуры. Давайте вспомним формулу для нахождения периметра прямоугольника.
Периметр прямоугольника
Вычислить периметр фигуры - значит, узнать сумму длин его сторон. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого стороны попарно равны. У прямоугольника ABCD равны противоположные стороны.
Для того чтобы узнать периметр прямоугольника ABCD, нам нужно сначала узнать полупериметр. Полупериметр - это сумма двух сторон прямоугольника (AB + BC). Так как у нас таких сторон по 2. Поэтому полупериметр нужно умножить на 2. Это значит, что формула для нахождения периметра прямоугольника ABCD (Рис. 8):
Рис. 8. Формула для нахождения периметра прямоугольника
Для того чтобы найти периметр или сумму всех сторон, нужно сначала найти полупериметр. Полупериметр - это сумма одной длины и одной ширины фигуры. Затем умножаем полупериметр на 2, потому что стороны прямоугольника попарно равны. (Рис. 9).
При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.
При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть какое правило применять. Также, необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.
Содержание урокаЗаконы умножения
Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке . Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.
Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого , множителя и произведения . Например, в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.
Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.
Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.
Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.
Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в таком случае будет показывать сколько раз нужно повторить число 3:
Таким образом, если число 3 повторить два раза подряд, получится число 6.
Переместительный закон умножения
Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители . Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.
Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.
3 × 5 = 15
Теперь поменяем местами сомножители:
5 × 3 = 15
В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:
3 × 5 = 5 × 3
15 = 15
А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:
a × b = b × a
где a и b — сомножители
Сочетательный закон умножения
Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.
К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24
Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:
3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24
В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)
а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.
Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5
Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25 .
С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:
(a + b) × c = a × c + b × c
где вместо a, b, c могут стоять любые числа.
Закон умножения на ноль
Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Например, выражение 0 × 2 равно нулю
В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается так: «увеличить ноль в два раза» . Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль? Ответ — никак.
Иными словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».
И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:
Примеры применения закона умножения на ноль:
5 × 5 × 5 × 0 = 0
2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0
В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.
Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее рассмотрим умножение целых чисел.
Умножение целых чисел
Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2
Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:
Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Обычно записывают короче: −5 × 2 = −10
Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.
Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:
То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы
А выражение (−5) + (−5) равно −10. Мы это знаем из . Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.
Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)
Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Обычно решение записывают покороче:
12 × (−5) = −60
Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2
Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:
Первое действие:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Второе действие:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80
Запишем решение покороче:
10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80
Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)
Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:
Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.
Запишем решение покороче (−4) × (−2) = 8
Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.
Сначала запишем следующее выражение:
Заключим его в скобки:
(4 × (−2) )
Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:
(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )
Всё это приравняем к нулю:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.
Итак, первое произведение (4 × (−2)) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения (4 × (−2))
−8 + ((−4) × (−2)) = 0
Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие
Теперь внимательно посмотрим на выражение −8 + … = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.
Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8
Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)
Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4
Теперь выполним умножение, и сложим полученные результаты. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение
Первое действие:
−2 × 6 = −12
Второе действие:
−2 × 4 = −8
Третье действие:
−12 + (−8) = −20
Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20
Запишем решение покороче:
−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)
Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение
Первое действие:
(−2) × (−3) = 6
Второе действие:
6 × (−4) = −(6 × 4) = −24
Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24
Запишем решение покороче:
(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Законы деления
Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.
В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого , делителя и частного . Например, в выражении 8: 2 = 4, 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.
Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.
Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.
Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.
На ноль делить нельзя
Любое число запрещено делить на ноль.
Дело в том, что деление это действие, обратное умножению. Данную фразу можно понимать в прямом смысле. Например, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2.
Видно, что второе выражение записано в обратном порядке. Если к примеру, у нас имеется два яблока и мы захотим увеличить их в пять раз, то мы запишем 2 × 5 = 10. Получится десять яблок. Затем, если мы захотим обратно уменьшить эти десять яблок до двух, то мы запишем 10: 5 = 2
Точно так же можно поступать и с другими выражениями. Если к примеру, 2 × 6 = 12, то мы можем обратно вернуться к изначальному числу 2. Для этого достаточно записать выражение 2 × 6 = 12 в обратном порядке, разделяя 12 на 6
Теперь рассмотрим выражение 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю
Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:
Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно.
В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0
В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.
Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.
Например выражение 8: 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8
Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даст ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:
Получили число 4. Запишем его вместо многоточия:
Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5: 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5
Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даст ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.
Выражение … × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.
А значит записывать выражение … × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.
С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:
При b ≠ 0
Число a можно разделить на число b , при условии, что b не равно нулю.
Свойство частного
Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.
Например, рассмотрим выражение 12: 4. Значение этого выражения равно 3
Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3
(12 × 4 ) : (4 × 4 )
(12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48: 16 = 3
Получили ответ 3.
Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4
(12: 4 ) : (4: 4 )
(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3
Получили ответ 3.
Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.
Деление целых чисел
Пример 1. Найти значение выражения 12: (−2)
Это деление чисел с разными знаками. 12 — положительное число, (−2) – отрицательное. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить минус.
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Обычно записывают покороче:
12: (−2) = −6
Пример 2. Найти значение выражения −24: 6
Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. Опять же модуль делимого делим на модуль делителя, и перед полученным ответом ставим минус.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Запишем решение покороче:
Пример 3. Найти значение выражения −45: (−5)
Это деление отрицательных чисел. Чтобы решить этот пример, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.
−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Запишем решение покороче:
−45: (−5) = 9
Пример 4. Найти значение выражения −36: (−4) : (−3)
Согласно , если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.
Разделим −36 на (−4), и полученное число разделим на −3
Первое действие:
−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
Второе действие:
9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Запишем решение покороче:
−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
