Калькулятор сокращения дробей с буквами. Как сократить дробь? Правила на все ситуации. Что значит сократить дробь

Чтобы определить площадь треугольника, можно пользоваться разными формулами. Из всех способов самый легкий и часто применяемый - это умножение высоты на длину основания с последующим делением полученного результата на два. Однако данный метод далеко не единственный. Ниже вы сможете прочесть, как найти площадь треугольника, используя разные формулы.

Отдельно мы рассмотрим способы вычисления площади специфических видов треугольника - прямоугольного, равнобедренного и равностороннего. Каждую формулу мы сопровождаем коротким пояснением, которое поможет вам понять ее суть.

Универсальные способы нахождения площади треугольника

В приведенных ниже формулах используются специальные обозначения. Мы расшифруем каждое из них:

• a, b, c – длины трех сторон рассматриваемой нами фигуры;
• r – радиус окружности, которая может быть вписана в наш треугольник;
• R – радиус той окружности, которая может быть описана вокруг него;
• α - величина угла, образованного сторонами b и с;
• β - величина угла между a и c;
• γ - величина угла, образованного сторонами а и b;
• h – высота нашего треугольника, опущенная из угла α на сторону а;
• p – половина суммы сторон a, b и с.

Логически понятно, почему можно находить площадь треугольника этим способом. Треугольник легко достраивается до параллелограмма, в котором одна сторона треугольника будет выполнять роль диагонали. Площадь параллелограмма находится умножением длины одной из его сторон на значение высоты, проведенной к ней. Диагональ разделяет этот условный параллелограмм на 2 одинаковых треугольника. Следовательно, совершенно очевидно, что площадь нашего исходного треугольника должна равняться половине площади этого вспомогательного параллелограмма.

S=½ a · b·sin γ

Согласно этой формуле, площадь треугольника находится умножением длин двух его сторон, то есть а и b, на синус образованного ими угла. Эта формула логически выводится из предыдущей. Если опустить высоту из угла β на сторону b, то, согласно свойствам прямоугольного треугольника, при умножении длины стороны a на синус угла γ получаем высоту треугольника, то есть h.

Площадь рассматриваемой фигуры находим путем умножения половины радиуса окружности, которую в него можно вписать, на его периметр. Иными словами, находим произведение полупериметра на радиус упомянутой окружности.

S= a · b · с/4R

Согласно данной формуле, необходимую нам величину можно найти путем деления произведения сторон фигуры на 4 радиуса окружности, вокруг нее описанной.

Эти формулы универсальны, так как дают возможность определить площадь любого треугольника (разностороннего, равнобедренного, равностороннего, прямоугольного). Можно это сделать и при помощи более сложных вычислений, на которых мы подробно останавливаться не станем.

Площади треугольников со специфическими свойствами

Как найти площадь прямоугольного треугольника? Особенностью этой фигуры является то, что две ее стороны одновременно являются ее высотами. Если а и b являются катетами, а с становится гипотенузой, то площадь находим так:

Как найти площадь равнобедренного треугольника? В нем две стороны с длиной а и одна сторона с длиной b. Следовательно, его площадь определить можно путем деления на 2 произведения квадрата стороны а на синус угла γ.

Как найти площадь равностороннего треугольника? В нем длина всех сторон равняется а, а величина всех углов - α. Его высота равна половине произведения длины стороны а на корень квадратный из 3. Чтобы найти площадь правильного треугольника, нужно квадрат стороны а умножить на корень квадратный из 3 и разделить на 4.

Площади треугольников.

Для того чтоб посодействовать собственному ребенку с уроками, предки должны сами знать огромное количество вещей. Как отыскать площадь равнобедренного треугольника , чем причастный оборот отличается от деепричастного, что такое ускорение свободного падения?

Математика Урок 8 Площадь треугольника

С хоть каким из этих вопросов у ваших отпрыска либо дочери могут появиться трудности, и они конкретно к для вас обратятся за разъяснениями. Чтоб не свалиться лицом в грязюка и поддержать собственный авторитет в детских очах, стоит освежить в памяти некие элементы школьной программки.

Возьмем для примера вопрос о равнобедренном треугольнике. Геометрия в школе многим тяжело дается, а после школы резвее всех забывается.

Но когда ваши малыши пойдут в 8 класс , придется вспомнить формулы, касающиеся геометрических фигур. Равнобедренный треугольник — одна из самых обычных фигур в плане нахождения ее характеристик.

Начнем с разъяснения определений.

Если все, что вы когда-то учили о треугольниках, позабыто, давайте вспоминать. Равнобедренным именуется таковой треугольник, у которого 2 стороны имеют схожую длину. Эти равные меж собой ребра именуются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. 3-я же сторона — его основание.

Существует таковой вариант, при котором равны меж собой все 3 стороны. Он носит заглавие равностороннего треугольника. На него распространяются все формулы, используемые к равнобедренному, и в случае необходимости всякую из его сторон можно именовать основанием.

Для нахождения площади нам пригодится поделить основание напополам. Ровная, опущенная к приобретенной точке из верхушки, соединяющей боковые стороны, пересечет основание под прямым углом.

Таково уж свойство схожих треугольников: медиана, другими словами ровная от верхушки к середине обратной стороны, в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой (прямой, делящей угол напополам) и его высотой (перпендикуляром к обратной стороне).

Чтоб отыскать площадь равнобедренного треугольника, нужно помножить его высоту на основание, а потом поделить это произведение напополам.

Для нахождения площади треугольника формула ординарна: S=ah/2, где а — длина основания, h — высота.

Наглядно это можно разъяснить последующим образом. Вырежьте из бумаги аналогичную фигуру, найдите середину основания, проведите к этой точке высоту и аккуратненько разрежьте по этой высоте. Получатся два прямоугольных треугольника.

Если приставить их друг к другу гипотенузами (длинноватыми сторонами), то составится прямоугольник, одна сторона которого будет равна высоте нашей фигуры, а другая — половине ее основания. Другими словами подтвердится формула.

Наилучшим учеником в классе становится не зазубривающий, а думающий и, главное, понимающий школьник.

Как найти площадь фигуры, если один угол прямой?

Может так оказаться, что угол меж боковыми сторонами данной треугольной фигуры составляет 90°. Тогда этот треугольник будет называться прямоугольным, его боковые стороны — катетами, а основание — гипотенузой.

Площадь таковой фигуры можно вычислить вышеизложенным методом (находим середину гипотенузы, проводим к ней высоту, умножаем ее на гипотенузу, делим напополам). Но можно решить делему еще проще.

Начнем с наглядности. Прямоугольный равнобедренный треугольник представляет собой ровно половину квадрата, если разрезать тот на искосок. И если площадь квадрата находится обычным строительством во вторую степень его стороны, то площадь подходящей нам фигуры будет в два раза меньше.

S=a 2 /2, где а — длина катета.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата его боковой стороны. Неувязка оказалась не таковой уж суровой, какой была на 1-ый взор.

Геометрия — четкая наука. Если вдуматься в ее базы, то проблем с ней будет мало, а логичность доказательств может очень увлечь вашего малыша. Необходимо просто мало ему посодействовать. Какой бы неплохой учитель ему ни достался, родительская помощь излишней не будет.

А в случае с исследованием геометрии очень полезным станет способ, о котором говорилось выше, — наглядности и простоты разъяснения.

При всем этом нельзя забывать о точности формулировок, по другому можно сделать эту науку еще сложней, чем она есть по сути.

Тезисы

Как отыскать площадь треугольника. Как отыскать площадь треугольника. 4 способа: По основанию и высоте По сторонам По одной из. Как найти площадь треугольника. Как отыскать площадь треугольника формула 4 класс. Ответ на вопрос Как отыскать площадь треугольника формула 4 класс? - Площадь треугольника. Ответы@Mail. Ru: как отыскать площадь прямоугольника . как найти площадь прямоугольника , треугольника? 4 класс Ирина Мастакова (Музыка) Ученик. Формулы площади треугольника и примеры. Площадь треугольника. Найти площадь треугольника. 3 класс - периметр и площадь треугольника. 3 класс, периметр и площадь треугольника , примеры по математике на формулу 4 КЛАСС . Площадь треугольника по трем сторонам - формула, пример. Найти площадь треугольника можно различными способами. Конечно же, в зависимости от. (Найти площадь треугольника АВС; АВ =2СМ. (Найти площадь треугольника. Точное отмеченных самими пользователями как. Как найти периметр и площадь треугольника. Как найти площадь прямоугольника ? Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину, S=ab. Формулы, теория.

Треугольник — хорошо знакомая всем фигура. И это, несмотря на богатое разнообразие его форм. Прямоугольный, равносторонний, остроугольный, равнобедренный, тупоугольный. Каждый из них чем-то отличается. Но для любого требуется узнавать площадь треугольника.

Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот

Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны н а, н в, н с.

1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * н а. Аналогично следует записать формулы для двух остальных сторон.

2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр (его принято обозначать маленькой буквой р, в отличии от полного периметра). Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р - а) * (р - в) * (р - с)).

3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в - с)). Она несколько длиннее предыдущей, но выручит, если забылось, как находить полупериметр.

Общие формулы, в которых фигурируют углы треугольника

Обозначения, которые требуются для прочтения формул: α, β, γ — углы. Они лежат напротив сторон а, в, с, соответственно.

1. По ней половина произведения двух сторон и синуса угла между ними равна площади треугольника. То есть: S = ½ а * в * sin γ. Подобным образом следует записать формулы для двух других случаев.

2. Площадь треугольника можно вычислить по одной стороне и трем известным углам. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Существует еще формула с одной известной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Она выглядит таким образом: S = с 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Две последние формулы являются не самыми простыми. Запомнить их довольно сложно.

Общие формулы для ситуации, когда известны радиусы вписанных или описанных окружностей

Дополнительные обозначения: r, R — радиусы. Первый используется для радиуса вписанной окружности. Второй — для описанной.

1. Первая формула, по которой вычисляется площадь треугольника, связана с полупериметром. S = р * r. По-другому ее можно записать так: S = ½ r * (а + в + с).

2. Во втором случае потребуется перемножить все стороны треугольника и разделить их на учетверенный радиус описанной окружности. В буквенном выражении это выглядит так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третья ситуация позволяет обойтись без знания сторон, но потребуются значения всех трех углов. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частный случай: прямоугольный треугольник

Это самая простая ситуация, поскольку требуется знание только длины обоих катетов. Они обозначаются латинскими буквами а и в. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади достроенного к нему прямоугольника.

Математически это выглядит так: S = ½ а * в. Она запоминается проще всего. Потому что выглядит, как формула для площади прямоугольника, только появляется еще дробь, обозначающая половину.

Частный случай: равнобедренный треугольник

Поскольку у него две стороны равные, то некоторые формулы для его площади выглядят несколько упрощенными. Например, формула Герона, по которой вычисляется площадь равнобедренного треугольника, принимает следующий вид:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Если ее преобразовать, то она станет короче. В таком случае формула Герона для равнобедренного треугольника записывается так:

S = ¼ в √(4 * a 2 - b 2).

Несколько проще, чем для произвольного треугольника, выглядит формула площади, если известны боковые стороны и угол между ними. S = ½ a 2 * sin β.

Частный случай: равносторонний треугольник

Обычно в задачах про него известна сторона или ее можно как-либо узнать. Тогда формула, по которой находится площадь такого треугольника, выглядит следующим образом:

S = (а 2 √3) / 4.

Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге

Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два.

Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче. А два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по описанному выше способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных. Площадь треугольника определена.

Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.

Пример задачи на формулу Герона

Условие. У некоторого треугольника известны стороны. Они равны 3, 5 и 6 см. Необходимо узнать его площадь.

Теперь можно вычислять площадь треугольника по указанной выше формуле. Под квадратным корнем оказывается произведение четырех чисел: 7, 4, 2 и 1. То есть площадь равна √(4 * 14) = 2 √(14).

Если не требуется большая точность, то можно извлечь квадратный корень из 14. Он равен 3,74. Тогда площадь будет равна 7,48.

Ответ. S = 2 √14 см 2 или 7,48 см 2 .

Пример задачи с прямоугольным треугольником

Условие. Один катет прямоугольного треугольника больше, чем второй на 31 см. Требуется узнать их длины, если площадь треугольника равна 180 см 2 .
Решение. Придется решить систему из двух уравнений. Первое связано с площадью. Второе — с отношением катетов, которое дано в задаче.
180 = ½ а * в;

а = в + 31.
Сначала значение «а» нужно подставить в первое уравнение. Получится: 180 = ½ (в + 31) * в. В нем только одна неизвестная величина, поэтому его легко решить. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: в 2 + 31 в - 360 = 0. Оно дает два значения для «в»: 9 и - 40. второе число не подходит в качестве ответа, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной.

Осталось вычислить второй катет: прибавить к полученному числу 31. Получается 40. Это искомые в задаче величины.

Ответ. Катеты треугольника равны 9 и 40 см.

Задача на нахождение стороны через площадь, сторону и угол треугольника

Условие. Площадь некоторого треугольника 60 см 2 . Необходимо вычислить одну из его сторон, если вторая сторона равна 15 см, а угол между ними равен 30º.

Решение. Исходя из принятых обозначений, искомая сторона «а», известная «в», заданный угол “γ”. Тогда формула площади можно переписать так:

60 = ½ а * 15 * sin 30º. Здесь синус 30 градусов равен 0,5.

После преобразований «а» оказывается равным 60 / (0,5 * 0,5 * 15). То есть 16.

Ответ. Искомая сторона равна 16 см.

Задача о квадрате, вписанном в прямоугольный треугольник

Условие. Вершина квадрата со стороной 24 см совпадает с прямым углом треугольника. Две другие лежат на катетах. Третья принадлежит гипотенузе. Длина одного из катетов равна 42 см. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Решение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — заданный в задаче. Второй — опирается на известный катет исходного треугольника. Они подобны, так как имеют общий угол и образованы параллельными прямыми.

Тогда отношения их катетов равны. Катеты меньшего треугольника равны 24 см (сторона квадрата) и 18 см (заданный катет 42 см вычесть сторону квадрата 24 см). Соответствующие катеты большого треугольника — 42 см и х см. Именно этот «х» нужен для того, чтобы вычислить площадь треугольника.

18/42 = 24/х, то есть х = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Тогда площадь равна произведению 56 и 42, разделенному на два, то есть 1176 см 2 .

Ответ. Искомая площадь равна 1176 см 2 .

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют . И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.

Нижче наведені формули знаходження площі довільного трикутника , які підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника, незалежно від його властивостей, кутів або розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведені пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також, на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначень у формулах і графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо ж трикутник має особливі властивості (рівнобедрений, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з даними властивостями, формули:

• "Формули площі равносторонього трикутника"

Формули площi трикутника

Пояснення до формул:

a, b, c - довжини сторін трикутника, площу якого ми хочемо знайти;
r - радіус вписаного в трикутник кола;
R - радіус описаного навколо трикутника кола;
h - висота трикутника, що опущена на сторону;
p - напівпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра);
α - кут, протилежний стороні a трикутника;
β - кут, протилежний стороні b трикутника;
γ - кут, протилежний стороні c трикутника;
ha, hb, hc - висота трикутника, що опущена на сторону a, b, c ;
відповідно.

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, який знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завдання з геометрії Вам візуально було легше підставити в потрібні місця формули правильні значення.

• Площа трикутника дорівнює половині твору висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена (Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб"є довільний трикутник на два прямокутних. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h , то, стає зрозуміло, що, площа даних трикутників буде дорівнювати рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh ).
• Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними (Формула 2). (див. Приклад рішення задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона не здається схожою на попередню, вона легко може бути в неї перетворена. Якщо з кута B опустити висоту на сторону b , виявиться, що твір боку a на синус кута γ за властивостями синуса в прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що і дасть попередню формулу.
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твір половини радіуса вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін (Формула 3), простіше кажучи, потрібно напівпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легше запам"ятати).
• Площу довільного трикутника можна знайти, розділивши твір всіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4).
• Формула 5 являє собою знаходження площі трикутника через довжини його сторін і його напівпериметр (половину суми всіх його сторін).
• Формула Герона (6) - це визначння тієї ж самої формули без використання поняття напівпериметр, тільки через довжини сторін.
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрату сторони трикутника на синуси прилеглих до цієї сторони кутів, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7).
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів . (Формула 8).
• Якщо відома довжина одного боку і величини двох прилеглих до нього кутів, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цього боку, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9).
• Якщо відома тільки довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника зворотно пропорційна довжині цих висот, як по Формулі Герона .
• Формула 11 дозволяє обчислити площу трикутника за координатами його вершин, які задані у вигляді значень (x; y) для кожної з вершин. Зверніть увагу, що вийшло значення, яке необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть усіх) вершин можуть перебувати в області негативних значень.

Примітка . Далі наведені приклади розв"язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії і схожої на таку тут немає - пишіть про це в форумі. У рішеннях замість символу "квадратний корінь" може застосовуватися функція sqrt (), в якій sqrt - символ квадратного кореня, а в дужках зазначено підкореневий вираз. Іноді для простих підкореневих виразів може використовуватися символ √.

Завдання

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення .

Для вирішення цього завдання використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і буде дорівнює
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (відповідно до формули) у нас є, нам залишається тільки підставити значення з умови задачі в формулу:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставами в вираз значення . Він буде дорівнює кореню з трьох на два.
S = 15 √3 / 2

Відповідь : 7,5 √3 (в залежності від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3 / 2)

Завдання

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3 см.

Рішення .

Площа трикутника можна знайти за формулою Герона:

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Відповідь : 9 √3 / 4.

Завдання

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити в 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення завдання будемо вважати, що довжини сторін відповідно рівні довільним числах a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на питання завдання, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого в чотири рази більше. Співвідношення площ цих трикутників і дасть нам відповідь на завдання.

Далі наведемо текстове пояснення рішення задачі по кроках. Однак, в самому кінці, це ж саме рішення приведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Бажаючі можуть відразу опуститися в низ рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. Вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона наступним чином:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника з складе:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 - загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів за загальними правилами математики.
тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 прекрасно витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(див. п"ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на питання, поставлене в завданні, нам достатньо розділити площа отриманого трикутника, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вираження один на одного і скоротивши, вийшла дріб.

S 2 / S = 16
(див. внизу докладніше запис у вигляді дробу і її скорочення - в останньому рядку)

На малюнку логіка обчислення рішення, описаного вище, наведена вже у вигляді формул (одна за одною)

Відповідь : Площа трикутника збільшиться в 16 разів