Является ли равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник. Подробная теория с примерами. Медиана в равнобедренном треугольнике, которую провели к его основанию, является также высотой и биссектрисой

В котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона - основанием. По определению, правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.

Терминология

Если треугольник имеет две равные стороны, то эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона - основанием. Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом , а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании .

Свойства

• Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Также равны биссектрисы , медианы и высоты , проведённые из этих углов.
• Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

Пусть a - длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b - длина третьей стороны, h - высота равнобедренного треугольника

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; \{2\; \backslash cos\; \backslash alpha\}$ (следствие теоремы косинусов);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; \{2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta)\}$ (следствие теоремы косинусов);
• $b\; =\; 2a\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\; \backslash cos\; \backslash alpha$ (теорема о проекциях)

Радиус вписанной окружности может быть выражен шестью способами в зависимости от того, какие два параметра равнобедренного треугольника известны:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{2a-b\}\{2a+b\}\}$
• $r=\backslash frac\{bh\}\{b+\backslash sqrt\{4h^2+b^2\}\}$
• $r=\backslash frac\{h\}\{1+\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{a^2-h^2\}\}\}$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname\{tg\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname\{tg\}\; \backslash left\; (\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\; \backslash right)$

Углы могут быть выражены следующими способами:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{\backslash pi\; -\; \backslash beta\}\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; \{2R\},\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; \{2R\}$ (теорема синусов).
• Угол может также найден без $\{\backslash pi\}$ и $R$. Треугольник делится медианой пополам, и в полученных двух равных прямоугольных треугольниках вычисляется углы:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{b\}\{c\},\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Периметр равнобедренного треугольника находится следующими способами:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$ (по определению);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$ (следствие теоремы синусов).

Площадь треугольника находится следующими способами:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{b^2\}\{4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2\};$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; \{\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\};$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{b^1\}\{2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1\};$

Смотри также

Напишите отзыв о статье "Равнобедренный треугольник"

Примечания

Отрывок, характеризующий Равнобедренный треугольник

На Марью Дмитриевну, хотя и боялись ее, смотрели в Петербурге как на шутиху и потому из слов, сказанных ею, заметили только грубое слово и шепотом повторяли его друг другу, предполагая, что в этом слове заключалась вся соль сказанного.
Князь Василий, последнее время особенно часто забывавший то, что он говорил, и повторявший по сотне раз одно и то же, говорил всякий раз, когда ему случалось видеть свою дочь.
– Helene, j"ai un mot a vous dire, – говорил он ей, отводя ее в сторону и дергая вниз за руку. – J"ai eu vent de certains projets relatifs a… Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Элен, мне надо тебе кое что сказать. Я прослышал о некоторых видах касательно… ты знаешь. Ну так, милое дитя мое, ты знаешь, что сердце отца твоего радуется тому, что ты… Ты столько терпела… Но, милое дитя… Поступай, как велит тебе сердце. Вот весь мой совет.] – И, скрывая всегда одинаковое волнение, он прижимал свою щеку к щеке дочери и отходил.
Билибин, не утративший репутации умнейшего человека и бывший бескорыстным другом Элен, одним из тех друзей, которые бывают всегда у блестящих женщин, друзей мужчин, никогда не могущих перейти в роль влюбленных, Билибин однажды в petit comite [маленьком интимном кружке] высказал своему другу Элен взгляд свой на все это дело.
– Ecoutez, Bilibine (Элен таких друзей, как Билибин, всегда называла по фамилии), – и она дотронулась своей белой в кольцах рукой до рукава его фрака. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Послушайте, Билибин: скажите мне, как бы сказали вы сестре, что мне делать? Которого из двух?]
Билибин собрал кожу над бровями и с улыбкой на губах задумался.
– Vous ne me prenez pas en расплох, vous savez, – сказал он. – Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (это был молодой человек), – он загнул палец, – vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Вы меня не захватите врасплох, вы знаете. Как истинный друг, я долго обдумывал ваше дело. Вот видите: если выйти за принца, то вы навсегда лишаетесь возможности быть женою другого, и вдобавок двор будет недоволен. (Вы знаете, ведь тут замешано родство.) А если выйти за старого графа, то вы составите счастие последних дней его, и потом… принцу уже не будет унизительно жениться на вдове вельможи.] – и Билибин распустил кожу.
– Voila un veritable ami! – сказала просиявшая Элен, еще раз дотрогиваясь рукой до рукава Билибипа. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Вот истинный друг! Но ведь я люблю того и другого и не хотела бы огорчать никого. Для счастия обоих я готова бы пожертвовать жизнию.] – сказала она.
Билибин пожал плечами, выражая, что такому горю даже и он пособить уже не может.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois», [«Молодец женщина! Вот что называется твердо поставить вопрос. Она хотела бы быть женою всех троих в одно и то же время».] – подумал Билибин. Определение 7. Равнобедренным называется всякий треугольник, две стороны которого равны.
Две равные стороны называют боковыми, третью – основанием.
Определение 8. Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним.
Он является частным видом равнобедренного треугольника.
Теорема 18 . Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания.
Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника. Углы А и С равны, также высота делит основание пополам и будет осью симметрии всей рассматриваемой фигуры.
Также эту теорему можно сформулировать так:
Теорема 18.1 . Медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, высотой и осью симметрии основания.
Теорема 18.2 . Биссектриса равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является высотой, медианой и осью симметрии основания.
Теорема 18.3 . Ось симметрии равнобедренного треугольника одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и высотой.
Доказательство этих следствий тоже следует из равенства треугольников, на которые делится равнобедренный треугольник.

Теорема 19. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Доказательство. Опустим высоту на основание равнобедренного треугольника. Она поделит его на два равных (по катету и гипотенузе) прямоугольных треугольника, значит соответственные углы равны, т.е. ∠ А=∠ С
Признаки равнобедренного треугольника идут из теоремы 1 и его следствий и теоремы 2.
Теорема 20. Если две из указанных четырех линий (высота, медиана, биссектриса, ось симметрии) совпадут, то треугольник будет равнобедренным (а значит, совпадут и все четыре линии).
Теорема 21. Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т.е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.
Теорема 22 . В равностороннем треугольнике совпадают все замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей, точка пересечения высот (называемая ортоцентром треугольника).
Теорема 23 . Если две из указанных четырех точек совпадут, то треугольник будет равносторонним и, как следствие, совпадут все четыре названные точки.
Действительно, такой треугольник окажется, по предыдущему, равнобедренным по отношению к любой паре сторон, т.е. равносторонним. Равносторонний треугольник также называют правильным треугольником. Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами
Рассмотрим эту формулу для равностороннего треугольника, тогда угол альфа будет равен 60 градусов. Тогда формула изменит свой вид на такую:

Теорема d1 . В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его медианы. Тогда треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, стороны AL и BK равны как половины боковых сторон равнобедренного треугольника, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB равны. Но AK и LB - медианы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам.
Теорема d2 . В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, равны.

Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его биссектрисы. Треугольники AKB и ALB равны по второму признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, а углы LBA и KAB равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника. Так как треугольники равны, их стороны AK и LB - биссектрисы треугольника ABC - равны. Теорема доказана.
Теорема d3 . В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные к боковым сторонам, равны.

Доказательство: Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AC = BC), AK и BL - его высоты. Тогда углы ABL и KAB равны, так как углы ALB и AKB прямые, а углы LAB и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольники ALB и AKB равны по второму признаку равенства треугольников: у них общая сторона AB, углы KAB и LBA равны по вышесказанному, а углы LAB и KBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Если треугольники равны, их стороны AK и BL тоже равны. Что и требовалось доказать.

Тема урока

Равнобедренный треугольник

Цель урока

Познакомить учеников с равнобедренным треугольником;
Продолжать формировать навыки построения прямоугольных треугольников;
Расширить знания школьников о свойствах равнобедренных треугольников;
Закрепить теоретические знания при решении задач.

Задачи урока

Уметь формулировать, доказывать и использовать теорему о свойствах равнобедренного треугольника в процессе решения задач;
Продолжать развитие сознательного восприятия учебного материала, логического мышления, навыков самоконтроля и самооценки;
Вызвать познавательный интерес к урокам математики;
Воспитывать активность, любознательность и организованность.

План урока

1. Общие понятия и определения о равнобедренном треугольнике.
2. Свойства равнобедренного треугольника.
3. Признаки равнобедренного треугольника.
4. Вопросы и задания.

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник - это треугольник, имеющий две равные стороны, которые называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, а его третья сторона называется основанием.

Вершиной данной фигуры есть та, которая расположена напротив его основания.

Угол, который лежит напротив основания называется углом при вершине этого треугольника, а два других угла называются углами при основании равнобедренного треугольника.

Виды равнобедренных треугольников

Равнобедренный треугольник, как и другие фигуры, может иметь разные виды. Среди равнобедренных треугольников встречаются остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равносторонние.

Остроугольный треугольник имеет все острые углы.
У прямоугольного треугольника угол его вершины прямой, а при основании расположены острые углы.
Тупоугольный имеет тупой угол при вершине, а при его основании углы острые.
У равностороннего все его углы и стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника

Противолежащие углы в отношении равных сторон равнобедренного треугольника, равны между собой;

Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.

Биссектриса, медиана и высота, направлена и проведена к основанию треугольника, совпадают между собой.

Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, (они совпадают) проведенных к основанию.

Противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника углы, всегда острые.

Данные свойства равнобедренного треугольника применяются при решении задач.

Домашнее задание

1. Дайте определение равнобедренного треугольника.
2. В чем особенность этого треугольника?
3. Чем отличается равнобедренный треугольник от прямоугольного?
4. Назовите известные вам свойства равнобедренного треугольника.
5. Как вы думаете, можно ли на практике проверить равенство углов при основании и как это сделать?

Задание

А теперь давайте проведем небольшой блиц-опрос и узнаем, как вы усвоили новый материал.

Послушайте внимательно вопросы и ответьте верно ли такое утверждение, что:

1. Треугольник можно считать равнобедренным, если у него две стороны равны?
2. Биссектрисой называют отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны?
3. Биссектрисой является отрезок, который делит угол, который соединяет вершину с точкой противоположной стороны пополам?

Советы относительно решения задач о равнобедренном треугольнике:

1. Для определения периметра равнобедренного треугольника достаточно умножить длину боковой стороны на 2 и сложить это произведение с длиной основы треугольника.
2. Если в задаче известны периметр и длина основы равнобедренного треугольника, то для нахождения длины боковой стороны достаточно отнять длину основы от периметра и найденную разницу разделить на 2.
3. А чтобы найти длину основы равнобедренного треугольника, зная и периметр, и длину боковой стороны, необходимо всего лишь умножить боковую сторону на два и отнять это произведение от периметра нашего треугольника.

Задачи:

1. Среди треугольников на рисунке определите один лишний и объясните свой выбор:

2. Определите, какие из изображенных на рисунке треугольников являются равнобедренными, назовите их основы и боковые стороны, а так же рассчитайте их периметр.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 см. Найдите стороны этого треугольника, если одна из них больше на 3 см. Какое количество решений может иметь данная задача?

4. Известно, что если боковая сторона и противолежащий основе угол одного равнобедренного треугольника равен боковой стороне и углу другого, то эти треугольники будут равны. Докажите это утверждение.

5. Подумайте и скажите, является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним? И будет ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?

6. Если стороны равнобедренного треугольника равны 4 м и 5 м, то каков будет его периметр? Сколько решений может иметь эта задача?

7. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 91 градусу, то чему равны остальные углы?

8. Подумайте и ответьте, какие углы должны быть у треугольника, чтобы он одновременно был и прямоугольным, и равнобедренным?

А кто из вас знает, что такое треугольник Паскаля? Задачку на построение треугольника Паскаля часто задают для проверки навыков элементарного программирования. Вообще треугольник Паскаля относиться к комбинаторике и теории вероятности. Так что же это за такой треугольник?

Треугольник Паскаля - это бесконечный арифметический треугольник или таблица в форме треугольника, которая сформирована при помощи биномиальных коэффициентов. Простыми словами, вершиной и сторонами этого треугольника являются единицы, а сам он заполнен суммами двух чисел, которые расположены выше. Складывать такой треугольник можно до бесконечности, но если его очертить, то мы получим равнобедренный треугольник с симметричными строками относительно его вертикальной оси.

Подумайте, а где в повседневной жизни вам приходилось встречать равнобедренные треугольники? Не правда ли, крыши домов и древних архитектурных сооружений очень напоминают их? А вспомните, какая основа у египетских пирамид? Где еще вам встречались равнобедренные треугольники?

Равнобедренные треугольники с древних времен выручали греков и египтян при определении расстояний и высот. Так, например, древние греки определяли с его помощью издалека расстояние до корабля в море. А древние египтяне определяли высоту своих пирамид благодаря длине отбрасываемой тени, т.к. она представляла собой равнобедренный треугольник.

Начиная с древних времен, люди уже тогда оценили красоту и практичность этой фигуры, так как формы треугольников нас окружают всюду. Передвигаясь по разным селениям, мы видим крыши домов и других сооружений, которые напоминают нам о равнобедренном треугольнике, зайдя в магазин, мы нам встречаются пакеты с продуктами и соками треугольной формы и даже некоторые человеческие лица имеют форму треугольника. Эта фигура настолько популярна, что ее можно встретить на каждом шагу.

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Равносторонний треугольник по определению не является равнобедренным, так как в равнобедренном треугольнике равны между собой только две стороны, а в равностороннем – все стороны равны между собой. Равносторонний треугольник является только частным случаем равнобедренного, но отличается от него. Чтобы построить равносторонний треугольник достаточно знать длину только одной стороны, а для построения равнобедренного надо знать длины двух сторон. Определение равнобедренного треугольника приведенное Лейбом абсолютно правильное.

Naitkin Reply:
Октябрь 17th, 2014 at 16:03

А=”Равносторонний треугольник по определению не является равнобедренным”
В=”Равносторонний треугольник является только частным случаем равнобедренного”,
Эти два выражения не могут быть истинны одновременно.

Вячеслав Reply:
Октябрь 18th, 2014 at 13:54

В реальности оба выражения истинны. Это наглядно видно из рисунка 7 vasil stryzhak. Всё множество треугольников равнобедренные, включая красный равносторонний, что соответствует выражению В. Но только один (красный) равносторонний является исключением из множества равнобедренных, и поэтому не может называться только равнобедренным. Для определения треугольника с равными сторонами недостаточно сказать, что он равнобедренный. Это особый вид, не являющийся только равнобедренным, и у него есть специальное название.

Naitkin Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 9:36

“Только” равно бедренным, он (равносторонний) естественно не является. Но равнобедренным, он при этом является. Равносторонний треугольник “получается” из равнобедренного не теряя ни одного из свойств равнобедренного. А значит
C = “равносторонний треугольник является равнобедренным”, и
D = “равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.”
это идентичные высказывания (C=D).
Приведи пример, какое свойство равнобедренный треугольник теряет (именно теряет! [Если приобретает, то все свойства равнобедренного в нём остаются]) и становится равносторонним?
(Только 2 стороны равны, напомню, это не свойство. Это из определения. А раз мы дискутируем об определениях как раз, то нам необходимо вообще абстрагироваться от определений. Не принимать во внимание определения вообще и понять что же такое равнобедренный и равносторонний треугольники. Выясним, какого же определение, зная только свойства.)

Вячеслав Reply:
Октябрь 19th, 2014 at 21:13

О каких свойствах можно говорить без определений? Разве равенство двух сторон в равнобедренном треугольнике следует не из его определения?. Почему нужно приводить пример свойства равнобедренного треугольника, которое он теряет, становясь равносторонним? Нельзя потерять то, чего не имеешь. Равнобедренный треугольник не имеет третьей равной стороны и этого свойства он потерять не может.