V enakokrakem trikotniku so vse stranice enake. Enakokraki trikotnik: lastnosti, znaki in formule. Če so tri stranice trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so ti trikotniki skladni

Opredelitev 7. Enakokraki trikotnik je vsak trikotnik, katerega strani sta enaki.
Dve enaki strani se imenujeta stranski, tretji - osnova.
Opredelitev 8. Če so vse tri stranice trikotnika enake, se trikotnik imenuje enakostranični trikotnik.
To je posebna vrsta enakokrakega trikotnika.
Izrek 18. Višina enakokrakega trikotnika, spuščena na osnovo, je hkrati simetrala kota med enakima stranicama, mediano in simetrično osjo osnovice.
Dokaz. Spustimo višino na osnovo enakokrakega trikotnika. Razdelila ga bo na dva enaka (vzdolž katete in hipotenuze) pravokotna trikotnika. Kota A in C sta enaka, višina pa deli tudi osnovo na polovico in bo os simetrije celotne obravnavane figure.
Ta izrek je mogoče formulirati tudi na naslednji način:
Izrek 18.1. Mediana enakokrakega trikotnika, spuščena na osnovo, je hkrati simetrala kota med enakimi stranicami, višino in simetrično osjo osnovice.
Izrek 18.2. Simetrala enakokrakega trikotnika, spuščena na osnovo, je hkrati višina, mediana in simetrijska os osnovice.
Izrek 18.3. Simetrijska os enakokrakega trikotnika je tudi simetrala kota med enakima stranicama, mediano in višino.
Dokaz teh posledic izhaja tudi iz enakosti trikotnikov, na katere je razdeljen enakokraki trikotnik.

Izrek 19. Kota pri dnu enakokrakega trikotnika sta enaka.
Dokaz. Spustimo višino na osnovo enakokrakega trikotnika. Razdelila ga bo na dva enaka (po kraku in hipotenuzi) pravokotna trikotnika, kar pomeni, da sta pripadajoča kota enaka, tj. ∠ A=∠ C
Predznaki enakokrakega trikotnika izhajajo iz izreka 1 in njegovih posledic ter iz izreka 2.
Izrek 20. Če dve od navedenih štirih premic (višina, mediana, simetrala, simetrijska os) sovpadata, bo trikotnik enakokrak (kar pomeni, da bodo vse štiri premice sovpadale).
Izrek 21. Če sta katera koli dva kota trikotnika enaka, potem je enakokrak.

Dokaz: Podobno kot dokaz neposrednega izreka, vendar z uporabo drugega kriterija za enakost trikotnikov. Težišče, središča opisane in včrtane krožnice ter presečišče višin enakokrakega trikotnika – vse leži na njegovi simetrični osi, tj. na visoko.
Enakostranični trikotnik je enakokrak za vsak par njegovih stranic. Glede na enakost vseh njegovih strani so vsi trije koti takega trikotnika enaki. Če upoštevamo, da je vsota kotov katerega koli trikotnika enaka dvema pravima kotoma, vidimo, da je vsak od kotov enakostraničnega trikotnika enak 60 °. Nasprotno, da se prepričamo, da so vse stranice trikotnika enake, je dovolj, da preverimo, ali sta dva od treh njegovih kotov enaka 60°.
Izrek 22 . V enakostraničnem trikotniku se vse pomembne točke ujemajo: težišče, središča včrtanih in opisanih krogov, točka presečišča višin (imenovana ortocenter trikotnika).
Izrek 23 . Če dve od navedenih štirih točk sovpadata, bo trikotnik enakostranični in posledično bodo vse štiri navedene točke sovpadale.
Dejansko bo tak trikotnik po prejšnjem enakokrak glede na katerikoli par stranic, tj. enakostranični. Enakostranični trikotnik imenujemo tudi pravokotni trikotnik. Površina enakokrakega trikotnika je enaka polovici produkta kvadrata stranice in sinusa kota med stranicama
Razmislite o tej formuli za enakostranični trikotnik, potem bo kot alfa 60 stopinj. Formula se bo nato spremenila v naslednje:

Izrek d1 . V enakokrakem trikotniku sta stranici narisani mediani enaki.

Dokaz: Naj bo ABC enakokraki trikotnik (AC = BC), AK in BL njegovi srednjici. Potem sta trikotnika AKB in ALB skladna glede na kriterij enakosti drugega trikotnika. Imata skupno stranico AB, stranici AL in BK sta enaki polovici stranic enakokrakega trikotnika, kota LAB in KBA pa sta enaka kotoma pri dnu enakokrakega trikotnika. Ker sta trikotnika skladna, sta njuni stranici AK in LB enaki. Toda AK in LB sta mediani enakokrakega trikotnika, narisani na njegove stranice.
Izrek d2 . V enakokrakem trikotniku sta stranicama narisani simetrali enaki.

Dokaz: Naj bo ABC enakokraki trikotnik (AC = BC), AK in BL njegovi simetrali. Trikotnika AKB in ALB sta skladna po drugem kriteriju enakosti trikotnikov. Imata skupno stranico AB, kota LAB in KBA sta enaka kotoma na dnu enakokrakega trikotnika, kota LBA in KAB pa sta enaka polovici kotov na dnu enakokrakega trikotnika. Ker sta trikotnika skladna, sta njuni stranici AK in LB - simetrali trikotnika ABC - enaki. Izrek je dokazan.
Izrek d3 . V enakokrakem trikotniku sta višini, spuščeni na stranice, enaki.

Dokaz: Naj bo ABC enakokraki trikotnik (AC = BC), AK in BL njegovi višini. Tedaj sta kota ABL in KAB enaka, saj sta kota ALB in AKB prava kota, kota LAB in ABK pa sta enaka kot kota na dnu enakokrakega trikotnika. Zato sta trikotnika ALB in AKB skladna po drugem kriteriju enakosti trikotnikov: imata skupno stranico AB, kota KAB in LBA sta po zgornjem enaka, kota LAB in KBA pa sta enaka kot kota na dnu trikotnika. enakokraki trikotnik. Če sta trikotnika enaka, sta enaki tudi njuni stranici AK in BL. Q.E.D.

Tema lekcije

Enakokraki trikotnik

Namen lekcije

Učence seznanimo z enakokrakim trikotnikom;
Nadaljujte z oblikovanjem veščin gradnje pravih trikotnikov;
Razširiti znanje šolarjev o lastnostih enakokrakih trikotnikov;
Utrditi teoretično znanje pri reševanju problemov.

Cilji lekcije

Znati oblikovati, dokazati in uporabiti izrek o lastnostih enakokrakega trikotnika v procesu reševanja problemov;
Nadaljevati razvoj zavestnega dojemanja učnega gradiva, logičnega mišljenja, samokontrole in veščin samoocenjevanja;
Vzbuditi kognitivno zanimanje za pouk matematike;
Gojite aktivnost, radovednost in organiziranost.

Učni načrt

1. Splošni pojmi in definicije enakokrakega trikotnika.
2. Lastnosti enakokrakega trikotnika.
3. Znaki enakokrakega trikotnika.
4. Vprašanja in naloge.

Enakokraki trikotnik

Enakokraki trikotnik je trikotnik, ki ima dve enaki stranici, ki ju imenujemo stranice enakokrakega trikotnika, njegova tretja stranica pa se imenuje osnova.

Vrh te figure je tisti, ki se nahaja nasproti njenega podnožja.

Kot, ki leži nasproti osnovice, imenujemo kot pri vrhu tega trikotnika, druga dva kota pa kota pri dnu enakokrakega trikotnika.

Vrste enakokrakih trikotnikov

Enakokraki trikotnik, tako kot druge oblike, ima lahko različne vrste. Enakokraki trikotniki vključujejo ostrokotne, pravokotne, tope in enakostranične trikotnike.

Ostrokotni trikotnik ima vse ostre kote.
Pravokotni trikotnik ima na vrhu pravi kot, na dnu pa ostre kote.
Obtuse ima na vrhu top kot, na dnu pa ostre kote.
Enakostranični ima vse kote in stranice enake.

Lastnosti enakokrakega trikotnika

Nasprotna kota glede na enake stranice enakokrakega trikotnika sta med seboj enaka;

Simetrale, mediane in višine, narisane iz kotov, ki ležijo nasproti enakim stranicam trikotnika, so med seboj enake.

Simetrala, mediana in višina, usmerjene in narisane na osnovo trikotnika, sovpadajo druga z drugo.

Središči včrtanega in opisanega kroga ležita na višini, simetrali in mediani (sovpadata) narisani na osnovo.

Koti, ki ležijo nasproti enakim stranicam enakokrakega trikotnika, so vedno ostri.

Te lastnosti enakokrakega trikotnika se uporabljajo pri reševanju problemov.

Domača naloga

1. Določite enakokraki trikotnik.
2. Kakšna je posebnost tega trikotnika?
3. Kakšna je razlika med enakokrakim in pravokotnim trikotnikom?
4. Poimenujte znane lastnosti enakokrakega trikotnika.
5. Ali menite, da je v praksi možno preveriti enakost kotov na dnu in kako to storiti?

telovadba

Zdaj pa rešimo kratek kviz in ugotovimo, kako ste se naučili novo snov.

Pozorno poslušaj vprašanja in odgovori, ali drži naslednja trditev:

1. Ali lahko trikotnik štejemo za enakokrakega, če sta njegovi strani enaki?
2. Simetrala je odsek, ki povezuje oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice?
3. Ali je simetrala odsek, ki deli kot, ki razpolavlja oglišče, s točko na nasprotni strani?

Namigi za reševanje problemov enakokrakega trikotnika:

1. Za določitev obsega enakokrakega trikotnika je dovolj, da dolžino stranice pomnožimo z 2 in ta izdelek dodamo dolžini osnove trikotnika.
2. Če sta v problemu znana obod in dolžina osnove enakokrakega trikotnika, je za iskanje dolžine stranske strani dovolj, da od oboda odštejete dolžino osnove in ugotovljeno razliko razdelite na 2. .
3. In če želite najti dolžino osnove enakokrakega trikotnika, če poznate obseg in dolžino stranice, morate samo stran pomnožiti z dvema in ta izdelek odšteti od oboda našega trikotnika.

Naloge:

1. Med trikotniki na sliki določi enega dodatnega in razloži svojo izbiro:

2. Ugotovi, kateri od trikotnikov na sliki je enakokrak, poimenuj njihove osnove in stranice ter izračunaj njihov obseg.

3. Obseg enakokrakega trikotnika je 21 cm. Poiščite stranice tega trikotnika, če je ena od njiju večja za 3 cm. Koliko rešitev ima lahko ta naloga?

4. Znano je, da če sta stranska stranica in kot nasproti osnove enega enakokrakega trikotnika enaka stranski stranici in kotu drugega, potem bodo ti trikotniki enaki. Dokažite to trditev.

5. Pomisli in povej, ali je vsak enakokraki trikotnik enakostranični? In ali bo vsak enakostranični trikotnik enakokrak?

6. Kolikšen bo njegov obseg, če sta stranici enakokrakega trikotnika 4 m in 5 m? Koliko rešitev ima lahko ta problem?

7. Če je eden od kotov enakokrakega trikotnika enak 91 stopinj, čemu so potem enaki drugi koti?

8. Pomisli in odgovori, kakšne kote mora imeti trikotnik, da bo hkrati pravokoten in enakokrak?

Ali veste, kaj je Pascalov trikotnik? Pascalov trikotnik se pogosto prosi za preizkus osnovnih veščin programiranja. Na splošno se Pascalov trikotnik nanaša na kombinatoriko in teorijo verjetnosti. Kaj je torej ta trikotnik?

Pascalov trikotnik je neskončni aritmetični trikotnik ali tabela v obliki trikotnika, ki je oblikovana z uporabo binomskih koeficientov. Preprosto povedano, oglišče in stranice tega trikotnika so enote in je napolnjen z vsotami dveh števil, ki se nahajata zgoraj. Takšen trikotnik lahko dodate v neskončnost, če pa ga obrišete, potem dobimo enakokrak trikotnik s simetričnimi črtami okoli njegove navpične osi.

Pomislite, kje v vsakdanjem življenju ste morali srečati enakokrake trikotnike? Ali ni res, da strehe hiš in starodavne arhitekturne strukture zelo spominjajo nanje? In spomnite se, kaj je osnova egipčanskih piramid? Kje drugje ste videli enakokrake trikotnike?

Enakokraki trikotniki so že od antičnih časov pomagali Grkom in Egipčanom pri določanju razdalj in višin. Tako so na primer stari Grki z njim od daleč določali razdaljo do ladje v morju. In stari Egipčani so višino svojih piramid določali glede na dolžino vržene sence, saj. bil je enakokraki trikotnik.

Že od antičnih časov so ljudje cenili lepoto in praktičnost te figure, saj nas oblike trikotnikov obkrožajo povsod. Ko se premikamo skozi različne vasi, vidimo strehe hiš in drugih objektov, ki nas spominjajo na enakokraki trikotnik, ko gremo v trgovino, vidimo trikotne embalaže hrane in sokov, celo nekateri človeški obrazi imajo obliko trikotnik. Ta številka je tako priljubljena, da jo najdemo na vsakem koraku.

Predmeti > Matematika > Matematika 7. razred Enakokraki trikotnik je trikotnik, v katerem sta dolžini obeh strani enaki.

Opomba. Iz definicije enakokrakega trikotnika sledi, da je tudi pravilni trikotnik enakokraki trikotnik. Vendar je treba zapomniti, da obratno ne drži.

Lastnosti enakokrakega trikotnika

Spodnje lastnosti se uporabljajo pri reševanju problemov. Ker so splošno znani, se razume, da ne potrebujejo razlage. Zato je v besedilih nalog sklicevanje nanje izpuščeno.

• vogali enaka med seboj.
• Simetrale, mediane in višine narisano iz kotov, ki ležijo nasproti enakim stranicam trikotnika, enaka med seboj.
• Simetrala, mediana in višina, narisano na podlago, tekma med seboj.
• Središča včrtanih in opisanih krogov ležijo na višini, simetrali in mediani (sovpadajo), narisani na osnovo.
• vogali nasproti enakih stranic enakokrakega trikotnika, vedno oster.

Stranice v enakokrakem trikotniku je mogoče izračunati s formulami, ki izražajo njihovo dolžino z drugimi stranicami in koti, katerih velikost je znana.

Stranica enakokrakega trikotnika je enaka količniku deljenja osnove z dvojnim kosinusom kota pri osnovi (formula 1). To istovetnost lahko dobimo s preprostimi transformacijami iz kosinusnega izreka.

Osnovica enakokrakega trikotnika je enaka zmnožku stranske stranice in kvadratnega korena dvojne razlike enote in kosinusa kota pri vrhu (formula 2)

Osnovica enakokrakega trikotnika je enaka dvakratnemu produktu stranske stranice in sinusa polovice kota pri vrhu. (Formula 3)

Osnovica enakokrakega trikotnika je enaka dvakratnemu zmnožku stranske stranice in kosinusa kota pri njegovi osnovi (formula 4).

Polmer včrtane krožnice v enakokrakem trikotniku

Simbole v formulah lahko vidite na zgornji sliki. Polmer včrtanega kroga za enakokraki trikotnik je mogoče najti na podlagi vrednosti osnove in vsake stranice. (Formula 1) Polmer včrtanega kroga za enakokraki trikotnik lahko določimo na podlagi vrednosti osnove in višine, narisane na to osnovo (formula 2) Polmer kroga, včrtanega v enakokraki trikotnik, lahko izračunamo tudi preko dolžine stranske stranice in višine, narisane na osnovo trikotnika (formula 3). Poznavanje kota med stranicama in dolžino osnove vam omogoča tudi določitev polmera včrtanega kroga (formula 4) Podobna formula (5) vam omogoča, da določite polmer včrtanega kroga skozi stranice in kot med njima

Znaki enakokrakega trikotnika

Trikotnik, ki ima naslednje značilnosti, je enakokraki.

• Dva kota trikotnika sta enaka
• Višina je enaka mediani
• Višina sovpada s simetralo
• Simetrala je enaka mediani
• Dve višini sta enaki
• Dve mediani sta enaki
• Dve simetrali sta enaki

Območje enakokrakega trikotnika

Območje enakokrakega trikotnika se določi z naslednjimi formulami:

,
kje
a- dolžina ene od dveh enakih stranic trikotnika
b- osnovna dolžina
α - vrednost enega od dveh enakih kotov na dnu

β - kot med enakimi stranicami trikotnika in nasprotno stranjo njegove osnove.

Dobro je, če ima problem več rešitev. Obstaja prostor za ustvarjalnost.
Kako se dvigne razpoloženje, ko je rešitev problema implicitna in ne leži na površini. Lahko presežete in se počutite svobodni.

Pri uri matematike smo se pogovarjali na temo - ali je enakostranični trikotnik enakokrak. Nekateri so trdili, da da, drugi so se z njimi prepirali.

Moral sem se obrniti na najpametnejše strani na internetu in motiti dedce z matematično izobrazbo.
In to je tisto, kar smo ugotovili.

definicija: Enakokraki trikotnik je trikotnik, v katerem sta stranici enako dolgi.

Iz definicije enakokrakega trikotnika izhaja, da je enakokrak tudi pravilni (enakostranični) trikotnik.

Če vzamemo za predznak dolžine stranic in trikotnike razdelimo na vrste, potem bodo vrste sledeče: skalni, enakokraki in poseben primer enakokrakega- enakostranični.

Pogoj enakosti obeh stranic je potreben in zadosten, da trikotnik obravnavamo kot enakokrakega.

Pogoj zadostnosti lahko ali pa tudi ne velja v trikotniku z ostrim, topim ali pravim kotom. V enakostraničnem trikotniku pa vedno velja.

Zato je enakostranični trikotnik vedno enakokrak.

Razmislite o sliki in se spomnite definicije.

AB \u003d BC - torej je Δ ABC enakokrak (po definiciji).
BC=CA - torej je Δ ABC enakokrak (po definiciji).
CA=AB - torej je Δ ABC enakokrak (po definiciji).

Kot lahko vidite, je enakostranični trikotnik ABC ne samo enakokraki, ampak trikrat enakokraki.

2013-11-13

In vendar se obrne ... Pregledal 13. nov. Dobro je, če ima problem več rešitev. Obstaja prostor za ustvarjalnost. Kako se dvigne razpoloženje, ko je rešitev problema implicitna in ne leži na površini. Ocena: