Гамма функция от 1. Курсовая работа: Особые свойства Гамма-функции Эйлера. Действие гамма-лучей на живые организмы

ГАММА-ФУНКЦИЯ, Г-функция,- трансцендентная функция T(z), распространяющая значения факториала z! на случай любого комплексного z ≠ 0, -1, -2, .... Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения

из к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интеграл второго рода)

верное для Re z > 0. Многозначность функции x z-1 устраняется формулой x z-1 = e (z-1)ln x с действительным ln х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

На всей плоскости z с выброшенными точками z = 0, -1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где s z-1 = e (z-1)ln s , причем ln s есть ветвь логарифма, для к-рой 0

Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

zГ(z) = Г(z + 1),

Г(1) = 1, Г(n + 1) = n!, если n > 0 - целое, при этом считают 0! = Г(1) = 1.

2) Формула дополнения Эйлера:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

В частности,

если n > 0 - целое, то

y - действительное.

3) Формула умножения Гаусса:

При m = 2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При Rе z ≥ δ > 0 или |Im z| ≥ δ > 0 имеет место асимптотич. разложение ln Г(z) в ряд Стирлинга:

где B 2n - Бернулли числа. Из чего следует равенство

В частности,

Более точной является формула Сонина :

5) В действительной области Г(х) > 0 для х > 0 и принимает знак (-1) k+1 на участках -k - 1

ГГ"" > Г" 2 ≥ 0,

т. е. все ветви как |Г(x)|, так и ln |Г(х)| - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения

Г(1 + х) = хГ(х)

с точностью до постоянного множителя.

Рис. 2. График функции y = Г(х).

Для положительных х Г.-ф. имеет единственный минимум при х = 1,4616321..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции |Г(х)| при х → -∞ образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

Рис. 3. График функции 1/Г(x).

6) В комплексной области, при Re z > 0, Г.-ф. быстро убывает при |Im z| → -∞

7) Функция 1/Г(z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при Г → ∞

ln М(r) ~ r ln r,

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:

абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля:

где контур С * изображен на рис. 4.

Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным .

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся к-ми производными от ln Г(z). Функция (ψ-функция Гаусса)

мероморфна, имеет простые полюсы в точках z = 0,- 1,_-2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Из представления ψ(z) при |z|

эта формула полезна для вычисления Г(z) в окрестности точки z = 1.

О других полигамма-функциях см. . Неполная гамма-функция определяется равенством

Функции Г(z), ψ(z) суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.: Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; Nielsen N.. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер. с франц., 2 изд., М., 1967.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Гамма-излучения представляют собой электромагнитные колебания очень большой частоты, распространяющиеся в пространстве со скоростью света. Эти излучения испускаются ядром в виде отдельных порций, называемых гамма-квантами или фотонами.

Энергия гамма-квантов лежит в пределах от 0,05 до 5 МэВ. Гамма-излучение с энергией менее 1 МэВ условно называют мягким излучением, а с энергией более 1 МэВ - жестким излучением.

Гамма-излучение не является самостоятельным видом излучения. Обычно гамма-излучение сопровождает бета-распад, реже альфа-распад. Выбрасывая альфа- или бета-частицы, ядро освобождается от избытка энергии, но может оставаться еще в возбужденном состоянии. Переход из возбужденного состояния в основное сопровождается излучением гамма-квантов, состав ядра при этом не изменяется.

В воздухе гамма-лучи распространяются на большие расстояния, измеряе­мые десятками и сотнями метров.

Проникающая способность гамма-лучей в 50-100 раз больше проникающей способности бета-частиц и в тысячи раз больше проникающей способности аль­фа-частиц.

Ионизация среды при прохождении через нее гамма-лучей производите: только вторичными электронами, которые возникают в результате взаимодействия гамма-квантов с атомами вещества. Ионизирующая способность гамма квантов определяется их энергией. В общем один гамма-квант дает столько и пар ионов, сколько их образует бета- или альфа- частица той же энергии. Однако вследствие меньшей поглощаемости гамма-лучей образуемые ими ионы распре­деляются на большем расстоянии. Поэтому удельная ионизирующая способ­ность гамма-квантов в сотни раз меньше удельной ионизирующей способности бета-частиц, в тысячи раз меньше удельной ионизирующей способности альфа-частиц и составляет в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути.

Вывод . Гамма-излучения обладают наибольшей проникающей способно­стью по сравнению с проникающей способностью остальных видов радиоактив­ных излучений. В то же время гамма-излучения обладают очень малой удельной ионизирующей способностью, составляющей в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути гамма-квантов.

Нейтронное излучение и его основные свойства

Нейтронное излучение является корпускулярным излучением, возникаю­щим в процессе деления или синтеза ядер.

Нейтроны оказывают сильное поражающее действие, так как они, не имея электрического заряда, легко проникают в ядра атомов, из которых состоят жи­вые ткани, и захватываются ими.

Более 99% общего количества нейтронов при ядерном взрыве выделяется в течение 10 -14 с. Эти нейтроны называются мгновенными. Остальная часть (около 1%) нейтронов излучается позднее некоторыми осколками деления при их бета-распаде. Эти нейтроны называются запаздывающими.

Скорость распространения нейтронов доходит до 20000 км/ч. Время, необ­ходимое для того, чтобы все нейтроны прошли расстояние от точки взрыва до места, где они представляют угрозу поражения, составляет около одной секунды после момента взрыва.

В зависимости от энергии нейтроны классифицируются следующим обра­зом:

медленные нейтроны 0-0,1 кэВ;

нейтроны промежуточных энергий 0,1-20 кэВ;

быстрые нейтроны 20 кэВ-10 МэВ;

нейтроны высоких энергий свыше 10 МэВ.

Тепловые нейтроны - нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с ок­ружающей средой (с энергией, не превышающей 1 эВ), включены в область мед­ленных нейтронов.

Прохождение нейтронов через вещество сопровождается ослаблением их интенсивности. Это ослабление обусловливается взаимодействием нейтронов с ядрами атомов вещества.

Рентгеновское излучение

Рентгеновские лучи возникают при бомбардировке быстрыми электронами твердых мишеней. Рентгеновская трубка представляет собой эвакуированный баллон с несколькими электродами (рис. 1.2). Нагреваемый током катод К слу­жит источником свободных электронов, испускаемых вследствие термоэлек­тронной эмиссии. Цилиндрический электрод Ц предназначен для фокусировки электронного пучка.

Мишенью является анод А, который называют также антикатодом. Его де­лают из тяжелых металлов (W, Си. Pt и т. д.). Ускорение электронов осуществля­ется высоким напряжением, создаваемым между катодом и антикатодом. Почти вся энергия электронов выделяется на антикатоде в виде теплоты (в излучение превращается лишь 1-3% энергии).

Попав в вещество антикатода, электроны испытывают сильное торможение и становятся источником электромагнитных волн.

При достаточно большой скорости электронов, кроме тормозного излуче­ния (т. е. излучения, обусловленного торможением электронов), возбуждается также характеристическое излучение (вызванное возбуждением внутренних электронных оболочек атомов антикатода).

Интенсивность рентгеновского излученя может быть измерена как по степени фотографического действия, так и по ионизации, производимой им в га­зообразных средах, в частности в воздухе. *М интенсивнее излучение, тем большую ионизацию оно производит. По механизму взаимодействия с вещест­вом рентгеновское излучения аналогично у-излучению. Длина волны рентгенов­ского излучения 10 -10 -10 -6 см, гамма-излучения -10-9 см и ниже.

В настоящее время рентгеновские лучи применяются в качестве контроль­ного средства. С помощью рентгеновских луче» контролируют качество сварки, однородность соответствующих изделий и т. п. В медицине рентгеновские лучи широко применяются для диагностики, а в некоторых случаях и в качестве средства, воздействующего на раковые клетки.

Лекция № 11 (можно сделать 2 лекции)

Каждый человек наверняка слышал о трех типах радиоактивного излучения - альфа, бета и гамма. Все они возникают в процессе радиоактивного распада вещества, и у них есть как общие свойства, так и различия. Наибольшую опасность несет последний тип излучения. Что же он представляет собой?

Природа радиоактивного распада

Чтобы детальнее понять свойства гамма-распада, необходимо рассмотреть природу ионизирующего излучения. Это определение означает, что энергия такого типа излучения очень высока - когда оно попадает в другой атом, называемый «атом-мишень», он выбивает движущийся по его орбите электрон. При этом атом-мишень становится положительно заряженным ионом (поэтому излучение и было названо ионизирующим). От ультрафиолетового или инфракрасного это излучение отличается высокой энергией.

В целом альфа-, бета- и гамма-распады имеют общие свойства. Можно представить себе атом в виде маленького зернышка мака. Тогда орбита электронов будет мыльным пузырем вокруг него. При альфа-, бета- и гамма-распаде из этого зернышка вылетает крошечная частица. При этом заряд ядра меняется, а это означает, что был образован новый химический элемент. Пылинка несется с гигантской скоростью и врезается в электронную оболочку атома-мишени. Потеряв электрон, атом-мишень становится положительно заряженным ионом. Однако при этом химический элемент остается тем же, ведь ядро атома-мишени осталось прежним. Ионизация является процессом химической природы, практически тот же процесс происходит при взаимодействии некоторых металлов, которые растворяются в кислотах.

Где еще происходит γ-распад?

Но ионизирующие излучения происходят не только при радиоактивном распаде. Они также происходят при атомных взрывах и в ядерных реакторах. На Солнце и других звездах, а также в водородной бомбе осуществляется синтез легких ядер, сопровождающийся ионизирующим излучением. В оборудовании для рентгена и тоже происходит этот процесс. Основное свойство, которое имеют альфа-, бета-, гамма-распады - это высочайшая энергия ионизации.

А различия между этими тремя типами излучений определяются их природой. Радиация была открыта в конце XIX столетия. Тогда никто не знал, что представляет собой это явление. Поэтому три типа излучений и были названы буквами латинского алфавита. Гамма-излучение было открыто в 1910 году ученым по имени Генри Грэгг. Гамма-распад имеет такую же природу, как и солнечный свет, инфракрасные лучи, радиоволны. По своим свойствам γ-лучи представляют собой фотонное излучение, однако энергия содержащихся в них фотонов очень высока. Другими словами, это излучение с очень короткой длиной волны.

Свойства гамма-лучей

Это излучение чрезвычайно легко проникает через любые препятствия. Чем более плотный материал стоит на его пути, тем он лучше его задерживает. Чаще всего с этой целью используют свинцовые или бетонные конструкции. В воздухе γ-лучи легко преодолевают десятки и даже тысячи метров.

Гамма-распад очень опасен для человека. При его воздействии могут повреждаться кожа и внутренние органы. Бета-излучение можно сравнить со стрельбой мелкими пулями, а гамма - со стрельбой иглами. Во время ядерной вспышки, помимо гамма-излучения, также происходит образование нейтронных потоков. Гамма-лучи попадают на Землю вместе с Помимо них, оно несет на Землю протоны и другие частицы.

Действие гамма-лучей на живые организмы

Если сравнить альфа-, бета- и гамма-распады, то последний будет наиболее опасным для живых организмов. Скорость распространения этого типа излучения равна скорости света. Именно из-за его высокой скорости оно быстро попадает в живые клетки, вызывая их разрушение. Каким образом?

На пути γ-излучение оставляет большое количество ионизированных атомов, которые в свою очередь ионизируют новую порцию атомов. Клетки, которые подверглись мощному воздействию гамма-излучения, изменяются на различных уровнях своей структуры. Трансформировавшись, они начинают разлагаться и отравлять организм. И самым последним этапом является появление дефектных клеток, которые уже не могут нормально выполнять свои функции.

У человека разные органы имеют разную степень чувствительности к гамма-излучению. Последствия зависят от полученной дозы ионизирующего излучения. В результате этого в организме могут происходить различные физические процессы, нарушаться биохимия. Наиболее уязвимыми являются органы кроветворения, лимфатическая и пищеварительная системы, а также структуры ДНК. Это воздействие опасно для человека и тем, что излучение накапливается в организме. А также оно имеет скрытый период воздействия.

Формула гамма-распада

Чтобы вычислить энергию гамма-излучения, можно воспользоваться следующей формулой:

В этой формуле h - постоянная Планка, v - частота кванта электромагнитной энергии, с - скорость света, λ - длина волны.

Гамма излучение представляет собой довольно серьезную опасность для человеческого организма, да и для всего живого в общем.

Это электромагнитные волны с очень маленькой длиной и высокой скоростью распространения.

Чем же они так опасны, и каким образом можно защититься от их воздействия?

О гамме излучение

Все знают, что атомы всех веществ содержат в себе ядро и электроны, которые вращаются вокруг него. Как правило, ядро – это довольно стойкое образование, которому трудно нанести повреждения.

При этом существуют вещества, ядра которых неустойчивы, и при некотором воздействии на них происходит излучение их составляющих. Такой процесс называется радиоактивным, он имеет определенные составляющие, названные по первым буквам греческого алфавита:

• гамма излучения.

Стоит отметить, что радиационный процесс подразделяется на два вида в зависимости от того, что именно в результате выделяется.

Виды:

1. Поток лучей с выделением частиц – альфа, бета и нейтронное;
2. Излучение энергии – рентгеновское и гамма.

Гамма излучение – это поток энергии в виде фотонов. Процесс разделения атомов под воздействием радиации сопровождается образованием новых веществ. При этом атомы вновь образовавшегося продукта имеют довольно нестабильное состояние. Постепенно при взаимодействии элементарных частиц возникает восстановление равновесия. В результате происходит выброс лишней энергии в виде гаммы.

Проникающая способность такого потока лучей очень высока. Оно способно проникать через кожные покровы, ткани, одежду. Более тяжелым будет проникновение через металл. Чтобы задержать такие лучи необходима довольно толстая стена из стали или бетона. Однако длина волныγ-излучения очень мала и составляет меньше 2·10 −10 м, а ее частота находится в диапазоне 3*1019 – 3*1021 Гц.

Гамма частицами являются фотоны с довольно высокой энергией. Исследователи утверждают, что энергия гаммы излучения может превышать показатель 10 5 эВ. При этом граница между рентгеновскими и γ-лучами далеко не резкая.

Источники:

• Различные процессы в космическом пространстве,
• Распад частиц в процессе опытов и исследований,
• Переход ядра элемента из состояния с большой энергией в состояние покоя или с меньшей энергией,
• Процесс торможения заряженных частиц в среде либо движение их в магнитном поле.

Открыл гамма излучение французский физик Поль Виллар в 1900 году, проводя исследование излучения радия.

Чем опасно гамма-излучение

Гамма излучение является наиболее опасным, нежели альфа и бета.

Механизм действия:

• Гамма лучи способны проникать через кожные покровы внутрь живых клеток, в результате происходит их повреждение и дальнейшее разрушение.
• Поврежденные молекулы провоцируют ионизацию новых таких же частиц.
• В результате возникает изменение в структуре вещества. Пострадавшие частицы при этом начинают разлагаться и превращаться в токсические вещества.
• В итоге происходит образование новых клеток, но они уже с определенным дефектом и поэтому не могут полноценно работать.

Гамма излучения опасно тем, что такое взаимодействие человека с лучами не ощущается им ни в коей мере. Дело в том, что каждый орган и система человеческого организма реагирует по-разному на γ-лучи. Прежде всего, страдают клетки, способные быстро делиться.

Системы:

• Лимфатическая,
• Сердечная,
• Пищеварительная,
• Кроветворная,
• Половая.

Оказывается негативное влияние и на генетическом уровне. Кроме того, такое излучение имеет свойство накапливаться в человеческом организме. При этом в первое время оно практически не проявляется.

Где применяется гамма-излучение

Несмотря на негативное влияние, ученые нашли и положительные стороны. В настоящее время такие лучи применяются в различных сферах жизни.

Гамма излучение — применение:

• В геологических исследованиях с их помощью определяют длину скважин.
• Стерилизация различных медицинских инструментов.
• Используется для контроля внутреннего состояния различных вещей.
• Точное моделирование пути космических аппаратов.
• В растениеводстве применяется для вывода новых сортов растений из тех, что мутируют под воздействием лучей.

Излучение гамма частиц нашло свое применение в медицине. Используется оно в терапии онкологических больных. Такой метод имеет название «лучевая терапия» и основывается на воздействии лучей на быстро делящиеся клетки. В результате при правильном использовании появляется возможность уменьшить развитие патологических клеток опухоли. Однако такой метод, как правило, применяется в том случае, когда другие уже бессильны.

Отдельно стоит сказать о влияние его на мозг человека

Современные исследования позволили установить, что мозг постоянно испускает электрические импульсы. Ученые считают, что гамма излучения возникает в те моменты, когда человеку приходится работать с разной информацией одновременно. При этом небольшое количество таких волн ведет к уменьшению запоминающей способности.

Как защититься от гамма-излучения

Какая же защита существует, и что сделать, чтобы уберечься от этих вредных лучей?

В современном мире человек окружен различными излучениями со всех сторон. Однако гамма частицы из космоса оказывают минимальное воздействие. А вот то, что находится вокруг представляет гораздо большую опасность. Особенно это относится к людям, работающим на различных атомных станциях. В таком случае защита от гамма излучения состоит в применении некоторых мер.

Меры:

• Не находится длительное время в местах с таким излучением. Чем дольше времени человек находится под воздействием этих лучей, тем больше разрушений возникнет в организме.
• Не стоит находиться там, где расположены источники излучения.
• Необходимо использовать защитную одежду. В ее состав входит резина, пластик с наполнителями из свинца и его соединений.

Стоит отметить, что коэффициент ослабления гамма излучения зависит от того, из какого материала сделан защитный барьер. Так, например, лучшим металлом считается свинец в виду его свойства поглощать излучение в большом количестве. Однако он плавится при довольно низких температурах, поэтому в некоторых условиях используется более дорогой металл, например, вольфрам или тантал.

Еще один способ обезопасить себя – это измерить мощность гамма излучения в Вт. Кроме того, мощность измеряется также в зивертах и рентгенах.

Норма гамма излучения не должна превышать 0,5 микрозиверта в час. Однако лучше если этот показатель не будет выше 0,2 микрозиверта в час.

Чтобы измерить гамма излучение, применяется специальное устройство – дозиметр. Таких приборов существует довольно много. Часто используется такой аппарат, как «дозиметр гамма излучения дкг 07д дрозд». Он предназначен для оперативного и качественного измерения гамма и рентгеновского излучения.

У такого устройства есть два независимых канала, которые могут измерять МЭД и Эквивалент дозировки. МЭД гамма излучения это мощность эквивалентной дозировки, то есть количество энергии, которую поглощает вещество в единицу времени с учетом того, какое воздействие лучи оказывают на человеческий организм. Для этого показателя также существуют определенные нормы, которые обязательно должны быть учтены.

Излучение способно негативно влиять на организм человека, однако даже для него нашлось применение в некоторых сферах жизни.

Видео: Гамма-излучение

Область определения гамма-функции Г(ж) В интеграле (1) имеются особенности двух типов: 1) интегрирование по полупрямой 2) в точке подынтегральная функция обращается в бесконечность. Чтобы разделить эти особенности, представим функцию Г(ж) в виде суммы двух интегралов Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов и рассмотрим каждый из них отдельно. Так как то интеграл сходится при (по признаку сравнения). Интеграл сходится при любом х. В самом деле, взяв произвольное, получим, что при любом х При интеграл сходится, следовательно, интеграл сходится при любом x. Тем самым, сходится при и мы доказал и, что областью определения гамма-функции Г(ж) является полупрямая Покажем, что интеграл (1) сходится равномерно по х на любом отрезке Пусть. Тогда при имеем Интегралы в правых частях формул (2) и (3) сходятся, а по признаку Вейерштрасса равномерно сходятся интегралы, стоящие в левых частях неравенств (2) и (3). Следовательно, в силу равенства получаем равномерную сходимость Г(х) на любом отрезке [с, й],где. Из равномерной сходимости Г(ж) вытекает непрерывность этой функции при Некоторые свойства гамма-функции 1. (гамма-функция при х > 0 не имеет нулей). 2. При любом х > 0 имеет место формула приведения для гамма-функции 3. При х = п имеет место формула При х = 1 имеем Пользуясь формулой (4), получим Применяя формулу п раз, при получаем 4. Кривая у = Г(х) выпукла вниз. В самом деле, Отсюда следует, что производная на полупрямой может иметь только один нуль. А так как, то по теореме Ролля этот нуль х0 производной Г"(х) существует и лежит в интервале (1,2). Поскольку, то в точке х0 функция Г(х) имеет минимум. Можно показать, что на (0, +оо) функция Г(х) дифференцируема любое число раз. Из формулы ибо непрерывна и при 6. Формула дополнения. График гамма-функции имеет вид, изображенный на рис. 4. § 4. Бета-функция и ее свойства Бета-функцией называется интеграл зависящий от параметров 4.1. Область определения бета-функции В(х) Подынтегральная функция при имеет две особые точки Для отыскания области определения представим интеграл (7) в виде суммы двух интегралов первый из которых (при) имеет особую точку, а второй (при - особую точку t = 1. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что при, а инте!рал Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов сходится при Тем самым, бета-функция В(х} у) определена для всех положительных значений хну. Можно доказать, что интеграл (7) равномерно сходится в каждой области х^а>0, У>Ь>Оу так что бета-функция непрерывна при Некоторые свойства бета-функции 1. При справедлива формула Бета-функция является симметричной относительно хну, Это следует из формулы (9). §5. Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить интеграл 4 Введем замену получаем Поэтому Пример 2. Вычислить интеграл Положим, тогда, пределы интегрирования остаются прежними, так что заданный интеграл сводится к бета-функции: Пример 3. Исходя из равенства вычислить интеграл Здесь мы воспользовались определением бета-функции и формулами Упражнения Вычислите пределы: Найдите производные F"(y) для следующих функций: о. Исходя из равенства. вычислите интеграл 7. Используя равенство, путем дифференцирования по параметру получите следующую формулу: 8. Докажите, что интеграл РавномеРно сходится по у на всей вещественной оси. 7 dx 9. Докажи те, что интеграл сходится равномерно по параметру s на любом отрезке 10. Используя равенство вычислите путем дифференцирования по параметру интеграл С помощью Эйлеровых интегралов вычислите следующие интегралы: Выразите через Эйлеровы интегралы: Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов целое положительное) Докажем, что интеграл равномерно сходится на всей вещественной оси: 1) имеет место соотношение всякого в качестве Л(е), упоминаемого в определении несобственного интеграла, равномерно сходящегося по параметру у, можно взять При В > А будем иметь Докажем, что интеграл /(«) = / равномерно сходится при а Так как при О 1 и интеграл сходится, то по достаточному признаку Вейерштрасса заключаем, чгто данный интеграл рав- номерно сходится. 10. Имеем Дифференцируя п раз о