Главная » Советы » Потенцирование выражений примеры. Логарифмирование и потенцирование. Использование свойств степеней

Потенцирование выражений примеры. Логарифмирование и потенцирование. Использование свойств степеней

Доказательство. Докажем, что медианы AA 1 и CC 1 в точке пересечения M делятся в отношении 2:1. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2: 1, считая от вершин. Пусть D – середина отрезка BA 1. Тогда C 1 D – средняя линия треугольника ABA 1. Следовательно, прямые AA 1 и C 1 D параллельны. Так как CA 1:A 1 D = 2:1, то по теореме о пропорциональных отрезках получим: CM:MC 1 = 2:1. Аналогично доказывается, что медианы BB 1 и CC 1 в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Значит, все медианы пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2: 1, считая от вершин. Медианы треугольника

BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD" title="Докажите, что если для сторон треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD" class="link_thumb"> 2 Докажите, что если для сторон треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. Так как против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол, то угол ACD меньше угла ADC. Значит, угол ACM меньше угла BCM. BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD"> BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. Так как против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол, то угол ACD меньше угла ADC. Значит, угол ACM меньше угла BCM."> BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD" title="Докажите, что если для сторон треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD"> title="Докажите, что если для сторон треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, то медиана CM лежит ближе к стороне AC, т.е. угол ACM меньше угла BCM. Упражнение 1 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD">

Докажите, что медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AC и BC. Упражнение 2 Доказательство. Продолжим медиану CM и отложим отрезок MD, равный CM. Треугольники AMD и BMC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AD = BC. В силу неравенства треугольника, сторона CD меньше суммы сторон AC и AD. Значит, медиана CM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AC и BC.

Доказательство следует из того, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Упражнение 4

Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что для медианы m c, проведенной из вершины C, имеет место формула Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Складывая эти равенства, получим равенство из которого непосредственно следует искомая формула. Упражнение 5

Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC. Упражнение 10 Решение. На продолжении отрезка MC 1 отложим равный ему отрезок C 1 D. Стороны треугольника ADM равны две трети медиан, а его площадь равна одной третьей. Следовательно, площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC, равна три четвертых. Ответ. 0,75.

Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Биссектрисы треугольника Доказательство. Пусть CD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что AD: DB = AC: BC. Проведем прямую BE, параллельную CD. В треугольнике BEC угол B равен углу E. Следовательно, BC = EC. По теореме о пропорциональных отрезках, AD: DB = AC: CE = AC: BC.

Пусть в треугольнике ABC AC = b, BC = a. Докажите, что для биссектрисы l c, проведенной из вершины C, имеет место формула где c, c – отрезки на которые биссектриса делит сторону AB Доказательство. По теореме косинусов, примененной к треугольникам ACD и BCD, имеем: Умножим первое равенство на c, второе на c и сложим полученные равенства. Делая тождественные преобразования, получим равенство. Упражнение 3

Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Доказательство. У треугольников AC 1 C и BC 1 C высота, проведенная из вершины C, общая, а стороны AC 1 и BC 1 относятся как стороны AC и BC. Следовательно, площади треугольников AC 1 C и BC 1 C относятся как стороны AC и BC. Упражнение 8

Пусть в треугольнике ABC AB = c, AC = b, BC = a. Докажите, что биссектриса CС 1 делится точкой пересечения биссектрис в отношении (a+b):c, считая от вершины. Упражнение 10 Доказательство. Проведем прямую C 1 C, параллельную AA 1. Тогда A 1 C: CB = AC 1: C 1 B = b: a. Пусть A 1 C = bx, CB = ax. Так как CA 1: A 1 B = b: c, то CA 1: A 1 C = b(a+b)x/c. Следовательно, CO: OC 1 = (a + b)/c.

Высоты треугольника Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. (Средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется положительное число c, квадрат которого равен ab, т.е. c =). Доказательство. Треугольники ADC и CDB подобны. Следовательно, или CD 2 = AD BD, т.е. CD является средним геометрическим AD и BD.

Упражнение 5 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что углы A 1 AC и B 1 BC равны. Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет через точки A 1 и B 1. Вписанные углы A 1 AC и B 1 BC опираются на одну дугу AB 1. Следовательно, они равны. Для доказательства равенства углов можно было бы воспользоваться тем, что стороны данных углов перпендикулярны.

Упражнение 6 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что углы AA 1 B 1 и ABB 1 равны. Доказательство. Окружность с диаметром AB пройдет через точки A 1 и B 1. Вписанные углы AA 1 B 1 и ABB 1 опираются на одну дугу AB 1. Следовательно, они равны.

Упражнение 7 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что углы BAC и B 1 A 1 C равны. Доказательство. Угол BAC равен 90 о минус угол ABB 1. Угол B 1 A 1 C равен 90 о минус угол AA 1 B 1. Так как углы AA 1 B 1 и ABB 1 равны (см. предыдущую задачу), то равны и углы BAC и B 1 A 1 C.

Упражнение 8 В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 и BB 1. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику A 1 B 1 C. Доказательство. Углы BAC и B 1 A 1 C равны (см. предыдущую задачу). Угол C треугольников ABC и A 1 B 1 C общий. Следовательно, данные треугольники подобны по двум углам.

Упражнение 11 Теорема. Для радиуса r окружности, вписанной в треугольник, имеет место формула где h a, h b, h c – высоты треугольника. Доказательство. Пусть стороны треугольника ABC равны a, b, c. Для площади S треугольника имеют место равенства: Из которых следует требуемая формула.

Упражнение 12 Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. Доказательство. Для точки C, симметричной точке H пересечения высот треугольника ABC, имеем Следовательно, точка C принадлежит описанной окружности. Аналогично, описанной окружности принадлежат остальные две симметричные точки.

Окружность 1 Теорема 1. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол. Доказательство. Рассмотрим угол АСВ с вершиной С внутри круга и точками А и В на окружности. Пусть А 1, В 1 – точки пересечения с окружностью сторон вертикального к нему угла. Проведем хорду BB 1. Угол АСВ является внешним углом треугольника B 1 СВ. Следовательно, ACB = AB 1 B + B 1 BA 1. Углы, стоящие в правой части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

Окружность 2 Теорема 2. Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Доказательство. Пусть угол ACB образован касательной AC и хордой BC окружности. Если этот угол – прямой, то BC – диаметр окружности и, следовательно, угол ACB измеряется половиной дуги полуокружности, заключенной внутри этого угла. Если угол ACB – острый, то проведем диаметр CD. Имеем ACB = ACD – BCD. Угол ACD измеряется половиной дуги CBD окружности. Угол BCD измеряется половиной дуги BD окружности. Следовательно, их разность (угол ACB) измеряется половиной дуги CB окружности, заключенной внутри этого угла. Самостоятельно рассмотрите случай тупого угла.

Окружность 3 Теорема 3. Угол с вершиной вне круга, стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла. Доказательство. Рассмотрим угол ACB с вершиной C вне окружности и точками A и B на окружности. Пусть А 1, В 1 – точки пересечения с окружностью сторон AC и BC. Проведем хорду AB 1. Угол АВ 1 B является внешним углом треугольника AB 1 С. Следовательно, ACB = AB 1 B – B 1 AA 1. Углы, стоящие в правой части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

Окружность 4 Теорема 4. Произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю точку круга, равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку. Доказательство. Пусть дан круг с центром в точке O, хорда AB и диаметр CD пересекаются в точке E. Докажем, что Треугольники ACE и DBE подобны. Следовательно, значит,

Упражнение 21 Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом, т. е. таких точек С, для которых угол АСВ равен данному углу. Ответ: Дуги двух окружностей одинакового радиуса, опирающихся на отрезок AB, без точек A и B.

Упражнение 23 Ответ: а) ГМТ, лежащих вне окружности с диаметром AB и не принадлежащих прямой AB; Для данных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых угол АСВ: а) острый; б) тупой. б) ГМТ, лежащих внутри окружности с диаметром AB и не принадлежащих отрезку AB.

Упражнение 26 Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE подобны. Доказательство: Угол A треугольника ABE равен углу D треугольника CDE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Аналогично, угол B равен углу C. Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по первому признаку.

Упражнение 31 Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и ELK, DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK. На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF, вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и F треугольника. Найдите подобные треугольники.

Упражнение 32 Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и CDM, BMD и AMC. В окружность вписан остроугольный треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр окружности, который пересекает сторону BC в точке M. Точка D соединена с вершинами B и C треугольника. Найдите подобные треугольники.

Упражнение 33 Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что треугольники ADE и BCE подобны. Доказательство: Угол D треугольника ADE равен углу C треугольника BCE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол E этих треугольников общий. Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по первому признаку.

Упражнение 34 Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите, что AE·CE = BE·DE. Доказательство: Треугольники ADE и BCE подобны. Значит, AE: DE = BE: CE. Следовательно, AE·CE = BE·DE.
Упражнение 36 Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС (C – точка касания). Докажите, что треугольники EAC и ECB подобны. Доказательство. У треугольников EAC и ECB угол E общий. Углы ACE и CBE равны, как углы, опирающиеся на одну хорду. Следовательно, треугольники EAC и ECB подобны.
78 Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно a, причем r

Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Решение. Пусть ABCD – трапеция, вписанная в окружность с центром O и радиусом 25. Возможны два случая: основания AB и CD трапеции расположены по одну сторону от центра O, основания AB и CD расположены по разные стороны от центра O. В первом случае (рис. 1) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ – OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 9. Во втором случае (рис. 2) через точку O проведем прямую, перпендикулярную AB, и обозначим P, Q ее точки пересечения соответственно с AB и CD. Тогда высота PQ трапеции равна OQ + OP. Имеем OQ = OP = Следовательно, PQ = 39. Ответ. 9 или 39. Упражнение 39

Окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках A и B. Известно, что угол AO 1 B равен 90 о, угол AO 2 B равен 60 о, O 1 O 2 = a. Найдите радиусы окружностей. Решение. Возможны два случая: точки O 1, O 2 расположены по разные стороны от прямой AB, точки O 1, O 2 расположены по одну сторону от прямой AB. Обозначим r радиус окружности с центром O 1. Тогда радиус окружности с центром O 2 будет равен. Обозначим P точку пересечения прямых O 1 O 2 и AB. Тогда O 1 P =, O 2 P =. В первом случае (рис. 1) и, следовательно, Во втором случае (рис. 2) и, следовательно, Ответ. или Упражнение 40

Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60 о. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AMC. В первом случае (рис. 1) сумма углов A и C треугольника ABC равна 150 о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 75 о и, следовательно, угол AMC равен 105 о. Ответ. 105 о или 165 о. Решение. Возможны два случая расположения вершины B треугольника ABC. Во втором случае (рис. 2) сумма углов A и C треугольника ABC равна 30 о. Так как AM и CM – биссектрисы этих углов, то сумма углов CAM и ACM равна 15 о и, следовательно, угол AMC равен 165 о. Упражнение 41

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC. Решение. По теореме синусов Откуда Возможны два случая расположения вершины C треугольника ABC. Опустим перпендикуляр BH на прямую AC. Тогда BH = ABsinA = 1. По теореме Пифагора AH = CH = В первом случае (рис. 1) AC = Во втором случае (рис. 2) AC = Ответ. или Упражнение 42

Прямые, содержащие высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB. В первом случае (рис. 1) угол C равен углу CAA 1, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Следовательно, угол C равен 45 о. Во втором случае (рис. 2) угол C равен 135 о. Ответ. 45 о или 135 о. Решение. Пусть AA 1, BB 1 – высоты треугольника ABC. Опишем окружности на CH и AB как на диаметрах. Они пройдут через точки A 1 и B 1. Возможны два случая расположения точки H. Упражнение 43

В треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1, O – центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, B 1 C 1 = 12. Найдите радиус R окружности, описанной около треугольника BOC. Решение. Возможны два случая расположения отрезка B 1 C 1. На BC, как на диаметре, опишем окружность с центром P. Треугольник B 1 C 1 P равносторонний. Следовательно, сумма углов BPB 1 и CPC 1 равна 120 о. В первом случае (рис. 1) треугольники BPC 1 и CPB 1 равнобедренные. Следовательно, сумма углов B и C равна 120 о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 120 о. По теореме синусов находим R =. Во втором случае (рис. 2) сумма углов B и C равна 60 о. Так как BO и CO – биссектрисы, то угол BOC равен 150 о. По теореме синусов находим R = 24. Ответ. или 24. Упражнение 44

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

№	Правила логарифмирования	Правила потенцирования
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Логарифмическая функция

Функция вида у = , где, а - заданное число, а> 0, а ≠ 0, называется логарифмической .

или

Вспомнили и повторили теорию! А теперь немного отступления.

Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: «Каков логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением».

«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы». И рассмотрим приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники. Поистине, безграничны приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошли с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером . Они помогали астрономам и инженерам. Сокращая время на вычисления, и тем самым. Как сказал знаменитый французский ученый Лаплас: «Удлиняя жизнь вычислителям».

Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане, изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером. Она позволяла быстро получать ответ, с инженерного обихода вытеснила микрокалькулятор, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Звезды, шум и логарифмы.

Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оценивается одинаковым образом – по логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит “бел”, но практически используется единица громкости, равные его десятой доле, - так называемый “децибелы”. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела, 3 бела, и т.д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.

Логарифмы и ощущения

Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабо звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.

Логарифмическая спираль.

Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической. Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.