В окружность вписан угол асв величиной 126. Углы, связанные с окружностью. Задания с решением
Разработка урока математики в 6 классеТема урока «Зависимость между величинами».
Цели урока:
1.Дать понятие зависимости между величинами, выяснить способы их задания.
2.Развивать способность учащихся анализировать и синтезировать учебный материал.
3.Воспитывать творческое отношение к учебному труду.
4.Преподнести учебный материал через эмоционально - переживательную сферу ученика.
А теперь опишем по технологию построения учителем методики урока по технологии деятельностного метода.
1. Этап самоопределения нормы N
На этом этапе определяется тема и обучающая цель урока: «На уроке мы рассмотрим зависимость между различными величинами», то есть объявляется операция без уточнения условий ее применения.
2. Этап актуализации знаний и фиксация затруднения в деятельности.
На этом этапе учитель предлагает список заданий, выполнение которых предполагает выполнение известной ранее нормы.
Как найти:
Площадь прямоугольника?
Периметр прямоугольника?
Объем прямоугольного параллелепипеда?
Скорость по течению?
Скорость против течения?
Последним вопросом на этапе актуализации знаний должен быть вопрос, который фиксирует затруднения в деятельности учащихся, то есть, ранее изученных знаний не хватает, возникает учебная проблема. В данном случае это вопрос: «Для чего нужны эти правила и соответствующие формулы?».
3. Этап постановки учебной задачи.
Учитель ставит перед учащимися проблему: Как измерить площадь участка прямоугольной формы, если мы не знаем формулу S =ав? Можно разбить участок на прямоугольники размером в 1 кв. метр и сосчитать их количество. Удобно ли это?
Учащиеся отвечают, что это возможно, но неудобно. Значит, формулы нужны для вычисления величин, измерение которых затруднительно.
Учитель ставит еще более убедительную проблему: как измерить расстояние от Земли до Солнца? Итак, налицо кризис ранее известной нормы N .
4. Этап построения проекта выхода из затруднения.
Ученые установили, что расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. А как они узнали об этом? Совместно с детьми выясняется формула вычисления расстояния от Земли до Солнца s = ct , где с=300000км, t =8 мин, время, за которое свет доходит до Земли. Вычисления показывают, что s =2400000 км. Почему у нас получилось расхождение с известным фактом?
Вывод: Формулу можно применить только в том случае, когда единицы измерения входящих в нее величин согласованы между собой.
На этом этапе уместно воздействие на эмоционально – переживательную сферу ученика с помощью небольшой воспитательной беседы. « Свет от Земли до Солнца идет в течение 8 минут, значит, мы видим Солнце таким, каким оно было 8 минут назад. Есть звезды, свет от которых идет до нас миллионы лет: звезда может уже погасла, а свет от нее идет до сих пор. Так же бывают и люди: человека уже нет с нами, а его тепло, свет согревают нас всю жизнь. Таким человеком был народный поэт Башкортостана Мустай Карим, день памяти которого мы отмечаем сегодня. Его духовная энергия, тепло его сердца будет нам служить нравственным ориентиром многие годы».
На данном этапе урока учащимся предлагаются различные способы задания зависимостей между величинами: табличный, графический и с помощью формулы.
Дети на этом этапе включаются в ситуацию выбора метода решения учебной задачи: они сравнивают различные способы задания зависимостей между величинами. Результаты сравнения фиксируются на опорно – узловой матрице.
1 2Способы задания Формула график таблица
1-универсальность, 2-точность, 3-наглядность;
(Условные обозначения «Д»- да, «Н»- нет)
На основе анализа опорно – узловой матрицы учащиеся делают вывод о том, что наиболее лучшим является задание зависимости между величинами с помощью формулы, потому что он обладает свойством универсальности: из формулы можно получить таблицу зависимости и построить график зависимости между величинами.
5. Этап первичного закрепления во внешней речи.
Разбирается задача №90
По одной формуле зависимости ширины прямоугольника от его длины при постоянной площади: b =12/а составить таблицу этой зависимости и построить её график.
1 ,5
1,5
График зависимости длины прямоугольника от ширины
Итак, мы связали 3 способа задания зависимостей между величинами:
С помощью формулы,
Графический,
Табличный.
6. Этап самостоятельной работы с самопроверкой по эталону.
Учащиеся самостоятельно решают задания на новый способ действий, выполняют самопроверку по эталону и сами оценивают свои результаты. Создаётся ситуация успеха, снова задействована эмоционально-переживательная сфера ученика. На одном этапе учащимся предлагают задания №133, №140. Для реализации принципа минимакса деятельностной технологии обучения учащимся предлагают задания двух уровней: М, А и В.
Уровень М: №133, А: №140. Уровень В: № 145
7. Включение новых знаний в знаний.
На данном этапе учащиеся убеждаются, что вновь приобретённые знания имеют ценность для дальнейшего обучения. Выполняя упражнение №139, они устанавливают зависимость между
Объёмом V куба и его ребром а;
Площадью S прямоугольного треугольника и катетами а и b
Диаметром D и радиусом R этой окружности;
Длиной стороны а прямоугольника, его периметром Р и площадью S ;
S куба и его ребром а
Площадью полной поверхности S прямоугольного параллелепипеда и его измерениями а, b и с.
8. Рефлексия деятельности (итог урока)
Учащиеся выполняют самооценку собственной деятельности (что нового узнали, какой метод использовали, успешность выполненных шагов). Происходит фиксация успешности деятельности и вывод о следующих шагах. Выявляются ученики, выполнившие задания уровня А и В.
Примечание.
Урок проведён по учебнику Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсон. Математика, учебник для 6 класса. Часть 2. Ювента. 2011г
Вычисление углов II
- Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 126 o . Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
- Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63 o , 62 o , 90 o и 145 o . Найдите угол В этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
- Точки A, B, C и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 4: 12: 19. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
- Точки A, B, C и D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1: 5: 10: 20. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
- Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 58 o , угол CAD равен 43 o . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
- Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25 o и 51 o . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
- Углы А, В и С четырехугольника АВСD относятся как 1: 13: 17. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
- Центральный угол на 45 o больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
- Центральный угол на 47 o больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
- Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
- Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.
- Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 10% окружности. Ответ дайте в градусах.
- Дуга окружности АС, не содержащая точки В, составляет 180 o . А дуга окружности ВС, не содержащая точки А, составляет 45 o . Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.
- Точки А, В и С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1: 4: 13. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах.
- АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 35 o . Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
- AС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 39 o . Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.
- Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6 o . Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.
- Хорда АВ стягивает дугу окружности в 114 o . Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку В. Ответ дайте в градусах.
- В угол С величиной 107 o вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В. Найдите угол АОВ, где точка О - центр окружности. Ответ дайте в градусах.
- Касательные в точка А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 2 o . Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.
- Найдите угол CDB, если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 67 o и 25 o . Ответ дайте в градусах.
- Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 75 o . Найдите .
- Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54 o . Найдите .
- Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 30 o . Найдите .
Урок по теме
« Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы» 8 класс.
Цели урока:
- повторить определения касательной, видов углов, закрепить знания по теме,
научить поиску решения нестандартных задач;
- активизировать самостоятельность и познавательную деятельность
учащихся, научить применять полученные знания на практике.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Теоретическая разминка.
3. Тест « Верите ли Вы, что…»
4. Устная работа по готовым чертежам.
5. Тест по форме ГИА (части А и В).
6. Различные способы решения одной задачи.
7. Софизм и окружность.
8. Проект « Найди центр круга».
9. Итоги.
10.Рефлексия.
1. Вступительное слово учителя.
Сегодня на уроке мы обобщим знания по теме «Касательная к
окружности. Центральные и вписанные углы», проверим теоретическую
подготовку по данному разделу, закрепим умения решать задачи по
готовым чертежам и навыки решения тестовых заданий, рассмотрим
различные способы решения одной задачи и обратимся к математическим
софизмам, как к средству развития интереса к математике.
2. Теоретическая разминка.
- дайте определение окружности.
- что называется хордой
- какой отрезок является радиусом окружности.
- каково может быть взаимное расположение прямой и окружности.
- какая прямая называется касательной
- сформулируйте свойство касательной
- какой угол называется центральным
- чему равна градусная мера дуги.
- какой угол называется вписанным.
- сформулируйте теорему о вписанном угле.
- какие следствия из него знаете.
- чему равен угол между касательной и хордой, проходящей через точку
касания.
- сформулируйте теорему о двух пересекающихся хордах.
- сформулируйте теорему о квадрате касательной.
Белая Ирина Вячеславна
3. Тест «Верите ли вы, что…»
(каждому ученику выдается лист с высказываниями; если он согласен с
ним ставит знак +, если нет -)
1 вариант.
1. Верите ли вы, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу?
2. Верите ли вы, что угол, проходящий через центр окружности, называется
центральным углом?
3. Верите ли вы, что хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности?
4. Верите ли вы, что градусная мера полуокружности равна 180º?
5. Верите ли вы, что любые две точки окружности делят ее на две дуги?
6. Верите ли вы, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность равен
180º?
7. Верите ли вы, что отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо
точкой окружности называется диаметром?
8. Верите ли вы, что если две хорды пересекаются, то сумма отрезков одной
хорды равна сумме отрезков другой хорды?
9. Верите ли вы, что если величина центрального угла равна 90º, то вписанный
угол, опирающийся на эту дугу 45º?
10. Верите ли вы, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны?
11. Верите ли вы, что прямая и окружность могут иметь одну, две, три общие
точки?
2 вариант.
1. Верите ли вы, что окружность – это геометрическая фигура, состоящая из точек
плоскости, расположенных на заданном расстоянии?
2. Верите ли вы, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается?
3. Верите ли вы, что хорда, проходящая через центр окружности, называется
диаметром?
4. Верите ли вы, что величина центрального в два раза больше величины дуги, на
которую он опирается?
5. Верите ли вы, что для изображения окружности на чертеже используют циркуль?
6. Верите ли вы, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами
равна 360º?
7. Верите ли вы, что прямая, проходящая через середину хорды перпендикулярна
этой хорде?
8. Верите ли вы, что дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий
ее концы, является диаметром окружности?
9. Верите ли вы, что отрезки касательных к окружности равны и составляют равные
углы с прямой, проходящей через центр окружности?
10. Верите ли вы, что угол, стороны которого пересекают окружность, называется
вписанным углом?
11. Верите ли вы, что при дальнейшем изучении материала с окружностью будут
связаны не только углы, но и треугольники и четырехугольники?
Ответы.
1 вариант.
--+++---++2 вариант.
-++-++-+--+
2
Белая Ирина Вячеславна
4. Устная работа по готовым чертежам.
1.
1) Найти ОА.
(24)
2.
1) Найти угол АВС.
(40)
3.
2) ОА=5, найти ОВ.
(5√2)
2) Найти угол АВС.
(130)
1) Найти углы АОD и ACD.
2) Найти угол АВС.
(80; 40)
(120)
4.
1) Найти DE.
(4)
3) АВ =12, ОВ = 13 ; найти ОА.
(5)
3) Найти углы А и С.
(53 ; 90)
3) Найти угол ВСD.
(110)
2) Найти CD.
(6)
3
Белая Ирина Вячеславна
5. Тестирование по материалам ГИА (уровень Аи В).
Вариант 1.
1. Угол АСВ на 38о меньше угла АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ
а) 96о; б) 114о; в) 104о; г) 76о;
2. МР – диаметр, О – центр окружности. ОМ=ОК=МК. Найдите угол РКО.
а) 60о; б)40о; в) 30о; г) 45о
3. Угол АВС вписанный, угол АОС – центральный. Найдите угол АВС, если угол
АОС=126о
а) 112о; б) 123о; в) 117о; г) 113о;
4
Белая Ирина Вячеславна
Вариант 2.
1. Угол МСК на 34о меньше угла МОК. Найдите сумму углов МСК и МОК.
а) 112о; б) 102о; в) 96о; г) 68о;
2. АС – диаметр окружности, О – ее центр. АВ=ОВ=ОА. Найдите угол
ОВС.
а) 50о; б) 60о; в) 30о; г) 45о;
3. О – центр окружности, угол L =136о. Найдите угол В.
а) 108о; б) 118о; в) 112о; г) 124о;
Вариант 3.
1. Угол EFG на 42о меньше угла EOG найдите сумму углов.
а) 102о; б) 126о; в) 84о; г) 116о;
2. KL – диаметр окружности, О – ее центр. КО=ОМ=КМ. Найдите угол ОМL.
а) 60о; б) 40о; в) 30о; г) 45о;
3. Угол EOD – центральный, угол EFD – вписанный, найдите угол EFD, если угол
EOD=174о.
а) 116о; б) 120о; в) 93о; г) 103о;
Ответы к тесту:
1
2
3
1 Вариант
Б
В
В
2 Вариант
Б
В
В
3 Вариант
Б
В
В
6. Различные способы решения одной задачи
5
Белая Ирина Вячеславна
Задана была задача на вычисление суммы углов пятиконечной звезды,
вписанной в окружность. (Рис. 1)
Ученики могут решать эту задачу двумя способами, если нашли только один
способ решения, то можно по усмотрению комментировать другой.
I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные
дуги, задача решается очень просто; 360о/5/2*5=180о.
II способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому
В этой статье я расскажу как решать задачи, в которых используются .
Сначала, как обычно, вспомним определения и теоремы, которые нужно знать, чтобы успешно решать задачи на .
1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность:
2. Центральный угол - это угол, вершина которого совпадает с центром окружности:
Градусная величина дуги окружности измеряется величиной центрального угла, который на нее опирается.
В данном случае градусная величина дуги АС равна величине угла АОС.
3. Если вписанный и центральный угол опираются на одну дугу, то величина вписанного угла в два раза меньше центрального :
4. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны между собой:
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°:
Решим несколько задач.
1 . Задание B7 (№ 27887)
Найдем величину центрального угла, который опирается на ту же дугу:
Очевидно, что величина угла АОС равна 90°, следовательно, угол АВС равен 45°
Ответ: 45°
2 .Задание B7 (№ 27888)
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Очевидно, что угол АОС равен 270°, тогда угол АВС равен 135°.
Ответ: 135°
3 . Задание B7 (№ 27890)
Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдем величину центрального угла, который опирается на дугу АС:
Величина угла АОС равна 45°, следовательно, градусная мера дуги АС равна 45°.
Ответ: 45°.
4 . Задание B7 (№ 27885)
Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Ответ дайте в градусах.
Угол ADB опирается на дугу АВ, следовательно, величина центрального угла АОВ равна 118°, следовательно, угол BDA равен 59°, и смежный ему угол ADC равен 180°-59°=121°
Аналогично, угол DOE равен 38° и соответствующий вписанный угол DAE равен 19°.
Рассмотрим треугольник ADC:
Сумма углов треугольника равна 180°.
Величина угла АСВ равна 180°- (121°+19°)=40°
Ответ: 40°
5 . Задание B7 (№ 27872)
Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , и . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.
Угол В опирается на дугу АDC, величина которой равна сумме величин дуг AD и CD, то есть 71°+145°=216°
Вписанный угол В равен половине величины дуги ADC, то есть 108°
Ответ: 108°
6 . Задание B7 (№ 27873)
Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6 . Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
(см. чертеж предыдущей задачи)
Так как у нас дано отношение величин дуг, введем единичный элемент х. Тогда величины каждой дуги будут выражаться таким соотношением:
АВ=4х, ВС=2х, СD=3х, AD=6x. Все дуги образуют окружность, то есть их сумма равна 360°.
4х+2х+3х+6х=360°, отсюда х=24°.
Угол А опирается на дуги ВС и CD, которые в сумме имеют величину 5х=120°.
Следовательно, угол А равен 60°
Ответ: 60°
7 . Задание B7 (№ 27874)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен , угол CAD
