Сложение вычитание натуральных чисел его свойства. Вычитание натуральных чисел: правила, примеры и решения. Как связаны сложение и вычитание
А теперь вычтем из 140 число 60 . Имеем 140−60=(100+40)−60 . Так как 60 больше, чем 40 , то вычитание нужно проводить следующим образом: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .
Отнимем от 10 432
число 300
. Раскладываем уменьшаемое по разрядам и дальше применяем свойство вычитания числа из суммы трех и большего количества чисел:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300=
10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132
.
В заключении этого пункта вычислим разность 231 112−7 000
. Имеем
231 112−7 000=
(200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000=
200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2
.
Все свелось к нахождению разности 30 000−7 000
. Так как 30 000=20 000+10 000
, то 30 000−7 000=
(20 000+10 000)−7 000=
20 000+(10 000−7 000)=
20 000+3 000=23 000
. Воспользуемся этим результатом и закончим вычисления:
200 000+(30 000−7 000)+
1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2=
224 112
.
Вычитание произвольных натуральных чисел.
Осталось рассмотреть вычитание натуральных чисел, когда вычитаемое раскладывается в сумму разрядных слагаемых. В этом случае вычитание проводится следующим образом: после представления вычитаемого в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа необходимое количество раз. Причем сначала удобнее вычитать единицы, затем – десятки, далее – сотни и т.д.
Для примера вычислим разность 45−32 . Раскладываем вычитаемое 32 по разрядам: 32=30+2 . Имеем 45−32=45−(30+2) . Для удобства в скобках переставим слагаемые местами 45−(30+2)=45−(2+30) (это мы можем делать в силу переместительного свойства сложения). Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45−(2+30)=(45−2)−30 . Осталось вычислить разность 45−2 , после чего от полученного результата отнять число 30 . Выполнение этих действий не вызовет затруднений, если Вы хорошо усвоили материал предыдущих пунктов. Итак, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . Тогда (45−2)−30=43−30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .
Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
45−32=45−(2+30)=
(45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30=
(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13
.
Немного усложним пример. Вычтем из числа 85 число 18 . Раскладываем по разрядам число 18 , при этом получаем 18=10+8 . Меняем местами слагаемые: 10+8=8+10 . Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85 и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .
Вычисляем разность в скобках:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5=
((70+10)−8)+5=
(70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77
.
Тогда (85−8)−10=77−10= (70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .
Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.
Отнимем от числа 23 555 число 715 . Так как 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , то 23 555−715=23 555−(5+10+700) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555−(5+(10+700))= (23 555−5)−(10+700) .
Вычислим разность в скобках:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5=
20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0=
20 000+3 000+500+50=23 550
.
Тогда (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .
Опять вычисляем разность в скобках:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10=
20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540
.
Имеем
(23 550−10)−700=
23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40
.
Вычтем из 3 000 число 700 и этот результат подставим в последнюю сумму: 3 000−700=(2 000+1 000)−700= 2 000+(1 000−700)= 2 000+300=2 300 , тогда 20 000+(3 000−700)+500+40= 20 000+2 300+500+40=22 840 .
В заключение этого пункта необходимо отметить, что для вычитания двух натуральных чисел удобно использовать специальный метод, который получил название вычитание столбиком .
Вычитание натуральных чисел на координатном луче.
Посмотрим, что представляет собой вычитание натуральных чисел с точки зрения геометрии. Для этого нам понадобится . Для удобства будем считать, что он расположен горизонтально и вправо.
Вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче можно истолковать следующим образом. Находим точку, координатной которой является уменьшаемое a . Теперь из этой точки в направлении точки O последовательно друг за другом будем откладывать единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Эти действия нас приведут в точку на координатном луче, координата которой равна разности a−b . Другими словами вычитание из натурального числа a натурального числа b на координатном луче представляет собой перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , при этом мы попадаем в точку с координатой a−b .
Приведенный ниже рисунок иллюстрирует вычитание на координатном луче из натурального числа 6 натурального числа 4 . После всех необходимых действий мы попадаем в точку с координатой 2 , и убеждаемся, что 6−4=2 .
Проверка результата вычитания натуральных чисел сложением.
Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением, о которой мы уже упоминали в первом пункте этой статьи. Там мы выяснили, что если c+b=a , то a−b=c и a−c=b . Также достаточно легко показать справедливость следующих обратных утверждений: если a−b=c , то c+b=a ; если a−c=b , то b+c=a . Покажем справедливость первого из них (для второго можно провести аналогичные рассуждения).
Пусть мы из a имеющихся предметов отложили в сторону b предметов, после чего у нас осталось c предметов. Этому действию в силу смысла вычитания натуральных чисел соответствует равенство a−b=c . Если после этого мы вернем отложенные b предметов на место (добавим их к c предметам), то понятно, что у нас окажется исходное количество предметов, то есть, a . Тогда, обратившись к смыслу сложения натуральных чисел, можно говорить о справедливости равенства c+b=a .
Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее осуществить проверку результата вычитания посредством сложения: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому . Если же получится число, не равное уменьшаемому, то это будет свидетельствовать о том, что при вычитании где-то была допущена ошибка.
Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.
Пример.
Из натурального числа 50 было вычтено натуральное число 42 1 024−11=1 024−(1+10)= (1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .
Теперь выполняем проверку результата вычитания: 1 013+11=(1 000+10+3)+(10+1)= 1 000+10+10+3+1= 1 000+20+4=1 024 . Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно.
Ответ:
1 024−11=1 023 .
Проверка результата вычитания натуральных чисел вычитанием.
Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность, при этом должно получиться число, равное вычитаемому . Если же получается число, отличное от вычитаемого, то где-то была допущена ошибка.
Немного поясним озвученное правило, позволяющее осуществлять проверку результата вычитания натуральных чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим все яблоки в сторону, то у нас останется только c груш, при этом имеем a−b=c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a−c=b .
Пример.
От натурального числа 543 было отнято натуральное число 343 , в результате было получено число 200 . Выполните проверку полученного результата.
Решение.
Конечно же, проверить результат вычитания можно с помощью сложения: 200+343=543 . Так как полученное число равно уменьшаемому, то вычитание было проведено правильно.
Также можно выполнить проверку вычитания натуральных чисел с помощью вычитания. Для этого от уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543−200=(500+43)−200= (500−200)+43=30+43=343 . Это число равно вычитаемому, поэтому вычитание выполнено верно.
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Тема: «Вычитание натуральных чисел».
Тип урока : урок совершенствования знаний, умений и навыков.
Цели урока :
1. закрепление свойства вычитания;
2. решение задач, в которых используется действие вычитания.
3. проверить знания учащихся по следующим темам:
А. решение задач, в которых используется действие вычитания.
Б. вычитание суммы из числа, и вычитание из суммы число.
4. развивать познавательные интересы учащихся, самостоятельность мышления, умение ориентироваться в тексте задачи, речь;
Задачи урока:
1. Образовательные:
Обобщить знания по теме "Вычитание натуральных чисел";
Закрепить умение применять свойства вычитания в процессе выполнения заданий;
Контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Вычитание натуральных чисел».
2. Развивающие:
Работать над развитием понятийного аппарата;
Развивать познавательную активность;
Развивать культуру учебной деятельности;
Развивать осмысленное отношение к своей деятельности;
Развивать умение выделять главное;
Способствовать развитию интереса к предмету, организованности, ответственности;
Развивать самостоятельность мышления, видеть общую закономерность и делать обобщенные выводы.
3.Воспитательные:
Воспитывать ответственное отношение к учению;
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
Воспитывать аккуратность;
Воспитывать культуру общения.
Ход урока
I. Организационный момент.
Собрать тетради с домашним заданием . Записать в тетрадях число, классная работа, тему урока.
II. Актуализация опорных знаний.
Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы.
а) Какое действие называется вычитанием? (действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое)
б) Как называются числа при вычитании? (уменьшаемое, вычитаемое и разность)
в) Какое число называется уменьшаемым? (число, из которого вычитают)
г) Какое число называется вычитаемым? (число, которое вычитают)
д) Какое число называется разностью? (результат вычитания)
е) Как узнать, насколько одно число больше другого? (нужно найти их разность)
ж) Сколько существует свойств вычитания? Сформулируйте их, приведите пример.
Рассмотреть пример: 64 – (5 + 4) =
Как можно получить результат?
К доске выходят двое учащихся и записывают 2 способа решения данного примера.
I способ: 64 – (5 + 4) = 64 – 9 = 55. II способ: (64–4) – 5 = 55
Учитель приводит высказывание Джордж а По́лиа : « Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! !»
Сегодня на уроке мы продолжим с вами изучение темы "Вычитание натуральных чисел" и разберем задачи, в которых используется действие вычитания.
I I I. Решение задач. Работа с учебником .
Все задачи данного урока можно разделить на 2 группы:
1) № 247, 263.
2) 249, 250, 286, 291.
Шестеро учащихся по очереди решают задачи у доски, остальные учащиеся решают данные задачи в тетрадях.
Задача № 247.
Точка C лежит на отрезке AB . Найдите длину отрезка AC , если AB =38 см, а CB =29 см.
Задача № 263.
Длина отрезка AB равна 37 см. Точки C и D лежат на отрезке AB , причем точка D лежит между точками C и B . Найдите длину отрезка CD , если
а) A С=12 см, BD =17 см; б) AD =26 см, CB =18 см.
Задача № 249.
Один станок-автомат изготовил 1235 деталей, а второй - 1645 деталей. На сколько деталей второй станок изготовил больше, чем первый.
Задача № 250.
С двух участков земли собрали 96 мешков картофеля. с первого участка собрали 54 мешка. На сколько мешков картофеля меньше собрали со второго участка, чем с первого?
Задача № 286.
От мотка лески отрезали 37 м. На сколько метров лески отрезали больше, чем ее осталось в мотке, если первоначально в мотке было 54 м лески?
Задача № 291.
Пассажирский поезд составлен из 12 вагонов по 58 мест в каждом. Сколько осталось свободных мест, если в поезде едут 667 пассажиров?
IV. Физкультминутка для пальцев рук, глаз и спины (Слайд 11 ).
V. Самостоятельная работа (15 минут). (Слайд 12)
Вариант I
свойства вычитания :
а) (6571 +3455) – 2571; в) 3457 – (2457 + 349);
б) (2397 +6831) – 6831; г) 9522 – (3989 + 4522).
2) Модель телебашни состоит из трёх блоков. Высота нижнего блока 1 м 35 см, среднего – на 45 см короче нижнего. Какова высота верхнего блока, если высота модели 4 м?
3) Выполните вычитание:
а) 8003565440 – 6989128416; б) 9000551000 – 8797496.
Вариант II
1) Выполните действия наиболее простым способом, используя свойства вычитания :
а) (6574 + 3359) – 2359; в) 5456 – (2456 + 728);
б) (1234 +2587) – 1234; г) 8289 – (2623 + 3289).
2) Доспехи средневекового рыцаря весят 27 кг 500 г, а меч на 18 кг 400 г легче. Сколько весит щит, если полное вооружение рыцаря весит 50 кг?
3) Выполните вычитание:
а) 8103096320 – 7387809278; б) 3400300200 – 5987574.
VI . Подведение итогов урока. Выставление оценок за работу на уроке.
1. Какую темы мы продолжили сегодня с вами изучать?
2. Какие свойства вычитания мы сегодня с вами повторяли?
3. Может ли быть вычитаемое больше уменьшаемого?
V II . Домашнее задание: п. 7, № 293, 294, 296. ( Слайд 13 )
Ранее мы изучали, что такое натуральные числа и какие существуют свойства для того, чтобы производить вычитание. В данной статье представлены основные правила, которые помогут нам выполнять вычитание натуральных чисел. Для того, чтобы информация была понятна и быстро запомнилась, мы снабдили теоретический материал подробно разобранными упражнениями и типичными примерами.
Как связаны сложение и вычитание
Сложение и вычитание тесно связаны. Вычитание – это действие, обратное для сложения. Чтобы усвоить эту информацию, следует рассмотреть подробный пример.
Представим, что в результате сложения предметов c и b , мы получаем предмет a . Исходя из основ сложение натуральных чисел, можно сделать вывод, что c + b = a . Если мы воспользуемся переместительным свойством сложения, то сможем преобразовать полученное равенство как b + c = a . Делаем вывод, что если из а вычесть b , то останется c . Данное равенство a − b = c будет считаться справедливым. По аналогии получаем, что, отняв от а число c , то останется b , то есть, a − c = b .
Благодаря примеру, который мы рассмотрели выше, можно сделать вывод, что если сумма чисел c и b равна a , то число c является разностью натуральных чиселси b , а число b – разностью чисел a и c . То есть, c = a − b и b = a − c , если c + b = a .
Преобразуем данное утверждение и получим важное правило.
Определение 1
Если сумма двух чисел c и b равна a , то разность a − c равна b , а разность a − b равна c .
Теперь мы можем отчетливо увидеть, что сложение и вычитание неразрывно связаны. Исходя из этого факта, можно вывести понятие.
Определение 2
Вычитание – это действие, с помощью которого находится одно слагаемое, когда известна сумма и другое слагаемое.
Данное определение зачастую применяется в различных примерах и задачах.
Таблица сложения зачастую может быть использована для нахождения суммы двух чисел и для нахождения одного слагаемого в том случае, если известна сумма и другое слагаемое.
Рассмотрим данное утверждение на примере. Рассмотрим упражнение, в котором необходимо найти неизвестное слагаемое, если известно, что второе слагаемое равно 5 , а сумма равна 8 .
Это может быть выполнено двумя способами. Воспользуемся графической иллюстрацией, на которой известные числа выделены красным, а найденные – синим.
Рассмотрим несколько способов.
Первый способ. Необходимо найти строку в таблице, известное слагаемое расположено в крайней левой ячейке (берем известное число 5). После этого необходимо найти столбец, пересекающийся с найденной строкой в ячейке. Эта строка должна содержать известную сумму (согласно примеру, число 8 ). Число, которое нам необходимо найти, расположено в верхней ячейке найденного столбца. Делаем вывод, что число 3 – э то и есть искомое слагаемое.
Второй способ. Необходимо найти в таблице сложения столбец, в верхней ячейке которого располагается известное слагаемое. Находим строчку, пересекающуюся с известным столбцом в ячейке, который соответствует известной сумме. Делаем вывод, что слагаемое, которое требуется найти, расположено в крайней левой ячейке этой строки.
Так, как мы знаем, что сложение и вычитание тесно связаны, эта таблица может быть использована и для поиска разности натуральных чисел. Подробно рассмотрим данную теорию на примере.
Представим, что необходимо вычесть число 7 из числа 16 . Делаем вывод, что вычитание сводится к нахождению числа, которое в сумме с числом 7 даст число 16 . Воспользуемся использованной выше таблицей.
Вычтя из числа 16 число 7 , получаем искомую разность 9 .
Для того, чтобы пользоваться данной таблицей, рекомендуем заучить информацию и довести процесс нахождения чисел по таблице до автоматизма.
Как производить вычитание разрядов чисел
С помощью таблицы сложения, которую мы рассмотрели выше, можно вычитать десятки из десятков, сотни из сотен, тысячи из тысяч. Так, как мы легко можем работать с простыми числами, так, и по аналогии, можно вычитать десятки и сотни. Например, 6 сотен минус 2 сотни равно 4 сотням, то есть, 600 − 200 = 400 . Также мы можем использовать таблицу и в других случаях.
Если вспомнить, что одна сотня – это 10 десятков, одна тысяча – это 10 сотен, то мы можем вычислять разность, десятков, сотен, тысяч и других чисел.
Рассмотрим пример.
Пример 2
100 − 70 .
Преобразуем числа как десятки. Получаем десять десятков и семь десятков. Из таблицы сложения получаем 10 − 7 = 3 , тогда разность 10 десятков и 7 десятков равна 3 десяткам, то есть, 100 − 70 = 30 .
Пример 3
Необходимо вычислить разность 100 000 − 80 000 .
Так как 100 000 – это 10 десятков тысяч, а 80 000 – это 8 десятков тысяч, а 10 − 8 = 2 . Получаем, что 100 000 − 80 000 = 20 000 .
Вычитание натурального числа из суммы чисел
Чтобы найти разность суммы двух чисел и числа, необходимо сначала вычислить сумму, из которого вычитается число. Чтобы упростить процесс вычитания, можно воспользоваться определенным свойством вычитания. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4
Необходимо вычесть из суммы 50 + 8 натуральное число 20 .
Сумма 50 + 8 – это сумма разрядных слагаемых числа 58 . Ищем варианты решения. Используем приведенное выше правило вычитания: так как 20 < 50 , то справедливо равенство (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 . Можем сделать вывод, что 50 − 20 = 30 ( 5 десятков – 2 десятка), тогда (50 − 20) + 8 = 30 + 8 . Искомое число – 38 .
Решение можно представить в виде цепочки равенств: (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 = 30 + 8 = 38 .
Пример 5
Необходимо вычесть из суммы 21 + 8 число 3 . Так, как и 3 < 21 и 3 < 8 , то справедливы равенства (21 + 8) − 3 = (21 − 3) + 8 и (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) .
Выберем наиболее подходящий вариант вычисления. Вычитаем из меньшего числа. В примере 8 < 21 . Итак, (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) = 21 + 5 = 26 .
Усложним пример. Необходимо вычислить разность числа 20 из суммы 20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1 . Воспользуемся свойством вычитания, которое мы изучили выше.
Вычислить разность довольно легко: (20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1) − 20 = 20 000 + 6 000 + 300 + (50 − 20) + 1 = = 20 000 + 6 000 + 300 + 30 + 1 = 26 331 .
Рассмотрим решение еще одного примера: (107 + 42 + 9) − 3 = 107 + 42 + (9 − 3) = 107 + 42 + 6 = 155 .
Вычитание суммы чисел из натурального числа
Определение 2Чтобы вычесть сумму двух чисел из натурального числа, необходимо вычислить сумму, после чего провести вычитание.
Можно использовать свойство вычитания, приведенное выше. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 6
Необходимо вычесть из числа 100 сумму 90 + 8 .
Согласно свойству, получаем: 100 − (90 + 8) = (100 − 90) − 8 . Находим 100 − 90 = 10 .
Представим вычисление как: (100 − 90) − 8 = 10 − 8 = 2 .
Пример 7
Необходимо найти разность числа 17 и суммы чисел 8 и 4 .
Получаем, что: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 . Воспользуемся таблицей и получаем, что 17 − 8 = 9 , тогда (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 . Можно кратко записать решение как: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 .
Правая часть равенства a − (b + c) = (a − b) - c иногда записывается в виде a − (b + c) = a − b − c . В этом случае подразумевается, что a − b − c = (a − b) − c . Разность 15 − (7 + 2) можно представить, как 15 − 7 − 2 . Вычисляем разность – отнимаем от 15 число 7 . Вычитаем 2 из полученного результата.
Таким образом, 15 − (7 + 2) = 15 − 7 − 2 = 8 − 2 = 6 .
Используя свойство вычитания и сочетательное свойство сложения, можно найти разность суммы двух, трех и более чисел.
Пример 8
Необходимо выполнить вычитание из числа 1 000 суммы трех чисел вида 900 + 90 + 1 .
Сумму 900 + 90 + 1 представим, как 900 и 90 + 1 , то есть, 900 + 90 + 1 = 900 + (90 + 1) (изучите подходящий раздел для лучшего понимания). Используем свойство вычитания, изученное выше: 1 000 − (900 + (90 + 1)) = (1 000 − 900) − (90 + 1) . Так как 1 000 − 900 = 100 , т о (1 000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1) . Вычитаем сумму из числа: 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9 .
Краткая запись решения имеет вид: 1 000 − (900 + 90 + 1) = (1 000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9
Разность 1 000 − (900 + 90 + 1) также может выглядеть как ((1 000 − 900) − 90) − 1 . Можно записать это по-другому как 1 000 − 900 − 90 − 1 . В этих случаях сначала находится разность первых двух чисел, далее от полученного результата вычитается третье число и так далее.
Пример 9
Необходимо вычесть из числа 20 сумму чисел 10 , 4 , 3 и 1 . Получаем, что: 20 − (10 + 4 + 3 + 1) = 20 − 10 − 4 − 3 − 1 = 10 − 4 − 3 − 1 = 6 − 3 − 1 = 3 − 1 = 2 .
Вычитание единиц из десятков, сотен, тысяч
От числа 10 можно любое число от 1 до 9 . Используем таблицу, представленную выше. Но что делать в других случаях? Необходимо уменьшаемое представить, как сумму двух слагаемых, одно из которых равно 10 , после чего вычесть его из суммы. Закрепим знание материала примером:
Пример 10
Необходимо вычесть из 60 число 5 .
Число 60 представляем в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 10 . Второе числа находим, вычитая из 60 число 10 . Так как 60 − 10 = 50 , то 60 = 50 + 10 . Заменим 60 суммой 50 + 10 , получая 60 − 5 = (50 + 10) − 5 . Получаем, что: (50 + 10) − 5 = 50 + (10 − 5) = 50 + 5 = 55 .
Рассмотрев вычитание единиц из десятков, перейдем к вычитанию единиц из сотен.
Чтобы из 100 вычесть число от 1 до 10 нужно 100 представить, как 90+10 90 + 10 и прибегнуть к правилу.
Пример 11
Необходимо найти разность 100 − 7 .
Представим 100 как 90 + 10 и выполняем: 100 − 7 = (90 + 10) − 7 = 90 + (10 − 7) = 90 + 3 = 93 . Усложним пример. Отнимем от числа 500 число 3 . Представим 500 в виде суммы. Второе слагаемое = 500 − 100 , то есть, 400 . Имеем 500 = 400 + 100 . 100 = 90 + 10 , 500 = 400 + 90 + 10 .
Таким образом, 500 − 3 = (400 + 90 + 10) − 3 .
Закончим вычисление: (400 + 90 + 10) − 3 = 400 + 90 + (10 − 3) = 400 + 90 + 7 = 497 .
Перейдем к вычитанию единиц из тысяч.
Пример 12
Необходимо вычислить разность 1 000 − 8 .
Так как 1 000 = 900 + 100 , а 100 = 90 + 10 , то 1 000 = 900 + 90 + 10 .
Тогда 1 000 − 8 = (900 + 90 + 10) − 8 = 900 + 90 + (10 − 8) = 900 + 90 + 2 = 992 .
Пример 13
Необходимо вычесть из 7 000 единицу.
7 000 запишем как 7 000 = 6 000 + 1 000 = 6 000 + 900 + 100 = 6 000 + 900 + 90 + 10 .
Делаем вывод:
7 000 − 1 = (6 000 + 900 + 90 + 10) − 1 = 6 000 + 900 + 90 + (10 − 1) = 6 000 + 900 + 90 + 9 = 6 999
.
Пример 14
Необходимо вычислить разность 100 000 − 4 .
Так как
100 000 = 90 000 + 10 000 = 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
то
100 000 − 4 = (90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 4 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 4) = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 6 = 99 996 .
Пример 15
Необходимо вычесть из 4 000 000 число 5 .
Так как
4 000 000 = 3 000 000 + 1 000 000 = 3 000 000 + 900 000 + 100 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 10 000 = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
то
4 000 000 − 5 = (3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 5 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 5) = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 5 = 3 999 995
.
Вычитание единиц из произвольных чисел
Определение 3
Чтобы вычесть из такого числа однозначное число, нужно уменьшаемое разложить по разрядам, после чего вычесть число из суммы.
Рассмотрим типичные примеры, которые помогут усвоить материал.
Пример 16
Необходимо определить разность чисел 46 и 2 .
Число 46 представляем как 40 + 6 , тогда 46 − 2 = (40 + 6) − 2 = 40 + (6 − 2) = 40 + 4 = 44 . Для того, чтобы усложнить задание, найдем разность 46 и 8 . Имеем 46 − 8 = (40 + 6) − 8 . Так как 8 больше, чем 6 , то: ( 40 + 6) − 8 = (40 − 8) + 6 . 40 − 8 вычислим по примеру: 40 − 8 = (30 + 10) − 8 = 30 + (10 − 8) = 30 + 2 = 32 . Тогда (40 − 8) + 6 = 32 + 6 = 38 . Теперь отнимем от 6 047 число 5 . Раскладываем 6 047 и вычитаем число из суммы: 6 047 − 5 = (6 000 + 40 + 7) − 5 = 6 000 + 40 + (7 − 5) = 6 000 + 40 + 2 = 6 042
Закрепим навыки еще одним примером.
Пример 17
Необходимо вычесть из числа 2 503 число 8 .
Раскладываем и получаем: 2 503 − 8 = (2 000 + 500 + 3) − 8
. Так как 8
больше, чем 3
, но меньше, чем 500
, то (2 000 + 500 + 3) − 8 = 2 000 + (500 − 8) + 3
. Вычислим разность 500 − 8
, для этого представляем число 500
в виде суммы 400 + 100 = 400 + 90 + 10
(при необходимости вернитесь к предыдущему пункту этой статьи) и выполняем необходимые вычисления:
500 − 8 = (400 + 90 + 10) − 8 = 400 + 90 + (10 − 8) = 400 + 90 + 2 = 492 . 2 000 + (500 − 8) + 3 = 2 000 + 492 + 3 = 2 495 .
Вычитание из произвольных натуральных чисел
Чтобы вычесть десятки, сотни из числа, нужно уменьшаемое представить как сумму и выполнить вычитание. Разберем данный процесс на нескольких примерах.
Пример 18
Найдем разность 400 и 70 .
Разложим 400 как 300 + 100 . Тогда 400 − 70 = (300 + 100) − 70 . Согласно свойству, получим: (300 + 100) − 70 = 300 + (100 − 70) = 300 + 30 = 330 . Также можем отнять от числа 1 000 число 40 . Представим, что 1 000 − 40 = (900 + 100) − 40 = 900 + (100 − 40) = 900 + 60 = 960 .
Согласно правилу, (7 000 + 900 + 100) − 10 = 7 000 + 900 + (100 − 10) = 7 000 + 900 + 90 = 7 990 .
Пользуемся этим правилом в аналогичных случаях.
Пример 19
Найдем 400 000 − 70 .
400 000
разложим как 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100
, тогда
400 000 − 70 = (300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100) − 70 = 300 000 + 90 000 + 9 000 + + 900 + (100 − 70) = 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 30 = 399 993
Воспользуемся схожим принципов для вычисления сотен, тысяч и других.
Пример 20
Найдем 5 000 − 800 .
Представим 5 000 как 4 000 + 1 000 . Тогда 5 000 − 800 = (4 000 + 1 000) − 800 . Используем свойство: (4 000 + 1 000) − 800 = 4 000 + (1 000 − 800) . Так как тысяча – это десять сотен, то 1 000 − 800 = 200 . Таким образом, 4 000 + (1 000 − 800) = 4 000 + 200 = 4 200 .
Данное правило можно использовать для вычисления. Запомнить его, оно еще не раз вам пригодится.
Пример 21
Найдем разность 140 и 40 .
Так как 140 = 100 + 40 , то 140 − 40 = (100 + 40) − 40 . Получаем: (100 + 40) − 40 = 100 + (40 − 40) = 100 + 0 = 100 (40 − 40) = 0 в силу свойств, а 100 + 0 = 100 .
Найдем 140 – 60 . Имеем 140 − 60 = (100 + 40) − 60 . Так как 60 больше, чем 40 , то: (100 + 40) − 60 = (100 − 60) + 40 = 40 + 40 = 80 .
Вычитание произвольных чисел
Рассмотрим правило, когда вычитаемое раскладывается по разрядам. После представления числа в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания, описанное выше. Вычитание начитается с единиц, потом десятков, сотен и так далее.
Пример 22
Вычислим 45 − 32 .
Разложим 32 по разрядам: 32 = 30 + 2 . Имеем 45 − 32 = 45 − (30 + 2) . Представим, как 45 − (30 + 2) = 45 − (2 + 30) . Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 . Осталось вычислить 45 − 2 , после чего отнять число 30 .
Усвоив предыдущие правила, вы легко выполните это.
Итак, 45 − 2 = (40 + 5) − 2 = 40 + (5 − 2) = 40 + 3 = 43 . Тогда (45 − 2) − 30 = 43 − 30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43 − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
45 − 32 = 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 = ((40 + 5) − 2) − 30 = = (40 + (5 − 2)) − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Немного усложним пример.
Вычтем из числа 85 число 18 .
Раскладываем по разрядам число 18
, при этом получаем 18 = 10 + 8
. Меняем местами слагаемые: 10 + 8 = 8 + 10 . Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85
и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85 − 18 = 85 − (8 + 10) = (85 − 8) − 10
. Вычисляем разность в скобках:
85 − 8 = (80 + 5) − 8 = (80 − 8) + 5 = ((70 + 10) − 8) + 5 = (70 + (10 − 8)) + 5 = (70 + 2) + 5 = 70 + 7 = 77
Тогда (85 − 8) − 10 = 77 − 10 = (70 + 7) − 10 = (70 − 10) + 7 = 60 + 7 = 67
Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.
Пример 23
Отнимем от числа 23 555 число 715 .
Так как 715 = 700 + 10 + 5 = 5 + 10 + 700 = 5 + (10 + 700) , то 23 555 − 715 = 23 555 − (5 + 10 + 700) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555 − (5 + (10 + 700)) = (23 555 − 5) − (10 + 700) .
Вычислим разность в скобках:
23 555 − 5 = (20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 5) − 5 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + (5 − 5) = = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 0 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 = 23 550 .
Тогда (23 555 − 5) − (10 + 700) = 23 550 − (10 + 700) .
Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550 − (10 + 700) = (23 550 − 10) − 700
.
(23 550 − 10) − 700 = 23 540 − 700 = (20 000 + 3 000 + 500 + 40) − 700 = = 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40
Вычтем из 3 000 число 700 и: 3 000 − 700 = (2 000 + 1 000) − 700 = 2 000 + (1 000 − 700) = 2 000 + 300 = 2 300 , тогда 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40 = 20 000 + 2 300 + 500 + 40 = 22 840 .
Рассмотрим, что такое вычитание геометрической точки зрения. Используем координатный луч. Вычитание из a числа b на координатном луче находится так: определяем точку, координатой является a . Откладываем в направлении точки O единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Так мы найдем точку на координатном луче, координата равна разности a − b . Другими словами, это перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , попадая в точку с координатой a − b .
Рассмотрим вычитание на координатном луче с помощью рисунка. Так мы попадем в точку с координатой 2 так, что 6 − 4 = 2 .
Проверка результата вычитания сложением
Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением. Там мы выяснили, что если c + b = a , то a − b = c и a − c = b . Если a − b = c , то c + b = a ; если a − c = b , то b + c = a . Докажем справедливость данных равенств.
Пусть из a отложили в сторону b , после чего осталось c . Этому действию соответствует равенство a − b = c . Мы вернем отложенные b на место, то плучим a . Тогда можно говорить о справедливости равенства c + b = a .
Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее проверить результат вычитания сложением: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому. Если полученное число не равно уменьшаемому, то при вычитании допущена ошибка.
Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.
Пример 24
Из 50 было вычтено 42 и было получено 6 . Правильно ли было выполнено вычитание?
Проверим полученный результат вычитания. Для этого прибавим к полученной разности вычитаемое: 6 + 42 = 48 (если нужно, изучите другие параграфы по данной теме). Так как мы получили число, не равное уменьшаемому 50 , то можно утверждать, что вычитание было проведено неправильно. Была допущена ошибка.
Пример 25
Необходимо определить разность 1 024 − 11 и проверить результат.
Вычисляем разность: 1 024 − 11 = 1 024 − (1 + 10) = (1 024 − 1) − 10 = 1 023 − 10 = 1 013 .
Теперь выполняем проверку:
1 013 + 11 = (1 000 + 10 + 3) + (10 + 1) = = 1 000 + 10 + 10 + 3 + 1 = 1 000 + 20 + 4 = 1 024
Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно. 1 024 − 11 = 1 023 .
Проверка результата вычитания вычитанием
Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность. При этом должно получиться число, равное вычитаемому. В противном случае в вычисления была допущена ошибка.
Рассмотрим данное правило подробнее. Это позволит осуществить проверку результата вычитания чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим яблоки, то у нас останется только c груш, при этом имеем a − b = c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a − c = b .
Пример 26
От числа 543 было отнято число 343 , в результате было получено число 200 .
Выполните проверку.
Вспоминаем о связи вычитания и сложения: 200 + 343 = 543 . От уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543 − 200 = (500 + 43) − 200 = (500 − 200) + 43 = 30 + 43 = 343 .
Это число равно вычитаемому, вычитание выполнено верно.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Если сложение связано с объединением двух множеств в одно, то вычитание связано с разъединением данного множества на два или больше множества. Пусть у нас есть некоторое множество пластиков колбасы на тарелке. Возьмем один или несколько пластиков из этого множества и уберем в сторону, а лучше скушаем. Мы убрали, то есть отняли у начального множества пластиков колбасы несколько пластиков, при этом результат на тарелке изменился в меньшую сторону. В этом и заключается смысл вычитания.
Схематически вычитание двух натуральных чисел выглядит следующим образом:
уменьшаемое − вычитаемое = разность.
Для обозначения вычитания на письме используют знак «−» минус.
Сначала записывают уменьшаемое, после этого – знак минус, потом – вычитаемое. Например, запись 9 − 5 означает, что из 9 вычитается 5.
Уменьшаемое – это число, из которого вычитают. В нашем примере это число "9"
Вычитаемое – это число, которое вычитают из уменьшаемого. В нашем примере это число "5"
Разность – это число, которое является результатом вычитания.
Фразы «найти разность» , «вычислить разность» , «вычесть из натурального числа 86 число 9» понимается так: требуется определить число, которое является результатом вычитания данных натуральных чисел.
СВОЙСТВА ВЫЧИТАНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Свойство 1. Разность двух равных натуральных чисел равна нулю.
a − a = 0, где a – любое натуральное число.
Свойство 2. Вычитание натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством.
Если a и b неравные натуральные числа, то a − b ≠ b − a
45 − 20 ≠ 20 − 45.
Свойство 3. Вычесть из данного натурального числа данную сумму двух натуральных чисел - это все равно, что из данного натурального числа вычесть первое слагаемое данной суммы, после чего из полученной разности вычесть второе слагаемое.
a − (b + c) = (a − b) − c, где a, b и c – некоторые натуральные числа, причем выполняются условия a > b + c или a = b+c.
10 - (2+1) = (10 - 2) - 1 = 7
Свойство 4. Вычесть из данной суммы двух чисел данное натуральное число – это все равно, что вычесть данное число из одного из слагаемых, после чего сложить полученную разность и другое слагаемое. Следует оговориться, что вычитаемое число НЕ должно быть больше, чем слагаемое, из которого это число вычитается.
