Прямая ab параллельна прямая cd найти. Взаимное расположение прямых. Условия параллельности двух прямых

Связь, существующая между животными и окружающей их средой, разнообразна и сложна, но еще разнообразнее и еще сложнее взаимоотношения, существующие в природе между самими животными.

Приведем несколько примеров, которые могут служить подтверждением сказанному.

Охотники уже давно обратили внимание, что на Кавказе туры и крупные горные куропатки, известные под довольно неудачным названием горных индеек, постоянно держатся вместе, причем птицы кормятся зачастую непосредственно под ногами козлов, особенно прочна эта связь зимой. Много разнообразных горных легенд обязаны своим происхождением этой «дружбе». Ученые объясняли это явление различно. Одни видели в нем симбиоз, т. е. сожительство, из которого оба животных извлекают пользу, предупреждая друг друга о приближении врага, которого тур может раньше учуять, а индейка - увидеть. Другие высказывали сомнение в этой связи, считая, что тур и индейка только потому встречаются вместе, что питаются одной и той же пищей. В настоящее время явление это объясняется тем, что туры, отыскивая свою пищу, скрытую под плотным снегом, раскапывают его копытами, чем и пользуются индейки, которые тоже питаются листьями и семенами, но не могут самостоятельно добраться до них. Такого рода связь между зверем и птицей существует и в степи и в тундре. Именно в степной и лесостепной полосе серые куропатки держатся вместе с зайцами, пользуясь их расчистками, а в тундре белые куропатки получают ту же пользу от северных оленей.

Возьмем несколько более сложный случай, где связь существует уже между тремя существами.

Известно, что воробей связан в своем распространении с человеком, который развез его, так же как и мышей и крыс, по всем частям света. Но оказывается, что связь воробья с человеком во многих случаях, то крайней мере, не прямая, а косвенная, через лошадь, фуражем которой питается воробей.

Согласно последним данным, важную составную часть пищи соболя составляет не столько сам бурундук (небольшой грызун, отчасти похожий на белку, отчасти на суслика), сколько его запасы кедровых орехов, которых грызун набирает на зиму до 8 кг. В долгую сибирскую зиму, когда земля в тайге покрыта толстым слоем снега, а на ветвях висят снежные подушки - кухты, соболю нелегко разыскивать кедровые орехи. Поэтому в соболиных районах, быть может, следовало бы не развивать промысла бурундука, шкурка которого сравнительно малоценна.

Наряду с примерами, доказывающими связь между явлениями, трудно предполагаемыми с первого взгляда, можно привести и обратные случаи, когда усматривали связь между животными, которой на самом деле не существует. Поморы Мурманского берега неоднократно и весьма настойчиво обращались к властям в дореволюционное время с жалобой на тюленей, именно на так называемого гренландского тюленя, или «кожу», который будто бы отпугивает рыбу от берегов. Они указывали, что в те годы, когда подходит к берегам «кожа», рыба (в частности наиболее важная промысловая рыба - треска) совсем не ловится, и просили принять меры к истреблению тюленя. Но оказывается, что между этими двумя событиями никакой связи нет. Мурманское побережье омывается, как известно, теплым морским течением - Гольфштремом. Течение это сильно меняет свое направление в разные годы. В те годы, когда оно подходит ближе к берегу, теплолюбивые рыбы, в частности треска, вместе с течением подходят к самому берегу; наоборот, в годы, когда Гольфштрем отходит от берегов Мурмана, здесь появляется хладнолюбивая «кожа». Таким образом, жалобы рыбаков были совершенно неосновательными: тюлень и треска принадлежат к двум различным сообществам, и отсутствие рыбы в некоторые годы у берегов Мурмана объясняется совершенно другими причинами, корни которых следует искать в метеорологических явлениях, разыгрывающихся в глубине далекого Мексиканского залива, откуда берет свое начало Гольфштрем.

До сих пор мы приводили сравнительно простые случаи взаимоотношений между организмами, но они, конечно, бывают и гораздо более сложными. Насколько следует хорошо изучить природу, раньше чем применять какие-либо решительные действия, показывает хотя бы следующий пример.

Иногда введение нового члена в сообщество может вызвать полное изменение всего его состава.

В 1513 г. португальцы ввезли на остров св. Елены коз, которые быстро размножились в тысячные стада. Последствия не замедлили сказаться. Еще в XVI столетии остров был покрыт густым, высоким лесом, - теперь он безжизненен, горы его голы, местами образовалась настоящая пустыня. Все это сделали козы, стравившие весь подлесок, кусты и траву. Они, конечно, не могли уничтожить старые, высокоствольные деревья, но деревья эти, придя в ветхость, падали, новым же козы не дали вырасти. Плодородная почва, раньше сдерживаемая на крутых склонах корнями растений, была смыта тропическими дождями. Изменения в растительном покрове повлекли за собою изменения в фауне: многие насекомые вымерли, вымерли и многие птицы, отчасти лишившись своей пищи, отчасти мест гнездования. Исчезли и многие улитки, нуждавшиеся во влажных, тенистых убежищах. Появились новые, ввезенные человеком животные и растения, которые сумели приспособиться к сожительству с человеком: канарейки, яванские воробьи, некоторые африканские вьюрки, цесарки, куропатки и до 700 различных видов растений. Таким образом, одно сообщество оказалось смененным другим, совершенно отличным.

Еще один пример.

По мере того, как на острове Ямайке стали культивировать сахарный тростник, крысы, попавшие сюда случайно с кораблями и нашедшие здесь благоприятные условия для своего существования, размножились в огромном количестве. Они стали настоящим бичом плантаторов, так как уничтожали сахарный тростник, надгрызая его и выпивая сладкий сок. Никакие обычные меры борьбы не помогали, ношено было ввезти из Индии мангуста - небольшого хищного зверька, получившего широкую известность как истребителя крыс. Были привезены всего четыре или пять пар и выпущены на свободу под строгой охраной закона, запрещавшего охоту и вообще уничтожение ввезенных зверей. Мангусты принялись истреблять крыс. Сначала все шло благополучно, и число грызунов начало быстро уменьшаться. Но через несколько лет крыс стало недостаточно для прокормления размножившихся хищников, и они принялись за истребление местной тростниковой крысы, что тоже было на пользу человеку. Однако спустя некоторое время и тростниковых крыс стало нехватать. Тогда мангусты начали нападать на домашнюю птицу, ягнят, козлят, поросят и даже на собак и кошек. Мало того, они почти истребили на острове пернатую дичь. Многие птицы, некоторые змеи, около 20 видов ящериц, которые.раньше были широко распространены, стали очень редкими, а черепахи, когда-то многочисленные на северном берегу острова, почти исчезли благодаря истреблению мангустами их яиц. Даже многие возделываемые растения подверглись нападению хищника. Насекомые, число которых птицы, ящерицы и змеи раньше держали в известных пределах, размножались необычайно, и многие из них стали бедствием сельского хозяйства. Таким образом, за сравнительно короткий промежуток времени произошло полное изменение фауны. Когда стало очевидным, что мангусты приносят больше вреда, чем пользы, были приняты меры к уменьшению их числа. В несколько лет это было достигнуто, и в природе образовалось новое сообщество, в котором некоторые животные стали более многочисленными, другие исчезли совсем. Вошли в него и мангуст и крысы, несколько увеличившиеся в количестве, но не чрезмерно.

Но особенно поучительно для уяснения связи между организмами явление, имевшее место в Черноморских степях.

В свое время в известном степном заповеднике «Чапли» (быв. «Аскания-Нова»), желая сохранить целинную степь, оградили большой участок ее. И что же? Целинная степь начала постепенно терять свой характер: типичные растения начали исчезать, а на их месте стали появляться новые, чуждые целинной степи. Обследование этого явления выяснило, что в девственной степи различные животные: антилопы, дикие ослы, куланы и пр., с одной стороны, питаясь травой и уничтожая покров засохшей растительности, с другой, - уплотняя почву копытами, поддерживали известное численное соотношение в степном сообществе. Хотя культура уже много десятков лет как вытеснила крупных диких копытных из Черноморских степей, но их место в природе занял домашний скот, тем самым сохраняя то же соотношение членов сообщества. Перерождение степи в огороженном участке объясняется удалением из сообщества неотъемлемых членов его - крупных копытных. И чтобы сохранить целинную степь в ее девственном виде, пришлось допустить выпас овец. У читателя может возникнуть сомнение: действительно ли так много крупных травоядных животных в нетронутой степи, что они могут оказывать столь существенное влияние на растительность?

В северной Монголии до сих пор еще огромные стада антилоп, диких баранов и ослов вытаптывают весьма значительные пространства на северных склонах Гобийского Алтая. Значение крупных травоядных копытных не ограничивается потравой и вытаптыванием растительности. Стада их разбивают копытами в мелкую пыль прибрежную соляную корку озер, служащих им для водопоя, и ветер разносит ее далеко в степь. Таким образом, соль возвращается я почву, из которой она была вымыта дождями.

В данном случае мы видим любопытный пример того, как животные поддерживают те самые условия среды, с которыми они связаны всем своим существом: вытаптывание девственной степи также необходимо для ее сохранения, как девственная степь - для существования ее животного населения.

Но, может быть, у читателя сложится неверное впечатление, что обычно сообщество пребывает в относительном спокойствии, что оно находится в «подвижном равновесии», и только толчок извне, вроде введения в его состав нового члена, вызывает коренные изменения. Это, конечно, не так. Та борьба, которая постоянно ведется между членами его из-за пищи, места, самок и т. д., не есть, так сказать, топтание на одном месте, а ведет к превращению одного сообщества в другое. Таким образом, сообщество всегда находится в известном поступательном движении, оно вечно эволюционирует, но только отдельные этапы этой эволюции могут совершаться с весьма различной скоростью.

Из всего сказанного читатель, нам кажется, уже мог составить себе представление, что хотят выразить словом сообщество, или биоценоз. Впервые в науку это понятие было внесено известным немецким ученым Мёбиусом. Он же дал и типичный пример сообщества - устричную «банку», показав на нем всю ту бесконечную сложность взаимоотношений, прямых и косвенных, которые существуют между членами одного биоценоза. Рассмотрение этого примера даже в самых общих чертах отвлекло бы нас слишком далеко от нашей непосредственной темы. Для нас сейчас устричная «банка», изученная Мёбиусом в водах Немецкого и Балтийского морей, омывающих берега Шлезвиг-Гольштинии, интересна лишь как прародительница того учения о биоценозах, которое, постепенно разрастаясь, перекинулось на сушу и получило всеобщее значение. Теперь мы постоянно употребляем выражения вроде: биоценоз тундры, биоценоз ковыльной степи, торфяного болота и т. д.

Отчего же мы говорим: биоценоз тайги, болота и т. д., а не просто: фауна тайги, болота и т. д.? Потому, что в понятия эти мы вкладываем различное содержание: употребляя выражение «биоценоз», мы желаем подчеркнуть биологическую связь между организмами того или иного места обитания (стаций); употребляя же слово «фауна» или «флора», мы хотим выразить общность происхождения, общность истории известной группы животных или растений, населяющих ту или иную территорию земного шара. Следовательно, если в первом случае нас интересуют только современные взаимоотношения организмов, во втором нам приходится заглядывать в давно прошедшие времена, в те времена, когда материки и моря имели другие очертания, и их животное население было совсем иным. Перед нашими глазами проходят, как на экране, и ледниковые эпохи, когда ледяные шапки покрывали огромные пространства Северной Европы, Азии и Америки, а по (краям льда и на отдельных свободных от него пространствах бродили стада мамонтов и лохматых носорогов, и теплые межледниковые периоды с их южной, подтропической растительностью и животным миром, и засушливые времена, когда болота сменялись пустынями и с ними вторгались, как армии завоевателей, степные животные из далекой Центральной Азии и опять отступали под натиском новых пришельцев, оставив отдельных представителей как бы в воспоминание о своем нашествии. Сперва картина застлана густым туманом, но по мере приближения к современному периоду туман постепенно рассеивается, очертания становятся ясней. Вот уже центрально-азиатские пустыни перекинулись в Туркестан, иссушая своим жарким дыханием роскошную «средиземноморскую» растительность. Крым причленился ас материку, сплошным темным лесом покрылся север Европы и Азии, густым ковылем поросли Черноморские степи…

Борьба леса и степи, причленения и отчлеиения отдельных островов и целых материков, поднятие и опускание горных хребтов, переселения и смешения одних фаун и вымирание других - вот что стремится восстановить зоогеограф и объяснить давно прошедшими событиями, как сложилось современное животное население отдельных областей земного шара. Животное население известного района может быть одновременно и сообщество и фауна - все зависит от того, с какой точки зрения мы на него взглянем. Но для полного представления о нем необходимо учесть все особенности явления. Мы еще очень и очень далеки от полного понимания как истории фаун, так и взаимоотношения между отдельными членами сообщества. Зоогеография хотя и насчитывает около 200 лет своего существования, по изучение населения небольших районов с точки зрения его истории началось сравнительно недавно. Учение же о сообществах - еще совершенно молодое, получившее развитие лишь в нашем столетии. Но если мы еще очень далеки от конечной цели, то путь к ней ясен: это всестороннее и детальное изучение отдельных звеньев сообщества. Промысловые животные, как во всех отношениях наилучше изученные и наиболее для: нас интересные с народно-хозяйственной точки зрения, особенно подходящи для этих целей.

До сих пор мы рассматривали лишь общебиологические вопросы, но было бы в корне неправильно, если бы мы в книге, посвященной промысловым животным, не коснулись их практического значения. В СССР ежегодно одной пушнины добывается на много миллионов рублей. Для огромных пространств Сибири, а также для северо-восточного угла европейской части Советского Союза, где иные способы освоения земельных площадей на сегодня крайне трудны, охота составляет одно из основных, а местами почти единственное занятие населения. Как в средней и южной полосе благосостояние земледельческого населения зависит в значительной степени от урожая хлебов и око внимательно следит за всходами и наливанием колосьев, так в глухой тайге Сибири охотники следят за созреванием кедровых орехов, стараясь выяснить по ним, будет ли на будущий год «урожай» на белку или нет. Белка важна для охотников как их основной источник дохода. Сдавая ее шкурку государственным и кооперативным заготовителям, они приобретают необходимые для них предметы, привозимые из далеких фабрично-заводских и сельскохозяйственных областей - сахар, чай, дробь, порох, муку. Но шкурки зверей им нужны и для собственного потребления. Жители севера зимой облекаются в двойную - мехом внутрь и наружу - и даже тройную одежду из звериных шкур, ими же подбивают они и лыжи. Пища их состоит главным образом из рыбы и мяса диких зверей и птиц. Свои переносные жилища - чум, урасу, а местами и лодку (каяк), они делают из тех же шкур. Из рогов, копыт и костей они мастерят различную мелочь - манки, рукоятки ножей, застежки. Нередко даже жилища свои в долгую зимнюю ночь они освещают жиром убитого зверя, и при тусклом пламени его женщины, сидя на шкурах, сшивают одежду звериными жилами. Правда, во многих местах севера, особенно по низовьям великих сибирских рек широкое развитие имеет рыболовство, местами оно даже оттесняет на задний план охоту, но все же и там совсем без охоты население в данное время обходиться не может.

До сих пор мы говорили о значении охоты для населения нашего севера, понимая под ним всю тундру и все таежное пространство, простирающееся от Белого моря до Охотского побережья. Огромное пространство это, занимающее около 10 млн. квадратных километров, имеет очень редкое население. Но не только на севере, а и в других областях Советского Союза, порой весьма значительных, охота занимает видное место. Так, в Средней Азии, особенно в горных районах ее, охота является важным подспорьем для населения. То же следует сказать относительно Туркменистана, низовьев Волги, самого юго-восточного угла Закавказья, кс говоря уже о Карелии и Кольском полуострове.

По приблизительному подсчету, общее число охотников в СССР определяется в 2 500 тыс. Для одних охота является насущно необходимым занятием, а для остальных - заметным подспорьем. К первым относятся главным образом народы нашего севера, основную массу вторых составляет население, занятое сельским хозяйством.

В связи с крайним разнообразием природы нашей страны и ее населения предметы промысла и способы добывания животных в различных местах весьма различны.

В тундрах крайнего северо-востока весь закутанный в меха луораведлан, стоя на коленях, мастерит ловушку на песца, прорубая яму в мерзлой почве и обкладывая ее льдинами. Бесшумно скользит на лыжах по застывшей в морозном оцепенении тайге эвенок с малопульной винтовкой за плечами в поисках белки. Медленно ползет по лужам и мокрому весеннему снегу морского льда намылан, подкрадываясь к тюленю. Аул казахов, женщины, дети, мужчины, рассыпавшись по знойной, но еще зеленеющей, не успевшей выгореть степи, ловят сусликов. Одни расставляют капканы и волосяные силки, вбивая в землю колышки, другие вынимают из петель зверьков, третьи таскают воду из ближайшего, поросшего густым камышом арыка и выливают зверьков из нор. Широко шагает по жнивью с тульской двустволкой за плечами охотник средней полосы, вышедший рано утром за зайцами, рядом с ним, вынюхивая «след, бежит собака. Туркмен в узком полосатом халате и высокой лохматой папахе медленно выстреливает, лежа за камнем, горного барана, мирно пасущегося на зеленой полянке в горах Копет-Дага. Кавказский горец расставляет на каменистой осыпи под скалой капкан на куницу. Зырянин, укрывшись за березой, тихо подманивает пищиком рябчика, внимательно всматриваясь к густую листву.

Словом, даже одно перечисление народностей, орудий лова, зверей и птиц, служащих предметом промысловой охоты на всем пространстве нашей страны, заняло бы не одну страницу. Ведь одних промыслово-охотничьих зверей, добываемых в Советском Союзе, свыше 100 видов, птиц же значительно больше.

Переходя к оценке значения охотничьего хозяйства для нашей страны в целом, необходимо отметить, что ежегодно добываемая путем охоты пушнина и дичь, а также шкуры, кабарожья струя, пух, перо, рога и т. п. служат не только сырьем для нашей мехообрабатывающей, пищевой, кожевенной и парфюмерной промышленности, но также играют заметную роль в машем экспорте. По мере роста благосостояния трудящихся СССР неуклонно возрастает спрос на высокие сорта пушнины для меховой одежды и на дичь как на вкусный пищевой продукт, разнообразящий питание трудящихся. Отсюда ясно, какое значение имеет развитие охотничьего промысла для народного хозяйства нашей страны.

В настоящее время скупка пушнины находится всецело в руках государственных и кооперативных организаций, которые имеют многочисленные заготовительные пункты, раскиданные на всем необъятном протяжении нашей страны. При них находятся склады различных товаров, в которых промысловик, сдав добытую им пушнину и дичь, может купить все необходимое для себя и своей семьи.

Приемка пушнины от охотника и снабжение его нужными предметами производятся по устанавливаемым правительством ценам, что делает невозможным произвольное установление цеп заготовителями.

Наша книжка имеет целью познакомить читателя с теми животными, промысел которых вызывает к жизни все эти заготовительные пункты, разбросанные на необъятном протяжении нашей тайги, тундры, пустыни. Иначе говоря, цель ее - познакомить читателя с главнейшими нашими промысловыми животными и показать, какие общебиологические проблемы, а иногда и практические вопросы особенно приурочены к тому или иному животному. Поэтому, описывая зверя или птицу, мы старались сосредоточить внимание на отдельных, наиболее характерных чертах его биологии или иллюстрировать на нем отдельные хозяйственные вопросы, в которых так часто отражаются и биологические особенности данного животного.

В заключение еще раз необходимо подчеркнуть, что все хозяйственные мероприятия только тогда дадут необходимый эффект, когда они будут увязаны с точным знанием биологии животного.

Определение параллельных прямых . Параллельными называются две прямые линии, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся на всем своем протяжении.

Прямые AB и CD (черт. 57) будут параллельными. То обстоятельство, что они параллельны, выражают иногда письменно: AB || CD.

Теорема 34 . Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей, параллельны .

Даны прямые CD и EF перпендикулярные к AB (черт. 58)

CD ⊥ AB и EF ⊥ AB.

Требуется доказать, что CD || EF.

Доказательство . Если бы прямые CD и EF не были параллельны, они пересеклись бы в какой нибудь точке M. В этом случае из точки M на прямую AB были бы опущены два перпендикуляра, что невозможно (теорема 11), следовательно прямая CD || EF (ЧТД).

Теорема 35 . Две прямые, из которых одна перпендикулярна, а другая наклонна к третьей, всегда пересекаются.

Даны две прямые EF и CG, из которых EF ⊥ AB, а CG наклонна к AB (черт. 59).

Требуется доказать, что CG встретится с линией EF или что CG не параллельна EF.

Доказательство . Из точки C восставим к линии AB перпендикуляр CD, тогда при точке C образуется угол DCG, который станем повторять столько раз, чтобы линия CK упала ниже линии AB. Положим, что мы для этого угол DCG повторим n раз, как что

Подобным же образом отложим на прямой AB прямую CE тоже n раз так что CN = nCE.

Из точек C, E, L, M, N восставим перпендикуляры LL", MM", NN". Пространство, содержащееся между двумя параллельными отрезками CD, NN" и отрезком CN, будет в n раз больше пространства, заключающегося между двумя перпендикулярами CD, EF и отрезком CE, так что DCNN" = nDCEF.

Пространство, заключающееся в угол DCK, содержит в себе пространство DCNN", следовательно,

DCK > CDNN" или
nDCG > nDCEF, откуда
DCG > DCEF.

Последнее неравенство может иметь место только тогда, когда прямая CG выйдет при своем продолжении из пределов пространства DCEF, т. е. когда прямая CG встретится с прямой EF, следовательно прямая CG не параллельна CF (ЧТД).

Теорема 36 . Прямая, перпендикулярная к одной из параллельных, перпендикулярна и к другой.

Даны две параллельные прямые AB и CD и прямая EF перпендикулярная к CD (черт. 60).

AB || CD, EF ⊥ CD

Требуется доказать, что EF ⊥ AB.

Доказательство . Если бы прямая AB была наклонна к EF, то две прямые CD и AB пересеклись бы, ибо CD ⊥ EF и AB наклонна к EF (теорема 35), и прямые AB и CD не были бы параллельны, что противоречило бы данному условию, следовательно, прямая EF перпендикулярна CD (ЧТД).

Углы, образуемые пересечением двух прямых третьей прямой . При пересечении двух прямых AB и CD третьей прямой EF (черт. 61) образуется восемь углов α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ . Эти углы получают особые названия.

Четыре угла α, β, ν и ρ называются внешними .

Четыре угла γ, δ, λ, μ называются внутренними .

Четыре угла β, γ, μ, ν и четыре угла α, δ, λ, ρ называются односторонними , ибо лежат по одну сторону прямой EF.

Кроме того, углы, будучи взяты попарно, получают следующие названия:

Углы β и μ называются соответственными . Кроме этой пары такими же соответственными углами будут пары углов: γ и ν, α и λ, δ и ρ.

П ары углов δ и μ , а также γ и λ называются внутренними накрест-лежащими .

Пары углов β и ρ , а также α и ν называются внешними накрест-лежащими .

Пары углов γ и μ , а также δ и λ называются внутренними односторонними .

Пары углов β и ν , а также α и ρ называются внешними односторонними .

Условия параллельности двух прямых

Теорема 37 . Две прямые параллельны, если при пересечении их третьей у них равны: 1) соответственные углы, 2) внутренние накрест-лежащие, 3) внешние накрест-лежащие, и, наконец, если 4) сумма внутренних односторонних равна двум прямым, 5) сумма внешних односторонних равна двум прямым.

Докажем каждую из этих частей теоремы отдельно.

1-й случай . Соответственные углы равны (черт. 62).

Дано. Углы β и μ равны.

Доказательство . Если бы линии AB и CD пересекались в точке Q, то получился бы треугольник GQH, у которого внешний угол β равнялся бы внутреннему углу μ, что противоречило бы теореме 22, следовательно, прямые AB и CD не пересекаются или AB || CD (ЧТД).

2-й случай . Внутренние накрест-лежащие углы равны , то есть δ = μ.

Доказательство . δ = β как вертикальные, δ = μ по условию, следовательно, β = μ. То есть соответственные углы равны, а в этом случае линии параллельны (1-й случай).

3-й случай . Внешние накрест-лежащие углы равны , то есть β = ρ.

Доказательство . β = ρ по условию, μ = ρ как вертикальные, следовательно, β = μ, т. к. соответственные углы равны. Отсюда следует, что AB || CD (1-й случай).

4-й случай . Сумма внутренних односторонних равна двум прямым или γ + μ = 2d.

Доказательство . β + γ = 2d как сумма смежных, γ + μ = 2d по условию. Следовательно, β + γ = γ + μ, откуда β = μ. Соответственные углы равны, следовательно, AB || CD.

5-й случай . Сумма внешних односторонних равна двум прямым , то есть β + ν = 2d.

Доказательство . μ + ν = 2d как сумма смежных, β + ν = 2d по условию. Следовательно, μ + ν = β + ν, откуда μ = β. Соответственные углы равны, следовательно, AB || CD.

Таким образом, во всех случаях AB || CD (ЧТД).

Теорема 38 (обратная 37). Если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей прямой будут равны: 1) внутренние накрест-лежащие углы, 2) внешние накрест-лежащие, 3) соответственные углы и равны двум прямым 4) сумма внутренних односторонних и 5) сумма внешних односторонних углов.

Даны две параллельные прямые AB и CD, то есть AB || CD (черт. 63).

Требуется доказать, что все вышеописанные условия выполняются.

1-й случай . Пересечем две параллельные прямые AB и CD третьей наклонной прямой EF. Обозначим через G и Н точки пересечения прямых AB и CD прямой EF. Из точки O середины прямой GH опустим перпендикуляр на прямую CD и продолжим его до пересечения с прямой AB в точке P. Прямая OQ перпендикулярная к CD перпендикулярна и к AB (теорема 36). Прямоугольные треугольника OPG и OHQ равны, ибо OG = OH по построению, ∠ HOQ = ∠ POG как вертикальные углы, следовательно, OP = OQ.

Отсюда следует, что δ = μ, т. е. внутренние накрест-лежащие углы равны .

2-й случай . Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ = β, и μ = ρ, то β = ρ, т. е. внешние накрест-лежащие углы равны .

3-й случай . Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ = β, то и β = μ, следовательно, соответственные углы равны .

4-й случай . Если AB || CD, то δ = μ, а так как δ + γ = 2d, то и μ + γ = 2d, т. е. сумма внутренних односторонних равна двум прямым .

5-й случай . Если AB || CD, то δ = μ.

Так как μ + ν = 2d, μ = δ = β, следовательно, ν + β = 2d, т. е. сумма внешних односторонних равна двум прямым .

Из этих теорем вытекает следствие . Через точку можно провести только одну прямую, параллельную другой прямой.

Теорема 39 . Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Даны три прямые (черт. 64) AB, CD и EF, из которых AB || EF, CD || EF.

Требуется доказать, что AB || CD.

Доказательство . Пересечем эти прямые четвертой прямой GH.

Если AB || EF, то ∠ α = ∠ γ как соответственные. Если CD || EF, то ∠ β = ∠ γ также как соответственные. Следовательно, ∠ α = ∠ β .

Если же соответственные углы равны, то прямые параллельны, следовательно, AB || CD (ЧТД).

Теорема 40 . Одноименные углы с параллельными сторонами равны.

Даны одноименные (оба острые или оба тупые) углы ABC и DEF, их стороны параллельны, т. е. AB || DE, BC || EF (черт. 65).

Требуется доказать, что ∠ B = ∠ E.

Доказательство . Продолжим сторону DE до пересечения ее с прямой BC в точке G, тогда

∠ E = ∠ G как соответственные от пересечения сторон параллельных BC и EF третьей прямой DG.

∠ B = ∠ G как соответственные от пересечения параллельных сторон AB и DG прямой BC, следовательно,

∠ E = ∠ B (ЧТД).

Теорема 41 . Разноименные углы с параллельными сторонами дополняют друг друга до двух прямых.

Даны два разноименные угла ABC и DEF (черт. 66) с параллельными сторонами, следовательно, AB || DE и BC || EF.

Требуется доказать, что ABC + DEF = 2d.

Доказательство . Продолжим прямую DE до пересечения с прямой BC в точке G.

∠ B + ∠ DGB = 2d как сумма внутренних односторонних углов, образуемых пересечением параллельных AB и DG третьей прямой BC.

∠ DGB = ∠ DEF как соответственные, следовательно,

∠ B + ∠ DEF = 2d (ЧТД).

Теорема 42 . Одноименные углы с перпендикулярными сторонами равны и разноименные дополняют друг друга до двух прямых.

Рассмотрим два случая: когда А) углы одноименны и когда B) они разноименны.

1-й случай . Стороны двух одноименных углов DEF и ABC (черт. 67) перпендикулярны, т. е. DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.

Требуется доказать, что ∠ DEF = ∠ ABC.

Доказательство . Проведем из точки B прямые BM и BN параллельно прямым DE и EF так, что

BM || DE, BN || EF.

Прямые эти также перпендикулярны к сторонам данного угла ABC, т. е.

BM ⊥ AB и BN ⊥ BC.

Так как ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, то

∠ NBC = ∠ MBA (a)

Вычтя из обоих частей равенства (а) по углу NBA, находим

∠ MBN = ∠ ABC

Так как углы MBN и DEF одноименны и с параллельными сторонами, то они равны (теорема 40).

∠ MBN = ∠ DEF (b)

Из равенств (a) и (b) вытекает равенство

∠ ABC = ∠ DEF (ЧТД).

2-й случай . Углы GED и ABC с перпендикулярными сторонами разноименны.

Требуется доказать, что ∠ GED + ∠ ABC = 2d (черт. 67).

Доказательство . Сумма углов GED и DEF равна двум прямым.

GED + DEF = 2d
DEF = ABC, следовательно,
GED + ABC = 2d (ЧТД).

Теорема 43 . Части параллельных прямых между другими параллельными равны.

Даны четыре прямые AB, BD, CD, AC (черт. 68), из которых AB || CD и BD || AC.

Требуется доказать, что AB = CD и BD = AC.

Доказательство . Соединив точку C с точкой B отрезком BC, получим два равных треугольника ABC и BCD, ибо

BC - сторона общая,

∠ α = ∠ β (как внутренние накрест-лежащие от пересечения параллельных прямых AB и CD третьей прямой BC),

∠ γ = ∠ δ (как внутренние накрест-лежащие от пересечения параллельных прямых BD и AC прямой BC).

Таким образом, треугольники имеют по равной стороне и по двум равным углам, лежащим на ней.

Против равных углов α и β лежат равные стороны AC и BD, и против равных углов γ и δ - равные стороны AB и CD, следовательно,

AC = BD, AB = CD (ЧТД).

Теорема 44 . Параллельные прямые на всем своем протяжении находятся на равном расстоянии друг от друга.

Расстояние точки от прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Чтобы определить расстояние каких угодно двух точек A и B параллельной AB от CD, из точек A и B опустим перпендикуляры AC и BD.

Дана прямая AB параллельная CD, отрезки AC и BD перпендикулярны к прямой CD, т. е. AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (черт. 69).

Требуется доказать, что AC = BD.

Доказательство . Прямые AC и BD, будучи обе перпендикулярными к CD, параллельны, а следовательно, AC и BD как части параллельных между параллельными, равны, т. е. AC = BD (ЧТД).

Теорема 45 (обратная 43). Если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.

Даны четыре пересекающиеся прямые, противоположные части которых равны: AB = CD и BD = AC (черт. 68).

Требуется доказать, что AB || CD и BD || AC.

Доказательство . Соединим точки B и C прямой BC. Треугольники ABC и BDC равны, ибо

BC - общая сторона,
AB = CD и BD = AC по условию.

Отсюда

∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ

Следовательно,

AC || BD, AB || CD (ЧТД).

Теорема 46 . Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник ABC (черт. 70).

Требуется доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство . Проведем из точки C прямую CF параллельную стороне AB. При точке C образуется три угла BCA, α и β . Сумма их равна двум прямым:

BCA + α + β = 2d

α = B (как внутренние накрест-лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CF прямой BC);

β = A (как соответственные углы при пересечении прямых AB и CF прямой AD).

Заменяя углы α и β их величинами, получим:

BCA + A + B = 2d (ЧТД).

Из этой теоремы вытекают следующие следствия:

Следствие 1 . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних не смежных с ним.

Доказательство . Действительно, из чертежа 70,

∠ BCD = ∠ α + ∠ β

Так как ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, то

∠ BCD = ∠ A + ∠ B.

Следствие 2 . В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна прямому.

Действительно, в прямоугольном треугольнике (черт. 40)

A + B + C = 2d, A = d, следовательно,
B + C = d.

Следствие 3 . В треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Следствие 4 . В равностороннем треугольнике каждый угол равен 2/3 d .

Действительно, в равностороннем треугольнике

A + B + C = 2d.

Так как A = B = C, то

3A = 2d, A = 2/3 d.

Пересекающиеся прямые - прямые, имеющие одну общую точку. На эпюре одно­именные проекции этих прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии проекцион­ной связи (рис. 200, а).

Если одноименные проекции прямых пересе­каются, но точки пересечения лежат на разных линиях проекционной связи (рис 200,б), то прямые не пересекаются, а скрещиваются. Точки пересечения одноименных проекций (рис. 200, б, точки 1 " и 2) представляют собой проекции разных точек, которые находятся на одном проецирующем луче и принадлежат разным прямым.

На рис. 201 показано, как могут распола­гаться две скрещивающиеся прямые АВ и CD относительно плоскости V , чтобы их фронталь­ные проекции а"Ь" и c"d" пересекались и точка пересечения была бы фронтальной проекцией одновременно двух точек М и N. Точка пересече­ния горизонтальных проекций этих прямых является проекцией одновременно точки Е , лежащей на прямой CD, и точки лежащей на прямой АВ

Взаимное расположение двух точек, проек­ции которых на одной из плоскостей проек­ций совпали, можно определить, сравнив их третьи координаты. На рис. 201,6 фронталь­ные проекции т" и п" точек М и N совпали. Их координаты X и Z имеют одинаковую величину. Сравнив координаты Y этих точек (Y N >Y M), видим, что точка N находится дальше от плоскости К, чем точка М. Точка N относительно плоскости V - видимая точка.

Видимость точек Е и F относительно горизонтальной плоскости проекций определяют сравнением их координат Z.

Точки, проекции которых совпадают, т. е. точки находятся на одном проецирующем луче, называют конкурирующими точ­ками, а способ определения видимости гео­метрических элементов на эпюре с помощью этих точек - способом конкурирующих точек.

Параллельные прямые изобража­ются на эпюре так, что их одноименные проек­ции взаимно параллельны. При проецировании отрезков прямых на плоскость проекций проеци­рующие лучи образуют две проецирующие плоскости Р и R, перпендикулярные этой плос­кости и параллельные между собой (P||R). Они пересекают плоскость проекций (рис. 202,а, плоскость Н) по параллельным прямым - аb и cd.

Следовательно, если прямые параллельны, их одноименные проекции параллельны. На рис. 202, б горизонтальные проекции ab и cd и фронтальные проекции а"b" и c"d" взаимно параллельны, следовательно, и прямые АВ и CD параллельны.

Следует отметить, что взаимное расположе­ние прямых на эпюре можно определить с по­мощью двух плоскостей проекций, кроме тех случаев, когда одна из прямых или обе прямые параллельны какой-либо плоскости проекций. В этих случаях для того, чтобы определить взаимное расположение прямых, необходимо иметь их изображение на той плоскости проек­ций, которой параллельна одна из прямых или обе.

На рис. 203 проекции c"d" и l"q", cd и lq пря­мых CD и LQ пересекаются. Прямая CD параллельна профильной проекции. На плоскости W видно, что прямые CD и LQ не пересекают­ся, так как их профильные проекции не пересе­каются.

На рис. 204 показан эпюр двух горизонталь­ны"; прямых АВ и CD. Их фронтальные проек­ции а"b" и c"d" и профильные проекции а"b" и c"d" параллельны. По проекциям на плоскости Н видно, что прямые скрещиваются.

На рис. 205 показан эпюр двух профильных прямых. Их фронтальные проекции а"b" и c"d" и горизонтальные проекции аb и cd параллель­ны. На плоскости W видно, что прямые скре­щиваются.

Параллельные прямые . К числу свойств параллельного проецирования относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между собой . Если (рис. 78) прямая АВ параллельна прямой CD, то проецирующие плоскости? и? параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с плоскостью проекций π 0 получаются параллельные между собой проекции А 0 В 0 и C 0 D 0 .

Однако, хотя А 0 В 0 || C 0 D 0 (рис. 78), прямые, для которых А 0 В 0 и C 0 D 0 являются проекциями, могут быть не параллельны между собой: например, прямая АВ не параллельна прямой C 1 D 1 .

Из указаннш о свойства параллельного проецирования следует, что горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой, фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции параллельны между собой .

Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно параллельны?

Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех плоскостей проекций π 1 , π 2 и π 3 . Но если даны параллельные между собой проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей проекций.

Пример дан на рис. 79. Хотя профильные прямые АВ и CD заданы проекциями А"В", А"В" и CD", C"D", между собой параллельными, но самые прямые не параллельны - это видно из взаимного расположения их профильных проекций, построенных по заданным проекциям.

Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямцх на той плоскости проекций, по отношению к которой данные прямые параллельны .

На рис. 80 показан случай, когда можно установить, что профильные прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных обозначений.

Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LM, то (рис. 81, слева) построение сводится к проведению через точку А" прямой, параллельной L"M", и через точку А" прямой, параллельной L"M".

В случае, изображенном на рис. 81 справа, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. π 1 . Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

Пересекающиеся прямые . Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых .

Действительно (рис. 82), если точка К принадлежит обеим прямым АВ и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных прямых.

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения , независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций. Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных

проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рис. 83) или, на чертеже без оси проекций (рис. 84), эти точки оказались бы на линии связи установленного для нее направления . Но если одна из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие. Например, в случае, данном на рис. 85, прямые АВ и CD, из которых прямая CD параллельна пл.π 3 , не пересекаются между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в данном отношении.

Изображенные на рис. 84 пересекающиеся прямые расположены в общей дня них проецирующей плоскости, перпендикулярной к пл. π 2 . Поэтому фронтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

Скрещивающиеся прямые . Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 86 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной линиям связи L"L" и М"М", т. е. эти прямые не пересекаются между собой. Прямые, изображенные на рис. 79, 80 и 85, также скрещивающиеся.

Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из которых одна

принадлежит первой, а другая - второй из этих скрещивающихся прямых. Например, на рис. 87 точка с проекциями К” и К" принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L" и L" принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково удалены от пл. π 2 , но расстояния их от пл. π 1 различны: точка с проекциями L" и L" дальше от π 1 , чем точка с проекциями К" и К" (рис. 88).

Точки с проекциями М", М" и N”, N" одинаково удалены от пл. π 1 но расстояния этих точек от пл. π 2 различны.

Точка с проекциями L" и L", принадлежащая прямой CD, закрывает собой точку с проекциями К" и К" прямой АВ по отношению к пл. π 1 ; соответствующее направление взгляда показано стрелкой у проекции L". По отношению к пл. π 2 точка с проекциями N" и N" прямой CD закрывает собой точку с проекциями М" и М" прямой АВ; направление взгляда указано стрелкой внизу, у проекции N".

Обозначения проекций «закрытых» точек помещены в скобках 1).