имеется план урока

соответствует ли структура урока плану

оценка эффективности выбора типа, вида урока

рациональность распределения времени между отдельными элементами (модулями урока)

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

II

Цели и задачи урока

определены ли в плане цели и задачи урока

ознакомил ли преподаватель студентов с ними

обоснование выбора целей

способ постановки цели (преподавателем, совместно со студентами)

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

III

Условия организации урока

психологические и санитарно-гигиенические условия (комфортность, освещенность и т.д.)

подготовленность аудитории и студентов к уроку

состояние доски, оборудования, кабинета

культура межличностных отношений

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

IV

Учет и контроль знаний

владеет ли педагог методикой опроса

количество опрошенных (активность группы)

объективность выставления оценок

3

1

1

1

3

V

Сообщение новых знаний

научность и доступность изложения

связь данных знаний с ранее изученными

междисциплинарные и внутридисциплинарные связи

использование наглядных пособий, ТСО

использование новых педагогических технологий, активных методов обучения

6

1

1

1

1

1

1

6

VI

Закрепление знаний

рациональность используемых форм (коллективных, групповых, индивидуальных)

активизация и стимулирование познавательной деятельности

использование дидактического раздаточного материала

3

1

1

1

3

VII

Результаты занятия

выполнение плана занятия

реализация поставленных целей

умение анализировать работу студентов на занятии и подводить итоги

характер и объем домашнего задания

1

0,25

0,25

0,25

0,25

1

VIII

Общая сумма баллов

16

16

Оценка качества учебного занятия определяется по общей сумме баллов:

оценка «отлично» выставляется, если общая сумма баллов составляет 13-15 баллов;

оценка «хорошо» выставляется, если общая сумма баллов составляет 10-12 баллов;

оценка «удовлетворительно» выставляется, если общая сумма баллов составляет 8-9 баллов;

если общая сумма баллов меньше 8 баллов, то выставляется оценка «неудовлетворительно».

Оценка урока: отлично

Рекомендации посетившего занятие:___________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Занятие посетил: Арюкова Елена Петровна _________

С анализом урока ознакомлен Курганова О.Р. _________

Скалярное произведение векторов

Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие . Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии.

Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов , векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов . Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =)

Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга….

Определение скалярного произведения векторов.
Свойства скалярного произведения. Типовые задачи

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами . Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:

Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.

В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ : Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.

Сразу пара разминочных примеров:

Пример 1

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ:

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице . Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, .

Пример 2

Найти , если , а угол между векторами равен .

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции . Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке .

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый : (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным сонаправлены , то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой : (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно : . Особый случай: если векторы направлены противоположно , то угол между ними считается развёрнутым : (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой : (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю : . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны . Короткая математическая запись:

! Примечание : повторим основы математической логики : двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то , что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что и сделали вывод, что векторы ортогональны: – такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем .

Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.

Свойства скалярного произведения

Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены . В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .

А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения .

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц . Неверно оно и для векторного произведения векторов . Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Пример 3

.

Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников . Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и .

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу , но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции . Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:

Пример 5

Найти длину вектора , если .

Решение будет следующим:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.

(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.

Ответ:

Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Пример 6

Найти длину вектора , если .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:

А части поменяем местами:

В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: .

Пример 7

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице . Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.

Ответ:

Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Пример 7*

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4).

3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6).

4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Краткое решение и ответ в конце урока.

Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

Ответ:

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Пример 14

Найти скалярное произведение векторов и , если

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:

Пример 15

Найти длины векторов , если

Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: , но существует и другая дорога:

Найдём вектор :

И его длину по тривиальной формуле :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора :
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .

Таким образом:

Ответ:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Пример 16

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

Ответ:

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства

Пример 17

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ» , попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны , то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:

Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

БПОУ Чувашской Республики «ЧТСГХ» Минобразования Чувашии и молодежной политики ЧР

02/02-08

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ОТКРЫТОГО УРОКА

на заседании цикловой комиссии

физико-математических дисциплин и ИТ

Скворцова Е.В.

Протокол

от «

марта

2015 года

Председатель: Михопарова О.В.

СОГЛАСОВАНО

Методист

Козлова А.М.

Ход урока.

Организационный момент.

Здравствуйте ребята, присаживайтесь. Откройте тетради, запишите дату и тему занятия.

Тема: Скалярное произведение векторов в пространстве.

Инструктаж по технике безопасности.

Ребята! Наш урок сегодня будет проходить в компьютерном зале. Вы уже знаете правила безопасности при работе с компьютером. Я напоминаю вам о том, что необходимо их соблюдать.

Целеполагание. Сообщение целей и плана урока.

Начать урок, хотелось бы словами великого ученого Галилео Галилея:

“Геометрия является самым могущественным средством для развития наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать”.

Итак, сегодня на уроке мы

Вспомним пройденный материал по векторным величинам;

Узнаем что такое «скаляр» и скалярное произведение векторов;

Научимся находить скалярное произведение, если известны координаты векторов;

Познакомимся со свойствами скалярного произведения;

Будем находить скалярное произведение векторов с помощью онлайн калькулятора .

Проверим свои знания в системе тестирования INDIGO .

Но, прежде чем, перейти к новой теме, мы должны привести в систему и наши знания по ранее изученным темам геометрии.

Актуализация знаний. На дом студентам было задано выучить пройденный материал. Преподаватель помогает вспомнить и систематизировать знания о ранее изученном.

Для этого проведем игру – викторину «100 к 1». Группа делится на две команды, выбирает капитана, который будет представлять участников команды, придумывают название командам.

Для игры в Power Point созданы слайды по играм: «Простая игра», «Двойная игра», «Тройная игра», «Игра наоборот», «Большая игра».

Перед началом игры готовится компьютер с презентацией, проектор и демонстрационный экран.

Предлагаю Вашему вниманию игру - викторину по математике для студентов 1 курса «100 к 1» - подобие телевизионной игры. Провели опрос среди 100 студентов нашего техникума. Цель участников игры «Сто к одному» состоит в том, чтобы ответить наиболее точно и правильно на предложенные , на которые невозможно дать однозначный объективный ответ. «Сто к одному» - командная игра. Каждый игрок может высказать своё мнение, предложить свою версию, но победа (или поражение) достаётся всей команде в целом. Один человек (ведущий или помощник) находится за компьютером и нажимает на соответствующий прямоугольник с ответами щелчком мыши по соответствующему прямоугольнику и он откроется.

Правила игры

В игре соревнуются две команды. Весь игровой процесс состоит из пяти «игр» - простой, двойной, тройной, игры наоборот и большой игры.

Простая игра.

На экране появится задача, кто из команд первым ее решит, тот и начнет игру. Затем преподаватель объявляет вопрос, после чего участники команды называют свою версию ответа на вопрос. Если версия есть на экране, открывается соответствующая строчка (при открытии строчки число очков за этот ответ переходит в «фонд игры»; число очков равно количеству опрошенных, назвавших данную версию).

Определив команду, преподаватель переходит к основной части игры. Он по кругу опрашивает игроков, которые называют ответы на вопрос. Если версия присутствует на экране, она открывается и очки, соответствующие версии, переходят в «фонд», если же её нет, команде засчитывается промах. Игра проходит до тех пор, пока не будут открыты все строки табло (в этом случае все очки из «фонда» переходят в счёт команды). В последнем случае ведущий проводит так называемый - опрос у другой команды. Начиная с конца, он узнаёт версии ответа на вопрос у участников команды. Затем капитан должен выбрать одну из версий участников своей команды либо предложить свою. Эта версия ищется на табло. Если она есть, строчка открывается и очки с неё добавляются в «фонд», который затем переходит в счёт команды, если же её там нет, команде засчитывается промах, и «фонд» достаётся соперникам.

По окончании игры ведущий открывает оставшиеся строки, если таковые имеются.

2. Двойная игра и тройная игра.

Двойная и тройная игры происходят аналогично простой игре, но с разницей, что очки за каждую угаданную строку удваиваются или утраиваются соответственно. Ещё одно отличие состоит в том, что розыгрыш проводится не между капитанами, а между вторыми и третьими участниками команд соответственно.

4. Игра наоборот.

Игра наоборот отличается от прочих тем, что для команды наиболее выгодно угадывать не первую строчку табло, последнюю. Называется вопрос, и командам даётся 30 на совещание, после которого капитаны называют ответы. Версии команд не должны совпадать. Первой отвечает команда, имеющая меньшее число очков к началу розыгрыша. Затем ведущий открывает табло. Если версия на строке не была угадана игроками, то счет остается прежним, а если встречаются версии команд, очки сразу перечисляются на их счёт. Игра наоборот часто коренным образом влияет на ход всей программы.

5. Большая игра.

В большой игре принимают участие два игрока команды, набравшей большее количество очков на протяжении всей игры. Перед началом игры они договариваются между собой, кто играет первым, а кто временно уходит из кабинета. После этого первому участнику большой игры даётся 40 секунд, за которые он должен дать ответы на пять вопросов. За каждое совпадение ответа игрока с ответом на улице в «фонд» большой игры перечисляется количество очков, равное количеству голосов по совпавшему ответу. Ответ в виде «синонимов» не принимаются. Далее второй игрок возвращается из коридора. Он не знает вопросов и ответов своего коллеги, а также полученных за них очков (однако состояние «фонда» не скрывается). За 50 секунд он отвечает на те же вопросы, причем, если его ответ совпал с первым, звучит звуковой сигнал и игрок обязан назвать другую версию, даже если он думает, что его ответ энциклопедически правильный. При попытке подсказки ответ аннулируется. Затем его ответы проверяются, и очки за них подсчитываются, и добавляются в «фонд» таким же образом.

Как только во время большой игры «фонд» составляет 200 или более очков, игра останавливается и команда объявляется победительницей игры. (Приложение 1).

Изучение нового материала . (Приложение2)

Перейдем непосредственно к теме нашего занятия: «Скалярное произведение векторов в пространстве». Введем сначала понятие угла между векторами.

Пусть дан вектор и вектор . Отложим от одной точки О векторы и . Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ. Градусную меру этого угла обозначим буквой и будем говорить, что угол между векторами и равен .

Пример: Найти углы между векторами.

Исходя из этого примера, запишем несколько частных случаев, которые нам будут особенно важны:

Зная, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введем еще одно действие над векторами – скалярное умножение векторов.

Термин «скаляр» (от scalaris - ступенчатый) также как и «вектор» впервые появился в1845 году у ирландского математика и механика Уильяма Гамильтона.

Скалярная величина может быть полностью определена заданием одного единственного числа. Ее числовое значение никоем образом не зависит от тех направлений, которые мы берем для координатных осей. Скалярные величины не включают в себя понятие направления.

Запишем определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Пример: Найдите скалярное произведение если = 30˚.

Решение: .

Физкультминутка.

Продолжение изучения нового материала.

Как и в планиметрии, справедливы следующие утверждения:

Скалярное произведение двух векторов, и выражается формулой:

Пример : Даны векторы: , . Вычислите .

Решение :

Косинус угла между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле

В самом деле, так как , то .

Пример : Даны точки А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;-1). Вычислите угол между векторами .

Решение :

=,

значит

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов. Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:

Причем при

. (переместительный закон)

. (распределительный закон)

. (сочетательный закон)

Закрепление новых знаний с помощью онлайн калькулятора.

Преподаватель: Сейчас садимся за компьютеры. Заходим в интернет. Набираем ссылку . На ваших экранах появится онлайн калькулятор для нахождения скалярного произведения векторов. На доске условия задач. Их надо решить с помощью данной программы.

Самостоятельная работа.

Преподаватель: применим теоретические знания к решению задачи в системе тестирования INDIGO . Тем, кому не хватает компьютеров, раздается раздаточный материал, ответы учащиеся будут записывать на этих листках. Результаты тестирования узнают на следующем занятии. (Приложение 2).

Рефлексия. Подведение итогов.

Преподаватель : Сегодня на занятии мы вспомнили понятие вектора, виды векторов, а также познакомились со скалярными величинами , с их свойствами, научились решать простейшие задачи на данную тему.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о векторных и скалярных величинах. И у меня появилась уверенность, что с решением простейших задач на данную тему вы справитесь.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги занятия:

Рефлексия: продолжите предложения.

Сегодня я узнал новое…

На уроке мне пригодились знания…

Для меня было сложно…

На уроке мне понравилось…

В конце занятия подводятся итоги работы группы, выставляются и мотивируются поурочные баллы. Выставляются оценки студентам за активное участие на занятии.

Домашнее задание

Записываем домашнее задание.

Дорогие ребята! Спасибо вам за работу на занятии. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении занятия. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Занятие окончено. До свидания.

Использованная литература

Л.С. Атанасян. Геометрия. 10-11 классы. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009.

Богомолов Н.В. Сборник задач по математике для студентов СПО. - М.:Дрофа, 2009.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач.и сред.проф. образования/ М.И. Башмаков. – 8 – е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 256с.

Гусев В.А. Математика для профессий и специальностей социально – экономического профиля: учебник для учреждений нач.и сред.проф. образования/ Гусев В.А, С.Г.Григорьев, С.В.Иволгина – 6 – е изд. стер. – М.: издательский центр «Академия», 2013. – 416с.

Интернет-ресурсы:

www .википедия. ru

Приложение 1

Каким правилом можно воспользоваться при сложении двух векторов?

Большая игра. Вопросы

1. ?

2. Какие бывают векторы?

3. Какими бывают углы?

4.Кто из известных ученых внес свой вклад в теорию векторов?

5.Какими элементами характеризуется вектор?

Большая игра. 1. Какие действия можно производить с векторами ?

Большая игра. 4. Кто из известных ученых внес свой вклад в теорию векторов? Большая игра. 5. Какими элементами характеризуется вектор?

Приложение 2

Приложение 3

Оценочный лист учащихся.

Дан вектор: . Вычислите

Даны векторы: , . Вычислите