У дома » Дизайн на спалня » 5 души са настанени произволно на петместна пейка. Задачи за класическата дефиниция на вероятността Примери за решения. Намерете вероятността, че

5 души са настанени произволно на петместна пейка. Задачи за класическата дефиниция на вероятността Примери за решения. Намерете вероятността, че

Задачи за класическо определениевероятности.
Примери за решения

В третия урок ще разгледаме различни задачиотносно прякото приложение на класическата дефиниция на вероятността. За ефективно обучениематериали от тази статия, препоръчвам ви да се запознаете с основни понятия теория на вероятноститеи основи на комбинаториката. Проблемът за класическото определяне на вероятност с вероятност, клоняща към единица, ще присъства във вашата самостоятелна / контролна работа на тервера, така че се настройваме сериозна работа. Какво толкова сериозно ще попитате? ... само една примитивна формула. Предупреждавам за лекомислието - тематични задачидоста разнообразни и много от тях лесно могат да бъдат объркващи. В тази връзка, в допълнение към разработването на основния урок, опитайте се да изучите допълнителни задачи по темата, които са в касичката готови решения по висша математика. Методите за вземане на решения са си методи за вземане на решения, но „приятелите“ все пак „трябва да се познават от очите“, защото дори богатото въображение е ограничено и типични задачисъщо е достатъчно. Е, ще се опитам добро качествосортирайте възможно най-много от тях.

Нека си спомним класиката на жанра:

Вероятността за възникване на събитие в някакъв опит е равна на съотношението , където:

– общ бройвсичко еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- номер елементаренрезултати в полза на събитието.

И веднага незабавно спиране в бокса. Разбирате ли подчертаните термини? Това означава ясно, а не интуитивно разбиране. Ако не, тогава все още е по-добре да се върнете към 1-ва статия на теория на вероятноститеи чак тогава да продължим.

Моля, не пропускайте първите примери - в тях ще повторя един фундаментално важен момент, и аз също ще ви кажа как правилно да съставите решение и по какви начини може да се направи:

Задача 1

Една урна съдържа 15 бели, 5 червени и 10 черни топки. На случаен принцип е изтеглена 1 топка, намерете вероятността тя да бъде: а) бяла, б) червена, в) черна.

Решение: най-важната предпоставка за използване на класическата дефиниция на вероятността е възможност за изчисляване на общия брой резултати.

Общо в урната: 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно справедливо следните факти:

– изваждането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за събитието: - от урната ще бъде извлечена бяла топка. Това събитие е предпочитано елементаренрезултати, така че според класическата дефиниция:
е вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в толкова проста задача може да се направи сериозна неточност, на която вече се спрях в първата статия за теория на вероятностите. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че "тъй като половината от топките са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка» . Класическата дефиниция на вероятността е ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а дробта трябва да бъде написана!

С други точки по подобен начин, помислете следващите събития:

- от урната ще бъде изтеглена червена топка;
- Черна топка ще бъде изтеглена от урната.

Събитието се предпочита от 5 елементарни резултата, а събитието се предпочита от 10 елементарни резултата. Така че съответните вероятности са:

Типична проверка на много проблеми с terver се извършва с помощта на теореми за сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група. В нашия случай събитията образуват пълна група, което означава, че сумата от съответните вероятности задължително трябва да бъде равна на единица: .

Да проверим дали е така: , в което исках да се уверя.

Отговор:

По принцип отговорът може да бъде написан по-подробно, но лично аз съм свикнал да поставям само числа там - поради причината, че когато започнете да „щамповате“ задачи в стотици и хиляди, се стремите да минимизирате въвеждането на решение. Между другото, относно краткостта: на практика опцията за „високоскоростен“ дизайн е често срещана. решения:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урната. Според класическото определение:
е вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
е вероятността червена топка да бъде изтеглена от урната;
е вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

Отговор:

Въпреки това, ако има няколко точки в условието, тогава решението често е по-удобно да се състави по първия начин, което отнема малко повече време, но след това „поставя всичко на рафтовете“ и улеснява навигацията в задача.

Загрявка:

Задача 2

Магазинът получи 30 хладилника, пет от които са с фабричен дефект. На случаен принцип е избран един хладилник. Каква е вероятността да няма дефекти?

Изберете опцията за дизайн, която ви подхожда и проверете шаблона в долната част на страницата.

В най-простите примери броят на обичайните и броят на благоприятните резултати лежат на повърхността, но в повечето случаи трябва сами да изкопаете картофите. Каноничната поредица от проблеми за забравящия абонат:

Задача 3

При набиране на телефонен номер абонатът забрави два последни цифри, но помни, че едното от тях е нула, а другото е нечетно. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка : нула е четен брой(делено на 2 без остатък)

Решение: първо намиране обща сумарезултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се мъдри с комбинаториката и използването директно изброяване на резултатите . Тоест, когато вземаме решение, ние просто записваме всички комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен изход: правилното число.

Според класическото определение:
е вероятността абонатът да набере правилния номер

Отговор: 0,1

Десетични знацив теорията на вероятностите те изглеждат доста подходящи, но можете да се придържате и към традиционния стил на Вишматов, работейки само с обикновени дроби.

задача за напреднали за независимо решение:

Задача 4

Абонатът е забравил пин кода на SIM картата си, но помни, че тя съдържа три "петици", като една от цифрите е или "седем", или "осем". Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук все още можете да развиете идеята за вероятността абонатът да бъде наказан под формата на puk-код, но, за съжаление, мотивите вече ще надхвърлят този урок

Решение и отговор по-долу.

Понякога изброяването на комбинации се оказва много старателна задача. По-специално, това е случаят в следващата, не по-малко популярна група задачи, където се хвърлят 2 зара (по-рядко голямо количество) :

Задача 5

Намерете вероятността, когато се хвърлят два зара, общата сума да бъде:

а) пет точки
б) не повече от четири точки;
в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини могат да изпуснат лицето на първия зар илицето на втория зар може да изпадне по различни начини; На правило за комбинирано умножение, Обща сума: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да бъде подредендвойка с всекилицето на 2-ри куб. Ние се съгласяваме да напишем такава двойка във формата , където е числото, паднало на 1-вия зар, е числото, паднало на 2-рия зар. Например:

- 3 точки на първия зар, 5 точки на втория, общ брой точки: 3 + 5 = 8;
- на първия зар паднаха 6 точки, на втория - 1 точка, сумата от точки: 6 + 1 = 7;
- двата зара хвърлени 2 точки, сума: 2 + 2 = 4.

Очевидно е, че най-малката сумадава чифт, а най-големият - две "шестици".

а) Помислете за събитието: - при хвърляне на два зара ще паднат 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
е желаната вероятност.

б) Помислете за събитието: - няма да паднат повече от 4 точки. Тоест или 2, или 3, или 4 точки. Отново изброяваме и броим благоприятните комбинации, вляво ще напиша общия брой точки, а след двоеточието - съвпадащи двойки:

Общо: 6 благоприятни комбинации. По този начин:
- вероятността да паднат не повече от 4 точки.

в) Да разгледаме събитието: - ще паднат от 3 до 9 точки включително. Тук можете да тръгнете по прав път, но ... нещо не се усеща. Да, някои двойки вече са изброени в предишните параграфи, но има още много работа за вършене.

Кой е най-добрият начин да го направите? AT подобни случаиобходът се оказва рационален. Обмисли противоположно събитие: - Ще паднат 2 или 10 или 11 или 12 точки.

Какъв е смисълът? Обратното събитие се предпочита от много по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
- вероятност от падане по-малко от триили повече от 9 точки.

В допълнение към директното изброяване и изчисляване на резултатите, различни комбинаторни формули. И отново епичната задача за асансьора:

Задача 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) те ще излязат на различни етажи
б) двама ще излязат на един етаж;
в) всички ще излязат на същия етаж.

Нашият завладяващ урок приключи и накрая, още веднъж, силно препоръчвам, ако не да решите, то поне да разберете допълнителни задачи върху класическата дефиниция на вероятността. Както отбелязах, "напъхването на ръката" също има значение!

По-надолу по курса - Геометрично определение на вероятносттаи Теореми за събиране и умножение на вероятностии ... най-вече късмет!

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: 30 - 5 = 25 хладилника нямат дефект.

е вероятността произволно избран хладилник да няма дефект.
Отговор :

Задача 4: Решение: намерете общия брой резултати:
начини, по които можете да изберете мястото, където се намира съмнителната фигура и на всекиот тези 4 места могат да бъдат разположени 2 цифри (седем или осем). Съгласно правилото за умножение на комбинации, общият брой резултати: .
Като алтернатива в решението можете просто да изброите всички резултати (за щастие няма много от тях):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Има само един благоприятен изход (правилен пин код).
Така, според класическата дефиниция:
- вероятността абонатът да бъде авторизиран при първия опит
Отговор :

Задача 6: Решение: намерете общия брой резултати:
начини могат да пускат числа на 2 зара.

а) Помислете за събитието: - при хвърляне на два зара произведението от точки ще бъде равно на седем. За това събитие няма благоприятни резултати, според класическата дефиниция на вероятността:
, т.е. това събитие е невъзможно.

б) Нека разгледаме събитието: - при хвърляне на два зара, произведението от точки ще бъде най-малко 20. Това събитие се предпочита от следните резултати:

Общо: 8
Според класическото определение:
е желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположни събития:
– произведението на точките ще бъде четно;
– произведението на точките ще бъде нечетно.
Нека изброим всички резултати, които благоприятстват събитието:

Общо: 9 благоприятни изхода.
Според класическата дефиниция на вероятността:
Противоположните събития образуват пълна група, така че:
е желаната вероятност.

Отговор :

Задача 8: Решение: изчислете общия брой резултати: 10 монети могат да паднат по различни начини.
Друг начин: 1-вата монета може да падне по различни начини иВтората монета може да падне по различни начини и … иначини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
а) Помислете за събитието: - всички монети ще паднат глави. Това събитие е облагодетелствано от един резултат, според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Помислете за събитието: - 9 монети ще излязат с глави и една ще излезе с опашки.
Има монети, които могат да приземят опашки. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Нека разгледаме следното събитие: - главите ще паднат върху половината от монетите.
Съществуват уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
Отговор :

Комбинаторикаизучава начини за преброяване на броя на елементите в крайни множества. Комбинаторните формули се използват при директното изчисляване на вероятностите.
Набори от елементи, състоящи се от едно и също различни елементии различаващи се един от друг само по реда си се наричат пермутациитези елементи. Броят на възможните пермутации от нелементи се означават с , и това число е равно на н! (прочетете "en-factory"):
\(P_n=n\) (1.3.1)
където
. (1.3.2)

Забележка 1. За празен комплект е приета следната конвенция: празният комплект може да бъде поръчан само по един начин; по дефиниция предполагам.

Разположениясе наричат множества, съставени от нразлични елементи според мелементи, които се различават или по състава на елементите, или по реда им. Броят на всички възможни разположения се определя по формулата
. (1.3.3)

Комбинацииот нразлични елементи според мсе наричат множества, съдържащи мелементи от сред ндадени и които се различават поне по един елемент. Брой комбинации от нелементи от мобозначават: или. Това число се изразява с формулата

. (1.3.4)

Забележка 2. По дефиниция приемаме .

За броя на комбинациите важат следните равенства:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Последното равенство понякога се формулира като следната теорема за крайни множества:
Броят на всички подмножества на множеството, състоящо се от тях нелементи, е равно на .
Имайте предвид, че броят на пермутациите, разположенията и комбинациите са свързани с равенството

Забележка 3. По-горе беше прието, че всички нелементите са различни. Ако някои елементи се повтарят, тогава в този случай наборите с повторения се изчисляват по други формули.

Например, ако сред нелементите са елементи от един тип, елементи от друг тип и т.н., тогава броят на пермутациите с повторения се определя по формулата
(1.3.7)
където .

Брой разположения по мелементи с повторения от нелементи равни
, това е
с повторение (1.3.8)
Броят на комбинациите с повторения от нелементи от мелементи е равен на броя на комбинациите без повторения от н + м- 1 бр мелементи, т.е
с представител (1.3.9)

При решаване на задачи комбинаториката използва следните правила.

Правило за сумата.Ако някакъв обект A може да бъде избран от набор от обекти по m начина, а друг обект B може да бъде избран по n начина, тогава или A, или B могат да бъдат избрани по m + n начина.

продуктово правило. Ако обект А може да бъде избран от набор от обекти мначини и след всеки такъв избор може да бъде избран обект B нначини, тогава двойка обекти (A, B) в посочения ред могат да бъдат избрани по начини.

Класическата схема за изчисляване на вероятностите е подходяща за решаване на серия от чисто практически задачи. Да разгледаме, например, някакъв набор от елементи от обем N. Това могат да бъдат продукти, всеки от които е добър или дефектен, или семена, всяко от които може или не може да бъде жизнеспособно. Ситуации от този вид се описват чрез схема на урна: в урна има N топки, от които M са сини и (N - M) са червени.

От урна, съдържаща N топки, съдържащи M сини топки, се изтеглят n топки. Необходимо е да се определи вероятността m сини топки да бъдат намерени в извадка с размер n. Означете с A събитието "има m сини топки в извадката с размер n", тогава
(1.3.10)

Пример 1Колко различни начиниМожете ли да изберете трима души за три различни позиции от десет кандидати?

Решение.Използваме формула (1.3.3). За n = 10, m = 3 получаваме
.

Пример 2По колко различни начина могат 5 души да седнат на пейка?

Решение.По формула (1.3.1) за n=5 намираме
P 5 =5!=1 2 3 4 5=120.

Пример 3По колко начина могат да бъдат избрани трима души за три еднакви позиции от десет кандидата?

Решение.В съответствие с формула (1.3.4) намираме

Пример 4Колко различни шестцифрени числа могат да бъдат записани с помощта на числата 1; 1; 1; 2; 2; 2?

Решение.Тук трябва да намерите броя на пермутациите с повторения, който се определя по формула (1.3.7). С k \u003d 2, n 1 \u003d 3, n 2 \u003d 3, n \u003d 6, съгласно тази формула получаваме

Пример 5Колко различни пермутациибукви могат да бъдат направени с думи: ключалка, ротор, брадва, звънец?

Решение.В думата замък всички букви са различни, има общо пет. В съответствие с формула (1.3.1) получаваме P 5 = 5! = 1 2 3 4 5 = 120. В думата ротор, състоящ се от пет букви, букви стри осе повтарят два пъти. За да изчислим различните пермутации, използваме формулата (1.3.7). За n \u003d 5, n 1 \u003d 2, n 2 \u003d 2, използвайки тази формула, намираме

В думата брадва буква относноповторено два пъти, т.н

В думата камбана, която се състои от седем букви, буквата да сесреща се два пъти, букв относно- три пъти, буква л- два пъти. В съответствие с формула (13.7) за n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n z = 2, получаваме

Пример 6На пет еднакви карти са написани буквите I, K, M, H, S. Картите се разбъркват и произволно се подреждат в ред. Каква е вероятността да получите думата МИНСК?

Решение.Пет различни елемента могат да се използват за извършване на P5 пермутации:
. Това означава, че ще има общо 120 възможни изхода и само един благоприятен изход за това събитие. Следователно,

Пример 7От буквите на думата роторкомпилиран с помощта на разделена азбука, 3 букви се извличат произволно и се добавят в един ред. Каква е вероятността думата тор?

Решение.За да различаваме едни и същи букви една от друга, ще ги снабдим с числа: стр 1 , стр 2 , 0 1 , 0 2. Общият брой на елементарните резултати е: . Слово роторслучва се в случаи ( след това 1 r 1, след това 1 r 2, след това 2 r 1, след това 2 r 2). Желаната вероятност е равна на

Когато броим броя на благоприятните случаи, тук използвахме правилото за продукта: буквата мможе да се избере по един начин, буквата относно- две, писмо Р- два начина.

Пример 8Буквите на думата са написани на шест карти с еднакъв размер и форма. талант- по една буква на всяка карта. Картите се смесват внимателно. те се вадят произволно и се поставят на масата една след друга. Каква е вероятността да получите думата отново талант?

Решение.Нека номерираме картите с букви:

Думата талант (513246) няма да се промени, ако буквите апренаредете, но според подреждането на картите ще се получи различна комбинация: талант (523146). Ако във всяка от тези две комбинации направим същото с буквата t, ще получим още 2 различни комбинации от карти с думата талант. И така, появата на думата талант 4 елементарни резултати в полза. Общият брой на еднакво възможните елементарни резултати е равен на броя на пермутациите на 6 елемента: n = 6! = 720. Следователно желаната вероятност

Забележка Тази вероятност може да се намери и с помощта на формула (1.3.7), която за n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n z = 2, n 4 = 2 приема:

. Така P = 1/180.

Пример 9Буквите са написани на пет еднакви карти: на две карти л, на останалите три и. Подредете тези карти на случаен принцип.
ред. Каква е вероятността това да доведе до думата лилии?

Решение.Нека намерим броя на пермутациите на тези пет букви с повторения.
Съгласно формула (1.3.7) за n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 получаваме

Това е общият брой еднакво възможни резултати от преживяването, това събитие А - "появата на думата лилия" е предпочитано от един. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 10Има 7 стандартни части в партида от 10 части. Намерете вероятността
фактът, че от 6 произволно взети части 4 са стандартни.

Решение.Общият брой възможни Ix елементарни резултати от теста е равен на броя на начините, по които 6 части могат да бъдат извлечени от 10, тоест броят на комбинациите от 10 елемента от по 6 елемента всеки ().

Определяме броя на изходите, които благоприятстват събитие А - "от 6 взети части 4 са стандартни". Четири стандартни части от седем стандартни части могат да бъдат взети по начини, докато останалите 6 - 4 = 2 части трябва да бъдат нестандартни; можете да вземете 2 нестандартни части от 10 - 7 = 3 нестандартни части по начини. Следователно броят благоприятни резултатисе равнява .

Желаната вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват събитието, към броя на всички елементарни резултати:

Забележка: Последната формула е частен случай на формула (1.3.10): N= 10, M= 7, n=6, m=4.

Пример 11.Сред 25-те ученици от групата, в която са 10 момичета, се изтеглят 5 билета. Намерете вероятността сред притежателите на билети да има 2 момичета.

Решение.Броят на всички еднакво възможни случаи на разпределение на 5 билета между 25 ученика е равен на броя на комбинациите от 25 елемента по 5, т.е. Броят на групите от 3 момчета от 15, които могат да получат билети, е . Всяка такава тройка може да се комбинира с всяка двойка от десет момичета, а броят на тези двойки е равен на. Следователно броят на групите от 5 ученици, формирани от група от 25 ученици, всяка от които ще включва три момчета и две момичета , е равно на произведението. Този продукт е равен на броя благоприятни случаи на разпределяне на пет билета между учениците от групата, така че момчетата да получат три билета, а момичетата два билета. В съответствие с формула (1.2.1) намираме търсената вероятност

Забележка Последната формула е частен случай на формула (1.3.10): N= 25, М= 15, n=5, m=3.

Пример 12. Една кутия съдържа 15 червени, 9 сини и 6 зелени топки. На случаен принцип се изтеглят 6 топки. Каква е вероятността да бъдат изтеглени 1 зелена, 2 сини и 3 червени топки (събитие А)?

Решение.Има само 30 топки в кутия. С този експеримент броят на всички еднакво възможни елементарни резултати ще бъде . Нека изчислим броя на елементарните резултати, благоприятстващи събитие А. Три червени топки от 15 могат да бъдат избрани по начини, две сини топки от 9 могат да бъдат избрани по начини, една зелена от 6 -
Броят на благоприятните резултати е равен на продукта

Желаната вероятност се определя по формулата (1.3.10):

Пример 14Зарът се хвърля 10 пъти. Каква е вероятността в този случай лицата 1, 2, 3, 4, 5, 6 да изпаднат съответно 2, 3, 1, 1, 1, 2 пъти (събитие А)?

Решение.Броят на изходите, благоприятни за събитие А, изчисляваме по формулата (1.3.7):
Брой на всички елементарни резултати в това преживяване n = 6 10 , така че

Задачи
1. Буквите B, E, P, C, T са написани на 5 еднакви карти. Тези карти са произволно подредени в редица. Каква е вероятността да получите думата BREST?
2. В кутия има 4 сини и 5 червени топки. От кутията се изтеглят произволно 2 топки. Намерете вероятността тези топки различен цвят.
3. В отбора има 4 жени и 3 мъже. Сред членовете на бригадата се разиграват 4 билета за театър. Каква е вероятността сред притежателите на билети да има 2 жени и 2 мъже?
4. В една кутия има 10 топки, от които 2 са бели, 3 са червени и 5 са сини.На случаен принцип се изтеглят 3 топки. Намерете вероятността всичките 3 топки да са с различни цветове.
5. Върху пет еднакви карти са изписани буквите l, m, o, o, t.Каква е вероятността, изваждайки произволно картите една по една, да получим думата чук по реда на пускането им?
6. От партида, съдържаща 10 продукта, сред които 3 са дефектни, 3 продукта се отстраняват на случаен принцип. Намерете вероятността един артикул от извадката да е дефектен.
7. От десет билета два са печеливши. Каква е вероятността измежду пет изтеглени на случаен принцип билета един да спечели?

Отговори
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Въпроси
1. Какво се нарича пермутации?
2. В каква форма се изчислява броят на пермутациите на n различни елемента?
3. Какво се нарича разположения?
4. Каква формула се използва за изчисляване на броя разположения от n различни елемента по m елемента?
5. Какво се наричат комбинации?
6. По каква формула изчислявате броя на комбинациите от n елемента по m елемента?
7. Какво е равенството на броя на пермутациите, поставянията и комбинациите?
8. Каква формула се използва за изчисляване на броя на пермутациите на n елемента, ако някои елементи се повтарят?
9. По каква формула се определя броя на поставянията на m елемента с повторения на n елемента?
10. По коя формула се определя броя на комбинациите с повторения на n елемента по m елемента?

§ 7. Приложение на комбинаториката за изчисляване на вероятността

Ако от общия обем нвземане на проби келементи с връщане, тогава вероятността за получаване на всеки конкретна пробасе счита за равен.

Ако пробата е направена без замяна, тогава тази вероятност е равна на .

Нека възникването на събитие А се състои в появата на образец с някои допълнителни ограничения и броят на тези образци е равен на m. Тогава в случай на вземане на проби с връщане имаме:

при проба без връщане:

Пример 1. Произволно е избрано трицифрено число, в десетичен запискоето не е нула. Каква е вероятността избраното число да има точно две еднакви цифри?

Решение. Представете си, че числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 са написани на 9 еднакви карти и тези карти са поставени в урна. Избор на случаен принцип трицифрено числое еквивалентно на последователно извличане с връщане на 3 карти от урната и записване на числата в реда, в който се появяват. Следователно, броят на всички елементарни резултати от опита е 93 = 729. Броят на благоприятните случаи за събитието А, което ни интересува, се изчислява, както следва: 2 различни числа x и y могат да бъдат избрани по начини; ако x и y са избрани, тогава те могат да бъдат съставени https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41">.

Пример 2. От буквите на думата "ротор", съставени с помощта на разделена азбука, 3 букви се извличат последователно произволно и се добавят в ред. Каква е вероятността да получите думата "тор"?

Решение. За да различаваме еднаквите букви една от друга, ще ги снабдим с номера: p1, p2, o1, o2. Тогава общият брой на елементарните резултати е: . Думата "tor" ще бъде получена в 1 × 2 × 2 = 4 случая (to1p1, to1p2, to2p1, then2p2)..gif" width="24" height="25 src="> и приемаме, че всички те имат равни вероятности.

Пример 3. Има n дефектни части в партида от N части. Каква е вероятността сред k произволно избрани части да има s дефектни?

Решение. Броят на всички елементарни резултати е . За да преброим броя на благоприятните случаи, ние аргументираме следното: от n дефектни части можете да изберете s части по начини, а от N - n недефектни части можете да изберете k - s недефектни части по начини; по правилото за продукта броят на благоприятните случаи е ×. Желаната вероятност е равна на:

Пример 4. В отбора има 4 жени и 3 мъже. Сред членовете на бригадата се разиграват 4 билета за театър. Каква е вероятността сред притежателите на билети да има 2 жени и 2 мъже?

Решение. Прилагаме схемата на статистическия избор. От 7 члена на екипа могат да бъдат избрани 4 души = 35 начина, следователно броят на всички елементарни резултати от теста е 35..gif" width="28" height="34">= 3 начина. Тогава броят на благоприятните случаи ще бъде 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> . Колко бели топки има в урната?

150. В една урна има n бели и m черни топки. K топки (k>m) се теглят на случаен принцип. Каква е вероятността в урната да останат само бели топки?

151. От урна, съдържаща N топки, една топка се изтегля N пъти, всеки път, когато извадената топка се връща. Каква е вероятността всички топки да са изтеглени веднъж?

152. Пълно тесте карти (52 листа) е разделено произволно на 2 равни части (по 26 карти). Намерете вероятностите за следните събития:

A - във всяка част ще има 2 аса;

B - в една от частите няма да има нито едно асо;

C - в една от частите ще има точно едно асо.

153. Една урна съдържа бяла, b черна и c червена топки. От тази урна една по една се изваждат всички топки без подмяна и се записват цветовете им. Намерете вероятността, че в този списък бял цвятще се срещне преди черно.

154. Има 2 урни: първата има бяла и b черни топки; второ от бяло и d от черно. От всяка урна се тегли топка. Намерете вероятността и двете топки да са бели (събитие A) и вероятността и двете топки да са с различни цветове (събитие B).

155. 2n отбора са разделени на 2 подгрупи от n отбора. Намерете вероятността двата най-силни отбора да попаднат в: а) различни подгрупи (събитие А); б) в една подгрупа (събитие С).

156. От тесте с 36 карти произволно се изтеглят 3 карти. Определете вероятността сумата от точки в тези карти да е 21, ако валето е 2 точки, дамата е 3, попът е 4, асото е 11, а останалите карти са 6, 7, 8, 9, 10 точки, съответно.

157. Притежателят на една лотарийна карта Спортлото (6 от 49) задрасква 6 числа. Каква е вероятността те да познаят:

а) всички 6 числа в следващото теглене;

б) 5 или 6 числа;

в) поне 3 числа?

158. Автобус с 15 пътници трябва да направи 20 спирки. Ако приемем, че всички възможни начини за разпределение на пътниците по спирките са еднакво вероятни, намерете вероятността двама пътници да не слязат на една и съща спирка.

159. От числата 1, 2, ..., N изберете произволно r различни числа(r £ N). Намерете вероятността да бъдат избрани r последователни числа.

160. От пълно тесте карти (52 листа) се вземат няколко карти наведнъж. Колко карти трябва да бъдат изтеглени, за да се твърди с вероятност по-голяма от 0,5, че сред тях ще има карти от една и съща боя?

161. Има n топки, които произволноса разпръснати в m дупки. Намерете вероятността точно k1 топки да попаднат в първата дупка, k2 топки във втората дупка и т.н., km топки в m-тата дупка, ако k1+k2+…+km=n.

162. В условията на предишната задача намерете вероятността в една от дупките (без значение коя) да има k1 топки, а в другата - k2 топки и т.н., в m-та - km топки (числата k1,k2, ... ,km се приемат за различни).

163. От множеството (1, 2,…, N) се избират последователно числата x1 и x2 без заместване. Намерете p(x2 > x1).

1 ръкописи са разделени в 30 папки (един ръкопис заема 3 папки). Намерете вероятността 6 произволно изхвърлени папки да не съдържат нито един ръкопис.

165. Каква е вероятността поне двама души в компания от r да имат един и същ рожден ден? (За простота се приема, че 29 февруари не е рожден ден).

166. Използване на lg n! и условието на предишната задача, изчислете вероятностите при r = 22, 23, 60.

167. Тръгвате да търсите човек, чийто рожден ден съвпада с вашия. Колко непознати ще трябва да интервюирате, така че вероятността да срещнете такъв човек да бъде поне 0,5?

168. Съгласно Държавния заем се играят 6 основни тегления годишно и едно допълнително теглене след основното теглене. От 100 000 епизода, 170 епизода печелят всяко основно теглене, а 230 епизода печелят всяко допълнително теглене. Намерете вероятността да спечелите една облигация през първите 10 години: а) в основната схема; б) в допълнителен тираж; в) във всеки тираж.

Общият брой на еднакво вероятните резултати при избора на билети за изпита е 25. Нека A е събитието „студентът получи билет, за който не е готов“. Броят на тези резултати е 25-(11+8) = 6, което означава P(A) = 6/25 = 0,24.

Разглеждаме и задачи, при които е необходимо да се използват комбинаторни формули за изчисляване на броя на благоприятните или всички резултати.

На тройна пейка произволно

двама мъже и една жена сядат. Каква е вероятността мъжете да са наблизо?

Броят на всички възможни резултати е броят на пермутациите на трите елемента, което е 3! \u003d 6. Нека A е събитието „мъжете бяха наблизо“, броят на благоприятните резултати за това събитие е четири (когато и двамата седят от една и съща страна - 2 опции и по същия начин за другия също има две опции). Така P(A) = 4/6 = 2/3.

В допълнение към статистическите и класическите дефиниции на вероятността, има също геометрична вероятност. Обмисли следващ пример. На квадратната маса е осветен черен квадрат. Как да определите вероятността чип да удари черния квадрат, ако бъде хвърлен на масата произволно.

Тази вероятност е равна на съотношението на площта на черния квадрат към повърхността на масата. Ако например площта на масата е 0,6 m ² , а площта на черния квадрат е 0,04 m ² , тогава Р = 0,04/0,6 = 1/15.

Стрелецът, без да се прицелва, стреля по триъгълна мишена (фиг. 1) и поразява.

Каква е вероятността той да влезе в "тройката"? "двойно"? "мерна единица"?

Нека вземем площта на един триъгълник като 1. всички те са равни една на друга, така че площта на общата голям триъгълник\u003d 16. Вероятността той да попадне в "3" е 1/16. вероятността да уцелите "2" ще бъде равна на 6/16 ( цялата зонатриъгълници с "2" ще бъдат равни на 6), а вероятността да уцелите "1" е 9/16.

§5 Методика за изпълнение на стохастичната права в 9. клас.

Основни цели:

Въз основа на всички предварително придобити знания покажете приложението им за статистически изследвания

· Да се въведат понятия като общото население, представителна извадка, извадково проучване. интервални серии.

· Въвеждане на нов вид графично представянерезултати от статистически изследвания - полигони и хистограми.

В 9 клас се разглеждат статистически изследвания, на примери близки до житейски опитстуденти. Това са „Проучване на качеството на знанията на учениците“, „Удобно ли е разположено училището?“ и "Къде да отида на работа?".

Помислете за изследването на качеството на знанията на учениците, като използвате примера за учене математическа подготовкаученици. Да предположим, че в един от регионите са решили да разберат нивото на знания на деветокласниците по математика и са измислили тестот 6 задачи. Доста трудно е да се организира едновременно провеждане, проверка и обработка на получените резултати във всички училища в региона. Но според статистиката, за да се получи напълно надеждна информация, е достатъчно да се проведе извадково проучване, т.е. проверете само някои от учениците.

Ще се представят всички деветокласници от региона общо население, които ще бъдат оценени по представителна (репрезентативна) извадка. Обикновено се ограничава до проучване на 5-10% от цялата изследвана популация, докато се извършва случаен подбор, като се гарантира същата вероятност за попадане в извадката на всеки обект от общата популация.

Помислете за възможните резултати от такова извадково проучване за определен град в региона. Нека в града живеят 710 деветокласници, от които избрани на случаен принцип 50. Срещу всяко фамилно име беше поставен броят на правилно решените задачи и получи следния ред:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

Въз основа на тази серия е трудно да се правят категорични изводи и за да се улесни анализирането на информацията, в такива случаи цифровите данни се класират, като се подреждат във възходящ ред. В резултат на класирането серията ще придобие следния вид:

0;0;0; 1;1;1;1; 2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2; 3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;

4;4;4;4;4;4;4;4; 5;5;5; 6;6;6;6;6.

Виждаме, че серията е разделена на 7 групи. Всяка група представлява определен резултат от експеримента: нито един проблем не е решен, един проблем е решен и т.н. От тази серия можем да изчислим честотата за всеки резултат от експеримента. Например честотата на поява на събитието „деветокласник не е решил нито една задача“ е 3. Относителна честотае равно на отношението на неговата честота към размера на извадката, т.е. 3/50 или 6%.

За по-голяма яснота разгледайте табличното и графично представяне на резултатите.

Нека изградим диаграма:

Освен диаграми, за графично представяне на резултатите се използват така наречените полигони. За изграждането им в координатната система се отбелязват точки, чиито абциси са резултатите случаен експеримент, а ординатите са съответните честоти. За нашия случай многоъгълникът ще изглежда така:

Тъй като смятаме, че извадката е представителна, тогава въз основа на получените резултати е възможно да се прецени с достатъчна увереност нивото на знания на всички деветокласници на града.

Например в извадката 10% от учениците са решили всички задачи. Така че можем да очакваме, че от 710 ученици, около 10% ще се справят с всичките шест задачи. Това означава, че имат около 70 деветокласници от града високо нивоматематическа подготовка.

Вероятността за възникване на събитие в някакъв опит е равна на съотношението , където:

Общият брой на всички еднакво възможни елементарни резултати от даден опит, които формират пълна група от събития;

Броят на елементарните резултати, благоприятстващи събитието.

Задача 1

В урната има 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно следните факти са верни:

Изваждането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за следното събитие: - бяла топка ще бъде изтеглена от урната. Това събитие се благоприятства от елементарни резултати, следователно, според класическата дефиниция:
е вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в такъв прост проблем могат да се допуснат сериозни неточности. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че "тъй като половината от топките са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка » . Класическата дефиниция на вероятността е ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а дробта трябва да бъде написана!

С други точки по подобен начин, разгледайте следните събития:

Червена топка ще бъде изтеглена от урната;
- Черна топка ще бъде изтеглена от урната.

Да проверим дали е така: , в което исках да се уверя.

Отговор:

На практика е често срещана „високоскоростна“ версия на дизайна на решението.:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урната. Според класическото определение:
- вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
- вероятността червена топка да бъде изтеглена от урната;
е вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

Отговор:

Задача 2

Задача 3

При набиране на телефонен номер абонатът забравя последните две цифри, но помни, че едната от тях е нула, а другата е странна. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка: нулата е четно число (делимо на 2 без остатък)

Решение: първо намерете общия брой резултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се мъдри с комбинаторикаи се възползвайте директно изброяване на резултатите . Тоест, когато вземаме решение, ние просто записваме всички комбинации:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен изход: правилното число.

Според класическото определение:
- вероятността абонатът да набере правилния номер

Отговор: 0,1

Разширена задача за самостоятелно решение:

Задача 4

Абонатът е забравил пин кода на SIM картата си, но си спомня, че тя съдържа три "петици", като една от цифрите е или "седем", или "осем". Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук все още можете да развиете идеята за вероятността, че наказанието под формата на фарт код чака абоната, но, за съжаление, разсъжденията вече ще надхвърлят обхвата на този урок.

Решение и отговор по-долу.

Задача 5

Намерете вероятността, когато се хвърлят два зара, общата сума да бъде:

а) пет точки

б) не повече от четири точки;

в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини могат да изпуснат лицето на първия зар илицето на втория зар може да изпадне по различни начини; На правило за комбинирано умножение, Обща сума: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да образува подредена двойка с всекилицето на 2-ри куб. Ние се съгласяваме да напишем такава двойка във формата , където - числото, паднало на 1-вия зар, - числото, паднало на 2-рия зар.

Например:

На първия зар паднаха 3 точки, на втория - 5 точки, общият брой точки: 3 + 5 = 8;
- 6 точки на първия зар, 1 точка на втория, общ брой точки: 6 + 1 = 7;
- двата зара хвърлени 2 точки, сума: 2 + 2 = 4.

Очевидно е, че двойката дава най-малка сума, а две "шестици" дават най-голяма сума.

a) Помислете за събитието: - хвърлянето на два зара ще доведе до 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
- желаната вероятност.

Общо: 6 благоприятни комбинации. По този начин:
- вероятността да паднат не повече от 4 точки.

Кой е най-добрият начин да го направите? В такива случаи обходът се оказва рационален. Обмисли противоположно събитие: - Ще паднат 2 или 10 или 11 или 12 точки.

Какъв е смисълът? Обратното събитие се предпочита от много по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
- вероятността да паднат по-малко от три или повече от 9 точки.

Особено щателни хора могат да изброят всичките 29 двойки, като по този начин завършат проверката.

Отговор:

AT следваща задачаповторете таблицата за умножение:

Задача 6

Намерете вероятността при хвърляне на два зара произведението от точките да е:

а) ще бъде равно на седем;

б) ще бъде най-малко 20;

в) ще бъде четен.

Бързо решениеи отговорът в края на урока.

Задача 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) ще излязат на различни етажи;

б) двама ще излязат на един етаж;

в) всички ще излязат на същия етаж.

Решение: изчисляваме общия брой резултати: 1-вият пътник може да излезе от асансьора по различни начини ипътища - 2-ри пътник иначини - третият пътник. Според правилото за умножение на комбинации: възможни резултати. Това е, всекиПървият изходен етаж може да се комбинира с всекиизходен етаж на 2-ри човек и с всекиетаж изход 3-ти човек.

Вторият метод се основава на разположения с повторения:
- на който му е по-ясно.

a) Помислете за събитието: - пътниците ще слязат на различни етажи. Нека изчислим броя на благоприятните резултати:
начини могат да качат 3 пътника на различни етажи. Разсъждавайте сами с формулата.

Според класическото определение:

в) Разгледайте събитието: - пътниците ще слязат на същия етаж. Това събитие се предпочита от резултатите и според класическата дефиниция съответната вероятност е: .

Отиваме от задната врата:

б) Разгледайте събитието: - двама души излизат на един етаж (и съответно третият - от другата).

Форма за събития пълна група (вярваме, че никой няма да заспи в асансьора и асансьорът няма да заседне, което означава .

В резултат на това желаната вероятност е:

По този начин, теорема за добавяне за вероятностите събития, образуващи пълна група, може да бъде не само удобно, но и да се превърне в истински спасител!

Отговор:

Кога ще получите големи фракции, тогава добър тонще покаже техните приблизителни десетични стойности. Обикновено се закръгля до 2-3-4 знака след десетичната запетая.

Тъй като събитията от точки "a", "be", "ve" образуват пълна група, тоест има смисъл да се изпълняват контролна проверка, освен това е по-добре с приблизителни стойности:

Което трябваше да се провери.

Понякога, поради грешка при закръгляване, може да се окаже 0,9999 или 1,0001, в който случай една от приблизителните стойности трябва да бъде „коригирана“, така че в сумата да се начертае „чиста“ единица.

сам:

Задача 8

Хвърлят се 10 монети. Намерете вероятността, че:

а) главите ще падат върху всички монети;

б) 9 монети ще паднат с глави и една ще падне с опашки;

в) главите ще падат върху половината от монетите.

Задача 9

7 души са настанени произволно на седемместна пейка. Каква е вероятността две определено лицеще бъде наблизо?

Решение: няма проблеми с общия брой резултати:
начини могат да настанят 7 души на пейката.

Но как да изчислим броя на благоприятните резултати? Тривиалните формули не пасват и единствения начин- това е логически разсъждения. Първо, помислете за ситуацията, когато Саша и Маша бяха един до друг на левия ръб на пейката:

Очевидно редът има значение: Саша може да седи отляво, Маша отдясно и обратно. Но това не е всичко - за всекиот тези два случая останалите хора могат да седят свободни местаначини. Комбинаторно казано, Саша и Маша могат да бъдат пренаредени на съседни места по следните начини иза всяка такава пермутация други хора могат да бъдат пренаредени по начини.

Така, според правилото за умножение на комбинациите, има благоприятни резултати.

Но това не е всичко! Горните факти са верни. за всекидвойки съседни места:

Интересно е да се отбележи, че ако пейката е "заоблена" (свързване на ляво и дясно място), тогава се образува допълнителна, седма двойка съседни места. Но да не се отклоняваме. Съгласно същия принцип на умножение на комбинации, получаваме крайния брой благоприятни резултати:

Според класическото определение:
е вероятността двама определени хора да бъдат един до друг.

Отговор:

Задача 10

Два бели и черни топа са поставени произволно на шахматна дъска от 64 квадрата. Каква е вероятността да не се ударят?

справка: шахматната дъска има размер на клетки; черните и белите топове се "бият" един друг, когато са разположени на един ред или на един и същ файл

Не забравяйте да попълните схематичен чертеж на дъската и още по-добре, ако наблизо има комплект за шах. Едно е да разсъждаваш на хартия и съвсем друго, когато подреждаш фигурите със собствените си ръце.

Задача 11

Каква е вероятността четирите раздадени карти да съдържат едно асо и един поп?

Нека изчислим общия брой резултати. По колко начина могат да бъдат изтеглени 4 карти от тестето? Вероятно всички разбират за какво говорим брой комбинации:
начини, по които можете да изберете 4 карти от тестето.

Сега разглеждаме благоприятните резултати. Според условието в извадка от 4 карти трябва да има едно асо, един поп и, което не е казано обикновен текст, - две други карти:

Начини могат да извлекат едно асо;
начини за избор на един крал.

Изключваме аса и попове от разглеждане: 36 - 4 - 4 = 28

начини, по които можете да извлечете две други карти.

Според правилото за умножение на комбинации:
начини, по които можете да извлечете желаната комбинация от карти (1-во асо и 1-ви цар идве други карти).

Комбинативното значение на нотацията ще коментирам по друг начин:
всекиасо комбо с всекикрал и с всекивъзможен чифт други карти.

Според класическото определение:
- вероятността сред четирите раздадени карти да има едно асо и един поп.

Ако имате време и търпение, намалете колкото е възможно повече големите фракции.

Отговор:

| Повече ▼ проста задачаза независимо решение:

Задача 12

Кутията съдържа 15 качествени и 5 дефектни части. 2 елемента са премахнати на случаен принцип.

Намерете вероятността, че:

а) и двете части ще бъдат с високо качество;

б) една част ще бъде с високо качество, а друга ще бъде дефектна;

в) и двете части са дефектни.

Разработки изброени елементиобразуват пълна група, така че проверката тук се предполага. Кратко решение и отговор в края на урока. Като цяло, всичко забавно тепърва започва!

Задача 13

Ученикът знае отговорите на 25 изпитни въпросиот 60. Каква е вероятността да се издържи изпитът, ако изисква отговор на поне 2 от 3 въпроса?

Решение: така че подреждането е следното: общо 60 въпроса, включително 25 "добри" и съответно 60 - 25 = 35 "лоши". Ситуацията е клатеща и не в полза на ученика. Нека разберем колко добри са шансовете му:

начини, по които можете да изберете 3 въпроса от 60 (общ брой резултати).

За да издържите изпита, трябва да отговорите на 2 или 3 въпроса. Считаме за благоприятни комбинации:

Начини за избор на 2 „добри“ въпроса иедин "лош";

начини, по които можете да изберете 3 „добри“ въпроса.

от правилото за добавяне на комбинации:
начини, по които можете да изберете комбинация от 3 въпроса, която е благоприятна за полагане на изпита (няма разлика с два или три "добри" въпроса).

Според класическото определение:

Отговор:

Задача 14

На покер играч се раздават 5 карти. Намерете вероятността, че:

а) сред тези карти ще има чифт десетки и чифт валета;
б) на играча ще бъде раздаден флъш (5 карти от една боя);
в) на играча ще бъде раздадена четворка от един вид (4 карти с еднаква стойност).

Коя от следните комбинации е най-вероятно да се получи?

! внимание!Ако условието посочва подобен въпрос, след това върху него необходимодайте отговор.
справка : Покерът традиционно се играе с тесте от 52 карти, което съдържа карти от 4 бои в деноминации от „двойки“ до аса.

Покерът е най-математическата игра (който играе, той знае), в която можете да имате осезаемо предимство пред по-малко квалифицирани опоненти.

Решения и отговори:

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Има само един благоприятен изход (правилен пин код).

Така, според класическата дефиниция:
- вероятността абонатът да бъде авторизиран при първия опит
Отговор :

Задача 6: Решение

Задача 6:Решение : намерете общия брой резултати:
начини могат да пускат числа на 2 зара.

а) Разгледайте събитието: - при хвърляне на два зара произведението от точки ще бъде равно на седем. Няма благоприятни изходи за това събитие.
, т.е. това събитие е невъзможно.

б) Разгледайте събитието: - при хвърляне на два зара произведението от точки ще бъде най-малко 20. Това събитие се благоприятства от следните резултати:

Общо: 8

Според класическото определение:

- желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположни събития:

- произведението на точките ще бъде четно;

- произведението на точките ще бъде нечетно.

Избройте всички резултати, които благоприятстват събитието :

Общо: 9 благоприятни изхода.

Според класическата дефиниция на вероятността:

Противоположните събития образуват пълна група, така че:

- желаната вероятност.

Отговор :

Задача 8:Решение начини могат да пуснат 2 монети.
Друг начин: Първата монета може да падне по различни начинии Втората монета може да падне по различни начинии … и начини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
а) Разгледайте събитието: - Всички монети ще приземят глави. Това събитие се благоприятства от един изход според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Разгледайте събитието: - 9 монети ще паднат с глави, а една с опашки.
Съществуват монети, които могат да кацнат на опашки. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Разгледайте събитието: - орелът ще падне върху половината от монетите.
Съществуват уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
Отговор:

Задача 10:Решение : изчислете общия брой резултати:
начини за поставяне на два топа на дъската.
Друга опция за дизайн: начини за избиране на две клетки от шахматната дъскаи начини за поставяне на белия и черния топвъв всеки от случаите от 2016 г. Така общият брой резултати: .

Сега нека изчислим резултатите, при които топовете се "удрят" един друг. Помислете за първия хоризонтал. Очевидно фигурите могат да бъдат поставени върху него по произволен начин, например така:

Освен това топовете могат да се пренареждат. Даваме разсъжденията в цифрова форма: начини за избиране на две клеткии начини за пренареждане на топоветевъв всекиот 28 случая. Обща сума: възможни подредби на фигури по хоризонтала.
Кратка версия на дизайна: начини, по които можете да поставите белия и черния топ на 1-ви ред.

Изложеното разсъждение е правилно.за всеки хоризонтални линии, така че броят на комбинациите трябва да се умножи по осем: . В допълнение, подобна история е вярна за всеки от осемте вертикала. Нека изчислим общия брой подреждания, в които фигурите се "удрят" една в друга:

Тогава в останалите варианти на подредбата топовете няма да се „удрят“ един друг:
4032 - 896 = 3136

Според класическата дефиниция на вероятността:
- вероятността бял и черен топ, произволно поставени на дъската, да не се "ударят" един друг.

Отговор :

Задача 12:Решение : общо: 15 + 5 = 20 части в кутия. Нека изчислим общия брой резултати:
начини, по които можете да премахнете 2 части от кутията.
а) Разгледайте събитието: - и двете извлечени части ще бъдат с високо качество.
начини, по които можете да извлечете 2 качествени части.
Според класическата дефиниция на вероятността:
б) Разгледайте събитието: - една част ще бъде с високо качество, а друга ще бъде дефектна.
начини, по които можете да извлечете 1 качествена части1 дефектен.
Според класическото определение:
в) Разгледайте събитието: И двете свалени части са дефектни.
начини, по които можете да премахнете 2 дефектни части.
Според класическото определение:
Преглед: изчислете сумата от вероятностите за събития, които образуват пълна група: , което трябваше да бъде проверено.
Отговор:

А сега нека вземем вече познатия и безпроблемен инструмент за обучение - заровес пълна групасъбития , които се състоят в това, че при хвърлянето му ще отпаднат съответно 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Помислете за събитие - в резултат на хвърляне заровевкара поне пет точки. Това събитиесе състои от два несъвместими резултата: (ще падне 5 или 6 точки)
- вероятността поне пет точки да паднат в резултат на хвърляне на зар.

Помислете за събитие, състоящо се в това, че няма да паднат повече от 4 точки и намерете неговата вероятност. Според теоремата за добавяне на вероятности несъвместими събития:

Може би някои читатели все още не са осъзнали напълно същностнесъвместимост. Нека помислим отново: ученикът не може да отговори на 2 въпроса от 3 и в същото времеотговори на всичките 3 въпроса. Така събитията и - са несъвместими.

Сега, използвайки класическо определение, намерете техните вероятности:

Факт успешна доставкаизпит се изразява като сума (Отговорете на 2 въпроса от 3 илиза всички въпроси). Според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:
е вероятността студентът да издържи изпита.

Това решение е напълно равностойно, изберете кое ви харесва най-много.

Задача 1

Магазинът получи каси от четири склада: четири от 1-ви, пет от 2-ри, седем от 3-ти и четири от 4-ти. Продавам произволно избрана кутия. Каква е вероятността да е кашон от първи или трети склад.

Решение: общо получени от магазина: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 кутии.

В този проблем е по-удобно да се използва „бързият“ метод за проектиране, без да се планират събития с големи с латински букви. Според класическото определение:
- вероятността кутия от 1-ви склад да бъде избрана за продажба;
- вероятността кутия от 3-ти склад да бъде избрана за продажба.

По теоремата за добавяне за несъвместими събития:
- вероятността кутия от първия или третия склад да бъде избрана за продажба.

Отговор: 0,55

Несъмнено проблемът е разрешим и чисто чрез класическо определение на вероятносттачрез директно преброяване на броя на благоприятните резултати (4 + 7 = 11), но разглежданият метод не е по-лош. И още по-ясно.

Задача 2

Кутията съдържа 10 червени и 6 сини бутона. Два бутона се премахват произволно. Каква е вероятността те да са с еднакъв цвят?

По същия начин - тук можете да използвате правило за комбинаторна сума, но никога не се знае ... изведнъж някой го е забравил. Тогава на помощ ще дойде теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития!

Тип