Как да намерите най-малката стойност на функцията корен. Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент. Последици от обхвата на функция

Понякога в задачи B15 има "лоши" функции, за които е трудно да се намери производната. Преди това беше само на сонди, но сега тези задачи са толкова често срещани, че вече не могат да бъдат пренебрегнати при подготовката за този изпит.

В този случай работят други трикове, един от които е - монотонен.

Функцията f (x) се нарича монотонно нарастваща върху сегмента, ако за произволни точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното:

х 1< x 2 ⇒ f (х 1) < f (x2).

Функцията f (x) се нарича монотонно намаляваща върху сегмента, ако за произволни точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното:

х 1< x 2 ⇒ f (х 1) > f ( x2).

С други думи, за нарастваща функция, колкото по-голямо е x, толкова по-голямо е f(x). За намаляваща функция е вярно обратното: колкото повече x, толкова по-малко f(x).

Например, логаритъмът нараства монотонно, ако основата a > 1 и намалява монотонно, ако 0< a < 1. Не забывайте про область позволени стойностилогаритъм: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Аритметичният квадратен (и не само квадратен) корен нараства монотонно в цялата област на дефиниция:

Експоненциалната функция се държи подобно на логаритъма: тя нараства за a > 1 и намалява за 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, експоненциална функциядефиниран за всички числа, не само за x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

И накрая, градуси от отрицателен показател. Можете да ги напишете като дроб. Те имат точка на прекъсване, където се нарушава монотонността.

Всички тези функции никога не се срещат в тяхната чиста форма. Към тях се добавят полиноми, дроби и други глупости, поради което става трудно да се изчисли производната. Какво се случва в този случай - сега ще анализираме.

Координати на върха на парабола

Най-често аргументът на функцията се заменя с квадратен тричлен от вида y = ax 2 + bx + c . Неговата графика е стандартна парабола, в която се интересуваме от:

1. Разклонения на парабола - могат да вървят нагоре (за a > 0) или надолу (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Върхът на параболата е екстремалната точка на квадратична функция, в която тази функция приема най-малкото (за a > 0) или най-голямото (a< 0) значение.

Най-голям интерес представлява връх на парабола, чиято абциса се изчислява по формулата:

И така, намерихме екстремната точка на квадратичната функция. Но ако първоначалната функция е монотонна, за нея точката x 0 също ще бъде точка на екстремум. Така формулираме основното правило:

Екстремни точки на квадратния трином и сложна функция, в които влиза, са еднакви. Следователно можете да търсите x 0 за квадратен тричлен и да забравите за функцията.

От горните разсъждения остава неясно какъв вид точка получаваме: максимум или минимум. Задачите обаче са специално разработени, така че да няма значение. Преценете сами:

1. В условието на задачата няма сегмент. Следователно не е необходимо да се изчисляват f(a) и f(b). Остава да се разгледат само екстремните точки;
2. Но има само една такава точка - това е върхът на параболата x 0, чиито координати се изчисляват буквално устно и без никакви производни.

По този начин решението на проблема е значително опростено и сведено до две стъпки:

1. Напишете уравнението на параболата y = ax 2 + bx + c и намерете нейния връх по формулата: x 0 = −b /2a;
2. Намерете стойността на оригиналната функция в тази точка: f (x 0). Ако няма допълнителни условияне, това би бил отговорът.

На пръв поглед този алгоритъм и неговата обосновка може да изглеждат сложни. Умишлено не публикувам "гола" схема за решение, тъй като необмисленото прилагане на такива правила е изпълнено с грешки.

Нека разгледаме истинските проблеми от пробен изпитпо математика - точно там тази техникасе среща най-често. В същото време ще се погрижим по този начин много проблеми с В15 да станат почти вербални.

Под корена е квадратична функция y \u003d x 2 + 6x + 13. Графиката на тази функция е парабола с разклонения нагоре, тъй като коефициентът a \u003d 1\u003e 0.

Горната част на параболата:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Тъй като клоните на параболата са насочени нагоре, в точката x 0 \u003d −3, функцията y \u003d x 2 + 6x + 13 приема най-малката стойност.

Коренът нараства монотонно, така че x 0 е минималната точка на цялата функция. Ние имаме:

Задача. Намерете най-малката стойност на функцията:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логаритъма отново е квадратична функция: y \u003d x 2 + 2x + 9. Графиката е парабола с клони нагоре, защото а = 1 > 0.

Горната част на параболата:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

И така, в точката x 0 = −1, квадратичната функция приема най-малката стойност. Но функцията y = log 2 x е монотонна, така че:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Показателят е квадратна функция y = 1 − 4x − x 2 . Нека го пренапишем нормална форма: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно графиката на тази функция е парабола, разклонена надолу (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Първоначалната функция е експоненциална, тя е монотонна, така че най-висока стойностще бъде в намерената точка x 0 = −2:

Внимателен читател със сигурност ще забележи, че не сме написали областта на допустимите стойности на корена и логаритъма. Но това не се изисква: вътре има функции, чиито стойности винаги са положителни.

Последици от обхвата на функция

Понякога, за да решите задача B15, не е достатъчно просто да намерите върха на параболата. Желаната стойност може да лъже в края на сегмента, но не и в крайната точка. Ако задачата изобщо не посочва сегмент, погледнете диапазон на толерантносторигинална функция. а именно:

Обърнете внимание отново: нулата може да е под корена, но никога в логаритъма или знаменателя на дроб. Нека да видим как работи с конкретни примери:

Задача. Намерете най-голямата стойност на функцията:

Под корена отново има квадратична функция: y \u003d 3 - 2x - x 2. Неговата графика е парабола, но се разклонява надолу, тъй като a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Корен квадратенот отрицателно число не съществува.

Изписваме зоната на допустимите стойности (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Сега намерете върха на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Точката x 0 = −1 принадлежи на сегмента ODZ - и това е добре. Сега разглеждаме стойността на функцията в точката x 0, както и в краищата на ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

И така, имаме числата 2 и 0. От нас се иска да намерим най-голямото - това е числото 2.

Задача. Намерете най-малката стойност на функцията:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Вътре в логаритъма има квадратична функция y = 6x − x 2 − 5. Това е парабола с разклонения надолу, но в логаритъма не може да бъде отрицателни числа, така че изписваме ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Моля, обърнете внимание: неравенството е строго, така че краищата не принадлежат към ODZ. По този начин логаритъма се различава от корена, където краищата на сегмента ни подхождат доста добре.

Търсене на върха на параболата:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Върхът на параболата пасва по ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но тъй като краищата на сегмента не ни интересуват, ние разглеждаме стойността на функцията само в точката x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

От практична гледна точка най-голям интереспредставлява използването на производната за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функция. С какво е свързано? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота трябва да се реши проблемът с оптимизирането на някои параметри. И това е проблемът за намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията.

Трябва да се отбележи, че най-голямата и най-малката стойност на функция обикновено се търсят на някакъв интервал X , който е или цялата област на функцията, или част от домейна. Самият интервал X може да бъде отсечка, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намирането на най-големите и най-малките стойности изрично. дадена функцияедна променлива y=f(x) .

Навигация в страницата.

Най-голяма и най-малка стойност на функция - определения, илюстрации.

Нека се спрем накратко на основните определения.

Най-голямата стойност на функцията , което за всякакви неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X се нарича такава стойност , което за всякакви неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) стойност, приета на разглеждания интервал с абсцисата.

Стационарни точкиса стойностите на аргумента, при които производната на функцията изчезва.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум ( местен минимумили локален максимум) в някакъв момент, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята максимална (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, функция често може да приеме най-големите и най-малките стойности в точки, където първата производна на тази функция не съществува, а самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на функцията или интервалът X е безкраен. А някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиниране могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота даваме графична илюстрация. Вижте снимките - и много ще стане ясно.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, показан на втората фигура. Променете сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията е достигната в неподвижна точка, а най-големият - в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура №3 граничните точки на отсечката [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

В открит диапазон

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки в рамките на отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, показан на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y ) в стационарна точка с x=1 абциса, а най-малката стойност (min y ) се достига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3 .

На интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Тъй като x=2 клони надясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (правата x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3 . Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция върху отсечката.

Ние пишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

1. Намираме домейна на функцията и проверяваме дали съдържа целия сегмент.
2. Намираме всички точки, в които първата производна не съществува и които се съдържат в сегмента (обикновено такива точки се срещат във функции с аргумент под знака на модула и в мощностни функциис дробни рационален показател). Ако няма такива точки, преминете към следващата точка.
3. Определяме всички неподвижни точки, които попадат в сегмента. За да направим това, ние го приравняваме към нула, решаваме полученото уравнение и избираме подходящите корени. Ако няма стационарни точки или нито една от тях не попада в сегмента, преминете към следващата стъпка.
4. Изчисляваме стойностите на функцията в избраните стационарни точки (ако има такива), в точки, където първата производна не съществува (ако има), а също и при x=a и x=b.
5. От получените стойности на функцията избираме най-голямата и най-малката - те ще бъдат съответно желаните максимална и най-малка стойност на функцията.

Нека анализираме алгоритъма при решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на интервала [-4;-1] .

Решение.

Домейнът на функцията е цялото множество реални числа, с изключение на нула, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намираме производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1] .

Стационарните точки се определят от уравнението . Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарна точка, т.е. за x=1 , x=2 и x=4 :

Следователно най-голямата стойност на функцията се достига при x=1 и най-малката стойност – при x=2 .

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една стационарна точка):

дребна и хубава проста задачаот категорията на тези, които служат като спасителен пояс за плаващ студент. В природата, сънното царство на средата на юли, така че е време да се установите с лаптоп на плажа. Играе се рано сутринта слънчев лъчтеория, за да се съсредоточи скоро върху практиката, която въпреки заявената си лекота съдържа стъклени фрагменти в пясъка. В тази връзка препоръчвам съвестно да разгледате няколко примера от тази страница. За решения практически задачитрябва да бъде в състояние намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функция.

Първо, накратко за основното. В урок за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на сегмент, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Вторият параграф се занимава с т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода към дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, започната по-рано:

Функцията е непрекъсната в точка на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и нейната лява граница е равно на стойносттав този момент:

Представете си, че зелените точки са ноктите, на които е прикрепена магическата гумена лента:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен- жив плет отгоре, жив плет отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на сегмент, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва Първата теорема на Вайерщрас.... Много хора се дразнят, че елементарните твърдения са досадно обосновани в математиката, но има важен смисъл. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графиката в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква отвъд хоризонта? В края на краищата, някога Земята се смяташе за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според втора теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментафункция достига своята точен горната част на лицето И неговият точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи се обозначава с , а числото - минималната стойност на функцията на интервалаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-голямата стойност се намира там, където най-много висока точкаграфика, а най-малката - където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше посочено в статията за екстремуми на функцията, най-голямата стойност на функциятаИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ функционален минимум. Така че в този пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори наводнението, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва намирането само на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно, няма нужда да рисуваш!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още един кок: няма нужда да проверявате достатъчно условиеекстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не е гарантирано, което е минимумът или максимална стойност. Демонстрационната функция достига своя максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на интервала. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че на първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали имат екстремуми или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, ние избираме най-малката и най-много голямо число, запишете отговора.

Сядаме на брега синьо мореи удари петите в плитка вода:

Пример 1

Намерете най-големия и най-малка стойностфункции на интервала

Решение:
1) Изчислете стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Изчисляваме стойността на функцията във втората критична точка:

2) Изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са "удебелени" резултати с експоненциали и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина ще се въоръжим с калкулатор или Excel и ще изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент

На практика е доста обичайно да се използва производната, за да се изчисли най-голямата и най-малката стойност на функция. Извършваме това действие, когато разберем как да минимизираме разходите, да увеличим печалбите, да изчислим оптималното натоварване на производството и т.н., т.е. в случаите, когато е необходимо да се определи оптималната стойност на даден параметър. За правилното решаване на такива проблеми трябва да имате добра представа кои са най-голямата и най-малката стойност на дадена функция.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обикновено ние дефинираме тези стойности в рамките на някакъв интервал x, който от своя страна може да съответства на целия обхват на функцията или част от нея. Може да бъде сегмент [ a ; b ] , и отворен интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , безкраен интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) или безкраен интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

В тази статия ще обясним как да изчислим най-голямата и най-малката стойност на изрично дадена функция с една променлива y=f(x) y = f (x) .

Основни определения

Започваме, както винаги, с формулирането на основните определения.

Определение 1

Най-голямата стойност на функцията y = f (x) на някакъв интервал x е стойността m a x y = f (x 0) x ∈ X , която за всяка стойност x x ∈ X , x ≠ x 0, прави неравенството f (x ) ≤ f (x 0) .

Определение 2

Най-малката стойност на функцията y = f (x) на някакъв интервал x е стойността m i n x ∈ X y = f (x 0) , която за всяка стойност x ∈ X , x ≠ x 0, прави неравенството f(X f (x) ≥ f(x0) .

Тези определения са доста очевидни. Още по-лесно можете да кажете следното: най-голямата стойност на функция е нейната най-голяма голямо значениена известен интервал на абсцисата x 0 , а най-малката е най-малката приета стойност на същия интервал на x 0 .

Определение 3

Стационарните точки са такива стойности на аргумента на функцията, при които нейната производна става 0.

Защо трябва да знаем какво представляват неподвижните точки? За да отговорим на този въпрос, трябва да си спомним теоремата на Ферма. От това следва, че стационарна точка е точка, в която се намира екстремумът на диференцируема функция (т.е. нейният локален минимум или максимум). Следователно функцията ще вземе най-малката или най-голямата стойност на определен интервал точно в една от стационарните точки.

Друга функция може да приеме най-голямата или най-малката стойност в онези точки, в които самата функция е определена и нейната първа производна не съществува.

Първият въпрос, който възниква при изучаването на тази тема, е: във всички случаи можем ли да определим максималната или минималната стойност на функция на даден интервал? Не, не можем да направим това, когато границите на дадения интервал съвпадат с границите на областта на дефиниция или ако имаме работа с безкраен интервал. Също така се случва функция в даден интервал или в безкрайност да вземе безкрайно малка или безкрайна големи стойности. В тези случаи не е възможно да се определи най-голямата и/или най-малката стойност.

Тези моменти ще станат по-разбираеми след изображението на графиките:

Първата фигура ни показва функция, която приема най-големите и най-малките стойности (m a x y и m i n y) в стационарни точки, разположени на интервала [ - 6 ; 6].

Нека разгледаме подробно случая, посочен във втората графика. Нека променим стойността на сегмента на [ 1 ; 6] и получаваме, че най-голямата стойност на функцията ще се постигне в точката с абсцисата в дясната граница на интервала, а най-малката – в стационарната точка.

На третата фигура абсцисите на точките представляват граничните точки на отсечката [ - 3 ; 2]. Те съответстват на най-голямата и най-малката стойност на дадената функция.

Сега нека да разгледаме четвъртата снимка. В него функцията приема m a x y (най-голямата стойност) и m i n y (най-малката стойност) в стационарни точки в отворения интервал (- 6 ; 6) .

Ако вземем интервала [ 1 ; 6), тогава можем да кажем, че най-малката стойност на функцията върху него ще бъде достигната в стационарна точка. Няма да знаем максималната стойност. Функцията може да приеме най-голямата стойност при x равно на 6, ако x = 6 принадлежи на интервала. Именно този случай е показан на фигура 5.

На графика 6, най-малката стойност дадена функцияпридобива в дясната граница на интервала (- 3 ; 2 ] и не можем да направим категорични заключения за най-голямата стойност.

На фигура 7 виждаме, че функцията ще има m a x y в стационарната точка, имаща абциса, равна на 1. Функцията достига минималната си стойност на границата на интервала с правилната страна. При минус безкрайност стойностите на функцията ще се доближат асимптотично до y = 3 .

Ако вземем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , тогава ще видим, че дадената функция няма да приеме нито най-малката, нито най-голямата стойност. Ако x клони към 2, тогава стойностите на функцията ще клонят към минус безкрайност, тъй като правата x = 2 е вертикална асимптота. Ако абсцисата клони към плюс безкрайност, тогава стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3. Това е случаят, показан на фигура 8.

В този параграф ще дадем последователност от действия, които трябва да се извършат, за да се намери най-голямата или най-малката стойност на функция на определен интервал.

1. Първо, нека намерим домейна на функцията. Нека проверим дали посоченият в условието сегмент е включен в него.
2. Сега нека изчислим точките, съдържащи се в този сегмент, в които първата производна не съществува. Най-често те могат да бъдат намерени във функции, чийто аргумент е записан под знака на модула, или в степенни функции, чийто показател е дробно рационално число.
3. След това откриваме кои неподвижни точки попадат в даден сегмент. За да направите това, трябва да изчислите производната на функцията, след това да я приравните към 0 и да решите полученото уравнение и след това да изберете подходящите корени. Ако не получим нито една неподвижна точка или те не попадат в даден сегмент, тогава преминаваме към следващата стъпка.
4. Нека определим какви стойности ще приеме функцията в дадените стационарни точки (ако има такива) или в тези точки, където първата производна не съществува (ако има), или изчисляваме стойностите за x = a и x = b .
5. 5. Имаме серия от функционални стойности, от които сега трябва да изберем най-голямата и най-малката. Това ще бъдат най-голямата и най-малката стойност на функцията, която трябва да намерим.

Нека видим как да приложим този алгоритъм правилно при решаване на задачи.

Пример 1

Състояние:дадена е функцията y = x 3 + 4 x 2. Определете най-голямата и най-малката му стойност на отсечките [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .

Решение:

Нека започнем с намирането на домейна на тази функция. В този случай това ще бъде множеството от всички реални числа с изключение на 0 . С други думи, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞. И двата сегмента, посочени в условието, ще бъдат вътре в зоната за дефиниране.

Сега изчисляваме производната на функцията според правилото за диференциране на дроб:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 х 3

Научихме, че производната на функцията ще съществува във всички точки на отсечките [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .

Сега трябва да определим стационарните точки на функцията. Нека направим това с уравнението x 3 - 8 x 3 = 0. Той има само един истински корен, равно на 2 . Тя ще бъде неподвижна точка на функцията и ще попада в първия сегмент [ 1 ; 4 ] .

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на първия сегмент и в дадената точка, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Получихме, че най-голямата стойност на функцията m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 ще бъде постигнато при x = 1 , а най-малкото m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2 .

Вторият сегмент не включва стационарни точки, така че трябва да изчислим стойностите на функцията само в краищата на дадения сегмент:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Следователно, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Отговор:За сегмента [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , за отсечката [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Вижте снимката:

Преди да учат насам, съветваме ви да повторите как правилно да изчислите едностранната граница и границата в безкрайност, както и да научите основните методи за намирането им. За да намерим най-голямата и/или най-малката стойност на функция на отворен или безкраен интервал, изпълняваме следните стъпки последователно.

1. Първо трябва да проверите дали определен интервале подмножество от домейна на дадената функция.
2. Нека определим всички точки, които се съдържат в търсения интервал и в които първата производна не съществува. Обикновено те се срещат във функции, където аргументът е ограден в знака на модула, и в степенни функции с дробно рационален показател. Ако тези точки липсват, можете да продължите към следващата стъпка.
3. Сега определяме кои стационарни точки попадат в даден интервал. Първо приравняваме производната на 0, решаваме уравнението и намираме подходящи корени. Ако нямаме нито една неподвижна точка или те не попадат в даден интервал, тогава веднага преминаваме към по-нататъшни действия. Те се определят от вида на интервала.

• Ако интервалът изглежда като [ a ; b) , тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = a и едностранно лимит лим x → b - 0 f (x) .
• Ако интервалът има формата (a ; b ] , тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = b и едностранната граница lim x → a + 0 f (x) .
• Ако интервалът има формата (a ; b) , тогава трябва да изчислим едностранните граници lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Ако интервалът изглежда като [ a ; + ∞), тогава е необходимо да се изчисли стойността в точката x = a и границата на плюс безкрайност лим x → + ∞ f (x) .
• Ако интервалът изглежда като (- ∞ ; b ] , изчисляваме стойността в точката x = b и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x) .
• Ако - ∞ ; b , тогава разглеждаме едностранната граница lim x → b - 0 f (x) и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x)
• Ако - ∞ ; + ∞ , тогава разглеждаме границите до минус и плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Накрая трябва да направите заключение въз основа на получените стойности на функцията и границите. Тук има много опции. Така че, ако едностранната граница е равна на минус безкрайност или плюс безкрайност, тогава веднага става ясно, че нищо не може да се каже за най-малката и най-голямата стойност на функцията. По-долу ще обсъдим един типичен пример. Подробни описанияда ви помогне да разберете какво е какво. Ако е необходимо, можете да се върнете към фигури 4 - 8 в първата част на материала.

Пример 2

Условие: дадена е функция y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Изчислете най-голямата и най-малката му стойност в интервалите - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).

Решение

Първо, намираме домейна на функцията. Знаменателят на дробта е квадратен тричлен, който не трябва да достига 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Получихме обхвата на функцията, към който принадлежат всички зададени в условието интервали.

Сега нека разграничим функцията и да получим:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следователно, производни на функция съществуват в цялата област на нейната дефиниция.

Нека да преминем към намирането на стационарни точки. Производната на функцията става 0 при x = - 1 2 . Това е неподвижна точка, която е в интервалите (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Нека изчислим стойността на функцията при x = - 4 за интервала (- ∞ ; - 4 ] , както и границата при минус безкрайност:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Тъй като 3 e 1 6 - 4 > - 1 , тогава m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Това не ни позволява еднозначно да определим най-малката стойност на функцията. Можем само да заключим, че има граница под -1, тъй като именно към тази стойност функцията се приближава асимптотично при минус безкрайност.

Характеристика на втория интервал е, че той няма нито една стационарна точка и нито една строга граница. Следователно не можем да изчислим нито най-голямата, нито най-малката стойност на функцията. Като дефинираме границата при минус безкрайност и тъй като аргументът клони към -3 от лявата страна, получаваме само диапазона от стойности:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Това означава, че стойностите на функцията ще бъдат разположени в интервала - 1 ; +∞

За да намерим максималната стойност на функцията в третия интервал, ние определяме нейната стойност в стационарната точка x = - 1 2, ако x = 1 . Също така трябва да знаем едностранната граница за случая, когато аргументът клони към - 3 от дясната страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Оказа се, че функцията ще приеме най-голямата стойност в стационарна точка m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Що се отнася до най-малката стойност, не можем да я определим. Всичко, което ние знам, е наличието на долна граница до -4.

За интервала (- 3 ; 2), нека вземем резултатите от предишното изчисление и отново изчислим на какво е равна едностранната граница, когато клоним към 2 от лявата страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Следователно, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , и най-малката стойност не може да бъде определена, а стойностите на функцията са ограничени отдолу с числото - 4 .

Въз основа на това, което направихме в двете предишни изчисления, можем да твърдим, че на интервала [ 1 ; 2) функцията ще приеме най-голямата стойност при x = 1 и е невъзможно да се намери най-малката.

На интервала (2 ; + ∞) функцията няма да достигне нито най-голямата, нито най-малката стойност, т.е. ще приема стойности от интервала - 1 ; +∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

След като изчислим на какво ще бъде равна стойността на функцията при x = 4, откриваме, че m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , и дадената функция при плюс безкрайност асимптотично ще се доближава до правата y = - 1 .

Нека сравним полученото при всяко изчисление с графиката на дадената функция. На фигурата асимптотите са показани с пунктирани линии.

Това е всичко, което искахме да говорим за намирането на най-голямата и най-малката стойност на функция. Тези последователности от действия, които дадохме, ще ви помогнат да направите необходимите изчисления възможно най-бързо и лесно. Но не забравяйте, че често е полезно първо да разберете на кои интервали функцията ще намалява и на кои ще нараства, след което могат да се направят допълнителни заключения. Така можете по-точно да определите най-голямата и най-малката стойност на функцията и да обосновете резултатите.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Как да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмент?

За това следваме добре познатия алгоритъм:

1 . Намираме ODZ функции.

2 . Намиране на производната на функция

3 . Приравнете производната на нула

4 . Намираме интервалите, на които производната запазва знака си, и от тях определяме интервалите на нарастване и намаляване на функцията:

Ако на интервала I производната на функцията 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} се увеличава през този интервал.

Ако на интервала I производната на функцията , тогава функцията намалява през този интервал.

5 . Намираме максимални и минимални точки на функцията.

IN максималната точка на функцията, производната променя знака от "+" на "-".

IN минимална точка на функциятапроизводната променя знака от "-" на "+".

6 . Намираме стойността на функцията в краищата на сегмента,

• след това сравняваме стойността на функцията в краищата на сегмента и в максималните точки, и изберете най-голямата от тях, ако трябва да намерите най-голямата стойност на функцията
• или сравняваме стойността на функцията в краищата на сегмента и в минималните точки, и изберете най-малката от тях, ако трябва да намерите най-малката стойност на функцията

Въпреки това, в зависимост от това как функцията се държи на интервала, този алгоритъм може да бъде значително намален.

Помислете за функцията . Графиката на тази функция изглежда така:

Нека да разгледаме някои примери за решаване на задачи от отворена банказадачи за

1 . Задача B15 (#26695)

На среза.

1. Функцията е дефинирана за всички действителни стойностих

Очевидно това уравнение няма решения и производната е положителна за всички стойности на x. Следователно функцията нараства и приема най-голямата стойност в десния край на интервала, тоест при x=0.

Отговор: 5.

2 . Задача B15 (№ 26702)

Намерете най-голямата стойност на функция на сегмента.

1.ODZ функция title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Производната е нула при , но в тези точки не променя знака:

Следователно title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} нараства и приема най-голямата стойност в десния край на интервала, при .

За да стане ясно защо производната не променя знака, трансформираме израза за производната, както следва:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Отговор: 5.

3 . Задача B15 (#26708)

Намерете най-малката стойност на функцията на интервала.

1. ODZ функции: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Нека поставим корените на това уравнение върху тригонометрична окръжност.

Интервалът съдържа две числа: и

Да сложим табелите. За да направим това, определяме знака на производната в точката x=0: . При преминаване през точките и производната променя знака.

Нека изобразим промяната на знаците на производната на функцията върху координатната линия:

Очевидно точката е минимална точка (където производната променя знака от "-" на "+") и за да намерите най-малката стойност на функцията в интервала, трябва да сравните стойностите на функцията в минималната точка и в левия край на сегмента, .