Обратното свойство на ъглополовящата. Симетрала и противоположна страна. Разстоянията от точка на ъглополовящата до страните на ъгъла са еднакви

Днес ще бъде много лесен урок. Ще разгледаме само един обект - ъглополовящата - и ще докажем най-важното му свойство, което ще ни бъде много полезно в бъдеще.

Просто не се отпускайте: понякога учениците, които искат да получат висок резултат на същия OGE или USE, в първия урок, дори не могат да формулират точното определение на ъглополовящата.

И вместо да вършим наистина интересни задачи, ние отделяме време за толкова прости неща. Така че четете, гледайте - и приемайте. :)

Като начало един малко странен въпрос: какво е ъгъл? Точно така: ъгълът е само два лъча, излизащи от една и съща точка. Например:

Примери за ъгли: остър, тъп и прав

Както можете да видите от снимката, ъглите могат да бъдат остри, тъпи, прави - сега няма значение. Често за удобство на всеки лъч се отбелязва допълнителна точка и те казват, казват, че имаме ъгъл $AOB$ (написан като $\angle AOB$).

Очевидността на капитана сякаш подсказва, че в допълнение към лъчите $OA$ и $OB$ винаги може да се начертаят куп лъчи от точката $O$. Но сред тях ще има един специален - той се нарича ъглополовяща.

Определение. Симетралата на ъгъл е лъч, който излиза от върха на този ъгъл и разполовява ъгъла.

За ъглите по-горе ъглополовящите ще изглеждат така:

Примери за ъглополовящи за остър, тъп и прав ъгъл

Тъй като в реалните чертежи далеч не винаги е очевидно, че определен лъч (в нашия случай това е $OM$ лъч) разделя началния ъгъл на два равни, в геометрията е обичайно да се отбелязват равни ъгли с еднакъв брой дъги (в нашия чертеж това е 1 дъга за остър ъгъл, две за тъп, три за прав).

Добре, разбрахме определението. Сега трябва да разберете какви свойства има ъглополовящата.

Основно свойство на ъглополовящата

Всъщност ъглополовящата има много свойства. И определено ще ги разгледаме в следващия урок. Но има един трик, който трябва да разберете точно сега:

Теорема. Симетралата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на дадения ъгъл.

Преведено от математически на руски, това означава два факта наведнъж:

1. Всяка точка, лежаща върху ъглополовящата на ъгъл, е на същото разстояние от страните на този ъгъл.
2. И обратното: ако дадена точка лежи на същото разстояние от страните на даден ъгъл, тогава тя гарантирано лежи на ъглополовящата на този ъгъл.

Преди да докажем тези твърдения, нека изясним една точка: какво всъщност се нарича разстоянието от точка до страна на ъгъл? Тук ще ни помогне добрата стара дефиниция за разстоянието от точка до права:

Определение. Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра, прекаран от тази точка до тази права.

Например, разгледайте права $l$ и точка $A$, които не лежат на тази права. Начертайте перпендикуляр $AH$, където $H\in l$. Тогава дължината на този перпендикуляр ще бъде разстоянието от точката $A$ до правата $l$.

Графично представяне на разстоянието от точка до права

Тъй като ъгълът е само два лъча и всеки лъч е част от линия, лесно е да се определи разстоянието от точка до страните на ъгъла. Това са само два перпендикуляра:

Определете разстоянието от точка до страните на ъгъл

Това е всичко! Сега знаем какво е разстояние и какво е ъглополовяща. Следователно можем да докажем основното свойство.

Както обещахме, разделяме доказателството на две части:

1. Разстоянията от точка на ъглополовящата до страните на ъгъла са еднакви

Да разгледаме произволен ъгъл с връх $O$ и ъглополовяща $OM$:

Нека докажем, че същата тази точка $M$ е на същото разстояние от страните на ъгъла.

Доказателство. Нека начертаем перпендикуляри от точката $M$ към страните на ъгъла. Нека ги наречем $M((H)_(1))$ и $M((H)_(2))$:

Начертайте перпендикуляри към страните на ъгъла

Имаме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Те имат обща хипотенуза $OM$ и равни ъгли:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ по предположение (тъй като $OM$ е ъглополовяща);
2. $\ъгъл M((H)_(1))O=\ъгъл M((H)_(2))O=90()^\circ $ по конструкция;
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, тъй като сумата острите ъгли на правоъгълен триъгълник винаги са равни на 90 градуса.

Следователно триъгълниците са равни по страна и два съседни ъгъла (виж признаците за равенство на триъгълниците). Следователно, по-специално, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, т.е. разстоянията от точката $O$ до страните на ъгъла наистина са равни. Q.E.D. :)

2. Ако разстоянията са равни, то точката лежи на ъглополовящата

Сега ситуацията е обратна. Нека са дадени ъгъл $O$ и точка $M$, равноотдалечени от страните на този ъгъл:

Нека докажем, че лъчът $OM$ е ъглополовяща, т.е. $\ъгъл MO((H)_(1))=\ъгъл MO((H)_(2))$.

Доказателство. Като начало, нека начертаем този лъч $OM$, в противен случай няма да има какво да доказваме:

Прекара лъча $OM$ в ъгъла

Отново имаме два правоъгълни триъгълника: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очевидно те са равни, защото:

1. Хипотенузата $OM$ е често срещана;
2. Краката $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ по условие (тъй като точката $M$ е на еднакво разстояние от страните на ъгъла);
3. Останалите крака също са равни, т.к по Питагоровата теорема $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Следователно триъгълниците $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$ от три страни. По-специално, техните ъгли са равни: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. И това просто означава, че $OM$ е ъглополовяща.

В заключение на доказателството отбелязваме образуваните равни ъгли с червени дъги:

Симетралата разделя ъгъла $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ на две равни

Както можете да видите, нищо сложно. Доказахме, че ъглополовящата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на този ъгъл. :)

Сега, когато повече или по-малко решихме терминологията, е време да преминем на ново ниво. В следващия урок ще анализираме по-сложни свойства на ъглополовящата и ще научим как да ги прилагаме за решаване на реални задачи.

Средно ниво

Симетрала на триъгълник. Подробна теория с примери (2019)

Симетрала на триъгълник и нейните свойства

Знаете ли какво е средата на линия? Разбира се, че го правиш. А центърът на кръга? също. Каква е средата на ъгъл? Може да се каже, че това не се случва. Но защо, сегментът може да бъде разделен наполовина, но ъгълът не може? Напълно възможно е - само не точка, а .... линия.

Спомнете си шегата: ъглополовящата е плъх, който тича около ъглите и разделя ъгъла наполовина. И така, истинската дефиниция на ъглополовящата е много подобна на тази шега:

Симетрала на триъгълнике отсечка от ъглополовящата на ъгъл на триъгълник, свързваща върха на този ъгъл с точка от противоположната страна.

Някога древните астрономи и математици са открили много интересни свойства на ъглополовящата. Това знание значително опрости живота на хората. Стана по-лесно да се строи, да се изчисляват разстояния, дори да се коригира стрелбата на оръдия ... Но познаването на тези свойства ще ни помогне да решим някои задачи на GIA и Единния държавен изпит!

Първото знание, което ще помогне в това - ъглополовяща на равнобедрен триъгълник.

Между другото, помните ли всички тези термини? Спомняте ли си как се различават един от друг? Не? Не е страшно. Сега нека го разберем.

Така, основа на равнобедрен триъгълник- това е страната, която не е равна на никоя друга. Погледнете снимката, от коя страна мислите, че е? Точно така - това е страна.

Медианата е линия, начертана от върха на триъгълник и разполовява противоположната страна (това отново).

Забележете, че не казваме "медианата на равнобедрен триъгълник." Знаеш ли защо? Тъй като медианата, изтеглена от върха на триъгълник, разполовява срещуположната страна във ВСЕКИ триъгълник.

Е, височината е линия, начертана от върха и перпендикулярна на основата. Забелязахте ли? Отново говорим за всеки триъгълник, не само за равнобедрен. Височината във ВСЕКИ триъгълник винаги е перпендикулярна на основата.

И така, разбра ли го? почти. За да разберете по-добре и да запомните завинаги какво е ъглополовяща, медиана и височина, те трябва да бъдат сравнени помежду си и да разберат как си приличат и как се различават един от друг. В същото време, за да запомните по-добре, е по-добре да опишете всичко на „човешки език“. Тогава лесно ще работите с езика на математиката, но в началото не разбирате този език и трябва да разберете всичко на вашия собствен език.

И така, как си приличат? Симетрала, медиана и височина - всички те "излизат" от върха на триъгълника и опират в противоположната посока и "правят нещо" или с ъгъла, от който излизат, или с срещуположната страна. Мисля, че е просто, нали?

И как се различават?

• Симетралата разполовява ъгъла, от който излиза.
• Медианата разполовява противоположната страна.
• Височината винаги е перпендикулярна на противоположната страна.

Това е. Да се ​​разбере е лесно. И след като разберете, можете да си спомните.

Сега следващият въпрос. Защо тогава при равнобедрен триъгълник ъглополовящата се оказва и медиана, и височина едновременно?

Можете просто да погледнете снимката и да се уверите, че медианата се разделя на два абсолютно равни триъгълника. Това е всичко! Но математиците не обичат да вярват на очите си. Те трябва да докажат всичко. Страшна дума? Нищо подобно - всичко е просто! Вижте: и имат равни страни и имат обща страна и. (- ъглополовяща!) И така, оказа се, че два триъгълника имат две равни страни и ъгъл между тях. Припомняме първия знак за равенството на триъгълниците (не си спомняте, погледнете темата) и заключаваме това, което означава = и.

Това вече е добре - това означава, че се оказа медианата.

Но какво е това?

Нека да разгледаме снимката -. И получихме това. Така също! Най-накрая наздраве! и.

Трудно ли ви беше това доказателство? Вижте снимката - два еднакви триъгълника говорят сами за себе си.

Във всеки случай, моля, запомнете:

Сега е по-трудно: ще броим ъгъл между ъглополовящи във всеки триъгълник!Не се страхувайте, не е толкова трудно. Погледни снимката:

Нека го преброим. Помниш ли това сумата от ъглите на триъгълник е?

Нека приложим този удивителен факт.

От една страна, от:

Това е.

Сега нека да разгледаме:

Но ъглополовящи, ъглополовящи!

Да си спомним за:

Сега през писмата

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Не е ли изненадващо? Оказа се, че ъгълът между ъглополовящите на два ъгъла зависи само от третия ъгъл!

Е, разгледахме две ъглополовящи. Ами ако са три??!! Ще се пресичат ли всички в една и съща точка?

Или ще бъде?

Как смятате? Тук математиците мислиха, мислиха и доказаха:

Наистина велико?

Искате ли да знаете защо това се случва?

И така ... два правоъгълни триъгълника: и. Те имат:

• обща хипотенуза.
• (защото - ъглополовящата!)

И така - по ъгъл и хипотенуза. Следователно съответните катети на тези триъгълници са равни! Това е.

Доказахме, че точката е еднакво (или еднакво) отстранена от страните на ъгъла. Точка 1 е разгледана. Сега да преминем към точка 2.

Защо 2 е правилно?

И свържете точките.

Така че, това е, лежи на ъглополовящата!

Това е всичко!

Как всичко това може да се приложи към решаването на проблеми? Например в задачите често има такава фраза: "Кръгът докосва страните на ъгъла ...". Е, трябва да намериш нещо.

Бързо осъзнаваш това

И можете да използвате равенството.

3. Три ъглополовящи в триъгълник се пресичат в една точка

От свойството на ъглополовящата да бъде геометрично място на точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла, следва следното твърдение:

Как точно тече? Но вижте: две ъглополовящи определено ще се пресекат, нали?

И третата ъглополовяща може да изглежда така:

Но всъщност всичко е много по-добро!

Нека разгледаме пресечната точка на две ъглополовящи. Да й се обадим.

Какво използвахме тук и двата пъти? да параграф 1, разбира се! Ако една точка лежи на ъглополовящата, то тя е еднакво отдалечена от страните на ъгъла.

Така и стана.

Но погледнете внимателно тези две равенства! В крайна сметка от тях следва, че и, следователно, .

И сега ще се получи точка 2: ако разстоянията до страните на ъгъла са равни, тогава точката лежи на ъглополовящата ... на какъв ъгъл? Погледнете отново снимката:

и са разстоянията до страните на ъгъла и те са равни, което означава, че точката лежи на ъглополовящата на ъгъла. Третата ъглополовяща минава през същата точка! И трите ъглополовящи се пресичат в една точка! И като допълнителен подарък -

Радиуси надписанкръгове.

(За вярност погледнете друга тема).

Е, сега никога няма да забравиш:

Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е центърът на вписаната в него окръжност.

Да преминем към следващото свойство... Уау, а ъглополовящата има много свойства, нали? И това е чудесно, защото колкото повече свойства, толкова повече инструменти за решаване на задачи за ъглополовящата.

4. Симетрала и успоредност, ъглополовящи на съседни ъгли

Фактът, че симетралата разполовява ъгъла, в някои случаи води до напълно неочаквани резултати. Например,

Случай 1

Страхотно е, нали? Нека разберем защо.

От една страна чертаем ъглополовяща!

Но, от друга страна, - като кръстосано разположени ъгли (помнете темата).

И сега се оказва, че; изхвърлете средата: ! - равнобедрен!

Случай 2

Представете си триъгълник (или погледнете снимка)

Нека продължим една по точка. Сега има два ъгъла:

• - вътрешен ъгъл
• - външен ъгъл - отвън е, нали?

И така, и сега някой искаше да начертае не една, а две ъглополовящи наведнъж: и за, и за. Какво ще се случи?

И ще се окаже правоъгълен!

Изненадващо, това е точно това.

Разбираме.

Каква е сумата според вас?

Разбира се, защото всички заедно образуват такъв ъгъл, че се оказва права линия.

И сега си спомняме, че и са ъглополовящи и ще видим, че вътре ъгълът е точно половинатаот сбора на четирите ъгъла: и - - тоест точно. Може да се напише и като уравнение:

И така, невероятно, но истина:

Ъгълът между ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл на триъгълника е равен.

Случай 3

Виждате ли, че тук всичко е същото като за вътрешните и външните ъгли?

Или пак да се замислим защо е така?

Отново, що се отнася до съседните ъгли,

(както съответства на успоредни бази).

И отново, гримирайте се точно половинатаот сумата

Заключение:Ако в задачата има ъглополовящи свързаниъгли или ъглополовящи съответноъгли на успоредник или трапец, то в тази задача със сигурностучаства правоъгълен триъгълник и може би дори цял правоъгълник.

5. Симетрала и противоположна страна

Оказва се, че ъглополовящата на ъгъла на триъгълник разделя срещуположната страна не някак, а по специален и много интересен начин:

Това е:

Удивителен факт, нали?

Сега ще докажем този факт, но се пригответе: ще бъде малко по-трудно от преди.

Отново - изход към "пространството" - допълнителна постройка!

Да вървим направо.

За какво? Сега ще видим.

Продължаваме ъглополовящата до пресечната точка с правата.

Позната снимка? Да, да, да, точно същото като в параграф 4, случай 1 - оказва се, че (- ъглополовяща)

Като лъжа на кръст

И така, това също е.

Сега нека разгледаме триъгълниците и.

Какво може да се каже за тях?

Те са подобни. Ами да, ъглите им са равни като вертикални. Така два ъгъла.

Сега имаме право да пишем отношенията на съответните страни.

А сега накратко:

Ох! Напомня ми за нещо, нали? Не е ли това, което искахме да докажем? Да, да, това е!

Виждате колко страхотна се оказа "космическата разходка" - изграждането на допълнителна права линия - без нея нищо нямаше да се случи! И така, ние го доказахме

Сега можете безопасно да го използвате! Нека анализираме още едно свойство на ъглополовящите на ъглите на триъгълник - не се плашете, сега най-трудната част свърши - ще бъде по-лесно.

Разбираме това

Теорема 1:

Теорема 2:

Теорема 3:

Теорема 4:

Теорема 5:

Теорема 6:

Теорема. Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни.

Доказателство. Да разгледаме триъгълника ABC (фиг. 259) и ъглополовящата на неговия ъгъл B. Нека начертаем права CM през върха C, успоредна на ъглополовящата VC, докато се пресече в точка M с продължението на страната AB. Тъй като VC е ъглополовяща на ъгъл ABC, тогава . Освен това, като съответни ъгли при успоредни прави и като напречни ъгли при успоредни прави. От тук и следователно - равнобедрен, откъде. Според теоремата за успоредни прави, пресичащи страните на ъгъла, имаме и с оглед на това получаваме , което беше необходимо да се докаже.

Ъглополовящата на външния ъгъл B на триъгълника ABC (фиг. 260) има подобно свойство: отсечките AL и CL от върховете A и C до точката L на пресечната точка на ъглополовящата с продължението на страната AC са пропорционално на страните на триъгълника:

Това свойство се доказва по същия начин като предишното: на фиг. 260 е начертана спомагателна права SM, успоредна на ъглополовящата BL. Читателят сам ще се убеди в равенството на ъглите BMC и BCM, а оттам и на страните BM и BC на триъгълника BMC, след което веднага ще се получи търсената пропорция.

Можем да кажем, че ъглополовящата на външния ъгъл също разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни; необходимо е само да се съгласите да разрешите "външно разделяне" на сегмента.

Точката L, лежаща извън сегмента AC (на неговото продължение), го разделя външно по отношение на ако Така, ъглополовящите на ъгъла на триъгълника (вътрешен и външен) разделят противоположната страна (вътрешен и външен) на части, пропорционални на съседните страни.

Задача 1. Страните на трапеца са 12 и 15, основите са 24 и 16. Намерете страните на триъгълника, образуван от голямата основа на трапеца и неговите разширени страни.

Решение. В означенията на фиг. 261 имаме за отсечката, служеща за продължение на страничната страна пропорцията, от която лесно намираме По подобен начин определяме втората страна на триъгълника Третата страна съвпада с голямата основа: .

Задача 2. Основите на трапеца са 6 и 15. Каква е дължината на отсечката, успоредна на основите и разделяща страните в съотношение 1:2, като се брои от върховете на малката основа?

Решение. Нека се обърнем към фиг. 262 изобразяващ трапец. През върха C на малката основа прекарваме права, успоредна на страничната страна AB, отрязвайки успоредник от трапеца. Тъй като , тогава от тук намираме . Следователно цялата неизвестна отсечка KL е равна на Отбележете, че за да решим тази задача, не е нужно да знаем страните на трапеца.

Задача 3. Симетралата на вътрешния ъгъл B на триъгълник ABC разрязва страната AC на отсечки на какво разстояние от върховете A и C ъглополовящата на външния ъгъл B ще пресича продължението AC?

Решение. Всяка от ъглополовящите на ъгъл B дели AC в същото отношение, но едната навътре, а другата навън. Означаваме с L точката на пресичане на продължението на AC и ъглополовящата на външния ъгъл B. Тъй като AK Означаваме неизвестното разстояние AL дотогава и ще имаме пропорцията, чието решение ни дава желаното разстояние

Направете рисунката сами.

Упражнения

1. Трапец с основи 8 и 18 е разделен от прави линии, успоредни на основите, на шест ленти с еднаква ширина. Намерете дължините на отсечките, разделящи трапеца на ленти.

2. Периметърът на триъгълника е 32. Симетралата на ъгъл A разделя страната BC на части, равни на 5 и 3. Намерете дължините на страните на триъгълника.

3. Основата на равнобедрен триъгълник е a, страната е b. Намерете дължината на отсечката, свързваща точките на пресичане на ъглополовящите на ъглите на основата със страните.