1, за да построите сумата от два дадени ъгъла. Видове ъгли. Измерване на ъгъл. Построяване на триъгълник с три страни

Най-простите задачи за изграждане
триъгълници

Този видео урок е създаден специално за самостоятелно обучение по темата "Най-простите задачи за конструиране". По време на него учениците ще се научат как да решават прости строителни задачи с помощта на пергел и линийка. Учителят ще обясни материала на примера на конкретни задачи и ще си припомни няколко предварително изучени аксиоми.

Нека определим какви действия можем да извършим с помощта на пергел и линийка. Първо, с линийка можете да начертаете произволна линия, както и линия, минаваща през две точки. Възможно е да начертаете права линия през две точки и само една.

С помощта на компас можете да начертаете окръжност с определен радиус.

Ориз. 1. Кръг и линия

Пример 1: На даден лъч от началото му отделете отсечка, равна на дадената. Отсечката AB и лъчът OS са дадени от условието:

Ориз. 2.1. Условие за пример 1

Сграда:

Ориз. 2.2. Решение за пример 1

Конструкцията се извършва по следния начин: изграждаме окръжност с център в точка O и радиус AB. Точка D е пресечната точка на окръжността и лъча. Отсечката OD е желаната, тъй като е равна на AB.

Завършено строителство.

Пример 2: Отделете от дадения лъч ъгъл, равен на дадения. Дадени са ъгъл A и лъч OM. Изградете .

Сграда:

Ориз. 3.1. Условие за пример 2

1. Построяване на окръжност Okr(A, r = AB). Точките B и C са точките на пресичане със страните на ъгъл A.

Ориз. 3.2. Решение за пример 2

2. Върху лъча OM построете окръжност с център точка O с радиус r = AB. Получаваме точка D в пресечната точка на лъча OM и окръжността

3. Изграждаме трети кръг с център в точка D с радиус r \u003d BC (където B и C са пресечните точки на ъгъл A и първия кръг) и получаваме точка E в пресечната точка на два кръга

Ориз. 3.3. Решение за пример 2

4. Получаваме желания ъгъл MOE \u003d ъгъл A

5. Ъгълът MOE е търсеният, тъй като .

Завършено строителство.

Пример 3: Построете ъглополовящата на дадения ъгъл. Даден е ъгъл A, необходимо е да се построи ъглополовящата AE.

Ориз. 4.1. Условие например 3

Сграда:

1. Да построим окръжност Okr(A, r = AB). Точките B и C са пресечните точки на окръжността със страните на ъгъла.

2. Да построим окръжността OCr(B, r = CB) и окръжността OCr(C, r = CB). Тези окръжности се пресичат в точка E.

3. Греда AE - ъглополовяща - желана, тъй като. Следва, че .

Ориз. 4.2. Решение за пример 3

Завършено строителство.

Пример 4: От точка на дадена права начертайте перпендикуляр на дадената права.

Сграда:

1. MA = MV. Фиксирахме определени равни сегменти от двете страни на дадена точка.

2. Построете окръжностите Okr(A, r = AB) и Okr(B, r = AB). Тези окръжности се пресичат в точки P и Q.

3. PM - желаната линия. Медианата RM също е височината в равнобедрен триъгълник RAB. .

Ориз. 5. Решение на пример 4

Завършено строителство.

Пример 5: Постройте средата на тази отсечка. AB е отсечка. Намерете точка O, така че AO = OB.

Ориз. 6.1. Условие например 5

Сграда:

1. Построете окръжностите Okr(A, r = AB) и Okr(B, r = AB). Тези окръжности се пресичат в точки P и Q.

2. PQ пресича AB в точка O, точка O е желаната, тъй като следователно PQ е ъглополовящата в равнобедрения триъгълник RAB. Следователно PQ е медианата.

Ориз. 6.2. Примерно решение 5

1. Първият знак за равенство на триъгълници ().
2. Референтен портал calc.ru ().

1. № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, изд. Sadovnichy V.A. - М.: Образование, 2010.

2. Увеличете персонализирания ъгъл с 25%.

3. Построете ъгъл, който е равен на сбора (разликата) на двата ъгъла, показани на фигурите.

4. Докажете, че ако двете страни и ъгълът срещу по-голямата страна на единия триъгълник са съответно равни на двете страни и ъгълът срещу по-голямата страна на втория триъгълник, то тези триъгълници са еднакви.

С помощта на основните конструкции се решават някои проблеми, които са доста прости и често се срещат при решаването на други, по-сложни. Такива проблеми се считат за елементарни и не се дават описания на тяхното решение, ако се появят при решаването на по-сложни. Изборът на елементарни задачи е условен.

Задачата за конструиране се счита за разрешена, ако е уточнен методът за конструиране на фигурата и се докаже, че в резултат на посочените конструкции действително се получава фигура с необходимите свойства.

Помислете за някои елементарни строителни задачи.

1. На дадена права се построява отсечка CD, равна на дадена отсечка AB

Възможността за такава конструкция следва от аксиомата за отлагане на сегмент. С помощта на компас и линийка се извършва по следния начин. Нека е дадена права линия аи сегмент AB.Отбелязваме точка C на права линия и изграждаме окръжност с център в точка C с радиус, равен на сегмента AB.Пресечната точка на окръжност с права аобозначавам д. Получаваме сегмент CD,равен AB.

2. От дадена полуправа в дадена полуравнина вземете ъгъл, равен на дадения ъгъл.

Нека даден ъгъл НОи полулиния с начална точка О.Начертайте окръжност с произволен радиус с център във върха НОдаден ъгъл (фиг. а). Означаваме точките на пресичане на окръжността със страните на ъгъла ATи S. Радиус ABначертайте кръг с център в точка О(фиг. b). Означаваме пресечната точка на тази окръжност с дадената полуправа AT".Опишете окръжност с център В"и радиус слънцеТочката C" на пресечната точка на построените окръжности в посочената полуравнина лежи от страната на желания ъгъл.

Изграден ъгъл В "ОС"равен на ъгъла ТИ,тъй като това са съответните ъгли на еднакви триъгълници ABCи В „ОС.

3. Намерете средата на отсечката.

Позволявам AB -този сегмент. Построете две окръжности с еднакъв радиус с центрове НОи AT(ориз.). Те се пресичат в точки C и C", лежащи в различни полуравнини спрямо правата AB.Нека начертаем права линия СС".Тя пресича границата ABв точката О.Тази точка е средата на сегмента AB.

Наистина, триъгълници CAC"и SVS"равни от три страни. Това предполага равенство на ъглите КОи OSV.Така че разрезът CO -ъглополовяща на равнобедрен триъгълник DIAа оттам и неговата медиана, т.е. точка О-средна точка AB.

4. Построете ъглополовящата на дадения ъгъл.

От върха НОна този ъгъл, като от центъра, ние описваме окръжност с произволен радиус (фиг.). Позволявам ATи C - точки на неговото пресичане

със страните на ъгъла. От точки B и Cописват окръжности с еднакъв радиус. Позволявам В -тяхната пресечна точка, различна от НО.След това полулинията АДи е ъглополовящата НО.Нека го докажем. За да направите това, помислете за триъгълниците ABDи DIA.Те са равни от три страни. Това предполага равенство на съответните ъгли DABи ТИ,тези. Рей ADразделя ъгъла ТИнаполовина и следователно е ъглополовяща.

5. През дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права.

Нека се даде точка Ои директно а. Възможни са два случая:

1) точка Олежи на права линия а;

2) точка Оне лежи на права линия а.

В първия случай конструкцията се извършва по същия начин, както в задача 4, тъй като перпендикулярът от т. О,лежаща на права линия е ъглополовящата на развит ъгъл (фиг.).

Във втория случай от точката Окак да нарисувате кръг от центъра, пресичащ права линия а(фиг.), а след това от точки НОи ATначертайте още две окръжности със същия радиус. Позволявам О"-точката на тяхното пресичане лежи в полуравнина, различна от тази, в която лежи точката О.Направо 00" и е перпендикуляр на дадената права а.Нека го докажем.

Означаваме с C точката на пресичане на правите ABи 00". триъгълници AOBи АД „Вравни от три страни. Следователно ъгълът SLAравен на ъгъла Относно „АСа оттам и триъгълниците SLAи Относно „АСравни на двете страни и ъгъла между тях. Оттук и техните ъгли ASOи ASO"са равни. И тъй като ъглите са съседни, те са прави ъгли. По този начин, операционна системае перпендикуляр на права a.

6. През дадена точка начертайте права, успоредна на дадената. Нека е дадена права линия аи точка НОизвън тази линия (фиг.). Нека го приемем направо анякаква точка ATи го свържете с точка НО.Чрез точката НОнека начертаем права линия с,формиране с ABсъщият ъгъл като ABформи с дадена линия а,но от противоположната страна на AB.Построената права ще бъде успоредна на правата а,което следва от равенството на напречно лежащите ъгли, образувани при пресичането на линиите a и cсекуща AB.

Упражнения

1. С помощта на пергел и линийка постройте сбора и разликата на две данни: а) отсечки; б) ъгли.

2. Разделете този ъгъл на 4 равни части.

3. Даден е триъгълник ABC.Постройте друг равен триъгълник ABD.

4. Построете окръжност с даден радиус, минаваща през две дадени точки.

Всяка от фигури 82, a − d показва два лъча. На коя от фигурите чифт лъчи образуват ъгъл, чиито страни са тези лъчи?

Тъй като на фигури 82, а - началото на лъчите не съвпадат, те не могат да служат като страни на ъгъла. Лъчите на фигура 82, d образуват права линия. В този случай началото на лъчите съвпадат и следователно те образуват ъгъл. Такъв ъгъл се нарича разгърнати.

Ъгъл, чиито страни образуват права линия, се нарича разширен.

Ъглите, подобно на отсечките, могат да бъдат измерени. Спомнете си, че за измерване на сегментите използвахме единичен сегмент(1 мм, 1 см и т.н.).

За измерване на ъгли обаче все още нямаме такива единичен ъгъл.

Можете да го създадете, например, така. Разделете разгънатия ъгъл на 180 равни ъгъла (фиг. 83). За мерна единица се избира ъгълът, образуван от два съседни лъча. Размерът му се нарича степен(от латински gradus - "стъпка", "стъпка") и запишете 1 °.

Тогава величинаили както се казва, степенна мяркаразвитият ъгъл е 180°.

За измерване на ъгли се използва специално устройство − транспортир(фиг. 84). Състои се, като правило, от половин пръстен, свързан с линийка. Скалата му съдържа 180 деления.

За да измерим ъгъл, комбинираме неговия връх с центъра на транспортира, така че една от страните на ъгъла да минава по линийката (фиг. 85).

Тогава щрихът на скалата, през която ще премине втората страна, ще покаже степента (стойността) на този ъгъл.

И така, на фигурата мярката от 85 градуса на ъгъла AOB е 55 °. Пишат: ∠AOB = 55 °. На фигура 86 имаме: ∠MON = 134°.

Еднаквите ъгли имат равни градуси. От двата неравни ъгъла ще разгледаме по-големия, чиято градусна мярка е по-голяма. Например от трите ъгъла, показани на фигура 87, ∠MON е най-големият. Това е лесно да се провери чрез измерване на ъглите с транспортир.

Стойността на ъгъла има следното свойство.

Ако между страните на ъгъл ABC е начертан лъч BD, то градусната мярка на ъгъл ABC е равна на сумата от градусните мерки на ъглите ABD и DBC(фиг. 88), тези.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

Ъгъл, чиято мярка е по-малка от 90°, се нарича остър ъгъл.(Фиг. 89, а).

Ъгъл, чиято мярка е 90°, се нарича прав ъгъл.(Фиг. 89, b).

На фигурата прав ъгъл е означен по следния начин: ∟.

Ъгъл, чиято мярка е по-голяма от 90°, но по-малка от 180°, се нарича тъп(Фиг. 89, c).

Обърнете внимание, че ъглополовящата на прав ъгъл го разделя на два ъгъла, градусната мярка на всеки от които е 90 °. Следователно ъглополовящата на разгънатия ъгъл го разделя на два прави ъгъла (фиг. 90).

Пример 1 . Даден е лъч OA. Начертайте ъгъл BOA, равен на 72°.

Нека подравним центъра на транспортира с точката O, така че лъчът OA да минава по линийката. Нека изберем щрих върху пръстена на транспортира, който съответства на 72 °. Близо до тази черта маркирайте точка B (фиг. 91). Нека начертаем лъч OB. Ъгъл BOA е желаният.

Ако е даден лъч OA и е построен ъгъл BOA, тогава казваме, че от лъча OA отложен ъгълБОА.

Пример 2 . От върха на ъгъл ABC са изтеглени два лъча BK и BM, така че ∠ABK = 48 °, ∠CBM = 72 ° (фиг. 92).

Изчислете големината на ъгъл ABC, ако ∠MBK = 16°.

Ние имаме : ∠ABM = ∠ABK − ∠MBK, ∠ABM = 48° − 16° = 32°;

∠ABC = ∠ABM + ∠CBM, ∠ABC = 32° + 72° = 104°.

Отговор: 104°.

Тяхната същност е да се изгради всеки геометричен обект върху всеки достатъчен набор от начални условия само с пергел и линийка под ръка. Помислете за общата схема за изпълнение на такива задачи:

Анализ на задачите.

Тази част включва установяване на връзка между елементите, които трябва да бъдат изградени, и началните условия на проблема. След като завършим този елемент, трябва да имаме план за решаване на нашия проблем.

Строителство.

Тук строим по плана, който сме изготвили по-горе.

Доказателство.

Тук доказваме, че построената от нас фигура наистина удовлетворява началните условия на задачата.

Проучване.

Тук откриваме при кои данни проблемът има едно решение, при кои има няколко и при кои нито едно.

След това ще разгледаме задачи за конструиране на триъгълници за различни три елемента. Тук няма да разглеждаме елементарни конструкции, като отсечка, ъгъл и др. Досега вече трябва да имате тези умения.

Построяване на триъгълник с две страни и ъгъл между тях

Пример 1

Построете триъгълник, ако са ни дадени две страни и ъгъл между тези страни.

Анализ.

Нека са ни дадени отсечки $AB$ и $AC$ и ъгъл $α$. Трябва да построим триъгълник $ABC$ с ъгъл $C$ равен на $α$.

Нека направим план за строителство:

1. Като вземем $AB$ за една от страните на ъгъла, отделяме от него ъгъла $BAM$, равен на ъгъла $α$.
2. На правата $AM$ нанасяме отсечката $AC$.
3. Свържете точките $B$ и $C$.

Строителство.

Нека изградим чертеж според плана, изготвен по-горе (фиг. 1).

Доказателство.

Проучване.

Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е $180^\circ$. Това означава, че ако ъгълът α е по-голям или равен на $180^\circ$, тогава проблемът няма да има решения.

Иначе решение има. Тъй като правата $a$ е произволна права, ще има безкраен брой такива триъгълници. Но тъй като всички те са равни по първи знак, ще приемем, че решението на тази задача е единствено.

Построяване на триъгълник с три страни

Пример 2

Да се ​​построи триъгълник, ако са ни дадени три от страните му.

Анализ.

Нека са ни дадени отсечки $AB$ и $AC$ и $BC$. Трябва да построим триъгълник $ABC$.

Нека направим план за строителство:

1. Начертайте права $a$ и построете върху нея отсечка $AB$.
2. Нека построим $2$ окръжности: първата с център $A$ и радиус $AC$, а втората с център $B$ и радиус $BC$.
3. Свържете една от пресечните точки на окръжностите (която ще бъде точката $C$) с точките $A$ и $B$.

Строителство.

Нека изградим чертеж според плана, изготвен по-горе (фиг. 2).

Доказателство.

От конструкцията се вижда, че всички начални условия са изпълнени.

Проучване.

От неравенството на триъгълника знаем, че всяка страна трябва да е по-малка от сбора на другите две. Следователно, когато такова неравенство не е изпълнено за първоначалните три сегмента, проблемът няма да има решение.

Тъй като окръжностите от конструкцията имат две пресечни точки, можем да построим два такива триъгълника. Но тъй като те са равни помежду си по третия критерий, ще приемем, че решението на тази задача е единствено.

Построяване на триъгълник със страна и два прилежащи ъгъла

Пример 3

Построете триъгълник, ако ни е дадена една страна и ъгли $α$ и $β$, прилежащи към нея.

Анализ.

Нека ни е дадена отсечка $BC$ и ъгли $α$ и $β$. Трябва да построим триъгълник $ABC$, където $∠B=α$ и $∠C=β$.

Нека направим план за строителство:

1. Начертайте права $a$ и построете върху нея отсечка $BC$.
2. Нека построим ъгъл $∠ K=α$ при върха $B$ към страната $BC$.
3. Нека построим ъгъл $∠ M=β$ при върха $C$ към страната $BC$.
4. Свържете пресечната точка (това ще бъде точката $A$) на лъчите $∠ K$ и $∠ M$ с точките $C$ и $B$,

Строителство.

Нека изградим чертеж според плана, изготвен по-горе (фиг. 3).

Доказателство.

От конструкцията се вижда, че всички начални условия са изпълнени.

Проучване.

Тъй като сборът от ъглите на триъгълник е $180^\circ$, тогава ако $α+β≥180^\circ$ проблемът няма да има решения.

Иначе решение има. Тъй като можем да изградим ъгли от две страни, можем да построим два такива триъгълника. Но тъй като те са равни помежду си по втория критерий, ще приемем, че решението на тази задача е единствено.

В задачите за конструиране ще разгледаме изграждането на геометрична фигура, което може да се изпълни с линийка и пергел.

С линийка можете:

произволна линия;

произволна права, минаваща през дадена точка;

права, минаваща през две дадени точки.

С помощта на компас можете да опишете окръжност с даден радиус от даден център.

Компас може да се използва за начертаване на сегмент на дадена линия от дадена точка.

Помислете за основните задачи за строителството.

Задача 1.Построете триъгълник с дадени страни a, b, c (фиг. 1).

Решение. С помощта на линийка начертайте произволна права линия и върху нея вземете произволна точка B. С пергел, равен на a, описваме окръжност с център B и радиус a. Нека C е точката на нейното пресичане с правата. С отвор на компаса, равен на c, описваме окръжност от центъра B, а с отвор на компаса, равен на b - окръжност от центъра C. Нека A е пресечната точка на тези окръжности. Триъгълник ABC има страни, равни на a, b, c.

Коментирайте. За да могат три отсечки да служат като страни на триъгълник, е необходимо по-голямата от тях да е по-малка от сумата на другите две (и< b + с).

Задача 2.

Решение. Този ъгъл с връх A и лъч OM са показани на фигура 2.

Начертайте произволна окръжност с център във върха A на дадения ъгъл. Нека B и C са точките на пресичане на окръжността със страните на ъгъла (фиг. 3, а). Нека начертаем окръжност с радиус AB с център в точка O - началната точка на този лъч (фиг. 3, b). Пресечната точка на тази окръжност с дадения лъч ще означим като С 1 . Нека опишем окръжност с център C 1 и радиус BC. Точка B 1 на пресечната точка на две окръжности лежи от страната на желания ъгъл. Това следва от равенството Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (третият критерий за равенството на триъгълниците).

Задача 3.Построете ъглополовящата на дадения ъгъл (фиг. 4).

Решение. От връх A на даден ъгъл, като от центъра, начертаваме окръжност с произволен радиус. Нека B и C са точките на неговото пресичане със страните на ъгъла. От точки B и C с еднакъв радиус описваме окръжности. Нека D е тяхната пресечна точка, различна от A. Лъч AD дели ъгъл A наполовина. Това следва от равенството ΔABD = ΔACD (третият критерий за равенство на триъгълниците).

Задача 4.Начертайте медиана, перпендикулярна на този сегмент (фиг. 5).

Решение. С произволен, но идентичен отвор на компас (голям 1/2 AB) описваме две дъги с центрове в точки A и B, които ще се пресичат в някои точки C и D. Правата CD ще бъде търсеният перпендикуляр. Наистина, както се вижда от конструкцията, всяка от точките C и D е еднакво отдалечена от A и B; следователно тези точки трябва да лежат на ъглополовящата на отсечката AB.

Задача 5.Разделете този участък наполовина. Решава се по същия начин като задача 4 (виж фиг. 5).

Задача 6.През дадена точка начертайте права, перпендикулярна на дадената права.

Решение. Възможни са два случая:

1) дадената точка O лежи на дадената права a (фиг. 6).

От точка O начертаваме окръжност с произволен радиус, пресичаща правата a в точки A и B. От точки A и B нарисуваме окръжности със същия радиус. Нека О 1 е тяхната пресечна точка, различна от О. Получаваме ОО 1 ⊥ AB. Всъщност точките O и O 1 са на еднакво разстояние от краищата на сегмента AB и следователно лежат на ъглополовящата на този сегмент.