Как да разделим кръг на 11 равни части. Разделяне на кръг на шест равни части и построяване на правилен вписан шестоъгълник. Как да разделим кръг на n - равни части

Разделяне на кръг на равни части, построяване на правилни многоъгълници

Разделяне на кръг на 4 и 8 равни части

Краища на взаимно перпендикулярни диаметриACиBD(фиг. 1) разделете кръга с център в точкатаОна 4 равни части. Като свържете краищата на тези диаметри, можете да получите квадратАслънцед.

Ако ъгълътSOAмежду взаимно перпендикулярни диаметриAEиОТЖ(фиг. 2) разделете наполовина и начертайте взаимно перпендикулярни диаметриД.Х.иbf, тогава краищата им ще разделят кръга с център в точкатаОна 8 равни части. Като свържете краищата на тези диаметри, можете да получите правилен осмоъгълникABCDEFGH.

Ориз. 1 Фиг. 2

Разделяне на кръг на 3, 6 и 12 части

За да разделите кръг на 6 равни части, използвайте равенството на страните на правилен шестоъгълник с радиуса на описаната окръжност. Дадена е окръжност с център в точкаО(фиг. 3) и радиусР, след това от краищата на един от неговите диаметри (точкиНОид), като от центровете начертайте дъги от окръжности с радиусР. Пресечните точки на тези дъги с дадена окръжност ще я разделят на 6 равни части. Последователно свързване на намерените точки, вземете правилния шестоъгълникА Б В Г Д Е.

Ако кръгът е в центъра с точкаО(фиг. 4) трябва да се раздели на 3 равни части, след което с радиус, равен на радиуса на тази окръжност, трябва да се начертае дъга само от единия край на диаметъра, например точкад. точкиATиОТпресечна точка на тази дъга с дадена окръжност, както и точкаНОразделете последния на 3 равни части. Чрез свързване на точкитеНО, ATиОТ, можете да получите равностранен триъгълникABC.

Ориз. 3 Фиг. четири

За да се раздели кръгът на 12 части, разделянето на кръга на 6 части се повтаря два пъти (фиг. 5), като се използват краищата на взаимно перпендикулярни диаметри като центрове: точкиНОиЖ, диДж. Пресечните точки на начертаните дъги с дадена окръжност ще я разделят на 12 части. Чрез свързване на построените точки можете да получите правилния додекагон.

Ориз. 5

Разделяне на кръг на 5 части

О(фиг. 6) на 5 части, процедирайте по следния начин. Един от радиусите на кръга, напримерОМ, разделен наполовина по описания по-горе метод. От средата на сегментаОМточканрадиусР1 , равен на сегментаНОн, начертайте дъга от окръжност и маркирайте точкаРпресечната точка на тази дъга с диаметъра, на който принадлежи радиусътОМ. Линеен сегментARравна на страната на правилен петоъгълник, вписан в окръжност. И така от краяНОдиаметър, перпендикулярен наОМ, радиусР2 , равен на сегментаAR, начертайте дъга от окръжност. точкиATидпресичанията на тази дъга с дадена окръжност позволяват да се маркират два върха на петоъгълника.

Още два върхаОТид) са точките на пресичане на дъги от окръжности с радиусР2 центрирани в точкиATидс дадена окръжност с центрове в точкиО. Върхове на правилен петоъгълникА Б В Г Дразделете дадения кръг на 5 равни части.

Ориз. 6

Разделяне на кръг на 7 части

За разделяне на кръг с център в точкаО(фиг. 6) на 7 части, е необходимо да се начертае спомагателна дъга от точка 1 с радиусР, равен на радиуса на дадената окръжност, която пресича окръжността в точкатаМ. От точканСпускам перпендикуляра към хоризонталната централна линия. От точкаНОс радиус, равен на радиусаMN, направете 7 серифа около кръга и вземете седем желани точки, свързвайки които получавате правилен седмоъгълникABCDEFG.

Ориз. 7

Разделяне на кръг на произволен брой равни части

Ако нито една от разгледаните по-рано опции не отговаря на условието на задачата, тогава се използва техника, която ви позволява да разделите кръга на произволен брой равни части и да конструирате правилните многоъгълници, вписани в него с произволен брой страни, съответно.

Помислете за такава конструкция, като използвате примера за разделяне на кръг с център в точкаО(фиг. 8а) на 7 равни части. Първо, трябва да начертаете два взаимно перпендикулярни диаметъра, единият от които например минава през точкаНО, трябва да се раздели на 7 равни части, ограничени от точки 1 ... 7. От точкаНО, като от центъра, радиусРравен на диаметъра на даден кръг, е необходимо да се начертае дъга, пресечната точка на която с продължението на втория диаметър ще определи точкитеР1 иР2 . След това през точкитеР1 иР2 (фиг. 8b) и дори точки, получени чрез разделяне на диаметъраA7(точки 2. 4 и 6), начертайте прави линии. точкиAT, ОТ, дид, Е, Жпресечна точка на тези прави с дадена окръжност и точкаНОсподелете кръга с центъраОна 7 равни части. Последователно свързвайки построените точки, можете да начертаете правилен седмоъгълник, вписан в кръг.

Ориз. осем

Разделяне на кръг на 3 равни части.

За да се раздели окръжност с радиус R на 3 равни части и да се впише в нея равностранен триъгълник, от точката на пресичане на диаметъра с окръжността (например от точка А) се описва допълнителна дъга с радиус R като от център.Получават се точки 2 и 3. Точки 1,2,3 разделят кръга на три равни части. Чрез свързване на прави линии точки 1, 2, 3 изградете вписан равностранен триъгълник.

Разделяне на кръг на 6 равни части.

За да се раздели окръжността на 6 равни части, от две противоположни точки (1 и 4) на пресечната точка на диаметъра с окръжността се изчертават две дъги с радиус R. Получават се точки (2, 3, 5, 6). Заедно с точките, получени при пресичането на диаметъра с окръжността, той разделя окръжността на 6 равни части.

Разделяне на кръг на 12 равни части.

За разделяне на окръжността на 12 равни части от четирите точки на пресичане на осите на симетрия с окръжността се описват 4 дъги с радиус R. Получените точки, заедно с тези, получени при пресичане на осите на симетрия с окръжността, разделят кръга на 12 равни части.

Видове обозначения на секции в чертежи

За да покажете напречната форма на частите, използвайте изображения, наречени секции (фиг. 13). За да се получи разрез, частта се разрязва мислено от въображаема режеща равнина на мястото, където трябва да се разкрие нейната форма. Фигурата, получена в резултат на рязане на детайла с режеща равнина, е изобразена на чертежа. Следователно разрезът е изображение на фигура, получено чрез мислено разрязване на обект от равнина или няколко равнини.

Разрезът показва само това, което се получава директно в режещата равнина.

За по-голяма яснота на чертежа секциите са подчертани със щриховка. Наклонените успоредни линии на люпене се изчертават под ъгъл 45 ° спрямо линиите на рамката на чертежа и ако съвпадат по посока с контурните линии или централните линии, след това под ъгъл 30 ° или 60 °.

Открит участък.

Контурът на изобразения участък е очертан с плътна дебела линия със същата дебелина като линията, приета за видимия контур на изображението. Ако разрезът е изваден, тогава по правило се начертава отворена линия, две удебелени черти и стрелки, показващи посоката на гледане. От външната страна на стрелките са нанесени същите главни букви. Над раздела същите букви са изписани чрез тире с тънка линия отдолу. Ако сечението е симетрична фигура и е разположено върху продължението на линията на сечението (пунктирана линия), тогава не се прилагат обозначения.

Наложена секция.

Контурът на насложеното сечение е плътна тънка линия (S/2 - S/3), като контурът на изгледа на мястото на насложеното сечение не се прекъсва. Наложената секция обикновено не се посочва. Но ако сечението не е симетрична фигура, се рисуват щрихи на отворена линия и стрелки, но не се прилагат букви.

Обозначение на раздела

Положението на режещата равнина се обозначава на чертежа с линия на сечение - отворена линия, която се изчертава под формата на отделни щрихи, които не пресичат контура на съответното изображение. Дебелината на ударите се приема в диапазона от $ до 1 1/2 S, а дължината им е от 8 до 20 mm. На началния и крайния щрих, перпендикулярно на тях, на разстояние 2-3 mm от края на щриха, поставете стрелки, показващи посоката на гледане. В началото и в края на линията на раздела те поставят една и съща главна буква от руската азбука. Буквите се поставят близо до стрелките, показващи посоката на гледане отвън, фиг. 12. Над раздела е направен надпис по тип А-А. Ако секцията е в празнина между части от един и същи тип, тогава със симетрична фигура линията на сечението не преминава R4. Разделът може да се завърти, тогава към надписа трябва да се добави символ A-A

обърна О, тоест A-AO.

Днес в публикацията публикувам няколко снимки на кораби и диаграми за тях за бродиране с изоконец (снимките могат да се кликват).

Първоначално втората платноходка е направена върху карамфили. И тъй като карамфилът има определена дебелина, се оказва, че две нишки се отклоняват от всяка. Плюс това, наслояване на едното платно върху второто. В резултат на това в очите се появява известен ефект на разделяне на изображението. Ако бродирате кораба върху картон, мисля, че ще изглежда по-привлекателно.
Втората и третата лодка са малко по-лесни за бродиране от първата. Всяко от платната има централна точка (от долната страна на платното), от която лъчите се простират до точки по периметъра на платното.
шега:
- Имате ли конци?
- Има.
- А суровите?
- Това е просто кошмар! Страх ме е да дойда!

Майсторски клас: Бродирайте паун

Първият ми дебют Майсторски клас. Дано не е последното. Ще бродираме паун. Диаграма на продукта.Когато маркирате местата на пробиви, обърнете специално внимание те да са в затворени контури четен брой.Основата на картината е плътна картон(Взех кафяво с плътност 300 g / m2, можете да го опитате на черно, тогава цветовете ще изглеждат още по-ярки), по-добре боядисани от двете страни(за хората от Киев - взех го в отдела за канцеларски материали в ЦУМ на Хрещатик). нишки- конец (на всеки производител, имах DMC), в една нишка, т.е. развиваме сноповете на отделни влакна. Как да прехвърля схемата към основата. Бродерията се състои от три слоярезба. Първоние бродираме първия слой в пера на главата на пауна, крилото (светло син цвят на конеца), както и тъмносини кръгове на опашката по метода на пода. Първият слой на тялото е избродиран с корди с променлива стъпка, като се стреми нишките да вървят тангенциално към контура на крилото. Тогавание бродираме клонки (серпентинен шев, нишки с цвят на горчица), листа (първо тъмнозелени, след това останалите ...

1. КРАТКИ ТЕОРЕТИЧНИ СВЕДЕНИЯ

1.1. Геометрични конструкции

Разделяне на кръг на равни части

Някои части имат елементи, равномерно разпределени по обиколката. Когато правите чертежи на части с подобни елементи, е необходимо да можете да разделите кръга на равни части. Техниките за разделяне на кръг на равни части са показани на фиг. един

Ориз. 1. Разделяне на кръга на равни части

С достатъчна точност можете да разделите кръга на произволен брой равни части, като използвате таблица с коефициенти, за да изчислите дължината на хода.

По броя на равните сегменти на окръжността (таблица 1) намираме съответния коефициент. Когато умножим получения коефициент по диаметъра на окръжността, получаваме дължината на хордата, която нанасяме върху окръжността с пергел.

Таблица 1 - Коефициент за определяне на дължината на хордата

Създаване на двойка между две линии

При изчертаване на контурите на технически детайли и в други технически конструкции често е необходимо да се извършват конюгации (плавни преходи) от една линия към друга. Сдвояването на две страни на ъгъла с дъга, дадена на радиуса на дъгата R, се извършва в следната последователност:

- успоредно на страните на ъгъла на разстояние, равно на R, се изчертават две спомагателни прави линии;

- точката на пресичане на тези линии ще бъде центърът на конюгацията;

- от центъра на конюгацията се правят перпендикуляри към дадените линии;

- точките на пресичане на перпендикуляри с дадени прави се наричат ​​точки на конюгиране;

- от центъра на кръстовището се изгражда дъга с радиус R, свързваща точките на кръстовище.

На фиг. 2 показва примери за конструиране на съвпадащи елементи, когато радиусът на свързващата дъга е определен. В този случай е необходимо да се дефинират съпътстващият център и съвпадащите точки. Контурът на частта се изчертава с помощта на компас.

Ориз. 2. Техники за изграждане на спрежения

В технологията често е необходимо да се изчертават криви линии, съставени от голям брой малки дъги от окръжности с постепенна промяна на радиуса на тяхната кривина. Такива линии не могат да бъдат начертани с пергел. Тези криви се чертаят с помощта на криви и се наричат ​​модели. Необходимо е да се проучи закономерността на образуването на крива крива и да се постави върху чертежа редица точки, принадлежащи към нея. Точките са свързани с гладка крива с тънка свободна линия, а щрихът се изпълнява с шаблон.

За да проследите криви на шаблони, трябва да имате набор от няколко шаблона. След като изберете подходящ шаблон, ръбът на частта от шаблона се коригира до възможно най-голям брой намерени точки. Да кръжиш

в следващия раздел трябва да регулирате ръба на шаблона до още две или три точки, докато шаблонът трябва да докосва част от вече оградената крива. Методът за изчертаване на крива по шаблона е показан на фиг. 3.

Ориз. 3. Построяване на крива по шаблон.

На фиг. 4 е показан пример за построяване на елипса по дадени оси

Ориз. 4. Построяване на елипса

На фиг. Фигура 5 показва пример за конструиране на парабола чрез разделяне на страните на ъгъла AOC на същия брой равни части. На фиг. 6 дава пример за конструиране на еволвента на окръжност. Комплект

Кръгът е разделен на 12 равни части. Допирателните към окръжността се прекарват през точките на разделяне. Върху допирателната, прекарана през точка 12, се нанася дължината на тази окръжност и се разделя на 12 равни части. Започвайки от точката l по допирателните към окръжността, последователно отлагайте сегменти, равни на 1/12 от обиколката, 1/6, 1/4 и т.н.

Ориз. 5. Построяване на парабола

Ориз. 6. Построяване на еволвентата

Ориз. 7. Построяване на синусоида

Фиг. 8 Конструкция на спиралата на Архимед

На фиг. 7 показва техниката за конструиране на синусоида. Дадена окръжност е разделена на 12 равни части, права отсечка е разделена на същия брой равни части, равни на дължината на разгънатата

С помощта на пергел и линейка е възможно да разделите кръг на повече от произволен брой части. Математиците са доказали, че е възможно да се разделят на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... части, но не и на 7, 9, 11, 13, 14, ... части .

За съжаление, няма един единствен начин за разделяне. Нека да разгледаме най-важните.

1) Разделяне на кръга на 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) равни части.

Започвайки с разделяне на кръга на 6 части. За да направите това, със същия разтвор на компаса, с който е начертан кръгът, от всяка точка на кръга, както от центъра, е необходимо да начертаете кръг. След това повторете процедурата, като вземете за център пресечната точка на първоначалния и новия кръг.

За да разделите кръг на 3 части, трябва да го разделите на 6 части и да вземете точки през една (фиг. 5а). За да разделите кръг на 12 части, трябва да го разделите на 6 части и да разделите всяка дъга наполовина, след което процесът на разделяне на дъгите наполовина може да продължи за неопределено време.

Дължината на перпендикуляра, пуснат от центъра на окръжността към страната на шестоъгълника, е добро приближение за дължината на страната на седмоъгълника, вписан в окръжността (показана със засенчване на Фигура 5а). Перпендикулярна дължина ≈0.866R, дължина на страната на седмоъгълника ≈0.868R – точност ≈2%.

2) Разделяне на кръга на 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) равни части.

Можете да разделите кръга на 2 части с помощта на линийка, като начертаете права линия през центъра на кръга. Но е възможно да отложите радиуса на окръжността от всяка точка на окръжността 3 пъти. Началната и крайната точка разполовяват кръга (през тях може да се начертае диаметър - фиг. 5а). За да разделите кръга на 4 части, е необходимо да разделите получените дъги наполовина. Последователното изпълнение на разделянето на получените дъги наполовина осигурява разделянето на кръга на 8, 16 и т.н. части.

3) Разделяне на кръга на 5 части.

Методът на конструиране, възприет в чертежа, използва съотношението между страната на правилния десетоъгълник ( а 10) и правилен петоъгълник ( а 5)- a 5 2 = R 2 + a 10 2 . Конструкцията се извършва по следния начин. Нека начертаем 2 перпендикулярни прави през центъра на окръжността O. A и B са точките на тяхното пресичане с окръжността. От точка А, както от центъра, начертаваме кръг със същия радиус (намираме средата на сегмента AO - точка C). От средата на отсечката AO на точка C начертаваме друга окръжност с радиус CB. Отсечката BE е равна на страната на петоъгълника, OE е равна на десетоъгълника (фиг. 5b).

Можете да разделите кръга на 5 и 10 части по начина, показан на фигура 5c. Отсечката BC е страната на петоъгълника, AC е страната на десетоъгълника. За забележителните свойства на петоъгълника и десетоъгълника и защо методът на конструиране, показан на фигура 5c, е правилен, ще разкажем в следващата глава.

Медресе Кукелдаш (XVI век, Ташкент)

Фигура 5d демонстрира получаването на приблизително геометрично решение на проблема за разделяне на кръг на произволен брой части. Нека например се изисква даден кръг да се раздели на 7 равни части. Построяваме равностранен триъгълник ABC върху диаметъра на окръжността AB и разделяме диаметъра AB на точката D спрямо AD:AB=2:7 (обикновено 2:n). За да направите това, трябва да начертаете спомагателна линия, да отделите n + 2 еднакви сегмента върху нея, да свържете крайната точка с точка B и да начертаете линия, успоредна на линия BF през втората точка. Начертайте линия DC до пресечната точка с кръга. Дъгата AE ще бъде 7-та част от окръжността (в общия случай n-та). Този метод за n<11 дает погрешность не более 1%.

Алгоритмите за разделяне на окръжност на равни части могат да се използват например за построяване на опорни точки за спирали - спиралата на Архимед, наречена на великия древногръцки учен Архимед (III в. пр. н. е.), който пръв изучава тази линия, и логаритмичната спирала .