Was sind gültige Variablenwerte? Gültige Werte für Variablen, die in einem Bruchausdruck enthalten sind. ODZ in Gleichungen

Probleme 1.4 - 1.6

Problemzustand 1.4

Geben Sie den Fehler in der „Lösung“ des Problems an: Zwei wurden aufgegeben Würfel; Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gezogenen Punkte 3 beträgt (Ereignis A). "Lösung". Es gibt zwei mögliche Ergebnisse des Tests: Die Summe der verlorenen Punkte ist gleich 3, die Summe der verlorenen Punkte ist ungleich 3. Ereignis A wird durch ein Ergebnis begünstigt, Gesamtzahl Es gibt zwei Ergebnisse. Daher ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich P(A) = 1/2.

Lösung für Problem 1.4

Der Fehler dieser „Lösung“ besteht darin, dass die fraglichen Ergebnisse nicht gleichermaßen möglich sind. Richtige Lösung: Die Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse ist gleich (jede Augenzahl eines Würfels kann mit allen Augenzahlen eines anderen Würfels kombiniert werden). Von diesen Ergebnissen begünstigen nur zwei das Ereignis: (1; 2) und (2; 1). Dies bedeutet, dass die erforderliche Wahrscheinlichkeit

Antwort:

Problemzustand 1.5

Es werden zwei Würfel geworfen. Finden Sie Wahrscheinlichkeiten nächste Veranstaltungen: a) die Summe der gezogenen Punkte beträgt sieben; b) die Summe der gezogenen Punkte beträgt acht und die Differenz beträgt vier; c) die Summe der gezogenen Punkte beträgt acht, wenn bekannt ist, dass ihre Differenz vier beträgt; d) die Summe der gewürfelten Punkte ist fünf und das Produkt ist vier.

Lösung für Problem 1.5

a) Sechs Optionen beim ersten Würfel, sechs beim zweiten. Gesamtoptionen: (gemäß der Produktregel). Optionen für eine Summe gleich 7: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) – insgesamt sechs Optionen. Bedeutet,

b) Nur zwei passende Optionen: (6.2) und (2.6). Bedeutet,

c) Es gibt nur zwei geeignete Optionen: (2,6), (6,2). Aber insgesamt Möglichkeiten 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Bedeutet, .

d) Für eine Summe gleich 5 sind folgende Optionen geeignet: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Das Produkt ist 4 für nur zwei Optionen. Dann

Antwort: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Problemzustand 1.6

Ein Würfel, dessen Kanten alle farbig sind, wird in tausend Würfel zersägt gleiche Größe, die dann gründlich gemischt werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der durch Glück gezogene Würfel farbige Flächen hat: a) eins; b) zwei; um drei Uhr.

Lösung für Problem 1.6

Insgesamt entstanden 1000 Würfel. Würfel mit drei farbigen Seiten: 8 (das sind Eckwürfel). Mit zwei farbigen Flächen: 96 (da es 12 Kanten eines Würfels mit 8 Würfeln auf jeder Kante gibt). Würfel mit farbigen Kanten: 384 (da es 6 Seiten gibt und auf jeder Seite 64 Würfel sind). Es bleibt nur noch, jede gefundene Menge durch 1000 zu dividieren.

Antwort: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

Jeder Ausdruck mit einer Variablen verfügt dort, wo er vorhanden ist, über einen eigenen Bereich gültiger Werte. ODZ muss bei Entscheidungen stets berücksichtigt werden. Fehlt es, erhalten Sie möglicherweise ein falsches Ergebnis.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie ODZ richtig finden und Beispiele verwenden. Auch die Bedeutung der Angabe der DZ bei der Entscheidungsfindung wird thematisiert.

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Gültige und ungültige Variablenwerte

Diese Definition bezieht sich auf die zulässigen Werte der Variablen. Wenn wir die Definition einführen, wollen wir sehen, zu welchem ​​Ergebnis sie führen wird.

Ab der 7. Klasse beginnen wir mit Zahlen und zu arbeiten numerische Ausdrücke. Erste Definitionen mit Variablen springt zur Bedeutung von Ausdrücken mit den ausgewählten Variablen.

Wenn Ausdrücke mit ausgewählten Variablen vorhanden sind, erfüllen einige davon möglicherweise nicht die Anforderungen. Zum Beispiel ein Ausdruck der Form 1: a, wenn a = 0, dann macht es keinen Sinn, da eine Division durch Null unmöglich ist. Das heißt, der Ausdruck muss Werte haben, die in jedem Fall geeignet sind und eine Antwort geben. Mit anderen Worten: Sie machen mit den vorhandenen Variablen Sinn.

Definition 1

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht er nur dann Sinn, wenn der Wert durch deren Ersetzung berechnet werden kann.

Definition 2

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht es keinen Sinn, wenn beim Ersetzen der Variablen der Wert nicht berechnet werden kann.

Das heißt, dies impliziert eine vollständige Definition

Definition 3

Vorhandene zulässige Variablen sind diejenigen Werte, für die der Ausdruck sinnvoll ist. Und wenn es keinen Sinn ergibt, gelten sie als inakzeptabel.

Um das Obige zu verdeutlichen: Wenn mehr als eine Variable vorhanden ist, kann es ein Paar geeigneter Werte geben.

Beispiel 1

Betrachten Sie beispielsweise einen Ausdruck der Form 1 x - y + z, bei dem es drei Variablen gibt. Andernfalls können Sie es als x = 0, y = 1, z = 2 schreiben, während ein anderer Eintrag die Form (0, 1, 2) hat. Diese Werte werden als gültig bezeichnet, was bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks gefunden werden kann. Wir erhalten 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Daraus sehen wir, dass (1, 1, 2) inakzeptabel sind. Die Substitution führt zu einer Division durch Null, also 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Was ist ODZ?

Bereich akzeptabler Werte – wichtiges Element bei der Auswertung algebraischer Ausdrücke. Daher lohnt es sich, bei Berechnungen darauf zu achten.

Definition 4

ODZ-Bereich ist die Menge der für einen bestimmten Ausdruck zulässigen Werte.

Schauen wir uns einen Beispielausdruck an.

Beispiel 2

Wenn wir einen Ausdruck der Form 5 z - 3 haben, dann hat die ODZ die Form (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Dies ist der Bereich gültiger Werte, der die Variable z für einen bestimmten Ausdruck erfüllt.

Wenn es Ausdrücke der Form z x - y gibt, dann ist klar, dass x ≠ y, z nimmt einen beliebigen Wert an. Dies nennt man ODZ-Ausdrücke. Dies muss berücksichtigt werden, um beim Ersetzen keine Division durch Null zu erhalten.

Der zulässige Wertebereich und der Definitionsbereich haben die gleiche Bedeutung. Nur der zweite von ihnen wird für Ausdrücke verwendet, und der erste wird für Gleichungen oder Ungleichungen verwendet. Mit Hilfe von DL ergibt der Ausdruck bzw. die Ungleichung einen Sinn. Der Definitionsbereich der Funktion fällt mit dem Bereich zulässiger Werte der Variablen x für den Ausdruck f (x) zusammen.

Wie finde ich ODZ? Beispiele, Lösungen

Das Finden von ODZ bedeutet, alle gültigen Werte zu finden, die für geeignet sind gegebene Funktion oder Ungleichheit. Die Nichterfüllung dieser Bedingungen kann zu falschen Ergebnissen führen. Um die ODZ zu finden, ist es oft notwendig, Transformationen in einem bestimmten Ausdruck durchzuführen.

Es gibt Ausdrücke, bei denen ihre Berechnung unmöglich ist:

• wenn es eine Division durch Null gibt;
• Ziehen der Wurzel einer negativen Zahl;
• das Vorhandensein eines negativen Integer-Indikators – nur für positive Zahlen;
• Berechnen des Logarithmus einer negativen Zahl;
• Definitionsbereich des Tangens π 2 + π · k, k ∈ Z und des Kotangens π · k, k ∈ Z;
• Ermitteln des Werts von Arkussinus und Arkuskosinus einer Zahl für einen Wert, der nicht zu [-1; 1 ] .

All dies zeigt, wie wichtig es ist, ODZ zu haben.

Beispiel 3

Finden Sie den ODZ-Ausdruck x 3 + 2 x y − 4 .

Lösung

Jede Zahl kann gewürfelt werden. Dieser Ausdruck hat keinen Bruch, daher können die Werte von x und y alles sein. Das heißt, ODZ ist eine beliebige Zahl.

Antwort: x und y – beliebige Werte.

Beispiel 4

Finden Sie die ODZ des Ausdrucks 1 3 - x + 1 0.

Lösung

Es ist ersichtlich, dass es einen Bruch gibt, dessen Nenner Null ist. Das bedeutet, dass wir für jeden Wert von x eine Division durch Null erhalten. Dies bedeutet, dass wir den Schluss ziehen können, dass dieser Ausdruck als undefiniert gilt, das heißt, er hat keine zusätzliche Haftung.

Antwort: ∅ .

Beispiel 5

Finden Sie die ODZ des gegebenen Ausdrucks x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Lösung

Verfügbarkeit Quadratwurzel gibt an, dass dieser Ausdruck größer oder gleich Null sein muss. Bei negativer Wert es ergibt keinen Sinn. Dies bedeutet, dass es notwendig ist, eine Ungleichung der Form x + 2 · y + 3 ≥ 0 zu schreiben. Das heißt, dies ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte.

Antwort: Menge von x und y, wobei x + 2 y + 3 ≥ 0.

Beispiel 6

Bestimmen Sie den ODZ-Ausdruck der Form 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Lösung

Aufgrund der Bedingung haben wir einen Bruch, daher sollte sein Nenner nicht gleich Null sein. Wir erhalten, dass x + 1 - 1 ≠ 0. Der Wurzelausdruck ist immer dann sinnvoll, wenn er größer oder gleich Null ist, also x + 1 ≥ 0. Da es einen Logarithmus hat, muss sein Ausdruck streng positiv sein, d. h. x 2 + 3 > 0. Die Basis des Logarithmus muss ebenfalls vorhanden sein positiver Wert und verschieden von 1, dann fügen wir die Bedingungen x + 8 > 0 und x + 8 ≠ 1 hinzu. Daraus folgt, dass die gewünschte ODZ die Form annimmt:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Mit anderen Worten spricht man von einem System von Ungleichungen mit einer Variablen. Die Lösung führt zur folgenden ODZ-Notation [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Antwort: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Warum ist es wichtig, DPD zu berücksichtigen, wenn Veränderungen vorangetrieben werden?

Bei Identitätstransformationen ist es wichtig, die ODZ zu finden. Es gibt Fälle, in denen die Existenz einer ODZ nicht vorliegt. Um zu verstehen, ob die Lösung einen bestimmten Ausdruck hat, müssen Sie die ODZ der Variablen vergleichen ursprünglicher Ausdruck und ODZ erhalten.

Identitätstransformationen:

• hat möglicherweise keinen Einfluss auf DL;
• kann zur Erweiterung oder Hinzufügung von DZ führen;
• kann die DZ eingrenzen.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 7

Wenn wir einen Ausdruck der Form x 2 + x + 3 · x haben, dann ist seine ODZ über den gesamten Definitionsbereich definiert. Auch beim Mitbringen ähnliche Begriffe und die Vereinfachung des Ausdrucks ODZ ändert sich nicht.

Beispiel 8

Nehmen wir das Beispiel des Ausdrucks x + 3 x − 3 x, dann liegen die Dinge anders. Wir haben gebrochener Ausdruck. Und wir wissen, dass eine Division durch Null nicht akzeptabel ist. Dann hat die ODZ die Form (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Es ist ersichtlich, dass Null keine Lösung ist, also fügen wir sie mit einer Klammer hinzu.

Betrachten wir ein Beispiel mit dem Vorhandensein eines radikalen Ausdrucks.

Beispiel 9

Wenn es x - 1 · x - 3 gibt, dann sollten Sie auf die ODZ achten, da diese als Ungleichung (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 geschrieben werden muss. Es ist möglich, mit der Intervallmethode zu lösen, dann stellen wir fest, dass die ODZ die Form (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) annimmt. Nach der Transformation von x - 1 · x - 3 und der Anwendung der Wurzeleigenschaft haben wir, dass die ODZ ergänzt werden kann und alles in Form eines Ungleichungssystems der Form x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ geschrieben werden kann 0. Bei der Lösung stellen wir fest, dass [ 3 , + ∞) . Das bedeutet, dass die ODZ vollständig wie folgt geschrieben wird: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformationen, die die DZ einengen, müssen vermieden werden.

Beispiel 10

Betrachten wir ein Beispiel für den Ausdruck x - 1 · x - 3, wenn x = - 1. Beim Ersetzen erhalten wir Folgendes: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Wenn wir diesen Ausdruck transformieren und in die Form x - 1 · x - 3 bringen, dann erhalten wir bei der Berechnung, dass 2 - 1 · 2 - 3 der Ausdruck keinen Sinn ergibt, da radikaler Ausdruck sollte nicht negativ sein.

Sollte eingehalten werden Identitätstransformationen, woran ODZ nichts ändern wird.

Wenn es Beispiele gibt, die dies erweitern, sollte es dem DL hinzugefügt werden.

Beispiel 11

Schauen wir uns das Beispiel eines Bruchs der Form x x 3 + x an. Wenn wir um x kürzen, erhalten wir 1 x 2 + 1. Dann erweitert sich die ODZ und wird zu (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Außerdem arbeiten wir beim Rechnen bereits mit dem zweiten vereinfachten Bruch.

Bei Logarithmen ist die Situation etwas anders.

Beispiel 12

Wenn es einen Ausdruck der Form ln x + ln (x + 3) gibt, wird er basierend auf der Eigenschaft des Logarithmus durch ln (x · (x + 3)) ersetzt. Daraus können wir erkennen, dass die ODZ von (0 , + ∞) bis (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) ist. Um die ODZ ln (x · (x + 3)) zu bestimmen, müssen daher Berechnungen für die ODZ, also die Menge (0, + ∞), durchgeführt werden.

Beim Lösen muss immer auf die Struktur und Art des durch die Bedingung gegebenen Ausdrucks geachtet werden. Bei richtigen Standort Definitionsbereich wird das Ergebnis positiv sein.

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\(\frac(x)(x-1)\) der Wert der Variablen gleich 1 ist, ist die Regel verletzt: Sie können nicht durch Null dividieren. Daher kann \(x\) hier keine Einheit sein und die ODZ wird wie folgt geschrieben: \(x\neq1\);

Wenn im Ausdruck \(\sqrt(x-2)\) der Wert der Variablen \(0\) ist, ist die Regel verletzt: Der radikale Ausdruck darf nicht negativ sein. Das bedeutet, dass \(x\) hier nicht \(0\) sein kann, ebenso wenig wie \(1, -3, -52,7\) usw. Das heißt, x muss größer oder gleich 2 sein und die ODZ ist: \(x\geq2\);

Aber im Ausdruck \(4x+1\) können wir eine beliebige Zahl anstelle von X ersetzen, und es werden keine Regeln verletzt. Daher ist der Bereich akzeptabler Werte hier der gesamte Zahlenachse. Solch Fälle von DD schreibe nicht auf, weil es keine nützlichen Informationen enthält.

Hier finden Sie alle Regeln, die befolgt werden müssen.

ODZ in Gleichungen

Bei der Entscheidung ist es wichtig, den Bereich akzeptabler Werte zu berücksichtigen Dort suchen wir nur nach den Werten von Variablen und können zufällig solche finden, die gegen die Regeln der Mathematik verstoßen.

Um die Bedeutung von ODZ zu verstehen, vergleichen wir zwei Lösungen der Gleichung: mit ODZ und ohne ODZ.

Beispiel: Löse die Gleichung
Lösung :

Ohne ODZ:		Mit ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - ist nicht für die ODZ qualifiziert
Antwort : \(4; -3\)		Antwort : \(4\)

Sehen Sie den Unterschied? In der ersten Lösung hatten wir ein falsches, zusätzliches ! in unserer Antwort! Wieso falsch? Versuchen wir, es in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Sie sehen, wir haben sowohl links als auch rechts unberechenbare, bedeutungslose Ausdrücke erhalten (man kann schließlich nicht durch Null dividieren). Und dass sie gleich sind, spielt keine Rolle mehr, da diese Werte nicht existieren. Daher ist „\(-3\)“ eine unangemessene, überflüssige Wurzel, und der Bereich akzeptabler Werte schützt uns vor solch schwerwiegenden Fehlern.

Deshalb erhalten Sie für die erste Lösung eine D und für die zweite eine A. Und das sind keine langweiligen Spitzfindigkeiten des Lehrers, denn die Nichtberücksichtigung von ODS ist keine Kleinigkeit, sondern durchaus spezifischer Fehler, das Gleiche wie ein verlorenes Zeichen oder die Anwendung der falschen Formel. Schließlich ist die endgültige Antwort falsch!

Das Ermitteln des Bereichs akzeptabler Werte führt häufig dazu, dass Gleichungen gelöst werden müssen, daher müssen Sie in der Lage sein, dies gut zu tun.

Beispiel : Finden Sie den Definitionsbereich des Ausdrucks \(\sqrt(5-2x)+\) \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

Lösung : Der Ausdruck hat zwei Wurzeln, von denen eine im Nenner liegt. Wer sich nicht an die in diesem Fall verhängten Einschränkungen erinnert, ist... Wer sich erinnert, schreibt auf, dass der Ausdruck unter der ersten Wurzel größer oder gleich Null ist und unter der zweiten - Über Null. Verstehen Sie, warum die Einschränkungen so sind?

Antwort : \((-2;2,5]\)