Formel für Bewegung in entgegengesetzte Richtungen. Probleme mit Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen und Gegenbewegungen. Stellen Sie mithilfe von Diagrammen inverse Probleme zusammen und lösen Sie diese

>> Lektion 27. Bewegung hinein entgegengesetzte Richtungen

1. Von den Punkten A und B, deren Abstand 6 km beträgt, verließen 2 Fußgänger gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen. Die Geschwindigkeit des ersten Fußgängers beträgt 3 km/h, die des zweiten Fußgängers 5 km/h. Wie verändert sich der Abstand zwischen ihnen in einer Stunde? Wie hoch wird es nach 1 Stunde, 2 Stunden, 3 Stunden, 4 Stunden sein? Wird das Treffen stattfinden? Vervollständigen Sie die Zeichnung und füllen Sie die Tabelle aus. Geben Sie die Formel für die Abhängigkeit des Fußgängerabstands d von der Bewegungszeit t an.

2. Lösen Sie das Problem auf zwei Arten. Erklären Sie, welches bequemer ist und warum?

Zwei Autos verließen gleichzeitig zwei Städte im Abstand von 65 km in entgegengesetzter Richtung. Einer von ihnen fuhr mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h, der andere mit 110 km/h. Wie weit werden die Autos 3 Stunden nach der Abfahrt voneinander entfernt sein?

3. 2 Boote starten gleichzeitig vom selben Pier in entgegengesetzte Richtungen. Nach 3 Stunden betrug die Entfernung zwischen ihnen 168 km. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des zweiten Bootes, wenn bekannt ist, dass die Geschwindigkeit des ersten Bootes 25 km/h beträgt.

4. Verfassen Sie die Diagramme gemeinsam inverse Probleme und löse sie:

5. Überlegen Sie sich ein Problem mit Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen, bei dem Sie Folgendes finden müssen:

a) die Geschwindigkeit eines der sich bewegenden Objekte;

b) der anfängliche Abstand zwischen ihnen; c) Bewegungszeit.

6. Von zwei Städten, 1680 km voneinander entfernt, fuhren zwei Züge gleichzeitig aufeinander zu. Der erste Zug legt die gesamte Strecke in 21 Stunden zurück, der zweite Zug in 28 Stunden. Wie viele Stunden später treffen sich die Züge?

7. Wählen Sie Ausdrücke aus, die dieser Aufgabe entsprechen, und setzen Sie ein „+“-Zeichen daneben. Streichen Sie die restlichen Ausdrücke durch.

8. Lösen Sie die Gleichungen:

a) (a 16 - 720): 30 = 400 - 392;

b) (95 - 380: b) + 35 = 16 + 94.

9. Die Variablen x und y sind durch die Beziehung verbunden: y = (x - 2) x + x 3.

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10
bei

Was fällt dir auf? Versuchen Sie, die Beziehung zwischen den Variablen x und y mit einer einfacheren Formel auszudrücken.

10. a) Entschlüsseln Sie die Aussage des berühmten amerikanischen Wissenschaftlers und Unternehmers Thomas Edison, Autor von über 1000 Erfindungen!

b) Schreiben Sie nacheinander die Reste der Division dieser Zahlen in leere Zellen auf – und Sie erfahren die Lebensjahre von Thomas Edison:

1) 76: 15 4) 322: 35 7) 19 203: 96
2) 176: 24 5) 470: 67 8) 74 429: 92
3) 148: 16 6) 609: 75

11. Der Eisbrecher kämpfte sich 3 Tage lang durch das Eis. Am ersten Tag schwamm er die gesamte Distanz, am zweiten Tag die restliche Distanz und am dritten Tag die restlichen 90 km. Wie weit hat der Eisbrecher während der dreitägigen Reise zurückgelegt? Wie viele Kilometer ist er am ersten und zweiten Tag geschwommen?

12. Erstellen Sie ein Aktionsprogramm und berechnen Sie:

a) (600: 30 - 7) 5 - (24 - 4 4) (32: 16) + 60: 4 10;

b) 500 - (28 5 + 25 4 - 120: 2) : 6 - (28: 14 + 420: 140) 30.

13*. Eine uralte Aufgabe.

Ein Mann wurde gefragt, wie viel Geld er habe. Er antwortete: „Mein Bruder ist dreimal reicher als ich, mein Vater ist dreimal reicher als mein Bruder, mein Großvater ist dreimal reicher als mein Vater und wir haben alle genau 1000 Rubel. Finden Sie also heraus, wie viel ich habe.“ Geld".

14*. Spiel „Finde die unbekannte Zeichnung.“

Peterson Lyudmila Georgievna. Mathematik. 4. Klasse. Teil 2. - M.: Yuventa Publishing House, 2005, - 64 S.: Abb.

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§ 1 Bewegung in entgegengesetzte Richtungen

In dieser Lektion lernen wir Probleme kennen, die mit Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen einhergehen.

Bei der Lösung eines Bewegungsproblems werden wir mit Konzepten wie „Geschwindigkeit“, „Zeit“ und „Entfernung“ konfrontiert.

Geschwindigkeit ist die Distanz, die ein Objekt pro Zeiteinheit zurücklegt. Die Geschwindigkeit wird in km/h, m/s usw. gemessen. Festgelegt Lateinischer Buchstabe ʋ.

Zeit ist die Zeit, die ein Objekt benötigt, um eine bestimmte Distanz zurückzulegen. Die Zeit wird in Sekunden, Minuten, Stunden usw. gemessen. Bezeichnet mit dem lateinischen Buchstaben t.

Die Entfernung ist die Distanz, die ein Objekt zurücklegt bestimmte Zeit. Die Entfernung wird in Kilometern, Metern, Dezimetern usw. gemessen. Bezeichnet mit dem lateinischen Buchstaben S.

Bei Bewegungsaufgaben sind diese Konzepte miteinander verknüpft. Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, müssen Sie also die Entfernung durch die Zeit teilen: ʋ = S: t. Um die Zeit zu ermitteln, müssen Sie die Distanz durch die Geschwindigkeit teilen: t = S: ʋ. Und um die Entfernung zu ermitteln, wird die Geschwindigkeit mit der Zeit multipliziert: S = ʋ · t.

Bei der Lösung von Problemen mit Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen wird ein anderer Begriff verwendet: „Entfernungsgeschwindigkeit“.

Die Entfernungsrate ist die Entfernung, die Objekte pro Zeiteinheit zurücklegen. Angezeigt durch ʋud..

Um die Entfernungsgeschwindigkeit zu ermitteln, müssen Sie bei Kenntnis der Geschwindigkeiten von Objekten die Summe dieser Geschwindigkeiten ermitteln: ʋstr. = ʋ1 + ʋ2. Um die Entfernungsgeschwindigkeit zu ermitteln, müssen Sie bei Kenntnis von Zeit und Entfernung die Entfernung durch die Zeit dividieren: ʋstr. = S: t.

§ 2 Problemlösung

Betrachten wir die Beziehung zwischen den Konzepten „Geschwindigkeit“, „Zeit“ und „Entfernung“ bei der Lösung von Problemen, bei denen es um Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen geht.

AUFGABE 1. Lastwagen und Autos verließen den Busbahnhof in unterschiedliche Richtungen. In der gleichen Zeit legte ein LKW 70 km und ein Pkw 140 km zurück. Mit welcher Geschwindigkeit bewegte sich das Auto, wenn die Geschwindigkeit des Lkw 35 km/h betrug?

Lassen Sie uns die Bewegung einer Ladung darstellen und Personenkraftwagen auf dem Diagramm.

Die Geschwindigkeit des LKW bezeichnen wir mit dem Buchstaben ʋ1 = 35 km/h. Die Geschwindigkeit eines Pkw bezeichnen wir mit dem Buchstaben ʋ2 = ? km/h Wir bezeichnen die Reisezeit mit dem Buchstaben t. Zurückgelegte Strecke Güterwagen- Buchstabe S1 = 70 km. Die vom Auto zurückgelegte Strecke beträgt S2 = 140 km.

Schauen wir uns die erste Option an.

Denn um eine unbekannte Geschwindigkeit zu finden, ist es notwendig, die Entfernung zu kennen, die ein Pkw zurückgelegt hat, und diese ist bekannt und entspricht 140 km, und die Zeit der Bewegung zu kennen, die in den Bedingungen nicht angegeben ist Das Problem, dann ist es notwendig, diese Zeit zu finden. Aus den Bedingungen des Problems kennen wir die Entfernung, die der LKW zurückgelegt hat S1 = 70 km und die Geschwindigkeit des LKW beträgt ʋ1 = 35 km/h. Anhand dieser Daten können wir die Uhrzeit ermitteln. t = S1: ʋ1 = 70: 35 = 2 Stunden. Wenn wir die Zeit und Entfernung kennen, die das Auto zurückgelegt hat, können wir die Geschwindigkeit des Autos ermitteln, da ʋ2 = S2: t = 140: 2 = 70 km/h. Wir haben herausgefunden, dass die Geschwindigkeit eines Autos 70 km/h beträgt.

Betrachten wir die zweite Option.

Da es zum Ermitteln einer unbekannten Geschwindigkeit erforderlich ist, die Geschwindigkeit des Lastkraftwagens zu kennen, die aus den Bedingungen des Problems bekannt ist, und die Entfernungsgeschwindigkeit, die nicht durch die Bedingungen des Problems spezifiziert ist, dann wir müssen die Geschwindigkeit der Entfernung finden. Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, mit der sich die Autos entfernen, können Sie die von beiden Autos zurückgelegte Strecke durch die Zeit dividieren. ʋud. = S:t. Die von beiden Autos zurückgelegte Strecke ist gleich der Summe der Strecken S1 und S2. S = S1 + S2 = 70 + 140 = 210 km. Die Zeit lässt sich ermitteln, indem man die vom LKW zurückgelegte Strecke durch seine Geschwindigkeit dividiert. t = S1: ʋ1 = 70: 35 = 2 Stunden. Also, ʋud. = S: t = 210: 2 = 105 km/h. Wenn wir nun die Entfernungsgeschwindigkeit kennen, können wir die Geschwindigkeit des Autos ermitteln. ʋ2 = ʋbl. - ʋ1 = 105 - 35 = 70 km/h. Wir haben herausgefunden, dass die Geschwindigkeit eines Autos 70 km/h beträgt.

PROBLEM 2. Zwei Personen verließen gleichzeitig das Dorf in verschiedene Richtungen. Einer bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h, der andere mit 5 km/h. Wie viele Stunden wird es dauern, bis die Entfernung zwischen ihnen 33 km beträgt?

Lassen Sie uns die Bewegung von Menschen im Diagramm darstellen.

Bezeichnen wir die Geschwindigkeit der ersten Person mit dem Buchstaben ʋ1 = 5 km/h. Die Geschwindigkeit der zweiten Person wird mit dem Buchstaben ʋ2 = 6 km/h angegeben. Die zurückgelegte Strecke wird mit dem Buchstaben S = 33 km angegeben. Zeit - Buchstabe t = ? Std.

Um die im Problem gestellte Frage zu beantworten, ist es notwendig, den Abstand und die Entfernungsgeschwindigkeit zu kennen, da t = S: ʋstr.. Da wir den Abstand aus den Bedingungen des Problems kennen, müssen wir die Entfernungsgeschwindigkeit ermitteln . ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 5 + 6 = 11 km/h. Wenn wir nun die Entfernungsgeschwindigkeit kennen, können wir die unbekannte Zeit ermitteln. t = S: ʋbeat = 33: 11 = 3 Stunden. Wir stellen fest, dass es 3 Stunden dauerte, bis die Entfernung zwischen Menschen 33 km betrug.

PROBLEM 3. Zwei Züge fuhren gleichzeitig von verschiedenen Bahnhöfen aus in entgegengesetzte Richtungen, der Abstand zwischen ihnen beträgt 25 km. Einer bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 160 km/h. Wie weit werden die Züge nach 4 Stunden voneinander entfernt sein, wenn die Geschwindigkeit des anderen Zuges 130 km/h beträgt?

Lassen Sie uns die Bewegung der Züge im Diagramm zeigen.

Bezeichnen wir die Geschwindigkeit des ersten Zuges mit dem Buchstaben ʋ1 = 130 km/h. Bezeichnen wir die Geschwindigkeit des zweiten Zuges mit ʋ2 = 160 km/h. Bezeichnen wir die Entfernung zwischen den Stationen mit dem Buchstaben Sм = 25 km. Zeit - Buchstabe t = 4 Stunden. Und der erforderliche Abstand wird durch den Buchstaben S = ? km.

Um die Frage des Problems zu beantworten, müssen Sie die Entfernung zwischen den Bahnhöfen, die vom ersten Zug zurückgelegte Entfernung und die vom zweiten Zug zurückgelegte Entfernung kennen, da S = Sm + S1 + S2. Der Abstand zwischen Stationen ist aus den Bedingungen des Problems bekannt, die Abstände S1 und S2 jedoch nicht, sie können jedoch mithilfe anderer Daten aus dem Problem ermittelt werden. Der erforderliche Abstand kann jedoch größer sein rationaler Weg, nämlich durch Addition der Entfernung zwischen den Stationen und Gesamtentfernung, an dem beide Züge vorbeifuhren, da S = Sm + Sob. Da der Abstand zwischen den Bahnhöfen aus den Bedingungen des Problems bekannt ist, muss der Gesamtabstand ermittelt werden. Dazu müssen Sie die Zeit mit der Entfernungsgeschwindigkeit multiplizieren. Sob = t · ʋsp. Und die Entfernungsgeschwindigkeit ist gleich der Summe der Geschwindigkeiten der Züge. ʋud. = ʋ1 + ʋ2 = 160 + 130 = 290 km/h. Jetzt können wir die Gesamtentfernung Sob = t · ʋstr. = 4 · 290 = 1160 km ermitteln. Wenn wir die Gesamtentfernung kennen, können wir die erforderliche Entfernung ermitteln. S = Sm + Sob = 25 + 1160 = 1185 km. Wir haben festgestellt, dass die Entfernung zwischen den Zügen nach 4 Stunden 1185 km betragen wird.

§ 3 Kurze Zusammenfassung zum Thema der Lektion

Bei der Lösung von Problemen mit Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen ist zu beachten, dass bei Problemen dieser Art die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Objekte beginnen ihre Bewegung gleichzeitig in entgegengesetzte Richtungen, was bedeutet, dass sie die gleiche Zeit auf der Straße verbringen; Zeit wird mit dem lateinischen Buchstaben t = S bezeichnet: ʋud;

2) Abstand S ist die Summe aller durch die Problembedingungen angegebenen Abstände;

S = S1 + S2 + Lächeln S = ʋud. T;

3) Gegenstände werden mit einer bestimmten Geschwindigkeit entfernt – der Entfernungsgeschwindigkeit, angegeben durch den lateinischen Buchstaben ʋstr. = S: t bzw. ʋud = ʋ1 + ʋ2

ʋ1 = S1: t und ʋ2 = S2: t.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Peterson L.G. Mathematik. 4. Klasse. Teil 2. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 S.: Abb.
2. Mathematik. 4. Klasse. Richtlinien zum Mathematiklehrbuch „Lernen lernen“ für die 4. Klasse / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 Seiten: Abb.
3. Zach S.M. Alle Aufgaben zum Mathematiklehrbuch für die 4. Klasse von L.G. Peterson und eine Reihe unabhängiger und Tests. Landesbildungsstandard. – M.: UNWES, 2014.
4. CD-ROM. Mathematik. 4. Klasse. Unterrichtsskripte zum Lehrbuch für Teil 2 Peterson L.G. – M.: Yuvent, 2013.

Verwendete Bilder:

Sie kennen bereits die Größen „Geschwindigkeit“, „Zeit“, „Entfernung“ und wissen, wie diese Größen miteinander zusammenhängen. Wir haben bereits Probleme gelöst, bei denen sich Objekte in die gleiche Richtung oder aufeinander zu bewegten. Schauen wir uns nun Probleme an, bei denen sich Objekte in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Und machen wir uns mit dem Konzept der „Entfernungsgeschwindigkeit“ vertraut.

Zwei Fußgänger verließen gleichzeitig das Dorf und gingen in entgegengesetzte Richtung. Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Fußgängers beträgt 5 km/h, die des anderen 4 km/h. Wie weit werden Fußgänger nach 3 Stunden voneinander entfernt sein (Abb. 1)?

Reis. 1. Illustration für Problem 1

Um den Abstand zu ermitteln, den zwei Fußgänger in drei Stunden zurücklegen, müssen Sie herausfinden, wie weit jede Person in dieser Zeit gehen wird. Um herauszufinden, wie weit ein Fußgänger gegangen ist, müssen Sie es wissen Durchschnittsgeschwindigkeit Bewegung und ihre Reisezeit. Wir wissen, dass die Fußgänger gleichzeitig das Dorf verließen und drei Stunden unterwegs waren, was bedeutet, dass jeder der Fußgänger drei Stunden unterwegs war. Wir kennen die Durchschnittsgeschwindigkeit des ersten Fußgängers – 5 km/h und wir kennen seine Reisezeit – 3 Stunden. Wir können herausfinden, wie weit der erste Fußgänger gegangen ist. Multiplizieren wir seine Geschwindigkeit mit seiner Reisezeit.

Wir kennen die Durchschnittsgeschwindigkeit des zweiten Fußgängers – 4 km/h und wir kennen seine Reisezeit – 3 Stunden. Multiplizieren wir seine Geschwindigkeit mit seiner Reisezeit, um die zurückgelegte Strecke zu erhalten:

Jetzt kennen wir die Distanz, die jeder Fußgänger zurückgelegt hat, und können den Abstand zwischen den Kreuzungen ermitteln.

In der ersten Stunde entfernt sich ein Fußgänger 5 km vom Dorf, in derselben Stunde entfernt sich der zweite Fußgänger 4 km vom Dorf. Wir können die Geschwindigkeit ermitteln, mit der sich Fußgänger voneinander entfernen.

Wir wissen, dass sich Fußgänger pro Stunde 9 km voneinander entfernten. Wir können herausfinden, wie weit sie sich in drei Stunden voneinander entfernen werden.

Indem wir die Entfernungsgeschwindigkeit mit der Zeit multiplizierten, ermittelten wir den Abstand zwischen Fußgängern.

Antwort: Nach 3 Stunden sind die Fußgänger 27 km voneinander entfernt.

Zwei Fußgänger verließen gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das Dorf. Die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Fußgängers beträgt 5 km/h, die des anderen 4 km/h. Nach wie vielen Stunden beträgt die Entfernung zwischen ihnen 27 km (Abb. 2)?

Reis. 2. Illustration für Problem 2

Um die Bewegungszeiten von Fußgängern zu ermitteln, müssen Sie die Entfernung und Geschwindigkeit der Fußgänger kennen. Wir wissen, dass sich pro Stunde ein Fußgänger 5 km vom Dorf und ein anderer Fußgänger 4 km vom Dorf entfernt. Wir können ihre Entfernungsrate ermitteln.

Wir kennen die Entfernungsgeschwindigkeit und wir kennen die gesamte Entfernung – 27 km. Wir können die Zeit ermitteln, nach der sich Fußgänger 27 km voneinander entfernen; dazu müssen wir die Entfernung durch die Geschwindigkeit dividieren.

Antwort: In drei Stunden beträgt die Distanz zwischen den Kreuzungen 27 km.

Zwei Fußgänger verließen gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung das Dorf. Nach 3 Stunden betrug der Abstand zwischen ihnen 27 km. Der erste Fußgänger ging mit einer Geschwindigkeit von 5 km/h. Mit welcher Geschwindigkeit ging der zweite Fußgänger (Abb. 3)?

Reis. 3. Illustration für Problem 3

Um die Geschwindigkeit des zweiten Fußgängers herauszufinden, müssen Sie die von ihm zurückgelegte Strecke und seine Reisezeit kennen. Um herauszufinden, wie weit der zweite Fußgänger gelaufen ist, müssen Sie wissen, wie weit der erste Fußgänger gelaufen ist und wie weit er insgesamt zurückgelegt hat. Wir kennen die Gesamtstrecke. Um die vom ersten Fußgänger zurückgelegte Strecke zu ermitteln, müssen Sie seine Geschwindigkeit und seine Fahrzeit kennen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit des ersten Fußgängers beträgt 5 km/h, seine Fahrzeit beträgt 3 Stunden. Wenn wir die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der Reisezeit multiplizieren, erhalten wir die vom Fußgänger zurückgelegte Strecke:

Wir kennen die Gesamtstrecke und die Strecke, die der erste Fußgänger zurückgelegt hat. Wir können nun herausfinden, wie weit der zweite Fußgänger gelaufen ist.

Jetzt wissen wir, welche Strecke der zweite Fußgänger zurückgelegt hat und wie viel Zeit er auf dem Weg verbracht hat. Wir können seine Geschwindigkeit finden.

Antwort: Die Geschwindigkeit des zweiten Fußgängers beträgt 4 km/h.

Wir lernten, Probleme mit Bewegungen in entgegengesetzte Richtungen zu lösen und machten uns mit dem Konzept der „Entfernungsgeschwindigkeit“ vertraut.

Hausaufgaben

Referenzliste

1. Mathematik: Lehrbuch. für die 4. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen mit Russisch Sprache Ausbildung. Um 14 Uhr Teil 1 / T.M. Chebotarevskaya, V.L. Drozd, A.A. Tischler; Fahrbahn mit Weiss Sprache L.A. Bondareva. - 3. Aufl., überarbeitet. - Minsk: Nar. Asveta, 2008. - 134 S.: Abb.
2. Mathematik. Lehrbuch für die 4. Klasse. Anfang Schule Um 2 Uhr/M.I. Moreau, M.A. Bantova. - M.: Bildung, 2010.
3. Mathematik: Lehrbuch. für die 4. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen mit Russisch Sprache Ausbildung. Um 14 Uhr Teil 2 / T.M. Chebotarevskaya, V.L. Drozd, A.A. Tischler; Fahrbahn mit Weiss Sprache L.A. Bondareva. - 3. Aufl., überarbeitet. - Minsk: Nar. Asveta, 2008. - 135 S.: Abb.
4. Mathematik. 4. Klasse. Lehrbuch zu 2 Stunden. Bashmakov M.I., Nefedova M.G. - 2009. - 128 S., 144 S.

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2. Internetportal For6cl.uznateshe.ru ().
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