Das Konzept des lokalen Extremums einer Funktion. Lokales Maximum. Probleme beim Finden des Extremums einer Funktion

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sie sagen, $f$ hat lokales Maximum am Punkt $x_(0) \in E$, wenn es eine Umgebung $U$ des Punktes $x_(0)$ gibt, so dass für alle $x \in U$ die Ungleichung $f\left(x\right ) \leqslant f ist erfüllt \left(x_(0)\right)$.

Das lokale Maximum wird aufgerufen strikt , wenn die Nachbarschaft $U$ so gewählt werden kann, dass für alle $x \in U$, die von $x_(0)$ verschieden sind, $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definition
Sei $f$ echte Funktion auf der offenen Menge $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Sie sagen, $f$ hat lokales Minimum am Punkt $x_(0) \in E$, wenn es eine Umgebung $U$ des Punktes $x_(0)$ gibt, so dass für alle $x \in U$ die Ungleichung $f\left(x\right ) \geqslant f ist erfüllt \left(x_(0)\right)$.

Ein lokales Minimum heißt strikt, wenn eine Umgebung $U$ so gewählt werden kann, dass für alle $x \in U$, die von $x_(0)$ verschieden sind, $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\right)$.

Das lokale Extremum kombiniert die Konzepte des lokalen Minimums und des lokalen Maximums.

Satz ( notwendige Bedingung Extremum der differenzierbaren Funktion)
Sei $f$ eine reelle Funktion auf der offenen Menge $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Wenn am Punkt $x_(0) \in E$ die Funktion $f$ hat lokales Extremum und an diesem Punkt gilt dann $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Die Gleichheit des Differentials mit Null entspricht der Tatsache, dass alle gleich Null sind, d. h. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Im eindimensionalen Fall ist dies – . Bezeichnen wir $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, wobei $h$ ist beliebiger Vektor. Die Funktion $\phi$ ist für Werte von $t$ definiert, die im Absolutwert hinreichend klein sind. Darüber hinaus ist es differenzierbar nach , und $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
$f$ habe ein lokales Maximum am Punkt x $0$. Das bedeutet, dass die Funktion $\phi$ bei $t = 0$ ein lokales Maximum hat und nach dem Satz von Fermat $(\phi)’ \left(0\right)=0$ ist.
Wir haben also $df \left(x_(0)\right) = 0$, d.h. Funktion $f$ am Punkt $x_(0)$ gleich Null auf jedem Vektor $h$.

Definition
Punkte, an denen die Differenz Null ist, d.h. diejenigen, bei denen alle partiellen Ableitungen gleich Null sind, werden stationär genannt. Kritische Punkte Funktionen $f$ sind jene Punkte, an denen $f$ nicht differenzierbar oder gleich Null ist. Wenn der Punkt stationär ist, folgt daraus nicht, dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum hat.

Beispiel 1.
Sei $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Dann ist $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, also $\left(0,0\right)$ – stationären Punkt, aber zu diesem Zeitpunkt hat die Funktion kein Extremum. Tatsächlich ist $f \left(0,0\right) = 0$, aber es ist leicht zu erkennen, dass die Funktion in jeder Umgebung des Punktes $\left(0,0\right)$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Beispiel 2.
Die Funktion $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ hat einen stationären Punkt in ihrem Ursprung, aber es ist klar, dass es an diesem Punkt kein Extremum gibt.

Satz ( ausreichender Zustand Extremum).
Die Funktion $f$ sei auf der offenen Menge $E \subset \mathbb(R)^(n)$ zweimal stetig differenzierbar. Sei $x_(0) \in E$ ein stationärer Punkt und $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Dann

1. Wenn $Q_(x_(0))$ – , dann hat die Funktion $f$ am Punkt $x_(0)$ ein lokales Extremum, nämlich ein Minimum, wenn die Form positiv definit ist, und ein Maximum, wenn die Form positiv ist negativ definitiv;
2. Wenn quadratische Form$Q_(x_(0))$ ist undefiniert, dann hat die Funktion $f$ am Punkt $x_(0)$ kein Extremum.

Verwenden wir die Entwicklung nach Taylors Formel (12.7 S. 292). Wenn man bedenkt, dass die partiellen Ableitungen erster Ordnung am Punkt $x_(0)$ gleich Null sind, erhalten wir $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ rechts) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ wobei $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ und $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ für $h \rightarrow 0$, dann rechter Teil wird für jeden Vektor $h$ mit ausreichend kleiner Länge positiv sein.
Wir sind also zu dem Schluss gekommen, dass in einer bestimmten Umgebung des Punktes $x_(0)$ die Ungleichung $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ gilt, wenn nur $ x \neq x_ (0)$ (wir setzen $x=x_(0)+h$\right). Das bedeutet, dass die Funktion am Punkt $x_(0)$ ein striktes lokales Minimum hat und damit der erste Teil unseres Satzes bewiesen ist.
Nehmen wir nun an, dass $Q_(x_(0))$ – unbestimmte Form. Dann gibt es Vektoren $h_(1)$, $h_(2)$ mit $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Dann erhalten wir $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Für hinreichend kleine $t>0$ die rechte Hand Seite ist positiv. Das bedeutet, dass die Funktion $f$ in jeder Umgebung des Punktes $x_(0)$ Werte $f \left(x\right)$ annimmt, die größer als $f \left(x_(0)\right)$ sind.
Ebenso stellen wir fest, dass die Funktion $f$ in jeder Umgebung des Punktes $x_(0)$ Werte annimmt, die kleiner als $f \left(x_(0)\right)$ sind. Dies bedeutet zusammen mit dem vorherigen, dass die Funktion $f$ am Punkt $x_(0)$ kein Extremum hat.

Lassen Sie uns überlegen besonderer Fall dieses Satzes für eine Funktion $f \left(x,y\right)$ aus zwei Variablen, die in einer bestimmten Umgebung des Punktes $\left(x_(0),y_(0)\right)$ definiert sind und einen kontinuierlichen Teil haben Ableitungen erster Ordnung in dieser Umgebung und zweiter Ordnung. Nehmen Sie an, dass $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ein stationärer Punkt ist und bezeichnen Sie $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Dann nimmt der vorherige Satz die folgende Form an.

Satz
Sei $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Dann:

1. wenn $\Delta>0$, dann hat die Funktion $f$ ein lokales Extremum am Punkt $\left(x_(0),y_(0)\right)$, nämlich ein Minimum, wenn $a_(11)> 0$ und maximal, wenn $a_(11)<0$;
2. wenn $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Beispiele für Problemlösungen

Algorithmus zum Finden des Extremums einer Funktion vieler Variablen:

1. Auffinden stationärer Punkte;
2. Finden Sie das Differential 2. Ordnung an allen stationären Punkten
3. Unter Verwendung der hinreichenden Bedingung für das Extremum einer Funktion vieler Variablen betrachten wir das Differential zweiter Ordnung an jedem stationären Punkt

1. Untersuchen Sie die Funktion für das Extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Lösung

   Finden wir die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Lassen Sie uns das System zusammenstellen und lösen: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Aus der 2. Gleichung drücken wir $x=4 \cdot y^(2)$ aus – setzen Sie es in die 1. Gleichung ein: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Als Ergebnis erhält man 2 stationäre Punkte:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Prüfen wir, ob die hinreichende Bedingung für ein Extremum erfüllt ist:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Für den Punkt $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Für Punkt $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, was bedeutet, dass es am Punkt $M_(2)$ ein Extremum gibt, und da $A_(2)> 0$, dann ist das das Minimum.
   Antwort: Der Punkt $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ist der Minimalpunkt der Funktion $f$.
   

2. Untersuchen Sie die Funktion für das Extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Lösung

   Suchen wir stationäre Punkte: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Lassen Sie uns das System zusammenstellen und lösen: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ ist ein stationärer Punkt.
   Überprüfen wir, ob die hinreichende Bedingung für das Extremum erfüllt ist: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Antwort: Es gibt keine Extreme.
   

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1 .

Anzahl der Punkte: 1

Untersuchen Sie die Funktion $f$ für Extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Rechts


Falsch


1. Aufgabe 2 von 4

   2 .

   Anzahl der Punkte: 1

   Hat die Funktion $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ein Extremum?

Die Funktion erhöht sich um das Argumentinkrement, das gegen Null tendiert. Um es zu finden, verwenden Sie die Ableitungstabelle. Beispielsweise ist die Ableitung der Funktion y = x3 gleich y’ = x2.

Setzen Sie diese Ableitung mit Null gleich (in diesem Fall x2=0).

Finden Sie den Wert der angegebenen Variablen. Dies sind die Werte, bei denen die gegebene Ableitung gleich 0 ist. Ersetzen Sie dazu beliebige Zahlen im Ausdruck anstelle von x, bei denen der gesamte Ausdruck Null wird. Zum Beispiel:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Tragen Sie die erhaltenen Werte auf der Koordinatenlinie ein und berechnen Sie das Vorzeichen der Ableitung für jeden der erhaltenen Werte. Auf der Koordinatenlinie werden Punkte markiert, die als Ursprung dienen. Um den Wert in den Intervallen zu berechnen, ersetzen Sie beliebige Werte, die den Kriterien entsprechen. Beispielsweise können Sie für die vorherige Funktion vor dem Intervall -1 den Wert -2 auswählen. Für Werte von -1 bis 1 können Sie 0 und für Werte größer als 1 2 auswählen. Setzen Sie diese Zahlen in die Ableitung ein und ermitteln Sie das Vorzeichen der Ableitung. In diesem Fall ist die Ableitung mit x = -2 gleich -0,24, d.h. negativ und in diesem Intervall wird ein Minuszeichen angezeigt. Wenn x=0, dann ist der Wert gleich 2 und dieses Intervall wird mit einem Vorzeichen versehen. Wenn x=1, dann ist die Ableitung ebenfalls gleich -0,24 und es wird ein Minus gesetzt.

Ändert die Ableitung beim Durchgang durch einen Punkt auf der Koordinatenlinie ihr Vorzeichen von Minus nach Plus, dann ist dies ein Minimalpunkt, und wenn von Plus nach Minus, dann ist dies ein Maximalpunkt.

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Um die Ableitung zu finden, gibt es Online-Dienste, die die benötigten Werte berechnen und das Ergebnis anzeigen. Auf solchen Seiten finden Sie Derivate bis zur 5. Ordnung.

Quellen:

• Einer der Dienste zur Berechnung von Derivaten
• Maximalpunkt der Funktion

Die Maximalpunkte einer Funktion werden zusammen mit den Minimalpunkten als Extrempunkte bezeichnet. An diesen Stellen ändert die Funktion ihr Verhalten. Extrema werden in begrenzten numerischen Intervallen bestimmt und sind immer lokal.

Anweisungen

Der Prozess zum Finden lokaler Extrema wird als Funktion bezeichnet und durch die Analyse der ersten und zweiten Ableitungen der Funktion durchgeführt. Stellen Sie vor Beginn der Studie sicher, dass der angegebene Bereich der Argumentwerte zu den gültigen Werten gehört. Beispielsweise ist für die Funktion F=1/x das Argument x=0 nicht gültig. Oder für die Funktion Y=tg(x) kann das Argument nicht den Wert x=90° haben.

Stellen Sie sicher, dass die Funktion Y über das gesamte angegebene Intervall differenzierbar ist. Finden Sie die erste Ableitung von Y.“ Offensichtlich nimmt die Funktion zu, bevor sie den Punkt des lokalen Maximums erreicht, und beim Durchlaufen des Maximums nimmt die Funktion ab. Die erste Ableitung charakterisiert in ihrer physikalischen Bedeutung die Änderungsrate von Funktion. Während die Funktion zunimmt, ist die Rate dieses Prozesses ein positiver Wert. Während des Übergangs durch ein lokales Maximum beginnt die Funktion abzunehmen und die Änderungsrate der Funktion wird negativ. Der Übergang der Änderungsrate von Die Funktion durch Null tritt am Punkt des lokalen Maximums auf.

Beispielsweise hat die Funktion Y=-x²+x+1 auf dem Segment von -1 bis 1 eine stetige Ableitung Y"=-2x+1. Bei x=1/2 ist die Ableitung gleich Null und beim Durchgang An diesem Punkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von „+“ zu „-“. Die zweite Ableitung der Funktion Y“ = -2. Zeichnen Sie einen Punkt-für-Punkt-Graph der Funktion Y=-x²+x+1 und prüfen Sie, ob der Punkt mit der Abszisse x=1/2 ein lokales Maximum auf einem bestimmten Segment der Zahlenachse ist.

Für eine Funktion f(x) vieler Variablen ist Punkt x ein Vektor, f'(x) ist ein Vektor der ersten Ableitungen (Gradient) der Funktion f(x), f ′ ′(x) ist eine symmetrische Matrix der zweiten Partielle Ableitungen (Hessische Matrix - Hessische) Funktionen f(x).
Für eine Funktion vieler Variablen werden die Optimalitätsbedingungen wie folgt formuliert.
Eine notwendige Voraussetzung für lokale Optimalität. Sei f(x) im Punkt x * R n differenzierbar. Wenn x * ein lokaler Extrempunkt ist, dann ist f’(x *) = 0.
Nach wie vor werden Punkte, die Lösungen eines Gleichungssystems sind, als stationär bezeichnet. Die Natur des stationären Punktes x * hängt mit dem bestimmten Vorzeichen der Hesse-Matrix f′ ′(x) zusammen.
Das Vorzeichen der Matrix A hängt von den Vorzeichen der quadratischen Form Q(α)= ab< α A, α >für alle ungleich Null α∈R n .
Hier und weiter bezeichnet das Skalarprodukt der Vektoren x und y. A-Priorat,

Eine Matrix A ist positiv (nicht negativ) definit, wenn Q(α)>0 (Q(α)≥0) für alle α∈R n ungleich Null; negativ (nicht positiv) definit wenn Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 für ein von Null verschiedenes α∈R n und Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Ausreichende Bedingung für lokale Optimalität. Sei f(x) am Punkt x * R n zweimal differenzierbar und f’(x *)=0, d.h. x * − stationärer Punkt. Wenn dann die Matrix f′′(x *) positiv (negativ) definit ist, dann ist x * ein lokaler minimaler (maximaler) Punkt; Wenn die Matrix f′′(x *) undefiniert ist, dann ist x * ein Sattelpunkt.
Wenn die Matrix f''(x *) nicht negativ (nicht positiv) definit ist, dann erfordert die Bestimmung der Natur des stationären Punktes x * die Untersuchung von Ableitungen höherer Ordnung.
Zur Überprüfung des Vorzeichens einer Matrix wird in der Regel das Sylvester-Kriterium verwendet. Nach diesem Kriterium ist eine symmetrische Matrix A genau dann positiv definit, wenn alle ihre Winkelminormatrix positiv sind. In diesem Fall ist der Nebenwinkel der Matrix A die Determinante einer Matrix, die aus Elementen der Matrix A aufgebaut ist, die sich am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten mit denselben (und ersten) Zahlen befinden. Um die symmetrische Matrix A auf negative Bestimmtheit zu prüfen, müssen Sie die Matrix (−A) auf positive Bestimmtheit prüfen.
Der Algorithmus zur Bestimmung lokaler Extrempunkte einer Funktion vieler Variablen lautet also wie folgt.
1. Finden Sie f′(x).
2. Das System wird gelöst

Als Ergebnis werden stationäre Punkte x i berechnet.
3. Finden Sie f''(x) und setzen Sie i=1.
4. Finden Sie f''(x i)
5. Die Winkelminorwerte der Matrix f''(x i) werden berechnet. Wenn nicht alle Winkelminorwerte ungleich Null sind, erfordert die Bestimmung der Natur des stationären Punktes x i die Untersuchung von Ableitungen höherer Ordnung. In diesem Fall erfolgt der Übergang zu Schritt 8.
Andernfalls fahren Sie mit Schritt 6 fort.
6. Die Vorzeichen der Winkelminorwerte f''(x i) werden analysiert. Wenn f''(x i) positiv definit ist, dann ist x i ein lokaler Minimalpunkt. In diesem Fall erfolgt der Übergang zu Schritt 8.
Andernfalls fahren Sie mit Schritt 7 fort.
7. Die Winkelminorwerte der Matrix -f''(x i) werden berechnet und ihre Vorzeichen analysiert.
Wenn -f''(x i) − positiv definit ist, dann ist f''(x i) negativ definit und x i ist ein lokaler Maximalpunkt.
Ansonsten ist f''(x i) undefiniert und x i ein Sattelpunkt.
8. Die Bedingung zur Bestimmung der Natur aller stationären Punkte i=N wird überprüft.
Ist diese erfüllt, sind die Berechnungen abgeschlossen.
Ist die Bedingung nicht erfüllt, wird i=i+1 angenommen und der Übergang zu Schritt 4 durchgeführt.

Beispiel Nr. 1. Bestimmen Sie die Punkte lokaler Extrema der Funktion f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2









Da alle Winkelminorwerte ungleich Null sind, wird der Charakter von x 2 mithilfe von f''(x) bestimmt.
Da die Matrix f''(x 2) positiv definit ist, ist x 2 ein lokaler Minimalpunkt.
Antwort: Die Funktion f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 hat ein lokales Minimum im Punkt x = (5/3; 8/3).

LOKALES MAXIMAL

LOKALES MAXIMAL

(lokales Maximum) Der Wert einer Funktion, der größer ist als jeder benachbarte Wert ihres Arguments oder ihrer Argumentmenge. dy/dx= 0 ist eine notwendige Bedingung zum Erreichen eines lokalen Maximums y=f(x); Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist eine ausreichende Bedingung für das Erreichen eines lokalen Maximums d2y/dx2 0. Lokales Maximum kann auch absolutes Maximum sein, wenn kein Wert vorhanden ist X, bei welchem bei mehr. Dies ist jedoch möglicherweise nicht immer der Fall. Betrachten Sie die Funktion y = x3–3x.dy/dx = 0 wann x2= 1; Und d2y/dx2=6x. bei hat ein Maximum bei x =– 1, aber dies ist nur ein lokales, kein absolutes Maximum, da bei kann unendlich groß werden, wenn ein ausreichend großer positiver Wert gegeben wird X. Siehe auch: Zahl für das Artikelmaximum (Maximum).

Wirtschaft. Wörterbuch. - M.: „INFRA-M“, Verlag „Ves Mir“. J. Schwarz. Allgemeiner Herausgeber: Doktor der Wirtschaftswissenschaften Osadchaya I.M.. 2000 .

Wirtschaftswörterbuch. 2000 .

Sehen Sie, was „LOKALES MAXIMUM“ in anderen Wörterbüchern ist:

lokales Maximum- - [A. S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Energiethemen allgemein EN lokal maximal ... Leitfaden für technische Übersetzer

lokales Maximum- lokalusis maximumas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. lokaler maximaler Vok. Lokalmaximum, n rus. lokales Maximum, m pranc. maximal lokal, m … Automatikos terminų žodynas

lokales Maximum- vietinė smailė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. lokales Maximum; lokaler Spitzenvok. lokales Maximum, n rus. lokales Maximum, m pranc. maximal lokal, m; Bild lokal, m … Fizikos terminų žodynas

Lokales Maximum, lokales Minimum- (lokales Maximum, lokales Minimum) siehe Extremum der Funktion... Wirtschafts- und Mathematikwörterbuch

- (Maximum) Der höchste Funktionswert, den sie für einen beliebigen Wert ihrer Argumente annimmt. Das Maximum kann lokal oder absolut sein. Beispielsweise hat die Funktion y=1–x2 ein absolutes Maximum y=1 bei x=0; Es gibt keinen anderen Wert von x, der... ... Wirtschaftswörterbuch

- (lokales Minimum) Der Wert einer Funktion, der kleiner als jeder benachbarte Wert ihres Arguments oder ihrer Argumentmenge ist, dy/dx = 0, ist eine notwendige Bedingung für das Erreichen eines lokalen Minimums y=f(x); sofern diese Bedingung ausreichend ist... ... Wirtschaftswörterbuch

Extremum (lat. extremum extreme) ist in der Mathematik der Maximal- oder Minimalwert einer Funktion auf einer gegebenen Menge. Der Punkt, an dem das Extremum erreicht wird, wird Extrempunkt genannt. Wenn dementsprechend der minimale Extrempunkt erreicht wird... ... Wikipedia

Lokale Suchalgorithmen sind eine Gruppe von Algorithmen, bei denen die Suche nur auf Basis des aktuellen Zustands durchgeführt wird und zuvor durchlaufene Zustände nicht berücksichtigt und nicht gespeichert werden. Der Hauptzweck der Suche besteht nicht darin, den optimalen Weg zu... ... Wikipedia zu finden

– (globales Maximum) Ein Funktionswert, der gleich oder höher als seine für alle anderen Argumentwerte akzeptierten Werte ist. Eine hinreichende Bedingung für das Maximum einer Funktion eines Arguments, die darin besteht, dass ihre erste Ableitung in... ... Wirtschaftswörterbuch

- (engl. Trendrichtung, Tendenz) Richtung, Tendenz der Entwicklung des politischen Prozesses, Phänomen. Hat einen mathematischen Ausdruck. Die bekannteste Trenddefinition stammt aus der Dow-Theorie. Aufwärtstrend... ... Politikwissenschaft. Wörterbuch.

MAXIMALE UND MINIMALE PUNKTE

Punkte, an denen es den größten oder kleinsten Wert im Definitionsbereich annimmt; solche Punkte heißen auch Punkte mit absolutem Maximum oder absolutem Minimum. Wenn f auf einer Topologie definiert ist Leerzeichen X, dann der Punkt x 0 angerufen Punkt des lokalen Maximums (lokales Minimum), falls ein solcher Punkt existiert x 0, dass für die Einschränkung der betrachteten Funktion in dieser Umgebung der Punkt gilt x 0 ist der absolute Maximal- (Minimal-) Punkt. Es gibt Punkte mit strengem und nicht strengem Maximum (Minimum) (sowohl absolut als auch lokal). Zum Beispiel Punkt genannt ein Punkt eines nichtstrikten (strikten) lokalen Maximums einer Funktion f, wenn eine solche Umgebung des Punktes existiert x 0, was für alle gilt (bzw. f(x) x 0). )/

Für Funktionen, die auf endlichdimensionalen Domänen definiert sind, gibt es im Sinne der Differentialrechnung Bedingungen und Vorzeichen dafür, dass ein gegebener Punkt ein Punkt mit lokalem Maximum (Minimum) ist. Die Funktion f sei in einer bestimmten Umgebung des Punktes x 0 der Zahlenachse definiert. Wenn x 0 - ein Punkt eines nicht strengen lokalen Maximums (Minimums) und an diesem Punkt existiert f"( x 0), dann ist es gleich Null.

Wenn eine gegebene Funktion f in einer Umgebung eines Punktes differenzierbar ist x 0 , außer vielleicht diesem Punkt selbst, an dem es stetig ist, und der Ableitung f" auf jeder Seite des Punktes x 0 In dieser Nachbarschaft bleibt ein konstantes Zeichen erhalten, um dann zu sein x 0 ein Punkt mit striktem lokalem Maximum (lokalem Minimum) war, ist es notwendig und ausreichend, dass die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, d. h. für f" (x)>0 bei x<.x 0 und f"(x)<0 при x>x 0(bzw. von Minus nach Plus: F"(X) <0 bei x<x 0 und f"(x)>0 bei x>x 0). Allerdings ist nicht jede Funktion in der Umgebung eines Punktes differenzierbar x 0 , An dieser Stelle können wir darüber sprechen, dass sich das Vorzeichen der Ableitung ändert. . "

Wenn die Funktion f an einem Punkt ist x 0 t Derivate, und dann, um x 0 ein Punkt strengen lokalen Maximums war, ist es notwendig und ausreichend, dass te gerade ist und dass f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Sei die Funktion f( x 1 ..., x n] ist in einer n-dimensionalen Umgebung eines Punktes definiert und an diesem Punkt differenzierbar. Wenn x (0) ein Punkt eines nicht strengen lokalen Maximums (Minimums) ist, dann ist die Funktion f an diesem Punkt gleich Null. Diese Bedingung entspricht der Gleichheit aller partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion f an dieser Stelle mit Null. Wenn eine Funktion 2. stetige partielle Ableitungen bei x(0) hat, alle ihre 1. Ableitungen bei x(0) verschwinden und das Differential 2. Ordnung bei x(0) eine negative (positive) quadratische Form ist, dann ist x (0). ein Punkt mit streng lokalem Maximum (Minimum). Für M.- und M.T.-differenzierbare Funktionen sind Bedingungen bekannt, bei denen bestimmte Einschränkungen für Argumentänderungen auferlegt werden: Die Verbindungsgleichungen sind erfüllt. Notwendige und hinreichende Bedingungen für das Maximum (Minimum) einer reellen Funktion, die eine komplexere Struktur hat, werden in speziellen Zweigen der Mathematik untersucht: zum Beispiel in Konvexe Analyse, mathematische Programmierung(siehe auch Maximierung und Minimierung von Funktionen). Auf Mannigfaltigkeiten definierte M.- und m.t.-Funktionen werden in untersucht Variationsrechnung im Allgemeinen, a M. und m.t. für Funktionen, die auf Funktionsräumen definiert sind, d. h. für Funktionale in Variationsrechnung. Es gibt auch verschiedene Methoden zur numerischen Näherungsbestimmung von Magnetismus und m.t.

Zündete.: Il'in V.A., Poznya to E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. Aufl., Teil 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradow. 1977-1985.

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