Kritische Punkte im Graphen einer Funktion. Maximal- und Minimalfunktionen

Definitionsbereich einer Funktion, Berechnung ihrer Ableitung, Bestimmung des Definitionsbereichs einer Ableitung einer Funktion, Finden Punkte Drehen Sie die Ableitung auf Null und beweisen Sie, dass die gefundenen Punkte zum Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion gehören.

Beispiel 1 Kritisch identifizieren Punkte Funktionen y = (x - 3)²·(x-2).

Lösung Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion in in diesem Fall keine Einschränkungen: x ∈ (-∞; +∞); Berechnen Sie die Ableitung von y’. Gemäß den Regeln zur Differenzierung des Produkts aus zwei gilt: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Danach stellt sich heraus quadratische Gleichung: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Finden Sie den Definitionsbereich der Ableitung der Funktion: x ∈ (-∞; +∞). Lösen Sie die Gleichung 3 x² – 16 x + 21 = 0, um herauszufinden, bei welcher sie Null wird: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Die Ableitung geht also bei Werten von x gleich 3 und 7/3 auf Null.

Bestimmen Sie, ob die gefundenen dazugehören Punkte Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion. Da x (-∞; +∞), dann beides Punkte sind kritisch.

Beispiel 2: Kritisch identifizieren Punkte Funktionen y = x² – 2/x.

Lösungsbereich der Funktion: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), da x im Nenner liegt. Berechnen Sie die Ableitung y’ = 2 x + 2/x².

Der Definitionsbereich der Ableitung der Funktion ist derselbe wie der des Originals: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Lösen Sie die Gleichung 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Die Ableitung geht also bei x = -1 gegen Null. Die notwendigen Dinge wurden getan, aber nicht ausreichender Zustand kritisch. Da x=-1 in das Intervall (-∞; 0) ∪ (0; +∞) fällt, ist dieser Punkt kritisch.

Quellen:

• Kritisches Verkaufsvolumen, pcsThreshold

Viele Frauen leiden unter dem prämenstruellen Syndrom, das sich nicht nur äußert schmerzhafte Empfindungen, aber auch gesteigerter Appetit. Ergebend Kritische Tage kann den Gewichtsverlustprozess deutlich verlangsamen.

Gründe für gesteigerten Appetit während der Menstruation

Der Grund für die Appetitsteigerung während der Menstruation ist eine Veränderung im Allgemeinen Hormonspiegel im weiblichen Körper. Einige Tage vor Beginn der Menstruation steigt der Spiegel des Hormons Progesteron, der Körper stellt sich auf die Möglichkeit ein und versucht, zusätzliche Energiereserven in Form von Fettdepots anzulegen, auch wenn die Frau sitzt. Daher sind Gewichtsveränderungen an kritischen Tagen normal.

So essen Sie während Ihrer Periode

Versuchen Sie heutzutage, keine Süßigkeiten zu essen, Süßwaren und andere kalorienreiche Lebensmittel, die „schnelle“ enthalten. Ihr Überschuss wird sofort im Fett abgelagert. In dieser Zeit möchten viele Frauen unbedingt Schokolade essen; in diesem Fall können Sie dunkle Schokolade kaufen und sich ein paar Scheiben gönnen, aber nicht mehr. Während Ihrer Periode sollten Sie keine alkoholischen Getränke, Marinaden, Gurken, geräuchertes Fleisch, Samen und Nüsse konsumieren. Im Allgemeinen sollten Gurken und geräucherte Lebensmittel 6-8 Tage vor Beginn der Menstruation in der Ernährung eingeschränkt werden, da solche Produkte die Wasserreserven im Körper erhöhen und dieser Zeitraum durch eine erhöhte Flüssigkeitsansammlung gekennzeichnet ist. Um die Salzmenge in Ihrer Ernährung zu reduzieren, fügen Sie es hinzu mindestens hinzufügen V Fertiggerichte.

Es wird empfohlen, fettarme Milchprodukte, pflanzliche Lebensmittel und Getreide zu sich zu nehmen. Bohnen, Salzkartoffeln, Reis – Produkte, die „langsame“ Kohlenhydrate enthalten, sind nützlich. Meeresfrüchte, Leber, Fisch, Rindfleisch, Geflügel, Eier, Hülsenfrüchte und Trockenfrüchte helfen dabei, Eisenverluste auszugleichen. Weizenkleie wird nützlich sein. Eine natürliche Reaktion während der Menstruation ist eine Schwellung. Leichte harntreibende Kräuter helfen, den Zustand zu korrigieren: Basilikum, Dill, Petersilie, Sellerie. Sie können als Gewürz verwendet werden. In der zweiten Zyklushälfte wird empfohlen, proteinhaltige Lebensmittel (mageres Fleisch und Fisch, Milchprodukte) zu sich zu nehmen und den Kohlenhydratanteil in der Ernährung so weit wie möglich zu reduzieren.

Wirtschaftskonzept kritisches Volumen Verkäufe entspricht der Position des Unternehmens auf dem Markt, in dem der Umsatz aus dem Verkauf von Waren minimal ist. Diese Situation wird als Break-Even-Punkt bezeichnet, wenn die Nachfrage nach Produkten sinkt und die Gewinne kaum noch die Kosten decken. Zur Bestimmung des kritischen Volumens Verkäufe, verwenden Sie mehrere Methoden.

Anweisungen

Der Arbeitszyklus beschränkt sich nicht auf seine Aktivitäten – Produktion oder Dienstleistungen. Hierbei handelt es sich um eine komplexe Arbeit einer bestimmten Struktur, die die Arbeit des Hauptpersonals, des Führungspersonals, des Führungspersonals usw. sowie der Wirtschaftswissenschaftler umfasst, deren Aufgabe die Finanzanalyse des Unternehmens ist.

Der Zweck dieser Analyse besteht darin, bestimmte Mengen zu berechnen, die in gewissem Maße die Höhe des Endgewinns beeinflussen. Das Verschiedene Arten Produktions- und Verkaufsmengen, voll und durchschnittlich, Nachfrageindikatoren usw. Die Hauptaufgabe besteht darin, das Produktionsvolumen zu ermitteln, bei dem ein stabiles Verhältnis zwischen Kosten und Gewinn hergestellt wird.

Mindestlautstärke Verkäufe, bei dem die Einnahmen die Kosten vollständig decken, aber nicht das Eigenkapital des Unternehmens erhöhen, wird als kritisches Volumen bezeichnet Verkäufe. Es gibt drei Methoden zur Berechnung dieses Indikators: die Gleichungsmethode, das Grenzeinkommen und die grafische Methode.

Zur Bestimmung des kritischen Volumens Verkäufe Erstellen Sie gemäß der ersten Methode eine Gleichung der Form: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, wobei: Вп – Einnahmen aus Verkäufe und ;Zper und Zpos – variable und konstante Kosten Pp – Gewinn aus Verkäufe Und.

Nach einer anderen Methode ist der erste Begriff Einnahmen aus Verkäufe, stellen Sie es als Produkt aus Grenzeinkommen pro Gütereinheit und Volumen dar Verkäufe Gleiches gilt für die variablen Kosten. Die Fixkosten gelten für die gesamte Warencharge, daher lassen Sie diese Komponente gemeinsam: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Drücken Sie den Wert von N aus dieser Gleichung aus und Sie erhalten das kritische Volumen Verkäufe:N = Zpos/(MD – Zper1), wobei Zper1 die variablen Kosten pro Gütereinheit sind.

Grafische Methode beinhaltet den Bau von . Gelten Koordinatenebene zwei Zeilen: die Erlösfunktion von Verkäufe abzüglich der Kosten- und Gewinnfunktion. Tragen Sie auf der Abszissenachse das Produktionsvolumen und auf der Ordinatenachse das Einkommen aus der entsprechenden Gütermenge, ausgedrückt in, auf Geldeinheiten. Der Schnittpunkt dieser Linien entspricht dem kritischen Volumen Verkäufe, Break-Even-Position.

Quellen:

• wie man kritische Arbeit definiert

Kritisches Denken ist eine Reihe von Urteilen, auf deren Grundlage bestimmte Schlussfolgerungen gezogen und eine Bewertung der Kritikgegenstände vorgenommen wird. Es ist besonders charakteristisch für Forscher und Wissenschaftler aller Wissenschaftszweige. Kritisches Denken erfordert mehr hohes Level im Vergleich zum gewöhnlichen.

Der Wert der Erfahrung bei der Entwicklung kritischen Denkens

Es ist schwierig, etwas zu analysieren und daraus Schlussfolgerungen zu ziehen, wenn man es nicht gut versteht. Um kritisches Denken zu lernen, ist es daher notwendig, Objekte in allen möglichen Verbindungen und Beziehungen zu anderen Phänomenen zu untersuchen. Und auch sehr wichtig in diesem Fall im Besitz von Informationen darüber ist ähnliche Objekte, die Fähigkeit, logische Urteilsketten aufzubauen und fundierte Schlussfolgerungen zu ziehen.

Zum Beispiel den Wert beurteilen Kunstwerk Nur möglich, wenn man viele andere Früchte kennt literarische Tätigkeit. Gleichzeitig ist es gut, ein Experte für die Geschichte der menschlichen Entwicklung, die Entstehung von Literatur usw. zu sein Literatur-Kritik. Isoliert vom historischen Kontext kann ein Werk seine beabsichtigte Bedeutung verlieren. Damit die Beurteilung eines Kunstwerkes hinreichend vollständig und begründet ist, bedarf es auch der Heranziehung Ihrer literarischen Kenntnisse, zu denen auch die Konstruktionsregeln gehören literarischer Text innerhalb einzelner Genres ein System unterschiedlicher literarische Geräte, Klassifizierung und Analyse vorhandene Stile und Trends in der Literatur usw. Gleichzeitig ist es auch wichtig, die innere Logik der Handlung, den Handlungsablauf, die Anordnung und Interaktion der Charaktere in einem Kunstwerk zu studieren.

Merkmale des kritischen Denkens

Zu den weiteren Merkmalen des kritischen Denkens gehören die folgenden:
- Wissen über das Untersuchungsobjekt ist nur Startpunkt für weitere Gehirnaktivität im Zusammenhang mit der Konstruktion logische Ketten;
- konsequent aufgebaut und darauf basierend gesunder Menschenverstand Argumentation führt zur Identifizierung wahrer und falscher Informationen über das untersuchte Objekt;
- Kritisches Denken ist immer mit der Bewertung verfügbarer Informationen verbunden dieses Objekt und entsprechenden Schlussfolgerungen wird die Beurteilung wiederum auf vorhandene Kompetenzen bezogen.

Im Gegensatz zum gewöhnlichen Denken unterliegt kritisches Denken keinem blinden Glauben. Kritisches Denken ermöglicht Ihnen die Nutzung das ganze System Urteile über den Gegenstand der Kritik, um sein Wesen zu verstehen, wahres Wissen über ihn zu erkennen und falsches zu widerlegen. Es basiert auf Logik, Tiefe und Vollständigkeit des Studiums, Wahrhaftigkeit, Angemessenheit und Konsistenz der Urteile. In diesem Fall werden offensichtliche und seit langem bewiesene Aussagen als Postulate akzeptiert und bedürfen keiner wiederholten Beweisführung und Bewertung.

In früheren Diskussionen haben wir es nicht genutzt technische Methoden Differentialrechnung.

Es ist schwer, das nicht zuzugeben elementare Methoden sind einfacher und direkter als analytische Methoden. Im Allgemeinen, während man die eine oder andere Sache tut wissenschaftliches Problem, es ist besser, davon auszugehen individuelle Eingenschaften als sich ausschließlich darauf zu verlassen allgemeine Methoden, obwohl andererseits allgemeines Prinzip, der die Bedeutung der angewandten Sonderverfahren verdeutlicht, sollte natürlich immer eine führende Rolle spielen. Genau darin liegt die Bedeutung der Methoden der Differentialrechnung bei der Betrachtung extremaler Probleme. Beobachtet in moderne Wissenschaft Der Wunsch nach Allgemeinheit stellt nur eine Seite der Sache dar, denn das wirklich Wesentliche in der Mathematik wird zweifellos von den individuellen Merkmalen der betrachteten Probleme und der verwendeten Methoden bestimmt.

In seinem historische Entwicklung Die Differentialrechnung wurde in ganz erheblichem Maße beeinflusst individuelle Probleme, im Zusammenhang mit der Suche nach dem größten und niedrigsten Werte Mengen Der Zusammenhang zwischen extremen Problemen und Differentialrechnung kann wie folgt verstanden werden. In Kapitel VIII werden wir eine detaillierte Untersuchung der Ableitung f"(x) der Funktion f(x) und ihrer durchführen geometrische Bedeutung. Dort werden wir sehen, dass die Ableitung f"(x) kurz gesagt die Steigung der Tangente an die Kurve ist y = f(x) am Punkt (x, y). Es ist geometrisch offensichtlich, dass an den Maximal- oder Minimalpunkten einer glatten Kurve y = f(x) Die Tangente an die Kurve muss auf jeden Fall horizontal sein, d. h. die Steigung muss Null sein. Somit erhalten wir die Bedingung für Extrempunkte f"(x) = 0.

Um klar zu verstehen, was es bedeutet, dass die Ableitung f"(x) verschwindet, betrachten Sie die in Abb. 191 gezeigte Kurve. Wir sehen hier fünf Punkte A, B, C, D, ?, an denen die Tangente an die Kurve horizontal ist ; bezeichnen wir die entsprechenden Werte von f(x) an diesen Punkten mit a, b, c, d, e. Der größte Wert von f(x) (innerhalb der in der Zeichnung dargestellten Fläche) wird am Punkt D erreicht, der kleinste am Punkt A. Am Punkt B gibt es ein Maximum – in dem Sinne, dass an allen Punkten irgendeine Nachbarschaft Punkte B, der Wert von f(x) ist kleiner als b, obwohl an Punkten nahe D der Wert von f(x) immer noch größer als b ist. Aus diesem Grund ist es üblich zu sagen, dass es am Punkt B gibt relatives Maximum der Funktion f(x), während am Punkt D - absolutes Maximum. Ebenso gibt es am Punkt C relatives Minimum, und am Punkt A - absolutes Minimum. Schließlich gibt es in Punkt E weder ein Maximum noch ein Minimum, obwohl die Gleichheit darin immer noch verwirklicht ist f"(x) = Q, Daraus folgt, dass das Verschwinden der Ableitung f"(x) ist notwendig, überhaupt nicht ausreichend Bedingung für das Auftreten eines Extremums einer glatten Funktion f(x); mit anderen Worten: An jedem Punkt, an dem es ein Extremum (absolut oder relativ) gibt, herrscht Gleichheit mit Sicherheit f"(x) = 0, aber nicht an jedem Punkt, wo f"(x) = 0, muss ein Extremum sein. Man nennt diejenigen Punkte, an denen die Ableitung f"(x) verschwindet, unabhängig davon, ob dort ein Extremum vorliegt stationär. Weitere Analysen führen zu mehr oder weniger schwierige Bedingungen, bezüglich der höheren Ableitungen der Funktion f(x) und der vollständigen Charakterisierung der Maxima, Minima und anderer stationäre Punkte.

Kritische Punkte– das sind die Punkte, an denen die Ableitung einer Funktion gleich Null ist oder nicht existiert. Wenn die Ableitung gleich 0 ist, nimmt die Funktion an dieser Stelle an lokales Minimum oder maximal. Im Diagramm weist die Funktion an solchen Punkten eine horizontale Asymptote auf, d. h. die Tangente verläuft parallel zur Ox-Achse.

Solche Punkte werden aufgerufen stationär. Wenn Sie in der Grafik sehen kontinuierliche Funktion„Buckel“ oder „Loch“ erinnern daran, dass das Maximum oder Minimum an einem kritischen Punkt erreicht wird. Nehmen wir als Beispiel die folgende Aufgabe.

Beispiel 1. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion y=2x^3-3x^2+5.
Lösung. Der Algorithmus zum Finden kritischer Punkte lautet wie folgt:

Die Funktion hat also zwei kritische Punkte.

Wenn Sie als Nächstes eine Funktion untersuchen müssen, bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt. Wenn die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von „-“ nach „+“ ändert, übernimmt die Funktion lokales Minimum. Wenn von „+“ bis „-“, sollte lokales Maximum.

Zweite Art kritischer Punkte Dies sind die Nullstellen des Nenners gebrochener und irrationaler Funktionen

Logarithmische und trigonometrische Funktionen, die an diesen Punkten nicht definiert sind


Dritte Art von kritischen Punkten haben stückweise stetige Funktionen und Module.
Beispielsweise hat jede Modulfunktion am Haltepunkt ein Minimum oder Maximum.

Zum Beispiel Modul y = | x -5 | am Punkt x = 5 hat ein Minimum (kritischer Punkt).
Die Ableitung existiert darin nicht, nimmt aber rechts und links den Wert 1 bzw. -1 an.

Versuchen Sie, die kritischen Punkte von Funktionen zu bestimmen

1)
2)
3)
4)
5)

Wenn die Antwort y lautet, erhalten Sie den Wert
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
dann weißt du es schon wie man kritische Punkte findet und in der Lage sein, einen oder mehrere einfache Tests zu bewältigen.

Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Es zeigt den Graphen der Funktion y = x^3 – 3*x^2. Betrachten wir ein Intervall, das den Punkt x = 0 enthält, zum Beispiel von -1 bis 1. Ein solches Intervall wird auch Umgebung des Punktes x = 0 genannt. Wie in der Grafik zu sehen ist, gilt in dieser Umgebung die Funktion y = x ^3 – 3*x^2 nimmt genau am Punkt x = 0 den größten Wert an.

Maximal- und Minimalfunktionen

In diesem Fall wird der Punkt x = 0 als Maximalpunkt der Funktion bezeichnet. Analog hierzu wird der Punkt x = 2 als Minimalpunkt der Funktion y = x^3 – 3*x^2 bezeichnet. Denn es gibt eine Umgebung dieses Punktes, in der der Wert an diesem Punkt unter allen anderen Werten aus dieser Umgebung minimal sein wird.

Punkt maximal Funktion f(x) heißt der Punkt x0, vorausgesetzt, dass es eine Umgebung des Punktes x0 gibt, so dass für alle x ungleich x0 aus dieser Umgebung die Ungleichung f(x) gilt< f(x0).

Punkt Minimum Funktion f(x) heißt der Punkt x0, vorausgesetzt, dass es eine Umgebung des Punktes x0 gibt, so dass für alle x ungleich x0 aus dieser Umgebung die Ungleichung f(x) > f(x0) gilt.

An den Punkten des Maximums und Minimums der Funktionen ist der Wert der Ableitung der Funktion Null. Dies ist jedoch keine ausreichende Bedingung für die Existenz einer Funktion an einem Maximal- oder Minimalpunkt.

Beispielsweise hat die Funktion y = x^3 am Punkt x = 0 eine Ableitung gleich Null. Der Punkt x = 0 ist jedoch nicht der minimale oder maximale Punkt der Funktion. Wie Sie wissen, wächst die Funktion y = x^3 entlang der gesamten numerischen Achse.

Somit liegen die minimalen und maximalen Punkte immer unter den Wurzeln der Gleichung f’(x) = 0. Aber nicht alle Wurzeln dieser Gleichung werden maximale oder minimale Punkte sein.

Stationäre und kritische Punkte

Die Punkte, an denen der Wert der Ableitung der Funktion Null ist, werden stationäre Punkte genannt. Es kann auch Punkte mit Maximum oder Minimum an Punkten geben, an denen die Ableitung der Funktion überhaupt nicht existiert. Zum Beispiel: y = |x| am Punkt x = 0 hat ein Minimum, aber die Ableitung existiert an diesem Punkt nicht. Dieser Punkt wird der kritische Punkt der Funktion sein.

Die kritischen Punkte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist oder die Ableitung an diesem Punkt nicht existiert, d. h. die Funktion an diesem Punkt ist nicht differenzierbar. Um das Maximum oder Minimum einer Funktion zu finden, muss eine hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Sei f(x) eine differenzierbare Funktion im Intervall (a;b). Der Punkt x0 gehört zu diesem Intervall und f’(x0) = 0. Dann:

1. Wenn die Funktion f(x) und ihre Ableitung beim Durchgang durch einen stationären Punkt x0 das Vorzeichen von „Plus“ nach „Minus“ ändern, dann ist der Punkt x0 der Maximalpunkt der Funktion.

2. Wenn die Funktion f(x) und ihre Ableitung beim Durchgang durch einen stationären Punkt x0 das Vorzeichen von „Minus“ nach „Plus“ ändern, dann ist Punkt x0 der Minimalpunkt der Funktion.

Definitionen:

Extremum Rufen Sie den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion für eine bestimmte Menge auf.

Extremumpunkt ist der Punkt, an dem der maximale oder minimale Wert der Funktion erreicht wird.

Maximaler Punkt ist der Punkt, an dem es erreicht wird Maximalwert Funktionen.

Mindestpunktzahl ist der Punkt, an dem der Minimalwert der Funktion erreicht wird.

Erläuterung.

In der Abbildung erreicht die Funktion in der Nähe des Punktes x = 3 ihren Maximalwert (d. h. in der Nähe dieses bestimmten Punktes gibt es keinen höheren Punkt). In der Umgebung von x = 8 hat es wieder einen Maximalwert (lassen Sie uns noch einmal klarstellen: In dieser Umgebung gibt es keinen Punkt höher). An diesen Stellen weicht der Anstieg einem Rückgang. Das sind die Höchstpunkte:

x max = 3, x max = 8.

In der Nähe des Punktes x = 5 wird der Minimalwert der Funktion erreicht (d. h. in der Nähe von x = 5 gibt es keinen Punkt darunter). An diesem Punkt weicht die Abnahme einem Anstieg. Es ist die Mindestpunktzahl:

Die maximale und minimale Punktzahl beträgt Extrempunkte der Funktion, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind ihre Extreme.

Kritische und stationäre Punkte der Funktion:

Notwendige Bedingung für ein Extremum:

Ausreichende Bedingung für ein Extremum:

Auf einem Segment die Funktion j = F(X) kann das kleinste oder erreichen Höchster Wert entweder in kritische Punkte oder an den Enden des Segments.

Algorithmus zur Untersuchung einer stetigen Funktionj = F(X) für Monotonie und Extrema: