حاصل ضرب اولی را بر دومی دو برابر کنید. فرمول ضرب مختصر

هنگام محاسبه چند جمله‌ای جبری، برای ساده‌تر کردن محاسبات، از آن استفاده می‌کنیم فرمول ضرب مختصر . در کل هفت فرمول از این دست وجود دارد. همه آنها باید از روی قلب شناخته شوند.

همچنین باید به خاطر داشت که به جای a و b در فرمول ها، هم اعداد و هم هر چند جمله ای جبری دیگر می توانند وجود داشته باشند.

تفاوت مربع ها

اختلاف مجذورهای دو عدد برابر است با حاصلضرب تفاضل این اعداد و مجموع آنها.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

مجموع مربع

مجذور مجموع دو عدد برابر است با مجذور عدد اول به اضافه دو برابر حاصلضرب عدد اول و عدد دوم به علاوه مربع عدد دوم.

(آ + ب) 2 = a 2 + 2ab + b 2

توجه داشته باشید که با این فرمول ضرب کاهش یافته، آسان است مربع های اعداد بزرگ را پیدا کنیدبدون استفاده از ماشین حساب یا ضرب طولانی. بیایید با یک مثال توضیح دهیم:

112 2 را پیدا کنید.

اجازه دهید 112 را به مجموع اعدادی که مربع آنها را به خوبی به خاطر داریم تجزیه کنیم
112 = 100 + 1

مجموع اعداد را در پرانتز می نویسیم و یک مربع روی پرانتز قرار می دهیم.
112 2 = (100 + 12) 2

بیایید از فرمول مجموع مربع استفاده کنیم:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10000 + 2400 + 144 = 12544

به یاد داشته باشید که فرمول مجموع مربع برای هر چند جمله ای جبری نیز معتبر است.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

هشدار!!!

(الف + ب) 2 مساوی a 2 + b 2 نیست

مربع تفاوت

مجذور اختلاف دو عدد برابر است با مجذور عدد اول منهای دو برابر حاصلضرب عدد اول و دوم به اضافه مجذور عدد دوم.

(آ - ب) 2 = a 2 - 2ab + b 2

همچنین ارزش به یاد آوردن یک تحول بسیار مفید را دارد:

(الف - ب) 2 = (ب - الف) 2
فرمول بالا با بسط پرانتز به سادگی ثابت می شود:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

مکعب جمع

مکعب مجموع دو عدد برابر است با مکعب عدد اول به اضافه سه برابر مربع عدد اول ضربدر دومی به علاوه سه برابر حاصل ضرب اولی ضربدر دومی به اضافه مکعب دومی.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

به خاطر سپردن این فرمول به ظاهر "وحشتناک" بسیار ساده است.

یاد بگیرید که 3 حرف اول را می زند.

دو چند جمله ای وسط دارای ضرایب 3 هستند.

ATبه یاد داشته باشید که هر عدد به توان صفر 1 است (a 0 = 1، b 0 = 1). به راحتی می توان فهمید که در فرمول کاهش درجه a و افزایش درجه b وجود دارد. شما می توانید این را تأیید کنید:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

هشدار!!!

(الف + ب) 3 برابر با a 3 + b 3 نیست

مکعب تفاوت

مکعب اختلاف بین دو عدد برابر است با مکعب عدد اول منهای سه برابر مربع عدد اول و عدد دوم به اضافه سه برابر حاصلضرب عدد اول و مربع عدد دوم منهای مکعب عدد دوم. .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

این فرمول به عنوان فرمول قبلی به خاطر سپرده می شود، اما فقط با در نظر گرفتن تناوب علائم "+" و "-". قبل از اولین عضو یک 3 "+" قرار می گیرد (طبق قوانین ریاضی، ما آن را نمی نویسیم). این بدان معنی است که قبل از عضو بعدی "-"، سپس دوباره "+" و غیره قرار می گیرد.

(الف - ب) 3 = + یک 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

مجموع مکعب ها ( نباید با مکعب مجموع اشتباه گرفته شود!)

مجموع مکعب ها برابر است با حاصل ضرب مجموع دو عدد و مربع ناقص اختلاف.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

مجموع مکعب ها حاصل ضرب دو براکت است.

پرانتز اول مجموع دو عدد است.

براکت دوم مربع ناقص اختلاف اعداد است. مربع ناقص تفاوت را عبارت می نامند:

A 2 - ab + b 2
این مربع ناقص است، زیرا در وسط، به جای یک حاصل ضرب، یک ضرب معمولی از اعداد وجود دارد.

تفاوت مکعب (با مکعب تفاوت اشتباه نشود!!!)

تفاوت مکعب ها برابر است با حاصل ضرب اختلاف دو عدد در مجذور ناقص مجموع.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

هنگام نوشتن شخصیت ها مراقب باشید.لازم به یادآوری است که تمام فرمول های بالا از راست به چپ نیز استفاده می شوند.

روشی آسان برای به خاطر سپردن فرمول های ضرب اختصاری یا ... مثلث پاسکال.

آیا به خاطر سپردن فرمول های ضرب اختصاری دشوار است؟ این مورد به راحتی کمک می کند. فقط باید به یاد داشته باشید که چگونه یک چیز ساده مانند مثلث پاسکال به تصویر کشیده شده است. سپس این فرمول ها را همیشه و همه جا به یاد خواهید آورد، یا بهتر است بگوییم، به یاد نبرید، بلکه بازیابی کنید.

مثلث پاسکال چیست؟ این مثلث متشکل از ضرایبی است که به انبساط هر توان از دوجمله ای شکل به چند جمله ای وارد می شود.

بیایید آن را تجزیه کنیم، برای مثال:

در این رکورد، به راحتی می توان به خاطر داشت که در ابتدا یک مکعب از عدد اول و در پایان - مکعب عدد دوم وجود دارد. اما آنچه در وسط است به سختی به یاد می آورد. و حتی این واقعیت که در هر ترم بعدی درجه یک عامل همیشه کاهش می یابد و دومی افزایش می یابد - به راحتی قابل توجه و به خاطر سپردن است، وضعیت با به خاطر سپردن ضرایب و علائم (به علاوه یا منفی؟) دشوارتر است.

بنابراین، اول شانس. شما مجبور نیستید آنها را حفظ کنید! در حاشیه نوت بوک، ما به سرعت مثلث پاسکال را ترسیم می کنیم، و در اینجا آنها هستند - ضرایب، که از قبل در مقابل ما هستند. ما با سه مورد شروع می کنیم، یکی در بالا، دو تا زیر، به سمت راست و چپ - بله، قبلا یک مثلث به دست آمده است:

خط اول، با یک یک، صفر است. سپس اول، دوم، سوم و غیره می آید. برای به دست آوردن خط دوم، باید دوباره خطوط را در امتداد لبه ها اختصاص دهید، و در مرکز، عددی را که با جمع دو عدد بالای آن به دست می آید، یادداشت کنید:

خط سوم را می نویسیم: دوباره در امتداد لبه های واحد و دوباره برای به دست آوردن عدد بعدی در یک خط جدید، اعداد بالای آن را در خط قبلی اضافه کنید:

همانطور که ممکن است حدس بزنید، ما در هر خط ضرایب حاصل از تجزیه یک دو جمله ای به یک چند جمله ای را دریافت می کنیم:

خوب، به خاطر سپردن علائم حتی ساده تر است: اولین مورد مانند دو جمله ای منبسط شده است (ما مجموع را نشان می دهیم - این به معنی مثبت، تفاوت - به معنای منفی است) و سپس علائم متناوب می شوند!

این یک چیز مفید است - مثلث پاسکال. لذت بردن!

در درس قبل به فاکتورسازی پرداختیم. ما به دو روش مسلط شدیم: خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز و گروه بندی. در این آموزش روش قدرتمند زیر: فرمول ضرب مختصر. در یک یادداشت کوتاه - FSU.

فرمول های ضرب اختصاری (مربع مجموع و تفاضل، مکعب مجموع و تفاضل، تفاضل مربع ها، مجموع و تفاضل مکعب ها) در همه شاخه های ریاضی ضروری است. آنها در ساده سازی عبارات، حل معادلات، ضرب چند جمله ای ها، کاهش کسر، حل انتگرال و غیره استفاده می شوند. و غیره. به طور خلاصه، هر دلیلی برای مقابله با آنها وجود دارد. درک کنید که آنها از کجا آمده اند، چرا به آنها نیاز دارند، چگونه آنها را به خاطر بسپارید و چگونه آنها را به کار ببرید.

می فهمیم؟)

فرمول های ضرب اختصاری از کجا می آیند؟

معادلات 6 و 7 به روش معمولی نوشته نمی شوند. مثل برعکس. این عمد است.) هر برابری هم از چپ به راست و هم از راست به چپ کار می کند. در چنین رکوردی مشخص است که FSO از کجا آمده است.

آنها از ضرب گرفته می شوند.) برای مثال:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

همین است، هیچ ترفند علمی. فقط براکت ها را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. اینطور معلوم می شود همه فرمول های ضرب اختصاری به اختصارضرب به این دلیل است که در خود فرمول ها ضرب براکت و کاهش مشابه وجود ندارد. کاهش می یابد.) نتیجه بلافاصله داده می شود.

FSU باید از روی قلب بداند. بدون سه مورد اول، نمی توانید رویای سه گانه را ببینید، بدون بقیه - حدود یک چهار با پنج.)

چرا به فرمول های ضرب مختصر نیاز داریم؟

دو دلیل برای یادگیری، حتی حفظ کردن، این فرمول ها وجود دارد. اول - پاسخ آماده بر روی دستگاه به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد. اما این دلیل اصلی نیست. و اینم مورد دوم...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

فرمول های عبارت اختصاری اغلب در عمل استفاده می شوند، بنابراین توصیه می شود همه آنها را از روی قلب یاد بگیرید. تا این لحظه، ما صادقانه خدمت خواهیم کرد، که توصیه می کنیم آن را چاپ کنید و همیشه در مقابل چشمان خود نگه دارید:

چهار فرمول اول از جدول کامپایل شده فرمول های ضرب اختصاری به شما امکان می دهد مجموع یا اختلاف دو عبارت را مربع و مکعب کنید. پنجمی برای ضرب مختصر اختلاف و مجموع دو عبارت است. و از فرمول ششم و هفتم برای ضرب مجموع دو عبارت a و b در مجذور ناقص اختلاف آنها استفاده می شود (به این ترتیب عبارت شکل a 2 −a b + b 2 نامیده می شود) و تفاوت دو عبارت. a و b با مجذور ناقص مجموع آنها (a 2 + a b+b 2 ) به ترتیب.

شایان ذکر است که هر برابری در جدول یک هویت است. این توضیح می دهد که چرا به فرمول های ضرب اختصاری، هویت ضرب اختصاری نیز گفته می شود.

هنگام حل مثال‌ها، به‌ویژه که در آنها فاکتورسازی یک چند جمله‌ای انجام می‌شود، FSU اغلب به شکلی که قسمت‌های چپ و راست بازآرایی شده‌اند استفاده می‌شود:

سه هویت آخر در جدول نام خود را دارند. فرمول a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) نامیده می شود فرمول تفاوت مربع ها, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - فرمول مجموع مکعب ها، آ a 3-b 3 =(a-b) (a 2 +a b+b 2) - فرمول تفاوت مکعب. لطفاً توجه داشته باشید که ما فرمول های مربوطه را با قسمت های بازآرایی شده از جدول FSU قبلی نام گذاری نکردیم.

فرمول های اضافی

اضافه کردن چند هویت دیگر به جدول فرمول های ضرب اختصاری ضرری ندارد.

دامنه فرمول های ضرب اختصاری (FSU) و مثال ها

هدف اصلی فرمول های ضرب اختصاری (FSU) با نام آنها توضیح داده شده است، یعنی شامل ضرب مختصری از عبارات است. با این حال، دامنه FSO بسیار گسترده تر است و به ضرب کوتاه محدود نمی شود. بیایید مسیرهای اصلی را فهرست کنیم.

بدون شک، کاربرد مرکزی فرمول ضرب کاهش یافته در انجام تبدیل های یکسان عبارات یافت شد. اغلب، این فرمول ها در فرآیند استفاده می شوند ساده سازی های بیان.

مثال.

عبارت 9·y−(1+3·y) 2 را ساده کنید.

راه حل.

در این عبارت، مربع را می توان به صورت اختصاری انجام داد، ما داریم 9 y-(1+3 y) 2 =9 y-(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). فقط کافی است پرانتزها را باز کنیم و عبارات مشابه را بیان کنیم: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y-1-6 y-9 y 2 = 3 y-1-9 y 2.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم به شما استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.