چند جمله ای 8p را به شکل استاندارد نشان دهید. ما یاد می گیریم چند جمله ای ها را به شکل استاندارد کاهش دهیم. شکل استاندارد چند جمله ای

در ریاضیات، مفهوم مجموعه یکی از مفاهیم اصلی و اساسی است، اما تعریف واحدی از مجموعه وجود ندارد. یکی از تثبیت شده ترین تعاریف مجموعه به شرح زیر است: مجموعه هر مجموعه ای از اشیاء معین و متمایز است که بتوان آن را به عنوان یک کل در نظر گرفت. خالق نظریه مجموعه ها، ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور (1845-1918)، این را گفت: "مجموعه چیزهای زیادی است که ما به عنوان یک کل به آنها فکر می کنیم."

ثابت شده است که مجموعه ها به عنوان یک نوع داده برای برنامه نویسی پیچیده بسیار مناسب هستند موقعیت های زندگی، زیرا می توان از آنها برای مدل سازی دقیق اشیاء دنیای واقعی و نمایش فشرده روابط منطقی پیچیده استفاده کرد. مجموعه ها در زبان برنامه نویسی پاسکال استفاده می شوند و در زیر به یک مثال از یک راه حل خواهیم پرداخت. علاوه بر این، بر اساس نظریه مجموعه ها، مفهوم پایگاه داده های رابطه ای ایجاد شد و بر اساس عملیات روی مجموعه ها - جبر رابطه ای و عملیات آن- در زبان های پرس و جو پایگاه داده، به ویژه SQL استفاده می شود.

مثال 0 (پاسکال).مجموعه ای از محصولات در چندین فروشگاه در شهر به فروش می رسد. تعیین کنید: چه محصولاتی در همه فروشگاه های شهر موجود است. مجموعه کاملمحصولات موجود در شهر

راه حل. ما یک نوع داده اصلی Food (محصولات) را تعریف می کنیم، می تواند مقادیر مربوط به نام محصولات (به عنوان مثال، hleb) را بگیرد. ما یک نوع مجموعه را اعلام می کنیم که تمام زیرمجموعه هایی را که از ترکیب مقادیر نوع پایه تشکیل شده است، یعنی Food تعریف می کند. و ما زیر مجموعه ها را تشکیل می دهیم: فروشگاه های "Solnyshko"، "Veterok"، "Ogonyok"، و همچنین زیر مجموعه های مشتق شده: MinFood (محصولاتی که در همه فروشگاه ها موجود است)، MaxFood (محدوده کاملی از محصولات در شهر). در مرحله بعد، عملیاتی را برای به دست آوردن زیرمجموعه های مشتق شده تجویز می کنیم. زیرمجموعه MinFood در نتیجه تلاقی زیر مجموعه های Solnyshko، Veterok و Ogonyok به دست می آید و شامل آن دسته از عناصر زیر مجموعه است که در هر یک از این زیر مجموعه ها گنجانده شده است (در پاسکال، عملکرد تقاطع مجموعه ها مشخص می شود. با یک ستاره: A * B * C، تعیین ریاضی برای تقاطع مجموعه ها در زیر آورده شده است. زیرمجموعه MaxFood با ترکیب زیرمجموعه های یکسان به دست می آید و شامل عناصری است که در همه زیر مجموعه ها گنجانده شده است (در پاسکال، عملیات ترکیب مجموعه ها با علامت مثبت نشان داده می شود: A + B + C، تعیین ریاضی برای ترکیب مجموعه ها در زیر آمده است. ).

کد پاسکال

فروشگاه های برنامه; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sugar, maslo, ryba); فروشگاه = مجموعه ای از غذا; var Solnyshko، Veterok، Ogonyok، MinFood، MaxFood: فروشگاه; شروع Solnyshko:=; وتروک:=; اوگونیوک:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; پایان.

چه نوع ست هایی وجود دارد؟

اشیایی که مجموعه ها را تشکیل می دهند - اشیاء شهود یا عقل ما - می توانند ماهیت بسیار متفاوتی داشته باشند. در مثال در پاراگراف اول، مجموعه‌هایی را که شامل مجموعه‌ای از محصولات بودند، تحلیل کردیم. به عنوان مثال، مجموعه ها می توانند شامل تمام حروف الفبای روسی باشند. در ریاضیات، مجموعه اعداد مورد مطالعه قرار می گیرند، به عنوان مثال، شامل همه موارد زیر است:

اعداد طبیعی 0، 1، 2، 3، 4، ...

اعداد اول

حتی اعداد صحیح

و غیره (پایه ای مجموعه های اعداددر این مطالب بحث شده است).

اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند، عناصر آن نامیده می شوند. می توانیم بگوییم که یک مجموعه "کیسه ای از عناصر" است. بسیار مهم است: هیچ عنصر یکسانی در یک مجموعه وجود ندارد.

مجموعه ها می توانند متناهی و بی نهایت باشند. مجموعه متناهی مجموعه ای است که برای آن یک عدد طبیعی وجود دارد که تعداد عناصر آن است. به عنوان مثال، مجموعه پنج عدد صحیح فرد غیر منفی اول یک مجموعه متناهی است.مجموعه ای که متناهی نباشد نامتناهی نامیده می شود. مثلا مجموعه همه اعداد طبیعییک مجموعه بی نهایت است

اگر م- زیاد، و آ- عنصر آن، سپس آنها می نویسند: آ∈م، که به معنی " آمتعلق به خیلی هاست م".

از مثال اول (صفر) در پاسکال با محصولاتی که در فروشگاه های خاص موجود است:

hleb∈VETEROK ,

یعنی: عنصر "hleb" متعلق به بسیاری از محصولاتی است که در فروشگاه "VETEROK" موجود است.

دو راه اصلی برای تعریف مجموعه ها وجود دارد: شمارش و توصیف.

یک مجموعه را می توان با فهرست کردن تمام عناصر آن تعریف کرد، به عنوان مثال:

VETEROK = {hleb, سیر, کره} ,

آ = {7 , 14 , 28 } .

یک شمارش فقط می تواند مشخص کند مجموعه محدود. اگرچه می توانید این کار را با توضیحات انجام دهید. ولی مجموعه های بی نهایتفقط با توضیحات می توان مشخص کرد.

برای توصیف مجموعه ها از آن استفاده می شود راه بعدی. اجازه دهید پ(ایکس) - عبارتی است که ویژگی های یک متغیر را توصیف می کند ایکس، که محدوده آن مجموعه است م. سپس از طریق م = {ایکس | پ(ایکس)} مجموعه‌ای را نشان می‌دهد که شامل همه آن‌ها و فقط آن عناصری است که عبارت برای آن‌هاست پ(ایکس) درست است. این عبارت به این صورت است: «بسیاری م، متشکل از همه اینها ایکس، چی پ(ایکس) ".

مثلا ضبط کنید

م = {ایکس | ایکس² - 3 ایکس + 2 = 0}

مثال 6.طبق نظرسنجی از 100 خریدار بازار که مرکبات خریده اند، پرتقال توسط 29 خریدار، لیمو - 30 خریدار، نارنگی - 9، فقط نارنگی - 1، پرتقال و لیمو - 10، لیمو و نارنگی - 4، هر سه نوع میوه - 3 خریدار. چند مشتری هیچ یک از مرکبات ذکر شده در اینجا را خریداری نکرده اند؟ چند مشتری فقط لیمو خریدند؟

عملکرد حاصلضرب دکارتی مجموعه ها

برای تعیین یکی دیگر عملیات مهمبیش از ست - محصول دکارتی مجموعه هابیایید مفهوم مجموعه مرتب شده از طول ها را معرفی کنیم n.

طول مجموعه عدد است nجزء آن مجموعه ای متشکل از عناصری که دقیقاً به این ترتیب گرفته شده اند نشان داده می شود . که در آن من i () مجموعه جزء است.

اکنون یک تعریف دقیق دنبال می شود که ممکن است بلافاصله مشخص نباشد، اما پس از این تعریف تصویری وجود خواهد داشت که از آن نحوه به دست آوردن ضرب دکارتی مجموعه ها مشخص می شود.

محصول دکارتی (مستقیم) مجموعه هامجموعه ای نامیده می شود که با نشان داده می شود و متشکل از همه آن ها و فقط آن مجموعه های طولی است n, من-ام جزء آن تعلق دارد .

به عنوان مثال، اگر،،،

آنالیز ریاضی شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه توابع بر اساس ایده یک تابع بی نهایت کوچک می پردازد.

مفاهیم اساسی تجزیه و تحلیل ریاضیهستند قدر، مجموعه، تابع، بی نهایت عملکرد کوچک، حد، مشتق، انتگرال.

اندازهبه هر چیزی که بتوان آن را با عدد اندازه گیری و بیان کرد نامیده می شود.

زیادمجموعه ای از برخی عناصر است که توسط برخی متحد شده اند ویژگی مشترک. عناصر یک مجموعه می توانند اعداد، ارقام، اشیا، مفاهیم و غیره باشند.

مجموعه ها مشخص می شوند با حروف بزرگ، و عناصر زیادی وجود دارد حروف کوچک. عناصر مجموعه در بریس های مجعد محصور شده اند.

اگر عنصر ایکسمتعلق به خیلی هاست ایکس، سپس بنویس ایکس∈ایکس (∈ - متعلق است).
اگر مجموعه A بخشی از مجموعه B است، بنویسید A ⊂ B (⊂ - شامل).

یک مجموعه را می توان به یکی از دو روش تعریف کرد: با شمارش و با استفاده از یک ویژگی تعریف کننده.

به عنوان مثال، مجموعه های زیر با شمارش مشخص می شوند:

• A = (1،2،3،5،7) - مجموعه ای از اعداد
• Х=(x 1 , x 2 ,..., x n ) - مجموعه ای از برخی عناصر x 1 , x 2 ,...,x n
• N=(1،2،...،n) - مجموعه ای از اعداد طبیعی
• Z=(0,±1,±2,...,±n) - مجموعه ای از اعداد صحیح

مجموعه (-∞;+∞) فراخوانی می شود خط شمارهو هر عددی یک نقطه در این خط است. اجازه دهید یک - نقطه دلخواهخط عدد و δ - عدد مثبت. بازه (a-δ؛ a+δ) نامیده می شود δ-همسایگی نقطه a.

یک مجموعه X از بالا (از پایین) محدود می شود اگر یک عدد c وجود داشته باشد به طوری که برای هر x ∈ X نابرابری x≤с (x≥c) برقرار باشد. عدد c در این حالت نامیده می شود لبه بالا (پایین).مجموعه X. مجموعه ای که از بالا و پایین محدود شده باشد فراخوانی می شود محدود. کوچکترین (بزرگترین) وجه بالایی (پایینی) یک مجموعه نامیده می شود لبه دقیق بالا (پایین).از این انبوه

مجموعه اعداد پایه

ن	(1,2,3,...,n) مجموعه همه
ز	(0, ±1, ±2, ±3,...) مجموعه اعداد صحیحمجموعه اعداد صحیح شامل مجموعه اعداد طبیعی است.
س	یک دسته از اعداد گویا. علاوه بر اعداد کامل، کسری نیز وجود دارد. کسری بیانی از شکل Where است پ- عدد صحیح، q- طبیعی کسرهای اعشاری را می توان به صورت . به عنوان مثال: 0.25 = 25/100 = 1/4. اعداد صحیح را نیز می توان به صورت . به عنوان مثال، به صورت کسری با مخرج "یک": 2 = 2/1. بنابراین هر عدد گویارا می توان نوشت اعشاری- متناهی یا بی نهایت تناوبی.
آر	بسیاری از همه اعداد واقعی. اعداد غیر منطقی کسرهای نامتناهی غیر تناوبی هستند. این شامل: با هم دو مجموعه (منطقی و اعداد گنگ) - مجموعه ای از اعداد واقعی (یا واقعی) را تشکیل دهید.

اگر مجموعه ای شامل یک عنصر واحد نباشد، آنگاه فراخوانی می شود مجموعه تهیو ثبت می شود Ø .

عناصر نمادگرایی منطقی

نماد ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

کمیت کننده

معمولاً هنگام نوشتن عبارات ریاضی از کمیت سازها استفاده می شود.

کمیت کنندهنمادی منطقی نامیده می شود که عناصر زیر را از نظر کمی مشخص می کند.

• ∀- کمیت کننده عمومی، به جای کلمات "برای همه"، "برای هر کسی" استفاده می شود.
• ∃- کمیت وجود، به جای کلمات وجود دارد، موجود است. از ترکیب نماد ∃ هم استفاده می شود که انگار فقط یکی هست!

تنظیم عملیات

دو مجموعه های A و B برابر هستند(A=B) اگر از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند.
به عنوان مثال، اگر A=(1،2،3،4)، B=(3،1،4،2) آنگاه A=B.

بر اساس اتحادیه (جمع)مجموعه A و B مجموعه ای A ∪ B است که عناصر آن حداقل به یکی از این مجموعه ها تعلق دارند.
برای مثال، اگر A=(1،2،4)، B=(3،4،5،6)، سپس A ∪ B = (1،2،3،4،5،6)

با تقاطع (محصول)مجموعه های A و B را مجموعه ای A ∩ B می نامند که عناصر آن هم به مجموعه A و هم به مجموعه B تعلق دارند.
برای مثال، اگر A=(1،2،4)، B=(3،4،5،2)، سپس A ∩ B = (2،4)

با تفاوتمجموعه های A و B را مجموعه ای AB می نامند که عناصر آن متعلق به مجموعه A هستند اما به مجموعه B تعلق ندارند.
به عنوان مثال، اگر A=(1،2،3،4)، B=(3،4،5)، سپس AB = (1،2)

تفاوت متقارنمجموعه A و B را مجموعه A Δ B می نامند که اتحاد تفاوت های مجموعه های AB و BA است، یعنی A Δ B = (AB) ∪ (BA).
به عنوان مثال، اگر A=(1،2،3،4)، B=(3،4،5،6)، سپس A Δ B = (1،2) ∪ (5،6) = (1،2، 5،6)

ویژگی های عملیات مجموعه

ویژگی های قابل تعویض

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

دارایی تطبیق

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

مجموعه های قابل شمارش و غیرقابل شمارش

برای مقایسه هر دو مجموعه A و B، مطابقت بین عناصر آنها برقرار می شود.

اگر این تناظر یک به یک باشد، مجموعه ها معادل یا به همان اندازه قدرتمند، A B یا B A نامیده می شوند.

مثال 1

مجموعه نقاط روی پایه BC و هیپوتنوز AC مثلث ABC دارای توان مساوی هستند.

یک دسته ازمجموعه ای از اشیاء است که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود. مفهوم مجموعه به عنوان اساسی در نظر گرفته می شود، یعنی قابل تقلیل به مفاهیم دیگر نیست. اشیایی که یک مجموعه معین را تشکیل می دهند عناصر آن نامیده می شوند. رابطه اساسی بین عنصر آو مجموعه حاوی آن آبه صورت زیر مشخص می شود ( آیک عنصر از مجموعه است آ; یا آمتعلق است آ، یا آشامل آ). اگر آعنصری از مجموعه نیست آ، سپس می نویسند ( آشامل نمی شود آ, آشامل نمی شود آ). یک مجموعه را می توان با مشخص کردن تمام عناصر آن مشخص کرد و در این مورد از بریس های فرفری استفاده می شود. بنابراین ( آ, ب, ج) مجموعه ای از سه عنصر را نشان می دهد. نماد مشابهی در مورد مجموعه های بی نهایت استفاده می شود که عناصر نانوشته با بیضی جایگزین می شوند. بنابراین، مجموعه اعداد طبیعی (1، 2، 3، ...) و مجموعه اعداد زوج (2، 4، 6، ...) و بیضی در حالت اول به معنای تمام اعداد طبیعی است. ، و در دوم - فقط حتی

دو دست آو بنامیده می شوند برابر، اگر از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند، یعنی. آمتعلق است بو برعکس، هر عنصر بمتعلق است آ. بعد می نویسند آ = ب. بنابراین، یک مجموعه به طور منحصر به فرد توسط عناصر آن تعیین می شود و به ترتیبی که این عناصر در آن نوشته می شوند بستگی ندارد. به عنوان مثال، مجموعه ای از سه عنصر آ, ب, جشش نوع ضبط را امکان پذیر می کند:

{آ, ب, ج} = {آ, ج, ب} = {ب, آ, ج} = {ب, ج, آ} = {ج, آ, ب} = {ج, ب, آ}.

به دلایل راحتی رسمی، به اصطلاح "مجموعه خالی" نیز معرفی شده است، یعنی مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نیست. گاهی اوقات با نماد 0 نشان داده می شود (تصادف با تعیین عدد صفر منجر به سردرگمی نمی شود ، زیرا معنای نماد هر بار واضح است).

اگر هر عنصر از مجموعه آدر بسیاری گنجانده شده است ب، آن آزیر مجموعه نامیده می شود ب، آ بسوپرست نامیده می شود آ. می نویسند ( آگنجانده شده است بیا آموجود در ب, بشامل آ). بدیهی است، اگر و، پس آ = ب. مجموعه خالی طبق تعریف زیر مجموعه ای از هر مجموعه در نظر گرفته می شود.

اگر هر عنصر از مجموعه آگنجانده شده است ب، اما بسیاری بحاوی حداقل یک عنصر است که در آن گنجانده نشده است آ، یعنی اگر و، پس آتماس گرفت زیر مجموعه خود ب، آ ب - سوپر ست خود آ. در این مورد می نویسند. به عنوان مثال، نماد و به همان معنی، یعنی، که مجموعه آخالی نیست.

همچنین توجه می کنیم که باید عنصر را تشخیص دهیم آو تنظیم کنید ( آ) حاوی آبه عنوان تنها عنصر این تفاوت نه تنها به دلیل این واقعیت است که عنصر و مجموعه نقش متفاوتی دارند (رابطه متقارن نیست)، بلکه به دلیل نیاز به اجتناب از تضاد است. بنابراین، اجازه دهید آ = {آ, ب) شامل دو عنصر است. مجموعه را در نظر بگیرید ( آ) به عنوان تنها عنصر خود مجموعه را شامل می شود آ. سپس آشامل دو عنصر است، در حالی که ( آ) تنها یک عنصر است و بنابراین شناسایی این دو مجموعه غیرممکن است. بنابراین توصیه می شود از ضبط استفاده کنید و از ضبط استفاده نکنید.

تعریف.مجموعه مجموعه ای از برخی اشیاء است که بر اساس برخی ویژگی ها متحد شده اند.

عناصر تشکیل دهنده یک مجموعه معمولا با حروف کوچک لاتین و خود مجموعه با حروف لاتین بزرگ نشان داده می شوند. علامت ∈ برای نشان دادن اینکه یک عنصر به یک مجموعه تعلق دارد استفاده می شود. علامت a∈A به این معنی است که عنصر a متعلق به مجموعه A است. اگر شی x جزء مجموعه A نباشد، x∉A را می نویسیم. به عنوان مثال، اگر A مجموعه ای از اعداد زوج باشد، 2∈A و 1∉A است. مجموعه های A و B اگر از عناصر یکسانی تشکیل شده باشند برابر در نظر گرفته می شوند (A = B را بنویسید).

اگر مجموعه ای دارای تعداد محدودی از عناصر باشد، محدود نامیده می شود. در غیر این صورت مجموعه نامحدود است. اگر مجموعه A متناهی باشد، نماد |A| تعداد عناصر آن را نشان خواهد داد. مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نباشد خالی نامیده می شود و با علامت ∅ نشان داده می شود. بدیهی است |∅|=0.

مثال. فرض کنید A مجموعه ای از جواب های واقعی معادله درجه دوم x 2 + px + q = 0 باشد. مجموعه A متناهی است، |A|≤2. اگر ممیز D = p 2 -4q منفی باشد، مجموعه A خالی است. مجموعه راه حل های واقعی برای نابرابری درجه دوم x 2 +px+q≤0 محدود است اگر D≤0، و نامتناهی اگر D>0 است.

یک مجموعه محدود را می توان با فهرست کردن تمام عناصر آن تعریف کرد،

یا خواص آنها شرح داده شده است. اگر مجموعه A از عناصر x، y، z تشکیل شده است، A =(x، y، z،) بنویسید. به عنوان مثال، A = (0، 2، 4، 6، 8) مجموعه ارقام اعشاری زوج یا مجموعه اعداد طبیعی است که شرط x + 2 = 1 را برآورده می کند.

اجازه دهید مفهوم یک خانواده شاخص از مجموعه ها را معرفی کنیم که در ادامه مورد استفاده قرار خواهد گرفت. اجازه دهید I یک مجموعه باشم که هر عنصر آن i با یک مجموعه منحصر به فرد A i مرتبط است. عناصر یک مجموعه I را شاخص می نامند و مجموعه مجموعه های A i را یک خانواده نمایه شده از مجموعه ها می نامند و با (A i) i ∈ I نشان داده می شوند.

آنها می گویند که یک مجموعه B زیرمجموعه ای از یک مجموعه A است و اگر هر عنصر مجموعه B یک عنصر از مجموعه A باشد، B⊂A را بنویسید. برای مثال، مجموعه اعداد طبیعی N زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد صحیح است. Z و دومی به نوبه خود زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد گویا Q است، یعنی N⊂Z و Z⊂Q یا به طور خلاصه N⊂Z⊂Q. به راحتی می توان فهمید که اگر B⊂A و A⊂B، مجموعه های A و B از عناصر یکسانی تشکیل شده اند، و بنابراین، A=B، در غیر این صورت . همراه با نام B⊂A از A⊃B نیز استفاده می شود که به همین معنی است.

زیرمجموعه های مجموعه A غیر از ∅ و A مناسب نامیده می شوند. مجموعه خالی و مجموعه A فراخوانی می شوند زیر مجموعه های نامناسبمجموعه A. مجموعه تمام زیرمجموعه های مجموعه A آن نامیده می شود بولی، یا با چندین درجه، و با P(A) یا 2 A نشان داده می شود.

مثال. اجازه دهید A = (a، b، c). سپس مجموعه 2 A از عناصر زیر تشکیل شده است:

(∅)، (الف)، (ب)، (ج)، (الف، ب)، (الف، ج)، (ب، ج)، (الف، ب، ج).

اگر یک مجموعه A متناهی باشد و دارای n عنصر باشد، این مجموعه دارای 2 n زیر مجموعه است، یعنی |2 A |=2 | A | .

تمام عملیات مجموعه را می توان با استفاده از نمودارهای اویلر-ون نشان داد. اگر مجموعه ای جهانی که شامل همه مجموعه های دیگر به عنوان زیرمجموعه است با U نشان داده شود و به عنوان کل صفحه نمایش داده شود، آنگاه هر مجموعه را می توان به عنوان بخشی از صفحه نشان داد، یعنی. به شکل شکلی که در هواپیما خوابیده است.

با اتحاد یا جمعمجموعه های A و B مجموعه ای C است که از عناصر مجموعه A یا عناصر مجموعه B یا عناصر هر دوی این مجموعه ها تشکیل شده است. . به عنوان مثال، اگر A = (1، 2، 3) و B = (2، 3، 4)، آنگاه A∪B = (1، 2، 3، 4).

با تقاطع یا محصولدو مجموعه A و B، مجموعه ای C نامیده می شود که از عناصری تشکیل شده است که به طور همزمان به هر دو مجموعه تعلق دارند، یعنی. . برای مثال، اگر A = (1، 2، 3) و B = (2، 3، 4)، آنگاه A∩B = (2، 3).

با تفاوتدو مجموعه A و B مجموعه ای است متشکل از آن و فقط آن عناصری که در A گنجانده شده اند و در عین حال در B گنجانده نشده اند.

به عنوان مثال، اگر A = (1، 2، 3) و B = (2، 3، 4)، آنگاه A\B = (1).

اگر به طور خاص، A زیرمجموعه ای از U باشد، تفاوت U\A نشان داده شده و فراخوانی می شود علاوه بر اینمجموعه A.

تفاوت متقارن (جمع حلقه)مجموعه A و B مجموعه نامیده می شود، یعنی. . به عنوان مثال، اگر A = (1، 2، 3) و B = (2، 3، 4)، آنگاه AΔB = (1، 4).

قوانین جبر مجموعه:

1. قانون تعویض: .

2. قانون انجمن: .

3. قانون توزیعی:

4. قوانین ناتوانی: ، به خصوص

5. قوانین جذب:

6. قوانین دی مورگان (دوگانگی):

7. قانون مکمل دابل:

8. قانون شمول:

9. قانون برابری:

مثال 1.بیایید اولین قانون دی مورگان را بررسی کنیم. اجازه دهید ابتدا آن را نشان دهیم . بیایید وانمود کنیم که سپس x∉A∩B، بنابراین x حداقل به یکی از مجموعه‌های A و B تعلق ندارد. بنابراین، x∉A یا x∉B، یعنی یا .

این به آن معنا است. ما نشان دادیم که یک عنصر دلخواه از یک مجموعه، یک عنصر از یک مجموعه است. از این رو، . سوئیچینگ معکوس به روشی مشابه ثابت می شود. کافی است تمام مراحل آرگومان قبلی را به ترتیب معکوس تکرار کنید.

مثال 2.موارد را اثبات کنید

راه حل.ساده ترین راه برای انجام این کار استفاده از نمودار اویلر-ون است

از هر جفت عنصر a و b (الزاماً متفاوت نیست) می توانید یک عنصر جدید ایجاد کنید - جفت سفارش داده شده(الف، ب). جفت های مرتب شده (a,b) و (c,d) برابر در نظر گرفته می شوند و اگر a = c و b = d بنویسید (a,b) = (c,d). به طور خاص، (a,b) = (b,a) فقط اگر a=b. عناصر a و b مختصات جفت مرتب شده (a,b) نامیده می شوند.

محصول مستقیم (دکارتی).مجموعه های A و B مجموعه ای از تمام جفت های مرتب شده (a,b) است که در آن a∈A و b∈B است. حاصل ضرب مستقیم مجموعه های A و B با A×B نشان داده می شود. مطابق با تعریفی که داریم

A×B = ((a,b)| a∈A, b∈B). کار نامیده می شود مربع دکارتی.

مثال 3.مجموعه های داده شده A = (1; 2); B = (2؛ 3). پیدا کردن .

راه حل.

بنابراین، محصول دکارتی از قانون جابجایی تبعیت نمی کند.

مثال 4.اجازه دهید مجموعه ها از چه عناصری تشکیل شده اند؟

راه حل.بیایید مجموعه های A را یادداشت کنیم. که در؛ ج، فهرست عناصر آنها:

A = (3; 4; 5; 6); B = (2; 3); C = (2). سپس مانند جفت‌ها، می‌توانیم سه‌قلوهای مرتب، چهارگانه و به‌طور کلی مجموعه‌های مرتب شده از عناصر با طول دلخواه را در نظر بگیریم. مجموعه منظمی از عناصر به طول n با (a 1، a 2، a n) نشان داده می شود. برای چنین مجموعه هایی از نام تاپل به طول n نیز استفاده می شود. تاپل های طول 1 نیز مجاز هستند - اینها به سادگی مجموعه های تک عنصری هستند. اگر a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , a n = b n , دوتایی (a 1 , a 2 , a n ) و (b 1 , b 2 , b n ) برابر در نظر گرفته می شوند.

بر اساس قیاس با حاصل ضرب دو مجموعه، ما حاصلضرب مستقیم مجموعه‌های A 1 , A 2 , A n را به عنوان مجموعه همه تاپل ها (a 1 , a 2 , a n) تعریف می کنیم به طوری که a 1 ∈A 1 , a 2 ∈A 2 , a n ∈A n . حاصلضرب مستقیم با A 1 × A 2 × A n نشان داده می شود.

مفهوم محصول مستقیم را می توان به یک خانواده دلخواه از مجموعه ها تعمیم داد (A i) i ∈ I. اجازه دهید یک I-tuple را مجموعه ای از عناصر (A i) i ∈ I بنامیم به طوری که a i ∈A i برای هر i∈I. حاصلضرب مستقیم یک خانواده از مجموعه ها (A i) i ∈ I مجموعه ای است که از همه I-tuples تشکیل شده است. برای نشان دادن این مجموعه، از نماد Π i ∈ I A i و تغییرات آن استفاده می شود، مشابه آنچه برای نشان دادن تقاطع و اتحاد یک خانواده از مجموعه ها استفاده می شود.

هنگامی که یک مجموعه A در خودش ضرب می شود، حاصل ضرب توان (دکارتی) نامیده می شود و از نماد نمایی استفاده می شود. بنابراین، مطابق با تعریف، A × A = A 2، A × A × A = A 3، و غیره. اعتقاد بر این است که A 1 = A و A 0 = ∅.

روابط زیر مستقیماً از تعاریف پیروی می کنند: (A∪B) × C = (A × C) ∪ (B × C);

(A∩B) × C = (A × C) ∩ (B × C);

(A\B) × C = (A × C)\(B × C).

1. Sudoplatov S.V., Ovchinnikova E.V. عناصر ریاضیات گسسته M.:INFRA-M، نووسیبیرسک، 2002.

2. Aseev G.G.، Abramov O.M.، Sitnikov D.E. ریاضی گسسته خارکف، "تورسینگ"، 2003.

3. Nefedov V.N., Osipova V.A. درس ریاضیات گسسته. M.: Nauka، 1973.

4. Lavrov I.A., Maksimova L.L. مسائل در نظریه مجموعه ها، منطق ریاضی و نظریه الگوریتم ها. M.:FIZMATLIT، 2001.

یک دسته از - یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات مدرن. این مفهوم را نمی توان به مفاهیم دیگر تقلیل داد و تعریف نمی شود. اشیایی که یک مجموعه را تشکیل می دهند نامیده می شوند عناصر . مجموعه ها با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند: آ, ب, سی, ایکس، ...، عناصر آنها با حروف بزرگ هستند: آ, ب, سی, ایکس، ... یا حروف با نمایه آ 1, آ 2, آ 3، ... مجموعه ای که شامل یک عنصر واحد نباشد نامیده می شود خالی و با Æ نشان داده می شود.

برای تعریف یک مجموعه، باید بدانید که کدام اشیاء به مجموعه تعلق دارند و کدام یک نیستند. اگر مجموعه ای حاوی عناصر کمی باشد، می توان آن را با فهرست کردن تمام عناصر آن تعریف کرد. اگر مجموعه به عنوان یک لیست مشخص شود، عناصر آن در پرانتزهای مجعدی که با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند نوشته می شوند. مجموعه ای از اعداد را می توان به صورت زیر نوشت: آ= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ 6؛ 7؛ 8؛ 9؛ 0)؛ مجموعه اعداد اول کمتر از 20 - ب= (2؛ 3؛ 5؛ 7؛ 11؛ 13؛ 17؛ 19)؛ بسیاری از روزهای هفته - با= (دوشنبه؛ سه شنبه؛ چهارشنبه؛ پنجشنبه؛ جمعه؛ شنبه؛ یکشنبه).

با این حال، شما می توانید یک مجموعه را تنها زمانی به عنوان یک لیست تعریف کنید که دارای تعداد محدودی از عناصر باشد (اما اگر تعداد عناصر در مجموعه زیاد باشد، این نیز ناخوشایند است). یک راه جهانی برای تعریف مجموعه ها وجود دارد. مجموعه را می توان با استفاده از آن مشخص کرد خاصیت مشخصه یعنی خاصیتی که همه عناصر مجموعه دارای آن هستند و اشیایی که به مجموعه تعلق ندارند دارای آن نیستند. تعریف یک مجموعه با استفاده از یک ویژگی مشخصه به صورت زیر نوشته شده است: آ = {ایکس | پ(ایکس))، جایی که پ(ایکس) یک ویژگی مشخصه است.

در اینجا چند نمونه آورده شده است:

1. اگر، پس.

2. اجازه دهید بمجموعه ای از باقی مانده از تقسیم اعداد طبیعی بر 7 است. سپس .

3. اگر Dمجموعه اعداد حقیقی است که نه کمتر از دو و نه بزرگتر از هفت، پس D- بخش خط.

دو مجموعه را در نظر بگیرید آو ب. اگر هر عنصر از مجموعه بیک عنصر از مجموعه است آ، سپس آنها می گویند ب- زیرمجموعه مجموعه ها آ. این واقعیت به این صورت نوشته شده است: که در Ì آ. مجموعه خالی به عنوان زیرمجموعه هر مجموعه در نظر گرفته می شود. هر مجموعه غیر خالی آحداقل دو زیر مجموعه دارد - خود مجموعه آو مجموعه خالی

بگذارید دو مجموعه داده شود آو که در.

با عبور (کار ) مجموعه ها آو که درمجموعه ای متشکل از تمام عناصری است که به طور همزمان به مجموعه تعلق دارند آ، و بسیاری از که در. محل تقاطع مجموعه ها را مشخص کنید آ Ç ب:

آ Ç ب = { ایکس | ایکس Î آو ایکس Î ب}.

اتحادیه (میزان ) مجموعه ها آو که درمجموعه ای متشکل از تمام عناصر متعلق به حداقل یکی از مجموعه ها است آیا که در. نشان دهنده اتحاد مجموعه ها است آ È ب:

آ È ب = { ایکس | ایکس Î آیا ایکس Î ب}.

با تفاوت مجموعه ها آو که درمجموعه ای است که از تمام عناصر مجموعه تشکیل شده است آ، متعلق به مجموعه نیست که در. تفاوت مجموعه ها را نشان دهید آ \ ب:

آ \ ب = { ایکس | ایکس Î آو ایکس Ï ب}.

عناصر یک مجموعه می توانند اشیاء مختلفی باشند - اعداد، کلمات، اشکال هندسی، توابع و غیره. در ریاضیات نقش ویژه ای دارند. مجموعه اعداد ، یعنی مجموعه هایی که عناصر آنها اعداد هستند.

به عنوان مثال: ¥ - مجموعه اعداد طبیعی، ¢ - مجموعه اعداد صحیح، ¤ - مجموعه اعداد گویا، ¡ - مجموعه اعداد واقعی.

به یاد بیاوریم که اعداد طبیعی اعدادی هستند که در شمارش اجسام استفاده می شوند . اعداد طبیعی، اعداد منفی مقابل آنها و عدد صفر اعداد صحیح در نظر گرفته می شوند. بدین ترتیب، . اعداد گویا کسرهای معمولی با یک عدد صحیح و یک مخرج طبیعی هستند: . هر عدد گویا را می توان به صورت اعشاری متناهی یا نامتناهی نوشت.

همه کسرهای اعشاری (از جمله کسرهای نامتناهی غیر تناوبی) مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل می دهند. اعداد واقعی با نقاط روی یک خط مختصات (محور عدد) نشان داده می شوند. نقطه در باره، مربوط به عدد 0، خط مختصات را به دو پرتو تقسیم می کند: مثبت و منفی. عددی که تصویر آن روی یک خط مختصات یک نقطه است م، تماس گرفت هماهنگ كردن نکته ها م. اگر، پس نقطه دارای مختصات در سمت چپ نقطه دارای مختصات قرار دارد.

از اهمیت ویژه ای در ریاضیات، زیرمجموعه هایی از مجموعه ¡ هستند که فواصل عددی نامیده می شوند: بخش خط [آ; ب] - مجموعه ای از نقاط ایکس, ارضای شرط ; فاصله (آ; ب) - مجموعه ای از نقاط ایکس, ارضای شرط ; نیم فواصل [آ; ب) و ( آ; ب] - مجموعه ای از نقاط ایکس، احراز شرایط و بر این اساس; فواصل بی نهایت ( آ; +¥), (- ¥; ب), [آ; +¥), (-¥; ب] - مجموعه ای از نقاط ایکس, ارضای شرایط , , , .