به اعداد صحیح مثبت و منفی چه می گویند؟ اعداد منفی چه زمانی ظاهر شدند؟ اعداد مثبت و منفی

برای یادگیری نحوه پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترکدو یا چند عدد، باید بدانید اعداد طبیعی، اول و مختلط چیست.

عدد طبیعی هر عددی است که برای شمارش کل اشیاء استفاده می شود.

اگر عدد طبیعیرا می توان تنها به خود و یکی تقسیم کرد، سپس به آن ساده می گویند.

همه اعداد طبیعی را می توان بر خود و یک تقسیم کرد، اما تنها عدد اول زوج 2 است، بقیه اعداد را می توان بر دو تقسیم کرد. بنابراین فقط اعداد فرد می توانند اول باشند.

اعداد اول زیادی وجود دارد لیست کاملآنها وجود ندارند برای پیدا کردن GCD استفاده از جداول ویژه با چنین اعدادی راحت است.

اکثر اعداد طبیعی را می توان نه تنها بر یک، بلکه بر اعداد دیگر نیز تقسیم کرد. به عنوان مثال، عدد 15 را می توان بر 3 و 5 دیگر تقسیم کرد. همه آنها مقسوم علیه عدد 15 نامیده می شوند.

بنابراین، مقسوم علیه هر A عددی است که می توان آن را بدون باقیمانده بر آن تقسیم کرد. اگر عددی بیش از دو عامل طبیعی داشته باشد به آن مرکب می گویند.

عدد 30 می تواند مقسوم علیه هایی مانند 1، 3، 5، 6، 15، 30 داشته باشد.

متوجه خواهید شد که 15 و 30 مقسوم علیه های 1، 3، 5، 15 یکسان دارند. بزرگترین مقسوم علیه مشترک این دو عدد 15 است.

بنابراین، مقسوم علیه مشترک اعداد A و B عددی است که می توان آنها را به طور کامل بر آن تقسیم کرد. بزرگترین را می توان حداکثر در نظر گرفت تعداد کل، که می توان آنها را به آنها تقسیم کرد.

برای حل مشکلات از کتیبه اختصاری زیر استفاده می شود:

GCD (A; B).

به عنوان مثال، gcd (15؛ 30) = 30.

برای نوشتن تمام مقسوم علیه های اعداد طبیعی، از نماد استفاده کنید:

D (15) = (1، 3، 5، 15)

GCD (9؛ 15) = 1

که در در این مثالاعداد طبیعی فقط یک عامل مشترک دارند. آنها را نسبتا اول می نامند، بنابراین وحدت بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنهاست.

چگونه بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را پیدا کنیم

برای پیدا کردن gcd چندین عدد، شما نیاز دارید:

همه مقسوم علیه های هر عدد طبیعی را به طور جداگانه بیابید، یعنی آنها را به ضریب (اعداد اول) تبدیل کنید.

همه عوامل یکسان اعداد داده شده را انتخاب کنید.

آنها را با هم ضرب کنید.

به عنوان مثال، برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه اعداد 30 و 56، باید موارد زیر را بنویسید:

برای جلوگیری از سردرگمی با، نوشتن فاکتورها با استفاده از آن راحت است ستون های عمودی. در سمت چپ خط باید سود سهام را قرار دهید و در سمت راست - تقسیم کننده. در زیر سود سهام، باید ضریب حاصل را نشان دهید.

بنابراین، در ستون سمت راست تمام عوامل مورد نیاز برای حل وجود خواهد داشت.

برای راحتی می توان بر تقسیم کننده های یکسان (عوامل یافت شده) خط کشی کرد. آنها باید بازنویسی و ضرب شوند و بزرگترین مقسوم علیه مشترک نوشته شود.

GCD (30؛ 56) = 2 * 5 = 10

به همین سادگی می توان بزرگترین مقسوم علیه اعداد را پیدا کرد. اگر کمی تمرین کنید، می توانید این کار را تقریبا به صورت خودکار انجام دهید.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

تعریف 2

اگر یک عدد طبیعی a بر یک عدد طبیعی $b$ بخش پذیر باشد، $b$ را مقسوم علیه $a$ و $a$ را مضرب $b$ می نامند.

بگذارید $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند. عدد $c$ را مقسوم‌کننده مشترک $a$ و $b$ می‌نامند.

مجموعه مقسوم علیه های مشترک اعداد $a$ و $b$ متناهی است، زیرا هیچ یک از این مقسوم علیه ها نمی توانند بزرگتر از $a$ باشند. به این معنی که در بین این مقسوم‌گیرنده‌ها بزرگ‌ترین مقسوم‌گیرنده وجود دارد که به آن بزرگ‌ترین مقسوم‌گیرنده مشترک اعداد $a$ و $b$ می‌گویند و با علامت‌های زیر نشان داده می‌شود:

$GCD\(a;b)\ یا \D\(a;b)$

برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد به موارد زیر نیاز دارید:

1. حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

مثال 1

gcd اعداد $121$ و $132.$ را پیدا کنید

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اعدادی را که در بسط این اعداد گنجانده شده اند انتخاب کنید

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

حاصل ضرب اعداد موجود در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

$GCD=2\cdot 11=22$

مثال 2

gcd یک‌شکل‌های 63$ و 81$ را پیدا کنید.

با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این:

بیایید اعداد را به تفکیک کنیم عوامل اصلی

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

اعدادی را که در بسط این اعداد گنجانده شده اند انتخاب می کنیم

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

بیایید حاصل ضرب اعداد یافت شده در مرحله 2 را پیدا کنیم. عدد حاصل بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر خواهد بود.

$GCD=3\cdot 3=9$

می توانید gcd دو عدد را به روش دیگری با استفاده از مجموعه ای از مقسوم علیه اعداد بیابید.

مثال 3

gcd اعداد $48$ و $60$ را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید مجموعه مقسوم علیه های عدد $48$ را پیدا کنیم: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

حال بیایید مجموعه مقسوم علیه های عدد $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) را پیدا کنیم. $

بیایید محل تلاقی این مجموعه ها را پیدا کنیم: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - این مجموعه مجموعه مقسوم علیه های مشترک اعداد $48$ و $60 را تعیین می کند. $. بزرگترین عنصر در مجموعه داده شدهعدد 12 دلار خواهد بود. این بدان معناست که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد $48$ و $60$ 12$ است.

تعریف NPL

تعریف 3

مضرب مشترک اعداد طبیعی$a$ و $b$ یک عدد طبیعی است که مضربی از $a$ و $b$ است.

مضرب مشترک اعداد اعدادی هستند که بر اعداد اصلی بدون باقیمانده قابل تقسیم هستند، برای مثال، برای اعداد 25$ و 50$، مضربهای مشترک اعداد 50,100,150,200$ و غیره خواهند بود.

کوچکترین مضرب مشترک حداقل مضرب مشترک نامیده می شود و LCM$(a;b)$ یا K$(a;b).$ نشان داده می شود.

برای پیدا کردن LCM دو عدد، باید:

1. اعداد عامل را به عوامل اول تبدیل کنید
2. عواملی که جزء عدد اول هستند را بنویسید و عواملی را که جزء عدد دوم هستند و جزء اولی نیستند به آنها اضافه کنید.

مثال 4

LCM اعداد 99 دلار و 77 دلار را پیدا کنید.

با توجه به الگوریتم ارائه شده پیدا خواهیم کرد. برای این

اعداد عامل را به عوامل اول تبدیل کنید

$99=3\cdot 3\cdot 11$

عواملی که در اولی گنجانده شده است را بنویسید

به آنها ضریب هایی اضافه کنید که جزء دومی هستند و جزء اولی نیستند

حاصل ضرب اعداد یافت شده در مرحله 2 را بیابید. عدد حاصل حداقل مضرب مشترک مورد نظر خواهد بود

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

تهیه فهرستی از مقسوم‌کننده‌های اعداد اغلب کاری بسیار پر زحمت است. راهی برای یافتن GCD به نام الگوریتم اقلیدسی وجود دارد.

عباراتی که الگوریتم اقلیدسی بر اساس آنها است:

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی هستند و $a\vdots b$، آنگاه $D(a;b)=b$

اگر $a$ و $b$ اعداد طبیعی باشند به طوری که $b

با استفاده از $D(a;b)=D(a-b;b)$، می توانیم اعداد مورد نظر را به طور متوالی کاهش دهیم تا زمانی که به یک جفت عدد برسیم به طوری که یکی از آنها بر دیگری بخش پذیر باشد. سپس کوچکتر از این اعداد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر برای اعداد $a$ و $b$ خواهد بود.

ویژگی های GCD و LCM

1. هر مضرب مشترک $a$ و $b$ بر K$(a;b)$ بخش پذیر است
2. اگر $a\vdots b$، آنگاه К$(a;b)=a$

اگر K$(a;b)=k$ و $m$ یک عدد طبیعی باشد، K$(am;bm)=km$

اگر $d$ یک مقسوم علیه مشترک برای $a$ و $b$ باشد، آنگاه K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) دلار

اگر $a\vdots c$ و $b\vdots c$ ، آنگاه $\frac(ab)(c)$ مضرب مشترک $a$ و $b$ است.

برای هر عدد طبیعی $a$ و $b$ تساوی برقرار است

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

هر مقسوم علیه مشترک اعداد $a$ و $b$ مقسوم علیه عدد $D(a;b)$ است.

بسیاری از مقسم

بیایید مشکل زیر را در نظر بگیریم: مقسوم علیه عدد 140 را پیدا کنید. بدیهی است که عدد 140 یک مقسوم علیه ندارد، بلکه چندین مقسوم علیه دارد. در چنین مواردی گفته می شود که مشکل وجود دارد یک دسته ازتصمیمات بیایید همه آنها را پیدا کنیم. اول از همه، بیایید تجزیه کنیم شماره داده شدهبه عوامل اصلی:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

حالا به راحتی می توانیم تمام مقسوم علیه ها را بنویسیم. بیایید با عوامل اول شروع کنیم، یعنی عواملی که در بسط داده شده در بالا وجود دارند:

سپس آنهایی را که از ضرب جفتی مقسوم علیه های اول به دست می آیند را یادداشت می کنیم:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

سپس - آنهایی که شامل سه مقسوم علیه اول هستند:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

در نهایت، بیایید واحد و خود عدد تجزیه شده را فراموش نکنیم:

همه مقسوم‌کننده‌هایی که پیدا کردیم شکل می‌گیرند یک دسته ازمقسوم‌کننده‌های عدد 140 که با استفاده از پرانتز نوشته می‌شود:

مجموعه مقسوم علیه های عدد 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

برای سهولت درک، مقسوم‌کننده‌ها را در اینجا یادداشت کرده‌ایم ( عناصر مجموعه) به ترتیب صعودی، اما، به طور کلی، این ضروری نیست. علاوه بر این، ما یک علامت اختصاری را معرفی می کنیم. به جای «مجموعه مقسوم‌کننده‌های عدد 140» می‌نویسیم «D(140)». بدین ترتیب،

به همین ترتیب، می توانید مجموعه مقسوم علیه هر عدد طبیعی دیگری را پیدا کنید. به عنوان مثال، از تجزیه

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

ما گرفتیم:

D(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105).

از مجموعه همه مقسوم علیه ها باید مجموعه مقسوم علیه های ساده را تشخیص داد که برای اعداد 140 و 105 به ترتیب برابر هستند:

PD(140) = (2، 5، 7).

PD(105) = (3، 5، 7).

به ویژه باید تأکید کرد که در تجزیه عدد 140 به عوامل اول، این دو دو بار ظاهر می شوند، در حالی که در مجموعه PD(140) تنها یک وجود دارد. مجموعه PD(140) در اصل، تمام پاسخ های مسئله است: "ضریب اول عدد 140 را بیابید." واضح است که همان پاسخ را نباید بیش از یک بار تکرار کرد.

کاهش کسری. بزرگترین مقسوم علیه مشترک

کسری را در نظر بگیرید

می دانیم که این کسر را می توان با عددی کاهش داد که هم مقسوم کننده صورت (105) و هم مقسوم علیه مخرج (140) باشد. بیایید به مجموعه های D(105) و D(140) نگاه کنیم و آنها را یادداشت کنیم عناصر مشترک.

D(105) = (1، 3، 5، 7، 15، 21، 35، 105)؛

D(140) = (1، 2، 4، 5، 7، 10، 14، 20، 28، 35، 70، 140).

عناصر مشترک مجموعه های D(105) و D(140) =

آخرین برابری را می توان به طور خلاصه تر نوشت، یعنی:

D(105) ∩ D(140) = (1، 5، 7، 35).

در اینجا نماد ویژه "∩" ("کیف با سوراخ پایین") نشان می دهد که از دو مجموعه نوشته شده بر اساس طرف های مختلفاز آن، شما باید فقط عناصر مشترک را انتخاب کنید. مدخل "D(105) ∩ D(140)" می‌خواند: تقاطعمجموعه De از 105 و De از 140.

[در طول مسیر توجه داشته باشید که می توانید عملیات باینری مختلف را با مجموعه ها انجام دهید، تقریباً مانند اعداد. یکی دیگر از عملیات دودویی رایج این است اتحاد. اتصال، که با نماد "∪" ("کیف با سوراخ رو به بالا") نشان داده می شود. اتحاد دو مجموعه شامل تمام عناصر هر دو مجموعه است:

PD(105) = (3، 5، 7);

PD(140) = (2، 5، 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2، 3، 5، 7). ]

بنابراین، ما متوجه شدیم که کسری

را می توان با هر یک از اعداد متعلق به مجموعه کاهش داد

D(105) ∩ D(140) = (1، 5، 7، 35)

و با هیچ عدد طبیعی دیگری قابل کاهش نیست. همین راه های ممکناختصارات (به جز مخفف غیر جالب یک):

بدیهی است که کاهش کسری به عددی که تا حد امکان بزرگتر باشد بسیار کاربردی است. که در در این مورداین عدد 35 است که می گویند همین است بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) اعداد 105 و 140. این به صورت نوشته می شود

GCD(105، 140) = 35.

با این حال، در عمل، اگر دو عدد به ما داده شود و باید بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا کنیم، اصلاً نباید مجموعه ای بسازیم. کافی است به سادگی هر دو عدد را به عوامل اول تجزیه کنیم و عواملی از این عوامل را که در هر دو تجزیه مشترک هستند برجسته کنیم، برای مثال:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

با ضرب اعداد زیر خط کشیده شده (در هر یک از بسط ها)، به دست می آید:

gcd(105، 140) = 5 ∙ 7 = 35.

البته این امکان وجود دارد که بیش از دو عامل برجسته وجود داشته باشد:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

از اینجا معلوم است که

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

موقعی که وضعیت شایسته ذکر ویژه است عوامل مشترکبه هیچ وجه و چیزی برای تاکید وجود ندارد، به عنوان مثال:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

در این مورد،

GCD(42، 55) = 1.

دو عدد طبیعی که برای آنها GCD برابر با یک، نامیده می شوند دوطرفه نخست. مثلاً اگر از این اعداد کسری بسازید،

پس چنین کسری است غیر قابل کاهش.

به طور کلی، قانون کاهش کسر را می توان به صورت زیر نوشت:

		آ/ gcd( آ, ب)
		ب/ gcd( آ, ب)

در اینجا فرض بر این است که آو باعداد طبیعی هستند و کل کسر مثبت است. اگر اکنون یک علامت منفی به دو طرف این تساوی اضافه کنیم، قانون مربوطه را برای کسرهای منفی به دست می آوریم.

جمع و تفریق کسرها. کمترین مضرب مشترک

فرض کنید باید مجموع دو کسر را محاسبه کنید:

ما قبلاً می دانیم که چگونه مخرج ها در عوامل اول فاکتور می شوند:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

از این بسط بلافاصله نتیجه می گیرد که برای کاهش کسرها به مخرج مشترککافی است که صورت و مخرج کسر اول را در 2 ∙ 2 ضرب کنیم ( حاصل ضرب ضرایب اول بدون تاکید مخرج دوم) و صورت و مخرج کسر دوم را در 3 ("مضرب" کسر دوم ضرب کنیم. عوامل اول بدون تاکید مخرج اول). در نتیجه، مخرج هر دو کسر برابر با عدد می شود که می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

به راحتی می توان فهمید که هر دو مخرج اصلی (هم 105 و هم 140) مقسوم علیه عدد 420 هستند و عدد 420 به نوبه خود مضربی از هر دو مخرج است - و نه فقط مضربی، بلکه حداقل مضرب مشترک (NOC) اعداد 105 و 140 به این صورت نوشته شده است:

LCM(105، 140) = 420.

با نگاهی دقیق تر به تجزیه اعداد 105 و 140 می بینیم که

105 ∙ 140 = GCD (105، 140) ∙ GCD (105، 140).

به طور مشابه، برای اعداد طبیعی دلخواه بو د:

ب ∙ د= LOC( ب, د) ∙ GCD( ب, د).

حالا بیایید جمع کسرهایمان را کامل کنیم:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

توجه داشته باشید.برای حل برخی از مسائل باید بدانید که مربع یک عدد چقدر است. مربع عدد آشماره تماس گرفت آضرب در خودش یعنی آ∙آ. (همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، برابر است با مساحت یک مربع با ضلع آ).

بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک کلید هستند مفاهیم حسابی، که به شما امکان می دهد بدون زحمت کار کنید کسرهای معمولی. LCM و اغلب برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شوند.

مفاهیم اساسی

مقسوم علیه یک عدد صحیح X عدد صحیح دیگری است که X بدون باقی ماندن بر آن تقسیم می شود. به عنوان مثال، مقسوم علیه 4 برابر 2 است و 36 برابر با 4، 6، 9 است. مضرب یک عدد صحیح X، عددی است که بر X بدون باقیمانده بخش پذیر است. مثلاً 3 مضرب 15 و 6 مضرب 12 است.

برای هر جفت اعداد می توانیم مقسوم علیه و مضرب مشترک آنها را پیدا کنیم. به عنوان مثال، برای 6 و 9، مضرب مشترک 18 و مقسوم علیه مشترک 3 است. بدیهی است که جفت ها می توانند چندین مقسوم علیه و مضرب داشته باشند، بنابراین در محاسبات از بزرگترین مقسوم علیه GCD و کوچکترین مضرب LCM استفاده می شود.

کمترین مقسوم علیه بی معنی است، زیرا برای هر عددی همیشه یک است. بزرگترین مضرب نیز بی معنی است، زیرا دنباله مضرب به بی نهایت می رود.

پیدا کردن gcd

روش های زیادی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک وجود دارد که معروف ترین آنها عبارتند از:

• جستجوی متوالی مقسوم علیه ها، انتخاب موارد مشترک برای یک جفت و جستجوی بزرگترین آنها.
• تجزیه اعداد به عوامل تقسیم ناپذیر؛
• الگوریتم اقلیدسی؛
• الگوریتم باینری

امروز در موسسات آموزشیمتداول ترین روش های فاکتورسازی اول و الگوریتم اقلیدسی است. دومی به نوبه خود هنگام حل معادلات دیوفانتین استفاده می شود: جستجوی GCD برای بررسی معادله برای امکان تفکیک در اعداد صحیح مورد نیاز است.

پیدا کردن NOC

کمترین مضرب مشترک نیز با جستجوی متوالی یا تجزیه به عوامل غیرقابل تقسیم تعیین می شود. علاوه بر این، اگر بزرگترین مقسوم علیه قبلاً تعیین شده باشد، یافتن LCM آسان است. برای اعداد X و Y، LCM و GCD با رابطه زیر مرتبط هستند:

LCD (X,Y) = X × Y / GCD (X,Y).

به عنوان مثال، اگر GCM(15،18) = 3، سپس GCM(15،18) = 15 × 18 / 3 = 90. بیشتر مثال واضحبا استفاده از LCM - جستجو برای مخرج مشترک، که کمترین مضرب مشترک برای کسرهای داده شده است.

اعداد همزمان اول

اگر یک جفت اعداد مقسوم علیه مشترک نداشته باشند، به چنین جفتی کوپرایم می گویند. gcd برای چنین جفت هایی همیشه برابر با یک است و بر اساس ارتباط بین مقسوم علیه ها و مضرب ها، gcd برای جفت های coprime برابر است با حاصلضرب آنها. به عنوان مثال، اعداد 25 و 28 نسبتاً اول هستند، زیرا آنها مقسوم علیه مشترک ندارند و LCM(25, 28) = 700 که با حاصلضرب آنها مطابقت دارد. هر دو اعداد غیر قابل تقسیمهمیشه نسبتا پر خواهد بود.

مقسوم علیه مشترک و ماشین حساب چندگانه

با استفاده از ماشین حساب ما می توانید GCD و LCM را برای تعداد دلخواه اعدادی که می توانید انتخاب کنید محاسبه کنید. وظایف مربوط به محاسبه مقسوم علیه‌ها و مضرب‌های مشترک در کلاس‌های 5 و 6 محاسباتی یافت می‌شود، اما GCD و LCM مفاهیم کلیدیریاضیات و در نظریه اعداد، پلان سنجی و جبر ارتباطی استفاده می شود.

نمونه های زندگی واقعی

مخرج مشترک کسرها

حداقل مضرب مشترک برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شود. بگذار وارد شود مشکل حسابیباید 5 کسر را جمع کنید:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

برای اضافه کردن کسرها، عبارت باید به یک مخرج مشترک تقلیل یابد، که به مشکل یافتن LCM کاهش می‌یابد. برای انجام این کار، 5 عدد را در ماشین حساب انتخاب کنید و مقادیر مخرج ها را در سلول های مربوطه وارد کنید. این برنامه LCM (8، 9، 12، 15، 18) = 360 را محاسبه می کند. اکنون باید عوامل اضافی را برای هر کسری محاسبه کنید، که به عنوان نسبت LCM به مخرج تعریف می شود. بنابراین ضریب های اضافی به نظر می رسد:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

پس از این، همه کسرها را در عدد مربوطه ضرب می کنیم ضریب اضافیو دریافت می کنیم:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

ما به راحتی می توانیم چنین کسرهایی را جمع کنیم و نتیجه را 159/360 بدست آوریم. کسر را 3 کاهش می دهیم و پاسخ نهایی را می بینیم - 53/120.

حل معادلات دیوفانتین خطی

معادلات دیوفانتین خطی عبارت هایی به شکل ax + by = d هستند. اگر نسبت d / gcd(a, b) یک عدد صحیح باشد، معادله در اعداد صحیح قابل حل است. بیایید چند معادله را بررسی کنیم تا ببینیم آیا آنها یک راه حل عدد صحیح دارند یا خیر. ابتدا معادله 150x + 8y = 37 را بررسی می کنیم. با استفاده از یک ماشین حساب، GCD (150.8) = 2 را پیدا می کنیم. 37/2 = 18.5 را تقسیم می کنیم. عدد یک عدد صحیح نیست، بنابراین معادله ریشه عدد صحیح ندارد.

اجازه دهید معادله 1320x + 1760y = 10120 را بررسی کنیم. از یک ماشین حساب برای پیدا کردن GCD(1320, 1760) = 440 استفاده کنید. .

نتیجه

GCD و LCM نقش بزرگی در تئوری اعداد بازی می‌کنند و خود مفاهیم بیشتر مورد استفاده قرار می‌گیرند مناطق مختلفریاضیات از ماشین حساب ما برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه و کوچکترین مضرب هر تعداد اعداد استفاده کنید.

یکی از وظایف ایجاد مشکلدر دانش آموزان مدرنکسانی که به استفاده صحیح و نامناسب از ماشین حساب های تعبیه شده در ابزارها عادت دارند، بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) دو یا چند عدد را پیدا می کنند.

حل هیچ کدام غیر ممکن است مسئله ریاضی، اگر معلوم نباشد واقعاً در مورد چه چیزی می پرسند. برای انجام این کار باید بدانید که این یا آن عبارت به چه معناست.، در ریاضیات استفاده می شود.

نیاز به دانستن:

1. اگر بتوان از عدد معینی برای شمارش استفاده کرد آیتم های مختلفمثلاً نه رکن، شانزده خانه، پس طبیعی است. کوچکترین آنها یکی خواهد بود.
2. وقتی یک عدد طبیعی بر یک عدد طبیعی دیگر تقسیم می شود، عدد کوچکتر مقسوم علیه عدد بزرگتر است.
3. اگر دو یا بیشتر اعداد مختلفبر عدد معینی بدون باقیمانده بخش پذیر هستند، سپس می گویند که دومی مقسوم علیه مشترک آنها (CD) خواهد بود.
4. بزرگ ترین OD ها بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) نامیده می شود.
5. در چنین حالتی، وقتی یک عدد فقط دو داشته باشد مقسوم علیه طبیعی(خود یک واحد است)، ساده نامیده می شود. کوچکترین آنها دو است و همچنین تنها عدد زوج در سری آنهاست.
6. اگر دو عدد دارای حداکثر مقسوم علیه مشترک یک باشند، آنها نسبتا اول خواهند بود.
7. به عددی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد مرکب می گویند.
8. فرآیند یافتن همه عوامل اولی که با ضرب آنها در بین یکدیگر، مقدار اولیه را در ریاضیات به محصول می دهد، تجزیه به ضرایب اول نامیده می شود. علاوه بر این، عوامل یکسان در گسترش می تواند بیش از یک بار ظاهر شود.

نمادهای زیر در ریاضیات پذیرفته می شوند:

1. مقسوم علیه D (45) = (1;3;5;9;45).
2. OD (8;18) = (1;2).
3. GCD (8; 18) = 2.

راه های مختلف برای یافتن GCD

ساده ترین راه برای پاسخ به سوال این است چگونه gcd را پیدا کنیمدر موردی که عدد کوچکتر مقسوم بر عدد بزرگتر باشد. در خواهد بود چنین موردیبزرگترین مقسوم علیه مشترک.

به عنوان مثال، GCD (15;45) = 15، GCD (48;24) = 24.

اما چنین مواردی در ریاضیات بسیار نادر است، بنابراین، برای یافتن GCD ها، بیشتر تکنیک های پیچیده، اگرچه تیک زدن این گزینه قبل از شروع کار همچنان به شدت توصیه می شود.

روش تجزیه به عوامل ساده

اگر می خواهید gcd دو یا چند عدد مختلف را پیدا کنید، کافی است هر یک از آنها را به تجزیه کنید عوامل اصلی، و سپس فرآیند ضرب آنهایی که در هر یک از اعداد هستند را انجام دهید.

مثال 1

بیایید نحوه پیدا کردن GCD 36 و 90 را بررسی کنیم:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

حالا بیایید ببینیم که چگونه همان چیزی را پیدا کنیم چه زمانی سه عدد 54 را به عنوان مثال در نظر می گیریم. 162; 42.

ما قبلاً می دانیم که چگونه 36 را تجزیه کنیم، بیایید بقیه را بفهمیم:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

بنابراین، gcd (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

لازم به ذکر است که نوشتن یک واحد در بسط کاملا اختیاری است.

بیایید راهی را در نظر بگیریم چگونه به سادگی فاکتورهای اول را فاکتور کنیم، برای این کار شماره مورد نیاز خود را در سمت چپ می نویسیم و در سمت راست می نویسیم عوامل اصلی.

ستون ها را می توان با استفاده از یک علامت تقسیم یا یک خط عمودی ساده از هم جدا کرد.

1. 36 / 2 ما به روند تقسیم خود ادامه خواهیم داد.
2. 18/2 بعدی;
3. 9/3 و دوباره؛
4. 3/3 اکنون کاملاً ابتدایی است.
5. 1 - نتیجه آماده است.

مورد نیاز 36 = 2*2*3*3.

راه اقلیدسی

این گزینه از زمان تمدن یونان باستان برای بشر شناخته شده است، از بسیاری جهات ساده تر است و به ریاضیدان بزرگ اقلیدس نسبت داده می شود، اگرچه قبلاً از الگوریتم های بسیار مشابه استفاده می شد. این روش برای استفاده از الگوریتم زیر است، به اشتراک می گذاریم تعداد بزرگتربا باقی مانده برای کمتر. سپس تقسیم کننده خود را بر باقی مانده تقسیم می کنیم و این کار را به صورت دایره ای ادامه می دهیم تا تقسیم کامل اتفاق بیفتد. آخرین مقدارو معلوم می شود که بزرگترین مقسوم علیه مشترک مورد نظر است.

در اینجا یک نمونه از استفاده است از این الگوریتم :

بیایید سعی کنیم دریابیم GCD 816 و 252 چه چیزی دارند:

1. 816 / 252 = 3 و باقیمانده 60 است. اکنون 252 را بر 60 تقسیم می کنیم.
2. 252 / 60 = 4 باقیمانده این بار 12 خواهد بود. بیایید روند دایره ای خود را ادامه دهیم، شصت را بر دوازده تقسیم کنیم.
3. 60 / 12 = 5. از آنجایی که این بار مابقی دریافت نکردیم، یک نتیجه آماده داریم، دوازده مقدار مورد نظر ما خواهد بود.

بنابراین، در پایان روند ما ما gcd گرفتیم (816;252) = 12.

اگر بیش از دو مقدار مشخص شده باشد، اقدامات لازم برای تعیین GCD انجام می شود

ما قبلاً فهمیده ایم که در صورت وجود دو عدد مختلف چه کاری باید انجام دهیم ، اکنون یاد خواهیم گرفت که در صورت وجود چگونه عمل کنیم. 3 یا بیشتر.

با وجود همه پیچیدگی های ظاهری، این وظیفهدیگر مشکلی برای ما ایجاد نخواهد کرد. حالا هر دو عدد را انتخاب می کنیم و مقدار مورد نظر را مشخص می کنیم. گام بعدی یافتن gcd نتیجه به دست آمده و سوم از مقادیر را تنظیم کنید. سپس ما مجدداً طبق اصل از قبل شناخته شده برای چهارمین پنجم و غیره عمل می کنیم.

نتیجه

بنابراین، علیرغم پیچیدگی ظاهراً زیاد وظیفه ای که در ابتدا پیش روی ما گذاشته شد، در واقع همه چیز ساده است. نکته اصلی این است که بتوانیم فرآیند تقسیم را به طور دقیق انجام دهیمو به هر یک از دو الگوریتم توضیح داده شده در بالا پایبند باشید.

اگرچه هر دو روش کاملاً قابل قبول هستند، در مدرسه راهنمایی روش اول بسیار بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد. این به این دلیل است که هنگام مطالعه موارد زیر به فاکتورسازی به عوامل اول نیاز است موضوع آموزشی- تعیین بزرگترین مضرب مشترک (LCM). اما باز هم شایان ذکر است که استفاده از الگوریتم اقلیدسی به هیچ وجه نمی تواند اشتباه تلقی شود.

ویدیو

با این ویدیو می توانید یاد بگیرید که چگونه بزرگترین مقسوم علیه مشترک را پیدا کنید.

پاسخ سوال خود را دریافت نکردید؟ موضوعی را به نویسندگان پیشنهاد دهید.