خط مستقیمی که دو طرف متوازی الاضلاع را قطع می کند تقسیم می شود. تعریف متوازی الاضلاع و خواص آن زوایای مقابل یکسان هستند

ذوزنقه چهار ضلعی با دو است طرف مقابلموازی (شکل 36).

اینجا AD || قبل از میلاد مسیح. اضلاع موازیقاعده ذوزنقه و دو پایه دیگر (AB و CD) اضلاع جانبی نامیده می شوند. فاصله بین پایه ها (BM) ارتفاع است. قطعه EF که نقاط میانی E و F اضلاع جانبی را به هم متصل می کند، خط وسط ذوزنقه نامیده می شود. خط وسطذوزنقه برابر است با نصف مجموع قاعده ها:

و به موازات آنها: EF || AD و EF || قبل از میلاد مسیح.

ذوزنقه ای با اضلاع مساوی (AB = CD) ذوزنقه متساوی الاضلاع نامیده می شود. در ذوزنقه متساوی الساقین، زوایای هر قاعده برابر است (A = D، B = C).

متوازی الاضلاع(ABCD، شکل 32) چهارضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند.

هر دو ضلع متضاد متوازی الاضلاع را قاعده های آن و فاصله بین آنها را ارتفاع آن می نامند (BE، شکل 32).

خواص متوازی الاضلاع


1. اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند (AB = CD، AD = BC).

2. زوایای مخالفمتوازی الاضلاع برابر هستند (A = C، B = D).
مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یکی از اضلاع آن 180 درجه است. برای مثال A+ B=180°.

3. مورب های متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع خود نصف می شوند (AO = OC، BO = OD).
4. هر مورب متوازی الاضلاع آن را به دو قسمت تقسیم می کند مثلث مساوی. ΔABD=ΔBCD.

5. مجموع مربع های مورب متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مربع های آن. چهار طرف: AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

نشانه های متوازی الاضلاع.
اگر یکی از شرایط زیر درست باشد چهارضلعی متوازی الاضلاع است:
1. اضلاع مقابل به صورت جفت برابر هستند (AB = CD، AD = BC).
2. زوایای مقابل به صورت جفت برابر هستند (A = C، B = D).
3. دو ضلع مقابل هم برابر و موازی هستند (AB = CD, AB || CD).
4. مورب ها در نقطه تقاطع خود به نصف تقسیم می شوند (AO = OC، BO = OD).

شکل مسطحی که توسط یک زنجیره بسته از قطعات تشکیل شده است، چندضلعی نامیده می شود. بسته به تعداد زوایا، یک چند ضلعی می تواند مثلث، چهار ضلعی، پنج ضلعی، شش ضلعی و غیره باشد. شکل 17 شش ضلعی ABCDEF را نشان می دهد.

نقاط A، B، C، D، E، F رئوس چند ضلعی هستند. زوایای A، B، C، D، E، F - زوایای چند ضلعی. بخش های AC، AD، BE و غیره - مورب؛ AB، BC، CD، DE، EF، FA - اضلاع چند ضلعی. مجموع طول اضلاع AB + BC + … + FA محیط نامیده می شود و با p نشان داده می شود (گاهی با - 2p نشان داده می شود، سپس p نیمه محیط است). که در هندسه ابتداییهمانطور که در شکل 18 نشان داده شده است فقط چند ضلعی های ساده در نظر گرفته می شوند که خطوط خطوط آنها دارای تقاطع خود نیستند. اگر همه قطرها در داخل چند ضلعی قرار گیرند، آن را محدب می گویند. شش ضلعی در شکل 17 محدب است. پنج ضلعی ABCDE در شکل 19 محدب نیست، زیرا مورب آن AD در خارج قرار دارد. مجموع گوشه های داخلی چند ضلعی محدببرابر با 180 درجه (n – 2)، که در آن n تعداد زوایا (یا اضلاع) چند ضلعی است.

اثبات

اول از همه، بیایید قطر AC را رسم کنیم. ما دو مثلث داریم: ABC و ADC.

از آنجایی که ABCD متوازی الاضلاع است، موارد زیر صادق است:

بعد از میلاد || BC \Rightarrow \ Angle 1 = \ Angle 2مثل دراز کشیدن متقاطع

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4مثل دراز کشیدن متقاطع

بنابراین، \ مثلث ABC = \مثلث ADC (با توجه به معیار دوم: و AC رایج است).

و بنابراین، \ مثلث ABC = \مثلث ADC، سپس AB = CD و AD = BC.

ثابت شده!

2. زوایای مقابل یکسان هستند.

اثبات

با توجه به اثبات خواص 1ما آن را میدانیم \ زاویه 1 = \ زاویه 2 ، \ زاویه 3 = \ زاویه 4. بنابراین مجموع زوایای مقابل برابر است با: \ زاویه 1 + \ زاویه 3 = \ زاویه 2 + \ زاویه 4. با توجه به اینکه \مثلث ABC = \مثلث ADC ما \زاویه A = \زاویه C ، \زاویه B = \زاویه D را دریافت می کنیم.

ثابت شده!

3. مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اثبات

بیایید یک مورب دیگر رسم کنیم.

توسط دارایی 1می دانیم که اضلاع مقابل یکسان هستند: AB = CD. یک بار دیگر، به زوایای مساوی متقاطع توجه کنید.

بنابراین، با توجه به معیار دوم برای تساوی مثلث ها (دو زاویه و ضلع بین آنها) مشخص می شود که \ مثلث AOB = \مثلث COD. یعنی BO = OD (مقابل گوشه های \زاویه 2 و \زاویه 1) و AO = OC (به ترتیب در مقابل گوشه های \زاویه 3 و \زاویه 4).

ثابت شده!

نشانه های متوازی الاضلاع

اگر فقط یک ویژگی در مشکل شما وجود داشته باشد، آن شکل متوازی الاضلاع است و می توانید از تمام ویژگی های این شکل استفاده کنید.

برای حفظ بهتر، توجه داشته باشید که تست متوازی الاضلاع به سوال زیر پاسخ می دهد - "چگونه بفهمیم؟". یعنی از کجا میدونی چیه شکل مجموعهاین متوازی الاضلاع است

1. متوازی الاضلاع چهارضلعی است که دو ضلع آن برابر و موازی باشند.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD یک متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم. چرا AD || قبل از میلاد مسیح؟

\ مثلث ABC = \مثلث ADC توسط دارایی 1: AB = CD، AC - مشترک و \ زاویه 1 = \ زاویه 2 به صورت متقاطع با AB و CD موازی و AC متقاطع قرار دارد.

اما اگر \ مثلث ABC = \مثلث ADC , آنگاه \ زاویه 3 = \زاویه 4 (به ترتیب مقابل AB و CD قرار دارد). و بنابراین پس از میلاد || قبل از میلاد (\زاویه 3 و \زاویه 4 - آنهایی که به صورت ضربدری قرار دارند نیز برابر هستند).

اولین علامت صحیح است.

2. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با هم برابر باشند.

AB = CD، AD = BC \Rightarrow ABCD متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید این علامت را در نظر بگیریم. بیایید دوباره AC مورب را رسم کنیم.

توسط دارایی 1\ مثلث ABC = \مثلث ACD .

نتیجه می شود که: \زاویه 1 = \زاویه 2 \Rightarrow AD || قبل از میلاد مسیح.و \زاویه 3 = \زاویه 4 \Rightarrow AB || سی دییعنی ABCD متوازی الاضلاع است.

علامت دوم درست است.

3. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که زوایای مقابل آن برابر است.

\ زاویه A = \ زاویه C ، \ Angle B = \ Angle D \Rightarrow ABCD- متوازی الاضلاع.

اثبات

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(از آنجایی که ABCD یک چهار ضلعی است و \ زاویه A = \ زاویه C , \ زاویه B = \ زاویه D بر اساس شرط).

معلوم می شود که \alpha + \beta = 180^(\circ) . اما \alpha و \beta در قسمت AB یک طرفه داخلی هستند.

و اینکه \alpha + \beta = 180^(\circ) نیز به این معنی است که AD || قبل از میلاد مسیح.

علاوه بر این، \alpha و \beta در بخش AD یک طرفه داخلی هستند. و این یعنی AB || سی دی.

علامت سوم صحیح است.

4. متوازی الاضلاع چهارضلعی است که قطرهای آن بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

AO = OC ; BO = OD\متوازی الاضلاع پیکان راست.

اثبات

BO=OD; AO = OC، \ زاویه 1 = \ زاویه 2 به صورت عمودی \Rightarrow \مثلث AOB = \مثلث COD, فلش راست \ زاویه 3 = \ زاویه 4و \Rightarrow AB || سی دی.

به طور مشابه BO = OD; AO = OC، \ زاویه 5 = \ زاویه 6 \ راست فلش \ مثلث AOD = \ مثلث BOC \ راست فلش \ زاویه 7 = \ زاویه 8، و \Rightarrow AD || قبل از میلاد مسیح.

علامت چهارم صحیح است.

1. تعریف متوازی الاضلاع.

اگر یک جفت خط موازی را با یک جفت خط موازی دیگر قطع کنیم، چهار ضلعی به دست می آید که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند.

در چهار ضلعی ABDC و EFNM (شکل 224) ВD || AC و AB || سی دی;

EF || MN و EM || FN.

چهارضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند متوازی الاضلاع نامیده می شود.

2. خواص متوازی الاضلاع.

قضیه. مورب متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.

یک متوازی الاضلاع ABDC وجود داشته باشد (شکل 225)، که در آن AB || سی دی و AC || VD.

باید ثابت کنید که مورب آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.

اجازه دهید CB مورب را در متوازی الاضلاع ABDC رسم کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

ضلع NE در این مثلث ها مشترک است. ∠ABC = ∠BCD، به عنوان زوایای متقاطع داخلی با AB و CD موازی و CB مقطع. ∠ACB = ∠СВD، همچنین مانند زوایای متقاطع داخلی با AC و BD موازی و CB مقطع.

بنابراین \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که مورب AD متوازی الاضلاع را به دو مثلث مساوی ACD و ABD تقسیم می کند.

عواقب:

1 . زوایای متضاد متوازی الاضلاع با یکدیگر برابرند.

∠A = ∠D، این از برابری مثلث های CAB و CDB به دست می آید.

به همین ترتیب، ∠C = ∠B.

2. اضلاع مقابل متوازی الاضلاع با یکدیگر برابرند.

AB = CD و AC = BD، زیرا اینها اضلاع مثلثهای مساوی هستند و در مقابل هم قرار دارند زوایای مساوی.

قضیه 2. قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع خود به نصف تقسیم می شوند.

فرض کنید BC و AD قطرهای متوازی الاضلاع ABC باشند (شکل 226). اجازه دهید ثابت کنیم که AO = OD و CO = OB.

برای انجام این کار، چند جفت مثلث مخالف را با هم مقایسه کنید، برای مثال \(\Delta\)AOB و \(\Delta\)СOD.

در این مثلث ها AB = CD، مانند اضلاع مقابل متوازی الاضلاع.

∠1 = ∠2، به عنوان زوایای داخلی که به صورت متقاطع با AB و CD موازی و مقطع AD قرار دارند.

∠3 = ∠4 به همین دلیل، زیرا AB || CD و SV بخش های آنها هستند.

نتیجه این است که \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. و در مثلث های مساوی زوایای مقابل هم قرار دارند اضلاع مساوی. بنابراین، AO = OD و CO = OB.

قضیه 3. مجموع زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع برابر است با 180 درجه.

در متوازی الاضلاع ABCD قطر AC را رسم می کنیم و دو مثلث ABC و ADC بدست می آوریم.

مثلث ها مساوی هستند، زیرا ∠1 = ∠4، ∠2 = ∠3 (زوایای متقاطع خطوط موازی)، و ضلع AC مشترک است.
از برابری \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC نتیجه می شود که AB = CD، BC = AD، ∠B = ∠D.

مجموع زوایای مجاور یک ضلع، برای مثال زوایای A و D، برابر با 180 درجه به عنوان زوایای یک طرفه برای خطوط موازی است.

تعریف

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند.

قضیه (نخستین علامت متوازی الاضلاع)

اگر دو ضلع یک چهارضلعی مساوی و موازی باشند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات

بگذارید اضلاع \(AB\) و \(CD\) در چهار ضلعی \(ABCD\) و \(AB = CD\) موازی باشند.

بیایید یک مورب \(AC\) بکشیم که این چهار ضلعی را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند: \(ABC\) و \(CDA\). این مثلث ها در دو ضلع و زاویه بین آنها برابر هستند (\(AC\) – طرف مشترک، \(AB = CD\) بر اساس شرط، \(\ زاویه 1 = \زاویه 2\) به صورت زوایای متقاطع در محل تلاقی خطوط موازی \(AB\) و \(CD\) توسط عرضی \(AC\) ، بنابراین \(\ زاویه 3 = \ زاویه 4\) . اما زوایای \(3\) و \(4\) به صورت متقاطع در تقاطع خطوط \(AD\) و \(BC\) توسط مقطع \(AC\) قرار دارند ، بنابراین \(AD\موازی BC \) . بنابراین، در چهار ضلعی \(ABCD\) اضلاع مقابل به صورت زوجی موازی هستند و بنابراین، چهار ضلعی \(ABCD\) متوازی الاضلاع است.

قضیه (نشان دوم متوازی الاضلاع)

اگر در یک چهارضلعی اضلاع مقابل به صورت جفت با هم برابر باشند، این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید قطر \(AC\) را رسم کنیم چهار ضلعی داده شده است\(ABCD\) ، آن را به مثلث های \(ABC\) و \(CDA\) تقسیم می کنیم.

این مثلث ها در سه ضلع برابر هستند (\(AC\) - مشترک، \(AB = CD\) و \(BC = DA\) بر اساس شرایط)، بنابراین \(\زاویه 1 = \زاویه 2\) - در حالت متقاطع قرار دارند. در \(AB\) و \(CD\) و secant \(AC\) . نتیجه این است که \(AB\CD موازی\) . از آنجایی که \(AB = CD\) و \(AB\CD موازی\) , پس با توجه به اولین معیار متوازی الاضلاع، چهار ضلعی \(ABCD\) متوازی الاضلاع است.

قضیه (علامت سوم متوازی الاضلاع)

اگر قطرهای یک چهارضلعی همدیگر را قطع کنند و بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم شوند، این چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات

چهار ضلعی \(ABCD\) را در نظر بگیرید که در آن قطرهای \(AC\) و \(BD\) در نقطه \(O\) همدیگر را قطع می کنند و با این نقطه نصف می شوند.

مثلث های \(AOB\) و \(COD\) با توجه به اولین علامت تساوی مثلث ها (\(AO = OC\)، \(BO = OD\) بر اساس شرط، \(\ زاویه AOB = \زاویه برابر هستند. COD\) به عنوان زوایای عمودی، بنابراین \(AB = CD\) و \(\ زاویه 1 = \ زاویه 2\) . از تساوی زوایای \(1\) و \(2\) (به صورت متقاطع در \(AB\) و \(CD\) و سکنت \(AC\) ) نتیجه می شود که \(AB\CD موازی \) .

پس در چهارضلعی \(ABCD\) اضلاع \(AB\) و \(CD\) مساوی و موازی هستند، یعنی طبق اولین معیار متوازی الاضلاع، چهارضلعی \(ABCD\) متوازی الاضلاع است. .

خواص متوازی الاضلاع:

1. در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر و زوایای مقابل برابر هستند.

2. قطرهای متوازی الاضلاع بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

ویژگی های نیمساز متوازی الاضلاع:

1. نیمساز متوازی الاضلاع یک مثلث متساوی الساقین را از آن جدا می کند.

2. نیمساز گوشه های مجاورمتوازی الاضلاع در زاویه قائمه قطع می شوند.

3. پاره های نیمساز زوایای مقابل هم مساوی و موازی هستند.

اثبات

1) فرض کنید \(ABCD\) متوازی الاضلاع باشد، \(AE\) نیمساز زاویه \(BAD\) باشد.

زوایای \(1\) و \(2\) مساوی هستند و به صورت متقاطع با خطوط موازی \(AD\) و \(BC\) و مقطع \(AE\) قرار دارند. زوایای \(1\) و \(3\) برابر هستند، زیرا \(AE\) یک نیمساز است. در نهایت \(\زاویه 3 = \زاویه 1 = \زاویه 2\)یعنی مثلث \(ABE\) متساوی الساقین است.

2) فرض کنید \(ABCD\) متوازی الاضلاع باشد، \(AN\) و \(BM\) به ترتیب نیمسازهای زوایای \(BAD\) و \(ABC\) باشند.

از آنجایی که مجموع زوایای یک طرفه برای خطوط موازی و یک عرضی برابر است با \(180^(\circ)\)، پس \(\ زاویه DAB + \ زاویه ABC = 180^(\circ)\).

از آنجایی که \(AN\) و \(BM\) نیمساز هستند، پس \(\ زاویه BAN + \ زاویه ABM = 0.5 (\ زاویه DAB + \ زاویه ABC) = 0.5 \ cdot 180^\circ = 90^(\circ)\)، جایی که \(\ زاویه AOB = 180^\circ - (\ زاویه BAN + \ زاویه ABM) = 90^\circ\).

3. فرض کنید \(AN\) و \(CM\) نیمسازهای زوایای متوازی الاضلاع \(ABCD\) باشند.

از آنجایی که زوایای مقابل در متوازی الاضلاع برابر هستند، پس \(\زاویه 2 = 0.5\cdot\angle BAD = 0.5\cdot\angle BCD = \زاویه 1\). علاوه بر این، زوایای \(1\) و \(3\) مساوی هستند و به صورت متقاطع با خطوط موازی \(AD\) و \(BC\) و مقطع \(CM\) و سپس \(\زاویه 2 قرار دارند. = \زاویه 3\) که به معنای \(AN\CM موازی\) است. علاوه بر این، \(AM\parallel CN\) و سپس \(ANCM\) متوازی الاضلاع است، بنابراین \(AN = CM\) .